微观经济学函数篇1
高职经济应用数学教学原则教学定位一、课程教学原则
课程教学原则是“定位高职、注重直观、弱化抽象、淡化技巧、强化应用”；不仅强调经济应用数学的职业性特点，而且关注经济应用数学的育人功能，有效解决课程学时少与学生生源多样的问题。教学内容的先进性和教学方法的先进性并行，探索和解决以下数学教学中的主要矛盾：
1.课程学时少而教学内容多。教师可根据专业特点和生源的差异灵活组织教学。例如，布置课堂作业不必统一要求，可分为全班学生都要完成基本题和要求部分学有余力的同学完成的提高题，坚持分层次教学。
2.注重教学方法而忽视学习方法。教师要灵活运用发现法、归纳法、启发式等直观的教学方法，特别注意发挥学习优秀的学生的示范作用。对较难理解的内容采用直观易懂的讲法，让学生了解本质、强化分类、简单高效的掌握基本的计算方法（极限运算、求导运算、积分运算）。
3.强调应用价值而忽视育人功能。教师要展示数学知识的形成背景和对现实世界的影响，有利于发挥数学课程的育人功能，激发学生的学习兴趣和提升数学应用的能力。
二、数学文化教育素材和教学定位
数学的人文精神表现在：通过学习数学史，培养坚韧的意志和品质；树立正确的人生观，培养爱国情怀；理论联系实际，培养责任感；实践获真知，倡导追求真理的实践精神。受过高等数学教育的人和没有经过这种教育的人的区别，在于前者在分析定量问题时，总是用一些数学理论作为参考系，从而保证了分析定量问题时的科学性、系统性和一致性；表达有条有理，简明干练。既有人文素质又有科学素质的人，做什么工作都让人觉得像模像样。
1.经济学中常见的数学模型——经济函数
函数(function)一词最初由德国数学家莱布尼兹1692年开始使用，1859年清代李善兰（浙江海宁人，近代著名的数学、天文学、力学和植物学家，中国进行微积分运算第一人，称他为中国近代科学的奠基人可谓名至实归）第一次将“function”翻译成“函数”。最常见的经济函数及其模型有：需求函数、供给函数、收益函数、总成本函数、平均成本函数、利润函数、复利问题和贴现问题等。
学习经济学中常用的函数时，要注意它们之间的内在联系。例如，类似于力学的均衡概念，分析通过市场让需求函数和供给函数之间达到平衡，则得到市场均衡价格。价格函数是需求函数的反函数。收益函数主要由价格的变化而确定。利润函数有三种情况，盈利、亏损和盈亏平衡（保本）。关于函数概念的理解，特别要认识复合函数的结构，明确从外向内的复合过程，并把复合函数分解为简单函数的过程进行到底。
2.无限变化的函数模型——极限与经济函数
微积分学的研究对象是变动的量，注重变量的本质和规律，这一点对研究经济变量非常重要。我们应关注变量的变化过程，更应从变量的变化过程中判断它的变化趋势。而要把握这两个方面都需要借助极限的方法。极限的方法是人们从有限中认识无限、从近似中认识精确、从量变中认识质变的辩证思想和数学方法。“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，出自于《庄子?天下篇》。这十二个子看似简单，其中却包含了丰富的内容，它说明两千多年前的庄子已经初步认识到以0为极限的过程！当然，它还说明古代中国已经有了长度的度量单位和对分数的认识。1821年，法国数学家柯西提出了关于叙述极限的ε方法，用不等式刻画整个极限过程，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。柯西被人们称为近代微积分的奠基者。在此基础上，德国数学家魏尔斯特拉斯（1815～1897）完成了ε-δ方法，摆脱了对极限单纯的运动和直观的解释。而微积分中的导数、定积分和级数等概念都是用极限来定义的。经济学中的极限问题有连续复利、人口增长等。
学习极限首先要理解关于自变量变化趋势的有关数学符号，体会数学符号和术语精确与简约的优越性，没有含糊不清或产生歧义的缺陷并清除了传递过程中的冗长信息；记住两个重要极限公式；灵活掌握求极限的方法；注意判断分段函数在分段点的连续性。
3.经济分析的基本工具——导数、微分
导数反映了函数的变化率，它在经济领域中有着极其广泛的应用。微分则指自变量有微小改变时，函数增量的主部是多少。17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹各自独立地研究和完成了微积分的创立工作。牛顿从变速直线运动研究微积分（但严格的说，自然万物都偏离了直线而以螺旋的形式旋转，遗传基因中Dna、攀援植物的卷须、河水的旋涡、龙卷风、漩涡星云……世界就是一个漩涡，这是大自然醉人的脚步）。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念，得出运算法则（最漂亮的数学积分符号“∫”也是莱布尼兹发明的），其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。
微积分是继欧几里得几何学之后，整个数学发展史上的最伟大的创造。正如冯?诺伊曼所言，“微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性怎样的估计都不过分”。特别是微积分基本定理，把微分和积分这两个貌似无关的问题联系在一起给微积分以特有的魅力，使得微分和积分成为一个整体，促进一门崭新的数学学科——微积分的形成。
微积分的奇妙使数学家产生强烈的好奇心。好奇心是科学之母。没有一个伟大的数学家不是对浩瀚的宇宙怀着极端的好奇心的人。但好奇心需要有支撑它的渊博的基础科学修养和睿智高雅的判断能力，需要有专心致志于一件有意味的研究的坚韧毅力；不为伪科学和赝科学所迷惑，而沉浸于一种内心宁静和愉悦的思考之中。矢志不渝，积以年月，登上科学的崇高殿堂。
微观经济学函数篇2
关键词：经济数学；金融经济分析；微分方程
引言：
近年来，随着市场经济的不断发展与完善，现代金融体系和经济数学的结合度越来越高，传统的经济学定性分析理论已经难以适应现代金融体系的发展需要。因此，研究人员应提高对经济数学的关注，促进经济数学理论与金融分析相结合，发挥理论对金融实践活动的指导意义，进而促进金融体制的改革与创新。
一、经济数学在金融经济分析中作用
一方面，经济数学应用在金融经济分析中，有利于强化相关人员对金融经济理论的认识与分析。在学习金融理论中，经济数学分析法能够准确而科学地分析金融行为中的各种问题和现象，可为工作人员提供合理化的建议，进而做出正确的经济决定，减少经济活动中的差错。由于经济数学具有严谨性和内在逻辑性，其随着时间的发展，会逐渐取代传统的经济分析模式，进而为人们的经济活动做出合理的规划和指导，实现最优的方案选择。
另一方面，有利于人们判断市场经济走向，为相关人员更好地开展经济活动准备基础条件。利用经济数学理论分析金融经济的实践过程中，数学方程是首选的形式。给定相关变量、结构形式多变的数学方程式可以为人们提供客观而准确的判断，进而实现对经济学理论知识的形象化认识。例如，当某公司推出某项产品时，就可以采用价格与市场需求的函数关系，进行数学经济模型分析，通过对产品供需函数中需求量的控制，确定产品的市场价格，以此，发掘经济数学模型指导市场活动的实用价值，为提高企业的经济效益贡献力量[1]。
二、金融经济分析中经济数学的实际应用
（一）微分方程的应用
在现代经济学理论中，微分方程的应用较为广泛，相关的微积分、微分学知识也具有一定的应用价值。现代金融经济分析中，包含的函数关系与微分方程之间具有一定的联系，函数方程中微分、自变量以及未知求解函数都能与经济学问题进行结合。在具体的应用环节，微分方程的求解较为复杂，需要相关人员具有一定的高等数学理论知识，加之利用微分方程解析的金融学理论知识较难，分析人员应关注方程的求解过程和金融学知识之间的联系，以此充分发挥微分方程在金融分析领域中的应用价值。
（二）函数模型的应用
在金融市场中，应用数学函数关系对金融经济活动进行合理分析，是经济数学应用在金融经济中的重要方式。同时，相关人员也可将函数关系视为金融经济学的基础，进而促进解决现代金融体系中存在的问题。例如，供求函数关系应用在产品价格和需求量中，相关企业可根据市场价格与需求量之间的反向关系，调整自身的战略布局，进而促进企业高效的供给和资源分配。在市场经济体制中，也可利用函数模型对需求关系作出合理的调整，进而实现收入与分配的最优状态即帕累托最优，在不断变化的市场经济活动中，工作人员应根据经济数学模型实现企业经济效益的最大化。
在经济数学理论中，函数是基本的理论知识点，其作用多用于变量关系之间的表达。而应用在金融分析领域中的函数关系更多体现了对供求关系的描述，相关人员可根据市场经济基本知识，构建简单的供需模型，加入价格与供给量之间的表达式，进而帮助企业在供求模型下合理的改善供给量，进而节约企业的生产成本，实现企业最优的市场供给，有效节约资源。同时，经济分析人员也可从企业实际的供求函数模型中，发现企业生产与经营问题，帮助企业改善经营理念，做出科学合理的决策。
（三）倒数模型的应用
倒数模型是金融经济学中与经济活动联系最为紧密的一项数学理论，也是一项较为常用的经济学模型，在金融知識的分析实践中，相关人员需要利用倒数关系构建具体的数学模型，并将倒数融入在模型分析中，进而可实现对一般情况下经济学变量的转化，通过倒数概念将变量转化为常量，使得金融经济模型分析更加简单化和形象化，可帮助相关人员直观地了解金融理论知识。
例如，企业在成本核算和利润计算方面，都需要倒数模型的有效利用，在实际的应用环节，工作人员可通过产品价格、数量、成本、利润之间的具体联系建立合适的数学公式，然后对相关变量求导，得到企业开展经济活动的最小成本和最大利润，进而有利于激发企业的生产积极性，促进企业经济实力的稳步提升，同时，倒数理论也应用在企业经济方案的选择上，相关人员通过对倒数形式进行精准计算，可明确企业的自身优势和缺点，以此帮助企业做出合理的市场决策。
（四）极限理论的应用
极限理论作为微积分课程中的基础与核心，在现代金融经济分析中也得到了广泛的应用。企业的经济管理活动中，极限理论通过对相关变量的控制与分析，实现了决策的最优化。在具体的应用环节，极限理论可对一个变量进行无穷大与无穷小的假设，以此观察另一个变量的发展变化趋势，进而实现企业经济管理活动中对相关信息的控制，因此在金融分析中具有较高的应用价值。此外，极限理论在企业的年金、复利的定向分析方面也得到了很好的应用。
在经济学数学理论的应用中，相关分析人员应确定数据来源的真实性以及模型建立的合理性，在金融分析实践中，倘若相关的经济数据参数失去可靠性，将会导致经济模型的预期效果难以实现，对企业的发展也会造成不利影响。在模型的构建中，技术人员应综合分析企业经济发展特点和模型结构的应用优势，构建合适的经济模型，进而实现金融经济活动分析的有效性[2]。
微观经济学函数篇3
关键词：导数；边际分析；需求弹性；logistic模型
随着科技与经济的发展，社会的不断进步，数学这门学科与各行各业的联系越来越密切。作为高等数学基础内容之一的微分学，它在经济领域中的应用日益广泛，也是经济工作者和决策者进行实践和研究的重要工具之一。在这里从导数的概念出发介绍了边际分析和需求弹性分析，然后介绍了logistic模型在微观经济应用。
1导数的概念在微观经济学中的应用
导数的概念反映了因变量随自变量变化的快慢，把导数这一概念放到经济学中，就是边际函数的概念，在经济学中涉及到边际成本，边际效益，边际利润等。y=f（x）在x=x0处可导，该点的导数定义为，当x=1时，即x0改变了一个单位，且x=1相对与x0是一个很小的量时，近似得到f（x0+1）≈f（x0）+f'（x0），可以看到边际函数反映了一个经济变量变化一个单位后会引起另一个经济变量变化f'（x0）个单位。例如，已知总收益函数为r（q），q表示销售量，边际收益mr=r'（q），在q=q0时，mr|q=q0=r'（q0）表示当销售量为q0时，再销售一个单位的商品总收益会改变r'（q0）个单位。
函数y=f（x）在x=x0处可导，函数值的相对该变量与自变量的相对该变量之比，称为f（x）从x0到x0+x两点间的平均相对变化率，也称为两点间的弧弹性，当x0时，的极限称为f（x）在x=x0处的相对变化率，也称为x=x0的点弹性，记为。因为y=f（x）在x=x0处可导，且f'（x0）≠0，有
当自变量变化1%时，因变量近似地变化了，从中可以看到，弹性反映一个变量随另一个变量变化的灵敏程度，它是微观经济学中一个重要的概念。
作为生产者在进行生产时他会考虑商品价格对消费者需求量的影响程度来判断当价格上涨或下跌时，总收益会增加还是减少来安排下一步的生产。例如商品的需求函数q=q（p），p为价格，q表示消费者的需求量，因为q=q（p）是随价格p的单调递减函数，所以q'（p）<0，习惯上需求价格弹性非负，因此定义需求价格弹性为，在这种情况下总收益r（p）=p·q（p）随价格如何变化。
当价格为p0时，若η|p=p0<1（低弹性），从上面两式中可以看出r'（p0）>0，价格上涨（下跌）1%时总收益也会随之增加（减少）（1-η|p=p0）%；若η|p=p0>1（高弹性），则r'（p0）<0，价格上涨（下跌）1%时总收益也会随之减少（增加）（η|p=p0-1）%；若η|p=p0=1（单位弹性），则r'（p0）=0，价格上涨（下跌）时总收益保持不变。
2logistic模型在经济上的应用
微分方程在经济理论研究上经常用到，在这里只讨论logistic方程在经济上的应用。logistic方程描述了一种阻滞增长模型，是荷兰生物数学家verhulst于19世纪中叶提出的。
方程右端的因子rx体现了变量x随时间t增长的增长趋势，而因子体现其他因素会对x增长的阻滞作用，显然x越大，前一个因子越大，后一个因子越小，而x的增长是两个因子共同作用的因子。用分离变量法求解得到
。
logistic模型不仅能够大体上描述人口及物种数量的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如信息的传播、耐用消费品的销量、新产品的推广等。比如某种品牌的生活耐用品，t时刻总销售量为q（t），由于该商品的性能很好，每件商品都是一个宣传品，所以t时刻销售量的增长率与总销售量q（t）成正比，另外考虑到商品在市场中的容量n限制，销量的增长与尚未购买该商品的潜在购买量n-q（t）也成正比，于是有
解之得
图1商品销售的logistic曲线
从图1中可以看出，当q（t）
在微观经济学的研究中以及一些定量分析中应用到微分学的地方还有很多，它为经济研究工作者和决策者的具体工作提供了一定的指导，对促进社会进步和经济发展都起到了很多的推动作用。
参考文献：
[1]龚德恩,范培华.微积分[m].北京：高等教育出版社,2008.
[2]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型（第3版）[m].北京：高等教育出版社,2004.
[3]高鸿业.西方经济学（第3版）[m].北京：高等教育出版社，2006.
[4]杨光,李传志.微分在西方经济学教学中的应用[j].东莞理工学院学报，2007,14（2）:40-42.
微观经济学函数篇4
近年来，随着大学数学课程教学改革的不断深入，各类院校在微积分等基础课的讲授过程中，越来越重视理论知识传播与实际问题求解的结合。这种教学方式的变化，一方面将较为抽象的数学概念置于某些具体情景之下，赋予其特定的物理学或经济学等含义，有利于学生理解和对照;另一方面，通过在数学课程中获得的逻辑思维和数值计算训练，有利于学生在后续专业课程的学习中，更有效地运用数学工具对具体问题展开量化描述和分析。因此在经济管理学科的许多微积分教材中，都加入了与导数、极值等数学定义相对应的边际、弹性等经济学概念的章节。一些学校在教学过程中还将数学建模和数学实验课程与现有的数学教学内容融合起来，充分调动学生的积极性，使数学理论得到了更深入的运用。特别是随着数学软件在基础数学课程讲授中的使用，进一步丰富了教师的教学手段，也增强了学生在学习过程中的兴趣，大大提高了微积分等课程的教学效果。
1matLaB在微积分教学中的应用
数学软件的发展和更新，使其在微积分课程教学中的应用愈加简便。目前最为常用的数学软件有matLaB、maple和mathematica。此外还有一些针对不同数学分支开发的专业软件，例如用于统计问题分析的SpSS和SaS，用于解决规划等运筹学问题的LinGo等。在本科生的微积分教学中，matLaB、maple和mathematica都是可选择的操作便捷的软件，而matLaB则是运用最为广泛的软件之一。①
matLaB是美国mathworks公司出品的数学软件，使用matLaB可以分析数据、开发算法、创建模型和应用程序。matLaB强大的数据处理能力，可以帮助教师和学生在微积分课程的讲习过程中，更为直观地理解基本概念。特别是利用该软件的图形处理和动画功能，可使数学课程中数与形的结合在教学实践中表现得更为生动。
例如，在学习微积分的过程中，学生常常会遇到诸如和等不太熟悉的初等函数。利用matLaB的作图和动画功能，可以帮助他们形成对这些研究对象的图形认知，进而通过图形的变化帮助学生理解伴随着函数自变量趋近于无穷或趋近于某一定点的过程，函数值呈现出无限接近于某一确定数值，或函数值无限增大，或函数值无规律变化的动态特征，加深他们对极限这一微积分中最基本的概念的直观感受，并能使学生更准确地区分无界变量、无穷大量以及没有极限的变量等概念。②
又如，在有关常微分方程章节的教学中，可利用matLaB软件的微分方程求解函数dsolve和ode等，讲解演示可分离变量方程、齐次方程和一阶线性方程的求解原理和解析解，同时还可以绘制出上述方程的解曲线和相空间曲线。利用matLaB的方程求解和作图功能，既可以避免学生在学习过程中机械地记忆求解相应方程的步骤，又能通过可视化的图形帮助他们了解在描绘实际问题时，微分方程模型中不同参数的具体含义，以及各个参数的变化会引起的解的变化情况。
2教学实例
下面，以经济管理学科类微积分教材中经常所举的局部市场均衡问题为例，说明matLaB软件在微积分教学中能够发挥的辅助教学作用，以及如何通过该软件的使用让学生加深对数学模型的理解，进而培养学生运用数学思维和方法描述和解决实际问题的能力。
经济学中在讨论市场中某一产品的需求、供给以及价格之间的关系时，若能分别对三者建立可量化的函数表达式，则可借助数学工具来分析它们的变化及伴随的市场现象。局部市场均衡是探讨独立市场、单个商品的价格与供求关系变化的一种方法，它假定在其他条件不变时，一种商品的价格仅取决于自身的供求情况。当该商品的需求价格和供给价格一致时，称此价格为均衡价格，这时商品的数量亦被称为均衡数量。③
例设需求函数为=（），供给函数为=（），其中为商品单价。线性局部市场均衡模型可表示为：
这里需求（）和（）供给均设为价格的线性函数。解此方程组易得均衡价格为=，商品的均衡数量是=。由于通常假定>0，并考虑到>0，所以参数、、和还应满足>0，并称为超额需求。模型中价格的变化会同时影响供需双方的变化，使得市场始终在平衡的打破和建立中动态演化。
在教学中我们可通过选取不同的参数取值在同一坐标系下绘制供求曲线，帮助学生更加直接地观察局部市场均衡状态与模型中各参数的依赖关系（如图1所示）。在此基础上，可进一步探讨价格调整模型。
若假定商品的初始价格恰好是，则市场已处于均衡状态。然而一般情况下，≠，这样市场如由不均衡欲达到均衡则须经过一定的调整。在市场调整过程中，价格可视为时间的函数，即=（）。通常而言，价格变动由市场需求和供给的相对力量支配，可设在时刻时，价格（）的变化率总是与此时的超额需求成正比。于是，建立微分方程模型来刻画价格的变动：=（）
图1线性局部市场均衡模型
其中>0，是调节系数。
联立上述微分方程模型与局部市场均衡模型，得到价格调整的动态均衡模型：
此处和均为时间的函数。将和的表达式代入微分方程中，整理可得一个一阶线性微分方程：+（）=（）。
由一阶非齐次线性微分方程的通解公式可得该方程的通解为：（）=[（）+]= +。
其中为任意常数，为均衡价格。由初值条件（0）=，可得=。记=（），将价格调整模型的解表示为（）=（）+。因和都是常数且>0，于是当→+时（）→0。借助matLaB将与不同大小关系下的价格曲线绘制在同一图像中，可帮助学生发现随时间推移（）向均衡价格趋近变化的过程。具体而言，若=，则（）=，即市场处于均衡，价格是常数;若>，则当→+时，（）小于趋于;若<，当→+时，（）大于趋于（见图2）。
图2价格随时间的调整变化
3结束语
matLaB软件在微积分教学中的运用，能使抽象的数学理论图形化直观化。在经济管理类的相关课程学习中，能将经济学概念和数学语言相互贯通。在教学实践中，教师可以充分运用该软件的各项功能丰富教学手段并帮助学生学以致用。
注释
①薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的matLaB求解（第三版）.北京：清华大学出版社，2013.
微观经济学函数篇5
错误之二：关于需求价格弹性与需求曲线的斜率的关系的论述是一个错误
在西方经济学中，需求价格弹性理论主要包含了两个方面的关系：一是价格变动与收益的关系；二是需求价格弹性与需求曲线的斜率的关系，而关于这两个关系的表述跟实际相去甚远，完全是一个错误。
在《初级西方经济学>（中央广播电视大学出版社“一村一名大学生”计划教材）中，关于“需求价格弹性”的内容这样描述了需求价格弹性与收益间的关系：
需求价格弹性ed=需求量的变动速率/价格的变动速率=一Q/Q/p/p=一Q/p*p/Q
即它是一个变动速率相比的值.这里的p代表起始基础价格，p代表纯变动的价格，Q代表对应的起始需求量，Q代表对应的纯变动的需求量，负号是为了将最终数值变为正值。如某商品价格由5元降为4元，需求量由100件增加为130件，则
ed=—[（130一100）/100]/[（4一5）/5]=0.3/0.2=1.5
第一.当ed>l时，表明需求量的变动率快于价格的变动率，即需求量对价格的变化反应强烈，称为需求富有弹性。需求曲线斜率为负，其绝对值小于1.如图三个需求函数三角形，图（a）中价格由p1降为p2，需求量从Q1增加到Q2，这时虽然商品价格降低，但由于需求量增加，销售收入pQ增加，即图中矩形B的面积大于矩形a的面积。
第二.ed=1，表明需求量的变动率等于价格的变动率，即需求和价格以相同的幅度变动，称为需求单一性。需求曲线的斜率为一1.如图中（b），价格由p1降为p2，需求量由Q1增加到Q2，这里的Q2一Q1要小于图（a）中Q2一Q1。这是由于图（b）中需求曲线D的斜率较大（陡峭）所致。但因价格降低引起的销售收入减少正好由因需求量增加而引起的销售收入增加弥补，即图中矩形a的面积和矩形B的面积大体相等。
第三.ed
一.真实的价格变化与收益的关系是需求函数中的中线、中位线平衡理论
（一）.宏观中线平衡理论
教材上这种论述，把价格降低引起的销售收入减少与需求量增大收入增加之间互抵后得到的“效益、平衡、亏损”结果的规律，归结为“斜率主导下的需求价格弹性”变化的原因，相当于说这个“斜率主导下的需求价格弹性”小于1的商品价格降低不会引起收入的增加，从而使降价没有意义。这很容易使人产生困惑。但实际上这种论述并不符合实际情况，是完全错误的一个概念。
如果我们在教材给予我们的上述三个价格弹性情况图中的任意一个图上移动那两个矩形的对角点，完全都可以作出“效益、平衡、亏损”的结果，从而教材上的理论。如图，我们作出完全相反于教材论述的两个矩形a、B。
那么，价格变化引起的销售收入变化实际遵循着什么样的规律呢？
首先，我们作出一个任意需求函数三角形aoB，我们不去界定它的斜率，oa代表价格，oB为需求量，aB为需求曲线。
作这个三角形的中位线CD，连结oD，这oD即是aoB的中线。我们在oa上取点e作为基础价格，相对应的需求量是oG，此时e点所得到的收入为矩形oeFG。假设价格从e点落到H点，此时的收入为矩形oHiJ。于是得到价格变化前后的收入的减项矩形KHeF和加项矩形KGJi。此时很容易地看出加项面积大于减项面积。（证明见后）
继续让价格从e点降至m点，这点的坐标横线交于基础需求量oG的坐标竖线与三角形中线的交点p，得到收入减项矩形pmeF和加项矩形pGQn，这两个矩形的对角点正是点p，此时减项和增项的面积是相等的，证明如下：
pF∥oapn//oB
DF/Da=Dp/oD=Dn/DB（平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例）
又Da=DB
DF=DnaF=nB
所以pD是Fpn的中线。
aF=nB、∠eFa=∠B（同位角相等）
RtaeF≌RtnQB
又SaoD=SDoBSFpD=SDpn（三角形的中线分三角形成两个面积相等的三角形）
Somp=SoGp（矩形对角线定理）
矩形pmeF的面积=矩形pGQn的面积
结论，当价格降低到坐标横线跟起始需求量坐标竖线的交叉点位于这个需求三角形从原点出发的中线上时，正好使减项效益矩形面积和增项效益矩形面积相等，表明价格变化后的收入等于价格变动前的收入，这点为价格变化效益平衡点。
根据这个原理，当这个交叉点落于这条中线的上面时，从增项效益矩形上端总能截出一个小矩形的面积等于减项效益矩形的面积，说明此时增项矩形的面积大于减项矩形的面积，收入是“效益”的。
证明：见上图
当价格从效益平衡点p回升至H点时，得到增项效益矩形KGJi和减项效益矩形KHeF。我们作图找出RtFKi的中线KS，延长SK相交于oa上的V点，从V点作价格横线相交于需求曲线上的t。于是得到与减项矩形KHeF面积相等的矩形KwZi。显然KGJi>KwZi，产生一块剩余“效益”。
同理，我们可以证明，当这个交叉点落于这条中线的下方时，收入是“亏损”的。
其实这个规律，也可用代数的方法加以证明。（见后）
（二）.微观中位线平衡理论
我们再作进一步分析，这条中线的最高点D是该需求三角形中位线CD的端点，它们在价格变化引起的收益变化规律中又有着怎样的意义呢？
实际上，如果参照的起始价格在中位线以上，则需求三角形的这条中位线横切起始价格（基础价格）点到效益平衡点之间距离的一半。
证明：见上图
已知：p是增项矩形pmeF与减项矩形pGQn的效益平衡点，CD是RtaoB的中位线，oD为中线。
求证：LF=Lp
aD=oD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
aoD是等腰三角形
∠a=∠aoD
又GF∥oa
∠GFB=∠a∠FpD=∠aoD
∠GFB=∠FpD
又LD是RtFLD和RtpLD的共边
RtFLD≌RtpLD
LF=Lp
这样，当我们让起始价格以最小精确单位的1/2量对准中位线时，那么这个最小精确单位的末端就正好落在中线上，是价格降低一个最小边际单位时的效益平衡点。假若我们想象让价格的边际变化无限地小下去，那么这个最小单位变化效益平衡点就会无限地接近中线的顶点D，直至纯变动价格为0，起始价格与变化后价格和平衡点与D点重合。所以我们可以将中线的顶点暨中位线的端点D作为最微小边际变化效益平衡点，同时将中位线即它所表示的价格线作为价格变化时产生“效益”和“亏损”的最微观边际变化分界线。在这条分界线的上端是微观边际价格变化的效益区，在下端是微观边际变化的亏损区。当价格变化的幅度横跨这个微观分界线时，那么分界线以下的“亏损”幅度抵销分界线以上等幅度的“效益”，平衡点下移。所以，当变化价格到达这条中位线时得到的总“效益”最大。
（三）.中线、中位线平衡理论的代数数学模型
我们再用代数的方法对上面的理论规律加以揭示和证明，从而建立起价格变动与收益关系的数学模型。
见图：
这是一个任意的直线需求函数三角形，b是初始基础价格，a是它对应的初始需求量，y是价格的变动数值，c是变动后的价格等于（b—y），x是需求量的变动数值，减项效益矩形面积S1=ay，增项效益矩形面积S2=x（b-y），求Sl和S2之间的关系。
解：y与x分别是矩形a和B的边长共同组成RtFGH，根据三角函数关系有y=—kx，于是有ay/a=—kx（b—y）/（b—y）
用S1、S2替换得，S1/a=（—S2k）/（b—y）
化简得：S1=—S2*ak/（b-y）S1=S2*ak/（y-b）
所以，当ak/（y—b）=1即—c/a=K时，S1=S2，它是价格变动时效益增减平衡的条件，此时两个效益矩形的对角点在需求函数三角形的中线上，ak/（y—b）是两个矩形面积差值大小的根源。
符合ak/（y—b）=1即—c/a=K的条件时，正是价格变动线到达增减效益平衡点，此时y-b=—c，a与c组成的RtDoe与需求函数三角形aon相似，c/a=oa/on=—k。（证明略）
S1=S2·ak/（y—b），这是减项效益矩形面积和增项效益矩形面积之间的函数关系，是正比例函数关系，即两者的变化方向是一致的。它俩之间的大小差值受系数ak/（y—b）的变化影响。
当ak/（y—b）≠1即c/a≠|K|时的情况：
一.当ak/（y—b）|K|时，S1
我们沿着ak/（y—b）的值从小到大的方向分析。
（l）.由于k在题中即同一个需求函数中是己确定的项，我们先将a、b作为一对一定的起始基础数，然后分析价格的变动数y对效益增减矩形面积大小变化的影响，所以此时y的大小变化是引起S1和S2差值的唯一要素。
当价格从高向低变动时，变动数y的数值逐步加大，而y本身是一个小于b的数，导致y—b的差的绝对值越来越小，从而使ak/（y—b）的值越来越大，带动S1向着大于S2的方向发展，即总收入向着“不效益”的方向发展。
y值是价格变动的幅度，当它的值为最小单位时属于最小边际变化，此时ak/（y—b）的值最小，从而使S1大于S2的差值最小。边际变化上这种增减差值的大小同样受其它要素变化的影响，在不同斜率的需求函数或同一个函数三角形里的不同区域都不相同。
（2）.我们再改变起始价格和相应需求量数值a、b，分析它俩的变化对ak/（y—b）的影响。
a、b是需求函数关系的一对对应值，是捆绑在一起的，一方的变化引起另一方的被动变化。当a增大时b减小，而这个反向变化正好使ak/（y—b）的值增大，从而引起S1相对于S2的增大，使结果向着“不效益”的方向发展。这说明，起始基础价格越低，降价引起的结果越“不效益”。
当a和c作边长组成最大面积的满足平衡条件—c/a=K的矩形，也即当y以可想象的最小微观数值与相匹配的b的数值（b的减小同时是a的增大）同时满足效益平衡条件ak/（y—b）=1时，此时y对应的相匹配的基础价格b和变化后的价格c都无限接近了需求函数三角形的中位线；当y小至0时，两个价格在中位线上重合。这时效益平衡条件公式ak/（y—b）=l成为“—b/a=k”，它是最微观边际价格变化效益平衡条件，—b/a是微观边际价格变化中增减效益差值的根源（而这正是需求价格弹性ed=l的条件p/Q=—K.见下述第二章）。此时b代表的价格坐标线是中位线，这点以上所有的价格边际变化都是“效益”的，这个价格时总效益最大。当有一方价格向下越过这个平衡线时，便有最微观的“不效益”存在，总“变动效益”的最大化开始减少。这与上一节的微观中位线理论是一致的.
二.当ak/（y—b）>1即c/aS2。
此时价格变动引起的收益的变化方向同上，只不过结果是“亏损”的。
（证明略）
我们可以这样说：
在每一个直线需求函数里，不管它的斜率如何，只要起始基础价格在这个函数的价格微观变化效益平衡线即这个需求函数三角形的中位线以上，那么就有价格降低时的“效益”空间；即使一个需求函数具有较小的斜率，但起始价格处在这条平衡线以下时依然失去价格变动“效益”。这条需求函数三角形的中位线是价格微观最小边际变动效益平衡分界线，这条线以上价格微观最小边际变动是“效益”的，这条线以下价格微观最小边际变化是“亏损的”，这条线表示的变化价格得到的总“效益”最大。价格从高向低变化，边际从高“效益”向着“不效益”的方向前进，到达这条平衡线时达到平衡，最微观“效益”归零。变化价格跨过这条线继续前进，微观边际变化开始“亏损”。当变化价格的幅度大于最小边际变化时，平衡点沿中线方向下落，中位线两边等距离上的最小边际变化的“效益”和“亏损”互相抵消，平衡点位于从原点出发的该需求三角形的中线上，这条中线是宏观的价格变化效益平衡线，平衡线的两边价格变化引起的收益增项和减项相等，原效益不变。平衡点在这条平衡线以上时，宏观上总收入“效益”；平衡点在这条平衡线以下时，宏观上总收入“亏损”。这种关系的代数数学模型是：“当ak/（y—b）=l即—c/a=K时，S减=S增”它是宏观价格变动时效益增减平衡的条件，ak/（y—b）是宏观价格变动效益增减差值的根源；“—b/a=k”是最微观边际价格变化效益平衡条件，“—b/a”是最微观价格变动效益差值的根源.
二，真实的需求价格弹性的变化规律
教材上的这种论述，把需求价格弹性定义值的大小与需求函数的斜率的变化统一起来，即
ed>1时，|K|
其实，这是一种学术性错误，并不符合真实情况。
我们看教材西方经济学给予我们的需求价格弹性的定义公式和例题：
ed=—Q/Q/p/p=—Q/p*p/Q
有商品价格从5元降至4元，需求量则从100件增为130件。则
ed=[（130—100）/100]/[（4—5）/5]=一0.3/（—0.2）=1.5
（见图示，价格从p1降为p2）
我们看出例题中的—Q/p正是Rta1Ba2的两直角边的比，Q=a2Bp=—a1B，—a1B/a2B正是该需求曲线d的斜率K（负值），并且在同一个直线需求函数里无论价格怎样变化它的值是不变的，
于是：Q/p=1/K（注意：Q/p定义为负值）
从而需求价格弹性公式变为：ed=—（1/K）*（p/Q）
这说明，在同一个直线需求函数p=KQ+b中，由于斜率K的值是固定的，所以Q/p=l/K的值也是固定的，这时的需求价格弹性ed的值取决于p/Q的大小.而p/Q又是一个什么样的数值呢？
西方经济学中把p/Q定义为价格变动中那个参照相比较的原来的价格和需求量的比，即图中矩形op1a1Q1高与宽的比，但是在价格逐次变动的过程中，这个数值可以不断地被修正，即图中的p1/Q1可以换成op2/oQ2、op3/oQ3、0p4/oQ4、……，处在变化的后面的价格和对应需求量总是可以把处在前面的价格和对应需求量作为起始参照。另外，我们从图中看到随着被选定的起始参照价格的向下变动，p/Q的比值不断地被变小，即由价格p和需求量Q组成的矩形的高不断的减小，而这宽则不断地增长，从而引起需求价格弹性ed的值向着减小的方向发展。
可见，所谓需求函数斜率K决定需求价格弹性ed的大小的论述是完全错误的。例：
如图，我们作一个斜率为—1的需求函数与坐标构成两直角边相等的RtaoB。
当p=5时，Q=1（参照的原来价格和对应需求量）
当p=4时，Q=2（变动后价格和对应需求量）
按照西方经济学上的需求价格弹性公式，则
ed=—Q/Q/p/p=—[（2—1）/1]/[（4—5）/5]=5
但按照《初级西方经济学》教材上的需求价格弹性理论这时应当是“当K=—l时，ed=l”。显然，公式得ed≠理论ed。这是自相矛盾的。
这就是说，即使在斜率一定的同一个直线需求函数里，每一个价格面对的p/Q的值都是可以变化而不一样的，选定的基础价格变化从而引起需求价格弹性的改变；当选定的参照起始价格不变时，即使价格变动需求价格弹性的值也不变，需求价格弹性是每一个价格所在函数中的位置本身具有的特性。所以斜率K不能决定需求函数的需求价格弹性。
价格变动过程中，选定的参照起始价格和对应需求量的变动，是客观存在的，而不变是我们人为的按排，实际上微观的边际上是不断在变化着的。从图示5中可以看出，随着选定的价格从高至低变动，p/Q的比值不断地被变小，从而引起需求价格弹性ed的值向着减小的方向发展，当选定的价格到达该函数的中位线的C点时，正好使p/Q=oe/oC=CD/aC=-K，，这时ed=l。这种变化分为三个阶段：（这个变化规律也正好符合需求价格弹性公式的推理）
当p/Q>|K|时，ed>1，p在中位线以上。
当p/Q=—K时，ed=l，p在中位线。
当p/Q
需求价格弹性的这个规律正是第一章第三节中的最微观价格变动效益平衡条件的变化规律，所以说需求价格弹性就是最微观的边际价格变动中的收益。
这个过程是选定的参照起始价格的变化引发的，而不是K的变化引起的，相反K的变化并不引起需求价格弹性的这种变化，论证见后。———（本论文里在没有声明时，所讲全指直线需求函数）。
三.需求价格弹性是最微观价格边际变化时收益增减关系的系数的倒数
在同一个直线需求函数中，需求价格弹性ed的值是由参照的起始价格p的变化引起的，那么这种需求价格弹性变化的规律跟价格变化中收益的“效益、平衡、亏损”有着怎样的联系呢？
如（图示7）
已知：当p/Q=—K时，ed=l
即图中p1/Q1=—K.也就是矩形op1DˊQ1的op1/oQ1=—K
求证：此时价格p1的坐标线p1Dˊ与中位线CD重合.
证明：连接p1Q1
op1/oQ1=ao/oB=ap1/p1Dˊ=—K（斜率都相等）
Rtp1oQ1∽RtaoB∽Rtap1Dˊ
∠op1Q1=∠a
又p1D=oQ1
Rtap1Dˊ≌Rtp1oQ1，
ap1=p1o即p1的坐标横线p1Dˊ与中位线CD重合，
这说明，需求弹性ed=l即p/Q=—K时，p正好落在中位线上，这也已经在上一章中进行了反面证明。上一章所述的需求价格弹性的变化规律正好与已述的“价格变化与收益的关系”中的中线、中位线理论相一致。为什么会是这样一个结果？我们从需求价格弹性公式和第一章三节里的数学模型得到答案：
“需求价格弹性ed=—Q/p*p/Q和效益增减函数Sl=S2·ak/（y-b）”
已知两者的变形为ed=—1/K*p/Q和S1=S2*[a/（y—b）]*k。当y=0时，[a/（y—b）]*k变为（-a/b）*k。因为a=Q，b=p，（只是表述时用的字母不同而已），所以（-a/b）*k=-Q/p*k，=-K*Q/p。由此我们看出需求价格弹性公式的“—1/K*p/Q”正好是当y=0时的效益增减函数的系数“（-a/b）*k”的倒数。而y=0时的“（-a/b）*k”表示的是选定的起始价格本身的属性，也是相当于变动价格y以可想象到的最小微观变化时的效益的变化结果。（-a/b）*k=1即—b/a=k时，b位于中位线上，它是最微观边际价格变化效益平衡条件，（-a/b）*k值的大小决定着宏观增减效益平衡条件ak/（y—b）=l时变动价格y的大小位置。同理，（-a/b）*k所影响的方面也正是需求价格弹性ed=一Q/p*p/Q=—1/K*p/Q所能影响到的方面，只是因为两者是倒数关系所以影响力的方向是相反的，需求价格弹性影响力的方向相同于效益运动的方向。
所以可以说，需求价格弹性是最微观上的效益增减关系的系数的倒数，它制约着价格变动时效益增减的方向，制约着宏观效益增减关系平衡时的价格的位置。
四.需求价格弹性是最微观的边际价格变动中的收益
第二章中的需求价格弹性的平衡条件公式“p/Q=—K”跟第一章三节中的微观边际价格变化收益平衡公式“—b/a=k”是一样的，“—b/a=k”变形为"b/a=—k”，b/a就是这里的p/Q。所以需求价格弹性就是最微观的边际价格变动中的收益，还因为“需求价格弹性是最微观收益增减关系的系数的倒数”，所以需求价格弹性的变化方向相同于价格变动中收益的变化方向，需求价格弹性的变化规律就是价格变动中收益的最微观的变化规律。
由于在同一个直线需求函数中，需求价格弹性随参照价格本身的变动而变动，所以在同一个直线函数中价格变动中收益的“效益、平衡、亏损”也是随参照的价格的位置变化而变化的，这是我们能够在《初级西方经济学》给予我们的三种类型斜率的三角形中作出相反于书中结论的两个收益矩形的原因。最微观边际上的收益是随变动价格的变动而随时变动的，这个微观的边际收益变化就是变动的价格本身所具有的需求价格弹性，所以只要有价格变动就有微观上的收益变化。———《初级西方经济学》中把价格变动中收益的“效益、平衡、亏损"情况单一化固定
在某一类斜率的需求函数里的理论是非常错误的。
在同一个直线需求函数中，即斜率K不变的情况下，随着价格从高向低的变化，边际需求价格弹性逐渐减小，同时边际价格变动收益也向着“不效益”的方向前进。当价格到达需求函数三角形的中位线时，边际需求价格弹性的值为1，同时边际价格最微观变动“效益”归零，总效益达到最大化。这条中位线是价格变化中的最大收入效益线。价格向下跨过这条中位线后，边际需求价格弹性的值小于1，价格微观边际变化收益开始“亏损”。用公式表示如下：
当p/Q>|K|时，ed>lp在中位线以上边际价格变化收益“效益”
当p/Q=—K时，ed=lp在中位线上边际价格变化收益平衡，总效益最大。
当p/Q
这一规律与第一章三节里价格变动时效益增减平衡的条件“当ak/（y—b）=1即—c/a=K时，S1=S2”是统一的，只不过需求价格弹性本身表示的是最微观价格边际变化中收益的变化情况，而平衡条件表示的是宏观的价格变化情况。
五.斜率的变化对需求价格弹性和收益的影响
《初级西方经济学》教材中把斜率的变化说成是制约需求价格弹性和价格变化中收益变化规律的决定因素，把三者强扭成一体，我们用相互印证的不同的方法进行了否定。那么，斜率的变化到底对需求价格弹性和价格变动中的收益有什么影响呢？
（一）斜率的变化对需求价格弹性的影响
见（图示8），这是两个仅有斜率不同的直线需求函数，需求三角形aoB和三角形aoC，当参照价格为p时，它们各自的需求价格弹性为：
ed1=—1/K1*p/Q1=oB/oa*p/Q1=oB/Q1*p/oa
ed2=—1/K2*p/Q2=oC/oa*p/Q2=oC/Q2*p/oa
apD∽aoBpD/oB=ap/ao
ape∽aoCpe/oC=ap/aopD/oB=pe/oC=ap/ao
pD=Q1pe=Q2Q1/oB=Q2/oCoB/Q1=oC/Q2
ed1=ed2
这证明，截距一致，仅有斜率不同的两个直线需求函数，在同一价格下它们的需求价格弹性是相等的，也可以说仅有斜率的变化并不改变直线需求函数中需求价格弹性的大小，这再一次证明了西方经济学中把需求价格弹性大小说成是斜率的原因的理论是非常错误的。
（二）.斜率的变化对价格变动中收益的影响
见图：
这是两个仅有斜率不同的直线需求函数，价格从H点降至效益平衡点i点，即两个效益增减矩形的对角点在需求三角形aoB的中线上。那么，因斜率改变成为第二个需求三角形aoe后效益平衡会被打破吗？根据第一章中所述价格变动收益增减平衡条件“当ak/（—b）=l即c/a=—K时，S1=S2”，这里它们各自的价格变动收益平衡的条件是：
（l）.需求函数三角形aoB的增减平衡条件是，—K1=c/a=oa/oB，
（2）.需求函数三角形aoe的增减平衡条件是，—K2=c/（a+d）=oa/（oB+Be）。（是否成立待证明）
求证：—K2=c/（a+d）=oa/（oB+Be）成立。
证明：c/a=oa/oB
在c/（a+d）=oa/（oB+Be）中只要证明d/a=Be/oB，则它就能够成立。
d/a=Be/oB变形得oB/a=Be/d
aHF∽aoB
HF/oB=aF/aB
aFG∽aBe
FG/Be=aF/aB
HF/oB=FG/Be=aF/aB
a=HF.d=FG
a/oB=d/Be
oB/a=Be/d，d/a=Be/oB
—K2=c/（a+d）=oa/（oB+Be）成立。
其实，通过作图也已经得到，斜率由K1变成K2后效益增减矩形的对角点依然在新的需求三角形的平衡线上，即中线上。这说明，由于需求价格弹性没有因斜率改变而变化，所以在中位线上的效益平衡更不会打破，实际上两者的中位线也是重合的，只是中线向右下方发生了移位，增加了总效益的值域。但从S1=S2·ak/（y—b）中可以看明白，除了在平衡点上效益平衡不变外，在不均衡区域系数“ak/（y—b）”的值虽然不变，但由于在相同的变动价格上，S1与S2的基础数值会同时加大，从而它们之间的差值变大，但这个差值在平衡线的两边所前进的方向是不一样的，平衡线以上是“增益”的方向，而平衡线以下是“减益”的方向。
这就是说，斜率的改变不会打破价格变动中收益的中线、中位线平衡理论规律，不会打破原有的增减平衡。在不均衡区域，随着斜率绝对值的减小在相同价格下会改变原有的价格变动中收益数值大小，变动价格在平衡点以上会“增益”，在平衡点以下会“减益”。同时斜率的减小使相同价格下的静态效益增加。——注意：价格变动中的收益是指动态的相比较下的“增益”还是“减益”，而静态效益是指一定价格下的实际收益，两者是完全不同的两个概念。
（三）.西方经济学中的需求价格弹性理论相近于曲线需求函数
如图：
根据需求价格弹性定义公式，西方经济学中的需求价格弹性理论相近于图示10中的曲线需求函数，但这种函数价格变动的过程里仍然包含着我们以上论证的理论规律，西方经济学需求价格弹性理论仍然不能涵盖它价格变动时的实质。我们不再在此分析此类需求函数价格变动时的各方面关系。总之，西方经济学中的需求价格弹性理论是经不住推敲的，非常偏面和狭獈。
六.需求价格弹性理论在实际产品定价中的应用
利润最大化价格=收益最大化价格+成本价格/2
我们已经知道直线需求函数三角形的中位线代表的是最大总收益价格线，此时p/Q=—K，ed=1，但因为有成本的因素在里面，此时的最大总收益并不等于最大总利润，它还不是人们所追求的利润最大化价格线，现实中人们总是随着产品在市场上的竞争情况有意识或无意识地按着利润最大化的原则对产品进行定价。只有在去除了成本因素后所得到的最大总收益价格才是最大总利润的价格。如图：
需求函数三角形aoB，下面的阴影部分是成本区域，p1D1是它的中位线也是最大总收益价格线。上方的空白三角形aoˊBˊ才是利润价格需求函数三角形，这个三角形里的需求利润价格弹性依然遵循着中线、中位线平衡规律，所以它的中位线p2D2表示的价格p2才是总利润最大化价格。显然，
最大总利润价格=最大总收益价格+成本价格/2
此时，（p-oˊ）/Q=-K（oˊ代表成本价格，p代表销售价格，Q代表p对应的需求量）
七，总结
在同一个直线需求函数里：
一.中位线规律就是需求价格弹性的规律，是最微观的价格边际变动中的收益的规律。公式表达为：
当p/Q>|K|时，ed>1p在中位线以上，微观边际价格变化收益“效益”
当p/Q=—K时，ed=lp在中位线上，微观边际价格变化收益平衡，此时总收益最大。
当p/Q
二.中线规律就是宏观的价格变动中收益变化的规律，是需求价格弹性在宏观上的表现，公式表达为：
当ak/（y—b）=l即—c/a=K时，S减=S增平衡点在中线，宏观上收益平衡。
当ak/（y—b）|K|时，S减
当ak/（y—b）>1即c/aS增平衡点在中线以下，宏观上收益“亏损”。
三.截距相等，仅有斜率不同的两个直线需求函数，在同一价格下它们的需求价格弹性是相等的。需求价格弹性是价格在函数截距上的位置本身所具有的特性，与该函数的斜率无关.每一个直线需求函数都包含需求价格弹性变化的三个阶段，同时也导致每一个直线需求函数里都包含“效益、平衡、亏损”三个区域即上述“一线两区域”。
四.斜率变化对收益的影响（见上述）。
微观经济学函数篇6
【关键词】导数；变化率；边际；边际分析
高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围颇为广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，今天我们就导数在经济中的应用略做讨论。
一、导数的概念
从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题。
函数y=f(x)在某一点x0的导数表达式如下：
若函数y=f(x)在某区间内每一点都可导，则称y=f(x)在该区间内可导，记f′(x)为y=f(x)在该区间内的可导函数（简称导数），表达式如下：
二、经济中常用的函数
导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。
（一）价格函数
一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见，买的东西越多，消费者砍价的幅度就可以大些。例如：某批发站批发1000只杯子给零售商，批发定价是20元，若批发商每次多批发200只杯子，相应的批发价格就降低1元，现在批发站杯子的存货只有2000只，最小的销量是1000只，求价格函数。
（二）需求函数
作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等.为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量仅受市场价格的影响。即
Q=f(p)
其Q中表示商品需求量，p表示商品市场价格。
例如：某厂家从促进消费的需求考虑，对某空调的价格从3000元/台降到2500元/台，相应的需求量从3000台增到5000台，求需求函数。
（三）成本函数
成本包括固定成本和变动成本两类.固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为C0。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为C1。这两类成本的总和称为总成本，记为C，即
C=C0+C1
假设固定成本不变（C0为常数），变动成本是产量q的函数（C1=C1（q)），则成本函数为C=C（q)=C0+C1（q)。
（四）收益函数
在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R.销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。因此，收入函数为
R=pq
其中q表示销售量，p表示价格。
（五）利润函数
利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L.
L=R-C
其中R表示收入，C表示成本。
总收入减去变动成本称为毛利润，再减去固定成本称为纯利润。
三、导数在经济分析中的应用举例
导数是函数关于自变量的变化率，在经济学中，也存在变化率的问题，因此我们可以把微观经济学中的很多问题归结到数学中来，用我们所学的导数知识加以研究并解决。
在此我们就经济学中的边际和边际分析问题加以稍作讨论。
边际概念表示当x的改变量x趋于0时y的相应改变量y与x的比值的变化，即当x在某一给定值附近有微小变化时y的瞬时变化。
若设某经济指标y与影响指标值的因素x之间成立函数关系式y=f(x)，则称导数f′(x)为f(x)的边际函数，记作my。随着y，x含义不同，边际函数的含义也不一样。
设生产某产品q单位时所需要的总成本函数为C=C(q)，则称mC=C′(q)为边际成本。边际成本的经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位产品所增加的总成本为C′(q)。
类似可定义其它概念，如边际收入，边际产量，边际利润，边际销量等等。
经济活动的目的，除了考虑社会效益，对于一个具体的公司，决策者更多的是考虑经营的成果，如何降低成本，提高利润等问题。
例1某种产品的总成本C（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为
C=C(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3
求生产水平为q=10（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合适？
解当q=10时的总成本为
C(10)=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130（万元）
所以平均成本（单位成本）为C(10)÷10=130÷10=13（元/件）
边际成本mC=C′(q)=4-0.4q+0.03q2
mC│q=10=4-0.4×10+0.03×102=3（元/件）
因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量。
例2某公司总利润L（万元）与日产量q（吨）之间的函数关系式（即利润函数）为L=L(q)=2q-0.005q2-150
试求每天生产150吨，200吨，350吨时的边际利润，并说明经济含义。
解边际利润mL=L′(q)=2-0.01q
mL│q=150=2-0.01×150=0.5；
mL│q=200=2-0.01×200=0；
mL│q=350=2-0.01×350=-1.5
从上面的结果表明，当日产量在150吨时，每天增加1吨产量可增加总利润0.5万元；当日产量在200吨时，再增加产量，总利润已经不会增加；而当日产量在350吨时，每天产量再增加1吨反而使总利润减少1.5万元，由此可见，该公司应该把日产量定在200吨，此时的总利润最大为：L(25)=2×200-0.005×2002-150=50（万元）
从上例可以发现，公司获利最大的时候，边际利润为零。
例3某公司生产某产品的成本函数和收入函数依次为，C(q)=3000+200q+(1/5)q2，R(q)=350q+(1/20)q2，其中q为产品的月产量，每月的产品均能全部销完，求利润最大的月产量应为多少？
解L(q)=R(q)-C(q)
=350q+(1/20)q2-3000-200q-(1/5)q2
=150q+(3/20)q2-3000(q>0)
L′(q)=150-(3/10)q
令L′(q)=0，得q=500
列表考查
由表格可以看出在(0,+∞)内只有一个极大值点，且L(q)是一个二次函数，根据生活中的实际规律可得，它就是最大值点。
所以，当月产量为500生产单位时，利润最大。
从上例我们可以证明，利润最大的必要条件是边际收入等于边际成本。
即由L′(q)=0，且L(q)-C(q)
得L′(q)=R′(q)-C′(q)=0，即R′(q)=C′(q),
mR=mC
例4某企业生产过程中需使用某种原材料。到外地采购一次这种原材料，要开销采购人员的工资、旅差费、手续费、运输费、检验费等，但每次采购的总的采购费用基本相同。原材料被采购回来后，除了被使用外，存放在仓库里，要开销保管费用，保管费用通常是采购批量、采购价格、保管费率三者乘积的一半，试求总费用最小的采购批量。
解设每年使用原材料的总量为Q，每次采购的批量为q，每次采购费用为k，则年采购次数为(Q/q)，每年的采购费用为(Q/q)×k。
又设该原材料的价格为p，保管费率是i，则库存费用为(1/2)·q·p·i，因此总费用为
C(q)=(Q/q)·k+(1/2)·q·p·i
求导得C′(q)=-(Q/q)·k+(1/2)p·i，令C′(q)=0，得。
这是所求的唯一值，根据生活的实际情况定有最小值，这唯一的点就是最小值点，所以当每次采购批量为时，总费用最小。
上例的结果，是理想化的瞬时送货的最佳库存模型，这个模型被广泛地应用于生产实际。
下面我们看实际的例子。
例5某企业生产使用某原材料100吨/年，每次采购的费用是1000元，每吨原材料的年库存费（材料价格与保管费率之积）为500元，如果材料消耗是均匀的，问应分几批采购，使总费用最小？
解设每次采购原材料q吨，则总费用为
C(q)=(100/q)·1000+(1/2)·q·500
C′(q)=-(100000/q2)+(1/2)500
令C′(q)=0，得（吨）
微观经济学函数篇7
关键词：微观经济学；教学方法；研究
本文为郑州大学西亚斯国际学院2011年度校级科学研究项目“后税费改革时代制度创新与农村问题研究”的阶段性成果（立项编号：2011KYYB19）；也是校级精品课程“西方经济学”的部分成果
中图分类号：G64文献标识码：a
收录日期：2011年12月23日
一、微观经济学的学科特点
学生在接触微观经济学之前，通常会学习政治经济学这门基础课。就惯性思维来考虑，凡是经济学之类的基础课，都应该以初中以来在政治课上学习的经济学内容为主，再进行适当的变化。但这恰恰是微观经济学学习当中的一个误区，它主要反映在东西方思维方式的差异。经济学起源于英国的古典政治经济学，它的诞生即是以西方哲学的思维方式为主线。那么，什么是西方思维方式呢？简单来说，就是我们通常所说的“小题大做”，即专注于特定的问题做细致分析，去揭示表面上看似很简单实则对于现实发挥巨大作用的经济学原理，这就是微观经济学的最大学科特点。大一学生，特别是文科专业背景的学生，对教学过程中老师对一个看似简单的命题做不厌其烦的推导十分不解，这就是典型的不了解本学科的理论渊源和学科特点。再有，学生对于现实经济问题做抽象的研究方法也常疑惑不解，如分析企业的生产经营有多种渠道，现实当中的企业经营方法也千差万别，那么微观经济学这门课为什么只从个体利益最大化的角度出发来思考问题呢？这样的视角是否太过狭隘呢？这也恰好是本学科的特定研究方法，即用最有代表性的假设作为出发点，对现实经济问题做透过表象直至本质的研究。
二、注意各种案例的使用
在系统讲完某一理论后，可通过案例讨论培养学生理论联系实际的能力，比如在讲完成本概念后，可通过案例组织学生讨论经济成本和会计成本、显成本和隐成本、沉没成本、机会成本、经济利润和会计利润、正常利润和超额利润等概念之间的关系。通过具体案例的讨论，使学生把所学的概念具体运用到实际经济生活中。在某几章的理论问题系统讲授后，教师选取跨章节的综合性案例，根据学生人数将学生分为若干组，以小组讨论和组长代表发言的形式进行案例教学。比如，讲完消费者行为理论、生产理论、成本理论和市场理论后，可组织学生专题讨论房价问题和城市最低工资制度，并在消费与供给的框架内分析房价和工资的问题，结合消费者剩余和生产者剩余分析政府压低商品房价格的一系列后果，通过讨论让学生给政策制定者提供具有可行性的政策建议。
案例1：旅行社在旅游淡季如何经营。某旅行社在旅游淡季打出从天津到北京世界公园1日游38元，（包括汽车和门票）。我的一位朋友说不信，认为是旅行社的促销手段。一日他跟我提起这事，问我真的会这么便宜吗？38元连世界公园的门票都不够。我给他分析，这是真的，因为旅行社在淡季游客不足，而旅行社的大客车、旅行社的工作人员这些生产要素是不变的，一个游客都没有，汽车的折旧费、工作人员的工资等固定费用也要支出。任何一个企业的生产经营都有长期与短期之分，从长期看如果收益大于成本就可以生产。更何况就是38元票价旅行社也还是有钱赚的。我们给他算一笔账：一个旅行社的大客车载客50人，共1，900元，高速公路费和汽油费假定是500元，门票价格10元共500，旅行社净赚900元。在短期不经营也要损失固定成本的支出，因此只要收益弥补可变成本，就可以维持下去，换个说法，每位乘客支付费用等于平均可变成本，就可以经营。另外，公园在淡季门票也打折，团体票也会打折，也是这个道理。
案例2：沉没成本与企业决策。中国航空工业第一集团公司在2000年8月决定今后民用飞机不再发展干线飞机，而转向发展支线飞机，这一决策立时引起广泛争议。该公司与美国麦道公司于1992年签订合同合作生产mD90干线飞机，这显示中国在干线飞机制造和总装技术方面已达到九十年代的国际水平，并具备了小批量生产能力。就在此时，mD90项目下马了。单从经济角度看，干线项目上马、下马之争为“沉没成本”提供了最好的案例。许多人反对干线飞机项目下马的一个重要理由就是该项目已投入数十亿元巨资，上万人倾力奉献，耗时六载，在终尝胜果之际下马造成的损失实在太大了。这种痛苦的心情可以理解，但丝毫不构成该项目应上马的理由，因为不管该项目已经投入了多少人力、物力、财力，对于上下马的决策而言其实都是无法挽回的沉没成本，而沉没成本在企业决策时是不应考虑的。
案例3：商品的价格下降会发生两方面的影响：收入效应和替代效应。为了说明这两种效应，我们来看当得知可口可乐价格下降时，消费者会做出什么反应：
“好消息！现在可口可乐便宜了，我们的收入相对增加了，我们比以前更富了。我们可以买更多的可口可乐。”（收入效应）
“现在可口可乐的价格下降了，我放弃雪碧可以得到更多的可口可乐。”（替代效应）
你觉得哪一种说法更有说服力？事实上，这两种说法都有道理，可口可乐降价会使消费者增加购买量。这一方面是因为购买力增加，即收入效应；另一方面是其他替代品显得相对昂贵，即替代效应。
上述三例，是运用所学的经济学相关原理来分析现实经济材料。如果只是单纯的讲经济学相关原理，不仅枯燥无味而且没有几个人能够理解。通过使用恰当的案例深入浅出的揭示了深刻的经济学原理，原来如此简单。
三、注意数学和微观经济学的奇妙关系
数学在微观经济学中得到大量的应用，而且具有很多规律性的东西。例如：
1、函数。在数学上，函数就是因变量和自变量之间一一对应的关系。在经济学之中，大量的经济学概念之间是一种函数关系。有供给函数、需求函数、效用函数、生产函数、成本函数，等等。
2、导数。自从边际革命兴起之后，边际分析方法在微观经济学中大行其道。微观经济学中存在大量的边际概念，如边际效用、边际产量、边际成本、边际收益，等等。它们既有一个定义的公式，同时也有一个导数的公式。尤其是导数的公式，在大量的计算题中得到应用。边际概念和总量概念还存在这样一个规律性的关系：当边际量大于0时，总量递增；当边际量小于0时，总量递减；当边际量等于0时，总量取得极大值。例如，边际效用与总效用、边际产量与总产量以及边际收益与总收益都是这样。
3、斜率。供求曲线的斜率关系到供求弹性的大小；无差异曲线的斜率关系到两种商品替代程度的大小；等产量曲线的斜率关系到两种生产要素替代比例的大小。序数效用论中消费者均衡、生产者均衡、交换的帕累托最优、生产的帕累托最优、生产和交换的帕累托最优等的均衡条件都是两条线的斜率相等。除此之外，微观经济学中大量的图形都和数学具有惟妙惟肖的关系。
四、注意微观经济学各章节之间的逻辑联系
第一章的引论介绍微观经济学的研究对象和基本框架，囊括了以后的所有章节。第二章的需求供给理论则是整个微观经济学最基本的理论分析方法，以后各章产品市场和生产要素市场的价格决定方法都是需求供给模型。第三章效用论要详细进行讲授。因为第三章序数效用论中的消费者均衡的条件与第四章的生产论的最优生产要素组合具有类似的逻辑关系。无差异曲线的分析方法和等产量曲线的分析方法有惊人的相似。消费者效用论的无差异曲线对应于生产论的等产量曲线，消费者效用论中的消费预算约束线对应于企业的等成本线，两者达到均衡的条件也相似。消费者效用最大化的条件是商品的边际替代率为两种商品的价格之比，最优的生产要素组合也是两种类似于最终产品的资本、劳动的既定价格，即工资率和利息率。而第四章生产论与第五章成本论的逻辑关系则体现为分别从实物形态和货币形态对组织生产的企业进行的分析。在对第六章完全竞争市场和第七章不完全竞争市场的教学中，一定要向学生传达到这样一种逻辑关系，那就是厂商的行为如何促使产品市场形成均衡。一方面厂商通过不断的积累，自身的规模在不断扩大；另一方面不断的有新企业进入，因此在供给曲线的推动作用下，靠价格波动使得供给曲线不断地向右倾斜，新的均衡状态就逐渐形成。在对第八章生产要素市场均衡的教学中，要避免这样一种误区，很多教师在教学的过程中，认为将产品市场的均衡演化讲清楚了就不需要重点介绍此部分内容，或者仅仅只分析如何求解方程得到最佳解，而没有从实质上指出其经济学意义，即它是如何通过价格实现资源配置与收入分配的。在对第十章一般均衡和福利经济学的教学环节中，要明确地指出，微观经济中一直强调的均衡，就是稳定，即研究供给与需求靠价格（特别是相对价格）进行自动调节相对的稳定的机制。最后一章市场失灵理论，则是对微观经济学的核心“看不见的手”的原理的修正和补充。
五、备有一定数量的练习题
微观经济学课程各章节间衔接紧密，前后知识点环环相扣，某些知识点与经济数学联系紧密。学生在预习时注意相关数学知识点的复习，注意数学知识与经济学的融合。相对而言，该课程有一定的难度，学习过程中务必配合相应的、适量的练习。因此，教师在教学过程中各个知识点，尤其是重要的知识点，要安排例题的讲解。每讲完一章内容，应给学生准备一套练习卷，题型应尽量丰富，可以有选择题、判断题、名词解释、简答题、思考分析作图题和计算题。这些习题有利于学生加深对知识点的理解，有利于培养学生的经济思维习惯和能力。
主要参考文献：
[1]高鸿业.西方经济学微观部分[m].北京：人民大学出版社（第五版）.
微观经济学函数篇8
关键词：边际分析边际效用作用
一、边际的含义
经济学中的边际指的是因变量随着自变量的变化而变化的程度，即自变量变化一个单位，因变量会因此而改变的量。边际的概念植根于高等数学的一阶导数和偏导数的概念。在经济学中根据不同的经济函数,我们可求不同的边际。如边际成本、边际收入、边际效用、边际消费、边际储蓄等。
二、边际分析特点及对经济学发展的作用
边际分析是马歇尔二百多年前创立的,它告诉我们人们在作决策的时候,除了应用绝对量作决策参数外,更应该运用增量参数进行决策。这种方法有以下几个特点：1.边际分析是一种数量分析，尤其是变量分析，运用这一方法是研究数量的变动及其相互关系。这一方法的引入，使经济学从常量分析发展到变量分析。2.边际分析是最优分析。边际分析实质上是研究函数在边际点上的极值，要研究因变量在某一点递增、递减变动的规律，这种边际点的函数值就是极大值或极小值，边际点的自变量是作出判断并加以取舍的最佳点，据此可以作出最优决策，因此是研究最优化规律的方法。3.边际分析是现状分析。边际值是直接根据两个微增量的比求解的，是计算新增自变量所导致的因变量的变动量，这表明，边际分析是对新出现的情况进行分析，即属于现状分析。这显然不同于总量分析和平均分析，总量分析和平均分析实际上是过去分析，是过去所有的量或过去所有的量的比。在现实社会中，由于各种因素经常变化，用过去的量或过去的平均值概括现状和推断今后的情况是不可靠的，而用边际分析则更有利于考察现状中新出现的某一情况所产生的的作用、所带来的后果。
边际分析法在1870年代提出后，首先用于对效用的分析，由此建立了理论基础——边际效用价值论。这一分析方法的运用可以说引起了西方经济学的革命，具体说它的意义表现为：
1.边际分析的运用使西方经济学研究重心发生了转变。由原来带有一定“社会性、历史性”意义的政治经济学转为纯粹研究如何抉择把有限的稀缺资源分配给无限而又有竞争性的用途上，以有效利用。2.边际分析开创了经济学“数量化”的时代。边际分析本身是一种数量分析，在这个基础上，使各种数量工具线性代数、集合论、概率论、拓扑学、差分方程等，逐步渗入经济学，数量化分析已经成为西方经济学的主要特征。3.边际分析导致了微观经济学的形成。边际分析以个体经济活动为出发点，以需求、供给为重心，强调主观心理评价，导致了以“个量分析”为特征，以市场和价格机制为研究中心的微观经济学的诞生。微观经济学正是研究市场和价格机制如何解决三大基本经济问题，探索消费者如何得到最大满足，生产者如何得到最大利润，生产资源如何得到最优分配的规律。4.边际分析奠定了最优化理论的基础。在边际分析的基础上，西方经济学从理论上推出了所谓最优资源配置，最优收入分配，最大经济效率及整个社会达到最优的一系列条件和标准。5.边际分析使实证经济学得到重大发展。研究变量变动时，整个经济发生了什么变动，这为研究事物本来面目、回答经济现象“是什么”问题的实证经济学提供了方法论基础。
从平均分析进入到边际分析,是经济学分析方法的一个重大发展和转折,意义十分重大它表明数学对经济学的渗透迈出了重大一步。希克斯1946年的《价值与资本》与1947年萨缪尔逊的《经济分析基础》全面总结和发展了边际分析阶段的研究工作,使边际分析达到顶点,从而成为经济学史上的两部名著边际分析阶段,形成和发展了一大完整的微观经济活动行为理论,提出了一般经济均衡问题,建造了一般经济均衡的理论框架,创立了当今的消费者理论、生产者理论、垄断竟争理论及一般经济均衡理论的数学基础，因此边际革命的影响是深远的。 三、边际分析在经济分析中的两个简单应用
1.应用实例：最佳产量的确定
(1)不计税收下,最佳产量的确定
结论：利润在边际收入等于边际成本时的产量水平上达到极大值。此时的产量水平称为最佳产量水平。
例1某食用油生产厂的收人函数R()=6140-302（元），成本函数C()=102+60+1200（元）,其中为每周产量（单位：吨）,求最佳产量和每周预期利润。
解:由已知边际收入R‘()＝6140-60,边际成本C’()=20+60,由上结论有：6140-60=20+60解得=76,即每周最优产量76为吨,预期利润为L(76)=R(76)-c(76)=219040元。
(2)赋产量税后,最佳产量的确定
例2：在例1的已知条件下,若每吨产量缴纳t元产量税,求最佳产量和每周预期利润。
解:由已知吨应缴纳元的税。则该厂利润为：L()=R()-C()-t
由前面结论可得最佳产量为边际利润为零时的产量。即由L’()=0,解得:。
这样产量税将影响最佳产量水平,当然对预期利润也有影响,且赋税越高,最佳产量水平越低。
2.应用实例——确定白酒储存期
例3假定有白酒100吨,现价8元公斤,多陈一年可增值2元/公斤,贮存费每年10000元,因贮存酒积压资金引起机会成本每年增加105p.r,（其中105为酒的贮量,p为当年白酒价格,r为利息率,且假定r=10%),那么这些酒须储存多久效益才最大呢
分析:假设须贮年才最佳,由已知可得如下函数关系；
(1)年增加的总收人函数R()=105×2＝2×105（元）
(2)年增加的贮存总成本C()=10000+×105×10%[(105×8+2×105)/105]=90000+200002（元）
(3)年净增利润函数L()=R()-C()=2×105-(90000+200002)=110000-200002
此时边际收人R’()=2×105,边际成本C’(×)=90000+40000
因为当R’()=C’(×)时利润最大,所以有2×105=90000+40000，即＝2.75（年）
由于驻点唯一,故只有当储存期为2.75年时,企业才能获得最佳经济效益,其最大净增利润为151250元。
由上进一步表明边际分析这种以微积分为工具,以经济现象为内容的数学分析方法已深深融人到了经济学中,并成为经济学的一个重要组成部分
参考文献:
微观经济学函数篇9
其隐含的性质是否可以推出可被经济事实所验证的可证伪的假设命题。
本文依据该定义方法综述各成本函数形式，据以给出各成本函数的可被证伪的函数形式，并概要指出符合可被证伪假设命题的各成本的关系。
关键词：成本函数；可证伪性；定义
“它是应用数学中单调的基本的部分，因为它是纯粹数学中单调的基本的部分，时间可能会改变这一点。过去没有一个人可以预见到矩阵理论和群论以及其它的纯粹数学理论对对当代物理学会有重要应用，并且某些‘自命高深的’应用数学中的某些部分可能会借助也某些意想不到的方法变得更有用，但是目前我还看不清楚在各个数学课题中到底哪些对实际生活是没有用处的单调的！”
基于本文在讨论成本函数的定义时，不免会用到部分的较为基本但却是有用的数学知识，因而在上面引用了美国已故数学家G.H.Hardy在其名著《一个数学家的道歉》中的一段著名的话语，该段话语会给本文在一定程度上在必要的时候使用基本的数学知识以阐述观点和意见提供一点理论支持。
一、理论结构和可证伪性
经验科学中，理论是指一组对现实客观事物运动的解释和预测。一般而言，理论有三部分：断言或假设，用以对现实客观事物运动的概念化描述；检验条件，用以对断言或假设进行检验；事件（组），由理论所预测。
然而，对经验科学而言，应当如何检验某理论是否正确，是否反映了现实客观事物的真实运动，或者由该理论所作的预测是否正确甚或会真的发生呢？也即应当怎样确定据以检验理论的依据。
萨缪尔森在其名著《经济分析基础》第一版中就曾明确指出，经济学中定理和理论的用处不在于给出一般的均衡条件，由于这些均衡条件难于观测因而一般来说用处不大，而其真正用处应当是指出当其中的某个参数发生变化后会产生的各种变化。
事实上，萨缪尔森正是指出若要理论可以付诸应用的话，理论的检验条件必须是可以观测的，同时也必须指定理论所对应的客体，据以评判理论对现实客观事物运动的描述，也即应当给出该理论可被证伪的条件。
由消费者理论可知，当消费者所消费的两种商品的边际效用的比与其价格比相等时，消费者得到最大程度的满足，然而，该理论所指定的客体却无法观察，除非可以测出消费者的误差异曲线，因而该理论就是不可被证伪的，即无法依据可观测的事实判断理论正确与否。
但是，对供给定律，则只要求观测供给量和价格是否同向变化即可，即改定律指出的客体是可观测的，即改定律就是可以被证伪的。
微观经济学函数篇10
【摘要】不定积分的求解一直是高等数学的重点，但由于其方法的灵活性以及结果的不确定性，又一直是高等数学的难点。针对不定积分求解方法的核心思想——“凑微分”，就其技巧、步骤的形式化方面做了相关分析和总结，并给出了一系列行之有效的“凑微分”的形式化步骤和技巧。
【关键词】不定积分;凑微分;换元积分法;分部积分法;医用高等数学
微积分是医用高等数学的基本和主要内容，在数学甚至是自然科学的发展阶段中有着不可磨灭的贡献，正如恩格斯所说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里”[1]。不定积分是微积分中的重要一章，是解决反问题的重要方法，在科学、技术和经济等许多领域中有着重要的应用。不定积分掌握程度的好坏直接决定着对后面定积分、多元函数微积分以及微分方程等章节内容的掌握，亦对后续课程的学习有很大的影响。由于不定积分方法的灵活性和结果的不确定性，同学们在学习时往往显得无从下手，下面结合自己在讲授不定积分时的经验，关于不定积分求解方法的学习提几点建议。
作者在教学之余，曾关于不定积分的求解方法总结过一句口诀“原函数，结牛莱，凑微代换分部微元来，定于不定都交代”[2]。不定积分的常规求解方法主要包括直接积分法、换元积分法和分部积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分部积分法，其核心即——“凑微分”。
1换元积分法中的“凑微分”
换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，其基本原理是：当〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗不容易直接求出时，则将其转化成〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗，然后令φ′(x)dx=dφ(x)=du(取φ(x)=u)，即〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]dφ(x)〖JF)〗=〖JF(Z〗f(u)du〖JF)〗。其中的关键是第一步：将g(x)拆分成f[φ(x)]φ′(x)，这正是“凑微分”的核心。由于“凑微分”方法灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分公式并不能给同学们足够的启示，在讲解过程中我们将方法归结为“一拆、二靠、三转化”三步走，并且结合常见的不定积分公式求解，这样同学们掌握起来就比较容易了。
1.1“拆”
遇到一个不定积分题目，首先看其能否直接拆分成若干个函数的乘积，若能，则挨个观察拆分成的函数能否凑微分，找出合适的进行凑微分求解。如：求解不定积分〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗分析：观察到被积函数cosx2x可以拆分成两个函数的乘积：cosx·12x，并且12x可以进行凑微分从而变成dx。解：〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosx·12xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdx〖JF)〗=sinx+C。
1.2“靠”
若一个不定积分不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本公式形式上接近，若接近，就以此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。如：求解不定积分〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗分析：通过观察此不定积分不能直接进行拆分，但其与不定积分基本公式〖JF(Z〗11+u2du〖JF)〗=arctanu+C形式上接近，因此我们可以以此为目标去靠近。解：〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗=1a2〖JF(Z〗11+(xa)2dx〖JF)〗=1a〖JF(Z〗1adx1+(xa)2〖JF)〗=1a〖JF(Z〗d(1ax)1+(xa)2〖JF)〗=1aarctanxa+C。
1.3转化
若一个不定积分既不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分基本公式形式上接近，则可以先利用恒等变形等方法进行转化，再根据转化的形式进行相应求解。如：求解不定积分〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗分析：此不定积分既不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分基本公式形式上接近。通过观察被积函数1a2-x2可以用拆分成1a-x·1a+x，从而逆用通分公式变成12a(1a-x+1a+x)进行求解。解：〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗=〖JF(Z〗1(a+x)(a-x)dx〖JF)〗=12a〖JF(Z〗(1a+x+1a-x)dx〖JF)〗=12a[〖JF(Z〗1a+xdx〖JF)〗+〖JF(Z〗1a-x)dx〖JF)〗]=12a[〖JF(Z〗1a+xd(a+x)〖JF)〗-〖JF(Z〗1a-x)d(a-x)〖JF)〗]=12a(ln|a+x|-ln|a-x|)+C=12alna+xa-x)+C。
2分部积分法中的“凑微分”
分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式(主要是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数五类基本初等函数形式的乘积)的不定积分，主体内容可以概括为“一套公式、两个步骤、三种类型”：一套分部积分公式即：〖JF(Z〗u(x)dv(x)〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)du(x)〖JF)〗等价于〖JF(Z〗u(x)v′(x)dx〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)u′(x)dx〖JF)〗两个基本步骤即：①配微分，即将〖JF(Z〗f(x)dx〖JF)〗变形为〖JF(Z〗udv〖JF)〗;②代入分部积分公式求解、化简(可以重复使用)。
三种解题类型即：①配微分后直接套公式计算、化简;②使用两次分部积分公式后移项解方程;③直接积分法、换元积分法和分部积分法结合运用。
分部积分法的关键是步骤①中的配微分，即将f(x)拆分成uv′。u与v′选择不当会使题目求解越陷越繁琐，例如求解不定积分〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗：解法1：选择u=cosx，v′=x
〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=12〖JF(Z〗cosxdx2〖JF)〗=12x2cosx+12〖JF(Z〗x2sinxdx〖JF)〗 =12x2cosx+16〖JF(Z〗sinxdx3〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3dsinx〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3cosxdx〖JF)〗=(陷入无限循环中)。解法2：选择u=x，v′=cosx〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗xdsinx〖JF)〗=xsinx-〖JF(Z〗sinxdx〖JF)〗=xsinx-(-cosx)+C=xsinx+cosx+C(求解简单明了)。对于u与v′的选择，我们有以下两个原则:①u、v′选择要得当，使v容易求出。②〖JF(Z〗vdu〖JF)〗要比原积分〖JF(Z〗udv〖JF)〗容易求解。遵循上面的两个原则，在教学实际中我们总结出一个比较实用的方法：对拆分成乘积的两个函数求导数，若函数类型发生变化则做u，没有发生变化则做v′，全部没有发生变化则任选其一做u即可。
如：求解不定积分〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗分析：指数函数ex与三角函数cosx求导数后仍然为指数函数与三角函数，函数类型都没有发生变化，则任选其一做u即可。解1：〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗exdsinx〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinxexdx〖JF)〗=exsinx+〖JF(Z〗exdcosx〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移项整理得〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(sinx+cosx)+C。解2：〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=excosx-〖JF(Z〗exdcosx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗exsinxdx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗exdsinx〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移项整理得〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(cosx+sinx)+C。另外，针对某些被积函数只有一个的情况，可以看成其与常数的乘积。如：求解不定积分〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗分析:被积函数arctanx可以看成arctanx·1，arctanx求导得11+x2，类型由反三角函数形式变成幂函数形式，而1求导得0，仍为幂函数形式不变，因此取u=arctanx，v′=1即v=x。解：〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗=xarccosx-〖JF(Z〗xdarccosx〖JF)〗=xarccosx+〖JF(Z〗x11-x2dx〖JF)〗
=xarccosx+12〖JF(Z〗x11-x2dx2〖JF)〗=xarccosx-12〖JF(Z〗x11-x2d(1-x2)〖JF)〗xarccosx-1-x2+C。此方法对于“配微分”的选择来说是比较实用的，并且可以培养同学们的发散思维，但在一定方面亦有其局限性，对于某些题目，容易使同学们产生“歧途亡羊”之感。
如：求解不定积分〖JF(Z〗x2cosxdx〖JF)〗分析:被积函数x2求导得2x，cosx求导得-sinx，类型仍是幂函数和三角函数形式，因此应该任取一个做u即可，但通过下面的求解发现并不是如此。解法1：〖JF(Z〗x2cosxdx〖JF)〗=13〖JF(Z〗cosxdx3〖JF)〗=13x3cosx-13〖JF(Z〗x3dcosx〖JF)〗=13x3cosx+13〖JF(Z〗x3sinxdx〖JF)〗=13x3cosx+112〖JF(Z〗sinxdx4〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4dsinx〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4cosxdx〖JF)〗=…(陷入无限循环)。解法2：〖JF(Z〗x2cosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗x2dsinx〖JF)〗=x2sinx-〖JF(Z〗sinxdx2〖JF)〗=x2sinx-2〖JF(Z〗xsinxdx〖JF)〗=x2sinx+2〖JF(Z〗xdcosx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2〖JF(Z〗cosxdx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2sinx+C(求解简单明了)。为解决此缺陷，我们再给出一个选择u及v′的简便方法(此法在《高等数学》[3]中亦有相应体现)：把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂指三(反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数)”的顺序，前者为u，后者为v′。
如：求解不定积分〖JF(Z〗x2cosxdx〖JF)〗分析：被积函数x2cosx可以看成幂函数x2与三角函数cosx的乘积，按照“反对幂指三”顺序取u=x2，v′=cosx(具体求解过程即上例解法2)。其实，两种方法各有利弊，第一种方法拓展了学生的发散思维，但对于某些问题不能广泛使用，第二种方法虽然简洁、应用广泛，但是又限制了同学们发散思维的培养，因此我们在教学过程中应该相互结合，互为补充，这样才能既有效解决问题，又培养了学生们的思维能力。
通过上面的方法，我们几乎可以将不定积分的基本求解形式化的确定下来，在一定程度上减轻了同学们的学习压力。但是，对于不定积分求解步骤、方法形式化的讨论，并不是要把高等数学装扮得冰冷且美丽着，而是要在掌握形式化技巧的基础上深度挖掘“冰冷的美丽”[4]后面“火热的思考”[4]，从而达到“淡化形式，注重实质”[5]的目的，真正的使同学们“透过形式主义的美丽，真正领会到微积分的无穷魅力”[4]。
【参考文献】
1张顺燕.数学的思想、方法和应用.北京大学出版社，2002.
2范应元，安洪庆，孔雨佳.医用高等数学教学中人文推动的模糊综合评价.数理医药学杂志，2008，21(6)：760～761.
3同济大学应用数学系.高等数学.第5版.高等教育出版社，2002.
4张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考.大学数学课程报告论坛论文集，2005.