数学中的反证法篇1
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.
例1证明当p,q均为奇数时，曲线y=x2-2px+2q与x轴的交点横坐标为无理数.(2009清华大学夏令营选拔考试)
思路分析
要说明二次方程无有理解，目前倒没有什么直接的判断方法，因此采用反证法.
证明
反设交点横坐标为有理数，即存在交点横坐标为x=uv((u,v)=1)，则uv2-2puv+2q=0，即u2-2puv+2qv2=0，u2=2(puv-qv2)①为偶数，于是u为偶数.
又(u,v)=1，得v为奇数.
另外由①有v|u2，从而v|u.又(u,v)=1，得v=1.
设u=2s，则4s2-4ps+2q=0，即2s2-2ps+q=0，q=2(ps-s2)为偶数，与已知条件的奇偶性矛盾.
从而反设不成立，说明结论成立.
即曲线y=x2-2px+2q与x轴的交点横坐标为无理数.
解题回顾
在简单整数理论中，反证法是常用的方法.主要适用的情况就是我们正面不能处理的时候，来假设结论不成立，利用假设作为条件，通过推演出矛盾，最终否定假设.在简单整数理论中，很多时候推出的矛盾是奇偶矛盾，比如说最经典的反证法证明2是无理数.
例2已知1与90之间的19个（不同的）正整数，两两的差中是否一定有三个相等？（1990年匈牙利数学竞赛题）
分析
这类问题要从正面来处理，非常困难.可考虑从反面出发：没有三个相等的情况，最多两个相等，从而我们能得到怎样的信息呢？如果按大小顺序排列的话，那么产生18个差，这些差至多两个相等，也就形成了一些重叠，从而至少有9个不同的数，于是设法找到存在性或者矛盾的方面.
证明
设这19个数为1≤a1＜a2＜…＜a19≤90.
由于a19-a1=(a19-a18)+(a18-a17)+…+(a2-a1)，
反设右边的18个差中无三个相等，而只有两个相等，且取最小的，则
a19-a1＞2×(1+2+…+9)=90,
这与a19-a1≤90-1=89矛盾.所以反设不真.故两两的差中定有三个相等.
解题回顾
虽然从形式上来看没有用到“抽屉原理”，但用到了抽屉原理的思想，即18个数放到9个盒子中，最平均的情况就是每个盒子两个，否则就出现我们要证明的结果：三个数在一个盒子里，即存在三个差相等.由此，我们在讨论问题的过程中，不能仅仅盯着定理和原理能否使用，而是应该理解和挖掘定理和性质本身的数学思想，从而在解决问题的过程中灵活运用.
例3已知以a1为首项的数列{an}满足：an+1=an+c，an＜3，and，an≥3.
当0＜a1＜1m（m是正整数），c=1m，d≥3m时，求证：数列a2-1m，a3m+2-1m，a6m+2-1m，a9m+2-1m成等比数列当且仅当d=3m.（2008年上海高三数学竞赛试题）
思路分析
充分性证明“当d=3m时，数列a2-1m，a3m+2-1m，a6m+2-1m，a9m+2-1m成等比数列”它只要代入验证就可以了，没有任何的技巧和复杂的计算，必要性证明“已知数列a2-1m，a3m+2-1m，a6m+2-1m，a9m+2-1m成等比数列，求证d=3m”时，直接证明比较困难，我们要学会跳出正面冲突，从反面考虑问题，就可以找到解决问题的办法，基本的策略是列举法，找出矛盾，使问题得以解决.
证明
充分性略，下证必要性：反设d≥3m+1，
则有a1,a2=a1+1m,a3=a1+2m,…,a3m+1=a1+3mm=a1+3，
a3m+2=a1+3d＜1m,a3m+3=a1+3d+1m,…,
a6m+1=a1+3d+3m-1m＜3，
a6m+2=a1+3d+3＞3,a6m+3=a1+3d+3d＜1m,…,
a9m+1=a1+3d+3d+3m-2m,
a9m+2=a1+3d+3d+3m-1m＞2，….
所以a2-1m＞0,a3m+2-1m＜0,a6m+2-1m＞0,a9m+2-1m＞0.
故数列a2-1m，a3m+2-1m，a6m+2-1m，a9m+2-1m不是等比数列.
所以，数列a2-1m，a3m+2-1m，a6m+2-1m，a9m+2-1m成等比数列时，d=3m.
解题回顾
正难则反，是数学解题一个规律.正面解决困难的时候,我们有必要调整方向,从问题的反面入手,相当于增加了一个条件,在本题中d≥3m+1比d=3m要收缩的多,数列增加就慢了,所以原来d=3m时刚好是满足的,现在就要向后推移了,自然就应当存在矛盾,这时直觉的定性分析也帮上了忙.
例4证明如果在取三个不同的整数值时，变量x的整系数多项式的值的绝对值都是1，那么这个多项式没有整数根.（2005年江苏竞赛初赛题）
证明
设整系数多项式f(x)对于三个不同的整数a,b,c有
|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=1.(1)
假定f(x)有整数根x0，则f(x)=(x-x0)Q(x).(2)（这里Q(x)是整系数多项式）
由(1)(2)可知，|(a-x0)Q(a)|=|(a-x0)||Q(a)|=1.
由于Q(a)是整数，则|a-x0|=1，同理|b-x0|=1,|c-x0|=1.
从而三个数a-x0,b-x0,c-x0中必有两个相等，因此a,b,c中某两个相等.
这与已知矛盾，从而f(x)没有整数根.
解题回顾
(1)运用了性质：多项式f(x)，对于a,b∈R,a≠b，a-b必为f(a)-f(b)的因子；
（2）研究含有否定词“不存在”，“没有”，“不相等”，“不可能”等有关命题时，我们常用的策略是从反面考虑问题，即正难则反.
例5已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且f(x)=x没有实数根，问：f(f(x))=x是否有实数根？并证明你的结论.（2009年上海交大自主招生试题）
解析
反证法.若存在f(f(x0))=x0，令f(x0)=t，则f(t)=x0，即(t,x0)是y=f(x)图象上的点.又f(x0)=t，即(x0,t)也是y=f(x)图象上的点.显然这两点不重合，且这两点关于直线y=x对称.而y=f(x)=ax2+bx+c是连续函数，故y=f(x)=ax2+bx+c与y=x必有交点，从而f(x)=x有实数解，矛盾！
解题回顾
利用反证法，使问题的解决直观明了.同时，本题的结论对一般的连续函数f(x)也成立，其运用的处理方法，是可以值得借鉴.
例6（2008年北大自主招生试题）实数ai(i=1,2,3),bi(i=1,2,3)满足a1+a2+a3=b1+b2+b3，a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1，min(a1,a2,a3)≤min(b1,b2,b3).
求证：max(a1,a2,a3)≤max(b1,b2,b3).
思路分析
本题直接证明十分困难，于是我们想到正难则反，利用反证法，结合函数构造，来完成证明.
解析
不妨设a1≤a2≤a3,b1≤b2≤b3，则a1≤b1.下证a3≤b3.用反证法.若a3＞b3，构造两个函数f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3),g(x)=(x-b1)(x-b2)(x-b3).由已知条件a1+a2+a3=b1+b2+b3，a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1，知f(x)=g(x)+b1b2b3-a1a2a3.一方面f(a1)=g(a1)+b1b2b3-a1a2a3=0，f(a3)=g(a3)+b1b2b3-a1a2a3=0，故g(a1)=g(a3).另一方面，g(a1)=(a1-b1)(a1-b2)(a1-b3)，a1-b1≤0,a1-b2≤0，a1-b3≤0，所以g(a1)≤0；而g(a3)=(a3-b1)(a3-b2)(a3-b3),a3-b1＞0,a3-b2＞0，a3-b3＞0,所以g(a3)＞0，这与g(a1)=g(a3)矛盾.故a3≤b3,max(a1,a2,a3)≤max(b1,b2,b3).
解题回顾
数学竞赛考试是智慧的较量，尤其是面对困难如何摆脱的智慧.现在的数学竞赛、自主招生考试、高考必然出现“生题”“新题”，对此考生可能一时无法把握，使思考困顿，解题停顿.这些战略高地以单一的方式一味死攻并非上策，要学会从侧翼进攻，要有“战略迂回”的意识从侧面或反面的某个点突破，往往会出奇制胜.本题思维要求高，是一道难度较大的试题.
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显、具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.
巩固训练
1证明：若f(f(x))有唯一不动点，则f(x)也有唯一不动点.（2010年浙江大学自主招生试题改编）
2已知函数f(x)=13x3-2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C,求证不存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点.（2009年东南大学自主招生试题）
3已知有整系数a1,a2,…,an的多项式f(x)=xn+a1xn-1+…+an-1x+an，对四个不同的整数a,b,c,d使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5，证明：不存在整数k使得f(k)=8.（2009年四川竞赛初赛题）
3设f(x)=ax2+bx+c，已知f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)都是质数，求证：f(x)不能分解成两个整系数的一次式的乘积.（2010年福建数学竞赛初赛题）
1证明：不妨设x0是f(f(x))的唯一不动点，即f(f(x0))=x0，令f(x0)=t，则f(t)=x0，那么，f(f(t))=f(x0)，而f(x0)=t，即f(f(t))=t，这说明t也是f(f(x))的不动点.有f(f(x))有唯一不动点，知x0=t，从而f(t)=t，这说明t也是f(x)的不动点，存在性得证.
下证唯一性.假设若f(x)还有另外一个不动点t0，即f(t0)=t0(t≠t0)，那么f(f(t0))=f(t0)=t0，这说明f(f(x))还有另外一个不动点t0，与题设矛盾.
解题回顾当f(x0)=x0时，我们称x0为函数f(x)的不动点.利用不动点原理可以解决某些数学问题，它是自主招生考试中的热点问题.
2证明：反设存在过曲线C上的点a(x1,y1)的切线同时与曲线C切于两点，另一切点为B(x2,y2)，x1≠x2.
则切线方程是：y-13x31-2x21+3x1=(x21-4x1+3)(x-x1)，
化简得：y=(x21-4x1+3)x+-23x31+2x21.
而过B(x2,y2)的切线方程是y=(x22-4x2+3)x+-23x32+2x22，
由于两切线是同一直线，
则有：x21-4x1+3=x22-4x2+3，得x1+x2=4.
又-23x31+2x21=-23x32+2x22，
即-23(x1-x2)(x21+x1x2+x22)+2(x1-x2)(x1+x2)=0，
-13(x21+x1x2+x22)+4=0，即x1(x1+x2)+x22-12=0，
即(4-x2)×4+x22-12=0，x22-4x2+4=0，得x2=2.
但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾.
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点.
3分析：注意到a,b,c,d是多项式f(x)-5的根，于是可以构造一个多项式f(x)-5，再利用因式定理，结合反证法得到证明.
证明：由已知，应有f(x)-5=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)g(x)，其中g(x)是整系数多项式.
如果有整数k使得f(k)=8，即(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)g(k)=3.
但素数3不能有4个以上不同的因数，从而矛盾，
故不存在整数k使得f(k)=8.
3反设f(x)=g(x)h(x)，其中g(x),h(x)都是整系数的一次式.
则f(1)=g(1)h(1)，f(2)=g(2)h(2)，f(3)=g(3)h(3)，f(4)=g(4)h(4)，f(5)=g(5)h(5)，
数学中的反证法篇2
【关键词】反证法实变函数
【中图分类号】G642【文献标识码】a【文章编号】1674-4810（2015）12-0068-01
数学的证明方法主要分为直接证明和间接证明。反证法是间接证明的一种，在数学证明中有着独特和重要的作用，不管是在初等数学还是在高等数学中，反证法的应用都十分广泛。反证法能将一些正面复杂的问题简单化，即避开问题的正面，从反面寻求解决办法。任何问题都能一分为二，其中一面复杂，另一面自然相对简单。这是反证法的直观理解，下面给出严格的定义。
一反证法的概念及一般解题步骤
1.定义
反证法指的是从反面的角度，对问题进行思考的一种证明方法。换言之，就是对题设肯定，却对结论否定，在这个过程中推出明显的矛盾（主要包括与题设的矛盾，与已知定理、公理、定义和性质的矛盾），从而得出原命题成立。
2.逻辑依据
反证法的证明方法之所以可靠，其逻辑依据就是逻辑学中的矛盾律和排中律。人们在实践中得出这样的规律：对于任何一个命题，它要么是真命题，要么是假命题，不可能出现既真又假，不真不假的情况，也即是说不可能有第三种情况的存在。这就体现了逻辑学中的矛盾律和排中律。
3.一般的解题步骤
反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。
归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。
结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。
二实变函数教学中适用反证法的几种问题
证明某些存在性问题，这类问题需要证明存在即可，从正面去证需要一一验证，有时不容易做到，这时可以运用反证法，否定结论得出矛盾会容易一些。
例1，若的基数为c，证明：存在n0，使得an0的
基数也是c。
证明：由于=c，我们不妨设。用反证法，
若
=pi（ai），i=1，2，…，则≤
所以对每个i，存在εi∈R＼。于是ε=（ε1，ε2，…，εn，…）
∈e∞。下证。事实上，若，则存在i，使
得ε∈ai，于是εi=pi（ε）∈pi（ai）=，这与εi∈R＼
矛盾，所以，这又与ε∈e∞矛盾，所以至少存
在某个i0，使。
对于存在性的问题，从反面证明比正面证明容易下手，证明过程也比较简单，所以对于这类存在性问题的教学，采用反证法会起到很好的效果。
1.证明某些集合相等或包含命题
这一类命题，当从正面很难推导出集合之间的包含关系时，则考虑从反面运用反证法证明。
例2，证明（aB）′=a′。
证明：因为a?aB，B?aB，故a′?（aB）′，B′?（aB）′，从而a′′?（aB）′。另一方面，假设p?（aB）′，则必有p?a′′。否则，若p?a′′，那么将有p?a′且p?B′，因而有p的某一邻域（p），在（p）内除p外不含a的任何点，同时有p的某一邻域（p），在（p）内除p外不含B的任何点，则由邻域基本性质知，存在（p）?（p）（p），在（p）中除p外不含aB的任何点，这与p?（aB）′的假设矛盾。
在这个题目中，如果直接证明，由于p?（aB）′不能直接推出p?a′或p?B′，所以直接证明行不通，只能转化为反面才能证明。由此可以看出反证法在证明集合相等方面的重要性。
2.证明某些函数列收敛命题
这类命题的特点是，正面直接推导时，没有相关的定理或性质作为依据，即所给的条件不满足已知的定理。此时，需要从问题的结论出发进行推导，得出与条件的矛盾。
例3，设me
证明在e上依测度收敛于f（x）。
证明：若在e上，fn（x）不依测度收敛于f（x），则存在
δ0>0，使得me[|fn-f|>δ0]≠0，从而可知，存在ε>0以及
子函数列{fnk}，使得me[|fn-f|>δ0]>ε>0。又可知，存在{fnk}
的子函数列{fnkj}在e上a.e.收敛于f，由于me
三结束语
由以上几个简单的小例子可以看出，反证法在实变函数教学中的应用很广泛，应该要求学生掌握这种证明方法。并且，在讲解时，重点是让学生掌握这种证明方法的思想和内部逻辑依据，这样才能真正达到教学效果。
参考文献
[1]程其襄、张奠宙、魏国强等编.实变函数与泛函分析基础（第三版）[m].北京：高等教育出版社，2010
数学中的反证法篇3
一、“反证法”概述
一般情况下，反证法可以这样解释：
证明：命题a成立.
这时可以首先假设：此命题a不成立（命题a的条件不变），
这时根据命题a不成立，往往会得到一个反命题C（一个或者多个），由反命题C而推出结论B，结论B很显然是矛盾或者错误的（根据某个正确的定理或者结论）.
由此可以证明：假设并不成立，或者假设是错误的.
从而得出：命题a得证.
反证法的运用有一套规律的模式和方法可循，一般来说顺序可以归纳为先否定——然后推理——根据推理得出结论——发现结论的不合理——肯定原命题.这种命题的证明过程也是一个否定之后再否定的过程，利用正确的推导过程来得出矛盾，利用正确的理论来否定这个矛盾，进而肯定最初始的命题，所以也叫做“否定中的否定”.
概括地说，反证法的证明规律分为以下三个步骤：结论否定得出矛盾承认结论.
具体过程如下：
（1）假设：假定要证明的命题或者结论不正确，或者列出一个相反的假设.
（2）推导：利用上文假设或者反设的条件来进行推导和证明，进而得出一个新的结论.
（3）结果：发现新结论的不成立，进而肯定原命题或者结论的正确性.
值得注意的是，反正法的运用过程中，必须而且一定要有“反设”的存在，这有对求证命题进行相反假设，才是真正意义上的反证法.其中反证法有在命题有两种情况存在时则需要区别对待；唯一性即命题的只存在一个反面结论，则只需要将这个反设推倒即可；多元性.即结论的反设有多种，这是需要将这些反面的结论一一推倒，只有这样原命题才能得证，这种方法也可以叫做列举法.
二、解决“不可能同时”或者“至少存在”命题
在解决几何数学的问题中，往往会遇到这样的证明题：证明这种图形的某种特征的不唯一性或者至少有一个满足条件，这时如果从正面直接入手，往往很难找到匹配的理论依据，证明过程也会陷入瓶颈，反证法在这种情况下便能很方便地对这个结论进行否定并给出证明，证明的结论也会很容易找出矛盾，进而保证原命题的正确性.
例1若a，b，c都是小于1的正数，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三个数不可能同时大于14.
证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a同时大于14，由于a，b，c都是小于1的正数，则有
32
得出矛盾，故原命题成立.
三、证明“不存在”问题
在解决几何证明题的过程中，往往会遇到这样的情况：要证明这个图形并不具备某种性质，另一种情况是证明具有这种特点的图形是不存在的，这种命题大多是带有否定的性质，这时直接证明的话就会显得烦琐复杂，如果考虑采用反证法，将这种命题的反面即把带有某种肯定性质的结论进行论证，过程往往会简化得多，所以这种证明不存在类型的命题大多也采用反证法.
例2不存在自然数x、y，使得x的平方加y和y的平方加x都为完全平方数.
证明：假设存在自然数x、y，使得x2+y和y2+x都为完全平方数.
即存在正整数m，n，使得：
x2+y=m2①
y2+x=n2②
由于x，y，m均为正整数，则m≥x+1③
欲证明②式不成立，只需证明y2+x
y=m2-x2，代人即证（m2-x2）2+xx
由③式得2m2-2x2+1≥2（x+1）2-2x2+1=4x+1>x.
当①式成立时，不存在n使②式成立，即①②两式不能同时成立.
也就是不存在自然数x、y，使得x2+y和y2+x都为完全平方数.
四、证明“唯一性”问题
在几何或者代数中，常常会遇到一些命题需要证明结论的唯一性，即有且只有一个符合条件.
对这种有关唯一性的证明题型，如果直接证明则往往没有反证法效率高，因此在解决此种问题时大多会采用反证法来证明.
例3求证：方程3x=17的解是唯一的.
分析：可以通过假设存在两个解，得出矛盾.
由对数的定义易得，方程的一个解是x1=log317.
假设还存在一个解x2，且（x2≠x1），则有3x2=17.
因为3x1=17，即3x23x1=1.（1）
由假设x2≠x1，即x2-x1≠0.
当时x2-x1>0，3x23x1>1.（2）
当时x2-x1
数学中的反证法篇4
关键词：不等式；证明方法；方法探究
前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
1.不等式的概念
不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。不等式一般形如：f(x,y,…,z)∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示“＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y,…,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
2.常见不等式证明的几种方法
不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
2.1利用比较法法证明
在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。通常以下几个方面多使用于比较法证明不等式：一.不等式移项后因式容易分解或配成平方；二.不等式两边的解析式为乘机结构货可化为乘积结构。
2.2利用分析法证明
分析法通常采用“欲证―只需―已知”的格式，其思路实质为“执果索因”。即从求证不等式出发，不断的利用充分条件代替前面的不等式，直到找到已知不等式为止。在日常解答中，当证明无从入手时可采用分析法，其优势在于方向明确，思路自然，特别适合于条件简单但结论复杂的题目。
2.3利用反证法证明
反正法与比较法和分析法不同，比较法和分析法是直接证法，而反证法则为一种间接证法。
反证法即从否定所要证明的结论入手，先假设结论的反方为真，通过一系列的证明、演算，推出与已知条件、公理等之一相互矛盾，从而否定假设结论，确定原结论成立，已达到解题的目的。反证法可以考虑适用于自身为否定命题或者直接证法不利于使用的情况下。
2.4利用换元法证明
换元法法在不等式证明中有着广泛的应用。在不等式的证明过程中，换元法是以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，从而是解题过程达到化难为易、化繁为简的目的。
在不等式证明中，有时会遇到一些难以直接证明的结论，此时可以采用换元法选择辅助数值代换解决问题。换元法可大体上分为：
2.4.1.增量换元法，多用于确定字母顺序或者具有对称字母的不等式的证明。
2.4.2三角换元法，多用于条件不等式的证明。利用三角函数性质，将代数问题转化为三角问题。
2.4.3.比值换元法，多用于在已知条件中存在多个等比式的不等式证明。在不等式证明过程中往往将等比式转化代入一个辅助未知数值，以方便求证。
结束语：
本文通过浅显的探讨和研究，举例阐述了上述几种常见不等式的证明方法和适用范围。在实际研究与学习过程中，我们应充分认识到不等式证明方法的灵活性与多样性。采用不同方法证明时，掌握每种证明方法的适用性和相似规律性，熟练掌握不等式证明的要领，做到针对不同不等式，从简入手；同一不等式，一题多解，真正解题意义上的灵活运用。
摘要：不等式是数学学习中一个常见的问题，它渗透于数学研究的各个环节。而不等式的证明则是不等式知识中尤为重要的内容。本文通过举例，对不等式的多种证明方法进行探讨。
关键词：不等式；证明方法；方法探究
前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
1.不等式的概念
不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。不等式一般形如：f(x,y,…,z)∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示“＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y,…,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
2.常见不等式证明的几种方法
不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
2.1利用比较法法证明
在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。通常以下几个方面多使用于比较法证明不等式：一.不等式移项后因式容易分解或配成平方；二.不等式两边的解析式为乘机结构货可化为乘积结构。
2.2利用分析法证明
分析法通常采用“欲证―只需―已知”的格式，其思路实质为“执果索因”。即从求证不等式出发，不断的利用充分条件代替前面的不等式，直到找到已知不等式为止。在日常解答中，当证明无从入手时可采用分析法，其优势在于方向明确，思路自然，特别适合于条件简单但结论复杂的题目。
2.3利用反证法证明
反正法与比较法和分析法不同，比较法和分析法是直接证法，而反证法则为一种间接证法。
反证法即从否定所要证明的结论入手，先假设结论的反方为真，通过一系列的证明、演算，推出与已知条件、公理等之一相互矛盾，从而否定假设结论，确定原结论成立，已达到解题的目的。反证法可以考虑适用于自身为否定命题或者直接证法不利于使用的情况下。
2.4利用换元法证明
换元法法在不等式证明中有着广泛的应用。在不等式的证明过程中，换元法是以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，从而是解题过程达到化难为易、化繁为简的目的。
在不等式证明中，有时会遇到一些难以直接证明的结论，此时可以采用换元法选择辅助数值代换解决问题。换元法可大体上分为：
2.4.1.增量换元法，多用于确定字母顺序或者具有对称字母的不等式的证明。
2.4.2三角换元法，多用于条件不等式的证明。利用三角函数性质，将代数问题转化为三角问题。
2.4.3.比值换元法，多用于在已知条件中存在多个等比式的不等式证明。在不等式证明过程中往往将等比式转化代入一个辅助未知数值，以方便求证。
结束语：
本文通过浅显的探讨和研究，举例阐述了上述几种常见不等式的证明方法和适用范围。在实际研究与学习过程中，我们应充分认识到不等式证明方法的灵活性与多样性。采用不同方法证明时，掌握每种证明方法的适用性和相似规律性，熟练掌握不等式证明的要领，做到针对不同不等式，从简入手；同一不等式，一题多解，真正解题意义上的灵活运用。
摘要：不等式是数学学习中一个常见的问题，它渗透于数学研究的各个环节。而不等式的证明则是不等式知识中尤为重要的内容。本文通过举例，对不等式的多种证明方法进行探讨。
关键词：不等式；证明方法；方法探究
前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
1.不等式的概念
不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。不等式一般形如：f(x,y,…,z)∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示“＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y,…,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
2.常见不等式证明的几种方法
不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
2.1利用比较法法证明
在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。通常以下几个方面多使用于比较法证明不等式：一.不等式移项后因式容易分解或配成平方；二.不等式两边的解析式为乘机结构货可化为乘积结构。
2.2利用分析法证明
分析法通常采用“欲证―只需―已知”的格式，其思路实质为“执果索因”。即从求证不等式出发，不断的利用充分条件代替前面的不等式，直到找到已知不等式为止。在日常解答中，当证明无从入手时可采用分析法，其优势在于方向明确，思路自然，特别适合于条件简单但结论复杂的题目。
2.3利用反证法证明
反正法与比较法和分析法不同，比较法和分析法是直接证法，而反证法则为一种间接证法。
反证法即从否定所要证明的结论入手，先假设结论的反方为真，通过一系列的证明、演算，推出与已知条件、公理等之一相互矛盾，从而否定假设结论，确定原结论成立，已达到解题的目的。反证法可以考虑适用于自身为否定命题或者直接证法不利于使用的情况下。
2.4利用换元法证明
换元法法在不等式证明中有着广泛的应用。在不等式的证明过程中，换元法是以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，从而是解题过程达到化难为易、化繁为简的目的。
在不等式证明中，有时会遇到一些难以直接证明的结论，此时可以采用换元法选择辅助数值代换解决问题。换元法可大体上分为：
2.4.1.增量换元法，多用于确定字母顺序或者具有对称字母的不等式的证明。
2.4.2三角换元法，多用于条件不等式的证明。利用三角函数性质，将代数问题转化为三角问题。
2.4.3.比值换元法，多用于在已知条件中存在多个等比式的不等式证明。在不等式证明过程中往往将等比式转化代入一个辅助未知数值，以方便求证。
结束语：
数学中的反证法篇5
“师者，所以传道、受业、解惑也。”，如今的课堂不仅仅是要求教师去传道授业，更需要的是帮助学生去解除疑惑。那么,如果我们要成长为一名优秀的人民教师，在如何传好道、授好业、解好惑方面也必须具备一定的能力。笔者认为传道授业解惑最直接和最有效的方法是帮助学生找到解决问题的捷径。教师在课堂中传授的思维，会直接决定教学的效果和质量，由此得出了本课题的大致内容如下：⑴归纳总结逆向思维的作用、特点。⑵简要分析逆向思维培养的重要性和必要性。⑶在前人经验的基础上，提出培养中学生逆向思维合理应用的对策。
二、逆向思维的概念与特点
逆向思维是人们的一种重要思维方法。逆向思维也叫做求异思维，它是对司空见惯的，似乎已成定论的观点或事物反过来思考的一种思维方式。它需要人们“反其道而思之”，让思维向相反观点或事物对立面的方向探索，创立新形象，树立新思想。逆向思维有这样三个特点:第一，它具有普遍性。逆向性思维在各种活动、各种领域中都有很强的适用性。逆向思维也有很多种形式，它的使用面很广；第二，它具有批判性。逆向与正向是比较而言的，可以克服思维定势，破除由习惯和经验所造成的僵化了的认识模式；第三，它具有新颖性。突破循规蹈矩的思维，了解任何事物都具有多方面的属性，起到的效果往往是出人意料，会令我们耳目一新，产生惊喜的感觉。
三、培养中学生运用逆向思维的重要性
第一，在中学数学课堂中，常规思维难以去解决的问题，通过逆向思维却有可能轻松破解；第二，逆向思维会使我们独辟蹊径，在其他人没有注意到的地方有所发现，有所建树，从而制胜于出人意料；第三，逆向思维使我们有多种解决问题的方法，我们从中获得最佳的方法和途径；第四，在解题过程，甚至日常生活中自觉运用逆向思维，会将复杂问题简单化，从而使学习效率和效果成倍提高。然而，逆向思维最宝贵的价值，是它对人们认知的挑战，其实是不断深化对事物的认识。所以本人觉得逆向思维非常有必要引入今天的数学课堂,提高中学教学课堂的学习效率。
四、学者对中学数学课堂逆向思维合理运用的观点
国内外许多教育学家早已经意识到逆向思维运用于课堂的重要性。逆向思维能够在探索、对立统一中，把握数学知识的内在联系，澄清对某些数学概念的模糊认知。更透彻、更透彻深刻地理解教材，并可以巩固所学知识，培养学生对数学问题的探究、创新和自学能力。在探索数学问题时，猜想的结论未必正确，正确的要求需严格证明，谬误的则靠反例否定。在学习数学的过程中，深入专研、领会数学问题时离不开举反例。数学适用范围的宽窄，命题条件的强弱需要用反例作对比，这样才能深刻理解。若命题有误、证明有漏，也只有靠反例证实，并从反例中得到修补的启示。
五、培养中学生逆向思维合理运用的几点对策
中学数学课堂逆向思维合理运用的研究成果有许多，笔者从借鉴和学习的角度出发，给出以下建议：
（一）注重数学公式逆用
数学公式逆用是重要的反面思考方法，对于一个数学公式的顺向,往往较易记住和运用，但对其逆向，如果用不上，记不住，也会让思维受阻。因此，在中学课堂教学中，应多锻炼学生对数学公式的逆用，使其融会贯通。数学公式是可以变化的。在一类问题中可能用到的是原公式，但在另一类问题中，公式的逆向形式更为简便。这就需要我们灵活运用公式，时刻提醒自己逆向思维的思维方法。
（二）考察逆命题，举反例
考察一个数学命题的逆命题是否成立相当有用。善于考察一个数学命题逆命题是否成立往往可能得出新的数学结论，有时甚至一个数学命题本身不成立，但它的逆命题却成立。教育心理学认为，“概念或规则的正例，传递了最有利于概括的信息，其反例则传递了最有利于辨别的信息。”因此，举反例有助于我们进行正确地判断和逆向思考。当我们作完一个数学题目以后也可想到有时可举一个数字简单的例广再验证一下思路是否正确，如果出现了矛盾，表明思路不正确，能准确地对数学命题的条件或结论进行否定，即弄清了它们的反面意义。
（三）转换方法
数学中的反证法篇6
关键词：灵活运用法，数形结合，不等式
abstract：ifwecanuseasomewhatmoreflexibleconventionalmethod(namelytheflexibilitymethod),byusingseveralformcombiningbasicmathematicalthought,function,wewillproveinequalitiesrelatedproblems.
Keywords:flexibleconventionalmethod,combiningbasicmathematicalthought,inequalities
不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等.要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围.
一、不等式的证明方法
1．比较法：
（1）作差法比较：.
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.
（2）
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之.
分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知.
解：由题意得.
证明：（比较法）.
，，
.
2．分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.
例2．若，且为非负实数，求证：．
证明（分析法）：要证，
只需证明，
展开得：，
又，即证，
为非负实数，，，，
三式相加得：，
成立，．
3．综合法：利用不等式的性质和已经证明过的不等式以及函数的单调性导出特征不等式的方法叫做综合法，概括为“由因导果”。综合法是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以在实际证题时，往往分析法分析用综合法写出。
例3设a,b,c都是正数，求证：
证明(综合法)：a,b,c都是正数，
都是正数，
三式相加得：
点评：通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之，亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是知果索因，后者是由因导果，为沟通联系的途径，证明时往往使用分析法与综合法，两面夹击，相辅相成，达到解决欲证不等式的目的。
4．反证法：正难则反.
证明步骤：假设结论不成立，由此出发进行推理，最后导出矛盾的结果，从而得出所证的结论一定成立。
例4已知、、、，且.求证：、、、中至少有一个是负数.
证明：（反证法）：假设、、、都是非负数，
，.
又.
这与已知矛盾.
、、、中至少有一个是负数.
5．放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。下面举几个例子说明这个问题。
常见的放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）；
③利用基本不等式，如：；
；
④利用常用结论：
；
；（程度大）
；（程度小）
.6.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.
如：已知，可设；
已知，可设()；
已知；
已知；
已知。
7.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
例6求证：
证明（构造法）：设
则
(1)
(2)
而的定义域中的一个值，
所以是它的值域中的一个值。
由（1）和（2），知
综上：
⑻数学归纳法法
摘要：不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等.要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围.若能够较灵活的运用常规方法(即通性通法)、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题.
关键词：不等式、证明、比较法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、换元法、判别式法、放缩法
数学中的反证法篇7
关键词：比较法；分析法；综合法；反证法；放缩法；数学归纳法；换元法；基本不等式；导数法
不等式是中学数学教学中的重点与难点，因此在历年高考复习中颇令师生们为之头疼。由于不等式的形式各异，证明没有固定的模式模仿，并且技巧多样，方法灵活多变，因此熟练掌握不等式的证明是中学数学教学的重难点之一。这里精选了九种不同方法对不等式证明进行了详细讲解和研究。
一、比较法
二、分析法
分析法的思路是逆向思维，用分析法证明必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充要条件。应用分析法证明问题时要严格按照分析法的语言表达，下一步是上一步的充要条件。
需要注意的是：运用分析法时，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的不等式，常考虑用分析法。
三、综合法
从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
四、反证法
从命题否定的结论出发，经过推理论证，得出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法。用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一推出矛盾。
反证法证明一个命题的思路及步骤：
（1）假定命题的结论不成立。（2）从假设出发进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾。（3）由于上述矛盾的出现，可以肯定原来的假设“结论不成立”是错误的。（4）肯定原来命题的结论是正确的。
如果待证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至多”“至少”等方式给出，一般要考虑用反证法。
五、放缩法
放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明。放缩法的目的性强，必须恰到好处，同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。否则不能达到目的。
在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点，掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。
六、数学归纳法
当遇到与正整数n有关的不等式证明，应用其他办法不容易证时，可以考虑采用数学归纳法。
用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可以采用分析法、比较法、综合法、放缩法等证明。
七、换元法
所谓“换元法”，就是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某种转化，以便证题。其换元的实质是转化，关键是构造和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
八、基本不等式
创造基本不等式的条件，护理拆分项或配凑项是常用技巧，其中拆与凑的目的在于满足基本不等式条件，通常是考虑分母的代数式，考虑将整式拆分与配凑成与分母有关的式子与常数的和。
九、导数法
利用导数法证明不等式f（x）>g（x）在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h（x）=f（x）-g（x），然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h（x）>0，其中一个重要技巧就是找到函数h（x）什么时候可以等于0，这往往就是解决问题的一个突破口。
数学中的反证法篇8
【关键词】数学方法中学数学解题
引言
在中学的数学教学中，尽管数学教材中有大量的优秀习题，例题，都蕴涵着丰富的数学解题方法，但在中学，数学解题方法仍是一个隐性的知识系统，因此，对数学方法相关内容的揭示会更有助于提高学生逻辑思维能力和空间想象能力，数学探索创新能力和应用能力，使学生把学习数学知识和培养能力有机联系起来，更好地提高个体的思维品质，培养更多创新型人才。
一、中学数学解题过程中常用的八种数学方法
（一）换元法
一般我们所说的换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，将原式的一个部分或改造原来的式子用新的变元去代替，使它简化，便于问题的解决。换元法是数学中非常重要的一种解题方法。
（二）判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种数学解题方法，在数学形式变形，解方程（组），研究函数，解不等式乃至几何问题、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理还可以求根的对称函数，解对称方程组，计论二次方程根的符号，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
（三）因式分解法
一般我们所说的因式分解法，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，因式分解法是恒等变形的基础，因式分解法是数学中一种有效的解题工具、因式分解法在几何、代数、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学教材上介绍的分组分解法、提取公因式法、十字相乘法、公式法等外，还有如求根分解、利用拆项添项、待定系数，换元法等等，都是因式分解法，其在数学中的应用是十分广泛的，是数学解题的重要工具。
（四）配方法
在初中数学中配方法是一种很常见的解题方法，一般我们所说的配方法，就是利用恒等变形的方法把解析式中的一项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，配方法在初中数学中应用十分非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解、不等式和证明等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
（五）构造法
在解数学题时，通过对条件和结论进行分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个函数、一个方程（组）、一个等式、一个等价命题等，将条件和结论相结合，从而使数学问题得以解决，这种解题方法，一般我们称为构造法。运用构造法解题，可以使三角、代数、几何等各种数学知识互相渗透，有效的解决数学题。
（六）几何变换法
在数学解题方法的研究中，常常运用几何变换法，把复杂的数学问题简单化，从而得到解决。一般我们所说的几何变换法就是一个集合中的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的几何变换法主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，将复杂的问题简单化，运用变换法及时的解决。
几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。
（七）反证法
一般我们所说的反证法就是一种间接证明法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致假设与结论相矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。
（八）面积法
平面几何中讲的几何面积公式以及由几何面积公式推出的与几何面积计算有关的定理，不仅可以运用于计算几何图形的面积，而且用面积法来证明几何平面题有时会收到很好的效果。
用分析法或归纳法证明平面几何题，其困难在添加辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过计算达到证明的效果。所以用面积法来解几何元素，几何题之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添加辅助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到，面积法是几何计算或证明中的一种常用解题方法，有效的掌握面积法，对解决几何问题是相对有效的。
二、中学数学客观性题的解题方法
在初中数学中，要想正确的、迅速的解填空题、选择题这一类题型，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解填空题、选择题的技巧与方法。下面介绍常用方法。
（一）验证法：验证法就是由题找出合适的验证条件，再通过一系列的验证，找出正确答案，也可将供选择的答案代入题给出的条件中去验证，找出正确答案，此法我们一般称为验证法。
（二）直接推演法：所谓的直接推演法就是直接从命题给出的条件出发，运用数学教材中的公式、概念、定理等进行运算或推理，并得出相应的结论，从而选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
（三）分析法：分析法就是直接通过对选择题的条件和结论，经过详细的归纳、分析和判断，从而选出正确的结果，我们一般称这种方法为分析法。
（四）特殊元素法：特殊元素法就是用合适的特殊元素代入题以给的条件或结论中去，从而获得正确的解答。这种方法叫特殊元素法。
（五）图解法：图解法就是借助于符合题目条件的图象或图形的特点、性质来判断做出正确的选择，这种方法我们一般称为图解法。图解法是解决数学选择题常用方法之一。
（六）排除、筛选法：排除、筛选法就是对于正确答案有并且只有一个的选择题，运用数学教材中的知识进行演算、推理，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而做出正确的结论，这种方法我们一般叫排除、筛选法。
结束语
在教学过程中，为了很好的提高中学生问题解决数学的能力，应该重视学生对数学方法的掌握，重视学生应用数学方法进行解题的训练，从数学解题方法入手，引导数学思维，寻找解题技巧，同时，重视归纳总结，加强解题规律和方法的掌握，培养数学解题能力。学生对数学方法的掌握，不是一朝一夕能做到的，需要教师根据教学实际，长期坚持有目的，有计划地进行培养和训练。
参考文献
[1]张鸿超.浅析数学方法在中学数学解题过程中的应用[J].阴山学刊（自然科学版），2014，01：95-98.
数学中的反证法篇9
关键词：数学教学逆向性思维培养方法
逆向性思维，是指在思维过程中从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题的一种思维方式，其具有间接性、突变性和反联诘性。
中学在培养和发展学生的逻辑思维过程中，无论是教师讲，还是学生学概念、定理、例题等知识，往往都习惯于从正面看、正面想、正面去解决问题，形成一种思维定势。这种定势，对解陈题、同一类问题，学生有法可依、有路可循，能够迅速解决，是一种正迁移，但对培养学生思维的灵活性、创造性，则十分不利，学生在新问题、活问题面前，就会感到束手无策，寸步难行。所以在素质教育以培养创造能力为首要任务的今天，让学生养成“经常进行逆向思维、活性思维”的习惯，是十分必要的。它摆脱了思维定势，对产生新的思想、新的方法起着非常重要的作用。怎样才能较好地培养学生的逆向思维能力呢？我以为，在数学教学中，可以经常加强以下几个方面的训练，在问题中渗透其思想。
一、在解题中，将定义、定理、公式、法则加以逆用，这是最基本的一种逆向思维
例1：求值：2-6・2+15.2-20・2+15・2-6・2+1
分析：二项式定理的逆用
解：原式=C・2（-1）+C・2・（-1）+C・2・（-1）+C・2・（-1）+C・2・（-1）+C・（2）・（-1）+C・（-1）=（2-1）=1
例2：tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值是?摇?摇?摇?摇。
解：tan60°==
tan20°+tan40°=-tan20°・tan40°
tan20°+tan40°+tan20°tan40°=
二、原命题成立，想一想其逆命题成不成立
如：公差d≠0的等差数列{a}的前n项和S=na+n（n-1）d是关于n的二次函数。想一想它的逆命题成不成立？即如果数列{a}中S=an+bn+c，这个数列是等差数列吗？由此可得一个重要的结论：若数列{a}的S=an+bn+c，则该数列为等差数列的充要条件是c=0。
三、正难则反思想的渗透教育
1.反证法。
当直接证明一个结论成立比较困难时，就从结论的反面去思考，假设这个结论不成立，并以这个假设为依据推导出与已知条件或其它事实相矛盾的结论，这说明假设是错误的，即这个假设不能成立，那么原命题就肯定成立。
例3：已知：f（x）=x+px+q，
求证：|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于。
分析：直接证显得繁杂困难，而其反面却只有一种情况，用反证法是最佳证法。
证：假设命题不真，则|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|都小于，
即|f（1）|＜|f（2）|＜|f（3）|＜?圯-＜p+q＜-（1）-＜2p+q＜-（2）-＜3p+q＜-（3）
得-＜2p+q＜-，这与（2）式相矛盾，故假设为假，从而原命题为真。
2.分析法。
从欲证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，只要使不等式成立的条件具备，就可判定原命题成立。这是执果索因。
例4：已知a、b、c＞0，求证：++≤。
分析：直接证似乎无从入手，考虑用分析法，去探寻更简单、更明显成立的条件不等式。
证：要证++≤
需证：++≤3
需证：++≤3
即证++≤6
即证（+）+（+）≥6①
a、b、c＞0
+≥2，+≥2，+≥2
①式显然成立，故原不等式成立。
3.反推理。
顺推不行时考虑逆求，从问题的结论出发，根据结论的特征去找还缺的条件。
例5：设有n个球，甲、乙两人按如下方法做游戏：两人轮流去拿球，每人一次可随意拿一个或两个球，但不准不拿，谁取得最后一个球谁败。如果甲先拿，试就a的值分析甲的胜败。
在这里，如果先直接从n的值出发，顺向去讲将十分困难。考虑从后面逆向反推，甲最后一次取时剩2个或3个球，甲取走1个或2个，剩下最后一个由乙取，则甲胜。
要保证甲最后一次取时剩2个或3个球，则倒数回去的一次乙取时应剩4个球。那么甲倒数第二次取时应剩5个或6个球……
这样逐一倒推回去，甲开始取时，球数n=3k或3k+2时，甲必胜。
具体操作如下：
设n=3k或3k+2个球时，甲相应走2个或1个球，剩下的球数为3k+1。然后乙取，若乙取2个，甲就随之取1个；若乙取1个，甲就随之取2个。总之，甲就取球数与乙取球凑成3，从而使乙取球时，球数都是3的倍数加1，最终使乙取走最后一个。
如果n=3k+1，甲必败。这是因为甲第一次无论取1个或2个球，乙第一次取球时，球数必是3的倍数或3的倍数加2。由前述讨论，乙必胜。
4.直接解决不易时，考虑间接解决。
例6：如图，在一段线路中并联着3个，自动控制的常用开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7。计算在这段时间内线路正常工作的概率。
分析：直接求，情况较多，包括恰有其中某1个开关闭合、恰有其中某2个开关闭合、恰有其中某3个开关闭合等情况。为此，转而先研究其对立事件的概率。
解：分别记这段时间内开关J、J、J能够闭合为事件a、B、C。由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是p（・・）=p（）・p（）・p（）=［1-p（a）］［1-p（B）］［1-p（C）］=（1-0.7）（1-0.7）（1-0.7）=0.027。
于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1-p（・・）=1-0.027=0.973。
答：在这段时间线路正常工作的概率是0.937。
5.反例。
反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。在科学研究中，往往是实验、观察、分析与归纳的基础上，首先提出猜想，再去验证猜想的结论所提示的规律是否正确。对猜想给出证明或反例是数学家的重要任务。正如美国数学家盖尔鲍姆所指出的，数学是两大类――证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要目标――提出证明和构造反例迈进。
例7：判断下述命题是否成立：
已知t、t分别是f（x）、g（x）的最小正周期，则t、t的最小公倍数是f（x）+g（x）的最小正周期。
分析：t、t的最小公倍数必是f（x）+g（x）的周期，但是否最小，就不见得。反例：先把一个周期分为三段――前两段用相同一升一降的曲线，后一段重合于轴的线段，以此作为f（x）在周期t内的图像；前两段用重合于x轴的线段，后一段用一升一降的曲线，作为g（x）在周期t内的图像。如下图，容易看出，f（x）、g（x）的最小正周期并不是t，而是。
又如数学家费尔马曾猜想，对任何非负整数n，形如2+1的数都是质数。在n=0，1，2，3，4时，这个结论确实是正确的。但是后来著名数学家欧拉举出了一个反例，当n=5时，2+1=4294967297=641×6700417，是合数，于是这个猜想被了。
数学中的反证法篇10
关键词：不等式证明；高中数学；分析法；比较法
在现实生活中，既有大量的等量关系存在，同时又存在很多不等量的现象，描述这种不等量的不等式就应运而生。不等量关系是高中数学的重要研究内容，不等式的研究是其中一个重要的方面。不等式在高中数学中的地位非常重要，在历年的高考中也多有出现。因为不等式的形式多样，所以证明不等式也没有固定的章法可循。我们在平时的教学中要教育学生尽量多地运用灵活多样的方法加上大量解题积累的技巧，力争攻克这一难点。结合自己的教学实践，我总结了以下几种证明不等式的方法，仅供大家参考。
下面介绍几种常用的不等式证明方法：
一、比较法证明不等式
二、分析法证明不等式
分析法是从给出的不等式入手，通过分析，找出该不等式能够成立的条件，这样题目就从证明不等式转变为证明这些条件是否成立，如果这些条件都能够成立，就可以得出不等式成立的结论，这就是分析法。运用分析法证明不等式的思路是“寻根问源”，即从不等式开始，寻找该不等式成立的条件，进而证明不等式的成立。
三、综合法证明不等式
所以，当我们运用综合法来证明不等式的时候，一般过程就是从给出的条件出发，层层推进，经过周密的逻辑推理，运用已经掌握的定理、定义和公式等，最终达到需要证明的结论，综合法也是一种常用的不等式证明的方法。综合法与分析法是两个方面的对立统一：综合法是“由因寻果”，利用已知探求未知，具有清晰的条理，比较符合人们的日常习惯性思维；分析法是“知果找因”，这种方法的特点是指向明确、思路清晰。两种方法是对立统一的，因此在实际运用时，二者经常是相互联系的。在使用综合法证明不等式的时候，如果遇到难以入手的情况，经常会先运用分析法去探求阶梯的思路，然后再用综合法的形式将证明过程写出来，这样比较符合人们的思维习惯。在遇到难度较大的不等式证明题时，往往是既运用综合法，又运用分析法进行分析，二者相互转化、渗透，相辅相成。
四、反证法证明不等式
有些从正面证明不容易阐述清楚的不等式，就应当考虑运用反证法来证明。适合运用反证法论证的命题，多数存在诸如“唯一”“至少”或其他否定性词语。在运用反证法证明一个不等式的时候，基本的思路是：首先针对给出的命题，假定该命题结论不成立；接下来进行推理，结果出现推理结论与已知的条件相矛盾，或推理结论与已经掌握的定理或公理相矛盾；由于上述矛盾的产生，可以断定，开始的假定“该命题结论不成立”是错误的假定；所以得出结论：原命题的结论是正确的。
五、放缩法证明不等式
总而言之，作为高中数学重点内容的不等式，是继续学习高等数学的重要工具和基础知识。若要掌握如何证明不等式，就需要理解、掌握证明不等式的多种方法，还需要对这些方法融会贯通，综合加以运用。限于篇幅，本文只是列举了不等式证明的几种方法，还有更多的方法有待于继续进行研究。
参考文献：
[1]田寅生.一个不等式的推广、加强及应用[J].数学通报，2004（2）.
[2]付荣强.讲透重点难点.吉林教育出版社，2007.
[3]胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯，2001（9）.
[4]佟成军.一个不等式的加强及证明[J].数学通讯，2006（7）.