高一数学解决问题篇1
【关键词】高等数学；一致性；连续性；函数
一、高等数学函数一致性连续性的基本概念
高等数学中的一致连续性是从函数连续的基本概念中派生出来的新释义，它是指：存在一个微小变化的界限区间，如果函数定义域以内的任意两点间的距离永远不超过这个界限范围，则这两点相对应的函数值之差就能够达到任意小、无限小，这就是所谓的函数一致连续性概念。一直以来，高等数学函数一致连续的概念都是教学过程中的重点，也是难点之一，在多年的高等数学教学实践过程中，笔者深刻感受到学生在学习和掌握函数一致连续概念时的疑惑和困难。甚至有不少学生会有这样的疑问：函数连续和一致连续的本质区别究竟体现在哪里？
带着上述问题，我们对函数一致连续性进行研究和分析。函数的一致连续性是函数的一个重要的特征和性质，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”现象，并对其连续性进行归纳总结。函数一致连续性，要求函数在区间上的每一点都保持着连续的特点，不允许出现“突变”现象，同时还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上呈现均匀变化的趋势。换句话说，函数一致连续性的定义为：对于任给定的正数ε，要求存在一个与自变量x无关的正数δ，使对自变量在定义域区间内的任意2个值x'和x"，只要二者的距离x'-x"＜δ，那么函数所对应的函数值f（x'）-f（x"）＜ε。显然，函数一致连续性的条件要比函数连续的条件强。在目前采用的高等数学的教材中，只是给出一致连续的基本定义，以及利用该定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，进而呈现出了函数一致连续的完美逻辑结果。这种教学理念是很好的，但是，从实践教学效果上看，又很不利于学生对定义的理解，尤其不利于学生对定义中提到的“δ”的理解，因此笔者建议教学工作者将函数一致连续性概念中所隐含的知识逐步解释清楚，以此来帮助广大学生更快更好地充分理解一致连续的概念和意义。高等数学函数连续性的基本定义为：设f（x）为定义在区间i上的函数，若对ε＞0，对于每一点x∈i，都存在相应δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈i，且x-x'＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，则称函数f（x）在区间i上连续。该定义说明了函数f（x）在区间i上连续的基本特征。函数一致连续的基本概念是：设f（x）为定义在区间i上的函数，若对ε＞0，存在δ（＞0），使得对任何x'，x"∈i，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，则称函数f（x）在区间i上一致连续。要特别注意的是，连续概念中δ与一致连续概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定义，才能避免混淆概念。为了帮助大家更好地理解函数一致连续性概念，现将函数函数不一致连续的概念进行一下描述：存在某个ε0，无论δ是怎么样小的正数，在i上总有两点x'和x"，虽然满足x'-x"＜0，却有f（x'）-f（x"）＞ε。这就是函数不一致连续的概念，理解和学习函数不一致连续的相关知识，有利于我们更好地学习和研究函数一致连续性问题。
二、高等数学引入一致性连续性的意义和价值
高等数学教材中涉及了较多的理论和概念，比如函数的连续性与一直连续性，以及函数列的收敛性与一致收敛性等，都是初学者很容易混淆的相近概念，因而也成为了高等数学学习中的一个难点问题。在工程数学中，这些概念非常重要，笔者认为，搞清楚和弄明白函数的一致连续的基本概念，以及掌握判断函数是否具有一致连续特性的基本方法，无疑都将是理工科学生学好高等数学函数一致连续性理论知识的核心环节，也是日后成熟运用该数学方法的基础和前提。通过学习和比较，我们能够得出一个很明显的结论：一致连续要比连续条件强。高等数学函数一致连续是一个很重要的概念，在微积分学以及其他工程学科中常常会用到一致连续的知识，而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切的相互关系。实际上，我们在进行函数列的收敛问题研究时，常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛等概念及其关系。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点问题，证明某一个函数是否具有一致连续性是其中的瓶颈问题，这让很多理工科同学感到无从下手。为了解决这一难点，达到化抽象为简单的教学目的，笔者建议给出一致连续性的几种常见等价形式，能够很好地帮助学习高等数学的同学更易于理解和掌握函数一致连续性这一知识要点。高等数学中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点，也是教学大纲中的重点。因此，牢固掌握这些概念及与之有关的理论知识，对于培养学生良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。
函数一致连续的几何意义非常非常重要。数学分析抽象而且复杂难懂，这门学科本身就有着极强的逻辑思维和严密特征，主要体现在它能够采用最简明的数学语言来准确表述其他语言无法量化的复杂多变的事物发展过程。换言之，其作用在于，能够量化抽象事物的动态发展过程。其几何意义将在高等数学课程入门中起到一个有利引导作用，清晰明朗地向学生展示高等数学中最基本的思想方法和思维方式，帮助学生理解抽象概念，提高学生培养自身的创新思维能力。另外，探讨函数一致连续和一致收敛的关系，同时在有界区间上给出一致连续和一致收敛的等价关系，有利于学生在今后研究连续、收敛问题中拥有更多的参考依据。
三、解决高等数学函数一致性连续性问题的对策
1.一元函数在有限区间上的一致连续性
由于用函数一致连续的定义判定函数是否一致连续，往往比较困难。于是，产生了一些以G.康托定理为基础的较简单的判别法。
定理1若函数在上连续，则在上一致连续。
这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性定理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。
分析：由函数一致连续的实质知，要证在上一致连续，即是要证对，可以分区间成有限多个小区间，使得在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于。
证明：若上述事实不成立，则至少存在一个，使得区间不能按上述要求分成有限多个小区间。将二等分为、则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为；再将二等分为、依同样的方法取定其一，记为；......如此继续下去，就得到一个闭区间套，n=1，2，…，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足
（2-13）
且属于所有这些闭区间，所以，从而在点连续，于是，当时，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，于是我们可取充分大的k，使，从而对于上任意点，都有。因此，对于上的任意两点，由（2-14）都有。（2-15）
这表明能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间的取法矛盾，从而得证。定理1对开区间不成立。阻碍由区间连续性转变为区间一致连续性有两种情况：（1）对于有限开区间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点；（2）对于无限区间，这时函数在无穷远处也可能破坏一致连续性。
定理2函数在内一致连续在连续，且与都存在。
证明：若在内一致连续，则对，当时，有
，（2-16）
于是当时，有
。（2-17）
根据柯西收敛准则，极限存在，同理可证极限也存在，从而在连续，与都存在。
若在连续，且和都存在，则
令（2-18）
于是有在闭区间上连续，由Contor定理，在上一致连续，从而在内一致连续。
根据定理2容易得以下推论：
推论1函数在内一致连续在连续且存在。
推论2函数在内一致连续在连续且存在。
当是无限区间时，条件是充分不必要的。
2.一元函数在无限区间上的一致连续性
定理3在内一致连续的充分条件是在内连续，且都存在。
证明：（1）先证在上一致连续。
令，由柯西收敛准则有对使对，有
。（2-19）
现将分为两个重叠区间和，因为在上一致连续，从而对上述，使，且时，有
。（2-20）
对上述，取，则，且，都有
。（2-21）
所以函数在内一致连续。
（2）同理可证函数在内一致连续。
由（1）、（2）可得在内一致连续。
若将分为和，则当与分别在两个区间时，即使有，却不能马上得出的结论。
由定理3还容易得出以下推论：
推论3函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。
推论4函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在。
推论5函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。
推论6函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在。
参考文献：
[1]王大荣，艾素梅；分段函数在分段点处的求导方法刍议[J]；沧州师范专科学校学报；2005年03期
[2]袁文俊；邓小成；戚建明；；极限的求导剥离法则[J]；广州大学学报（自然科学版）；2006年03期
高一数学解决问题篇2
关键词：小学数学；解决问题；策略；现状
在小学数学课堂中，解决问题教学是让学生运用数学知识解决日常生活中遇到的问题，使学生在实际生活中提高解决问题的能力，并积累经验，形成解决问题的思维逻辑。但是在目前的小学数学课堂中解决问题教学仍然存在着问题。
一、小学数学课堂中解决问题教学存在的问题
在小学数学课堂中，教学内容与学生实际生活脱离，教学方法单一，学生对数学的学习没有兴趣。解决问题教学方法就是培养学生将课堂中学到的数学知识应用到实际生活中并解决所遇到数学问题的能力。解决问题教学要从学生周围的实际情况着手，教学的内容必须是从学生的生活中得来的，利用数学课堂这个良好的教学环境，引导学生进行独立思考，对问题进行正确的分析，并应用到生活中去。一般教师在进行解决问题教学时，教学内容和教学方法比较单一，通常都是利用展示的方式将问题展现出来并进行解决，甚至有些教学内容与学生的实际生活脱轨。
在数学课堂中，解决问题教学过程过于程式化和传统化。传统的课堂教学主要以教师传授知识为主，然后学生针对教师讲授的内容进行强化训练，学生在这种教学模式下解决数学问题，会使学生对课堂教学内容缺少兴趣，不积极地进行思考，课堂教学不能有效地进行。
在小学数学课堂解决问题教学中，教师缺少解题的教学策略，学生的解题思路范围窄。在新课程中对小学数学解决问题教学提出了确切的要求：有关解决问题教学的基本策略、运用不同的方法解决问题教学策略、加强实践创新。根据新课程的要求，小学数学的应用题教学，关于数学关系的描述已不用进行相当规范的阐述了。在解决问题教学方法的初探阶段，学生对个性的展示可以用认知的方式表现出来。在师生进行交流时，教师可以引导学生对问题进行对比、分析，在经过对数学的思考后，进而形成解决问题的方法。基本解题方法的形成有利于学生数学意识的提高，而且能逐步提高学生解决数学问题的能力。教师在进行解决问题教学时，应该多鼓励学生与自己所学的知识相联系，从不同的视角找出解决问题的办法，也可以引导学生用不同的方法和手段解决问题，例如，画图、猜想、列表等，并在课堂教学中将学生解决问题的策略展示出来。现今的小学数学课堂中，还是有将教学的目标致力于解决问题上的现象，忽视了对学生在解决问题教学中进行解题方法和思维的引导。
教师在课堂教学中要分配好数学解决问题教学和其他教学的时间。新课程中要求将解决问题教学与数学计算教学结合起来，在这种情况下，怎样分配好解决问题教学和其他教学的时间就尤为重要。往往在实际的教学中，教师不能将教学时间很好地分配，导致不同内容教学时间不协调。
二、小学数学课堂中解决问题教学的策略
在小学数学的教学中要注重问题情境的设定，让小学生从中发现问题、提出问题。学生的数学学习过程应该是一个生动的、主动的以及丰富的过程，教师要充分利用教材内容进行创造，让数学课堂气氛活跃起来。新课程对于小学生数学的教学理念，注重问题情境的设定，问题要符合小学生的个性、年龄以及实际生活，这个教学理念重点是激发小学生对数学的学习兴趣，进而提高数学的学习效率。教师可以在教学过程中，播放视频、讲故事或是模拟一个生活中的场景。在《月球旅行》这一课中，教学的前提条件是，学生进行了关于除法、时间、方向、乘法等知识的学习，这是一节关于解决问题的教学。在这一课综合了前面所学知识在实际生活中的运用，不仅将知识进行了整合，而且培养了学生解决问题的能力。
教师在数学教学中还要注重对学生解决问题策略的培养，引导学生形成基本的解题思维模式。传统的数学教学中，对应用题的教学比较重视对学生题型和数学公式的教授，这样的教学方法使学生不能将知识与应用题相联系，导致学生无法提高解决应用题的能力。教师要将解决问题教学方法贯穿于教学过程的始终，引导学生形成解决问题的思维和能力。
教师在实行解决问题教学模式时还要重视学生之间的交流与合作。在解决问题的过程中，让学生相互交流和帮助，有利于拓展学生的解题思路，形成解决问题的方法和策略意识，在培养学生解题策略的同时提高了解题能力。学生在交流中解决数学问题，可以使学生获得更多的启发和解决问题的思路。
总之，教师在教学时，要积极鼓励学生从不同的角度思考问题，提倡解题方法的多样化。也要多提出一些具有开放性思维的问题，让学生经过一个从发现问题到提出问题再到解决问题的思维过程。在教学中，教师要将学生放在教学的主置上，认真地研究教材，结合学生的实际生活适当地对教材进行调整，全面提高学生的数学素质。在新课程的背景下，将解决问题教学方法与传统教学方法进行比较，分析出二者之间的共同之处，并进一步完善小学数学解题教学策略，使学生解决问题的能力得到实质性的提高。
在小学数学课堂中，解决问题教学主要是让学生学会解读数学信息的方法，使学生主动地应用数学知识找出解决问题的办法。
这种教学方法重视学生解题的过程，以提高学生解决问题的能力为主。对学生进行解决问题教学有助于学生掌握知识的程度和用数学知识解决实际问题能力的提高，在解决问题的过程中，能培养学生的创新意识和数学意识。总而言之，在小学数学教学中，要明确学生学习的主体地位，培养学生解决问题的能力，进而提高小学数学课堂的教学质量。
参考文献：
[1]颜平.渗透的是策略孕育的是思想：小学数学解决问题的策略教学思考[J].小学教学研究，2011（20）.
高一数学解决问题篇3
【关键词】高中数学分析问题解决问题能力培养
一、分析和解决问题能力的组成
1.审题能力
审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提.审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力.要快捷、准确在解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的.
2.合理应用知识、思想、方法解决问题的能力
高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法.只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅.
3.数学建模能力
近几年来，在高考数学试卷中，都有几道实际应用问题，这给学生的分析和解决问题的能力提出了挑战.而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心.
二、培养和提高分析和解决问题能力的策略
1.重视通性通法教学，引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法
数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决.数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段.只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力.
每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：（1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；（2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等.又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等.因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效.从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力.
2.加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力
高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力，这从新课程版的《考试说明》与原来的《考试说明》中对能力的要求的区别可见一斑.（新课程版将“分析和解决问题的能力”改为“解决实际问题的能力”）
数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提.由于高考考查的都不是原始的实际问题，命题者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其数学模型.在高中数学教学中，不但要重视应用题的教学，同时要对应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题.
3.适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面
要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题.近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查.由于开放题的特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，而新背景题的背景新，这样给学生在题意的理解和解题方法的选择上制造了不少的麻烦，导致失分率较高.在高中数学教学中适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面是提高学生分析和解决问题能力的必要的补充.
4.重视解题的回顾
在数学解题过程中，解决问题以后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个重要环节.这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段.
解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的是为了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创造精神，而这一教学目的恰恰主要通过回顾解题的教学来实现.所以，在数学教学中要十分重视解题的回顾，与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器.
参考文献
高一数学解决问题篇4
关键词：小学高年级数学；解决问题教学；突破策略
小学高年级是学生学习的关键阶段，对学生走进初中具有基础性作用，且知识的难度也有了提升。与一般的课程内容不同，小学高年级数学对解决问题的要求非常严格，题目类型多样，需要学生具有较强的逻辑能力，在解题中可以实现举一反三。但是由于教学上的不足和传统思想的影响，我国小学生的数学解决问题的解题能力还非常薄弱，无法找到正确的解决对策，甚至会导致学生产生厌学情绪。本文结合我国小学高年级数学解决问题教学的现状，简单阐述教学中面临的问题，并根据实际提出突破教学的科学对策，促进学生的全面发展。
一、目前小学高年级数学解决问题教学存在的不足
就目前来看，小学高年级数学解决问题教学主要存在以下三个方面的不足：
第一，教学形式单一。小学生以形象思维为主，兴趣的培养是学习的前提。但现如今，我国小学高年级的数学解决问题教学仍旧存在单一化的倾向，教学中没有利用现代化设备，教学方式只有枯燥的讲解，方法单一、封闭，不利于调动学生的学习兴趣。
第二，解决问题讲解“类型化”。解决问题题目多种多样，类型丰富，然而很多小学教师却只是凭借经验，将解决问题分为几个简单的模块，让学生尽快掌握解答技巧，实际上很多学生只是机械地记住了答案，根本没有理解其中的道理。
第三，忽视了对学生数学思维的培养。据调查，目前小学高年级的数学解决问题教学仍旧在搞“题海战术”，不断地让学生做类型题，使学生的数学思维被严重僵化，不利于学生发散思维的培养。
二、小学高年级数学解决问题教学的突破策略
（1）通过多样提问调动学生的学习热情。小学高年级学生正处于思维活跃时期，教师要突破传统数学解决问题教学存在的弊端，就必须利用多样化的手段增加问题类型，将教学活动变得更加富有乐趣。另外，多样化的提问还可以调动学生的思维，使其摆脱思维局限性。例如，题目小红有10支钢笔，小明的钢笔数量比小明的2倍少4支，小明有多少支钢笔？教师在讲解完问题之后，可以再提出另一个问题：小明比小红多几支钢笔？再次调动学生的思维，让学生产生积极的学习情绪，提高数学解决问题的学习效率。
（2）利用画图分析法培养学生的抽象思维。学生以形象思维见长，对于抽象的解决问题有莫名的畏惧心理。其实，只要学生理清数量关系，建立数学模型就能很顺利地列出数学式子，解决问题。数学解决问题对学生的逻辑思维、数学能力具有很高的要求，教师必须能够通过画图表的方式向学生传授分析问题的办法，帮助学生理清解题思路，找到解题技巧。例如，小明买了一本280页的漫画书，计划用7天看完。实际每天比计划少看5页，这本书实际看了多少天？列表分析：
借助这种列表的方式，可以让学生直观清晰地看到出题人的意图，然后快速地解决问题。学生在独自面对其他解决问题时，就可以顺利建模，触类旁通，提高解题效率。
（3）让学生自编数学解决问题。想要提高解题能力，降低解题难度，教师在完善自己教学水平的同时，还要对学生的自主探究能力进行培养，只有会编题目的学生才能够解答问题。因此，结合教材的内容和教学的重点，教师可以适当让学生编撰题目，根据自己生活经验提出问题。例如，根据买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少X？学生就自主编写了：3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？这样的题目，对自己的能力有了明显的锻炼。
三、结束语
高一数学解决问题篇5
关键词：高中数学；函数；数学思想
高中函数教学具有较强的逻辑性，导致学生学习起来存在较大的困难，因此教师必须要采取有效的措施不断激发学生的学习兴趣，为学生讲解一些思想方法，从而促进学生对函数知识的深入学习，来提升学生的学习效率。并且让学生在函数的学习中去了解事物的变化与发展，理解其中存在的一些规律，培养学生的思维判断能力，从而有效提升学生的学习质量。
一、函数与方程思想
在高中数学函数学习中，函数与方程思想属于一项基本思想，同时也是高考的难点所在。目前在高中数学教学中，由于教师对思想方法的渗透不够完善，导致学生仅仅是利用一种方式做题，缺少举一反三的能力，数学学习较为机械化。函数思想主要是指利用运动以及变化的观点来建立有效的函数关系，从而来构造函数，之后利用函数的图像以及性质进行问题的解决与转化，从而促进学生解决问题能力的提升。方程思想主要是指分析在数学问题中的变量间的等量关系，从而构造出方程，利用方程性质解决问题。将函数思想与方程思想相互结合，从而培养学生的解题能力，做好学生运算能力以及逻辑思维的训练，让学生掌握函数问题的解决方式，提升学习效率。利用函数与方程思想，能够促进学生借助数学思想进行分析，并且去主动思考解决疑问，提升自身的数学素养。
二、化归类比思想
化归与类比思想主要是将需要解决的问题转化为已有知识范围中可解决的问题，将复杂化的问题逐渐向简单化转化，并且将一些一般性的问题转化为直观性问题，以便于学生解决。化归类比思想是函数教学中的基本思想方法，在函数问题中，很多本内容都涉及了类比思想，学生在问题的解决中必须要不断转化问题，利用已知条件与其他条件进行对比，从而简化问题，最终解决问题。这在很大程度上提升了学生的数学创造性思维以及逻辑性思维。学生有效掌握化归类比思想方法，能够在解决问题中不断活跃思维，将其与其他知识相联系，从而不断激发学生的学习动力与思考能力，提升学生的学习效率。例如，在函数问题的解决中，可以引入符号来进行问题的概括，简化数学思维，提升学生解决问题的能力。在解析几何的教学中，其中直线的斜率可以利用符号表示，倾斜角用α表示，因此直线的斜率可以表示为k=tanα，这样将数学语言转化为符号，学生理解起来也比较方便。所以学生在学习中掌握化归类比思想，利用数学变化方式来进行问题的转化，从而有效解决问题，促进学习能力的提升。
三、数形结合思想方法
数形结合方法是解决高中函数问题的一种常用方式，并且运用过程简单，能够将复杂的函数关系利用直观的图像表现，便于学生解决函数问题。将抽象思维与形象思维结合，有助于学生对知识的深入理解与分析，提升解决问题的效率。高中函数较为复杂，仅仅凭借数量关系，学生无法有效理解知识，然而利用图形的规律与性质，将其数量关系进行表现，从而化繁为简，促进学生理解知识。例如，在进行y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最值
（θ，α∈R）求解中，可以将其转化为函数模型的图像，以此来直观地进行数学关系的展示，促进学生对问题的求解，提升解题的效率。
四、分类讨论思想
高中函数分类讨论思想，是一种化整为零、积零为整的思想方式，在问题的研究中，如实所给的条件以及对象无法进行统一，那么就需要根据数学对象的基本性质以及相关条件进行分析，将问题对象分为不同的类别，同时针对问题进行讨论，来解决问题，促进知识的理解。在高中函数学习中，较为常用的分类讨论思想主要是根据函数的性质、定理以及公式的限制等进行探讨。并且结合问题中的变量以及需要讨论的参数等，来将其进行分类与讨论，从而解决问题。这需要教师在教学中由浅入深、循序渐进地进行分类讨论思想的渗透，从而让学生在潜移默化中掌握思想方法，做到举一反三，以便于加深学生对数学思想方法的了解与运用。
高中数学函数教学中，教师要想提升教学效率，促进学生函数理解能力的提升，就要有效渗透数学思想方法。学生利用数学思想方法进行函数知识的分析，从而解决函数问题，最终提升学生的函数学习效率。
参考文献：
高一数学解决问题篇6
关键词：解决问题；表现；重要标志；任务和挑战
一、影响学生解决问题的能力的几点因素
笔者任职低年级数学教学工作已有5年。这期间每次测试之后我都会对试卷以及学生的得分进行分析，发现所教的学生普遍都存在一个问题，基础题正确率较高，而解决问题失分却明显增多。对学生在解决问题失分严重的问题上，笔者结出影响他们的几点因素。
1.字词量不够，难以理解题意
大多数低年级学生刚入学，由于年龄偏小，对字词掌握得不够，识字能力差，在做题时很多字都不认识，这严重影响学生对题目意思的理解。很多学生因此无法作答，解决问题几乎空白，失分率相当高。
2.思维能力缺乏
学生读题、观察题目仅仅停留在表面，思维能力缺乏。对于题目中出现两个以上的数量关系时，不能正确地判断有效的数量关系，造成数量关系混乱。
3.粗心，审题时大意
低年级的解答题大多都是图文结合，很多学生审题时非常大意，仍然停留在数图阶段，往往忽略了题目所给的文字。审题失误，造成作答错误。
4.无法正确地选择解题策略
大多数学生做到解答题时就懵了，不知如何下手，头脑里不能形成清晰的解题思路，找不到正确的解题策略。时间一长，对解决问题就会产生一种恐惧心理。
二、提高低年级学生解决问题能力的几点策略
在新课程改革下，培养学生自主创造、自主探索能力是首要目标。贯穿整个数学课程的解决问题能力这一重要内容最能有效地体现新课标的要求。低年级数学中的解决问题其教学意义直接指向学生学习解决问题的思维和策略。如何利用学生在已有的知识发展水平之上或在学生已有的生活经验基础之上提高他们解决问题的能力；如何帮助学生在生活中解决数学问题，笔者对低年级数学解决问题的过程进行了分析，总结出提高低年级学生解决问题能力的几点策略：
1.提高识字数量
识字是学习的基础，字词认识量不够，识字能力差，学生就无法读题。很多字都不认识，更是无法理解题意，这严重影响学生对题目的作答。因此教师在数学教学中不是单一地传教学生基础的计算题，而应该渗透识字教学，帮助学生提高识字量。比如在解决问题时，尽量把题目板书在黑板上，一方面可以集中学生的注意力，另一方面可以使学生更直观地看到题目。通过教师领读、带读，学生自读的方式识字，可在生字上面备注音标，在认识生字中感受数学语言的简洁性、规律性，提高识字数量。
2.培养学生仔细审题的习惯
在新课标的改革下，教材中解决问题常以图文结合、表格、对话等方式呈现。很多学生往往只留意其中一部分信息。如数图时忽略文字，只看文字时又忽略图片的信息，造成审题失误。因此教师应该教会学生审题。由于低年级学生年龄小，教师必须重视学生审题时的习惯，养成认真看图、仔细审题、细致读题等好习惯。学生只有全面了解题目大意，才能准确无误地解决问题。
3.寻找已知条件，建立数量关系
数量关系是基础，加强数量关系的分析与训练是提高解决问题能力的关键。学生在认真审题的基础上，找到题目所给的已知条件，并且理解已知条件的意思，利用已知信息建立数量关系求出问题答案。低年级出现的解决问题都是最基本、最简单的数量关系。教师可以帮助学生归纳出几类简单的数量关系：简单的加、减、乘数量关系；知道其中的两部分求总量的关系；知道总量、其中一部分求另一部分的关系；求一个数比一个数多（少）几的关系；求几个简单的乘法关系等。学生可以思考利用所总结的数量关系解决问题。
4.发展思维能力，构建多样的解题策略
数学答案大多存在唯一性，但是解题的方法却存在多样性。因此在解题时教师应该尽量发展学生的思维能力，使他们能自主构建多样的解题策略。首先，在教学过程中教师有意识地培养学生动手操作能力，使学生在实践中直观感受数量之间的关系；其次，教师可以引导学生把错综复杂的数学问题简单化，学生学会对信息的取舍，感受数学简化的思想，使他们在已有的经验基础上自主建造数学模式；再次，教师教会学生利用画图方式把复杂的题目直观地展现在眼前，能准确地解决问题。众多的解题策略，如推理法、排除法、图解法等都渗透了新课标的数学思想，既符合低年级学生的认知水平，又可以发展学生的思维能力，无形中培养学生学习数学的兴趣，又可提高学生解决问题的能力。
5.回归生活，准确解决数学问题
解决问题来源于生活问题，同时也是为生活中的数学问题服务。低年级数学问题主要以具体形象思维为主，解决问题的方法要依据现实生活中的经验。回归生活，把数学问题与生活经验建立直接关系，用已有的生活经验解决问题。教师在学习例题时可以选择学生生活中的问题创建数学问题。既可以轻松地传授重要的知识点，又可以增加学生的学习兴趣。学生能感受到生活中处处有数学，能体验到用所学知识解决问题的乐趣。
高一数学解决问题篇7
关键词：小学数学；教学策略；能力培养
随着新课程的改革，数学教学应从学生已有的生活经验及知识出发，创造出生动有趣的情境，指导学生开展操作、推理、交流等活动，学生通过这些教学活动，掌握数学知识及技能，学会从数学角度观察事物和思考问题，激发学生对数学学习的兴趣。
一、正确理解、解决问题
解决问题是指综合、巧妙运用数学知识解决各种问题、实际问题以及数学内部问题，具有应用性和工具性。解决问题教学能鼓励学生自主地解决问题、培养学生创新精神以及掌握解决问题的方法和思想。
二、小学数学教学中解决问题教学模式的优势
首先，在教学内容方面，解决问题教学的内容是采用分散式，便于拓展小学生的思维，提高小学生解决问题的能力。另外，在问题呈现的方式上，解决问题教学带有开放性，能够激发小学生的数学学习热情，充分调动其学习积极性。
三、小学数学教学中解决问题教学的策略
在小学数学教学中，教师应根据教材内容，结合小学生的个性特点和实际生活，合理地进行问题情境的设定，让学生积极、主动地学习，提高学习效率。教师也要注重培养学生解决问题的思维模式，在教学内容上，应有效地融入解决问题教学方法，提高学生的解决问题能力。另外，教师也要重视学生之间的相互交流和合作，使学生在解题过程中，通过相互帮助，拓展自身的解题思路，培养学生解题策略意识，提高学生解决问题的能力。
解决问题教学，是新课程数学教学的重要内容之一，也是一个重要教学目标。所以，应从低年级开始注重培养小学生解决问题的能力，提高小学生的思维能力，达到解决问题的目的，进而提高小学生的数学学习水平，也使教学效率有效得到提升。
参考文献：
[1]颜平.渗透的是策略，孕育的是思想：小学数学解决问题的策略教学思考[J].小学教学研究，2011（20）.
高一数学解决问题篇8
关键词：问题解决高中数学教学模式
在高中数学教学中，由于数学知识高度的抽象性和严密的逻辑性，要让使学生真正理解并掌握数学知识，进而领悟数学思想方法，要经历一个“再创造”的过程，经历一个“提出问题”、“解决问题”的过程。高中数学问题解决教学模式能够促进学生掌握的数学概念与技能性知识，还可以提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
高中数学问题解决教学模式使学生通过问题解决，特别是具有实际意义的问题充分认识数学的意义，并逐步树立起学好数学的信心，培养学生学习的主动性、创造性，提高学生问题解决的能力。
一、高中数学问题解决教学模式的理论依据
建构主义的数学学习观认为：数学学习不是对于教师所传授的知识的被动地接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动的建构活动，是学习者以自己的方式根据已有的经验对新知识加以选择、转换、储存和应用，主动地建构内部心理表征的过程。
基于“学习是知识建构”的学习，能提供认知工具、蕴涵丰富资源、鼓励学习者通过与环境的互动建构个人意义的“学习环境的创设”成为与“学习是知识建构”的学习相对应的教学。问题解决教学模式中学习环境的创设关注的不再是教师应该以什么方式最有效地传递信息并让信息为学生所理解，而是如何优化学习环境中蕴涵的丰富资源以便为学习者提供丰富的“给养”，实现知识建构学习。学生提出问题、解决问题的过程就是识别问题、分析问题、解决问题的过程。学习者在解决问题的过程中自然习得的不仅是相应的概念、技能，还对蕴涵这些概念、技能的知识情境有了深刻的认识。
建构主义学习理论认为，知识主要不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情境下，借助外部帮助，利用必要的学习资源，通过建构的方式获得的。问题解决教学模式能加强学生学习的主动性、社会性和情境性，让学生从情境中发现数学问题、提出数学问题，自主探索解决数学问题。问题解决教学模式能够使学生在数学学习中主动参与、合作学习和在情境中学习。
二、高中数学问题解决教学模式的原则
淡化形式，注重实效的原则。数学问题解决教学模式应重视问题解决过程中非形式化内容的教学，淡化过分重视形式化内容的教学的倾向。不让学生死记硬背数学概念的条条款款，对数学概念、符号的理解及其运用上，充分认识数学概念产生的实际背景。理解问题是怎样提出的，概念是如何形成的。
创设情境，主动学习的原则。数学问题解决教学模式应充分了解学生已有的认知水平和实际生活经验，创设一种能构成学生认知冲突、激发学生学习兴趣的问题情境。然后在课堂教学中，充分运用围绕教学问题所设计的教学环节，引导学生进入学习情景，产生迫切学习心理倾向后，主动获取知识，培养能力和发展技能。
突出过程，激励探索原则。数学问题解决教学模式应讲清数学知识产生的背景、形成过程和实际应用及其意义，在解决问题的过程中，应鼓励学生在弄清问题的题意后，大胆进行类比、联想、猜想，并验证结论的正确性。
联系实际，注重实践的原则。数学问题解决教学模式应让学生日常生活中一些熟悉的实例走进课堂，让学生知道数学就在我们身边，它与生活息息相关。引导学生用所学过的数学知识解决一些简单的实际问题，逐渐培养学生用数学的意识。
三、高中数学问题解决教学策略
高中数学问题解决教学中的问题来自两个方面：现实社会生产和生活实际，数学学科本身，即“问题可以是现实的或纯数学的”，高中数学教学中应力求采用或设计出优秀的数学问题。高中数学问题解决教学策略：创设问题情境、提出问题、表征问题、探索解决问题、反思总结等。
创设问题情境的目的在于利用学生对疑难问题的好奇心，追求解决新问题的迫切感和成就感，激起他们进一步学习的兴趣。教学中创设问题情境，把需要学生掌握的部分数学概念、技能蕴涵在真实、复杂的问题情境中，学生在解决真实、复杂问题的过程中体验数学概念、法则、技能是如何作为工具有助于解决问题的，从而加深对数学概念、法则、技能的理解。
笔者在分段函数教学中创设以下问题情境，某市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km（含3km），收费7元；行程超过3km但不超过10km时，在收费7元的基础上，超过3km部分按1.5元/km收费，行程超过10km时，超过10km部分按2元/km收费，求：
（1）试写出车费（元）与行车里程（km）之间的函数关系式；
（2）若乘客乘出租车行车里程为12km，需付多少车费？
乘坐出租车这个问题情景学生都很熟悉，教学中把学生分成若干小组。解决基本数学问题的教学，其目的在于充分发挥学生的个性，引导学生获得解决问题的各种思想和方法，培养学生的创造力，推动学生的数学知识和能力水平的提高。让学生自己提出相关的问题，分析问题的实质，通过小组的分析讨论，探索解决问题的方法，各小组间进行交流反馈，最后总结出解决这个问题的方案。
解：（1）y=7，0
=7，0
当x=12时，y=2×12-2.5=21.5
出租车车费问题的解决让学生深刻理解分段函数这个概念的内涵，加深对分段函数理解。
在等差数列的前和公式教学中创设以下问题情境，在万达影城中有个放映厅共有20排座位，从第二排起每排比前一排多2个座位，已知第一排有20个座位，问这个电影院共有多少个座位？学生看到求电影的座位数时，提出了各种解决办法，有一排一排去数的，有把每一排看第一排的座位数20，再加上和第一排的差额，还有第一排加最后一排等于第二排加上最后第二排，依此类推。
解法1：电影院每排的座位数构成一个等差数列
答：这个电影院共有780个座位。
高中数学问题解决教学模式要让学生综合运用已具有的数学基础知识、基本技能和能力，创造性地解决来自数学内部或实际生活和生产实际中的新问题。
解决基本的数学问题的教学，目的在于充分发挥学生的个性，引导学生获得解决问题的各种思想和方法，培养学生的创造力，推动学生的数学知识和能力水平的提高。学生通过问题解决建构性的、协商性的学习中，获得的不仅是具有情境脉络的知识，而且培养了在日常生活中善于提出问题、发现问题的能力，以及利用所学知识解决真实生活中问题的能力，为终身学习能力的形成奠定了一定的基础。
高中数学问题解决教学模式不仅能促进学生掌握数学概念知识与技能性知识，还能有效促进学生对数学概念知识与技能性知识的理解和数学知识体系的建构。
参考文献：
[1]章建跃，朱文芳，著.中学数学教学心理学[m].北京：北京教育出版社.
[2]郑毓信，著.问题解决与数学教育[m].南京：江苏教育出版社，1994.
高一数学解决问题篇9
关键词问题解决能力数学阅读数学模型数学题解法
中图分类号：G623.5文献标识码：a文章编号：1002-7661（2014）04-0043-02
《小学数学新课程标准》对于学生问题解决的能力做出了非常明确的指示：“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识和其他知识解决简单的数学问题，发展应用意识和实践能力。”从这层意义上来讲，小学数学教师必须要在数学教学活动中有意识、有目的地培养小学生解决数学问题的思维，确保其问题解决能力的实际发展与增长。我从事小学数学教育多年，愿结合自身的教学实践经验对小学生数学问题解决能力的培养策略进行初步的探讨。
一、提高学生数学阅读能力是培养学生数学问题解决能力的首要前提
在小学数学教学过程中，我们不难发现同样一道数学题目，如果以文字的形式呈现给学生，相当一部分学生会因为各种原因得出错误的结果；但是如果由教师以口头的形式对这道数学题目进行表达与陈述，那么学生的错题率将会大大减少。我个人认为，产生这种现象的根本原因在于学生缺乏良好的数学阅读水平与能力，而这是制约他们理解数学问题、解决数学问题的关键所在。从这层意义上来讲，教师必须想方设法提高学生的数学阅读能力，这是切实提高小学生解决数学问题的能力的首要前提。
我在日常教学过程中就格外重视对学生实际数学阅读能力的培养与发展，教导他们不管是平时的练习还是真正的数学考试都必须认真读题、仔细审题，在弄清该题目已知数量关系的前提下，将其所包含的已知条件与数学问题紧密结合起来，从而找出该题目的具体解决方法。例如，针对小学数学问题数量关系单一、清晰、简单等特征，我会鼓励学生一边阅读题目，一边用笔将该题目已知的数量关系、关系词等一一标出来，如此一来，不但题目由难及简，而且具体的数量关系也变得更明确、更一目了然，而这些无疑都为学生实现对题目的更好理解以及更好的解决该数学题目奠定了良好的基础。
例如，在小学低年龄段数学教学过程中，学生经常会遇到求总和或者求差等类似的题目，像“一年级共有学生35人，二年级共有学生42人，求一、二年级共有多少名学生？”“一年级共有学生35人，二年级共有学生42人，求二年级比一年级多多少名学生？”……对于这类问题，我通常会要求学生将“一年级学生35人”“二年级学生42人”“共有”“比…多”等关键词逐一勾出来，然后再根据自身所勾的关键词建立简单的数学关系，如此一来，学生很容易就能列出这类题目的等式“一年级人数+二年级人数=总人数”“二年级人数-一年级人数=多出来的人数”，如此一来，自然为学生更好地解决这类数学题目做好了最为充足的准备。
二、构建数学直观模型是提高学生问题解决能力的重要手段
数学问题来源于对现实生活的总结与升华，与我们的日常生活有着极为密切的联系。作为数学学科基础的小学数学更是具备了较多的生活实际元素，因此，也更能体现出以现实背景为代表的应用性特征。鉴于这一情况，小学数学教育工作者应当引导与启发学生逐渐发现生活实际问题中所包含的数学成分，把一个个生活实际问题转化为数学直观建模，如此一来，既符合了小学生由抽象思维向直观思维发展的特点，而且更为重要的一点还在于促使他们在构建数学问题建模的过程中进一步深化了对于所解数学题目的认识与理解，而这无疑将是提高其问题解决能力的重要手段。
例如，“求平均数”不但是我们日常生活中经常遇到的数学题目，更是小学数学试题中非常经典的一个重要题型。像“气象小组每天早上6点测得的一周气温如下：10℃、12℃、10℃、11℃、13℃、12℃、13℃，求一周的平均气温。”“小明家离学校有1500米，从家到学校需要10分钟左右，求小明上下学途中的平均速度。”等等都属于类似的题目。我在辅导学生学习这部分知识时，引领他们逐渐总结了“数学平均问题”的真正本质“总数总份式平颈s便壹饲通贡观的桶镏约悍治鎏庵械氖抗叵担佣咽导饰侍庾侍猓⑺忱饩龈梦侍馓峁┝顺渥愕谋U稀？
培养学生具备高水平的问题解决能力是小学数学教学活动的重要目标，更是提高学生综合数学素质的有效途径。因此，作为数学教师来讲，一定要秉承“授之以鱼，不如授之以渔”的理念，不但要促使学生获得某个具体数学问题的答案，更要积极采取各种措施着重培养小学生解决数学问题的思维，如此方能保证学生在解决问题的应用过程中不断提高自身解决简单数学问题以及实践运用的水平与能力。
参考文献：
高一数学解决问题篇10
关键词：数学教学；中学生；分析问题；
中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2014）13-073-01
它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性。
一、分析问题和解决问题的能力的组成
1、阅读和理解题目的能力
阅读和理解题目能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力。阅读和理解题目是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提。快捷、准确地掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的。解题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力。由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分。
2、合理应用知识、思想、方法解决问题的能力数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法、分析法、综合法等基本方法。只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅。
3、建立数学模型的能力
近年来，在高考数学试卷中，都有几道实际应用问题，这给学生的分析和解决问题的能力提出了挑战。而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心。在解题的解答中，学生若没有一定的数学建模能力，正确解题实属不易。因此，建模能力是分析和解决问题能力不可或缺的一个组成部分。
二、培养和提高分析问题和解决问题能力的策略
1、重视通性通法教学，引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法
数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段。只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自己的能力。每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：(1)由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；(2)同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等．又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等。因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个性,即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效，从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力。
2、加强应用题的教学，提高学生模式识别能力
数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提。由于高考考查的都不是原始的实际问题，命题者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其数学模型。在高中数学教学中，不但要重视应用题的教学，同时要对应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题。
3、适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面
要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题。近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查。由于开放题的特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，而新背景题的背景新，这样给学生在题意的理解和解题方法的选择上制造了不少的麻烦，导致失分率较高。因此，在高中数学教学中适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面是提高学生分析和解决问题能力的必要补充。
4、重视解题的回顾