高中数学直线与圆知识点篇1
【关键词】直线；圆锥曲线；常见题型；解题技巧
与圆锥曲线高中解析几何的核心内容及研究对象，学生通过学习圆锥曲线，能够逐渐培养起自己的数形结合思想及解决实际问题能力，这部分知识内容在历年高考试题中都占据较大分值，圆锥曲线常常与直线结合共同出题考查学生知识、解题技巧，考察形式丰富多样，但是大致上能分为几种，下面我们就先来分析下直线与圆锥曲线知识点的考查特点.
一、直线与圆锥曲线知识点的考查特点
（一）基本性质问题
高中数学教材将圆锥曲线性质总结归纳为以下内容：圆锥曲线对称性、范围、离心率及顶点等等，考查圆锥曲线基本性质就各个知识点间联系时常常表现出以下特点：圆锥曲线定义与焦半径、离心率结合；参数值与离心率结合；参数值与渐近线结合；参数值与准线间结合.
（二）曲线方程与轨迹问题
解析几何体系内部各个知识点之间错综复杂的关系，使得学生不能较清晰的理解并系统的掌握其知识体系，求多动点轨迹方程这类问题是解析几何中数学的重点和难点，这类问题中有时不只含有一个的主动点或者从动点，动中有静，因此求轨迹方程只要挖掘已知条件，将动点满足的规律找出来，并将规律用动点的坐标表示或成等式即可.
圆锥曲线解答题中出现频率最高的是方程与轨迹问题，而且常常放在大题第一问，一些设问一句曲线原本具有性质来求解曲线方程，或者是根据已知条件求曲线参数值；也有一些解答题依据平面动点运动规律与满足条件求轨迹方程，这两者都是求圆锥曲线方程，属于一类.除了圆锥曲线方程及参数值类型题目之外，主要还有以下几种题目类型：两种曲线交汇、以焦点弦、切线为条件、以平面图形周长或面积为条件等等.圆锥曲线轨迹问题中，轨迹生成方式基本上有三种：将圆锥曲线定义及性质作为出发点、将其他曲线作为运动载体及将向量关系作为条件.
（三）定值及定点问题
这部分问题主要是从圆锥曲线的一些性质得出的，涉及直线与圆锥曲线位置关系、两直线位置关系、及点与圆锥曲线位置关系等等.新课程改革实施之后，高考越来越重视考查学生的综合能力，圆锥曲线的定点、定值问题是考查其综合能力的重要途径，这些试题具有解法多样、整体思路令人深思等特点，成为高考热门话题，结合近几年高考试题，这类问题大致能分成以下四种形式：曲线过定点或点在曲线上、角或斜率是定值、多个几何量运算结果是定值、及直线过某定点或点在某定直线上.
（四）最值及值域问题
圆锥曲线中典型问题就是最值及值域问题，而且这部分问题常常与函数、不等式、向量及导数等知识进行交汇，在考查学生分析问题、解决问题能力方面具有重要作用.分析近几年来高考，对这部分问题考查主要有这五种试题类型：距离或长度最值、面积最值、多个几何量运算结果最值、斜率范围及最值条件下的参数值.
二、直线与圆锥曲线常见解题思想方法
直线与圆锥曲线常见解题思想方法有两种：几何法与代数法，下面将具体分析下这两种解题思想方法.
（一）几何法
几何法解决数学问题主要运用了数形结合思想，结合圆锥曲线定义、图形、性质等题目中已知条件转化成平面几何图形，并使用平面几何有关基本知识例如两点间线段最短、点到直线垂线段最短等来巧妙地解题.
（二）代数法
代数法主要是依据已知条件来构建目标函数，将其转化成函数最值问题，再结合使用配方法、不等式法、函数单调性法及参数法等等来求最值.
三、直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析
（一）题型一：弦的垂直平分线问题
解题技巧及规律：题干中给出直线与曲线m过点S（-1，0）相交于a，B两点，分析直线存在斜率并且不等于0，然后设直线方程，列出方程组，消元，对一元二次方程进行分析，分析判别式，并使用韦达定理，得出弦中点坐标，再结合垂直及中点，列出垂直平分线方程，求出n点坐标，最后结合正三角形性质：中线长是边长的32倍，使用弦长公式求出弦长.
（二）题型二：动弦过定点问题
解题技巧及规律：第一问是使用待定系数法求轨迹方程；第二问中，已知点a1、a2的坐标，因此可以设直线pa1、pa2方程，直线pa1与椭圆交点是a1（-2，0）和m，结合韦达定理，能求出点m坐标，同理求出点n坐标.动点p在直线L：x=t（t>2）上，这样就能知道点p横坐标，根据直线pa1，pa2方程求出点p纵坐标，得出两条直线斜率关系，通过计算出m，n点坐标，求出直线mn方程，代入交点坐标，如果解出是t>2，就可以了，否则不存在.
四、结语
在历年的高考数学试卷中，圆锥曲线题目不仅分值一直保持稳定，而且题型多样，方法灵活，综合性强，常被安排在试卷的最后作为把关题或压轴题.圆锥曲线的最值问题是解析几何重点出题之一.它涉及知识面广，常用到函数、不等式、三角函数等重点知识，而且其考查方法灵活多样.圆锥曲线最值问题不仅能考查学生对基础知识的掌握程度，又能体现学生灵活运用数学思想和方法综合解决问题的能力，所以是数学学习中的一项重点.
圆锥曲线作为高中数学解析几何的重要知识点，其中蕴含着重要丰富的数学思想方法，解析几何基本思想是使用几何方法解决问题，也就是数形结合思想，所有的数学试题都不能离开形只谈抽象数或者是研究图.另外一种解决问题的数学思想方法是代数方法，主要是依据已知条件来构建目标函数，将其转化成函数最值问题，再结合使用配方法、不等式法、函数单调性法及参数法等等来求最值.本文在归纳总结直线与圆锥曲线知识点的考查特点基础上，结合使用相应数学思想方法，给出直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析，为学生解答此类题提供方法借鉴.
【参考文献】
高中数学直线与圆知识点篇2
关键词：直线；圆锥曲线；高考数学；解题技巧
高考中考察圆锥曲线作为解析几何的重点内容，能够让同学们在学习圆锥曲线的同时，逐渐培养自己的三维思想以便能够有解决实际问题能力，圆锥曲线的内容在多年的高考试题中分值比例都比较大，圆锥曲线的题目中还经常与直线结合出综合题来考查学生基础知识、解题技巧，高考中考察题型多变，下面我们就先来分析下直线与圆锥曲线本文从圆锥曲线解题的思想、思维和方法等角度进行探讨，教师要让学生明白这些解题的思想、思维和方法，需要让我们真正理解并掌握。
1.熟练掌握基础知识及常用的结论
圆锥曲线在高考中题型多变，其中包括选择题、填空题和解答题，不同的题型的结题要求不同，不是说所有的题都需要精准的写出详细的解题步骤。在选择答案的过程中，有一些常用的结论和特殊的结果可以直接被套用应用，这些结果往往是经典题型，在考试中经常出现。在平常的教学中，教师可以帮助学生总结一些经典题目答案，使我们能够迅速理解并应用于考试之中，从而提高解题效率。
这些经典题目答案主要是从圆锥曲线的一些基本性质得出的，比如说直线与圆锥曲线的特殊位置关系、两直线特殊位置关系还有点与圆锥曲线位置关系等。随着新课改的实施，在我国的高考考试中，考题中的考点越来越倾向于考查同学们的综合能力，圆锥曲线的定点、定值问题便是考查其综合能力的热点，关于这部分内容试题具有解法多样、整体思路令人耳目一新，广泛研究近几年高考数学题目可以发现，对于圆锥曲线的定点、定值问题大致能分成以下四种形式：曲线过特定的某个特殊的点或点出现在曲线上、角或斜率是一个定值、多个几何量运算结果是定值及直线过某定点或点在某定直线上。
2.积极培养解题思维
数学是一门严谨但又存在很多乐趣的的学科，在数学的解题过程中，不能有一丝的含糊和误差，但是，与此同时，解题时又需要学生敢于创新敢于用跳跃性的思维来考察题目。只有同学们扎实掌握了数学基础知识的同时，培养活跃的数学解题的思维，开放思路，才能在面临圆锥曲线的考察题目时能够有效快速地解决问题。
例1
（2011年天津卷）已知点a、B为椭圆2a2+2b2=1（a>b>0）的左右顶点，点p为椭圆上与a、B不重合的点，o为坐标原点。如果直线ap与Bp的斜率的乘积为-1/2，试求椭圆的离心率。
设点p的坐标为（X0，Y0），则由题意可得
X02/a+Y02/b=1
①由a（-a，0）、B（a，0）可得Kap=Y0/X+a；KBp=Y0/X-a。
由Kap*KBp=-1/2可得X2=a2-2Y02将其代入式①并整理可得（a2-2b2）Y02=0
由于Y0≠0，可得a2=2b2，所以椭圆的离心率e=[（a2-b2）/a2]1/2=21/2/2。
3.常见解题方法的总结
1）定义法
定义（Definition）是透过列出一个事件或一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义；在数学里面，定义是一个知识点的本质属性，有关这个知识点的任何公式定理都是由定义推导出来的，因此，对定义应用的熟练程度可以决定学生解决有关这个知识点的问题的速度及准确率。
例2
点p在椭圆X2/25+Y2/9=1上，p到该椭圆右准线的距离为5/2，求点p与左焦点的距离。本题考查了椭圆的性质（准线、焦点、对称性、离心率等）和椭圆的第二定义。
由题意可得椭圆的准线方程为X=25/4，离心率e=4/5。根据椭圆的对称性知点p到该椭圆左准线的距离为10。由椭圆的第二定义得e=|pF1|/10=4/5，所以点p与左焦点的距离为|pF1|=8。
2）参数法
例3
已知向量a=（X，31/2Y），b=（1，0），且（a+31/2b）。
（1）求点Q（X，Y）的轨迹C的方程。
（2）设曲线c与直线Y=KX+m相交于相异的2点m、n，又点a（0，-1），当|am|=|an|时，求实数m的取值范围。
（1）X2/3+Y2=1（过程略）
（2）由Y=KX+m，
X2/3+Y2=1
得
（3K2+1）X26mKX+3（m2-1）=0
又直线与椭圆相交于相异的2点，所以
Δ=12（3K2+1-m）>0①
当K≠0时，设弦mn的中点为p（Xp，Yp），m、n的横坐标分别为Xm、Xn，则Xp=（Xm+Xn2）/2=-3mk/
3k2+1，从而yp=m/（3k2+1），kap=-（-m+3k2+1）/3mk。又|am|=|an|，所以apmn，所以2m=3k2+1②
由式②得m>1/2，从而2m>2，所以0m2，
所以m∈（1/2，2）。当k=0时，|an|=|an|，则apmn，m23k2+1，解得-1m1。综上，当k≠0时，实数m的取值范围是（1/2，2）；
当k=0时，实数m的取值范围是（-1，1）。
4.结语
通过考察多年以来的高考数学试题可以发现，高考试题中有关圆锥曲线的题目所占分值一直比较稳定，而且题目考察的综合性以及对实际问题非考察越来越多。圆锥曲线中蕴含着丰富的数学思想方法，也就是数形结合思想，是高中数学解析几何重点考察内容。本文在归纳总结直线与圆锥曲线知识点的考查特点基础上，结合使用相应数学思想方法，给出直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析，为同学们解答此类题提供方法借鉴。
[参考文献]
[1]钱坤.新课改背景下圆锥曲线高考试题的考查特点分析[D].赣南师范学院，2013.
[2]陈发志，蔡小雄，张金良.2011年高考数学试题分类解析（十）-圆锥曲线与方[J].中国数学教育，2011，Z4：79-85.
高中数学直线与圆知识点篇3
【关键词】直线与圆位置关系
一、巧妙提问题，创情景引入
问题1“轮船的航线和台风的问题”问题2直线与圆有哪些位置关系？请学生例举生活中具有直线与圆位置关系的事物。问题3从“形”上来看，可以用哪些数学量来判断直线与圆的位置关系？问题4三种位置关系下，直线与圆的公共点个数分别在发生哪些改变？问题5我们现在已学习了直线的方程和圆的方程，怎样根据这两个方程来判断直线与圆的位置关系？设计意图。通过上述问题，把学生的思维从生活中引进数学，激发学生学习的好奇心和探究意识。问题是数学的心脏，是学生思维和兴趣的开始抓住了学生的注意力，此时再深入问题，进入第二环节.
二、自己建构知识，探究发现问题
（学生活动）学生对于以上问题1，在图形的情境下，很容易想到初中熟悉的知识，然后对问题1到4给出答案，问题5从“形”的研究变成了“数”的研究，学生可能一时回答不出来。（教师活动）学生解决的问题3就是判断直线与圆位置关系的“几何法”，即通过圆心到直线的距离与半径的大小进行比较来判断位置关系，让学生画出三种位置关系的图示，同桌之间总结对应的圆心到直线的距离与半径的大小关系。（学生活动）完成直线与圆三种位置关系与公共点个数的表格。为了引导学生解决问题5，先让学生思考求直线与圆的公共点的求法，进一步提出：问题6求直线和圆的公共点坐标，并判断它们的位置关系。（学生活动）通过观察，从两直线的交点坐标的求解是联立方程组得到的这一思想出发，可初步得到求直线与圆的交点的坐标也可转化为求的解。（教师活动）在引导学生解决问题6同时，诱导学生对于方程组的解的个数与交点的个数，及直线与圆的位置关系的进一步的思考。再提出：问题7方程组解的情况与直线与圆的位置关系具有怎样的一般性结论？（学生活动）由方程组消元得到一元二次方程组的判别式，完成上表中的“代数法”，总结一般性的方程的解与公共点及直线与圆的位置关系判断方法，并且比较“几何法”与“代数法”的适用性。设计意图通过问题6与问题7，使学生置身于符合自身实际的数学学习中去，从自己已有的经验和已知的基础知识出发，经历具体的问题的求解，从而升华为解决问题的思想方法，体现了由具体到一般的思想。在问题解决过程中，不仅提高了学生知识水平，整合了知识结构，而且渗透了“数形结合”的思想方法，培养学生从多角度思考问题的发散性思维能力。
三、提高巩固，应用提高
（一）新知内化，直接应用，
为了正确理解这两种方法，及时的运用是非常有必要的。为此，提出：问题8试就实数的值讨论直线和圆的位置关系。（学生活动）学生选择自己总结的方法对该问题进行解答，可以知道两种方法都可解决问题，但计算的难易程度有所不同。（教师活动）指出学生解决问题时可能出现的错误，分析两种方法的优劣。设计意图在学生认知结构的基础上提出新问题，初步掌握运用两种方法判断直线与圆的位置关系。
（二）能力提升，应用灵活问题9（1）自点作圆的切线，求切线的方程。（2）自点作圆的切线，求切线的方程。（3）自点作圆的切线，求切线的方程。你能归纳出具有一般性的结论吗？（学生活动）学生相互讨论，研究尝试求该圆的切线的方程的方法，并且寻找这两题中存在的区别和联系，再次寻找一般性的结论。（教师活动）深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的方法和进展，展示学生的解题过程，指出错误，特别指出用待定系数法时的避免遗漏斜率不存在的情况，并规范书写格式。设计意图此题设置了三小问，第一小问的点a在圆上，第二小问点在圆外，第三小问过点的切线中有一条斜率不存在，旨在让学生从中自己发现问题、解决问题，引导学生用数形结合的思想，结合初中已有的圆的知识进行判断，并且发现一般的结论，这样的问题模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮。因为有效的学习过程，不能单考单调的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更需要学生亲身经历和实践体验，因此，必须构建师生互动学习，生生合作交流，共同探究的数学课堂。
四、训练变式，方法形成
（教师活动）给出一组题：问题10（1）已知直线与圆相切，则的值为。（2）若点在圆内部，则直线与圆的位置关系为。（3）自点（-3，3）发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆C：相切，求光线所在直线的方程。（学生活动）相互讨论，寻求解决问题的方法和解答过程。设计意图这一组习题的设计，使问题由“生活”中来，到“生活”中去，通过学生的主动参与，让每一位学生有“用武之地”，深刻体会本节课的重要内容和思想方法，体验学习数学的乐趣，增强学习数学的愿望与信心。
五、拓展延伸，回顾反思
（教师活动）引导学生进行课堂小结，给出下列提纲，并就学生回答进行点评。
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与圆位置关系的方法？
（2）在求圆的切线方程时应注意哪些问题？
设计意图通过让学生阅读课本的作业设置，其中课本例2是本节课关于切线的求法，，使学生养成先复习后做作业的习惯，也使他们养成预习新知识的习惯。基于本节课内容和学生的实际，对课后的书面作业分为三个层次，分别安排了基础巩固题、理解题和拓展探究题。使学生完成基本学习任务的同时，在知识拓展时起激学生探究的热情，让每一个不同层次的学生都可以获得成功的喜悦。
高中数学直线与圆知识点篇4
【关键词】圆形；直线；位置关系
一、树立本堂课正确的教学目标
就如著名学者杨善朝所说：“一个好的教学活动目标，是教学过程中的“指南针”，它的制定决定了本节课的所有活动走向，指明了我们一堂课要达到的标准和要求，是开展教育活动的依据。”它不仅影响教师自身在课堂中的教学进程，同时更会直接影响学生的发展。所以，制定一个教学目标是上好一堂课之本。对于直线和圆的位置这一节内容，它的目标我们可分为三个方面：
（一）认知目标
在圆与直线的位置关系的教学中，提高学生的观察力与想象力，并且培养学生的善于发现，善于总结的能力。在动手操作环节中，着重提高学生的逻辑思维能力和用数学语言表述的交流能力。
（二）情感目标
通过探索直线与圆的位置关系的过程，让学生可以体验到数学活动充满探索与创造的喜悦感，感受数学的严谨性及数学结论的确定性，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
（三）知识技能目标
这一节内容主要让学生了解直线和圆的位置关系的有关概念。学到利用直线到圆心的距离和半径的大小关系判断直线和圆的位置关系的方法。以及让学生能够理解设的半径为，直线到圆心的距离为，则有：直线和相交﹤；直线和o相切=；直线和o相离﹥，最后学生能够利用直线和圆的位置关系解决有关的几何问题。
进行圆的教学的课程设计
二、课堂的导入部分
随着时代的发展，新知识不断出现，知识固然重要，但获得知识的过程与方法更为重要。让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。
这教师在教学的时候，可以用多媒体出示教材图25-29，将照片中太阳与地平线分别看作圆与直线让学生思，。如果教师为了能更好的激发学生对本堂课的兴趣，可以自己选做课件，可以选题为太阳与海的位置关系来让学生观察。教师可以提出问题：1、它们之间有几种不同的位置关系？2、在平面内移动o与直线的公共点的个数有几种情况？教师可以利用海上日出的自然风光，激发学生探索直线和圆位置关系的兴趣，让学生反复观察日出的动态演示，对直线和圆的位置关系有了初步的猜想，从而使学生初步感知直线和圆的位置关系。
（一）课堂的基本部分
数学教学模式的选择，是决定学生在课堂教学中能否很好地学会学习，获取知识、形成能力的关键因素。J·m·索里在他所著的《教育心理学》中曾提出“数学教育要以有利于学生全面发展为中心，倡导有意义的学习方式为基本点。”在此理念下，数学教学应是数学活动的过程。教师要重视知识的发生和发展，给学生留有充分的时间与空间，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，激发数学学习兴趣，培养运用数学的意识与能力。
在这一环节中，我们教师可以提前准备圆形模板、刻度尺等，让学生各人独立探索，当然教师同样要提出启发性问题，让学生带着问题去实验。教师可以提问：首先直线和圆有哪些位置关系？请画出各种位置关系对应的图形。其次，你是如何区分这些位置关系的？在这一环节教师要特别注意切实让学生实现自主学习，鼓励学生自主探索。（1）问题提出后，要给学生进行自主学习的足够的思维时间和空间；（2）要引导学生进行适量、适度的动手实践活动；（3）要促使学生进行独立思考和自主探索；（4）要关注学生的个体差异，尊重学生的创造性，对学生在探索过程中遇到的困难和出现的问题，要适时、有效地帮助和引导。学生通过独立动手操作最后总结出直线和圆的位置关系。最后教师引导学生对如何判断位置关系展开讨论，规范学生的数学语言，最后师生共同总结直线和圆的位置关系，明确相关概念。
（二）教学活动的结束部分
学完教师务必要学生结合前面探索的内容，划出本节课主要知识点，记录阅读时产生的问题，阅读后交流解决。教师利用点拨教学法引导学生梳理知识点，所谓点拨教学，就是教师针对学生学习过程中存在的知识障碍与心理障碍、思维障碍等，用画龙点睛和排除故障的方法，启发学生开动脑筋，自己进行思考与研究，寻找解决问题的途径与方法，从而达到掌握知识并发展能力的目的。所谓“点”，就是“点”要害，抓重点；所谓“拨”，就是拨疑难，排障碍.在这一环节里，我们要将学生的思维导向深入，通过诱导进一步激发和启发学生产生深层次解决问题的欲望、并帮助他们跨越障碍，顿悟、迁移知识。每一节课、每一个环节我都积极参与里面，坚决做到点拨到位，只有这样，新的知识才能生成，教学目标才能达到。
三、活动的总结和延伸
教师用练习巩固学生的上课所学，比如设o的直径为m，圆心o到直线a的距离为d。（1）若m=30，d=15，则直线a和o的位置关系是什么。（2）若m=6，d=2，则直线a和o的位置关系是什么。（3）若m=7，d=5，则直线a和o的位置关系是。教师提出问题，引导学生深入分析，学生回答完问题，教师要让学生分析、比较题目的已知条件和所求，总结解题方法，交流解题经验。互相补充、评价。
最后，教师应该回顾总结并进行课堂延伸，首先，学生是否能够灵活运用圆心到直线的距离和半径的大小关系判断直线和圆的位置关系，其次，有没有掌握圆与直线之间的位置关系的概念。这样一节圆的教学就可以完成，总之，不论怎么样去教，但教学有法，教无定法，我们教师应该在以后的工作中，积极的参与教改，用自己的聪明、和智慧去做好自己的事业，以便推进新课程的构建。要照顾到每一个同学，测试题要有难有易、要层次，让他们都能体会到学习的快乐、都有成就感。
参考文献：
[1]杨善朝.综合数学教育[m].广西师范大学出版社，2011.12
[2]唐瑞芬.数学教学理论选讲[m].上海：上海华东师范大学出版社，2001，30
[2]J·m·索里等著，高觉敷等译.教育心理学[m].北京：人民教育出版社，1982，189
[3]柏拉图著，戴维斯等译.理想国[m].北京：外语教学与研究出版社，2011，60
高中数学直线与圆知识点篇5
无论掌握哪一种知识，对智力都是有用的，它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。下面小编给大家分享一些高中必修二数学知识，希望能够帮助大家，欢迎阅读!
高中必修二数学知识1不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
(2)一元二次不等式
①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题
①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.
③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
(4)基本不等式：
①了解基本不等式的证明过程.
②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点.
数列
(1)数列的概念和简单表示法
①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
②了解数列是自变量为正整数的一类函数.
(2)等差数列、等比数列
①理解等差数列、等比数列的概念.
②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.
③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
高中数学必修二知识点总结：不等式
高中必修二数学知识2空间直线与直线之间的位置关系
①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
②异面直线性质：既不平行,又不相交.
③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.
求异面直线所成角步骤：
a、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.
(8)空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点.
三种位置关系的符号表示：aαa∩α=aaα
(9)平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点;αβ
相交——有一条公共直线.α∩β=b
2、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,
那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行
(2)平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(线面平行面面平行),
(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.
(线线平行面面平行),
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,
两个平面平行的性质定理
(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行线面平行)
(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行线线平行)
3、空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.
③平面和平面垂直：如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直.
(2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.
4、空间角问题
(1)直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为.
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点o,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.
(2)直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为.②平面的垂线与平面所成的角：规定为.
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,二证,三计算”.
在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,
在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线.
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
高中必修二数学知识3圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.
2、圆的方程
(1)标准方程,圆心,半径为r;
(2)一般方程
当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.
(3)求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,e,F;
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.
3、高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：
(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;
(2)过圆外一点的切线：①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
设圆,
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
当时两圆外离,此时有公切线四条;
当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当时,两圆内含;当时,为同心圆.
注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
5、空间点、直线、平面的位置关系
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.
应用：判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.
符号语言：
公理2的作用：
①它是判定两个平面相交的方法.
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.
公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.
公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
高中必修二数学知识4直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.
当时,;当时,;当时,不存在.
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与p1、p2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.
(3)直线方程
①点斜式：直线斜率k,且过点
注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.
②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式：()直线两点,
④截矩式：
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.
⑤一般式：(a,B不全为0)
注意：各式的适用范围特殊的方程如：
(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);
(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)
(二)垂直直线系
垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)
(三)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;
(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为
(为参数),其中直线不在直线系中.
(6)两直线平行与垂直
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.
(7)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解.
方程组无解;方程组有无数解与重合
(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点
(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离
(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.
高中必修二数学知识51、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱：
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.
(2)棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
(3)棱台：
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成
几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形.
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形.
(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形.
(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径.
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度.
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半.
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.
高中数学直线与圆知识点篇6
一、教材分析本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。二、教学目标1、知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。2、能力目标：(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。三、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。2、难点：圆的方程的应用。3、解决办法充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。四、学法在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。采取学生共同探究问题的学习方法，五、教法先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。六、教学步骤一、导入新课首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。二、讲授新课1、新知识学习在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合在平面直角坐标系中，圆心可以用坐标表示出来，半径长是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点的坐标满足的关系式。经过化简，得到圆的标准方程2、知识巩固学生口答下面问题1、求下列各圆的标准方程。①圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；②圆心坐标为（2，5）半径长度为3；2、求下列各圆的圆心坐标和半径。①②3、知识的延伸根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。例1要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何。三、知识的运用例2给出不在同一直线上的三点，可以画出一个三角形，三角形有唯一的外接圆，因此可以求出他的标准方程。由于圆的标准方程含有三个参数,,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程四、小结一、知识概括1、圆心为，半径长度为的圆的标准方程为2、判断给出一个点，这个点与圆什么关系。3、怎样建立一个坐标系，然后求出圆的标准方程。二、思想方法（1）建立平面直角坐标系，将曲线用方程来表示，然后用方程来研究曲线的性质，这是解析几何研究平面图形的基本思路，本节课的学习对于研究其他圆锥曲线有示范作用。（2）曲线与方程之间对立与统一的关系正是“对立统一”的哲学观点在教学中的体现。五、布置作业（第127页2、3、4题）
y
x
o
r
高中数学直线与圆知识点篇7
《圆与圆的位置关系》是普通高中新课程人教版《必修2》第四章第二节第二课时的内容,是在学习了用坐标法判断直线与圆的位置关系之后的内容,它是解析几何的重要组成部分。
这一节的任务是:用坐标法判断两圆的位置关系,一是把几何关系代数化;二是通过方程的研究判断两圆的位置关系,它是前节内容的延伸与拓展,是圆的知识中必不可少的一部分。本节课涉及到数形结合、方程思想两大数学思想,是培养学生数学思想、训练良好思维习惯的好素材。
〖目标分析〗
一、知识与技能目标
1.理解两圆位置关系的几何特征和代数特征。
2.适用两点间的距离公式求两圆的连心线长。
3.会用连心线长判断两圆的位置关系。
二、过程与方法
1.会用研究方程组的方法判定圆与圆的位置关系。
2.会用圆心距、半径等判定圆与圆的位置关系。
三、情感、态度与价值观
让学生通过观察图形,进一步深化与巩固数形结合思想,领悟以数助形与以形助数相辅相成。
四、教学重难点
教学重点:圆与圆位置关系的判断。
教学难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系。
〖学情分析〗
学生在初中已学习了圆与圆的位置关系,在关系分类明确的基础上,结合已学习的直线与圆的位置关系,不难总结出研究两者关系的方法:几何法、代数法。学习过程中力争使学生自我思考、自我总结、交流合作、自主探究。
〖教法学法〗
教法:分层递进、问题式和启发式的教学方法;
学法:自主学习,合作学习,探究学习相结合的学习方法;
教学手段:多媒体辅助教学。
〖教学过程〗
一、教学流程
二、教学环节
1.复习引入
[师生活动]
师:上一节课,我们是怎样研究直线与圆的位置关系的?
生:根据圆心到直线的距离;根据直线的方程与圆的方程组成的方程组实数解的情况。
师:两圆有哪些位置关系?
生:外离、外切、相交、内切、内含。
[设计意图]
既加深学生对所学过知识的理解,又为学生用类比法学习新知识奠定良好的基础。
2.探索应用
[师生活动]
师:出示例3:已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,试判断两圆的位置关系。
方法一:同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆,你从中发现了什么?强调,解析几何是一门数与形结合的学科。
生:尝试在同一坐标系下画出两个圆的图形,观察解决问题――两圆相交。
[设计意图]
培养学生“数形结合”的意识
[师生活动]
师:利用几何法,比较直观,联想到直线和圆位置关系的代数判断方法,如何把这些直观的事实转化为数学语言,用代数的方法来解决几何问题?
生:观察图形,互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,通过图形的直观性,得到解决问题的办法。
方法二:看交点个数――方程组解的个数;
方法三:比较连心线长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系――两点间距离公式。
学生板演,师指正。
[设计意图]
引导学生从原有的认知结构出发,根据图形变化明确两圆的位置关系,类比直线与圆的位置关系的判断方法,利用圆的方程去判断和解决两圆的位置关系,进一步培养学生解决问题、分析问题的能力。
3.变式提高
[师生活动]
师:思考:在同一坐标系中作出两圆及方程③,你发现了什么?
生:作图,研究发现③式:x+2y-1=0是相交弦所在的直线方程。
[探索]
通过这条相交弦,我们能否求两个圆的交点?与两个圆相交的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢?――研究得出:可以。
变式练习1:在例3中,用两种方法求相交弦aB的长。
变式练习2:在例3中,求过交点a、B和点m(2,-2)的圆的方程。
[提示]
方法1:先求两点a、B的坐标,用待定系数法求过三点a、B、m的圆;
方法2:类比过两直线交点的直线系方程,过两圆交点的圆系方程为:(x2+y2+2x+8y-8)+k(x2+y2-4x-4y-2=0),把点m的坐标(2,-2)代入,求得k的值,从而得到圆的方程。
[设计意图]
培养学生化归思想和类比联想能力以及灵活运用知识能力。
4.归纳小结
[师生活动]
师生共同小结。
(1)判断两个圆的位置关系有代数法和几何法,它们的特点是什么?
(2)代数法判断两圆的位置关系可以利用方程组是否有实数根判别式;也可以利用平面直角坐标系的两点间距离公式,判断两个圆的圆心距与两圆半径的关系来判别两个圆的位置。
(3)可以利用两个圆的相交弦来判断两圆的位置关系――三类关系:相离、相交、相切,把两圆的位置关系转化为直线和圆的位置关系。
[设计意图]
回顾本节课,归纳总结,加深理解,巩固学习成果。
高中数学直线与圆知识点篇8
一、数形结合思想，增强直观感受
师：同学们，在我们的生活中存在着各种各样的椭圆，你们知道椭圆是如何画出来的吗？椭圆又有什么性质吗？
生1：椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.
师：说得没错，根据我们以前学习的知识，椭圆就是轴对称图形，也是中心对称图形.那么接下来就看老师在黑板上画的这个椭圆，要观察老师是如何画的.
（然后教师就用一根绳子、两个图钉和一只粉笔画出了椭圆，同学们都被教师画的过程惊呆了.）
师：同学们，有没有感觉到椭圆画起来很神奇呢？
生：是.
师：那么就需要接下来好好听老师讲解椭圆的性质.我们一般会以椭圆的中心为原点，以对称轴为坐标轴建立坐标系，就是这个样子的，同学们看仔细了.还有这两个比较短的轴我们就叫做短半轴，而两个比较长的轴我们就叫做长半轴.同学们明白了吗？
生：明白了.
【设计思路：让学生对学习的内容产生兴趣，这就需要让学生对椭圆有直观的感受，因此就需要利用数形结合的方式来加深学生的印象，教师在作图的时候，学生也会紧跟着教师的思路，积极思考教师提出的问题，这样就能够大大提升教学效率.】
二、函数与方程思想，简化解题过程
师：我们已经对椭圆的基本性质有了了解，现在同学们来思考一下椭圆的表达式是怎样的呢？椭圆的方程和我们之前学过的哪个图形的表达式比较相近呢？
生：椭圆和之前学过的圆比较相似.
师：没错，在圆中，长轴和短轴是相等的，但是在椭圆中是不相等的，因此我们的椭圆表达式就如下所示，x2a2+y2b2=1（a>b>0），其中c2=a2-b2；y2a2+x2b2=1（a>b>0），其中c2=a2-b2.前一个式子是长轴在x轴上的椭圆的表达式，而第二个式子是长轴在y轴上的表达式，同学们明白了吗？
生：明白.
师：那么接下来老师问同学们一个问题，如果求某条直线和椭圆之间的关系，同学们如何来进行思考呢？想一想直线和椭圆之间的关系和我们之前学过的哪些知识比较相近.
生1：和直线与圆之间的关系比较相近.
师：那我们之前是如何来进行圆与直线之间的关系处理，那么又如何将以前的方法迁移过来呢？
生1：以前是将圆和直线的方程联立起来，建立方程来进行解答，看二者之间的解的个数.
师：说得没错，我们以前就是将几何问题转化为函数方程问题来进行解决，那么我们是否能够将这种函数方程的思想迁移到这里呢？
生1：可以，我们也可以将椭圆的方程与直线的方程联立起来，看解的个数就知道直线与椭圆之间的位置关系.
师：真聪明，要解决直线与方程之间交点问题，需要做的就是联立方程，求共同解，这样就能够很快得出结果.
【设计思路：对学生渗透函数与方程的数学思想，教师并不是立即就告诉学生答案，而是对学生进行引导，将之前学习的知识引申到新的知识点的学习中，这样学生对于新的知识点就能够自然而然地接受，学生以后在进行新的数学问题解决的时候，也学会将以前学过的数学思想借鉴过来.】
三、分类讨论思想，锻炼逻辑思维
师：同学们，我们刚才探究了直线和椭圆之间的问题，那么椭圆和直线之间的关系应该有几种呢？（学生沉默.）
师：那么同学们想一想直线和圆之间的关系有几种呢？
生1：三种，相交，相切以及相离.
师：那么直线和椭圆之间的关系是不是也应该有这三种呢？
生：是的.
师：同学们在看到直线的表达式中含有字母的时候，在探究与椭圆的问题的时候，就需要对字母进行分类讨论，只有通过分类讨论才能够将所有的情况都考虑进来.同学在以后的学习中也需要具备这样一种分类讨论的思想，明白吗？
生：明白.
高中数学直线与圆知识点篇9
关键词：内驱力；圆和圆的位置关系；自主学习
以《圆和圆的位置关系》的教学为例，谈谈我对挖掘学生自主学习的内驱力的认识。
一、问题的提出和指导
在讲《圆和圆的位置关系》时，我设计以下问题系列实现教学目标。
1.问题一：同学们见过月食吗？
问题一提出，学生的思维一下子活跃起来。于是我又请一个学生上来演示月食过程。学生的注意力被吸引过来，经过指点又注意到两圆公共点变化的情况。最后在屏幕上打出两圆各种不同位置关系的图形。
这样以学生熟悉的自然现象为背景，在演示物体相对运动的过程中建立数学模型，提示概念本质，既能提高学生研究的兴趣，又能通过演示形成平面内两圆不同位置关系的感性认识，为下面的学习做好心理上的准备。
2.问题二：根据以上观察，能否制定一个适当的标准，把以上各种关系分为几类？经过短暂思考，有学生甲回答：两圆公共点一共有三种可能，可以按两圆公共点的个数来进行分类。
（1）若两圆没有公共点叫相离；
（2）若两圆只有一个公共点叫相切；
（3）若两圆有两个公共点叫相交。
学生从观察现象到透过现象看本质，是从感性认识到理性认识的一个飞跃。由于已学习过直线和圆的位置关系的划分，尽管还没有给出图中两圆位置关系的定义，但由于知识的迁移作用，学生仍凭经验概括出了上面三种位置关系，我对他们的回答给予高度赏识和鼓励，并为之而欢呼。学生的积极性被调动起来。
3.问题三：讨论上述划分方法的正确性。介绍相切两圆的连心线的性质。
经过这一段讨论，使学生领会：（1）由于过三点不能有两个圆，故两圆公共点的个数最多有两个。类比“直线与圆的位置关系”的划分，这种划分是合理可行的。（2）连心线是两圆的公共对称轴，相切两圆的连心线必过切点。
把“圆与圆的位置关系”与“直线与圆的位置关系”在分类方法上进行类比，既有利于学习新知识，又有助于复习旧知识，便于学生在原有知识的基础上逐步构建出两圆位置关系的定义。
了解了连心线的性质，便为下面的学习做了准备。
4.问题四：大家知道，直线与圆的三种位置中，“连心距”（圆心到直线的距离）和圆的半径之间有明确的数量关系，那么在你们划分的三种“圆与圆的位置关系”中，圆心距和两圆半径之间是否分别具有某种对应的数量关系呢？
学生通过对图形的观察容易发现各种图形下的圆心距和半径的对应数量关系，同时又发现了新的问题：在相切（相离）的两种图形中，圆心距与两圆半径之间有着截然不同的数量关系。即三种位置关系对应着五种数量关系：不像直线与圆那样，位置关系与数量关系一一对应。划分为三种位置关系显然还不够完善。学生提出应该修改标准，把相切（离）的两种情形区别开来，以求位置关系与数量关系之间的一一对应。
5.问题五：如何修正学生甲的定义，实现两种标准的统一？
学生通过上面的讨论已经体会到：从d与R+r和R-r的关系
来看，两圆位置关系分为五类更合适。于是反过来讨论如何修改甲同学的划分标准，使两种方法能达成一致。经过讨论，结合两圆位置特征修改并给出两圆位置关系的定义。
运用两种标准下划分结果不统一的矛盾，诱发了学生的求知欲，激发了学生的探索精神，促使学生在思维不断发展的过程中逐步完成新知识的构建，从而把知识的外部交流形式内化成学生的心理接受过程，学生不再是知识的奴隶，而是知识的主人。
6.问题六：系统归纳各种位置关系与数量关系。
在问题五的研究过程中，逐步系统归纳出五种位置关系与五种数量关系之间的一一对应。
位置关系数量关系
两圆外离d>R+r
两圆外切d=R+r
两圆相交R-r
两圆内切d=R-r
两圆内含d
现实世界由空间形式和数量关系构成，数能解形，形能助数。问题六的研究成果是本节课的目标指向。它以数形结合为指导，以分类讨论为手段，把五种位置关系与五种数量关系建立起一一对应的联系，体现了数学中的“量变”（数量关系）、“质变”（位置关系）规律，实现了数形之间的相互转换。
二、本节课的指导思想
变学生被动吸收知识的过程为在原有基础上主动构建（知识建构、方法建构、思想建构）的过程。结合生活实际，从月食演变的过程出发，设计出一系列的动态思维过程。既提示概念的本质，又培养出学生数学思维的品质。培养学生建构新知识、新方法、新思想的意识，提高学生运用数学思想研究问题、解决问题的能力。
三、本节课对学生自主学习方面的内驱力特征的挖掘
1.思维的发散性
青少年遇到问题善于思考，在思维上的特点是由一点想开去，产生广泛的联想、想象，想到一个问题的许多方面，也能以一个问题想到另一个问题进而把头脑中贮存的信息资料都调动起来。由月食的演变过程进而联想到圆与圆的位置关系。本节课的引入设计正是证明了这一点。
2.具有集合思维能力
有了广泛的发散以后，还要依靠集合思维对发散思维产生的许多方法、观点、方案、想象进行比较、整理、推理、选择，从中确定出最佳方案、最佳方法、最佳观点。学生自主学习的内驱力强烈与否，也表现在该学生的集合思维能力的高低，因为这得完全靠自己动脑思维，重新组装知识，这是一个高能力阶段。本节课正是由月食演变过程先在学生头脑中形成平面内两圆不同位置关系的感性认识，根据已学过的直线与圆的位置关系的划分方法，联想到按公共点的个数来划分圆与圆的位置关系。再引导学生观察图形，通过位置关系和数量关系的讨论，激化出数学中的矛盾，促使学生对上面的划分标准进行修改，最后归纳出五种位置关系与五种数量关系之间的一一对应。
3.高度的自主性体现了“自我充分发展”的需要
一个人总是要根据环境条件和个体生活发展的新需要，引起某种创造的动机，表现出创造的意向和愿望。在《在圆与圆的位置关系》的教学中，学生正是通过自我实现，将自己的数学禀赋、才能充分发挥，实现个人的理想认识。在这种具有自主性和独立性的“自我创造”中，发挥原型启发的作用，豁然贯通，通过联想找到解决问题的新方案，促进自己的不断发现，从而解决关键性的问题。
高中数学直线与圆知识点篇10
关键词：初中数学；圆；综合问题
不知道从什么时候开始，学生学习数学的热情就越来越小了。在小学时期，学习数学经常可以为小学生带来一定的自豪感，但对于初中的学生来说，数学带给他们的是一定的挫败感。初中数学会接触到更多的难点或重点的知识，需要教师和学生一起克服困难进行学习，但在这其中也要求学生有自主学习的能力。本文主要是对圆的综合问题以及它的解答方法进行研究与分析。
一、圆的概述
圆是一种几何图形。根据定义，通常用圆规来画圆。同圆内圆的半径长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。同时，圆又是“正无限多边形”。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就越接近于圆。同其他的图形相比，圆形是一个有规则的图形，在人们生活中随处可见。
二、圆的综合问题和解答方法
1.找到圆的圆心
相比较其他的图形，圆心是圆形特有的标志。因此，教师在进行教学的时候，要先让学生确立圆的圆心，因为要想画好一个圆首先要有一个明确的圆心，通过对圆心的确立，可以判断出任何一个圆都是对称图形。在课堂上，教师在进行讲解时，可以通过游戏的引导，让学生自主发现圆心，这样不仅可以加大学生的学习兴趣，也可以为学生创建快乐的学习环境。例如，教师在上课前让学生准备好圆规、直尺、白纸、铅笔以及橡皮等用品。在课上，教师与学生一起进行绘画，并将画完的圆形沿着一条线进行对折，形成两个完全相同的半圆，然后打开并标记，再进行一次对折并标记。之后，教师向学生展现两处标记的中心点，而这个点就是圆形的中心点。这样，学生也可以自己动手找到圆的圆心。在发现圆的圆心后，可以让学生沿着中心点进行无数次的对折，并且研究它们的规律。自己动手的学习方式可以让学生加深对圆形知识的了解，更为学生建立起一个良好的学习平台。
2.根据中心对称研究问题
经过教师的讲解，学生对圆形的相关知识也有了一个深层次的理解与运用，所以在此基础上，教师应该接着圆形的中心对称性来讲解，并引导学生进一步分析圆形的特点。根据前面学习过的知识可以知道，中心对称图形有一个特点，就是有一个对称中心，并且沿着对称中心进行对折可以将图形分成相等的两部分，所以，按圆心上的任意一条线对折就是圆的直径，它的一半就是半径。同样，任意一条圆的直径都可以平均地把圆分成两个半圆，学生经由中心对称的知识可以认识到圆更深层次的知识。例如，可以将圆形与其他图形相比较，像矩形的中心点，每个中心线分成的形状都不一样，而且对称线也不尽相同；正方形与圆形有相同的地方也有不同的地方，如正方形的四个边是相同的，但它的对称线不相同，但圆的任意一条中心线都可以将圆分成相同的半圆。
3.应用知识解决问题
在了解过圆的性质和特点后，由教师引导学生进行知识的运用和解决问题，通过对实际问题的解决，更进一步加深学生对圆的理解与运用，从而为学生创造一个良好的学习空间。当然，教师也可以将圆形知识与其他几何知识结合到一起，利用不同图形的特点与知识进行分析，培养学生综合运用知识的能力和思考分析能力，也可以提高学生的自主学习能力。教师可以将圆形知识同正方形结合到一起，进行实际问题的解析，如：正方形的周长为24厘米，以其中一个定点为圆心，以正方形的边长为半径画圆，那么这个圆的半径、面积分别是多少？这道题就是将其他的几何图形与圆形结合到一起的问题，只要先求出正方形的边长就能知道圆的半径，就可以根据公式求出圆的面积。结合圆形的特点，由教师进行引导的学习方式，可以有效地提高学生的数学知识理解能力和灵活运用能力，也可以培养学生的自主学习能力，是一套有效的学习方法。
圆形在生活当中随处可见，是一个简单又很复杂的图形。古时候的人们最早接触到的图形就是圆形，像一些图腾的形状、打造石器的形状以及装饰品的形状都接近圆形。在社会的不断发展中，圆的应用也变得越来越多，有的是先人传承下来的，还有的是后人在不断发展中发明出来的。圆不仅装饰了人们的生活，也改变了人们的生活，所以，教学生学习圆形的相关问题，有助于学生运用圆的知识解决生活中的问题。
参考文献：
[1]赵凤梅.初中数学中圆的教学有效实践分析[J].成才之路，2014（34）：75.