高中数学数的集合篇1
应用一：主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。
用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。
如：{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}{棱柱}；数列与函数两概念；互斥事件与对立事件两概念等。
例1：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：
a.0B.1C.2D.3
分析：借助集合间的关系，明确各概念的联系和区别。此题选a。
例2：数列{an}是等差数列，a1=50,d=-0.6，求此数列的前n项和的最大值。
分析：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集{1、2、3、4、……n}），因此可把数列作为特殊函数理解。
思路1：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性。
由a1=50,d=-0.6,得an=-0.6n+50.6,令an≤0,有n≥84.3。又n∈n+,则n≥85,即从第85项起以后各项均小于0。所以(Sn)max=S84=2108.4
思路2：等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数,可用二次函数的方法处理。
Sn=50n+n(n-1)2×(-0.6)=-0.3n2+50.3n,当n取接近于5036的自然数，即n=4时，Sn达到最大值S84=2108.4
例3：若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点p的坐标，求点p在圆x2+y2=16内的概率。（人教B版必修3，118页第3题）
分析：记点p在圆x2+y2=16内为事件a，则a是基本事件空间Ω的子集。基本事件总数是6×6=36,a包含的基本事件有（1，1）（2，2）（1，3）（1，2）（2，3）（3，1）（3，2）（2，1）共8个，p(a)=836=29.
应用二：有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。
例4：求函数y=4-x(x+1)(x-1)的定义域。（人教B版必修1，86页第4题）
分析：函数的定义域是指使式子有意义的集合，由多个式子经过代数运算而成的函数，求其定义域需取多个式子有意义的交集。
由4-x≥0(x+1)(x-1)≠0得x≤4x≠±1
所以函数的定义域是（-∞,-1）∪(-1,1)∪(1,4)。
例5：已知函数y=log12(3x2-ax+5)在［-1,+∞］上是减函数，求a的取值范围。
分析：本题含着两层意思：3x2-ax+5>0在［-1,+∞］上恒成立，t=3x2-ax+5在［-1,+∞］上是增函数，实数a的范围是两者的交集。
由题意得：a6≤-1，且满足x=-1时3x2-ax+5>0,综上得-8
而有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想(即“正难则反”思想)去解答，常常可以简化讨论。
例6：掷3枚硬币，至少出现一个正面向上的概率是（人教B版必修3，131页第2（3）题）
分析：“至少出现一个正面向上”的事件含有1个向上，2个向上，3个向上3类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现正面向上”即“全是反面”的概率。
p=1-18=78。
例7：如果一元二次方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根，确定这个结论成立的充要条件。（人教B版选修2―1，31页第6题）
分析：“方程至少有一个负的实数根”有一个负根，两个负根两类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“方程没有负的实数根”。
由Δ=4-4a≥0有，a≤1。
又-2a>01a>0a无解。
高中数学数的集合篇2
所谓的数形结合指的是结合数学题目中的相关条件与结论间的存在的内在关联，不但解析探究对象里边的代数含义，而且还揭示它的几何意义，让数量关系与空间形式进行巧妙与和谐地结合，同时全面借助这一结合，找出解题的思路，让问题得以有效解决.其实，数形结合的实际意义是把抽象的、较难理解的数学语言和直观形象的图形进行有机结合，促使在代数和几何相互结合中找到解题的思路.
一、数形结合思想的价值分析
利用数形结合的思想，第一，让大家在对几何图形性质进行讨论的时候变得更加的广泛和深入；第二，为数学代数内容供应了几何的直观性.因代数运用几何术语，借助和几何进行类比的方式而获得了新的活力.比如，线性代数恰恰是借助几何学里边的空间和线性等概念和类比的手段将其丰富起来且迅速地发展的.代数的方法利于精细地进行计算，而几何的图形非常直观和形象，数形相互结合与促进，让大家全面掌握数量关系和空间形式.犹如拉格朗日曾经所说的那样：“只要代数同几何分道扬镰，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”.第三，数形结合这一思想从方法论这一角度也给予了我们极其有价值的启迪.在平面这一层面上将点和数对、曲线和方程之间有效地建立起了一一对应的思考模式，让数学家们思考将一个个函数看做是点，并且将某一类函数的整体视作为“空间”，因此形成分析类数学中泛函分析这一活跃的分支.此外，数形结合思想也是数学这一学科分支所建立起的一种内驱力.应该说，从认识论以及方法论二者的视角来看，数形结合这一思维模式的应用，可以有效地帮助学生增强对数学题目本质的认识，可以帮助对具体的数量关系以及空间形式加以抽象和概括，能够帮助拓展学生思维的深度与广度，让数学思维变得更加地深刻，且更具有创造的能力.
二、利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想
在对人教B版必修1第一章“集合”这一课进行教学的过程中，因为学生才刚刚接触到集合的概念，所以对集合间存在关系的了解与掌握感到较为困难，笔者结合这一情况在教学过程当中做出了如下的处理.
首先笔者给学生讲述了“集合”的另一种体现方式维恩（Venn）图，也就是通过平面里边一条封闭曲线的内部来体现一个集合，接着引导学生展开讨论，探索两条封闭曲线可以有几种不同的位置关系，同时要求高中生用笔表示出来.在学生的热烈研讨下，他们分别画出了4种不一样的位置关系（如图1）
然后笔者便引导学生仔细观察这4种关系的不同之处，同时让学生运用集合语言进行描述，学生们很快的得出了：图1（1）没有公共的部分，也就是说集合a与B没有相同的元素；图1（2）a与B之间有公共的部分，也就是说集合a与B有相同的元素，可是有一些元素页不在另一个集合当中；图1（3）中的a完全在B的内部，图1（4）中的a与B完全重合，也就是说集合a当中所有的元素都是集合B的元素，这里笔者将集合a叫做集合B的子集.再进一步进行分析，不难发现图1（3）中集合B中有一些元素并不属于集合a，但是在图1（4）当中集合a与B二者的元素是完全相同的，所以再将子集划分作2大类：真子集即集合a是集合B的子集，而且集合B中至少有一个元素不属于集合a；集合相同也就是说集合a中的任何一个元素都是集合B中的元素，相反，集合B中的任何一个元素也全都是集合a中的元素.借助对维恩（Venn）图进行直观性的表示，高中生迅速地理解并掌握了“子集”、“真子集”和“集合相等”一系列比较抽象的数学概念，领悟了数形结合这一重要思想.
在对集合的运算这一内容进行教学的过程中，笔者首先引导同学们尝试着从字面上去认知“交”、“并”和“补”的内在含义，接着再引导他们借助维恩（Venn）图，在直观的层面上去体会“交”、“并”和“补”的内在意义，之后再叫学生运用“集合语言”进行叙述，使高中生可以从各个不一样的视角去感受、理解集合的“交”、“并”与“补”的运算过程，进而再一次在数学教学中渗透数形结合这一重要思想.运用集合和函数的知识系统地研究任意角的三角函数，让学生理解并掌握一些比较基础的三角关系式以及三角式的变形方法，同时在这一前提下认知数学三角函数的图像与性质，与此同时，笔者还必须学习那些已知三角函数值求角的方法，因为这些知识在以后的教学与研究中起着极为关键的作用，而且其在各门科学技术当中具有广泛地应用.
三、通过对函数解析式的代数分析，画函数的图象，研究函数的性质，初步形成数形结合的思想
通过对人教B版必修1第二章“函数”进行教学的过程中，笔者发现尽管学生们在初中阶段对函数已经有了初步的了解，但是对于运用集合性的语言阐述函数的涵义，应用代数的手段去研究“函数”的单调性和奇偶性等性质依然感到比较的困难，所以在教学过程中笔者进行如下的处理.
比如，当笔者教授函数的相关概念之后，先出一道如下的习题：在下列的图象当中无法作为函数的图象的为（）
引导高中生从形这一视角来进一步巩固和理解函数的含义.又如，在对一次函数以及二次函数的性质和图象进行研究的时候，因为学生们在初中阶段已经运用过描点方法作一次函数与二次函数的图象，所以笔者便借助这一点，先从高中生原有知识结构出发，引导高中生列表、描点和连线，描绘一次函数以及二次函数的图象，让高中生先从数这一角度去感知单调性和奇偶性，以及对称性，接着笔者再借助对图象的使用，直观地去感受单调性和奇偶性，以及对称性，使高中生深刻地领悟到“数缺形时少直观，形离数时难入微”这一重要理念的内涵.
高中数学数的集合篇3
一、集合的产生不是偶然的,是必然的
从原始社会的狩猎开始,人们就有意识地把自己最原始的生活生产与集合联系在一起了。当在外狩猎了一天的男人们将自己的战利品带回部落时,他们会把野兔、野鸡等肉食分在一起,而把一些野果、野菜分到一起。从这里,我们可以隐隐约约地看到集合的萌芽了。虽然这些只知道维持自己生活的原始人并不知道什么是集合,但他们的这种分类方法在我们现在看来还是具有一定的集合思想的。几千年以后,1874年,德国著名的数学家康托尔开始提出“集合”的概念――把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素。
二、集合的发展――研究的道路上充满了陷阱
如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦,那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石。
集合论的创始人――康托尔,因其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。他引入了集合论中有关基数的概念,并且定义了聚点、闭集、开集等概念。
18世纪初,正当数学家们处在集合论带给数学的进步时,他们认为有了集合论这块基石,辉煌的数学大厦就可以巍峨地矗立起来了。殊不知,第三次数学危机已悄然而至。1902年,英国著名数学家罗素写了一则有关理发师的笑话,这位理发师夸下海口:“我给镇上所有不给自己刮胡子的人刮胡子,而且只给这样的人刮胡子”――这就是数学史上著名的“理发师悖论”正如现在的经济危机带给世界经济的不仅是更残酷经济的竞争,而是国与国之间更加密切的交流与合作一样,第三次数学危机带给数学家们的不仅是种种未知的陷阱,而正是这些叵测的未知,让数学家们更有勇往直前的科学精神。经过几十年的努力,终于建立了公理化的集合论,至此,更进一步完美了集合论的理论。
三、集合的巨大作用
前面提到过“集合是数学的基石”,这句话终究从何谈起呢?二十世纪,一群法国数学家――尼古拉・布尔巴基学派,希望在集合论发展的基础上,用公理化的方法重新构造整个现代数学。布尔巴基学派认为,数学是一门研究集合以及作用在集合上的映射的一门学科,且具有三种基本的抽象结构――代数结构、序结构、拓扑结构。我们从一开始就接触到的1,2,3,4,5到初中的几何,再到高中的算法,乃至大学阶段所学的泛函,都无一例外地使研究集合以及其映射的。集合论的发展,更为数学的发展拉开了崭新的一幕。
高中数学数的集合篇4
关键词：集合教学渗透数学思想方法符号化思想类比思想
圣人孔子说：“吾道一以贯之”.那么，对于数学教学而言，能够一以贯之的又是什么呢？那就是数学思想.数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基础策略，是数学的灵魂.在中学数学教学与数学学习中，对于显性的基础知识大都比较熟悉，也很重视，但对隐蔽在数学基础知识中的数学思想方法却未必都很熟练地运用.现以集合教学为例，谈谈如何在教学中渗透数学思想方法，供青年教师特别是初上讲台的教师参考.[1]
一、在集合中元素的特征教学中渗透符号化思想
集合论的语言是数学的基本语言，集合语言在数学的各领域中主要是以符号的形式出现，这主要是利用了符号语言的高度概括性和简洁性.
评析：解集合问题时一定要分清其代表元素，即分清集合的类型（数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等）.还要注意集合中元素的三个特性.[2]
二、在集合之间的关系教学中渗透类比的思想
由某类事物已有的性质，以类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质，是数学逻辑思考的重要思维方法.在集合单元教学中，由学生比较熟悉的数的关系类比、联想集合之间的关系不失为学习集合的一种行之有效的方法.如，在学习集合的运算时，可以和实数的运算类比等.在解集合有关的题时，也可以三角等知识类比.
线以及坐标轴上的角集，显然有aB，类比此立刻可得正确答案应为B.
三、在集合的图形表示中渗透数形结合的思想
教材中指出：为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.由于用图形表示集合具有形象、直观的特点，因此，它是处理集合问题的重要工具之一.它不仅能帮助我们深刻理解与记忆集合的概念、运算公式及相互关系，而且还能对一些数学问题进行合理、有效地分类与探求，从而获得便捷、简明的解题途径.
四、在三种语言的转译中渗透化归转化的思想
集合问题中的语言有三种：文字语言、符号语言、图形语言（文氏图）.三种语言各有优缺点，因此，注意三种语言间的转译往往是寻求解题的关键所在，但要注意转译的准确性.
解析：将符号语言转译成文字语言，集合a是由直线y=x+1除去（2，3）后的点组成的集合，集合B是由坐标平面上不在直线y=x+1上的点组成的，因此，是由坐标平面上除（2，3）的点组成的，它关于坐标平面上的点组成的集合U的补集=.故选B.
五、在研究集合的子集间关系的教学中渗透分类整合的思想
有些数学问题涉及的对象较复杂，统一地解决有困难，于是就将这些对象分成“不重不漏”的若干类，然后逐类解决.这就是集合中的分类思想.在分类时要做到标准统一，不重不漏.
例5（教材例3）写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
解析：如果教师教学时就题论题，就失去了一次渗透数学思想方法的机会.教学时先让学生自主解答，再说出他们是如何思考的.学生可能漏写空集，或者虽然写出了正确结果，但有些乱等.在此基础上教师引导学生分类写出子集和真子集.此题可按不同的标准分类.一是按子集中是否含有元素可分为空集和非空子集，非空子集又可分为一元子集和二元子集.二是按子集中元素的个数分为零元子集（空集）、一元子集和二元子集.接着再让学生写出含三个元素集合的所有子集，并观察、归纳、猜测出一般结论.[3]
6.在特殊集合空集的教学中渗透一分为二的思想
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，在解与集合相关的一类问题时，由于思维定势的原因，学生常将空集遗忘而使解答发生错误.为防止遗漏空集，我们在教学中要善于运用一分为二的思想方法，既要考虑集合为非空的情形，又要注意集合可能为空集的情形，深刻理解空集的含义，重视空集的特殊性和重要作用，养成缜密、全面思考问题的习惯，以减少解题的失误.
评析：本题在实际考查中错误率是很高的，原因都是遗漏了的情况.需要指出的是，如果集合用区间形式给出，即=，则隐含着不可能是空集，这点务必要让学生明白.
当然上述思想方法要真正让学生领悟，不是通过一两节课在一朝一夕完成的，教师要在本章乃至整个高中数学教学过程中依照螺旋上升的原则，有计划、有步骤地逐步渗透、介绍这些思想方法，使学生在反复的体验和练习中逐步领悟它.
参考文献
[1].钱玲.数学思想方法与中学数学[m].北京：北京师范大学出版社.2008，8
[2].人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准实验教科书（a版）：数学1[m].北京：人民教育出版社，2007，1
[3].人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准实验教科书（a版）：数学1教师教学用书[m].北京：人民教育出版社，2007，4
高中数学数的集合篇5
【关键词】函数概念；函数定义；定义域；值域；对应法则
在中学数学中函数概念是整个数学的一个核心概念，学习函数对于学生的思维能力的发展具有重要意义，而中学生对于函数概念的理解和学习却感到非常困难。本文作者是一位高三学生，笔者根据函数概念的发展历史和自身理解来学习近代函数概念的三要素：定义域、值域和对应法则，并以近年来高考函数例题进行解答。
一、函数概念历史进程
从17世纪至20世纪上叶，函数概念经历了漫长的演进过程，在此过程中笔者对诸多数学家们给出的各种定义进行简述和总结。在函授概念传统定义中数学家提出最多的是变量对应角度的定义，代表人物德国数学家狄利克雷（L.Dirichlet，1805―1859）；除了变量对应角度的定义还有集合对应关系的定义，代表人物法国数学家坦纳里（J.tannery，1848―1910））；映射的定义，代表人物德国数学家戴德金（R.Dedekind，1831―1916）；解析式的定义，代表人物瑞士数学家约翰・伯努利（JohnBernoulli，1667―1748）；运算的定义，代表人物17世纪苏格兰数学家格雷戈里（J.Gregory，1638―1675）；变量的依赖关系的定义，代表人物法国数学家柯西（a.Cauchy，1789―1857）；最后是曲线或图象定义，代表人物数学家欧拉、拉克洛瓦（S.F.Lacroix，1765―1843）。从上述定义的代表数学家，笔者认为17世纪后函授概念的演进过程是运算―解析式―变量的依赖关系或对应关系―集合的对应关系或映射。
二、近代函数定义
传统函数定义是设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，与y值对应的值叫函数值。
例题一：正比例函数y=4x；解析：对于x的每一个实数y，都有唯一的实数与它对应y，x是的4倍；非空数集a、B是实数集R，对应关系f是乘4。
近代函数定义是设a，B，是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：aB为从集合a到集合B的一个函数，记作y=f（x）。其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈a}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。
例题二：反比例函数y=；解析：对于不等于0的每个实数，都有与其对应惟一的实数，y是x的倒数；非空集合a是不等于0的全体实数组成的集合{x∈R|x≠0}，非空集合B可以是实数集R（只要包含集合{y|y≠0}即可），对应关系f是求倒数。
由以上两例题笔者认为初等函数定义与近代函数定义其本质上是相同的，只叙述上的出发点是不相同的，传统函数定义是从运动变化的观点出发，而近代函数定义是从集合的观点出发。函数的实质都是从非空数集a到非空数集B的一个特殊的对应。
三、近代函数定义的三个要素
笔者在初中的时候主要学习了函数的初等定义、一次函数、二次函数、反比例函数；到了高中还要学习函数的近代定义以及对数函数、指数函数等更多函数。因为不管是初中的一次函数还是高中的对数函数都是属于函数，并且具备共同特征，所以笔者认为函数概念的学习非常重要。
1.近代函数定义三要素的概念。学习近代函数定义主要掌握近代函数的三个要素：定义域（a）、值域（C）和对应法则（f）。定义域是自变量x的取值范围，是构成函数主要的组成部分。值域C是集合B的子集；集合B中包含了与任意x相对应的y值，还会包含其它数值，所以集合B包含集合C。函数的定义域a和对应法则f来确定函数的值域。
例题三：对应法则f就是集合a到集合B的函数吗？
解：不是，集合a、B以及对应法则f一起称为集合a到集合B的函数
2.近代函数定义三要素的三点说明：第一定义域不同，两个函数不同；如第二对应法则不同，两个函数不同；第三定义域、值域分别相同的函数，也不一定是同一个函数，还要看对应法则。
例题四：f（x）=4x+2与g（t）=4t+2是同一函数吗？
解：是的，f（x）=4x+2与g（t）=4t+2定义域都是是4，值域和对应法则都是相同的，所以是同一函数。
注意：函数是两个数集之间的对应关系，任何字母来表示自变量、因变量以及对应关系都不影响两个函数是同一函数。
四、结论
对于所有学生来说理解和学习函数概念是中学数学的学习重点，同时也是学习难点。在初中学习函数概念一般采用“变量说”，而在高中学习函数概念一般采用“对应说”，笔者人物它的学习不仅是要掌握和理解函数概念的初等定义和近代定义，还要将实际生活与数学知识有机的结合起来，才能为今后打下良好的学习基础；才能灵活地解决其函数知识的多变问题，才能提高自身的数学素养和应用数学的能力。
【参考文献】
[1]任明俊，汪晓勤.中学生对函数概念的理解.历史相似性研究[J].数学教育学报，2007（11）
[2]谈雅琴.中学生对函数概念的理解[D].华东师范大学，2006
高中数学数的集合篇6
关键词：高中数学概念教学教学实践
高中数学是一门以抽象思维为主的课程，数学概念则是表达这种抽象思维的语言，因此准确理解与把握概念是学好高中数学的前提。“在数学教学中使学生形成正确完整的概念，是教师在教学中的首要任务，也是提高教学质量的关键，更是培养学生能力、发展学生智力的重要途径。”[1]要切实提高高中数学教学效率，抓好概念教学是关键，在高中数学教学过程中，我们要重视数学概念教学，在实践中不断探索高中数学概念教学的方法，为学生运用概念解决数学问题奠定基础。
一、创设情境，引入概念
高中数学概念具有很强的抽象性，这对学生概念学习造成很大的难度，这需要我们巧设情境引入数学概念，激发学生学习概念的兴趣。在引入数学概念时，我们要善于从实际出发，将数学概念与生活紧密结合起来，化抽象为具体。“在进行概念教学时，要让数学与学生的现实生活密切结合，使学生感受到数学是活的，是富有生命力的。”[2]我们可以尝试用生活实例巧设情境引入概念，具体方法是教师引用与所学概念有明显关系或能够直接体现概念的生活实例，引导学生分析生活实例中的数学元素，从而感知数学概念，在实例中获得感性认识，再水到渠成地引入概念，学生对概念的理解就容易得多，深刻得多。例如在教学“算法”概念时，我从生活中的实例说起，用手机浏览网页大家想必都十分熟悉：第一步，准备好手机；第二步，打开手机无线网络开关；第三步，打开手机浏览器，输入要浏览的信息内容；第四步，浏览信息。通过援引生活中用手机浏览页面，创设类似数学算法情境，引导学生了解我们做任何事都是在一定条件下按次序进行操作的，再从生活实例过渡到数学实例，最后引入“算法”概念。这样的概念教学不但可以帮助学生理解与识记概念，而且有利于学生灵活应用概念。
二、丰富教法，理解概念
帮助学生理解概念是高中概念教学的关键，要提高概念教学的效率，帮助学生很好地理解概念，需要我们在实践中不断探索概念教学方法，丰富教法，我在长期的概念教学实践中积累了以下有效的方法。
1.演示法。演示法就是根据概念教学目标，课前安排学生根据概念动手尝试建模，在课堂通过模型进行演示，达到帮助学生理解数学概念的一种方法。它是数学概念教学中往常采用的一种有效方法。这种教学方法能够有效地将抽象的数学概念直观化，既降低概念教学的难度，又培养学生的动手能力。例如在教学“点线面位置关系”时，我们可以要求学生课前准备一根绳子，在教学概念时，以桌面为平面，用绳子作为直线，引导学生进行演示，充分理解点线面的位置关系，在演示基础上，要求学生用数学语言表述出点线面位置关系。
2.实例法。实例法就是在数学概念教学过程中，借助生活中的具体实例帮助学生理解数学概念。这种教学方法由于选择了学生熟悉的生活实例，既贴近学生实际生活，又便于学生理解。例如在教学“集合”这一数学概念时，可以以我们国家为例，让学生了解“集合”是一个整体；在教学“概率”这一概念时，我们列举生活中买、摸奖的例子，引导学生理解“概率”是研究随机性规律的概念。
3.图示法。图示法就是借助图画理解数学概念的一种方法。这种方法直观形象，便于直接揭示数学的本质属性，化抽象为形象，有利于学生加深对数学概念的理解。例如在教学“交集、并集”概念时，我们可以让学生借助画图理解这两概念与区别；也可以借助现代多媒体软件，生动地展示交并集概念，这样既直观形象，又能充分调动学生的学习主动性。
4.比较法。比较法就是将数学中某些相关概念进行比照，加强对数学概念理解的一种方法。数学中很多概念总存在这样那样的关系，我们要充分把握这些概念之间联系，加强比较，在比较过程中了解概念间的相似点与存在的不同，“可以不断加强学生的思维能力，增强辨别能力和理解能力，使学生不断地提高解题能力。”[3]例如在教学“集合”这一章时，这一章涉及很多概念：集合、子集、全集、补集、交集、并集等，如何帮助学生准确理解概念，运用比较法就是有效的教学方法。在分析完每一个概念后，我们可以引导学生将集合、子集、全集、补集、交集、并集等概念整合起来，进行比较，探究这些概念之间的联系与存在的不同点。在比较中建立起来的概念才会更准确、更清晰。
三、解决问题，应用概念
检验学生是否真正掌握概念的标准是学生能否灵活运用概念解决数学问题，“数学概念是掌握数学知识的基础，概念的熟练应用更能增加学生对知识的理解。”[4]学生数学概念形成以后，我们需要进一步帮助学生理解概念的原型与内涵，引导学生发现概念学习对提高数学学习效率的重要意义，提高学生运用概念解决数学问题的能力。这既关系到学生数学概念的巩固，又关系到学生数学解题能力的形成。例如在“集合“这一章，要使学生准确把握“子集、全集、补集、交集、并集”等概念，明确区别这些概念间的异同，必须通过反复练习巩固概念，只有通过反复运用概念，才能在运用中不断巩固概念；在应用概念解决数学问题过程中，我们还要注意通过“错解、反例”辨析等题型进一步巩固概念，使学生全面理解概念，从而灵活运用概念解决数学问题，最终提高运用概念解决数学问题的能力。
总之，我们要充分认识到概念教学在高中数学教学中的重要意义，在高中数学教学中加强概念教学研究，合理创设情境，激发学生概念学习兴趣；不断探索概念教学方法，通过丰富的教法使抽象的概念教学变得生动起来，加深学生对数学概念的理解；同时，在运用中巩固数学概念，提高学生应用概念解决数学问题的能力，全面提高高中数学教学效率，发展学生的数学思维。
参考文献：
[1]邢振华.谈数学概念教学[J].新课程（上），2013（08）：187.
[2]潘洪艳.高中数学概念课教学初探[J].当代教育科学，2013（16）：64-66.
高中数学数的集合篇7
abstract：thispaperdeeplyanalyzesthenecessityoftheconstructionofeducationdatamanagingrequirementanddatawarehouseinhighereducationalinstitutes，constructsthearchitectureframeofthegeneralcollegeeducationdatawarehouseconstitutedbydatasource，dataextracting，datapreprocessing，datawarehouseandcompositiveapplyinganddescribesthelayers.Basedonthis，itdesignsthethemes，dimensiontables，facttablesanddatamartsofcollegeeducationdatawarehouse.thisdatawarehousecansupportdatasearch，statisticsreport，oLapmulti-dimensionanalysisanddataminingandimproveeducationdecisionlevel.
关键词：高等院校；教学数据；数据仓库；数据挖掘
Keywords：highereducationalinstitutes；educationdata；datawarehouse；datamining
中图分类号：tp311.1文献标识码：a文章编号：1006-4311（2016）20-0071-04
0引言
当前，高等院校教学呈现出课程种类繁多、学员数量庞大、教学管理复杂的特点，需要采集、处理、传输、管理与使用不同类型的数据，才能确保各项教学工作高效、有序开展。数据仓库是一个面向主题的、集成的、非易失的、随时间变化的、用来支持管理人员决策的数据集合[1]。通过构建高等院校教学数据仓库，能够实现多源异构教学数据按教学主题、数据类型和数据关联关系进行科学整合、组织与管理，确保数据的系统性、规范性和有序性，更好地为上层应用提供数据支持。同时，数据仓库为数据挖掘提供了高质量的数据来源，能够有效挖掘海量教学数据的潜在价值，解决单一、少量业务信息无法解决的综合性问题[2]。
1教学数据仓库需求分析
1.1教学数据管理需求
目前，高等院校教学数据在管理与使用过程中存在着管理分散、标准不统一、利用水平低等突出问题，由此导致的数据不系统、不连贯、不全面等影响和制约了院校教学效能的充分发挥。其主要特点描述如下[3，4]：
①数据量巨大。在院校开展教学过程中产生了海量的信息资源，包括历届学员学习信息、课程信息、教学管理信息、教学软件平台使用信息、用户网络行为信息等结构化数据，以及各类文档资料、图像、音视频等非结构化数据，而且这些数据还在逐年快速递增。
②结构化数据和非结构化数据，结构化数据包括了*.dbf、*.dmp、*.mdb、*.vfp、*.xls等格式；非结构化数据包括了*.doc、*.ppt、*.pdf、*.caj、*.txt、*.dxf、*.jpg、*.avi、*.mp4、*.rmvb等格式。
③数据管理分散。院校教学信息化建设初期主要考虑了各业务工作独立需求，系统分散开发，数据分散管理，虽然较好地满足了当时单项业务的急需，但也导致了数据的不系统、不规范，数据很难被别人发现和获取，存在的质量问题也很难溯源。
④数据标准不统一。院校教学信息化建设过程中，还普遍存在着标准化程度不高、数据标准不统一的现象，形成了多个“信息孤岛”、竖起了很多“烟囱”，信息系统之间、信息系统本身相关数据的一致性、正确性难以有效保证，数据不能得到有效的流通和交换，数据的综合集成和一体应用难度非常大，整体数据质量不高。
⑤数据利用水平低。当前的院校教学数据应用主要以查询统计、综合报表为主，主要是面向单项教学应用需求，也出现了个别综合性应用，但在分析过程中需要消耗大量的人力、物力和时间来进行数据准备、数据集成和综合分析。
针对上述问题，对院校教学数据进行系统、规范、有效的管理，提高数据利用的深度和广度，为教学工作的开展及教学决策提供有力支撑变得尤为迫切。
1.2教学数据仓库必要性
数据仓库是一个将从多个数据源采集来的数据以统一的模式进行存储的仓库环境，它为用户提供了单独的、统一的数据接口，便于数据的采集、存储和访问，为数据共享交换、挖掘分析和综合应用提供支撑。构建院校教学数据仓库的必要性体现在以下几点：
①能够实现有效的数据集成。这种集成体现在横向业务信息系统之间的数据集成，也体现在纵向上单系统历年数据之间的集成，而不单单是数据源中原有数据的简单拷贝。数据仓库通过使用数据清理和数据集成，能够将来源于异构数据库的数据进行规范化处理，确保数据命名、数据格式、编码结构和属性度量等的一致性，并按照业务逻辑、管理模式和应用需求进行不同程度的集成，为多种数据应用服务奠定坚实基础。
②能够实现有效的存储管理。数据仓库将分散异构的教学信息，按业务主题、信息类型和信息关联关系进行科学整合、组织与管理，确保数据管理的系统性、规范性和有序性，更好地为应用提供支撑。同时，数据按照建立的数据采集策略，可以采用源驱动架构，通过数据源连续的或周期性的推送数据进行数据更新，也可以采用目标驱动架构，通过数据仓库周期性的向数据源发送数据采集请求进行数据更新，如此便可实现历史数据的不断累积。此外，数据仓库中的数据根据存储时间的延长、使用频率的变化，对数据进行轻度、中度和高度综合，以满足各个层次的决策需求。
③能够实现有效的挖掘利用。首先，数据仓库能够支持海量数据的查询和基本的统计分析，并通过交叉表、表、图进行显示。其次，数据仓库中的数据通过事实表、维表进行组织和管理，这种多维数据模型将数据看做立方体形式，能够为基于oLap（联机分析处理）的教学数据多维动态分析、可视化展现提供有力支撑。第三，数据仓库中的数据是从多源异构系统经过抽取、转换、加载等步骤得到的，能够直接为数据挖掘提供高质量的数据来源，挖掘分析海量数据中隐藏的模式和关联，从而为教学规律分析、教学能力评估、教学决策等提供支撑和服务。
2教学数据仓库体系结构设计
由于院校教学数据来源的广泛性、类型的多样性以及应用的复杂性，使得对整个教学数据仓库体系进行科学规划就显得尤为重要，必须在深入分析数据细节和应用需求的基础上，设计出科学、合理的数据仓库体系结构框架，确保海量教学数据能够得到有效集成管理与高效分析利用。
2.1总体框架结构
教学数据仓库设计为数据源层、数据抽取层、数据预处理层、数据仓库层和综合应用层五层结构[5，6，7]，并遵循相关标准规范，如图1所示。数据源层提供各类教学数据，数据抽取层负责将数据源中的数据抽取出来，数据预处理层接收数据抽取层提交的数据，进行数据转换处理，根据需要分别加载到统一信息视图库和数据仓库中，数据仓库层进行教学数据的集中存储，为上层oLap、数据挖掘、决策支持等应用提供支撑。
2.2体系结构描述
教学数据仓库体系结构框架中各层描述如下：
①数据源层。是教学数据仓库系统的数据来源，包括了来自院校教学开展过程中产生的信息系统数据、电子文件，以及外部相关单位、部门提供的数据等，其中结构化数据可能存在于oracle、SQLServer、access等数据库管理系统，也可来自于XmL或excel文件，非结构化数据来自于各种类型的电子文件。
②数据抽取层。主要是将数据源层不同系统中的数据抽取出来并导入预处理数据库，包括数据源连接、数据抽取、数据导入和元数据著录等项工作。
③数据预处理层。主要是提供对从教学信息系统中抽取数据的预先存储与处理，按功能分为预处理数据库和统一信息视图库两个区域，预处理数据库为教学数据进入数据仓库之前提供数据缓冲服务，统一信息视图库为教学管理人员提供近实时的快速数据查询与报表功能。
④数据仓库层。主要提供教学数据的集中存储功能，包括教学数据仓库、数据集市和产品数据库。其中，数据仓库存储经过清洗、转换、集成处理后的原始粒度数据，为oLap和数据挖掘等提供持续、稳定、优质的数据服务；数据集市是数据仓库的子集，为面向专题的数据分析提供服务；数据产品主要包括在对统一信息视图和数据仓库进行相关数据操作后生成的一系列产品，如各种视图、专门定制的条件查询结果、oLap多维数据分析生成的图表、数据挖掘分析结果等。
⑤综合应用层。主要是面向不同用户提供多种数据应用，包括综合查询、统计报表、oLap和数据挖掘等。应用层的各种应用通过调用不同的数据服务，完成从数据仓库中进行数据获取、数据计算和数据可视化展现。此外，综合应用层还可以根据现有教学信息系统的数据需求，为其提供必要的数据服务。
3教学数据仓库模型设计
教学数据仓库采用多维数据模型进行设计，这种多维模型能够有效支撑数据分析与展现，提供高效的数据查询分析，实现对数据的全面理解与认识。在多维数据模型中，通过事实表和维度表进行数据的组织与管理，事实表与维度表通过公共属性建立关联关系。事实是数据分析的焦点，事实表包含了大量的院校教学数据，是多维模型的基本表，围绕院校教学主题进行组织，其中最有用的是数值型和可加型事实。维度是分析事物的角度，维度表中的值实际上就是事实表的粒度定义，并确定了相关数据项的取值范围。教学数据仓库采用典型的星形连接模型进行设计，事实表包含两个或者两个以上的外键，外键与维度表的主键连接，如图2所示。
下面，分别介绍教学数据仓库中主题、维度、事实和数据集市的设计。
3.1主题设计
数据仓库中的数据是面向主题的，每个主题域都以一组相关的事实表和维度表来实现。业务信息系统数据经过处理后，最终都要存储到这些表中。通过分析发现，院校教学工作的开展主要涉及教师、学员、学科、课程、教材、教学活动、教学管理和教学保障等8类对象，因此在其数据仓库设计过程中主要以8类实体对象为核心进行主题的提炼和细化，形成教学数据仓库的主题框架。以学员实体为例，其主题包括学员基本信息、学员受训信息、学员奖惩信息、学员任职经历信息、学员参加大项活动信息等。
3.2维度表设计
维度是观察事物的角度，它是条件查询、分组、报表标签生成的基本来源。教学数据仓库中的维度表包含许多属性，这些属性用于对维度表的行进行描述。在实际应用中，通常维度表的行数较少，但列数较大，这样做的目的是使得数据分类清晰，而且对每个类别都有详细的属性描述。教学数据仓库维度表基于现有业务信息系统中的各种分类进行设计，首先汇总各业务信息系统中的分类表，然后进行分类表的统一和规范，使其能在教学工作全局进行使用，最后结合实际教学工作需求对规范后的分类表进行筛选和补充，以满足数据多维分析的需求。在教学数据仓库众多维度表中，有很多维度表被多个事实表所共用，如时间维。
下面列举了数据仓库中学员和教学活动类别下的部分维度表。（表1、表2）
3.3事实表设计
在教学数据仓库中，通过事实表保存了大量教学详细事实，这些事实表示数据分析的基础。事实表通过外键与多个维度表连接。教学数据仓库遵循数据仓库设计的一般原则，在事实表中减少描述性信息，而是以数字类型与可加型事实为主，这也符合大部分数据挖掘分析算法对数据的要求。
在表1中已经对人员主题下的主题进行了列举，其主要事实表也即包括相应的学员基本信息、学员受训信息、学员奖惩信息、学员任职经历信息、学员参加大项活动信息等。以学员参加大项活动信息为例，其数据结构如表3所示。
3.4数据集市设计
在院校教学过程中，教学管理、学员管理、课程成绩分析、教学质量评估、教学能力评估等始终是各级领导关注的重点，是开展教学决策、提高教学质量的重要支撑。因此，围绕这些特定教学分析需求建立了数据集市，存储从数据仓库中进行筛选、集成、汇总，并经过统计分析后形成的数据，以快速高效的满足不同用户在特定方面的数据查询分析需求，有效支持oLap分析工具。部分数据集市具体如表4所示。
4教学数据仓库应用分析
教学数据仓库的构建，主要是用于满足综合性数据分析与应用，包括综合指标、数据统计、多维分析和数据挖掘等方面，为教学决策提供支持。
4.1综合指标
在院校教学管理过程中，决策者通常只关心能够直观有效反映当前院校教学总体情况的若干个关键指标，便于其客观、正确的判断教学总体形势，从而做出科学决策。这些指标针对院校教学管理中的焦点问题而提出，是由低层级的单项业务指标和高层级的综合业务指标构成的指标体系，能够为不同层级的决策者提供支持。教学指标通常需要跨主题、跨年度的教学数据进行计算，而数据仓库汇聚整合了教学相关的高质量数据，能够支持各类数据的快速提取和计算，最终得出指标值。
4.2数据统计
教学管理活动相关的规划设计、计划拟制、需求评估、经费测算等，离不开针对教员学员、教学活动、教学管理、教学保障等信息的统计计算。数据仓库中的各类教学按照应用主题进行存储管理，针对常用的数据统计，通过数据集市进行数据的定向组织，并通过预设的统计工具进行数据的计算，并生成数据统计报表，支撑院校教学管理活动的有序开展。
4.3多维分析
在日常教学过程中，有许多临时性、随机性的教学数据分析活动，这些分析活动需要的数据表没有定式，管理人员可以根据需要从不同角度对数据进行观察分析。在分析过程中，可充分利用数据仓库中的事实表和维度表，选择自己关心的指标和分析的口径，通过钻取、切片等操作，在同一张表中按照多个分析维度得到统计分析数据，实现对相关问题的全面准确把握。
4.4数据挖掘
当前，广大院校教育工作者已经意识到，海量教学数据中隐含着许多有用的知识，包括模式、规律、趋势等，对于教学工作至关重要。数据仓库中的数据是经过清理、整合的高质量数据，以其为基础，通过采用关联规则分析、聚类分析、决策树、文本挖掘等分析方法，能够挖掘出不同类型学员培养模式、课程设置优化方法、不同教学要素间的关联关系等，从而为有针对性的教学改革提供辅助，提升教学能力和水平。
5结束语
数据仓库能够实现面向主题的、集成的、随时间变化的数据集合的存储和管理，为有效解决院校教学数据管理中存在的不系统、不全面、不一致等问题提供了重要手段和方法。本文结合当前院校教学数据管理与使用中存在的问题，研究构建了院校教学数据仓库体系结构框架，并进行了数据仓库模型的设计研究，目的是通过提供高质量的数据，来支撑从海量数据中快速、准确的挖掘院校教学所需的高价值信息，从而为教学工作开展和决策支持提供支撑。
参考文献：
[1]williamH.inmon.数据仓库[m].四版.北京：机械工业出版社，2006.
[2]战晓苏，吴云浩，皮人杰，译.数据仓库设计：现代原理与方法[m].北京：清华大学出版社，2010.
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[4]邓雅琼.数据仓库和数据挖掘技术在高效统考课程成绩分析中的应用[D].广西师范大学，2011.
[5]孙剑.海洋环境数据仓库与数据挖掘应用研究[D].中国海洋大学，2011.
高中数学数的集合篇8
关键词：亲和力；简单化；数学内容；文数学是一门思维性比较灵活的学科，随着高中学生的知识水平得到了一定的积累，教材内容随着知识的更新其灵活性越来越大。通过研究高中数学教材，在理论化知识中，亲和力融入知识中，增强了学生学习数学的积极性，将死板的理论简易化，改善了学生对苏教版高中数学教材的整体认识。
一、教材章头图，引言具有亲和力
苏教版高中数学教材的第一章集合部分的章头图呈现的是：主题背景是辽阔的蓝天和白云，远处是一片片树林，近景是一片草地和一群大象……整个景象呈现的是自然美景，将其归类对象汇集在一起，呈现的是一幅“集合”的和谐景象，其中隐含的流露出子集、全集、交集、并集等概念，说明数学来源于生活。教师在引导教学中，通过让学生仔细观察章头图，总结该章节主要内容，让学生在图片中了解集合包含的关系、集合元素的有限和无限，在章头图中体现教材内容的亲和力。
例如，在高中数学必修二中呈现的景象是：天坛下，圆锥形的房顶，圆台形的屋檐，圆柱形的围栏、棱台形的招牌等，其中包含着多种几何图形，在画面中将其有序地组合，最终展现了古代劳动人民的辛勤和智慧，更好地反映数学学习内容，为学生提供了更好的图形引荐。
苏教版高中数学必修三第一章内容中，算法初步的引言：你会发电子邮件吗？假如你的朋友不会发电子邮件，你能教会他吗？……这些亲和力的语言，足以让学生更好地进入数学学习中，将数学学习内容与生活联系起来，理论联系实际，提高学习效率。
二、“问题串”引导，将学习内容简单化
高中数学教材注重对学生主动性的强调，体现了“过程也是教育目标”的概念，在学习中将教材内容与数学模型联系起来，在学习中将各个模块联系起来，培养学生多层面、多角度的学习感受。一系列的问题：数学是怎样产生的？怎样学习和研究数学？数学有什么作用？等等，在高中必修二教材中，学习立体几何一章，以简单的几何图形展开，在三维空间几何体中，通过对空间几何体逐步深入，体现了数学学习的理论性过程，在自然界的几何体中不断提出问题，逐步研究。逐步罗列出：空间几何体是由哪些几何体构成的？如何描述这些基本几何体的形状和大小？这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系？等等。一系列的问题，让学生带着问题进入数学研究，增强数学学习的积极性。
三、科学定位数学教材，顺其自然地学习数学内容
苏教版高中数学教材中，将知识更加自然化、科学化、系统化。例如“周期性”一章中，“日出日落……一系列自然界的规律，体现了周期性，又总结出周期运动，即圆周上一点的运动……怎样刻画数学圆周运动，周期性现象的研究等，让学生深入研究。例如：为什么要讨论锐角三角函数？回答：为了建立任意角的三角函数。为什么要建立任意三角函数？回答：任意三角函数能够为周期性现象建立数学模型，以科学来定位数学教材，将理论化的知识实际化，更具有研究意义。
四、自然界中深究文化内涵
苏教版数学教材中体现着浓厚的文化内涵，例如在必修教材的首页中：“数学是科学的大门和钥匙”“亲爱的同学们：你感到高中阶段的学习生活有趣吗？”……将数学学习与生活紧密相连，通过高中数学的学习让学生更理性地认识世界，创造新生活……数学在学习中作为一种语言，在内容和结构中，让学生在阅读首页的过程中体现一种亲和力，这样才能快速进入紧张的高中数学状态中，调节学习氛围。通过自然界的论述，为创造者提供了更科学的研究意义。引导人们在学习知识的同时重新认识世界，总结更科学的规律，提高认识层面。
通过研究苏教版高中数学教材，在学习文化知识的同时，逐步对学生或者读者进行内心世界的教导，最终体现学习数学的深层含义。在形式化的数学中，将其蕴含着生动活泼的思维过程表现出来，更加引发学生的思考，这种亲和力的数学学习有助于学生提高思想认识，将理论联系实际，从内心世界改变对数学学习的看法，提高学生学习的积极性，亲近数学，感受数学。
参考文献：
[1]王志军，魏俊良，王金娇.感受新课标苏教版高中数学教材的亲和力[J].教学与管理，2014（12）.
高中数学数的集合篇9
[关键词]高师音乐教学数码钢琴集体课
数码钢琴是在保留传统钢琴主要特点的基础上，运用电子信息技术，以数字音频采样，数码技术进行处理，而形成的一种多功能的电子合成乐器。数码钢琴集体课则是通过运用现代电子技术，将数码钢琴运用于钢琴教学中的教学模式；它利用先进的电子监控系统，可以把几台甚至更多的数码钢琴集中在一个教室内，同时把录像机、实物投影仪、CD、miDi等多媒体技术融于一个网络系统之中，利用中心控制台来实现各种教学的一种融数码科技、新的教育理念、音乐于一体的新型钢琴教学模式。目前，我们对数码钢琴音乐集体课还仅停留在缓解教育资源等这一肤浅的认识层面，对它的内在运行机制、教学优势及其在国内的发展现状与前景等方面还有待进一步的深入探究。
一、数码钢琴集体课的基本教学系统
1．完善的设备系统
数码钢琴集体课教学系统是融合了多种现代科技的计算机音乐多媒体系统。除了数码钢琴外，还必须配备有计算机音乐系统、音乐教学机、教师用高档数码钢琴（带音序功能的合成器）以及音频控制系统、视频投影系统、音像系统等。
（1）计算机音乐系统：计算机音乐系统一般包括三个部分：由电脑主机、相关软件、miDi接口、扫描仪和打印机等构成的计算机系统；由miDi控制器和合成音源、采样音源及鼓机等构成机、CD刻录机等构成的音响录音系统。
（2）教师琴中的音序系统：数码钢琴集体课教学系统除了配备若干台学生用数码钢琴外，一般还配有1台较为高级的教师用数码钢琴。教师数码钢琴具有多样化的重奏功能和多乐器自动伴奏功能，有的还具有强大的音乐制作――音序功能，可播放现有的标准miDi乐曲，可为钢琴教学提供管弦乐团背景伴奏和协奏。
（3）数码钢琴miDi音乐教学机：音乐教学机外形设计小巧，易操作、便携带，适合教学使用。同时它具有多音轨播放功能，可以任意将其中的音轨消音来进行合奏，具备有反复练习和特殊的节拍器功能，播放、静音、反复，或者改变速度、改变调，变得非常简单。
2．规范的授课系统
数码钢琴集体课也需要遵循预先设定的课堂教学运作程序，它的新型授课系统大致可以分为三个阶段进行：
（1）集体回课。集体回课是复习检查作业的方式，让学生齐奏上节课学过的曲目。在此过程中，教师重点指出技能练习中的优长和缺陷，进一步明确演奏要求。间或进行分组演奏，分析讨论，找出不足；回课后即导入新课，体现新课题之间的内在联系和衔接。
（2）系统授课。讲授新课包括以下各基本环节：作新课题的理论讲解及课题技术示范，强调在许多常用调上变换弹奏，启发学生加深理解，尽快熟悉键盘；布置学习新的课题曲目，提出要求并指导学生进行练习；随后采用不同手法演奏新的课题曲目；转入学生当堂练习，随时发现问题及时加以调整等。
（3）简短结课。每次上完新课，教师对全课教学过程要进行总结，对学生的回课表现情况给予当堂打分并记录在案，作为综合考评学生学业成绩的重要依据。统一布置课后作业，明确提示作业要求，布置新课题的预习。
二、数码钢琴集体课的教学特色优势分析
“数码钢琴集体课”打破了旧的教学模式，充分展示了现代化的教学设备、形式和理念，如键盘乐理、和声、曲式、复调、配器、合奏等。它把高师音乐教育专业的众多课程有机地、科学合理地综合起来，创造了一个融技巧、理论、实践为一体的全新的教学体系。
与传统的钢琴授课相比较，数码钢琴集体课特色优势主要有以下几点：
数码钢琴集体课的教学理念和教学条件使教学的效率大大提高。一对多的授课方式使授课效率高而且成本低，同时学生互不干扰又增加了练琴时间，最后还能够对学生进行统一管理；教学形式新颖、效果丰富。与传统钢琴相比，数码钢琴独有的软硬件配置和功能，为课堂教学增添了许多新颖有趣的形式和手段。在此基础之上，数码钢琴集体课的教学形式使单一的技巧课向集体的合奏课延伸；数码钢琴集体课拓宽教学范围，增强针对性、实用性。数码钢琴集体课把乐理、和声、视奏、即兴演奏、即兴伴奏、即兴创作等内容有机地融会在课堂中，使钢琴作为工具性乐器的优势得到充分的发挥；另外，数码钢琴集体课使师范院校音乐教育专业教学的理论与实践紧密结合起来，把单一的技巧课转变为多样化的综合课；数码钢琴集体课的课堂实施操作程序，增强了技能教学过程的规范化和计划性。个别课中教师有主观随意性和即兴性很大，而在数码钢琴集体课上，面对一组学生，教师讲授的兴趣普遍提高，按照事先拟定的教学计划，有步骤、有重点地讲授演奏理论与技巧方法，使学生获得更加系统和全面的知识与技能；授课气氛活跃、轻松愉快。在传统的学习钢琴演奏的单独授课时，“见老师紧张”是大多数学生学习中的障碍。全新的数码钢琴集体课教学方式改变了传统教学中学生的被动地位，变被动为主动，促进了学生对知识的理解，并使学生在学习中有一种“亲临其境”的感受，从而提高了学习兴趣。同时，学生面对也有一定距离的老师，心理、大脑及身体处于放松状态，学生能有效地投入到学习中去。
三、国内高师数码钢琴集体课的焦点问题
高师数码钢琴集体课作为体现高师音乐教学特色手段之一，具有强大的优越性和生命力，在我国的高师院校也发展迅速。但是作为新的教学方法，目前仍存在一些焦点问题，成为高师数码钢琴集体课教学改革的基本出发点，对于这些问题，论述如下：
1．设备的差异性问题
数码钢琴与传统钢琴在音质和触感上有明显差异，这是焦点问题――数码钢琴能不能达到传统钢琴那样的练习效果的基本出发点。许多钢琴教师觉得在数码钢琴课上找不到传统钢琴那样的触键感觉和声音效果，使得数码钢琴的练习不能替代传统钢琴的练习。数码钢琴在触键感觉及音质上与传统钢琴确有差异，但这种差异不仅与琴的类型和结构有关，也与演奏者对其熟悉、适应程度有关。与传统钢琴相比，其键盘力度较轻，声音相对缺乏层次。如果教学处理不当，学生容易失去对音色、力度的控制和情感的追求，手指触键不积极，只满足于把音符弹出，演奏得平平淡淡，变成一种消极、机械的手指运动，而传统钢琴也并非尽善尽美，它比数码钢琴笨重，还要经常调音等等。数码钢琴毕竟是一种发展中的乐器，我们必须在实践中去发现其中的规律性，总结经验。
2．授课人数的差异性问题
学生由于个人生活环境和内在音乐素质的不同，存在着很多差异。学生程度参差不齐、进度快慢不一是集体课教学的首要难题，也是教师最为头痛的问题。在钢琴集体课教学中，由于受其教学形式和课时的限制，教师不能逐一听完同学们的回课，这使教师不能全面地了解学生，更不用说进行细致的点评。而教师的指导也局限于指出大多数学生的共性问题，很难对每一位学生做“对症下药”、“量体裁衣”的辅导。所以，集体教学能不能保证良好的教学效果也成为一个焦点问题。毋庸置疑，集体课在技术训练的精细程度上和因人制宜地解决问题方面的确比不上个别课。但教学效果的好坏取决于多方面的因素，教学形式的选择也与培养目标和要求有关。高师钢琴必修课是一门专业基础课程，它的目标不是培养专业的钢琴演奏家，而是把钢琴作为其他专业课程学习和日后教学工作的辅助工具。因此，数码钢琴集体教学在高师钢琴基础课培养目标的定位上更为合理，对学生综合音乐素质和实际工作能力的培养也更为有利。
3．数码钢琴集体课的教材问题
数码钢琴集体教学在教学内容和教学方法上不同于个别教学，它增加了乐理、和声、视奏、即兴演奏、即兴伴奏等学习内容，补充了重奏、合奏等演奏形式，融入了世界最新的教育理论和优秀的音乐教学法，因此很难完全照搬传统的教材体系和教学法体系。现在国内已有一些院校尝试编写了部分教材，但似乎仍未跳出传统教材的框架，仅仅做了一些局部的改良，而没有整体性、革命性的转变。所以教材问题至今仍是制约数码钢琴集体课教学效果的瓶颈。
四、高师数码钢琴集体课的创新对策分析
1．更新教学观念
国内高师数码钢琴集体课教学大部分刚刚起步，尚处于探索试用阶段。由于其教学法体系和教材体系尚未完全建立，许多教师仍然沿用个别课的教材和教法上集体课，习惯了传统钢琴个别课教学的教师对数码钢琴集体课有顾虑甚至有偏见，总在担心它会影响教学效果。所以数码钢琴集体教学的优越性还未得到充分的体现，这也是一些教师对数码钢琴集体课缺乏信心的原因之一。作为一个负责的教师，必须先更新观念，从深入认识新的教学方式的角度出发，积极探索，才是提高高师数码钢琴集体课教学效果的基本出路。
2．完善教材体系
没有一套科学、系统和成熟的教材，完全依靠教师个人的努力去选择和补充教材，很难保证数码钢琴集体教学的效果。为了构筑科学的数码钢琴集体教学体系，必须下大力气编写出适合高师实际需要的数码钢琴集体教学专用教材。现代传媒技术的高度发展，使信息的获取和交流越来越方便快捷，国内外优秀的集体课教材编写思路和经验都可以兼收并蓄，为我所用。在学习、借鉴和研究、实验的基础上，不懈努力，争取出一批具有中国特色的、科学实用的数码钢琴集体课教材。
3．坚持因材施教
目前根据国内外集体课教学的成功经验和作者多年的教学总结，坚持因材施教是弥补数码钢琴集体课的不足的重要手段之一。方法如下：先考核，后分班。在编班分组之前对学生进行考核，按照学生的演奏程度进行分组，及时调整。学习一段时间后，要根据学生进度和程度重新调整班组；提供补救措施。对进度较慢的学生进行重点辅导，给进度快的学生提供附加作业。这样既适应了学生的个别差异、人尽其才；加大重奏、合奏的比重。根据学生不同的程度选用或编写重奏、合奏谱，让程度低的学生演奏浅易的声部，程度高的学生演奏较难的声部，使大家都能胜任愉快的合作；每组人数要适中，通常以12-20人左右为宜。
4．设立评价体系
数码钢琴集体课的教学目的、教学内容有别于传统的钢琴个别课，因此不能完全沿用传统的评价体系和考核方法。要在严密考查、论证的基础上，逐步建立一套适用于数码钢琴集体课教学的、科学完整的评价体系。新的体系要有开放性、发展性、综合性和多元化的特点。要弱化甄别与选拔功能，强化改进与激励功能，弱化对结果的评价，强化对过程和发展的评价。学生的学习态度、出勤情况、进步幅度都应在考评之列；要改变只以弹奏难度和质量来评价学生成绩的方法，全面评价学生掌握基本技巧及综合素质、综合能力发展的情况；要从对演奏水平的单一考查，扩展到对即兴伴奏、即兴演奏和创造性能力的考查。要制订详尽的考核细则，使其具有良好的可操作性，并使教师和学生都明白无误、严格遵循。
总之，数码钢琴集体课的教学模式，是基于传统钢琴教学模式上发展起来的，是其与现代科技结合以后的自然延伸，它是吸取了传统钢琴音乐教育中一切正确有效的教育思想、教学原则和教学方法、教学手段，并结合运用现代科学技术成果而进行的新型教育活动。这一新的教学模式又是针对传统钢琴教育的一次全面深刻的改革，所以，深入探究数码钢琴集体课的教学特点和内在本质是高师钢琴教学的创新路径之一。
参考文献：
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高中数学数的集合篇10
关键词：集合；范围；空集
中图分类号：G633.6文献标识码：a文章编号：1992-7711（2014）01-0006
人们日常逛超市、买苹果的时候，徒手可以拿几个苹果？不过五六个而已。超市的工作人员为了方便顾客购物，时常会准备购物袋，以方便顾客盛装物品。在数学中，我们也总想找到合适的“器具”，把零散的数学对象“装”在一起，以方便我们研究和应用。这样的一个工具，就是集合。
看过《动物世界》的同学们都知道这样一个事实：大型野生食肉动物，在离开母亲独立生活后，要找寻并建立自己的领地，而它们确定自己领地的办法，就是围绕着领地排泄，用自己的气味来划定疆域，告诉其他食肉动物，这里是我的领地，这里只有我能纵横驰骋，侵犯我领地者需要付出血的代价。
其实，在我们人类日常的生活中，类似的行为比比皆是，小学生同桌之间的“三八线”就是在宣告自己的势力范围；国家之间的国界线也是在宣告一个国家的范围；我们的家是我们自己的生活范围，别人未经允许私自闯入是违法的。而所有这些范围，都有一个共同特点：有明确的边界。国界有国界线，家有墙壁和房门，这些明确的边界是形成我们需要的范围的关键。
现在，我们来看看高中数学最基础的概念：集合
集合定义：研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫做集合。
生活观：集合的本质是范围
依据：元素的三要素：确定性、互异性、无序性中，最根本的是确定性，它决定一类事物的总体是否能成为集合。对于任意一个元素而言，它是否在某个总体内是明确的，要么是、要么不是，两者必居其一且只居其一，否则，这个总体就不能构成集合。例如：“年轻人”就不能构成集合，以一个三十岁的青年来说，对于其父母而言，他理所当然是年轻人，可是对于我们在读的高中生而言，这个家伙已经三十而立了，怎么能算是年轻人呢！而“三十岁以下的年轻人”就可以构成集合，因为对任何一个人而言，他是否在这个总体内是明确的、确定的。
这不正是我们形成范围的关键：明确的边界吗？换言之，集合中元素的确定性正是要求集合必须具备能够明确区分其内外的边界。所以，我们说，集合的实质是范围。
有了这样一个直观易懂的理解，关于集合的大多数题目，我们就可以快速解决了！
例1.a={圆}B={直线}，则a∩B=（）
a.1个点B.1个或2个点
C.D.0个或1个或2个点
解析：对于这个题目，很多高年级的同学都会错选D，何况我们刚进入高中学习生活的同学呢？请注意，集合a并不是圆，集合B也不是直线。如果集合a为圆，集合B为直线，那么a∩B理所当然应该选D。但事实上，集合a是圆的集合，是所有圆组成的范围；集合B是直线的集合，是所有直线组成的范围，a∩B就是问：既是圆又是直线的事物组成的范围。这样的事物存在吗？既然不存在，那么没有元素的集合当然为空集，即本题的正确答案为C。
从本例，我们还可以获得一个经验：不同类的集合是不能交的，一旦要进行交集运算，其结果必然为空集。又如：a={x2x2-5x-3=0}，B={（x，y）y=2x2-5x-3=0}，则a∩B=。集合a为数集，集合B为点集，无需多虑，其结果必然是。
事实上，只有同类集合（范围）才能比较大小。比如：我们要比较集合a={人}与集合B{牛}哪个范围大？这怎么比？论数量，应该是人多，现在地球已经有人口六十多亿了；比体形，当然是牛的体形大。所以，非同类集合是不能比较大小的。而正是因为只有同类集合才能比较大小，这才产生了子集、补集的概念。
子集――母子公司，子公司的产品都是母公司的产品；交集――产研结合，科研院所与企业合作共同开发新产品，新产品是他们的公共产权；并集――院校合并，包头钢铁学院、包头师范学院、包头医学院三校合并成为内蒙古科技大学，原三校的学生都是合并后内蒙古科技大学的学生；补集――优势互补，中国为全集，港澳台为其子集，大陆也为其子集，双方优势互补，共同为中华民族的伟大复兴而奋斗。
例2.f（x）=x2+x-1，m={xx=f（x）}，n={yy=f（x）}则（）
a.m=nB.m∩n=C.m∪n=nD.m=R
解析：有了上述观点，有同学可能会不假思索地认为答案是B，因为m集合的元素是x，集合n的元素是y，根据刚才的观点，答案理所当然是B啊！事实上，集合m是数的集合，集合n亦为数的集合，虽然元素的代表符号不同，表达的内在含义不同，但它们是同类集合，交集不一定为。
解法一：集合m的元素为实数，且这些实数为方程x=f（x）=x2+x-1的根，即得m={-1，1}，集合n的元素为实数，且这些实数为函数y=f（x）=x2+x-1的函数值，即集合n为函数y=x2+x-1的值域，即得n=[-■，+∞），即正确选项为C。
解法二：集合n为函数y=x2+x-1的值域，集合m的元素x=f（x）=x2+x-1，必为函数f（x）=x2+x-1的某些函数值，故mn
m∪n=n
解法二简洁有效，避免了一元二次方程求根和二次函数求最值，是范围观的一次成功应用。
在集合的学习中，我们还要特别注意空集的存在，很多同学往往是因为忽略的空集的存在，而导致解题错误的。
例3.a={x2x2-5x-3=0}，B={xmx=1}，Ba，则m可能的值有（）
a.2个B.3个C.1个D.以上均不对
解析：本题其实不用一元二次方程求根，只需要判断出该一元二次方程>0有两个不等的实根即可，Ba即B中的元素均为a中的元素，即可知m的取值至少有两个，此时，请各位同学特别注意：Ba，则B可以为，而此时m=0即可。故正确的答案为B。
通过例2、例3，我们还看到：其实数学试题并不是每道题都要动笔计算的，很多小题，完全没有必要小题大做，我们只需要用我们掌握的数学思想、数学理念稍作分析，即可“拨开迷雾见月明”，快速而简洁地得到正确答案。很多同学考试总是答不完题目，感觉自己计算能力差、基础不扎实，其实是没有深刻理解所学数学知识的思想内涵，没有小题小做的解题意识而导致的。
例4.a={x-2≤x≤3}，B={xm≤x≤2m-1}，a∪B=a，则m取值范围为。
解：a∪B=aBa，利用范围意识，在数轴上画出集合a，显而易见应该有：m≥-22m-1≤3m≤2m-1m≥-2m≤2m∈[1，2]m≤1，此时切莫得意，再仔细观察Ba，即B可以是的，而此时只需要m>2m-1
m
从例3、例4，我们又可以看到：在集合问题涉及Ba，a∩B=，a∪B=a时，我们要特别小心谨慎，务必要考察范围较小的集合a是否为，只有这样，我们才能避开空集的陷阱，使我们的解题能力、考试成绩更上一层楼。
综上所述，集合可以理解为特定对象的范围，而范围最大的特点是有边界，可以形象具体地画出来（韦恩图）。我们在后面函数部分学习的区间，其实就是画在实数轴上的范围，是集合。这样，我们就可以利用韦恩图形象具体快捷地解决集合问题。所以，如果学生们在解决集合问题的时候遇到了障碍，我们不妨画画韦恩图，这样，往往能收到出奇制胜之效。