数学建模的概念篇1
关键词：概率论；数学建模；案例分析；
中图分类号：G648文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）05-0036-02
在高等数学的教育中，概率论课程具有深刻的理性内涵，实际生活中也有广泛的应用，因此它在对于学生的教育中发挥着重要的作用。随着教学改革的进行，数学的教学已经不只是数学理论的学习，而是培养学生学习数学的兴趣，培养学生利用数学的能力，重视的是数学在实际生活中的应用，这就是数学建模的简单意义。在概率论的课堂中融入数学建模理念，在很大程度上改变了以往数学教学以空洞的理论为重的方式，提高了教学内容的使用性，同时降低了学生的学习难度，增强了教学的效果，有助于教学目标的达成。
1.数学建模理念的本质内涵
数学建模可以根据特定复杂对象的内在规律，制定一个特定目标，对其作出不影响本质的简化，运用数学工具，建立数学结构。数学建模需要运用数学的相关概念，对问题的内在的规律进行分析，找出影响问题的因素，然后提出一个假设，将问题事物的本质通过数学化的形式结构展示出来。展示出来的数学机构要通过数学和计算机手段进行求解，进而得出结果。对于求解的结果进行必要的检验，研究其在实际环境中的可行性、实用性。数学建模的理念的应用，能开拓学生的知识面，激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和解决实际问题的综合能力，训练学生的逻辑思维能力和开放性思考方式，对于学生的数学创新能力的培养有很大的促进作用。
2.概率论中融合数学建模理念的必要性
理念是指导运动的基础，是人们大脑思想活动的结果。人们对于事物的表象的认识，形成自己脑中的既定的认识，从而有一个概括性的形象。概率论是人们用来解决生活中的实际问题而存在的，其对象是世界中的客观的事物，然而在传统的概率论的课程中，注重的是在课堂上老师对学生理论知识的教授，然而归于概率性应用的本质却没有体现，与概率论课程存在的实际目标脱离，无法达到对于学生教育的根本目标，学生没有实际应用的方面的训练，学生用概率论和数学工具解决实际问题的能力没有得到应有的培养。知识只是知识，没有与最终的应用实际联系起来，已经背离了知识存在的根本意义。教学建模理念与概率论课程的融合，是建模教学的理念渗透到日常教学的各个环节中，培养了学生在实际问题中应用理论知识的能力，对于概率论的教学有着深远的影响意义。
概率论的课程是对于世界客观现象的规律的研究，可以引导学生的思维灵活化，是锻炼学生思维的一门基础的课程。同时概率论是一门应用广泛的课程，在诸多的领域都有重要的指导意义，利用数学的工具来分析随机出现的客观现象，是概率论的基本出发点。但是在抽象化的数学概念，很有可能会在最终的结果上偏离了实际。所以在教学的过程中，既要有从实际到抽象的过程，又要建立抽象回到实际的桥梁，这样一个循环过程的形成就需要用到数学建模理念。数学建模理念与概率论的融合，让原本枯燥的概率论与实际应用有了联系，概率论变得生动了起来，可以加强书本知识与实际的联系，学生得知了学习的目的性，掌握了知识的运用方法。数学建模理念是课堂知识的应用性、趣味性增强，极大的弥补了原有的传统的教学方式的不足。在概率论和数学建模思想的融合中，知识产生的背景和形成的过程得到了重现，学生连接到当初数学家们考虑问题的方法，打破了学生对于数学的枯燥的一贯认识，向学生展示了数学的魅力，了解了数学的应用性，激发了学生的学习兴趣。
3.概率论融入建模思想的案例
在传统的教学模式下，课堂传授给学生的大量的数学概念，公式和定理，这样容易造成学生与实际的脱节，而课程与数学建模理念的结合就很好的解决了这一问题，在教学的过程中，应该注重对于实际生活问题的引入，使建模教学理念渗透到课堂教学的每个环节当中，帮助学生建立数学模型。
现实世界的变化受着众多因素的影响，这些因素根据其本身的特性及人们对它们的了解程度，可分为确定的和随机的。虽然我们研究的对象通常包含随机因素，但是如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，而随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能建立确定性数学模型。用生日相同问题和掷骰子游戏还有抽签等问题、报童问题都是特别常见的例子，其中报童问题是非常典型可以构建数学模型的案例：
3.1报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉报纸退回。设报纸购进价为b，零售价为a，退回价为c，这要我们考虑每天购进报纸的数量以获得最大利润，建立一个模型，以这个例子从概率论观点看，这相当于报童每天收入的期望值。
3.2贝努里概型是概率论中一种基本的概率模型，在实际问题中也是非常常见的，对此，我们可以搜集大量的用贝努利概型描述的实际问题，让学生学会分析问题，强化和加深对知识的理解和印象，另一方面提供一些实例供他们讨论，从定性分析、定量描述到建立模型、求解模型。
3.3（会面问题）两人相约7∶00到8∶00在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率。对于这一问题先要对它实施"数学化"的转换，也要对其进行概括、抽象和假设，然后才能回到原题中的情形去。以分别表示两人到达时刻，0≤X≤60，0≤y≤60则，即会面的充要条件是|x-y|≤20，这是一个几何概率问题，通过构件模型，最后得出结论，所求概率为59，概率论与数学建模理念的融合培养的是随机性的数学思维，随机性的数学思维是以随机向性的数学问题为载体的。学习的过程就是发现问题和解决问题的过程，在这一过程中，学生完成对世界空间形式和数量关系本质的认识的思维过程。对于学生数学建模思维的培养是根据课程的不同而改变的。在教学的过程中，引用案例结合理论来引导学生对于理论展开讨论，让学生进行有意识的观察和尝试活动，还可以结合学生所学习的专业，选择一些具有专业针对背景的问题，是概率论的指导意义真正的应用到学生的身上。
4.概率课程与数学建模思想理念融合的注意事项
在概率课程中融入数学建模理念，可以两个方面来进行实现，一个是在概率论的基本概念的传授中融入数学建模的理念；另一个是在每个章节的应用问题的研究中渗透入数学的建模理念。在学生学完有关数学的知识后，教师选择适当的实际问题作为范例，引导学生对于范例进行针对性的研究，从范例中主动的发现问题，并应用刚学习的知识解决问题，直接在课堂训练学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力，深化了学生对于所学知识的认识，做到教学的学以致用。在范例选择时，应该将所学知识与学生的生活结合起来，提出有针对性的，与学生的日常生活贴近的范例，创设一些比较新颖的问题情境，引起学生的学习兴趣和求知的欲望。同时在建立模型时我们应该意识到不是任何一个题目都可信手拈来建立模型，我们不能生搬硬套，在选择是否建立模型，建什么样的模型时要考虑它能否很好地承载数学知识作为标准，否则将是舍本求末。
5.结语
概率论课程和数学建模理念的融合，应该大量的搜集这两方面的相关资料，使学生能够感受到所学知识的实际应用，懂得数学化知识在实际中的应用，学会利用数学知识来解决问题，并从中体会到数学的真谛和价值。数学建模的理念已经开始渗透到多个学科当中，在概率论中的运用，转变了课堂教学的方式，对教师的教学和学生的学习都有很大的促进作用，提高了教学的质量和教学的效果。
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数学建模的概念篇2
关键词 模型构建 物理模型 概念模型 数学模型
中图分类号 G633.91 文献标识码 B
新课标下的高中生物新课程改革已经越来越深入，新课标始终强调学生不仅仅应该掌握科学知识，更应该学习科学研究的一般方法，因为这些科学研究的方法对学生的发展具有更为重要的价值。科学研究的一般方法在教材中介绍了很多，构建模型的方法是教材中首次提出但极为重要的一种理性思维方法。模型的方法是以研究模型来揭示原型的形态、特征和本质的方法，是以简化和直观的形式来显示复杂事物或过程的手段，是逻辑方法的一种特有形式。
模型舍去了原型的一些次要的细节、非本质的联系，以简化和理想化的形式去再现原型的各种复杂结构、功能和联系，是连接理论和应用的桥梁(模型和原型的关系如图1所示)。
关于模型的形式或种类，教材中介绍了物理模型、概念模型和数学模型三种类型。这三种模型有一个共性就是用来学习被认为相似的事物的工具，笔者在三年的课堂教学摸索中始终坚持对学生建模能力的培养，不仅适应学生的认知规律，也可以提升课堂的内涵，帮助学生在更好的掌握知识的同时学会研究方法，提升生物教学的价值和魅力。
1 构建物理模型
为了形象、简捷地处理问题，人们经常把复杂的实际情况转化成一定的容易接受的简单情境，从而形成一定的经验性的规律，即建立物理模型。教材中对物理模型的定义就是以实物或图画形式直观地表达认识对象的特征，它在教材中应用非常频繁，比如细胞模型、细胞的亚显微结构示意图、Dna的双螺旋结构、生态农业系统等。物理模型既包括静态的结构模型，又包括动态的过程模型，如教材中学生动手构建的减数分裂中染色体变化的模型、血糖调节的模型等，就是动态的物理模型。
1.1 构建实物型物理模型用以帮助直观的认识
教材中对物理模型的定义就是指以实物或图画形式直观地表达认识对象的特征，它可以形象而概括地描述事物的一般特征，实物型物理模型是最直观的物理模型。尤其是在学生学习《分子和细胞》的时候，学生第一次接触到系统的严谨的微观知识，对于刚刚进入高一的学生来讲，此时构建实物型的物理模型可以帮助学生建立直观的认识。例如人教版教材“分子和细胞”中呈现了北京某中学制作的细胞模型就可以让学生真实的感受到细胞的结构。在“物质跨膜运输的实例”中，“原生质层”的概念对于学生来说总是很难理解，学生尚不具备这样的想象能力，如果能够制作一个成熟的植物细胞的实物模型，那么学生对原生质层的结构以及它的两侧的溶液的理解就非常清楚了，具有了最直观的认识。
在教学过程中，建立实物型物理模型的知识点还是很多的，有“减数分裂”、“Dna分子的结构”等。虽然建立这种模型有一定的困难，需要教师寻找合适的材料，做大量的准备工作，课堂教学进度放慢等。但是教师可以采取兴趣小组、课外活动等形式加以避免。实物型物理模型的作用和效果是非常明显的，尤其是减数分裂的模型很好地解决了学生学习的困难，在帮助学生学习的同时也锻炼了学生的动手能力和合作能力。
1.2 构建示意图物理模型用以促进理性的转化
示意图物理模型就是指以图画形式直观地表达认识对象，在教材中也有丰富的示意图形式的模型，这些内容相对微观、抽象、复杂，不便于制作实物型模型，示意图式的物理模型可以促进学生感性的理解。因为这类模型学生很常见，所以构建起来难度并不大。例如在“细胞膜的结构”的教学过程中，在学生理解了磷脂的特性之后，师生共同构建磷脂在空气一水的界面上的物理模型和在细胞膜中的模型(图2)。图2磷脂在空气一水的界面上和在细胞膜中的模型
学生完成上述模型并不是太困难，在此基础上让学生独立思考，构建某植物细胞中存在某个以磷脂为膜包裹的小油滴的物理模型。要完成这个模型，学生要对磷脂的特性和油、水的分布很清楚，学生构建还是有一定的困难，教师可以先让学生进行讨论再总结，通过这个情景转换可以巩固学生的感性认识。
构建示意图物理模型学生可以把复杂的知识简化，可以把抽象的知识形象化，但真正的关键作用是学生在构建这些模型的时候已经融入了自己的思维，完成构建过程可以促进感性向理性的转化。
1.3 构建文字型物理模型用以发展抽象的认知
上述两种物理模型都与图形有关，比较形象直观，而很多情景中用图形表示是非常复杂的，文字型物理模型就是在前者的基础上，以实物和图形作为蓝本，最终形成的物理模型只由简单的文字和箭头组成。实际教学过程中发现学生构建示意图型的物理模型并不是太困难，对于学生来说，构建文字性物理模型更加困难。下面就是通过构建物理模型来考察学生是否掌握细胞代谢以及细胞与相应内环境关系的一个例题：尝试构建人体肝脏内血浆、组织液、成熟红细胞内液之间o2、Co2扩散的模型(①在图形框间用实线箭头表示o2，用虚线箭头表示Co2；②不考虑C02进入红细胞内液)。在学生构建该物理模型(图3)时必须清楚成熟红细胞的代谢特征，只能进行无氧呼吸，清楚o2、Co2的扩散方式，扩散途径并且还要用简单的图形表示出来。
学生自己构建这样的物理模型，实际还是存在一定的困难，所以在建立这类模型的过程中，教师还是应该先从内环境的直观示意图出发，使学生能从示意图中能够很清楚地认识到肝脏细胞和组织液、组织液和血浆、红细胞和血浆之间发生的物质交换，以此为母版，构建文字型的物理模型也就水到渠成了。
根据皮亚杰所揭示的儿童认知发展规律，儿童进入青年期，认知功能渐渐的由具体、直观水平占优势过渡到抽象水平占优势，教师在面对这样的学生群体时，可以用语言或者其他符号来陈述抽象概念及关系。因此培养学生构建这样的物理模型不仅是适合学生心理和认知发展规律的，从教学的另一个本质上来讲，教学应该起到促进学生这种抽象认知发展的作用。
2 构建概念模型
概念模型是对真实世界中某个问题域内的事物进行描述，概念模型包括：中心概念、内涵和外延。在教材中，概念模型大多以概念图的形式出现。概念图是指利用图示的方法来表达人们头脑中的概念、思想、理论等，是把人脑中的隐性知识显性化、可视化，便于人们思考、交流、表达。构建概念模型的过程：选
取一个熟悉的知识领域；确定关键概念和概念等级；初步拟定概念图纵向分层和横向分支；建立概念之间的连接，并在连线上用连接词标明两者之间的关系；修改和完善。
2.1 构建环状概念模型用以理解知识的联系
环状概念模型的特点是当把相关概念建立链式模型后，模型的首尾可以根据某种关系相互连接起来，形成环状，它主要体现的是各个概念之间的联系。环状模型最典型的就是“激素调节的实例”(人教版)血糖平衡调节的模型。教学过程中，学生第一次接触激素对生命活动进行调节，是否能真正理解激素是如何调节的，调节的结果又是怎样的，生命活动又是如何处于动态平衡之中。教材中设计了学生活动，学生通过简单的翻糖卡对胰岛素和胰高血糖素的调节时机和结果有了一定的感性认识。这时候教师结合学生的感性认识，可以把关键词提供给学生，引导学生构建关于血糖平衡的概念模型(图4)，通过构建这样的环状模型，把学生直观感性的认识提高到抽象理性的认识，理解发生在体内的微观变化过程。
这种简单的概念图一般用于新授课中，尤其是概念之间有着紧密的联系的知识点，比如光合作用和呼吸作用的联系，正、负反馈等。从简单的概念图开始及时培养学生构建概念模型的能力，既能够帮助学生更好地理解知识之间的联系，又能逐渐培养学生构建概念模型的能力。
2.2 构建等级概念模型用以纠正知识的偏差
等级概念模型的特点是概念之间有着非常明显的层次关系，围绕一个中心概念，逐层展开次级概念，各等级的概念之间是包含关系，它体现的是概念之间的分类、从属关系。在生态系统的有关知识复习过程中，发现学生中普遍存在一个错误的概念：对生态系统的结构和生态系统的成分总是混淆不清，容易把生态系统的结构误认为是成分而忽略营养结构，于是构建了这样一张概念图(图5)。
通过这样的等级图可以清楚的看到生态系统的结构和成分是上下的等级关系、包含关系，学生就很容易纠正错误的概念。这样的概念图一般可以用于概念较多的新授课或者在完成了某一个章节的学习内容之后，可以设计这种模型。在人教版模块一《分子与细胞》中，几乎在每一章的自我检测中都有构建概念图的要求，注重培养学生的这种能力，同时也能够帮助学生逐步建立学科知识的网络。
2.3 构建放射概念模型用以建立知识的网络
放射概念模型的特点是确定一个核心概念，围绕这个核心概念，搜索与之相关的概念，建立它们之间的联系，使概念的构建呈发散状，它体现的是构建者形成的知识网络。随着知识的增加，尤其进入到总复习阶段的时候，形成知识网络，构建学生的知识体系显得十分重要，通过一些概念图设置可以帮助学生形成网络，提高学生的知识综合和迁移能力。例如笔者设计了这样一个概念图(图6)：请以“染色体”这一概念为核心，写出15个以上与“染色体”相关的概念，连接为一个较完整的概念图。
学生要完成这样一张概念图，必须掌握各种与染色体有关的概念并清楚概念之间的联系，知识运用涉及到模块二的大部分内容，很好地检测学生对概念的掌握和理解情况。把学生感知“孤立”、“散装”的概念纳入相应的概念体系之中，让学生获得一个条理清晰的知识网络，既能帮助学生理解新概念，又能进一步巩固深化已学概念，此外还锻炼了学生的联想能力和创造性思维。
在教学过程中，常发现许多学生在学习之初游刃有余，但随着知识点变得丰富、复杂，尤其是进入复习阶段时就容易出现概念的混乱，特别在是面对一些新情境下的问题，一脸茫然。教师将概念图这一认知工具应用到生物学教学中，在不同的教学情境中设计不同的概念图，让学生在构建过程中主动参与知识的回顾与提炼过程，整合新旧知识，建构知识网络，浓缩知识结构，达到灵活迁移知识的目的。
3 构建数学模型
教材中提到的数学模型指的是用来描述系统或它的性质和本质的一系列数学形式。具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观实物的特征及其内在联系的数学结构表达式。数学建模的过程一般为：模型准备一模型假设一模型建立一模型检验。
3.1 构建表达式数学模型用以计算精确变化
表达式数学模型是指用数学符号、字母、数字构建的数学模型，第一次出现是在模块三的“种群数量的变化”中，在实际教学工作中发现，构建数学模型对学生来说比上述两种模型的困难更明显。因此在教学过程中首先应强化模型构建的步骤，在这个过程中，学生不仅仅应该知道该数学模型，更应该让学生清楚构建每一个数学表达式模型成立的条件是什么，假设是怎样的，模型中各项参数又是什么含义。
培养学生构建数学模型的第一步，在此基础上应创设新情境，帮助学生寻找典型模型的应用规律。
例如创设这样的情境：东方田鼠喜欢野外环境，2007年6月下旬以来，栖息在洞庭湖的400多万亩湖州地中的约20亿只东方田鼠，随水位上涨部分内迁。它们四处打洞，啃食庄稼，严重威胁沿湖防洪大堤和近800万亩稻田。生态学家研究发现，东方田鼠种群迁入初期种群数量很少，一个月内随着水稻和芦苇等作物种植面积的不断扩大而迅速增长。为研究东方田鼠的种群数量的变化规律，生态学家构建了数学模型nt=ntλt，该数学表达式成立的前提条件是什么，从环境容纳量的角度思考，提出两项控制东方田鼠数量的有效措施。
学生要能够解答这样一个有关的数学模型习题，首先要能够对教材上已有的三种种群变化的数学模型进行比较，寻找它们之间的差异以及导致这种差异存在的根本原因，经过对比、引导和研究，能够发现三者的关键差异就在于模型的假设。学生清楚了三种模型之间的区别就可以对新的情景进行判断了。题中的情景与哪一种模型的假设相似，就应该应用何种模型解题，例题的情况应该属于物种入侵，典型的J型增长曲线，那么相对应的假设就是东方田鼠生存的空间和食物是足够的，且湖州地区的气候适宜，缺少天敌。第二问也就迎刃而解了。通过创设不同的情景，学生可以进一步的理解不同模型之间的区别，也可以更好的理解建立数学模型并加以应用。
这种表达式数学模型涉及到的知识点有很多，脱氧核苷酸序列与遗传信息的多样性，碱基与氨基酸对应关系，调查人群中的遗传病，用数学方法讨论基因频率的变化，探究自然选择对种群基因频率的影响等等。把数学的思维引入到生物学科，不仅能让学生感受到生物学科的严谨，也能让学生感受到不同学科知识之间的交叉与融合。
3.2 构建曲线型数学模型用于观察发展趋势
数学模型不仅仅是指上述等式的形式，还包括表格、曲线和柱状图等常见的形式。其中曲线型数学模型用于观察事物发展的趋势非常直观明了。教材中涉及到这类数学模型的内容还有很多，如有丝分裂和减
数分裂过程中染色体、染色单体以及Dna数量的变化规律，呼吸过程中随氧气的浓度增加atp、Co2的变化曲线，光合作用中随光照强度、温度、Co2等条件的变化光合作用强度的变化曲线等。
在培养学生构建这类数学模型过程中，帮助学生掌握规律可以提高学生的建模能力。培养学生关于曲线的能力则包括很多方面，阅读曲线，识别曲线，绘制曲线等等，涉及的范围非常广，但都有规律可循，归纳起来关键是三个方面，理解坐标含义及横纵之间的联系，判断起点(尤其是否为原点)，判断走势。
学生在构建曲线型数学模型中的难点主要有两点，一是在构建过程中容易忽略对坐标的定义，尤其是单位；二是当学生在描点之后，容易对曲线随意的延伸；第三种最突出，针对没有具体数据的背景，学生在描述上升趋势的曲线时，不能分辨出下面的三种情况：类似“J”型、“S”型和直线型(图7)。
引导学生比较这三种曲线模型的区别，创设不同的情景：aa的生物复制n次以后纯合体的比例；某池塘中随着某种鱼数量增加种内斗争的剧烈程度；随着溶液中尿素浓度的增加，尿素进入细胞的速度变化等，寻找出三者之间的差异，逐步培养学生构建曲线型数学模型的能力，一目了然地观察各情景下事物发展的规律，能使学生的知识发生正迁移，起到举一反三的效果。
在课堂教学过程中培养学生构建数学模型，有利于培养学生透过现象揭示本质的洞察力，同时通过科学与数学的整合，有利于培养学生简约、严密的思想品质，可使一些重、疑、难点化繁为简，既深化了对知识的理解，又培养了学生的数学思维能力。
美国的心理学家布鲁姆认为，人类记忆的首要问题不是储存而是检索，而检索的关键在于组织。上述模型就是一种知识的组织方式，构建这些模型的过程就是组织材料、建立记忆检索框架的过程。在建模过程中，学生可以识别知识之间的联系，用适当的图解来标明这些知识的内在联系，将新的、零散的知识与原有的知识整合构建一个意义结构。因此建模首先是一种较高水平的信息加工策略。
数学建模的概念篇3
关键词：概念意象数学模型高等数学概念
中图分类号：G712文献标识码：a文章编号：1673-9795（2014）01（b）-0000-02
高等数学中的极限、导数与积分等概念属于高等层次的数学概念，具有高度的抽象性、逻辑的严密性和表征的复杂性等特征，使得学生难以掌握这些概念。
数学模型是对一个实际问题，按照其内在规律做出一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。[1]运用数学模型可以描述实际问题，借助数学的方法求解模型，结合背景知识可以解释或回答实际的问题。随着科学技术的发展，数学模型已经渗透到各个领域，发挥着重要的作用。在数学教学中，数学模型对概念的形成也具有促进作用。
本文根据Vinner提出的概念意向，提出了基于数学模型进行概念教学，使用数学模型建立、强化概念意象，并使用概念意象解决实际问题，从而完整掌握概念。
1当前高等数学概念教学的问题解析
当前我国高等数学概念教学存在以下问题：
（1）教学以逻辑结构代替认知结构。错误认为“布置给学生认知任务时，学生会使用概念定义，因此无需给他们大量不同的例子”，但是，Vinner的研究指出这种想法是错误的。[2]在解决问题时概念定义往往不起任何作用。学生不了解概念定义也能在考试中得到好成绩。
（2）我国学生对高等数学概念的掌握也不高。秦德生对高三，大一和大四的学生进行了导数理解的实证研究表明，学生对极限思想理解水平较低，达到最高e级水平的大一学生仅占总体的39%，对导数的物理意义，形式化意义理解水平也较低。[3]
（3）应用概念解决实际问题的水平较低。如何让学生掌握概念是高等数学教学中的一个难题。
2概念意象的研究
学生对概念的理解与书本上的定义往往是不同的。为研究知识的内部表征和加工方式，人们提出了意象。Shepard认为意象的实质是一种类比表征，即内部表征的机能联系与外部客体的结构联系是相似的。[4]1981年Vinner提出“概念意象”以与书本上的“概念定义”做出区分，“用概念意象描述与概念有关的整个认知结构，包括所有的智力图形和相关的性质、过程……概念定义是用来特别说明概念的一种词语形式”。[5]概念意象是概念的内部表征，是一种非语言的思维形式，具有不断变化、不精确且容易歪曲的特点。
在概念形成与理解的过程中，概念意象起着至关重要的作用。tall、Rasslan、Giraldo、Rosken等人在研究导数、切线、定积分等概念的过程中揭示在多数情况下，学生不是用概念定义，而是用概念意象思考问题。[5-6]
3基于数学模型的概念意向教学
现代学习理论表明，学习过程是认知结构形成、变化和完善的过程。曹翰才认为：数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。[7]
数学概念的学习过程也是一个概念意象逐步强化完善的过程。学习者根据自己的经验与理解通过初步学习形成概念意象。然后，通过运用逐步消除其中的错误，建立概念之间的联系，即形成概念域和概念系，完整的掌握概念。
3.1利用数学模型建立概念意象
罗奇（Rosch）认为，概念主要是以原型即它的最佳实例表征出来的，人们主要是从能够最好地说明一个概念的实例来理解概念。[8]学生在建立求解简单的数学模型过程中，运用辨别、抽象、概括等心理过程，通过对问题的分析，了解概念的产生背景、前提条件和思想方法等，以概念形成和概念同化的方式，可以更好的建立概念意向。
例如导数概念与变化率密切相关，可以用变速直线运动的瞬时速度问题通过以下步骤引入导数概念。
（1）分析了解问题背景，即求瞬时速度的必要性.（2）通过抽象、联想等心理活动，将瞬时速度与平均速度建立联系，确定计算物体在区间上的平均速度：
（3）通过对比、辨别等方式引入极限的思想，令此区间宽度，从而得到物体在时刻的瞬时速度：
（4）运用抽象概括等将瞬时速度问题与瞬时变化率联系起来。结合几何直观解释，引出导数概念。在此过程中，学生建立起导数的概念意象，将导数和瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率等结合考虑。
3.2利用数学模型消除学生在概念理解上的认知错误。
数学模型是概念在头脑中的内部表征，受到具体例子的影响，容易将例子的特性当作概念的属性，因此概念意向往往是片面的、不完整的。
例如，在传统教材中使用平面图形面积问题引入定积分定义，学生常错误的认为定积分就表示由直线，，轴和曲线所围成的平面图形的面积，而忽视了被积函数必须大于或者等于零这个限制条件，也容易忽视概念的本质。
数学模型通过不同的例子使学生从多角度、多层面思考，并用不断的刺激使新的概念与原有的概念意象发生冲突，从而引起反思，纠正之前的错误概念意象。
经济学中的连续收入流的现值问题需要使用定积分概念。一些大公司的付款可以看成是连续的，其收益可以用连续的收入流表示。假设某公司收入流的变化率为元/年。采用连续复利，年利率为，则m年后的现值可以用定积分表示。
从而将连续收入流的现值表示成和的极限的形式，即用定积分来表示。这一过程体现了定积分定义中的分割、近似、求和与取极限四个步骤，强化了学生对定积分本质的理解与运用，纠正学生简单的用面积来解释定积分。
3.3利用数学模型提高学生应用概念解决实际问题的能力
有一种思想认为学生在解决问题时只用概念定义，因而无需给学生讲解大量的例子。但是Vinner指出，这种想法是没有任何根据的。[1]
在概念意象阶段，学生能判定一个具体的事例是否属于这个概念，但是学生对概念的理解水平仍不高，处于形象思维的阶段。
数学模型通过较多的例子使学生产生足够的概念意象，帮助学生在解决实际问题过程中，将原始条件进行符号化，并与相关的概念定义、概念意象进行重组和加工，将各个独立的概念、性质联系起来，最终形成概念域和概念系，以适应实际问题的需要，从而完整的掌握概念。
在学习了高等数学的内容后，学生建立了导数、微分、积分和微分方程等的概念意向，达到了符号化的水平。但是掌握的是独立概念，仍不足以使用基本概念解决实际问题。例如在人口增长模型或者传染病模型中，我们虽然已经有了导数的定义，但是我们并不是直接使用导数定义建立模型，而是根据导数的意义建立模型，这就需要了解导数的概念、意义和相关的性质。在分析求解验证模型过程中，学生将导数、积分、微分方程、极限等概念及其性质连接起来，形成概念域和概念系。经历这一过程，学生能更加深刻的理解概念，达到应用概念解决问题的水平。
概念的内部存储和表征并不等同于知识的逻辑体系。本文从概念意象的角度，论述了数学模型在高等数学教学中，建立概念意象、消除错误概念意象和综合运用概念解决问题阶段的重要作用。由于概念表征的复杂性，概念意象形成的细节仍需要进一步研究。
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数学建模的概念篇4
一、运用模型建构方法进行概念的有效教学
对于概念的学习，模型建构是最直接最有效的教学途径之一。下面以“动作电位”的概念教学为例加以说明。
1.模型建构
“动作电位”是一个比较抽象的概念，学生难以真正理解。那么在教学中如何突破这个难点内容呢？笔者认为要想从本质上解决这类问题就必须从其来源解决，教学时可以先让学生思考“用适宜强度的电刺激刺激神经纤维的某一位点后（如图1），电表指针的偏转情况如何变化？”这个问题，建构动作电位产生模型。学生根据相关信息可以构建出如图2的动作电位产生模型。
2.模型分析
建构上图2中的模型后，教师再接着对该模型进行描述，分析a、b、c、d分别属于极化状态、去极化、反极化和复极化过程，以及产生a、b、c、d的原因分别为K外流、na内流、na内流、K外流，从而让学生理解动作电位这个概念。
3.模型转换
通过模型建构和分析的过程，学生对“动作电位”这个概念会有比较充分的认识，但还有部分学生可能会问为什么动作电位的起点是负值？为了解决学生心中的这个疑虑，让学生对动作电位有更深的理解，教学时可以将模型进行转换，比如，让学生思考，如果将图1中的两个接线柱连接的导线位置对调，图2会有何变化？
学生通过分析指针偏转方向与电位变化的关系可以得出如图3的模型。通过对模型的转换，能让学生明白静息电位实际上是测膜内的电位，所以静息电位为负电位。此外，教师可以继续让学生思考，如果将图1中的两个电极都接在膜外，电表指针的偏转情况又将如何？学生通过思考，教师加以引导和分析，可以得出如图4的模型。
4.模型应用
一般而言，命题主要是命题者根据自己头脑中选择的一个理想化的生物学模型，再结合某些生物学事实，给出已知条件，并提出问题[1]。而解题过程就是还原生物模型的过程，学生若能正确建立生物模型，很多问题就可以迎刃而解，从而极大地提高解题效率。这种思维模式在近几年的高考中均有体现，本文不再一一举例。
综上所述，在生物核心概念教学中，如果能够较好地结合课本上各种模型进行讲解，有目的地进行模型构建分析、重建，以及尝试进行同一模型不同表达形式或不同模型间的转换，就能加深学生对概念的理解和应用，还可以掌握通过模型构建解决实际问题的科学探究方法。
二、运用模型建构方法梳理知识间内在关系
在高考中，要求学生能综合运用相关知识解决相关问题，所考查的试题往往综合性比较强，这就要求教师和学生在高考复习中，能对知识进行梳理，理清知识与知识之间的内在关系，那么如何才能将知识有效梳理，形成完善的知识网络呢？笔者通过课堂实践，认为围绕模型组织教学更有利于学生掌握核心概念，理解重点知识，建立知识联系，完善知识网络。下面以概念模型为例加以说明，具体如下。
概念模型是指以文字表述抽象概括出事物本质特征的模型[2]。例如，在细胞的生命历程专题复习时，我们可以建构如下概念模型。
上述概念模型以“细胞增殖”为核心概念，以辐射的方式将“有丝分裂”、“减数分裂”、“细胞凋亡”、“细胞的分化、癌变和衰老”等内容有机组织在一起，以这个概念模型的形式开展教学，可以帮助学生认识细胞的整个生命历程，同时将相关知识点有机联系起来，实现对细胞生命历程的相关知识全方位、多角度的认识。
三、运用模型建构方法提高解题能力
例如，有关细胞增殖的题目有很多，但只要我们掌握了染色体的行为变化模式图很多问题就可以迎刃而解。以减数分裂为例，整个减数分裂过程中染色体的行为变化可以用下面的这个模型表示。
有了上述模型，我们可以用来解决减数分裂过程中有关的染色体数目、Dna数目、染色单体数目、同源染色体数目、染色体组的数目、染色体和Dna的比值关系、生物的变异类型、孟德尔定律发生的时期、Dna复制的相关问题、异常配子的形成问题等。
数学建模的概念篇5
关键词：高职高专高等数学教学数学建模创新能力
高职高专教育主要培养面向生产、服务、管理第一线的高素质高技能型专门人才，侧重于培养学生的应用能力，而高职高专高等数学教学也相应地由侧重理论教学转向怎样有效地提高学生数学素质、培养学生的应用能力和创新能力，使学生具备应用数学知识解决实际问题的能力。而数学建模就是实现这一目标的有效途径，而当前最主要的问题是，怎样把数学建模教学融入到高职高专高等数学教学中。下面笔者就此问题作探讨。
一、在高职高专高等数学教学中融入数学建模的意义。
在高等教育普及化的背景下，高职高专院校的学生数学基础都较差，对高等数学的学习存在一定的畏惧心理，若在高等数学中仍按传统的纯理论教学方式进行教学，学生会因基础较差不能理解所学内容而导致缺乏高等数学学习的兴趣，认为高等数学内容太深奥而丧失学好高等数学的信心，导致学生无法学好这门课程，进而在现实生活中碰到问题无法应用高等数学知识解决。数学建模，就是用数学的语言描述或模拟实际问题中的数量关系，因此，数学建模就像一座桥梁将现实世界和数学连接起来。在高等数学的教学中融入数学建模思想，在讲解数学概念和相关定理之前，将它与实际问题联系起来，在学完数学概念和定理后在应用其解决实际问题，通过这样的讲授方式，将高等数学与实际问题紧密联系起来，有助于提高学生的思维能力，培养学生正确、科学、全面的数学观，还可以在一定程度上培养学生的应用能力和创新能力，同时让学生感觉到高等数学不是枯燥无味的概念讲解和繁琐深奥的定理推论，而是与实际问题紧密相连的一门具有实际应用的基础学科，在应用数学知识求解实际问题的过程中体验到高等数学的独特魅力，了解高等数学广泛的应用性。从而引起学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、在高职高专高等数学教学中融入数学建模的基本思路。
在高职高专高等数学教学中融入数学建模，首先在概念讲授中要融入数学建模思想。数学概念是高等数学学习的基础，同时也是高等数学的灵魂，能不能理解数学基本概念是能否学好数学的关键。在讲解概念的过程中要让学生了解这些概念的来龙去脉，让学生充分了解数学概念产生、发展、应用的全部过程，要让学生明白为什么要学高等数学，带着问题主动去学习，注重讲清高等数学概念是怎样形成的，再结合学生所学专业背景，将这些概念与现实生活中的问题联系起来。例如在学习导数概念这一节时，可以将概念的讲解和现实生活中实际现象相结合，如：二氧化碳的排放造成的全球变暖、猪肉价格的涨跌、自由下落物体运动等，让学生思考平均变化率和瞬时变化率的问题，然后讲解两个经典的数学模型：物体的瞬时速度和曲线的切线斜率，进而提出导数的概念，通过与现实问题结合讲授概念，能让学生更好地理解并应用导数概念。
其次，在高职高专高等数学教学中，将数学建模案例与定理讲解相结合。例如，在介绍条件极值的时候，可以与“奶制品的生产与销售”这个建模例子结合起来讲解，通过教师的引导，将条件极值和这个问题联系起来，找到它们之间的关系，用数学建模的思想解决这个实际问题。在讲解极值定理时，可以增加简单的优化模型，例如与“存贮模型”“生猪出售时机”“最优价格”等数学模型相结合。通过这些实际问题的模型，学生能更好理解高等数学中定理，并学会应用定理解决实际问题。
再次，在高等数学习题课教学中可以增加建模案例教学的环节，数学建模案例的难易程度应与高职高专学生的知识水平和学习能力相符，过于简单或过于困难都不利培养学生的学习兴趣，要选取难易适当、与现实生活相关的实际问题，例如，在微分中值定理及导数应用这一章习题课中可以增加“消费者选择”数学模型；在积分知识及其应用这一章习题课中可以增加“存储问题”数学模型，在微分方程这一章的习题课中，可以增加“经济增长模型”和“香烟过滤嘴的作用”，等等。通过对这些与现实相关的问题的研究，学生能清楚地认识到高等数学在实际问题中的应用，从而积极主动地应用数学知识分析问题、解决问题。
最后，可以在高等数学课程的考核中增加数学建模问题。学完每章节的内容后，在课外作业的布置中，除书本中的习题外可以再增加一两道需要运用本章知识解决的实际问题的数学建模题目，这些数学建模可以让学生独立或自由组合成小组去完成，给予完成情况好的学生较高的平时分，在期末考试试题中以附加题的形式增加数学建模的题目。用这种方法，鼓励学生应用数学的知识解决现实中各种问题，提高学生使用数学知识解题的能力，调动学生的学习积极性，从而使学生获得除数学知识本身以外的素质与创新能力。
三、在高职高专教学中融入数学建模，教师要具备创造性思维和创新精神。
在高职高专高等数学教学中融入数学建模的思想，要培养教师具有较高的创造型思维修养和较强的创新精神。创造性思维和创新精神内涵丰富，要有刻苦钻研、敢于探索的精神，脚踏实地、勤奋、求真务实的态度，锲而不舍、坚韧不拔的意志，不畏艰难、艰苦奋斗的心理准备，良好的心态、强烈的自我控制和团队协作意识等多方面的品质。教师是高职高专人才培养质量的重要因素，高职高专院校要培养学生的思考能力和探索精神，教师必须具备较高创造性思维修养和创新精神，如果高职高专的教师队伍不具备创造性和创新性，培养出的学生就不可能具备探索精神和创新品质。实践证明，高职高专数学建模教学的顺利开展，可以让教师在教学中增加实际问题模型，让教师在教学过程中与学生形成互动，引导学生应用所学数学知识解决实际问题模型，培养学生自主创新思考能力，打破传统的“填鸭式”、“满堂灌”等教学方式，让学生由被动学习转变为主动学习，达到良好的教学效果。
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[m].北京：高等教育出版社，2003：24-170.
[2]韩中庚.数学建模方法及其应用[m].北京：高等教育出版社，2005：21-123.
数学建模的概念篇6
关键词：生物学教学生物学模型建构
模型方法是指人们为了认识自然界中某一复杂的对象（如非常庞大的太阳系或非常微小的细胞），或事物发生的过程、规律等，用形象化的具体实物，或抽象的语言文字、图表、数学公式等对认识对象进行模拟或简化描述的一种方法。模型的种类很多，一般所说的模型主要有物理模型、数学模型、概念模型等。[1]建立模型的过程，是一个思维与行为相统一的过程。在中学生物学科教学中，通过模型建构活动，让学生的探究活动中，更好地理解和把握生物学的核心概念；通过模型建构活动，让学生理解模型方法的重要作用，并学会适当应用这一重要方法，从而提高每个高中学生的生物科学素养。
1、物理模型
物理模型就是以实物或图画形式直接表达认识对象的特征，细胞立体结构图，细胞膜结构的实物模型，就可以看做物理模型。建构物理模型使抽象的知识具体化、形象化。
在学习人教版《分子与细胞》中“细胞器──系统内的分工合作”时，我布置学生8人为一个小组，其中4小组构建动物细胞模型，4小组构建植物细胞模型。我要求学生利用周末时间完成，周一课上展示各小组的模型并进行点评。
周一课上交上来的模型中，有的同学用白色橡皮泥捏成半圆做成细胞质，有的同学则用面团，有的同学则用琼脂来做细胞质基质。细胞膜的材料也是多种多样，如塑料袋、纱布、弹力布等。细胞核的制作也是各式各样，有的同学在细胞质中央挖一个小圆，放上一个圆形彩泥；有的同学则用一个乒乓球代替，也有的同学用半个蛋壳倒扣在细胞质中表示。细胞器的制作，大部分同学采用了各色彩泥，捏制成各种细胞器之后，用大头针固定于细胞质基质上。如内质网是捏一条扁平的彩泥之后折叠在一起而成；高尔基体则用几个扁平的彩泥和三个小球表示；核糖体则用若干红豆表示，有的放于细胞质中，一部分固定内质网上。也有同学用各色彩纸折成各种细胞器。在课上，我让各个小组派出代表，展示本组的作品，并介绍一种细胞器的结构与功能，其他小组同学有不清楚的问题提出后由负责介绍的小组同学负责解答。通过小组间的建模、模型展示与释疑，同学们不仅对目标知识掌握的非常透彻，而且还没明白了制作动植物细胞模型时要考虑细胞器种类，细胞核、细胞器大小比例，如何体现细胞器之间的协调配合等等。
2.概念模型
概念模型指通过分析大量的具体形象，分类并揭示其共同本质，将其本质凝结在概念中，把各类对象的关系用概念与概念之间的关系来表述，用文字和符号突出表达对象的主要特征和联系。
2.1构建概念模型提高了读图能力
例如，用光合作用图解描述光合作用的主要反应过程，就是一种概念模型[2]。
在学习光合作用的过程及影响因素时，我经常运用概念模型进行教学。我让学生把课本合起来，和我一起思考、动手：首先，光合作用是否需要光，谁吸收光，在哪吸收光，吸收的光能用来干什么？由此一步步就完成了光合作用第一阶段的知识建构。其次，有光合作用第一阶段的产物[H]和atp的用途想到第二阶段的两个反应即Co2的固定和C3的还原以及场所条件等进而完成了第二阶段的知识建构。第三，通过建构的光合作用过程图，轻易的就能理解两阶段间的物质联系和能量关系。用一个椭圆将进入反应体系的物质和光圈在外面，这样就可以把椭圆内看成叶绿体，也就容易掌握了光合作用的原料和产物以及影响光合作用的因素，还能进一步掌握提高光合作用效率的方法。通过多次这样的概念模型的构建，学生养成了一种思维习惯，凡遇抽象的结构或过程，都会尝试用简易的图画帮助理解、思考。
2.2构建概念模型，整合零碎知识
例如，在学习《分子与细胞》模块的细胞结构内容后，我利用学案中事先设计好的框架，让学生构建了概念模型，将课本中细胞壁的成分、结构、功能、特点，细胞膜的成分、结构、结构特点、功能及功能特性、物质跨膜运输方式，细胞核的结构、各部分结构的功能、染色体、Dna等知识整合在一起，使零碎的知识完整化。模型如下：
构建这样的概念模型，有利于学生对某个单元、某个模块知识进行加工、理解、储存，全面系统地掌握和记忆知识要点，有利于学生形成完整、清晰、系统、科学的知识体系，同时也促进了学生感知、记忆、想象能力的发展，使学生更系统地掌握、理解生物学知识。
3.数学模型
引导学生建构数学模型，有利于培养学生透过现象揭示本质的洞察能力；同时，通过科学与数学的整合，有利于培养学生简约、严密的思维品质。例如，用nt=n0λt表示种群的“J”型增长，就是一种数学模型。
高中生物学中概念较多，学生易混淆。用适当的数学模型可以帮助学生理清概念。如减数分裂中同源染色体、四分体、染色体等之间的关系就可以用数学模型来表示：1个四分体=1对同源染色体=2条联会的染色体=4条染色单体=4个Dna分子=8条脱氧核苷酸链，学生通过构建这样的数学模型，很容易地掌握了这几个极易混淆的概念。再如，Dna经n次复制所需游离的某种脱氧核苷酸数和第n次复制所需游离的某种脱氧核苷酸数的区别，学生常常混淆不清。课上，通过图解分析，师生一起构建了数学模型：n次复制所需游离的某种脱氧核苷酸数=（2n-1）m和第n次复制所需游离的某种脱氧核苷酸数=2n-1m（注：m为1个Dna分子所含某种脱氧核苷酸数），难题迎刃而解。
模型方法是人们认识自然界的一种重要方式，也是理论思维发展的重要方式。在进行具体的课题研究时，模型方法在人们理解事物的本质、探索未知规律的过程中，都起着重要作用。中学生物课中的模型建构活动，一方面是能让学生通过模型建构活动，理解模型方法的重要作用，并在以后的学习和生活中懂得适当应用这一重要方法；另一方面，也可以让学生通过探究活动，更好地理解和把握生物学的核心概念。
参考文献：
数学建模的概念篇7
1.概念引入缺乏科学性。由于有些小学教师专业素养不够，在引入概念教学时，缺乏科学性，往往忽略学生的接受能力，具体体现在三个方面。首先，在教学中削弱概念的作用。概念作为一堂课的引导，教师却忽略概念的来源和性质解析，即使讲解也是粗枝大叶，对概念中所蕴含的的丰富内涵忽略不计。其次，缩短其形成过程。死记硬背是教师进行概念教学最常用的办法。学生一般是通过模仿记忆和题海战术快速掌握知识技能。但是对于其概念的形成完全不了解只能形成短暂记忆，长时间不进行相关练习很快就会遗忘。再次，忽视概念的运用。只要能把概念背诵出来，教师就认为学生完成了学习任务，其教学目标也已经达到。但是抽象的概念只有在题目中灵活运用才能代表学生的熟知和掌握，运用概念解决实际问题才能彰显概念的有用性。
2.概念教学中缺乏模型意识。概念之间是相互联系、环环相扣的，建构概念系统和模型意识对学生理解和运用概念至关重要。很多教师在进行概念教学时缺乏建构意识，忽略概念的联系，将许多有联系的概念孤立地灌输进学生的脑海中，实现不了概念的沟通，从而降低了概念教学的价值。而且，有的教师缺乏模型意识，不理解特定的概念需要相应的模型，在进行教学中任意改换，造成建构的困难。例如，人教版小学数学四年级下册《平行四边形和梯形》中，应创设教学情境，引导学生抽象出图形，再通过图形的比较分析抽象出平行四边形。有的教师直接用教材主题图引导学生进行观察分析，缺乏教材要由图像到图形模型，再到数学模型的建构过程，偏离了教学意图，降低了概念教学的有效性。总之，优化小学数学概念教学对学生打好数学基础、促进思维开发具有重要意义。
二、优化小学数学概念教学的策略
1.以旧推新，密切联系生活。首先，小学数学教师应注重知识之间的关联性。新知识并不是孤立存在的，往往是旧知识的进一步演化和发展，有的数学概念不能通过语言表述进行讲解，但是与旧知识有内在的联系。所以，在概念教学中教师应充分利用新旧知识之间的联系，以旧推新，循序渐进，使学生更容易学习和掌握新的知识，同时还能够提高学生的逻辑思维能力。其次，概念联系生活实际可以提高教学有效性。教学模具是教师在数学概念教学中重要的辅工具，能够加深学生对概念的理解。教师可以在课余时间带学生进行户外实践，使学生通过具体的动手操作体会概念的内涵。例如，在进行面积的计算时，教师可以带领学生走出课堂，体会一公顷的面积究竟有多大，为学生创设真实的教学情境。学生通过切身体会，能够更加清楚地掌握数学公式和定理，对抽象性的概念也可以形象化。教师在教学中应充分发挥学生的主体性，引导学生进行自主学习，从而提高学生自主思考的能力。
2.注重讲清概念本质。小学生处于接受知识的初级阶段，学习中形象思维占有较大比重。概念是较为抽象的东西，这就要求教师在教学中应根据学生以形象思维为主的特点，讲清概念的本质。首先，为学生创造问题情境，引发学生学习兴趣。主动学习的成效远大于被动接受，学生通过自主探索和合作交流，能够在已有知识和经验的基础上产生新的思想，实现感性认识到理性认识的上升，从而正确理解概念的本质属性。其次，注意区分相似概念。小学数学中的有些概念相似性较高，但是存在着本质区别。学生如果在学习中混淆，有可能导致解题中出错，结果南辕北辙。教师在教学中可以对概念进行分化归类，并对它们进行比较分析，讲清楚它们之间的相同点和不同点，使学生既可以看到两个概念之间的内在联系，又可以对它们之间的区别有较为清晰的把握，从而加深记忆，真正的理解概念。
数学建模的概念篇8
[关键词]小学数学；模型；认知；构建
[中图分类号]G623.5[文献标识码]a[文章编号]1007-9068（2017）11-0091-01
模型是学生认识世界的主要途径之一，数学教学需从具体的生活事物中抽取出模型，以便学生借助模型去甄别数学的其他相关内容。因此，在“模型”数学教学中，教师应尽最大努力消除学生的困惑，让学生对数学模型的认识更清晰。
一、多角度认知模型
数学概念是最基本的数学模型，对单个数学概念的理解，往往制约着学生对数学内容的进一步学习。已学概念与即将学习的概念有一定的联系，对每一个概念形成准确认知，可为学生日后的学习做好铺垫。
如教学“周长”时，定义图形一周的长就是图形的周长。教学时，教师可从几方面让学生建立周长概念的表象，即建立模型：（1）视觉――用多媒体出示小马沿着球场跑三分之一圈、跑三分之二圈、跑一圈的场景，让学生思考哪个是周长；（2）触觉――让学生摸一摸学具三角板的边沿，从一个尖点（顶点）出发，再回到这个尖点（顶点），每到一个尖点（顶点）时让尖点刺一下，感觉经过几个尖点才是一周；（3）动手――用“化曲为直”的方法，动用量一量大小不同、形状相同的两个三角板一圈的长，并比一比。视觉让学生懂得周长是平面内的概念；触觉让学生知道周长是一种封闭的情况，并且只指一周；动手让学生懂得周长指的是长度。学生通过从多角度感知，理解了周长的概念，从而更好地建立周L的模型。
让学生从多角度去感知概念，有助于强化学生对模型的认识。
二、用模型间迁移新建模型
事物的发展有着前后的联系，要学生掌握后一个模型，可借助前一个模型，让学生从一个已经掌握的模型学习新模型，那么新模型的学习就会变得更容易。
如教学“”两位数乘两位数（非整十数）”时，如果直接教学两位数乘两位数，学生可能就只记得怎么计算，至于为什么这样算他们并不理解，如果忘记了操作的步骤，则很难找回原来的模型，很难形成思路。所以在教学两位数乘两位数时，应借助已有的知识模型：（1）两位数乘一位数时，先用一位数乘两位数个位上的数，再用一位数乘两位数十位上的数，最后将它们所得的积相加；（2）两位数乘整十数就是两位数乘以0前面的数，再在乘得的积的末尾添上一个0即可。再教学“两位数乘两位数竖式计算”时，学生就容易建立起新的模型：先用一个乘数的个位数乘两位数得一个积，再用这个乘数的十位数乘两位数，相当于将两位数扩大了十倍，得到另一个积，最后将两个积相加。
由已有的模型构建新的模型，思路顺畅、清晰。如此，如果忘记了两位数乘两位数的计算步骤，也可以借助两位数乘一位数的方法推导计算的方法。
三、区分模型间的模糊区
真正造成学生困惑的原因是两个相近或相似的模型间有分不清的边界。当两个相近或相似的模型出现时，就会出现难分辨的情形，所以在对相近或相似的模型（概念）教学时，教师应引导学生区分清楚边界。
如教学“体积与容积”时，教师出示“空间中，体积与容积不一定相等”，请学生判断对错。全部学生都认为这种说法是错误的，但事实上这种说法是正确的，这说明在学习体积与容积这两个概念模型时，没有分清楚这两个概念间的差异。如让学生判断“边长为6米的正方体的面积是36立方米”的说法是否正确时，学生都能做出准确的判断，因为面积与体积的边界很清晰，面积不能用体积单位作单位。但是，为什么遇到体积与容积就出现了困惑呢？主要是学生对两个模型接界限区分不清。其实体积与容积在空间中当达到一定程度时是相等的（即有前提），但当物体有厚度的时候就不相等了。
如在空间（空气）中画一个几何体，这个几何体是存在的，但是所画的这个几何体却是看不见的，此时，这个几何体的体积与容积相等。学生一开始认为体积与容积是相等的，原因在于学生分不清可见和不可见的情况，如果让学生知道当物体轮廓的厚度越来越薄时，薄到可以忽略不计时，体积便等于容积，学生就能清楚地认识到体积与容积的关系。
可见，对于两个相近的模型，让学生明确它们之间的界限后，再遇到时学生的思维就不会出现障碍了。
数学建模的概念篇9
【关键词】概率教学；直观迷思；策略
在目前的高中数学教程中，概率是为数不多的与现实生活结合紧密的内容。概率概念含有直观的思维，却常常与我们生活经验中的直观期望不符，给学生的学习带来一定的困难，对教师的教学也提出了更高的要求。其教与学的困难主要体现在：首先，与概率相关的一些迷思概念比较隐蔽不易觉察；其次，有些错误观念貌似合理、符合逻辑；再者，要弄清学生在解决概率过程中的真实思维较为困难。
对学生而言，概率是一个看似简单又相当困难的学习内容。学生对概率的认知，很大程度上缺乏与数学知识的联系，认为有生活上的直观就可以了；对求得的答案又常有不确定的感觉，缺乏学习信心。教学中可以感受到，学生对概率概念存在直观迷思。学生的直观思维会如何影响其概率内容的学习；数学教师又如何调整概率内容在直观上的教学以帮助学生建立正确有效的概率直观来提高学习？
Fischbein将直观分成原始直观和二阶直观。原始直观是由个人生活经验发展而来，即使在接受学校教育后仍能显现。二阶直观是由教育的介入习得的科学性概念。[1]对同一个问题，二阶直观常与原始直观相矛盾。直观能影响学生的判断和学习，虽然其常与正确概念相违背，但因为它具有整体思考的特性，因此在解题的最初阶段有很大帮助，即原始直观和二阶直观在学生学习中都扮演了重要的角色。学生在学习时需要直观，但必须是正确的直观。所以，帮助学生克服直观迷思，对重建正确的数学概念是相当重要的。
在概率问题中，直观的角色似乎比在其他部分的数学学习中更为重要。概率直观常常与数学运算结果相违背，就像算出中奖的概率是那么小，但在现实中每周都有人中奖一样。概率含有直观的思维却充满了迷思概念。直观需要再构建，借由数学知识使其清晰。[3]若学生能够对直观有所洞察，将有助于学习抽象的数学概念，教师需要将直观以形式化的表现呈现给学生，因此教学要从例子开始，先讨论例子中的现象，然后指出结构再下定义。原始直观不会消失，即使通过教学介入被覆盖仍会潜在影响学生的判断，因此教师与学生都必须正视直观，在学习中分析并修正自己的原始直观。
由于概率的抽象性和不确定性，学生很难用已获得的解决确定性问题的思维方式去求解灵活的概率问题，这就决定了概率内容教与学方式的转变。为此提出以下建议：
（1）注重教学脚手架
根据维果斯基提出的近侧发展区（ZpD）的观点，教师可以根据学生原有背景知识搭建暂时性的学习构架，来协助学生由实际发展层次进入潜在发展层次，这种引导也是支架式教学。[4]实际概率教学中，教师必须以学生的原有认知为基础，依据教材内容和学生的特性，提供学习过程中所需的脚手架，并且该脚手架要随学生的实际学习情况不断进行调整，使学生能以此培养独立学习的能力。同时在教学活动设计上提供适当的学习情境，让处于ZpD的学生能主动积极地学习，有助于学生迷思概念的修正，促进学生的自我反思，强化概率的学习。
（2）注重“类比”和“冲突介入”
类比教学是将一系列的数学问题重组，以定锚问题开始引出正确答案，经过搭桥问题引出迷思概念，再到标的问题强烈地暗示迷思概念。冲突教学则用一个问题来引出学生的错误答案，接着呈现一个和学生错误答案相冲突的情境，让学生察觉到自己答案的错误。通过思维上的冲击，让学生更加直观地发现错误。教师可以收集学生在认知方面出现的直观迷思，把它们融合到自己的教学实践中，针对性的进行教学。
（3）注重构建知识网络
学生能否准确迅速地运用概率概念和模型解题，取决于其对各概念和模型间的联系与区别能否真正掌握，所谓的“夯实基础，提高能力”，本质上就是引导学生掌握知识间的区别与联系，将教材的知识转化为自己的认知。因此在概率的教学过程中教师要随时引导学生将获得的新概念、新模型与已有的概念和模型进行比较、对照，找出它们间的联系与区别，优化自己的知识结构。另外，学生在概率学习中可以用表征当媒介来获得抽象的结构，如画树形图，能加速认识组合的概念和运算。
（4）注重建模思维机制的提取
概率问题求解的关键是寻找模型。概率模型的提取需要经过观察分析、归纳、判断等复杂的思维过程，学生会因为对题目理解不准确或对某个知识点含糊不清而误入歧途，因此教学过程中，教师需要充分展示建模的思维过程，使学生从问题情景中领悟概率模型提取的思维，获得模型选取的经验。
（5）注重预测、实验和证实
要想建立正确的直观，就需要大量的反思活动经验。教师在教学中要根据学生的生活、学习经验，创设丰富的问题情景，对实际情形进行预测、实验和证实，改变学生的主观判断、个人的错误经验，引导学生自己去生成概念，发现计算法则，加深对概率概念的理解与认知。
（6）注重变更材料背景
教学中发现，有些迷思概念的使用与题目的背景有关。教学实验会使用硬币、骰子、扑克牌等，有的学生能够意识到虽然活动的材料不同但彼此有相同的本质，而有的学生则不然，题目背景一变，解题策略也变了。因此，教师在教学中应注意使用多种材料，有意识地训练学生用不同的实验材料模拟同一类问题，促进学生的理解。当然，这种能力也是理解水平的一种反映。
（7）注重传统教学与信息技术的结合
在日常的概率教学中，教师除了用传统的教学方法讲授概率知识，还应指导学生使用计算机技术处理日常概率问题。教学中利用多媒体进行经典概率实验模拟、图形演示，能使学生在直观上更加深刻地理解概率知识。
总之，概率教学的目的是让学生能够了解随机现象和概率的意义，教师应将教学与日常生活实例相结合，鼓励学生动手实验，帮助学生理清在生活中所产生的一些迷思概念，引导学生领悟数学概率的随机思想，对生活中不确定现象建立科学的认识观念。
【参考文献】
[1]Fischbein，e.intuitioninscienceandmathematics：aneducationalapproach.Dordrecht：Reidelacademic.1987.
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数学建模的概念篇10
关键词：高中数学建模生活化
数学建模即为将特定对象当作特定目标，根据其特殊的内在规律做出适当的假设简化，通过相应的数学工具构建数学结构。在高中数学知识体系中，图示、表格、算理、公式、概念等均属于数学模型，利用数学建模解决现实问题已逐步运用到多个行业与领域，教师需引领学生积极构建生活化模型，借此激发他们的学习兴趣和主动性，为将来学习扎实根基。
一、善于捕捉生活素材，构建良好数学模型
数学知识和现实生活是紧密联系、不可分割的，在日常生活中往往蕴涵着丰富的数学现象。要想实现生活化高中数学建模，教师需善于捕捉生活素材作为数学建模的范例，借此拉近教学内容和学生生活之间的关系，调动他们的学习积极性和热情。所以，高中数学教师应当利用建模将课堂教学内容拓展至现实生活运用中，能够为学生展现一个五彩缤纷的数学世界，生活化数学问题对于他们而言，能够有效调动其求知欲望和好奇心。
比如，在学习“集合”时，教师可利用生活素材进行新课导入：学校通知本周一上午九点，高一年段在操场集合进行军训动员，这个通知的对象是全体高一学生还是个别学生？集合作为一个常用的数学名词，生活范例能够让学生对问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体感兴趣，并不是个别对象，以此顺利引出新的数学概念――集合，即为一些研究对象的总体。接着，教师可将生活范例和教材内容有机结合设计问题：集合中元素的特性是什么？集合怎么分类？让他们得出集合概念的要点，且弄清素与集合之间的从属关系，利用生活化集合模型使其亲身经历和体会新概念的形成过程，在不知不觉中掌握新知识。
二、合理引入数学模型，创设实际生活情境
在高中数学课程教学中为构建良好的生活化模型，教师在讲授概念时不能直接引入或给出，这样显得不够直观形象，不利于学生的学习、理解和接受。高中数学教师在面对新的数学定义和知识时可合理引入数学模型，在课堂上创设一实际生活情境，让学生结合现实生活信息自觉主动的参与思考。这样在生活化情境中不仅有利于数学模型的构建，还能够深化学生对这些数学概念和定义的理解与记忆，并不断巩固这个生活化数学模型。
举个例子，在进行“数列的概念与简单表示法”教学时，教师可合理引入以下生活实例：《庄子》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即为：一尺的东西今天取其一半，明天取其一半的一半，后天再取其一半的一半的一半总有一半留下，永远也取不尽。接着，教师组织学生将该生活化模型转变为数学模型，利用数列形式可这样展示{1，1/2，1/4……}，采用生活实例引入的教学方式，让他们初步意识到数列的一种重要的数学模型。如此，将晦涩抽象的数学模型生活化的呈现在学习面前，使其形象理解和生动记忆，引领他们主动思考增强探究能力和自学能力，对数学知识的学习更加有效。
三、组织学生科学解题，抽象生活数学模型
在高中数学教学过程中不少题目都具有一定的生活化色彩，或者是生活中的实际问题。这样的高中数学题目不仅能够引发学生的心灵共鸣，激发他们的解题兴趣和探究欲望，还可以使其感受到数学知识源自生活，让学生可以在现实生活中发现数学问题，归纳转变为生活化数学模型，再把构建好的数学模型应用到生活实践中。为此，高中数学教师需组织学生科学解题，把数学问题抽象为生活化模型，从而降低解题难度、提高解题效率。
例如，在“随机事件的概率”教学实践中，教师可设置练习题：甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率是多大？在该题目中足球比赛是一个常见的生活化场景，教师可要求学生将其转变为数学模型，即为在现实生活中计算事件概率，以此提取题目中的有效信息且进行整合。解析：甲、乙两队分别分到同组的概率为p1=1/3，因为各队取胜概率为1/2，则甲、乙两队相遇的概率为p=1/3+（1-1/3）×1/2×1/2=1/2。如此，教师帮助学生利用生活化数学模型科学解题，以此提高他们的解题能力。
四、借助生活作业设计，引导学生主动建模
在高中数学教学中要想实现生活化建模，教师不仅需在课堂上精心体现，还需借助课下生活化作业的设计引导学生主动构建数学模型，刻意使其对数学知识进行生活化思考，让他们知道如何做到理论和实际的有机整合。因此，高中数学教师应当设计一些生活化作业，促使学生把现实生活中遇到的问题转变为数学模型，在生活情景中通过对数学模型的分析和解决，再把答案带回到实际生活中作验证，从而启迪他们的思维能力。
在这里，以“变化率与导数”教学为例，教师可利用生活中的吹气球帮助学生理解新知识，在吹气球的过程中，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。这个过程中的自变量和函数值分别是什么？如何建立它们之间的函数关系，从数学角度如何描述上述变化过程？让学生通过对生活实例的分析提炼数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供具体场景。在作业设计环节，教师需让学生注意导数在生活中的应用，像自由落体、高台跳水中的速度；提高率、增长率、膨胀率等概念；引导他们认真分析和思考，从而加深对导数概念的理解与认知。在生活化作业中学生将会主动构建数学模型，实现对数学知识的高效学习。
五、总结
在高中数学教学活动中进行生活化建模，能够将教学内容和现实生活有机整合在一起，教师需选择贴近学生生活的实例，为他们提供感性、直观的素材，充分发挥学生的想象能力和创造能力，最终达到学以致用的高度。
参考文献：
[1]霍福策.改进数学建模教学优化学生思维品质[J].数学通讯，2016，02：18-21.