初中数学垂直定理篇1
关键词：初中数学信息化教学教学策略应用分析
引言
随着微课、ppt等多媒体资源在教学中的应用，信息化教学的概念逐渐深入人心，这种现代化的教学方式使教学内容中的重难点更突出，同时教师利用声音、影响、色彩、文字的传递，对学生的视觉、听觉、触觉形成多样化的刺激，让他们在真实的情景中产生学习兴趣，进而实现思维发展，而初中数学由于其抽象化概念比较多，导致学生在学习与应用中困难重重，因此在初中数学教学中利用信息化手段，对于推进学生建立具象化数学思维具有重要意义。
一、信息化教学概述
1.信息化教学的涵义
信息化教学是指教师在信息化教育理念的指导下，充分运用信息技术改革教育、提高教育质量与效能的实践活动。信息化教学的特征可以从两个层面加以分析：其一，从技术层面上看，信息化教学的整个教学实践过程基本实现了数字化、网络化、智能化和多媒体化；其二，从教育层面上看，相较于传统教学模式，信息化教学不论从教学内容还是教学手段上都具有开放性、直观性、共享性、交互性、协作性、选择性和复杂性。
2.信息化教学策略的内容
与传统教学策略不同，信息化教学策略强调的是“互动”与“指导”，因此在这一策略的指导下，其教学内容主要包含以下方面：教学任务的设计，即教师根据知识点确定教学目标，并将学习任务以问题、任务、情境等形式加以呈现；教学情境设计，即教师在充分考虑知识内容特征和学生特点的基础上，将知识融入情境，保证学生能够顺利接受知识；教学管理的设计，即教师要在教学活动之前，对学生的学习活动进行周密的安排与规划，保证课堂教学节奏按照教学目标有序进行；教学评价设计，即教师利用信息化资源，针对学生的差异性，开展不同的教学评价，实现教学结果的验收。
二、初中数学教学中信息化教学策略的应用
理论研究是为了指导实践，因此笔者本着理论联系实际的研究方法，利用初中数学中“两条直线的位置关系”这一节的教学内容，进一步分析信息化教学策略在数学中的应用。
1.教学目标：了解“相互垂直”和“垂足”的概念，会用垂直符号表示两条直线垂直；能够利用三角尺或者网格画出两条相互垂直的直线；能够掌握“过一点画已知直线的垂线”的画法，并理解垂线的两条基本性质。
2.教学环境：网络多媒体环境教学环境。
3.信息化教学思路：将微信群、微课、电子白板等现代化教学工具应用于教学的全过程，例如在课前复习中，利用微信群向学生布置复习内容，在课上利用微课讲解“垂线基本性质”的重难点部分，同时利用电子白板板书中的“记号笔”功能，将课程的重难点标注出来，引起学生的注意，最后将微课和电子白板板书上传至微信群，供学生课后复习巩固。
4.教学流程
4.1情境创设引入垂线。通过幻灯片展示斑马线的图片，并让学生思考，为什么斑马线要这样画？斑马线与其两边道路有什么关系？
4.2自主探究，理解垂直定义。教师首先引导学生将正方形纸板对折两次，并提出问题：相交的折痕的交角有什么特点？学生经过观察、测量后发现，这四个交角均为直角，然后教师根据学生的回答，引导学生对两直线的垂直关系进行自主定义，有的学生回答：当两条直线的四个交角均为直角时，两直线垂直，最后教师根据学生的回答，引导学生进一步精简垂直条件，最后得出：如果两条相交直线的四个交角中，有一个是直角，那么这两条直线垂直。
4.3问题探究，发现垂线段最短。教师利用ppt出示最开始的“斑马线”问题，并利用电子白板加以演示：教师先画一条垂直与两条平行路线的直线，然后从垂直开始向道路的两方运动，学生观察夹在两条路之间线段长度的改变，得出垂线段最短的结论。
4.4回归生活，学以致用。教师首先提出一个常识性问题：我们如何测量跳远的成绩？然后利用ppt展示问题，并让学生根据幻灯片的内容结合垂直的相关知识加以解释；最后，教师利用电子白板画图演示测量跳远的成绩，提高学生运用知识的能力。
4.5分层评价，个性发展。根据学生的对知识点的掌握情况教师将作业分成a、B、C三档，当堂检测先完成a，全体参与；在对a档作业批改的过程中，对于那些完成速度较快、作业质量较高的同学，教师鼓励其继续完成B，C档作业，而针对那些a档作业完成困难，且出现较多错误的学生，教师根据其作业中出现的错误进行针对性练习，以巩固重难点知识。
三、结语
随着信息化技术的不断进步，信息化教学已经成为现代教育发展的主要趋势，因此初中数学教师应该坚持与时俱进的教学理念，将抽象化的数学转换成声“形”并茂的具象化数学，从而让学生在生动、有趣的教学中爱上数学。
参考文献：
[1]丛秀霞.初中数学教学中信息化教学策略的应用[J].中国校外教育，2016，09：156.
初中数学垂直定理篇2
勾股定理是初中数学中非常重要的一个定理[1]。它很好地解释了直角三角形中三条边之间的数量关系，对于几何学当中有关直角三角形的计算机证明问题，利用勾股定理往往能够迎刃而解，使学生快速掌握解决方法。同时，在日常生活及工作当中，勾股定理的应用也非常广泛。因此，在初中数学教学过程中，充分利用好勾股定理这一有效手段进行解题显得尤为重要。笔者结合多年的教学经验，利用勾股定理，对初中数学当中的“线段求长问题”、“求角问题”、“证明垂直问题”及“实际问题”进行了分析与探究，希望以此能够为初中数学教学提供有效依据。
2勾股定理在线段问题中的应用
在初中数学中，一些“线段求长”问题使用常规方面解决常表现的较为棘手，而使用勾股定理往往能够得以有效解决。例题1：如图1，在三角形aBC中，已知：∠aBC＝90°，aB＝BC，三角形的三个顶点分别位于相互平行的三条直接l1、l2、l3上，并且l1与l2之间的距离为2，l2,与l3之间的距离为3，求aC的长度。解：过a作l3的垂线交l3于D，过C作l3的垂线交l3于e，由已知条件：∠aBC＝90°，aB＝BC，得：RtaBD与RtBeC全等；所以，aD＝Be＝3，DB＝Ce＝5；进而得：aB2＝BC2＝32＋52＝9＋25＝34；在直角三角形aBC中，aC2＝aB2＋BC2＝68，所以：aC=217姨
3勾股定理在求角问题中的应用
在初中数学当中，有些求角问题使用常规方法难以解决，而使用勾股定理则能够很快地解决。因此，将在求角问题中充分应用勾股定理便有着实质性的作用[2]。例题2：如图2，在等边aBC中，有一点p，已知pa、pB、pC分别等于3、4、5，试问∠apB等于多少度？解：把apC绕着点a旋转，旋转至aBQ，让aB和aC能够重合；此时，ap＝aQ＝3，BQ＝pC＝5，，∠paQ＝∠BaC＝60°；所以，paQ是等边三角形；所以，pQ＝3；在三角形pBQ当中，pB、BQ分别等于4、5，所以，三角形pBQ是直角三角形，其中∠BpQ＝90°；所以，∠apB＝∠BpQ＋∠apQ＝90°+60°＝150°。
4勾股定理在证明垂直问题中的应用
在初中数学当中，一些证明垂直的问题如果利用勾股定理进行求解，那么将能够达到事半功倍的效果。下面笔者结合有关证明垂直问题的题型展开讨论。例题3：如图3所示，已知aB＝4，BC＝12，CD＝13，Da＝3，aBaD，证明：BCBD[3]。证明：由已知条件aBaD可知，在三角形aBD中，∠BaD＝90°；因为aD、aB分别为3、4，由勾股定理可知：BD2＝aB2＋aD2＝32＋42，求得：BD＝5，又因为BD2＋BC2＝52＋122＝132＝CD2；因此，三角形DBC为直角三角形，其中∠CBD＝90°；所以，BCBD。
5勾股定理在实际问题中的应用
对于勾股定理，还能够解决实际问题，并且这些实际问题都是在日常生活中可以看到的。例题4：一棵小树高为4米，现有小鸟a停留在树梢上，此时小鸟B停留在高20米的一棵大树树梢上发出友好的叫声，已知大树与小树的距离为12米，如果小鸟a以4m/s的速度飞往大树树梢，试问：小鸟a至少需要多长时间才能够与小鸟B在一起？解：如图4，根据题干的已知条件可知，aC＝16m，BC＝12m，由勾股定理得：aB2＝aC2＋BC2＝162＋122，求得aB＝20m；所以，小鸟a所需时间为20/4＝5秒。笔者认为，利用勾股定理解决实际问题，需要弄清题意，进而对题目中所涉及的直角三角形找出来，然后结合勾股定理进行求解[4]。在例题4中，最主要的步骤便是依照题意，结合勾股定理，然后画出大树与小树之间的直角三角形，在充分利用已知条件的基础上，便能够使问题有效解决。
6结语
初中数学垂直定理篇3
关键词:高中数学课堂教学教学设计
一、教学背景分析
1.教材结构分析。
“两直线的位置关系”安排在《全日制普通高级中学教科书(必修)数学》第二册(上)第七章第3节第一课时。主要内容是两直线平行与垂直条件的推导和公式的应用,从初中平面解析几何中平行和垂直的定性过渡到高中解析几何的定量计算。它是学生在研究了直线倾斜角、斜率、直线方程的基础上学习的又一平面解析几何的基础知识。本节的研究,将直接影响以后的曲线方程、导数、微分等的进一步学习,贯穿于高中教学的始终,具有承上启下的作用。
2.学情分析。
两条直线位置关系的探究是学生在已经掌握了三角函数、平面向量的基础上进行的。说明学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力。但由于学生接触平面解析几何的时间还不长,学习程度较浅,特别是处理抽象问题的能力还有待提高,在学习过程中可能会出现困难,因此,教师要在今后的教学滚动中逐步深化,使之和学生的知识结构同步发展完善。
3.教学目标。
(1)知识和技能目标。
①理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应用。
②能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
(2)过程与方法目标。
①通过探索两条直线平行或垂直的充要条件和推导过程,培养学生“会观察”、“敢归纳”、“善建构”的逻辑思维能力,渗透算法的思想。
②通过灵活运用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力。
(3)情感态度和价值目标。
徐利治先生曾指出:“数学教育与数学教学的目标之一,应当让学生获得对数学美的审美能力,从而既有利于激发他们对数学科学的爱好,又有助于增长他们的创造发明能力。”因此,培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣即成为本节的情感目标。
4.教学重点与难点。
根据学生现状、教学目标及教材内容分析,确立本节课的教学重点为两条直线垂直和平行的条件。一个定理、公式的运用固然重要,但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法,通过启发学生用平行线同位角关系的判定、性质定理,以及倾斜角、斜率的对应关系探求两直线平行与垂直的充要条件,引导学生理清思考脉络,培养学生勤于动脑、勇于探索的精神。
教学难点为两直线平行与垂直问题转化为与两直线斜率的关系问题。突破难点的关键是在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略,利用类比归纳的思想,由浅入深,让学生自主探究,分析发现两直线平行、垂直的规律。
二、教法学法分析
1.教法分析。
基于本节通过引导学生了解数形结合数学方法,我采用合作探究式教学法及类比发现式教学模式,对数学知识结构进行创造性的“教学加工”,将教材中单一、静态的数学知识转化为学生多样、动态的思考。我用环环相扣的问题将探究活动层层深入,使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”,促进学生和谐、自主、个性化发展。
2.学法分析。
我让学生通过观察直线方程的特点,将初中学过的两直线平行和垂直的判定定理和性质转化成坐标系中的语言,用斜率重新刻画有关条件;并启发学生用平面几何中平行线与同位角关系的判定定理和性质定理,以及倾斜角与斜率的对应关系,由学生自己得出两条直线平行和垂直的充要条件,使学生在思维训练的过程中,感受数学知识的魅力,成为学习的主人。
三、教学过程与设计
教学手段:几何画板、计算机课件辅助教学。
1.复习旧知,以旧悟新。
(1)复习初中的平面几何知识。
(2)自问自答:为什么我们现在又要来学习两条直线的位置关系呢?因为我们现在学习了平面解析几何,所以就可以在直角坐标系中把直线的方程建立起来。也就是说在前面引入了斜率、点斜式、斜截式等概念后,我们就能够用代数的方法来讨论一些几何的问题,所以,怎样通过两直线方程的特点来判断两直线平行与垂直的位置关系呢?这就是我们这节课讨论问题的主要任务。
目的:我通过对已有知识的回顾和深入分析,以问题制造悬念、带着问题走进课堂,让学生主动去探究问题,体验知识发生发展的过程。
2.提出问题,寻找规律。
第一部分为新知的发现奠定基础后,我分别给出两组平行的直线,让学生自己做图,然后在自主合作的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述。我利用几何画板工具引导学生观察同位角、倾斜角、斜率的对应关系,引导中既说明了平行条件的证明,又回避了教材中单独的、枯燥的证明,然后巧妙地加以引导、点拨,放大到两条直线垂直关系的探究上。
目的:由特殊到一般,由具体到抽象,由低级到高级的认知顺序引出平行的充要条件,学生比较容易接受,同时激发学生发现平行充要条件的强烈欲望。
3.深入探究,获得新知。
(1)创设问题:平行的时候,学生能够把直线的平行转化为讨论直线方程的斜率来判定,同样的我们能否用斜率来讨论两直线的垂直关系呢?
(2)分别给出两组垂直的直线,让学生自己作图、发现规律。在讨论中提醒学生:若两直线的斜率存在,他们之间有何关系?用量角器或三角形来量一下画出的图形的夹角有什么特点?
(3)根据高二年级学生的学习状况和认知规律,我给出几组直线的数据让学生利用其发现的规律来验证,将教学信息及时反馈给教师。
(4)教师教学讲究深入浅出,对于本课的教学难点,待学生发现了规律后引导其利用向量知识来证明,让学生达到从感性认识上升到理性认识的平衡。
目的:现代教学论指出:“教学是师生的多边活动,在教师的‘反馈―控制’的同时,每个学生也都在进行着微观的‘反馈―控制’。”因此,教师要及时掌握学生接受知识的程度,从而进行有效调控。对平行和垂直的讨论中,我鼓励学生将其讨论的结果以分享的方式和大家交流,构造这样一种双向交流、宽松的环境组织教学,既锻炼他们的表达能力,又培养他们的数学思维能力。
4.应用举例,巩固提高。
我通过例题来进一步巩固达到讲与练的平衡,引导讨论,质疑解惑,在开放的情景中推进教学过程,在点评聚焦中形成知识要义。选的例题难度控制在大部分学生能接受的范围,分析各组题时让学生先养成找出平行与垂直充要条件的习惯,以突破学习难点。
5.总结反馈,拓展引申。
讲评结束时为加深对数学本质的理解,我让学生反思,概括出本堂课的学习内容:平行与垂直的条件;应注意哪些问题;怎样根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
以上就是我对本节课的教学设计。新理念下高中数学课堂教学的探索是一个长期的过程,充分挖掘数学的应用价值、思维价值和人文价值,需要我们不断创新,与时俱进。
参考文献:
[1]张健.数学课堂教学改革的基本要义[J].中学数学教学参考,2008,(3):7-12.
[2]杜晓文.点到直线的位置关系说课教案.省略.
初中数学垂直定理篇4
关键词：高中椭圆垂径定理
中图分类号：G633.6文献标识码：a文章编号：1673-9795（2014）01（a）-0096-01
1椭圆的垂径定理
正如我们初中所学垂径定理是圆的特性其定理为：垂直于弦的直径平分这条弦，显然这在椭圆中并不成立，那么我们该如何在椭圆中运用垂径定理呢？首先我们就必须作如下的变换：
先对椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax’，y=by’的坐标转换。在这种转换下，xoy平面内的任一点p（x，y）转换为x'o’y'平面内的点p’（x'，y'）。椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1也就转换为x'o’y’[1]
平面内的单位圆x'^2+y'^2=1。需要注意的是被转化的椭圆的方程是标准方程。而关于椭圆的一般方程我们可以现将其经过坐标转换，转换成标准方程，由于高中一般不接触一般方程就不在赘述。
2椭圆垂径定理的证明
设椭圆方程为x^2/a^2+y^/b^2=1求椭圆所有斜率为k的弦的中点轨迹方程。
运用点差法设弦（x1，y1），（x2，y2）与椭圆分别交于不同的两点由于点在直线上有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1，x2^2/a^2+y2^2/b^2=1两式相减两边同除（x1-x2）得（两点不重合）：（x1-x2）（x1+x2）/a^2+（y1-y2）（y1+y2）/b^2=0。我们注意到（y1-y2）/（x1-x2）是弦的斜率为k。那么设弦的中心点为（x0，y0）则有x0=（x1+x2）/2，y0=（y1+y2），带入上式可得y0=-x0b^2/ka^2[2]。
至此题目已经解完了我们可以看出弦中点的轨迹是一条过原点的线段，注意到y0/x0是轨迹直线的斜率，若设其为k′则有我们得到平行弦斜率kk′与轨迹直线斜率b^2/a^2乘积的一个关系。
因为对于这个结论的认识不够深刻，许多同学在进行记忆的时候会遇到一些困难。但如果从垂径定理的角度进行类比便会发现较大的相似。如果我们使用上面的转换方法将椭圆转化成圆那，那么在新的坐标系中原来得出斜率关系也发生了一定的变化，根据两个坐标系的长度关系可以得出在新坐标系中y'/x'=1，k・k'=-b^2/a^2。
这与之前推导的结论一致，从中我们可以看出无论在圆中还是在椭圆中两条直线都是垂直的，只是由于坐标系做了伸缩变换使得原先的乘积发生了改变。事实上双曲线中也存在类似的结论。
3椭圆垂径定理的运用
将椭圆方程转化成圆的标准方程后，椭圆就被我们“转化成了”圆，那么在解决一些问题时，我们就可以使用圆的垂径定理来解决。
3.1判断直线和椭圆位置关系
常规解法应该是直线与椭圆方程联立根据方程解的个数来判断直线与椭圆的位置关系。显然这样是很复杂的。但如果把椭圆圆化，此问题便转化为直线与圆的位置关系了。一般化情况下，直线ax+By+C=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置关系讨论如前所述，首先作变换x=ax'，y=by'，那么直线和椭圆分别转化为直线aax’+bBy'+
C=0和单位圆x’^2+y’^2=1。得到圆心到直线距离公式d=|C|/（a^2a^2+b^2B^2）[3-4]。（这个公式是不改变的）原来的直线和椭圆相交，就是转化后的直线和圆相交，那么d0。同理，直线和椭圆相切，就是转化后的直线和圆相切，a^2a^2+b^2B^2-C^2=0；直线和椭圆相离，a^2a^2+b^2B^2-C^2
4结论
通过第一节的论证我们知道垂径定理在椭圆里也是可以使用的，而且从第二节中的分析我们可以看出：如果使用得当那么垂径原理对简化运算有着很大帮助，此外在双曲线中垂径原理也可以得到一定的运用。读者可自行尝试。
参考文献
[1]KaufmannH，SchmalstiegD.mathematicsandgeometryeducationwithcollaborativeaugmentedreality[J].Computers&Graphics，2003，27（3）：339-345.
[2]唐天晓.由一道习题想到的――垂径定理等性质的应用[J].中学课程辅导：初三版，2004（9）：13.
[3]袁亚平.竞赛中与“垂径定理”有关的证明题[J].中学生数学，2006（12）：26-27.
初中数学垂直定理篇5
关键词：初中数学；动态几何；创造性思维
几何教学是初中数学中非常重要的一部分内容，相比于小学单纯的点、线、面的学习，初中的几何教学更加立体，更多地涉及点、线、面之间的关系与结构。因此，在学习几何知识时，对于学生的空间想象力以及创造性思维的要求是较高的。在初中几何学教学中，不可能完全采用静态的课堂讲解式教学，这会使学生的思维得不到锻炼，无法刺激学生展开正确的想象和思考。因此，在新课程标准要求下，老师应该有效利用现代多媒体工具，打造动态几何教学课堂，激发学生的创造性思维，展现数学之美。
一、开设情景教学，激发学生求知欲
初中几何知识大多与学生的学习生活情境有关，学生在日常生活中也可能会产生许多有关几何方面的问题。初中学生正是好奇心旺盛的时候，老师应该充分利用这一特点，有效地激发学生的求知欲望。老师可以通过创设情景教学来引导学生发现问题、解决问题。例如，在学习立体几何中线段垂直的关系时，有三条线段，分别为aB、CD和eF，其中，aB垂直于CD，eF也垂直于CD，许多刚刚了解了一些平面线段垂直关系的学生会很快认为aB与eF是相互平行的关系，但是，此时老师可以让学生观察身边是否有这样的情景。通过引导，学生可以发现在立体结构中，这种想法是不完全正确的。例如，在教室的墙角，就存在这样的一个垂直关系情景，通过观察实际的墙角的结构，学生就可以发现，在这个情景下的aB与eF也可能是相互垂直的。通过这样一个简单的问题，老师既可以顺利引入立体几何相关的知识，又可以让学生发现其实我们身边就有许多与几何相关的知识，学生就会在以后的学习中更加注意观察生活中的问题，激发学生的求知欲。
二、结合多媒体技术，展现动态几何教学
初中几何教学有些内容对初中学生来说单靠大脑的想象不太容易理解，并且在有些较为复杂的内容里也容易出现思考错误。老师可以为学生展现更多实际的几何模型，可以有助于学生想象和学习。尤其是在现代技术发展的今天，借助多媒体技术，老师可以很容易地找到更多比较简单易懂而又生动有趣的几何模型，并且可以通过多媒体设备将其展示给学生。例如，在学习轴对称和轴对称图形知识时，对一些有点复杂的图形，学生可能想象不到它的轴对称图形，这时老师就可以借助动态的几何模型，将图形旋转并形成一个完整的图形的过程展现出来，呈现一种动态的几何效果。除了方便教学以外，使用这些多媒体技术还可以给学生开阔眼界，老师可以用一些具有代表性的、具有美学思想的几何结构或者建筑展示给学生，可以让学生发现几何之美，发现数学之美。通过这种动态的几何教学，可以较好地引起学生的学习兴趣，同时对一些较为抽象的几何概念和图形可以进行实际的展示，帮助学生学习，学生可以从中更直接地感受几何知识的魅力，并且从这种动态过程中获得启发，激发学生的创造性思维。
三、多角度解决问题，激发数学创造性思维
初中学生学习了一定的数学知识，但是还没有非常深入，许多学生会误以为数学是非常缺乏创造性的学科，认为数学就是有固定思路、固定答案的学科，其实这是一种非常错误的认识，仅从初中几何教学中就可以发现这种思想的错误性。在几何问题的解决中，经常使用一种做辅助线的方法来帮助解决问题，辅助线的做法不同就会产生不同的解题思路和解题过程，甚至结果也可能有差异。这就说明了几何问题并没有固定的解题步骤，许多几何问题可以用多角度的思维来进行解决。老师就是要在学生学习的过程中鼓励学生多从其他角度来思考问题。例如，老师可以布置一些较为灵活的几何题目，然后要求学生用两种以上的解决方法来解决问题。学生在这样一个过程中就能学会通过不同的思路来解决问题，这也是动态几何的一种表现。同时，学生在这样一个活跃的思考过程中能够不断激发创造性思维，能够打开思路。老师应该将这种多思路看待问题的思想深入整个几何教学过程中来，帮助学生全方面地培养创造性思维。
在初中几何教学过程中，老师不仅要传授学生相关知识，更应该创新教学方式，结合现代教学思想和教学工具，开展动态几何教学，可以有效提高学生的学习兴趣。通过这种创新的教学方式，学生能够更加灵活地对问题进行思考，能够在分析问题的过程中逐渐培养思考能力，激发学生的创造性思维，全面提高学生的数学素养。
初中数学垂直定理篇6
关键词：起跳腾起角；缓冲；腾起初速度；运动成绩
跳远是人体通过快速的助跑和积极的起跳，采用合理的姿势和动作，使身体腾越水平距离的运动项目，它是田径运动竞赛与体育技术教学的重点项目之一。跳远的起跳技术是影响跳远成绩的最关键的环节，起跳时使人体重心的动量发生急剧变化，从而获得腾起速度和腾起角度，一定的腾起速度和腾起角度基本上决定了跳远的飞行距离并决定着跳远成绩。
1.腾起角
由生物力学原理可知，腾起角是由腾起瞬间的垂直速度和水平速度的比值决定的。我们知道跳远成绩主要是由腾起角和腾起初速度决定的。我国优秀运动员起跳腾起初速度与国外优秀选手差异不大，甚至比国外选手具有更高的腾起初速度。我国选手腾起瞬间的水平速度与国外选手无显著差异。刘易斯的水平速度最快，而垂直速度只有3.17（m/s）腾起角仅为18.2°。由此可得出“在水平速度一定时或相差不大时，腾起角的大小主要由垂直速度决定。根据数据计算得出，我国运动员的这一比值为32.67%，而国外运动员则为40.71%”。可见在这方面我国运动员和外国运动员之间差距较大，所以要增大腾起角必须在垂直速度上下功夫。
2.着板缓冲阶段
缓冲是起跳动作中非常重要的组成部分，着板瞬间高速运动的人体与地面之间产生强烈碰撞，在巨大的冲量作用下，积极地进行屈膝缓冲是非常必要的，起跳腿的髋、膝、踝关节以及脊柱产生一定弯曲，它使得起跳腿伸肌群做退让性收缩，提高了肌肉与肌腱的弹性势能，使得肌肉的总收缩力增大。一般认为要取得更好的起跳效果，膝关节不能过度弯曲，最低不要低于130°。据对世界优秀运动员的有关统计研究，起跳过程中，膝关节的缓冲幅度对垂直速度和腾起角有着重大影响优秀运动员鲍威尔着地时的膝角为170°最大弯曲时为148°膝关节角度弯曲变化为23°。尽管缓冲动作是必须的，而且也是迫不得已的，但是在起跳过程中绝对不能有主动缓冲的意识。相反的情况下按照起跳脚一踏上起跳板就开始蹬伸的要求进行起跳，可以有效的减小缓冲的幅度和缓冲的时间。在高速助跑的情况下，着板缓冲的时间越短蹬伸动作开始的就越早，是人体改变运动方向作用力的时间也就越长。因此可以更快的改变运动方向获得更大的垂直速度和腾起角。起跳脚缓冲的幅度和蹬伸的时机是评价起跳技术的两个重要因素。
3.蹬伸、摆动阶段
蹬伸阶段是膝关节开始伸展至起跳脚蹬离地面并进入腾空阶段时结束。蹬伸动作有利于获得必要的垂直速度，而之前的缓冲动作的质量对起跳蹬伸动作有着很大的影响，在合理而充分的缓冲前提下尽快开始蹬伸动作是跳远运动员所要努力的目标。大部分有关蹬伸技术的研究也都把蹬伸阶段的动作质量归因于运动员的支撑缓冲能力。运动员支撑缓冲能力强则能获得较大的垂直分力，并且各阶段的平均力值之间呈现高度相关。这意味着良好的缓冲能为蹬伸阶段带来更多的垂直冲量。人体具有高度的自我调节与控制能力，任何动作的完成都离不开作为有机整体的各组成部分的积极参与、协调配合。踏跳时双臂及摆动腿的摆动和起跳腿的积极下压就是一个协调配合的过程。在起跳中合理地掌握摆动腿的摆动时机、速度、摆动幅度，有利于增加起跳腿对地面的压力，加大腾起角，缩短缓冲时间，加快蹬伸速度，而且对维持身体平衡及保持运动时的合理姿态都起着不可忽视的作用，在跳远教学训练中要重视“以摆带蹬，以摆促蹬，蹬摆结合”。
4.腾起角与腾起初速度
腾起初速度和腾起角度都是由起跳时所产生的水平分速度和垂直分速度的匹配所形成的，因此起跳效果的优劣的实质就是看水平分速度与垂直分速度是否达到了合理或最佳组合。有研究表明，随着腾起角的增大，腾起速度将减小，这意味着垂直速度的更多获得不仅会造成水平速度的损失，而且也会使两者的综合效果腾起合速度下降.所以我们不能简单地把逻辑起点建立在腾起速度保持不变的前提下来寻找力学意义上的最佳腾起角度.在一定范围内合理地加大腾起角，可以获得更大的腾起高度，这一点又无疑有利于增加跳远的远度.因此可以说，腾起角与腾起速度是起跳中的矛盾统一体的两个方面。目前，国内外学术界对如何处理好这一矛盾尚有争论，也就是说在起跳中是应尽量保持水平速度，还是损失一些速度以增加腾起角这个选择上存在两难的状况.为尽可能多地了解腾起角与腾起速度之间的复杂关系和不同见解。
目前，我国选手与世界级选手之间在腾起初速度方面水平相当，国内选手均值为9.39m/s，世界级选手的均值为9.48m/s，相差0.09m/s，并无显著性差异。从构成腾起初速度的因素方面分析，腾起水平速度平均值国内外选手之间的差异为0.06m/s，无显著差异。从腾起的垂直速度分析，国内选手的平均值与世界级选手相差0.35m/s，有非常显著性差异。究其原因，主要是国外选手大多属于高跳型选手，起跳角度大，其腾起垂直速度也大，对腾起水平速度的影响也就相对要大些。同理，由于我国选手的腾起角度太小，对水平速度的影响也相对较小。因此，虽然国外选手的助跑速度明显快于我国选手，但在腾起初速度方面却与国内选手相当。另外，但由于我国运动员的腾起垂直速度偏低，腾起角度太小，腾起高度不够，不能充分发挥水平速度的作用，起跳能力与助跑利用率不相适应，所以成绩也就比世界级优秀选手差些。从大多数世界级优秀跳远选手的技术资料和近几年的世界跳远技术情报上看，适当增大腾起角度的趋向日渐明显。
5.结束语
最佳腾起初速度和腾起角度一直都是跳远研究探讨的核心问题，解决好此问题将极大的推进跳远技术与成绩的增进。优秀跳远运动员的腾起角度大多在18-24度之间，而集中于22-24度。也就是说世界级优秀跳远运动员的腾起角度大多集中在22-24度之间。但刘易斯在创造8.91m的成绩时，其腾起角度仅为18.3度，这说明，只有根据个人的技术特点设计选择适宜的腾起角度才有可能创造最好运动成绩.理想的起跳技术应是尽量损失较小的水平速度而获得最大的腾起垂直速。特别是在高校及业余体校中的跳远训练中教练员应该根据运动员的个体差异，找出运动员起跳技术的最薄弱的环节着重加强训练，是提高跳远成绩行之有效的方法。
参考文献：
冯树勇，李国雄.跳远运动员速度与助跑速度利用率问题.田径，2002，（10）.
夏玲.我国男子优秀跳远运动员助跑起跳技术Gm（1，n）模型应用研究.武汉体育学院学报，1999，（5）.
初中数学垂直定理篇7
一、认真分析，明晰特点
数学概念是数学思维的基本要素，包括内涵和外延两个维度。概念的内涵和外延相互依存且相互制约，是构成概念不可分割的两个方面。教学时，教师要帮助学生弄清概念的内涵与外延。如“方程”的内涵是“含有未知数”“等式”；其外延则是包含具有以上本质属性的全体对象，如x+3=5等，但不包括3+x＞5、4×2=8和7x之类的对象。
概念产生过程有形成和同化两种基本形式。概念形成主要靠对事物本质属性的抽象概括来认识概念。由于小学生年龄小，数学知识相对贫乏，认知结构也较简单，因此常用概念形成的方式教学新概念，如长方形、比例等概念的学习都是采用这种方式。概念同化主要是依靠已有的认知结构来理解新概念。随着学生学习的不断深入，学生获得新概念的方式会逐渐由概念形成向概念同化转变，如等腰三角形的学习就是建立在三角形这一认知基础之上的。在小学数学概念教学中，这两种不同形成过程常常结合起来使用，一般先借助于一定的情境、典型性的实例来帮助学生认识概念，再通过一些正反例证强化学生对概念的认识，同时把新旧概念连接起来，形成概念系统。
二、把握实质，恰当引入
在小学数学中，概念主要有定义性及描述性两种概念形式，而定义性概念亦非严格意义上的定义，大多采用“属+种差”的方式来定义。如“方程”的定义，先指出方程的属概念是等式，再强调它含未知数，即便如此，在定义前也加入像x+50=150这样的描述性词句，来帮助学生理解方程的含义。在小学数学中，很多概念是采用描述性的方式来说明的，如三年级下册关于面积的概念，教材就作了“黑板表面的大小是黑板的面积”的描述。
教学时，根据概念的不同表达方式，在引入上应有所侧重，定义性概念应侧重于对概念内涵的理解；描述性概念则关注于对外延的认识。如教学五年级下册“方程”时，就可采用以下方法引入。
（1）依次出示教材第一页的五幅天平图，让学生先用语言描述天平两边物体的质量关系，再用式子表示。
（2）先引导学生对列出的式子按照一定的标准分类，然后引导学生按是否是等式来分类，并将等式按照是否含有未知数（这里指x）分成两类。
（3）教师指出：像x+5=150、2x=200这样含有未知数的等式是方程。
（4）让学生根据方程的内涵来说明其他几个式子为什么不能称为方程，再举出一些方程的例子。
这里，以具体情境为支撑，学生通过观察、分析、写式子、比较、分类等活动，从具体到抽象认识了方程的概念，再通过对反例的判断和对正例的列举，学生对方程的理解更加深刻。在这个过程中，学生不仅从形式上认识了方程，还经历了方程的建模过程。
三、充分感知，丰富表象
学生对概念的理解是建立在一定表象之上的，只有借助于在感知过程中形成的表象，才能完成对概念的抽象与概括。教学中，教师要通过丰富的感知材料，促进学生概念表象的建立，为进一步的抽象概括提供认知基础。
例如，教学“认识分米”时，可以在告知10厘米是1分米后，让学生在直尺上找出1分米的长度，看看1分米有多长，再让学生画一条长1分米的线段，直接感知1分米的长度。接着让学生闭眼想象1分米大约有多长，再用大拇指和食指比划。最后让学生说一说哪些物体的长度大约是1分米，并判断一些物体或线段的长大约是几分米，进一步在头脑中留下1分米的深刻印象。经过看一看、画一画、比一比等活动，学生充分感知1分米有多长，在头脑中建立了1分米的表象。只要一说到1分米，学生就会叉开大拇指和食指用手势比划出来或者在头脑中马上联想出1分米的长度。这样在充分感知的基础上建立起来的表象，无疑会有利于学生建立1分米的正确概念。
四、运用变式，凸显本质
在学生初步认识了概念后，可以呈现若干变式的例证，变化概念的无关特征，使学生对概念表征的抽象达到一个新的高度，加深对概念的认识和理解。
例如，教学“互相垂直”的概念时，若只提供“水平与铅垂方向”一种标准式的垂直样式，学生往往会忽略互相垂直的本质属性“相交成直角”，而只认为水平与铅垂的位置才是互相垂直的。当学生初步认识了“互相垂直”的概念之后，教师要及时给学生提供互相垂直的其他图样，让学生在不同的垂直情况下，真正理解互相垂直的内涵。在指导学生画垂线时，要变化已知直线的位置，帮助学生克服生活中“竖直”对“垂直”的制约和局限。
在概念教学中，有时也会运用反例来反衬和激活学生对概念本质属性的认识。例如，教学“梯形的认识”时，当学生初步认识了梯形之后，可以让学生判断“平行四边形也是梯形”这句话的正误。教师可通过反例帮助学生明晰梯形的本质属性是“只有一组对边平行”，而不是“有一组对边平行”。
初中数学垂直定理篇8
关键词永磁直线同步电动机；垂直提升；控制系统
中图分类号tm35文献标识码a文章编号1674-6708（2011）47-0191-02
0引言
永磁直线同步电动机是永磁直线同步电动机在垂直提升控制系统中的重要驱动配置。永磁直线同步电动机垂直提升控制系统是一种比较新型的无绳提升系统，其主要运用于高层类建筑和矿井类提升系统,它的结构相对比较简单、速度比较快，并且高度不受限，最重要的是能够多罐厢在同一个时间内升与降，从而大大地提高了它的运输效率[1]。
1永磁直线同步电动机垂直提升控制系统的特点
1）性能好。永磁直线同步电动机只要接通了电源就能马上产生大概接近于额定值的电磁推力，整体的系统提升主要靠的就是初级与次级之间的一种电磁推力,没有尾气的排放而且也没有直接的机械之间的接触,因此没有污染的存在；
2）节约能源。主要是在很大程度上节省了电能，假设它的电能消耗与系统提升的重量是成正比例的，并且它与传统的提升方式在一个周期内提升的有效重量是一样的，也就是说它们的基本耗能是相同的，但是由于传统的提升方式是机械传动机构，涉及到传动效率方面的问题，总而言之，垂直提升控制系统比较节约能源；
3）占地空间少。永磁直线同步电动机垂直提升控制系统是新型的无绳提升系统，其初级安装是在井筒里面,因此在地面上除了一些控制系统和配电站以外不需要其他,大大地减少了占地的空间[2]。
2永磁直线同步电动机的研究现状及其研究重点
永磁直线同步电动机是一种新型的垂直提升控制系统中的重要部分，就现在的研究状况来看，在一定的程度上已经有了发展前途，但是人们却没有完全了解它的一些运行特性，因此这些研究目前还处于一定的试验研究阶段，而它的研究大部分重点集中在以下方面：
1）永磁直线同步电动机的优化设计。这个重点是要认真地去选择永磁的尺寸大小及其形状，还主要对它的气隙磁场进行合理的谐波分析，通过合理的电机设计可以减小电动机的电磁力脉动，并且在设计的过程中考虑涉及到这些以及其他问题来对电机进行优化设计；
2）仿真动态过程的研究。这个过程的研究主要应用了数学中的有限元方法来得到了永磁直线同步电动机初级所相对应的电磁参数和它的次级位置、以及电枢和电流二者之间的关系，从而建立起所对应的永磁直线同步电动机垂直运动的动态数学模型，而且还考虑到它的结构特性，并且在这个基础上来对永磁直线同步电动机开始过程、中间过程、以及它的最后制动过程进行了一系列的仿真研究；
3）控制方法的研究。这方面的研究重点运用了模糊控制器与神经源网络的方法进行计算，在DSp控制系统的基础上，直接控制永磁直线同步电动机的电磁力角,控制永磁直线同步电动机的速度研究[3]。
3piD控制在永磁直线同步电动机垂直提升控制系统中的应用
piD控制是比例积分微分控制的简称。由于piD控制原理简单，使用方便，很容易为工程技术人员所掌握，而且piD控制适应性强，可以根据不同的情况需要，针对自身的缺陷进行改进，现已经广泛应用于各个生产部门[4]。
piD控制器作为一种线性控制器，它根据给给定值r（t）与实际检测到的输出值c（t）构成控制偏差:e（t）=r（t）-c（t）。然后通过线性组合将偏差的比例（p）、积分（i）、微分（D）构成控制量，从而达到对被控对象进行控制的目的。
式中t为piD控制器的采样周期；e(n)和e(n-1)分别为第n次和第n-1次采样所得的偏差信号。
由于piD控制具备许多优点，使得它如今仍然是在过程控制中应用最广泛的基本控制方式。
4结论
永磁直线同步电动机垂直提升控制系统有很好的应用前景，它以后会必将取代钢丝绳提升控制系统,逐渐地应用于高层的建筑和矿井的提升。尽管现在对于永磁直线同步电动机垂直提升控制系统方面的研究仍然在一个初级的研究前期阶段，但是它的研究价值会变得越来越大，它的优点是别的系统无法代替的，从目前来看，永磁直线同步电动机垂直提升控制系统逐渐更加完善以后，它的使用价值会是无穷大的。
参考文献
[1]李志民，张遇杰.同步电动机调速系统[m].北京：机械工业出版社，2003.
[2]汪旭东，袁世鹰，焦留成.永磁直线同步电动机垂直运输系统的研究现状[J].微电机，2000，33(5)：35-38.
初中数学垂直定理篇9
关键词：初中数学；几何问题；面积法；拼接
在面积法中，剪图与拼接是其最为直接且易于理解的解题思路，具有思路灵活与答案不唯一的特点。同时，这一解题思路对学生提出的要求就是要针对几何问题进行多方面、多层次以及多角度的思考与探索，在深入理解与领悟剪图与拼接的要点之后，将原图形的面积以全新、直观、易求解的图形面积展现出来[1]。
1初中数学图形等面积拼接现状
在初中数学勾股定理的课堂教学后，呈现给学生的新知识点之一就是图形等面积拼接问题，旨在培养学生对这类数学问题的解决能力。教师在教学过程中，关键是要引导学生去将等面积图形拼接思路与拼接方法进行归纳总结，形成其对正方形拼接问题的正确深刻认识，着重针对剪图与拼图方法的教学难点进行授课。但是在引导学生去联想、模仿赵爽弦图进行正方形拼接的时候，却存在这样的困境：在分割线减少的情况下，学生难以摆脱赵爽弦图的禁锢，难以找到分割线不过格点的好方法，也就难以解决这类数学题。因此，要真正培养学生解决这类数学问题的能力，就需要引导其理解与领悟“剪边长、拼直角”的剪图与拼图原理。
2初中数学几何图形等面积拼接问题教学方法
2.1“5个等面积且呈一字型的小正方形――1个同等面积大正方形”剪拼教学
在教学过程中，教师发挥着重要的引导作用，让学生可以在教师的有效引导下与自身学习相结合，发现数学中的问题，并予以解决，也利于避免学习误区，防止定式思维对学习的影响。比如在5个等面积且呈一字型的小正方形中，教师可以引导学生从拼图前后面积不变的角度去深入思考，每个小正方形边长为1，5个一字型排开的小正方形总面积为1×5=5，因此，所需要拼接的同等面积大正方形的边长则为，所以要在一字型5个小正方形组成的矩形中找到边长为的分割线。而根据前面课程的勾股定理，我们可以得知长为2、宽为1的长方形对角线即为另一边长，可以将其作为分割线，再让学生沿着分割线剪切而拼接成新的大正方形。如图1所示：
教师在引导学生剪图拼接后，也要让学生对其分割方法进行检验、归纳与总结，可以得到切边长、拼直角的解题方法。
2.2“改变位置后的5个小正方形――1个同等面积大正方形”剪拼教学
与2.1不同的是，5个小正方形只是位置发生变化，其他方面条件一样。
2.2.1学生在赵爽弦图思维定式下的图形分割法
在往常的教学过程中，常见学生摆脱不了赵爽弦图的思维定式，将图形剪出1个正方形与4个直角三角形，如图2所示：
2.2.2摆脱赵爽弦图思维定式下的图形分割法
要摆脱赵爽弦图进行几何数学图形等面积的剪拼，可以用分割线分成三个部分，将其中2块移动拼接成新的等面积大正方形，如图3所示：
2.2.3图形分割法的延伸归纳
教师要引导学生在解决问题后，引出问题，进行解题方法的延伸归纳[2]。比如，教师可以引出“是否在保证拼得正方形边长确定的分割线之间相互垂直的情况下，能够剪拼形成更大的同等面积正方形”这一问题。教师可以让学生进行正方形纸片剪拼试验方法，让学生亲身操作，作出边长为的分割线，在其相互垂直的情况下，可以作出2组图形剪拼如图4所示：
由此可见，学生已经不再局限于赵爽弦图而进行图形拼接。然而，教师还要注意，不能让学生步出了一个思维定式而又走进了另一个思维定式。学生在利用正方形纸进行为边长的分割线时，一般是通过勾股定理得出以1和2为直角边长的三角形斜边长，但是其分割线顶点出现了局限性问题，即都处于格点处。那么，教师要引导学生进行更深层次与更多方面的思考：以为边长，同时又相互垂直的分割线还能有其它分割法吗？学生在教师的引导下，可以发现，分割线的平移作用并不会对相互垂直的分割线位置与数量造成任何影响。也就是说，分割线的意义就是将所要拼接的大正方形边长剪切出来，所以最后拼图时要使得分割线朝外拼接，而分割线互相垂直的意义，就是通过垂直分出四个直角，将其作为新正方形的内角，最终形成完整的新大正方形，如图5所示：
2.3“2个任意大小正方形――1个同等面积大正方形”剪拼教学
可以将2个大小正方形设为边长分别是1和2，要将其进行剪图拼接形成新的1个同等面积大正方形。原图形面积为两个小正方形面积之和，即是1?+2?=5。因此，所需要拼接的新正方形面积也是5，其边长则为，可将采用如图6所示的剪图与拼接方法：
其中，aB=CD=1，BC=De=2，由左图作出分割线aC和Ce，边长即为，是所需要拼接的新正方形边长，沿着分割线进行剪切，将2个大小正方形分成3部分，并将剪切出来的1和2部分纸片拼接在1?和2?位置，最终形成新的等同面积大正方形aCeF，且边长为。
3初中数学图形等面积拼接问题的思考及有效策略
初中数学图形等面积拼接问题的教学环节创设，旨在让学生可以不断去探索剪切与拼接正方形的各种新方法，但是目前却普遍存在学生难以摆脱赵爽弦图的拼接思路，数学思维呈现定式特征。数学是一门抽象且深奥的课程，需要学生不断去思考，去探索，去突破。因此，要做到以下几点，强化初中数学图形等面积拼接教学[3]：
首先，要强化教师的引导作用。教师要正确认识自身在课堂上的主导地位，在尊重学生主体地位的前提下，充分发挥自身的引导作用，及时带领学生走出误区，进而走进新天地，并且要进行新知识的拓展与延伸，鼓励与引导学生去更深层次与另辟角度去探索新问题与新方法，在多方面观察的前提下进行深入学习与思考。
其次，要强化学生的几何画图能力。在初中数学图形等面积拼接教学中，作出图形分割线是十分重要的学习内容，学生要在这个过程中切身体会怎样去拼接全新的等面积正方形，借助剪刀与纸片开展实际操作，加深自身的记忆，强化自己对这一知识的训练。此外，还可运用其它技巧，比如用数字来对所需拼接的图形进行顺序标注，从而让自己更清晰直观地看到拼接前后图片的位置变化，利于提高操作效率与实践能力。
4结束语
总的来说，初中数学图形等面积拼接问题教学工作，需要在教师的有效引导下让学生去学，教师也要在学生学习过程中去加深教学，推动学生不断去发现新问题，进而分析问题，在归纳与总结的过程中培养与提高其解决问题能力，并且养成其创新探索的学习好习惯，使其整个学习生涯都受益。
参考文献：
[1]李忠琴.面积法在图形剪、拼中的运用[J].基础教育论坛，2010，（11）：27.
初中数学垂直定理篇10
关键词：教材教法；数学概念；实例分析；概念内涵；外延
在高中数学教学中，教师往往面临学生数学基础参差不齐，学习能力高低不一的问题。因此，深刻理解数学概念命名的特点，其内涵和外延的具体表征，对于数学教学有着重要意义。下面通过实例简单分析如何突出高中数学中的概念教学优化。
一、注重概念命名特点
数学概念的命名是有依据的，或者说是有作用的。从概念的命名方式上去探究概念的形成过程，将更有助于学生记忆、有助于教学。然而一些学生混淆概念，致使解答错误。
案例1：在“函数的奇偶性”一节的教学中，教师常规教学环节是：引生活中的实例，如飞机、蝴蝶等轴对称图形，直接给出偶函数的概念，即“在定义域内，对任意的x，都有f（-x）=f（x），则称y=f（x）为偶函数”，接着就进入偶函数的应用。
我们不禁会问，为什么图象关于y轴对称，符合f（-x）=f（x）的函数被称之为“偶函数”，称为别的名称是否更恰当？学生一般不会从这个角度思考。所以，事实上“偶函数”的概念尚未生成，这时，可以通过对概念的特点做进一步阐释来使学生更好地理解和掌握概念的含义。如“偶”在字典中被解释为“双，对，成双成对”的意思，让学生有“左右对仗要工整”的感觉。
与此相似，在讲解“奇函数”概念时，就“奇函数图象关于原点对称”的知识点，或可提出：“当一个人的身体左侧肢体高于右侧（或右侧高于左侧）时，我们称这样的人为‘畸形’。是否可以借助此‘畸’记忆彼‘奇’呢。”通过类似这样的讲解，一方面引起了学生极大的学习兴趣，另一方面让“函数的奇偶性”概念在学生心中生根发芽。
由此可见，分析“名称”不仅适合“数学概念”学习，也有利于培养学生采用发散、逆向等数学思维来运用数学概念解决数学问题。
二、注重概念内涵的理解
实践证明，若没有确切掌握概念的内涵，在解题实践时，不免会在细节点上摔跟头。对高中数学概念的内涵阐述须精确，其严谨性在立体几何模块部分表现尤为明显。
案例2：（2011年北京东城检测题）给定下列四个命题：
1.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行。
2.若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直。
3.若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面。
4.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的是（）
a.①和②B.②和③C.③和④D.②和④
分析：两面平行的判定定理的严谨性，以及对直线与平面垂直定义的理解程度。经分析可知，两面平行，要求一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面才相互平行，故①错。由直线与平面垂直定义，直线与平面垂直，则直线与平面所成角为90°度，反之，另一平行平面平行移动，直线与另一平面所成角也为90°，直线与另一平面垂直，故②正确。③直线可能在平面内（学生惯性思维易犯错误）；两个平面垂直，一个平面内与它们的交线不垂直的直线在另一个平面内的射影恰好是交线，由直线与平面垂直定义可知，若直线与另一个平面垂直，则它与交线所成角为90°，显然不成立，故④正确。本题选择D。仔细观察，不难看出命题一：“经过一条直线和一个点有一个平面。”与命题二：“经过一条直线和一个点可以确定一个平面。”这两个命题之间差异极小，但命题一为真命题，命题二却为假命题。由此可见，高中数学教师在数学概念的教学中要反复思考，充分挖掘概念的内涵，让学生全方位、多角度地接受新概念，力求精准。
三、注重概念的外延
案例3：（2014年湖卷第6题）若函数f（x）g（x）满足？蘩1-1f（x）g（x）dx=0，则称f（x）g（x）为区间[-1，1]上的一组正交函数。给出三组函数：
①f（x）g=sin■x，g（x）=cos■x；②f（x）=x+1，g（x）=x-1；③f（x）=x，g（x）=x2。其中在区间[-1，1]上的正交函数的组数是（）
a.0B.1C.2D.3
本题考查学生对概念内涵的理解程度。本题中的概念强调定积分值为0。由微积分基本定理可知：？蘩1-1f（x）g（x）dx=F（x）|1-1=F（1）-F（-1）=0，所以F（1）=F（-1），被积函数的原函数F（x）符合偶函数特点。原函数为偶函数，则原函数的导函数为奇函数。所以①和③正确。故选C。
通过此题不难看出，学生对函数奇偶性的概念要熟练掌握，能应用概念解决类似问题。
在高中数学教学中，可以通过优化数学概念教学，帮助学生深刻理解和掌握数学概念命名特点，提高运用数学概念内涵和外延处理数学问题的能力，使学生逐渐形成扎实的数学基础和数学逻辑思维能力。
参考文献：