高中数学排列组合知识点篇1
关键词：高中数学排列组合学习策略
作为高二阶段的学生，我们已经具备了一定的数学学习基础，并且数学学习兴趣已经得到相应的培养，此时要想进一步提升学习效率和效果，就应该结合自身实际情况积极探索数学学习策略，优化学习方式，有效提升数学学习效率和效果，为自身深入学习数学知识奠定基础。笔者从高中数学排列组合学习策略的探索入手进行分析，希望能够为其他同学提供一定的参考和借鉴。
一、排列组合学习过程中容易出现错误的原因
我们在学习排列组合知识和解决排列组合问题的过程中受到多种因素的影响极易出现错误，对解题效果产生不良影响，所以在总结排列组合学习策略的过程中，首先应该明确学习数学排列组合知识过程中容易出现错误的原因，为学习策略的制定奠定基础。首先，我们在学习过程中没有对排列组合知识中的排列和组合进行明确区分，在研究一个问题属于排列知识体系还是属于组合知识体系时不注意对元素的组成顺序性进行系统分析，影响判断正确率。其次，在解决排列组合问题的过程中存在重复和遗漏现象，影响解题效果。最后，在审题时往往不注意对每一个已知条件进行分析，忽视部分条件，导致解题方向存在错误性，严重限制解题效果。
二、高中数学排列组合学习策略
对高中阶段数学排列组合知识进行学习，要想保证学习效果和解题正确率，就应该对学习策略进行充分分析，掌握解题技巧，切实增强学习效果。下文就结合笔者长时间的学习经验对学习策略的选择进行分析，希望能够为其他学生提供一定的参考。
（一）对排列和组合进行合理区分
对排列和组合和进行合理区分是深入学习排列组合知识的前提条件，在我们学习排列组合相关知识的过程中只有能够明确认识排列和组合并对二者进行区分，才能在解题时探索正确的解题思路，掌握相应解题技巧，有效提升解题效率和效果。例如我们在针对“将完全相同的3个红帽子和5个黑帽子排列成为一排，问存在多种不同排列方法？”等具体问题进行分析的过程中，对排列和组合进行合理分析，就能够寻求正确的解题方向。在解决这一问题的过程中，如果不进行认真审题，就极易将其看作是8个相同帽子的排列，得出错误的结果。实际上在题目中由于3个黑帽子是完全相同的，5个红帽子也是完全相同的，在组合时相同颜色的帽子互换位置，排法是同一种。所以从组合角度对其进行综合分析后能够得出共存在C38=56种。可见只有明确区分排列和组合问题，我们解决排列组合相关问题的正确率才能够得到进一步提升。
（二）熟练掌握三种基本解题方法――插空法、捆绑法、特殊优先法
在学习数学排列组合知识的过程中插空法、捆绑法、特殊优先法是最为基本的解题方法之一，只有掌握这三种解题方法，我们才能够应对复杂多变的排列组合问题，取得良好的学习效果。插空法具体指在数学排列组合知识体系中，由于题目中要求相关元素不相邻，并且被其他元素隔离开，所以在分析问题的过程中应该先将其他元素进行合理排列，然后在将题目中指定不相邻的元素中插入空隙和两端，明确解题思路。捆绑法具体指将几个相邻的元素作为整体进行分析和考虑。而特殊优先法就是在解题过程中对有限制条件的元素进行优先分析。在解决问题的过程中，我们只有对题目进行合理判断并选择合理的解题方式，才能够保证解题的效率和效果，提升排列组合相关知识学习成效。
如例题：班级座位的一个纵列中分别存在6名女生和4名男生，老师在班级管理工作中认为过多的男生挨在一起会影响课堂秩序，因此想将4名男生分开，任何两名男生不能够前后相邻，分析存在多少种不同排列方式？
这一问题与插空法解题方式相适应，从题干中能够看出女生不同的排列方式存在a66种，而在6名女生中，中间产生对空隙和两端总共存在七个位置，此时将4名学生插入到空隙中存在a47种，所以任何两个男生都不相邻的排列方式为a47・a66种。
可见在解题过程中学生合理选择解题方法，能够保证解题正确率。此外需要注意的是，我们在实际应用这三种方式的过程中不能拘泥于哪一种方式，而是应该结合题目进行具体分析，单用一种或者灵活搭配应用不同的方式，只有这样才能够充分发挥出三种方式的作用，增强学生对排列组合知识的学习效果。
（三）联系生活实际解决数学问题
高中数学知识体系中的排列组合知识与我们的生活实际存在紧密的联系，所以要想进一步提升排列m合知识的学习效果，在学习过程中也应该将知识点与生活实际紧密结合在一起，一方面用生活中的知识解决数学问题，另一方面将排列组合知识引入到生活实践中，解决生活中的问题，这样借助加强排列组合知识与学生生活实际的联系，我们在学习过程中能够逐步形成对排列组合知识的深刻认识，并掌握排列组合知识的解题技巧和应用技巧，对我们未来发展产生着一定的积极影响。
三、结语
综上所述，排列组合是高中阶段较为重要的数学知识，我们在学习过程中结合排列组合知识特点合理探索相应的学习策略能够有效提升解题效果，为深入学习相关数学知识提供相应的保障。因此在学习过程中我们应该不断总结学习经验，探索更为科学的学习方法，在深入学习排列组合相关知识的同时为数学学习能力的培养奠定基础。
参考文献：
[1]周海燕.活用生活实例服务高中数学排列组合教学[J].理科考试研究（高中版），2015，（03）.
[2]林子碧.高中数学排列组合中几种常见的数学模型[J].新课程学习・上旬，2014，（08）.
[3]高建军.高中数学排列组合常用的解题思考与实践[J].语数外学习（高中数学教学），2014，（10）.
高中数学排列组合知识点篇2
智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．
据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合p概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．
排
列
、
组
合
概念
从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.
专题一
算法
在解释p1n＝n，c1n＝n（n∈z＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由p1n或c1n组成的算式来解答）．
专题二
排列数公式与计算
专题三
组合数公式、计算与性质??
应用
用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.
专题四
用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．
专题五
用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．
专题六
图1
于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）基本算法规则的掌握（原理与公式）概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．
2．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性
运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．
因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．
排
列
、
组
合
概念
排列、组合的概念
算法
算法原理、计算公式
应用
解排列、组合问题
图2
值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．
3．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性
如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．
按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．
（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．
（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．
（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．
4．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性
我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．
于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：
（1）排列与组合的判定标准（见前文）．
（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．
（3）排列数公式的特征（略）．
（4）组合数与排列数的关系（略）．
（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：
①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．
所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．
②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．
处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．
③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．
解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．
5．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性
智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．
所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．
在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．
为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．
（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．
（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．
一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．
错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．
故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
错解：由分步法得c12c299＝9702（种）．
略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．
参考文献
1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，1990
高中数学排列组合知识点篇3
智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．
据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合p概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．
排
列
、
组
合
概念
从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.
专题一
算法
在解释p1n＝n，C1n＝n（n∈Z＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由p1n或C1n组成的算式来解答）．
专题二
排列数公式与计算
专题三
组合数公式、计算与性质
应用
用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.
专题四
用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．
专题五
用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．
专题六
图1
于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）基本算法规则的掌握（原理与公式）概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．
2．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性
运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．
因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．
排
列
、
组
合
概念
排列、组合的概念
算法
算法原理、计算公式
应用
解排列、组合问题
图2
值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．
3．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性
如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．
按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．
（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．
（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．
（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．
4．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性
我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．
于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：
（1）排列与组合的判定标准（见前文）．
（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．
（3）排列数公式的特征（略）．
（4）组合数与排列数的关系（略）．
（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：
①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．
所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．
②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．
处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．
③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．
解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．
5．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性
智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．
所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．
在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．
为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．
（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．
（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．
一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．
错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．
故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
错解：由分步法得C12C299＝9702（种）．
略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．
参考文献
1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，1990
高中数学排列组合知识点篇4
《基础教育章程改革纲要》指出：“数学教学倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。”由此，小组合作学习应运而生，被教师广泛地应用于课堂教学中。然而，课堂中使用合作学习的方式进行教学虽然呈现了许多精彩，但同时也存在着缺陷，影响教学的质量。下面，我以“排列组合”一课教学为例，谈谈利用小组合作学习提高课堂教学效率的方法。
一、讨论，调动积极性
“兴趣是最好的老师”，如果学生对学习充满兴趣，学习时就不会死气沉沉，而是朝气蓬勃。课堂教学中，激发学生学习兴趣最直接的方法就是调动他们学习的积极性，让他们在学习时能够参与到讨论中来，在讨论时能发表自己的见解，使他们产生成就感、优越感，从而提高课堂教学效率。
例如，在“排列组合”一课教学中，导入新课后，我先根据教材内容提出以下问题：“用数字1、2、3可以摆成几个不同的三位数？”然后根据学生学习水平的不同，安排四个学生组成一个小组，对问题进行讨论。我巡视时发现，每个小组的成员都是先自己思考，把思考的结果记录下来之后，再和小组成员进行激烈的讨论。交流汇报时，有些学生认为可以摆成四个三位数，有些认为可以摆成六个三位数。当学生意见不统一、辩得面红耳赤时，我让他们用数字卡片一一排列出来。排列错误的学生仍然不服气，又亲自动手排列，才发现自己的错误。学生根据小组成员排列错误的情况，又进行分析讨论，明白了在排列时应不漏数、不重复，同时发现了从大到小、从小到大的有序排列规律。所以说，以小组的形式进行合作学习，可以激发学生的学习兴趣，获得良好的教学效果，这样接下来的教学便会顺利许多。
二、探究，培养合作力
学生与学生之间需要合作，教师和学生之间也需要合作。提高学生的学习兴趣，是我们上好每一堂课的关键所在。因此，教师要想方设法，充分利用生活经验来提高学生合作的积极性。当学生的学习兴趣被激发之后，教师要趁热打铁，使学生参与到问题的探究中来，争当发现者、创新者。特别是在差异组合小组中，通过合作学习的形式，更能培养学生的合作能力及团结精神，如优等生“一帮一”带动后进生，共同取得进步。
如在“排列组合”教学的第二个环节中，我根据《喜羊羊与灰太狼》的动画片，设计了以下一个探究活动，培养学生的合作能力：“喜羊羊要过生日了，请小灰灰去它家做客。小灰灰找出自己最喜欢的蓝色、红色上衣和白色、灰色裤子，在搭配时拿不定主意，请同学们根据自己的喜好帮助小灰灰把衣服进行搭配。”优等生和中等生根据前面所学的知识，按照有序排列的规律，很快就把搭配方案拿出来了：蓝色上衣，白色裤子；蓝色上衣，灰色裤子；红色上衣，白色裤子；红色上衣，灰色裤子。完成任务后，优等生和中等生辅导后进生进行探究，不断启发后进生对排列的规律进行思考，找出衣服的搭配方案。
合作学习的形式对后进生的帮助非常大，生生间碰撞出智慧的火花，最后达成共识，得出结论。
三、练习，强化动手力
教育心理学指出：“心情愉快才能发挥学生的最大潜能。”既然学生能在轻松的氛围中把自己的潜能发挥出来，把新的知识点顺利地“拿”下来，那教师何不顺水推舟呢？课堂教学中，教师可设计学生喜欢的练习，使学生在练习时能感受到快乐，教师也可以在学生练习过程发现问题，从而加强训练，巩固学生所学的数学知识，提高他们的数学技能。
在设计练习时，既可以和课堂教学内容相结合，也可以增加一些难度，强化训练学生解决数学问题的能力。如在教学新知识后，为了巩固学生所学的内容，拓展他们的思维，我设计了这样一道题：“用数字3、0、4、8可以构成几个不同的三位数？”此题比前一道题多了一个数字，增加了学生解题的难度，但能有效强化学生的思维能力。在解答过程中，学生各小组互相讨论、取长补短，寻找出了最佳的解题思路。虽然部分学生的答案出现了错解，但我在巡视过程发现，优等生略加点拨后进生“0是不能放在数字的最高位”，此难题便迎刃而解了，使后进生的解题能力也相应得到提高。这样使学生明白合作学习不仅在于方法，更在于彼此的交流与信任。
高中数学排列组合知识点篇5
1．串联情况：排列、组合是概率统计的基础，两者既有联系又有区别．排列与组合的共同点是“从n个不同元素中，任取m个不同元素”；而不同点是排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合是“并成一组（与顺序无关）”．因此，“有序”与“无序”是排列与组合的重要特征．
2．考情分析：在每年的高考中都有考查，通常以客观题出现，常与两个计数原理、概率统计交汇命题，是各地区高考命题的热点．
3．破解技巧：解决排列组合问题时，常用的技巧：
（1）特殊元素（位置）优先安排；
（2）合理分类与准确分步．
4．经典例题：?摇
有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有_______种（用数字作答）．
破解思路本题可以先考虑安排上午的测试项目，再安排下午的测试项目，运用列举法解决．
经典答案记4位同学分别为a、B、C、D，则上午共有a=24种安排方式．不妨先假设上午如表1所示安排方式，
表1
则下午可如下安排：BaDC、BCaD、BCDa、BDaC，CaBD、CaDB、CDaB、CDBa，DaBC、DCaB、DCBa，共11种安排方式．因此，全天共有24×11=264种安排方式．
图1中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（）
图1
a．B．C．D．
破解思路本题主要考查组合、概率知识，破解的关键是审清题意――“五个接收器能同时接收到信号”，即需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，解题中要用到平均分组的计数求法．
经典答案由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有=15种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有=15种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有a=120种，所求的概率是p==，故选D．
1．串联情况：事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念，虽然它们都是针对两个事件而言的，但互斥事件是说两个事件不能同时发生，而相互独立事件可以同时发生，并且一个事件发生与否对另一事件的发生没有影响．互斥事件运用概率的加法公式，而相互独立事件运用概率乘法公式．
2．考情分析：高考试题题中，常常是将互斥事件、相互独立事件等交汇在一起进行考查，主要考查我们的理解辨别能力．
3．破解技巧：解题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的事件类型．
4．经典例题：
甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以a1，a2和a3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_________（写出所有正确结论的编号）．
①p（B）=；②p（Ba1）=；③事件B与事件a1相互独立；④a1，a2，a3是两两互斥的事件；⑤p（B）的值不能确定，因为它与a1，a2，a3中哪一个发生有关．
破解思路本题从概率模型入手考查互斥事件、相互独立事件及条件概率．解题的关键是正确理解题意，明确基本概念的内蕴，把事件B的概率进行转化p（B）=p（Ba1）+p（Ba2）+p（Ba3），可知事件B的概率是确定的．
经典答案易见是两两互斥的事件，而p（B）=p（Ba1）+p（Ba2）+p（Ba3）=×+×+×=．故选②④．
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”．
（1）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试也按同样的方法进行．求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率；
（2）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率．
破解思路第1问首先确定每位测试者抽到一张带“g”卡片的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算；第2问利用互斥事件的概率公式计算．
经典答案（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，所以概率为××＝．
（2）设ai（i＝1，2，3）表示所抽取的三张卡片中，恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为p（ai），则p（a2）＝＝，p（a3）＝＝，因而所求概率为p（a2＋a3）＝p（a2）＋p（a3）＝＋＝．
1．串联情况：两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．
2．考情分析：古典概型是高考重点考查的概率模型，常与计数原理、排列组合结合起来考查；几何概型易与线性规划、定积分等几何知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现．
3．破解技巧：古典模型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，要准确理解基本事件的构成；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
4．经典例题：
已知集合a=｛x－1≤x≤0｝，集合B=｛xax+b•2x－1
（1）若a，b∈n，求a∩B≠的概率；
（2）若a，b∈R，求a∩B=的概率．
破解思路本题以集合为载体，导数为工具，考查两种概率模型的求法．对于（1）要求运用导数知识列举（a，b），再利用古典概型求解；（2）根据条件列出不等式，再用几何概型求解．
经典答案（1）因为a，b∈n，（a，b）可取（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共9组．令函数f（x）=ax+b•2x－1，x∈［－1，0］，则f′（x）=a+bln2•2x．因为a∈［0，2］，b∈［1，3］，所以f′（x）>0，即f（x）在［－1，0］上是单调递增函数．f（x）在［－1，0］上的最小值为－a＋－1．要使a∩B≠，只需－a＋－10．所以（a，b）只能取（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共7组．所以a∩B≠的概率为．
（2）因为a∈［0，2］，b∈［1，3］，所以（a，b）对应的区域是边长为2的正方形（如图2），面积为4．
图2
由（1）可知，要使a∩B=；只需f（x）min=－a+－1≥0?圯2a－b+2≤0，所以满足a∩B=的（a，b）对应的区域是图中的阴影部分．所以S阴影=×1×=，所以a∩B=的概率为p==．
1．串联情况：离散型随机变量及其分布列是高中概率统计的核心内容，要求能写出随机变量的可能取值以及概率分布，要求熟练掌握两点分布、二项分布、超几何分布模型．
2．考情分析：求离散型随机变量的分布列，以及分布列求随机变量的数学期望与方差，特别是二项分布，成为新课程高考内容的重点和必考对象，主要考查我们观察、分析、解决问题的能力以及我们收集、转化、处理信息的能力．
3．破解技巧：解决此类问题时，注意以下几点：（1）离散型随机变量分布列的判断；（2）求离散型随机变量的分布列、期望与方差应用；（3）根据离散型随机变量的分布列求概率；（4）根据离散型随机变量分布列、期望与方差性质求参数．
4．经典例题：
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．
（1）求至少有1人面试合格的概率；
（2）求签约人数ξ的分布列和数学期望．
破解思路本题考查概率、分布列及期望的求解．第1问运用间接法；第2问先确定ξ的取值，再运用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出分布列，进而求得数学期望．
经典答案（1）用a，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知a，B，C相互独立，且p（a）=，p（B）=p（C）=，至少有1人面试合格的概率是1－p（）=1－p（）p（）p（）=1－××=.
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3．p（ξ=0）=p（B）+p（C）+p（）=p（）p（B）p（）+p（）p（）p（C）+p（）p（）p（）=××+××+××=；p（ξ=1）=p（aC）+p（aB）+p（a）=××+××+××=；p（ξ=2）=p（BC）=××=；p（ξ=3）=p（aBC）=××=；所以ξ的分布列是
所以ξ的期望eξ=0×+1×+2×+3×=.
1．串联情况：统计是研究如何收集、整理、分析数据的学科，要求理解抽样方法，体会用样本估计总体及其特征的思想，体会统计思维与确定性思维的差异，能认识变量间的相关关系．统计与概率的相关知识能有机地结合．
2．考情分析：近几年高考试题中设计了许多背景与我们日常生活非常贴近的统计综合题，通过对统计图表分析出来的频率值估算事件发生的概率．概率与统计交汇的考查，主要以课本知识为基础，以统计思想为主线，考查我们分析解决问题的能力．
3．破解技巧：在弄清题意、读懂题目所给图表信息的基础上，建立适当的概率模型、运用有关公式进行求解，要求熟练掌握基础知识和基本方法、理解数据处理的几种基本思想、方法和作用．
4．经典例题：
为调查某市学生百米运动成绩，从该市学生中按照男、女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组［13，14），第二组［14，15），…，第五组［17，18］，图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图．根据有关规定，成绩小于16秒为达标．
（1）用样本估计总体，某班有学生45人，设ξ为达标人数，求ξ的数学期望与方差；
图3
（2）如果男、女生使用相同的达标标准，则男、女生达标情况如表2.
表2
根据上表数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若没有，你能否提出一个更好的解决方法来？
附：K2=
破解思路本题以频率分布直方图为载体，考查运用样本估计总体及其特征的思想．（1）把问题归结为二项分布求解；（2）运用独立性检验原理，判断两个分类变量之间的关系．
经典答案（1）成绩在［13，16）的频率：（0.04+0.18+0.38）×1=0.6，若用样本估计总体，则总体达标的概率为0.6．从而ξ～B（45，0.6），所以eξ=45×0.6=27（人），Dξ=10.8．
（2）
K2=≈8.333，由于K2≈8.333>6.625，故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”，故应根据男、女生性别划分达标的标准．
1．串联情况：新课程高考注重在知识点的交汇处命题，这就为概率的出题提供了空间，概率可以和函数、数列、几何、算法等知识结合．
2．考情分析：“在知识网络交汇处设计试题”是近年高考命题的重要理念．要注意挖掘知识内在联系，领会知识间的自然交汇．
3．破解技巧：在复习备考的过程中，要把握好知识间的纵横联系与整合，打破数学内部章节界限，使自己对所学内容真正融会贯通，运用自如，形成网络化的知识体系．
4．经典例题：
甲、乙两人做射击游戏，甲、乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙两人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击．
（1）求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率；
（2）若第n次由甲射击的概率为an，求数列｛an｝的通项公式，并说明当n趋向于+∞时的实际意义．
破解思路本题以相互独立事件为背景，考查概率与递推数列，由递推关系求得通项公式，运用极限的思想说明问题的实际意义．
经典答案记a为甲射击，B为乙射击，则
（1）前4次射击中甲恰好射击3次可列举为aaaB，aaBa，aBaa，其概率为p=××+××+××=．
（2）“第n+1次由甲射击”这一事件，包括“第n次由甲射击，第n+1次继续由甲射击”及“第n次由乙射击，第n+1次由甲射击”两事件，则有an+1=an+（1－an）=an+，其中a1=1，an+1－=an－，所以数列an－等比数列．所以an=+，当n趋向于+∞时，an趋向于．
实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时，甲、乙两人分别射击的次数接近相等．
甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为pp>，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．若图4为统计这次比赛的局数n和甲、乙各自的总得分数S，t的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．
（1）在图4中，第一、第二两个判断框应分别填写什么条件？
（2）求p的值；
（3）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望eξ．
破解思路本题是概率与算法的综合题．破解的关键是读懂程序框图，结合程序框图求出p值；对于（3）先确定ξ的所有可能值，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，进而求得其分布列及数学期望．
经典答案（1）程序框图中的第一个条件框应填m=2，第二个应填n=6．（答案不唯一．如：第一个条件框填m>1，第二个条件框填n>5，或者第一、第二条件互换，都可以．）
图4
（2）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，所以有p2+（1－p）2=，解得p=或p=．因为p>，所以p=．
（3）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有p（ξ=2）=，p（ξ=4）=1－=，p（ξ=6）=1－•1－•1=．
所以随机变量ξ的分布列为：
故eξ=2×+4×+6×=．
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．
现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=1－a1+2－a2+3－a3+4－a4，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．
（1）写出X的可能值集合．
（2）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列．
（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，
①试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
破解思路本题以绝对值为载体，考查分布列和期望的简单应用以及阅读理解、转化化归能力．（1）X的可能取值集合为｛0，2，4，6，8｝，在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a2，a中的奇数个数等于a，a中的偶数个数，得到1－a1+3－a3与2－a2+4－a4的奇偶性相同；（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的排列，计算每种排列下X的值，算出概率，写出分布列．
（3）将三轮测试都有X≤2的概率记作p，求出概率的值和已知量进行比较，得到结论．
经典答案（1）X的可能值集合为｛0，2，4，6，8｝．在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，因此1－a1+3－a3与2－a2+4－a4的奇偶性相同，从而X=（1－a1+3－a3）+（2－a2+4－a4）必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8，容易举出X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．
（2）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下得到
（3）①首先p（X≤2）=p（X=0）+p（X=2）=，将三轮测试都有X≤2的概率记作p．由上述结果和独立性假设，得p==．②由于p==
1.串联情况：（1）二项分布及其应用主要以条件概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率为载体，综合考查某一事件发生的概率，进而通过计算期望与方差考查总体取值的平均水平和稳定性；（2）正态分布主要考查正态分布的意义和性质，通过把一般正态总体转化为标准正态，常以客观题的形式出现．
2．考情分析：在每年的高考中都有考查，独立重复事件多以解答题的形式出现，而正态分布常出现在客观题中，偶尔也会在解答题中出现.
3.破解技巧：（1）准确判断某随机变量是否服从二项分布，要看两点：①在每次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生；②在每次试验中，事件发生的概率相同．若满足，则在此独立重复试验中以事件发生的次数为随机变量，此时该随机变量服从二项分布．
（2）理解正态分布曲线的意义及性质是解答此类问题的关键：如正态分布密度函数f（x）=e，图象关于直线x=μ对称，均值为μ，方差为σ2等．
4．经典例题：
在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．
（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；
（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望eX．
破解思路恰当地回归到相应的概率模型中去，是解答概率与统计应用问题的突破口.只有找到合适的概率模型，我们才能迅速抓住问题的本质，进而设计相应的解题策略．第1小题考查几何概型的“三维”测度问题；第2小题实际上可转化为独立重复事件的概率；对于第3小题，“落入第一实验区的蜜蜂数”服从二项分布，不必通过列随机变量分布图求数学期望，直接代公式即可．
经典答案（1）记“蜜蜂落入第一实验区”为事件a，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B．依题意，p（a）===，所以p（B）=1－p（a）=，所以蜜蜂落入第二实验区的概率为．
（2）记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C，则p（C）=C××==，所以恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率．
（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X满足二项分布，即X～40，，eX=40×=5
在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布n（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．
（1）此次参赛学生总数约为多少人？
（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表Φ（x0）=p（x
破解思路本小题主要考查正态分布，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．
经典答案（1）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～n（70，100），由条件知，p（ξ≥90）＝1－p（ξ
（2）假定设奖的分数线为x分，则p（ξ≥x）＝1－p（ξ
1．重视对审题能力的培养
概率统计问题，大都以应用题的面目出现，同学们由于审题不够细心而出错的现象比较普遍，出现的错误主要有：主观臆断、混淆事件、重复计算、遗漏条件．因此我们要学会审题，培养自身的阅读理解能力，提高应用数学知识、方法分析问题和解决问题的能力．
高中数学排列组合知识点篇6
【关键词】高中数学课堂；“自然课堂”；方法探讨
数学主要是由各种符号和数字组合而成的，这些都是人们表达对世界的看法的途径.因此，在新课程标准改革的大背景下，高中数学课堂应该回归本真，简化教学环节、教学语言和教学情境等内容，从而提高课堂教学效率.
一、明确教学目标
随着我国教育改革的不断推行，教师对学生的评价方式不断简化，过分重视考试成绩和升学率，忽略了对学生综合能力的培养，违背了教育本质，致使学生在学习的过程中失去本真，面对学生人生的转折点――高考，高中数学教师应对教育现状进行反思，思考如何让学生在提高成绩的同时减轻学习负担，解放他们的天性，尊重学生的个性差异，让他们健康地成长[1].高中数学作为高中阶段的重要科目，要想回归数学的“自然课堂”，教师需要理清知识点之间的脉络关系，设计好有趣而高效的教学环节，制订明确的教学目标，在教学过程中合理引导学生，让他们在宽松的氛围中掌握知识点.例如，在讲“排列组合”的时候，教师不能将眼光局限于教会学生掌握两个排列组合的公式，应该将目光放长远，为学生制订更远大的目标，通过实际案例让学生掌握多种排列组合的方式，并且能够准确地判断选择哪种解题方式.因为排列组合内容比较繁杂，需要较强的空间想象能力，有些学生可能难以理解，教师可以通过实例进行讲解.首先，邀请6名学生站成一排，通过不断地变换位置让学生了解排列组合的概念，然后，根据具体题目做出适当调整，这样可以提高学生的学习兴趣，还能让学生清楚地认识排列组合，通过观察实物掌握多种解题技能，轻松地达成教学目标.
二、精简教学环节
因为学生大部分时间都在学校学习，所以，教师应从学生的情感认知和知识基础等因素着手，让学生体会到学习探究的喜悦.教师应该重视教学环节，注重提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维、增强学生的数学综合能力，还要帮助学生构建数学知识体系，从而提高教学效果，精简教学环节[2].例如，在讲“立体几何”的r候，教师可以借助实践操作来协助教学.因为立体几何需要学生同时具备空间想象能力、逻辑思维能力和各种图形的面积计算公式，对于学生的知识基础要求比较高，教师如果只是通过语言讲解，是无法达到预期的教学效果的，而实践操作可以让图形之间的关系更加直观，学生更易于理解，有利于培养学生的立体感，让学生学会在大脑中构建立体图形，可以简化解题过程和教学环节，不仅能使教学气氛变得轻松，还能让学生享受学习数学的过程.比如，这样一道题目：已知正三棱柱aBC-a1B1C1的底面边长为2，D是CC1的中点，直线aD和侧面BB1C1D所成的角为45度，求直线aD的边长.如果只是根据文字说明，学生可能无法想象出直线aD是哪条线，教师可以指导学生用工具剪出一个正三棱柱的模型，这样就能清楚地看到每一条直线的位置，学生就能顺利地解决问题.
三、简化教学情境
要想真正实现教育目标，学校和教师应该让教学回归本真，不断更新教育理念和教学方法，以促进学生全面发展为终极教学目标，注重提升学生的整体素质，同时还要尊重学生的个性差异，不能压抑学生的天性[3].为了打造高效课堂，教师应借助教学设施创设合理的教学情境，让学生在具体的情境中领悟知识.但创设情境也不能盲目模仿，应根据学生的兴趣和年龄等特点进行综合考量.通过旧知识来引入新知识就是一种情境教学方式，比如，在学习“集合”的时候，教师可以从前面学过的几何图形入手，让学生利用集合的概念来区分正方形、长方形、菱形和圆形等，学生通过自己熟知的事物就可以对交集、并集和子集等概念有更深入的认识，从而更进一步地掌握集合这个概念，对于学习的内容也更容易接受.通过新旧知识的衔接创设教学情境，学生就能理解本堂所学的内容，实现提升教学效率的目标.
四、结语
为了给社会提供更多优秀的人才，教师要努力创新教学方式，帮助学生培养数学思维，提高学生的综合素质.“自然课堂”的应用可以提高课堂教学效率，彰显数学知识的魅力，使数学课堂变得更真实，学生也能掌握更多的知识，对于提升学习效率也是大有帮助.
【参考文献】
[1]陶媛.基于“本真教育”谈新课改下高中数学课堂“回归本真”[J].数学教学与研究，2014，44（05）：18-19.
高中数学排列组合知识点篇7
[关键词]线性代数数学概念教学方法
《线性代数》是高等院校理、工类专业重要的数学基础课。它不但广泛应用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支，而且其知识已渗透到自然科学的其它学科，如工程技术、经济与社会科学等领域。不仅如此，这门课程对提高学生的数学素养、训练与提高学生的抽象思维能力与逻辑推理能力都有重要作用。但由于“线性代数”本身的特点，对其内容学生感到比较抽象，要深入理解与掌握代数的基本概念与基本理论学生感到相当吃力、难以理解。因此，为培养与提高学生应用数学知识、解决实际问题的能力，进一步研究这门课程的教学思想和方法对提高教学效果甚为重要。
一、加强基本概念的教与学
线性代数这一抽象的数学理论和方法体系是由一系列基本概念构成的。行列式、矩阵、逆矩阵、初等矩阵、转置、线性表示、线性相关、特征值与特征向量等抽象概念根植于客观的现实世界，有着深刻的实际背景，即是比较直接抽象的产物。高等数学与初等数学在含义与思维模式上的变化必然会在教学中有所反映。线性代数作为中学代数的继续与提高，与其有着很大不同，这不仅表现在内容上，更重要的是表现在研究的观点和方法上。在研究过程中一再体现由具体事物抽象出一般的概念，再以一般概念回到具体事物去的辨证观点和严格的逻辑推理。新生刚进入大学，其思维方式很难从初等数学的那种直观、简洁的方法上升到线性代数抽象复杂的方式，故思维方式在短期内很难达到线性代数的要求。大部分同学习惯于传统的公式，用公式套题，不习惯于理解定理的实质，用一些已知的定理、性质及结论来推理、解题等。
在概念的教学中，教师要研究概念的认识过程的特点和规律性，根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学方式。因此，在概念教学中应注意以下几点。
1.合理借助概念的直观性
尽管抽象性是《线性代数》这门课的突出特点，直观性教学同样可应用到这门课的教学上，且在教学中占有重要地位。欧拉认为：“数学这门科学，需要观察，也需要实验，模型和图形的广泛应用就是这样的例子。”直观有助于概念的引入和形成。如介绍向量的概念，尽管抽象，但它具有几何直观背景，在二维空间、三维空间中，向量都是有向线段，由此教学中可从向量的几何定义出发讲解抽象到现有形式的过程，降低学生抽象思考的难度。
2.充分利用概念的实际背景和学生的经验
教师在教学中应充分利用学生已有的数学现实和生活经验，引导和启发学生进行概念发现和创造。如在讲解n阶行列式，首先从学生已掌握的二元、三元一次方程组的求解入手，然后求出方程组的解由二阶、三阶行列式表示，分析二阶、三阶行列式的特点。
二阶行列式，不难看出：它含有两项，若不考虑符号，每项均是来自不同行不同列的两个元素的乘积，那么会提出这样的问题：右边各项之前所带的正负号有什么规律？同样的，三阶行列式若不考虑符号，它含有3！=6项，每项也是来自不同行不同列的三个元素的乘积，并且包含了所有由不同行不同列的三个元素的组合。为解决n阶行列式，又引出排列的概念、性质，介绍奇偶排列后，又回到我们提出的问题上，可以发现，行标按自然排列，列标排列为奇排列时，该项为负；列标排列为偶排列时，该项为正（问题得到解决）。经过这一过程，学生对n阶行列式已有接触和了解，此时可给出n阶行列式定义，这样一来，学生就容易理解和掌握n阶行列式的性质了。
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3.注意概念体系的建立
R.斯根普指出：“个别的概念一定要融入与其它概念合成的概念结构中才有效用。”数学中的概念往往不是孤立的，理解概念间的联系既能促进新概念的引入，也有助于接近已学过概念的本质及整个概念体系的建立。如矩阵的秩与向量组的秩的联系：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩；矩阵行(列)满秩，与向量组的线性相关和线性无关也有一定的联系。
二、学生要掌握科学的学习方法
学习重在理解，学生必须在理解、领悟其深刻含义的基础上记忆定义、定理及一些结论，才能收到理想的效果。线性代数的最大特点就是：知识体系是一环扣一环，环环相连的。前面的知识是后面学习的基础，如用初等变换求矩阵的秩熟练与否，直接影响求向量组的秩及极大无关组，进一步影响到求由向量组生成的向量空间的基与维数；又如求解线性方程组的通解熟练与否，会影响到后面特征向量的求解，以及利用正交变换将二次型化为标准型等。因此，学习线性代数，一定要坚持温故而知新的学习方法，及时复习巩固，为此，教师课前的知识回顾以及学生提前预习是十分必要的。
三、加强对学生解题的基本训练
一定量的典型练习题能有助于学生深化对所学知识的理解，培养学生一题多解的能力，解题后反思，及时总结解题思路和方法。如证明抽象矩阵的可逆，就有很多方法，一是用定义。二是用秩的有关命题。三是借助于特征值理论。四是证明矩阵的行列式不为零等。
四、培养与激发学生的学习兴趣
兴趣是最好的老师。教师一方面在传授知识，另一方面要鼓励学生有针对性的设计他们的目标，这样，他们才肯自觉钻研，乐于钻研。同时，课堂教学中可选择近年来研究生入学考题及一些与实际联系较紧的题目讲解或练习，以激发学生的学习欲望，并给他们带来成功的满足。此外，还可以适当介绍一些有趣的应用典范或教学史来激发学生的学习热情，提高他们的学习兴趣。
五、发挥多媒体优势，增强教学效果
多媒体教学成为当前高校教学模式的重要手段。教师只有把传统教学手段、教师自己的特色和多媒体辅助教学三者有机结合起来，才能真正发挥多媒体课堂教学的效果。总之，教师在教学中所做的一切，其目的应在于既教会他们有用的知识，又教会学生有益的思考方式及良好的思维习惯。
参考文献
高中数学排列组合知识点篇8
“一一间隔”是苏教版四年级上册“找规律”中的一个教学内容，这部分内容旨让学生找出间隔排列的两种物体个数之间的关系，发现其排列的特点和规律，学会应用规律解决一些简单的实际问题。
教学片断一：
1.师：同学们，生活中很多物体的排列都是有一定规律的，这节课我们就一起来“找规律”。（揭示课题）
2.师依次出示情境图，图上有小兔和蘑菇（两端都是小兔）、男生和女生（一端男生，一端女生）。
师：你们看到了什么？
生1：一只小兔、一个蘑菇、一只小兔、一个蘑菇……这样依次排列着。
生2：每两个男生中间站着一个女生，每两个女生中间站着一个男生。
师：从数学的角度看，每幅图中的两种物体在排列上有什么相同的地方？
生3：都是一个隔着一个排列的。
生4：每组排列中都有两种物体。
师：像这样的排列，在数学上我们称之为一一间隔排列（板书）。
师：你能用自己的话说一说什么是一一间隔排列吗？
生5：一只小兔、一个蘑菇、一只小兔、一个蘑菇……一个接一个排列。
生6：就是有两种物体，一个隔着一个排列。
师从学生的回答中抓住关键点：两种物体、一个隔着一个（板书）。
3.师：下面的排列是不是一一间隔排列？
出示木桩和篱笆（两端物体相同）图、圆和正方形（两端物体不同）图、不同水果排列图（反例）……
反思：探究，从概念开始。
《数学课程标准》指出：“数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动、有趣的情境。”课始，教师直接出示精心选择的两端相同和两端不同的两个情境图，引导学生从数学的角度进行观察，寻找它们在排列上有什么相同的地方，让学生初步感知一一间隔排列的特点，使学生明确学习目标，有目的地去观察、去思考。在此基础上，教师组织学生观察、比较、辨析提供的三组排列（三种不同情况）是不是一一间隔排列，引导学生逐步积累感性认识，在丰富的实例观察中不断感悟，进一步理解什么是一一间隔排列。
教学片断二：
1.猜一猜。
师：你们觉得一一间隔排列的两种物体，它们的个数之间有怎样的关系？
生1：它们的个数是一样的。
生2：有时候它们的个数不相等，相差1。（学生意见产生分歧）
2.师：一一间隔排列的两种物体在数量上到底有着怎样的关系呢？我们自己来研究一下，好吗？（出示活动要求）
活动要求
独立完成：
（1）画一画，创造一个一一间隔排列，可以用图形、符号、数字等来表示。
（2）看一看，一一间隔排列的两种物体的个数有什么关系？你有什么发现？
小组交流：
（1）说一说你的发现，注意倾听、互相补充，要把话说通顺、说清楚。
如（）和（）一一间隔排列，它们的数量分别是（）和（）。
（2）议一议：发现了什么规律？
3.收集学生的一些创作，然后进行展示。
4.组织交流。
师：你们能将这些排列分成两类吗？（指名分一分）
师（故作疑惑）：咦，你们怎么分得这么快？有什么窍门吗？
生3：根据它们排列的特点来分。
生4：我发现两端物体是一样的话，它们的个数相差1；两端物体不一样的话，它们的个数就相等。
生5：我还发现总个数是单数的，数量就相差1；总个数是双数的，数量就相等。
师：看来，同学们都抓住了事物排列的特点。
根据学生回答板书：两端相同数量相差1
两端不同数量相等
5.引导学生认识：两端相同时，两端物体比中间物体多1。
师：两端物体相同的排列，数量相差1，那究竟谁比谁多1呢？为什么多1？
生6：一只小兔和一个蘑菇为一组，一组一组看，最后还多出一只兔子，所以兔子比蘑菇多1。
生7：我发现每两只兔子中间有1个蘑菇，所以兔子比蘑菇多1。
师通过多媒体演示一一对应：两端物体比中间物体多1。
6.师：两端不同的两种物体的数量相等，你们又是怎么看出来的？
生8：一个男生和一个女生为一组，正好有这样的四组，所以男女生人数相等。
师通过多媒体演示一组一组排列：两端不同，两种物体数量相等。
师：同学们真棒，不仅有一双灵巧的手，还很会思考，发现了一一间隔排列的特点和规律。
……
反思：发现，从探索中来。
上述教学，教师由猜测“你们觉得一一间隔排列的两种物体，它们的个数之间有怎样的关系”引入，使学生意见出现分歧，引发学生产生探究的欲望和兴趣。苏霍姆林斯基说过：“在讲课的时候，有经验的老师往往只是微微打开一扇通向一望无际的知识原野的窗子。”上述教学中，教师没有及时揭示一一间隔排列的两种物体个数之间的关系，而是引入“创造一一间隔排列”这一探究活动，为学生搭建一个自主学习、合作交流的平台，精心设计了准而精的导学单。在导学单的引领下，学生通过自主创作、小组讨论、集体交流、思考反馈等方式，逐步发现、归纳出一一间隔排列的规律，既突出了“找”的过程，又增强了学生探索、研究问题的兴趣。在这一活动过程中，既凸显了一一间隔排列的实质，又使学生不断经历规律的再认识过程，促进了自身对一一间隔排列的特点和规律的认识。
教学片断三：
1.辨析：下面提供的这些材料是否能组成一一间隔排列？
（1）10根小棒，9个圆片。
师：可以怎么排列？
（2）50面红旗，40面黄旗。
师：为什么不能？
（3）5个男生，5个女生。
2.排队游戏，深化认识。
师：5个男生、5个女生可以怎样排列？
师：请同学们想一想，除了像这样排成一列，还可以怎么排也是一一间隔排列？
生：围成一个圈。（师组织学生进行讨论）
（1）现在围成一圈，男生和女生是不是一一间隔排列？围成一圈时，男生和女生的人数怎样？（相等）
（2）刚才我们是由这样一个队伍（多媒体出示）围成一圈的，队伍的两端分别是一个男生和一个女生（多媒体动态演示围成一个圆）。
（3）思考：如果两端都是男生（多媒体出示），这一队伍围成一圈后还是一一间隔排列吗？为什么？（多媒体动态演示男女生围成一个圆）
（4）怎样可以使他们成为一一间隔排列？
生1：可以去掉一个男生。
生2：可以在两个男生中间再插入一个女生。
根据学生的回答多媒体适时演示：当两种物体围成一圈时，两种物体的数量相等。
师（追问）：如果有20个男生围成一圈，在每两个男生中间插入一个女生，共能插入几个女生？100个男生呢？
3.师：同学们，通过刚才的活动，我们认识了排成一列或围成一圈的一一间隔排列的规律。那么，在生活中，你还能找到一一间隔排列的物体吗？
生3：我们教室里的课桌和椅子是一一间隔排列的。
生4：马路边的路灯和广告牌也是一一间隔排列的。
生5：钟面上的数字和数字之间的空当也是一一间隔排列的。
生6：我衣服上的条文（一条红色、一条黄色）也是一一间隔排列的。
……
4.出示电线杆与广告牌、柳树与杨树、手指与指缝、锯木头现象、爬楼梯等图。
师：你们能看出每一幅图中谁和谁一一间隔排列吗？（指名口答）
师：在这些一一间隔排列的现象中，还藏着数学问题要考考同学们呢！
（学生练习，应用一一间隔排列的规律解决实际问题，略）
……
反思：深化，在思辨交流中实现。
高中数学排列组合知识点篇9
关键词：排序；程序设计；数据结构；算法
中图分类号：G642.4文献标志码：a文章编号：1674-9324（2017）29-0194-02
一、引言
排序在现实生活中有非常重要的作用，许多场合，例如购物和数据分析都涉及对数据的排序。对于《程序设计》和《数据结构》这两门课程，“排序”都是一个非常重要的教学内容。排序算法实现的细节涉及的知识较多，包含变量、数组、选择结构、循环结构、数据交换与输入输出等，因而是课程教学的重点和难点。学生理解和掌握“排序”需要扎实的程序设计基础和良好的计算思维，教师讲授清楚“排序”则需要恰当的教学方法和丰富的教学设计，单单靠解释代码与演示排序过程不能达到良好的授课效果。许多文献如探讨了排序算法的教学策略。笔者在上海电机学院承担《软件开发基础Java》和《数据结构Java》两门课程，在“排序”章节的教学中，从概念引入、算法讲解、案例分析到课后实践等各环节，开展了和传统方式不同的教学方法和教学设计。本文以选择排序为例，探究了这种教学模式的有效性，希望为这一重要知识点的教学提供全新的思路。
二、概念引入设计
“排序”一节的知识理论上比较枯燥，排序算法比较多，各种排序算法的实现、区别和优缺点不容易理解。学生往往在学习时兴趣不高，对于算法代码、复杂度和稳定性等分析往往处于机械记忆，不能达到熟练应用的程度。让学生对这一知识点产生兴趣，并借助兴趣提高学习效果是概念引入环节的一个重要考虑。笔者在本章节开始时，提出三个生活中的实际例子供学生思考：①网购时经常按价格或销量的高低选择产品，网站如何快速实现海量商品信息的排序？②如何对学生的成绩按照某一学科或平均分排序？③打扑克牌抓牌时，手里的牌如何排放？学生往往在听到这三个例子后会引发短暂的思考，突然意识到排序这一问题并不抽象，出现在生活的方方面面，而且非常重要，愿意了解相关技术细节。
三、算法讲解设计
在讲解排序算法前，该先让学生理解算法的主要思想。“选择排序”的思路很简单，即“拔大个”，每次在无序范围找出最大的，交换到无序范围的一端，无序区逐渐缩短，直到整个序列有序。在解释时，采取一边口述原理，一边在黑板上对一个序列进行相应操作的方式可以让学生非常直观的了解这一非常接近手工排序的算法的基本原理。在讲解完原理后，让学生对一个序列用该方法手工排序，加深对算法的理解，体会算法的自然性。然后就可以按照传统的做法，进行动画演示，先演示逐步排序的动画，再进一步演示逐趟的排序，最后自动演示一个完整的排序，让学生对算法的印象更深刻。对于动画的选择，可以采用传统的ppt动画、Flas和Gif动画等，甚至可以播放一些真人模拟排序过程的视频，提高课堂的活跃气氛和学生的兴趣。然后给出用编程语言，如Java语言描述的算法代码。排序是一个比较复杂的问题，在实际应用中远非对一组整数或浮点数进行排序那样简单。例如对商品，可以根据销量排序，可以根据价格排序，可以根据好评率排序等。因而理论上讲应该定义类描述待排序的物体，类中包含多个成员变量描述物体的不同属性，即排序的键值，排序时选择其中一个作为主键值，对多个对象进行排序。这样做虽然提高了程序的功能和通用性，但大大提高了代码的复杂性和实现算法的难度，让教学的重心从算法的核心思想分散到类与对象的操作，不利于让学生在短时间内快速而透彻的理解算法自身。因而可以采取简化策略，即使使用面向对象的程序设计语言，也将问题简化到只对一个整型数组进行排序，将所有其他复杂因素排除，将教学集中于算法的本质。在讲解代码前，可以先隐去最关键的部分，如循环体等，让学生根据算法的原理自行补充。这一环节的一个难点是设计的程序设计语言细节较多，如数组、选择结构、循环结构和数据交换等。对于《程序设计》这门课，排序的内容一般安排在学习数组时，此时学生对数组尚未完全掌握和理解，用数组实现排序算法比较有挑战性。对于《数据结构》这门课，学生可能对相关知识有所遗忘。程度一般的学生可以先用自然语言或伪代码书写，再翻译为编程语言，程度好的可以直接用编程语言书写。如果学生普遍不能写出，还可以对隐去的每一句代码都加一个注释，让学生将注释翻译为代码。最后再公布参考代码，供学生纠错。排序算法的实现通常有多种，对从小到大进行的选择排序而言，每次可以将最小的数据交换到无序区间的左侧，也可以将最大的数据交换到无序区间的右侧。在用二重循环实现算法时，内外循环的循环控制变量可以表示多重意义，例如外层循环控制变量可以表示无序区间的左端点、右端点、第几轮排序等，对每一种不同的变量意义，变量的初始值、循环条件、迭代方式和循环体可能都有区别。在代码实现这一环节，应鼓励学生用不同的方式去实现同一个算法，进一步加强学生程序设计的能力。最后是对算法的分析。对于选择排序，从算法每次选择最值再交换的做法能够简单地得到算法的时空复杂度。而对于算法的稳定性，从选择排序存在非相邻数据的交换过程也不难引导学生分析出这一算法是不稳定的。
四、案例分析设计
在完整讲解算法之后，使用一些案例演示排序算法能进一步增强学生对算法的理解。在选择实例时，数据应该丰富且量足够大，包含随机生成的数据、从小到大排好的数据、从大到小排好的数据等各种情况。每一轮排序后，输出当前的结果，并在结束时输出数据总量和所用时间。接下来可以将案例进行拓展，由数值排序引申到字符排序，因为字符的本质就是数值（Unicode或aSCii等），对字符排序既是对字符编码的数值进行排序，因而“选择排序”算法可以几乎不加修改地用于对单个字符排序。然后可以将排序的方式引申为对二维数组，例如像excel表中按照最后一列排序。学生很自然地容易想到，在排序时，只对最后一列数据进行最值的选择，交换时整行数据都交换。但这样做显然数据的移动量较大，降低了速度，耗费了内存。这时可以启发学生注意最后一列的排序结果影响的是二维数组行的排列，即行序号的重排。那么在排序时可以暂时忽略其他列，对行序号和最后一列构成的二维数组按照最后一列的数据进行选择排序，每次交换都交换一整行，得到的行序号最终重排结果就是原二维数组每行的最终排列顺序。只要按照这个顺序重新排列各行就可以得到排序后的二维数组。这样做的好处是，无论该二维数组有多少列，排序过程都只对两列数据进行，时空复杂度都只和行数有关。
五、n后实践设计
由于课堂时间有限，排序算法众多，需要学生通过课外加以扩展。可以让学生修改程序，每次随机生成大量数据，然后分别用不同的排序方法排序，统计每种方法的运行时间，画出曲线图以观察各算法的时间复杂度的实际差异是否符合理论差异。还可以通过不断增加数据量，画出曲线图以观察一种算法的运行时间随数据量的变化是否符合该算法的时间复杂度。另外，对于前面提到的用类定义包含多个键值的对象，再选定主键对对象进行排序的问题，也可以作为课后扩展作业。如果讲授过图形界面制作的相关知识，还可以让学生设计一个简单的排序系统，模拟购物场景中按多种标准对商品进行排序。
六、总结
本文以“选择排序”算法为例，探讨了在《程序设计》和《数据结构》两门课程中排序这一重难点的教学策略，介绍了在教学过程中从概念引入、算法讲解、案例分析到课后实践等各环节的教学方法和教学设计问题。本文希望通过这种授课方式提高重要知识点的教学效果，提高学生的理解和应用能力，进而提升课程的整体教学质量，为相关课程建设做出理论铺垫和实践探索。
参考文献：
[1]马秀荣.《C程序设计》中选择法排序教学方法的探讨[J].佳木斯教育学院学报，2010，01：115-116.
[2]程妮.C语言中冒泡排序算法的教学设计与分析[J].现代计算机（专业版），2016，10：59-63.
[3]刘建科，冯媛媛.快速排序算法的教学要点与方法探讨[J].电脑知识与技术，2016，17：117-118.
[4]王洋.基于动态可视化分析的冒泡排序程序设计的探究式教学方法[J].教育教学论坛，2016，41：257-258.
高中数学排列组合知识点篇10
关键词：概率统计教学；古典概型；等可能；排列组合
随着概率统计知识越来越受重视，对学校教育工作者的要求也越来越大。因此，对概率统计的教学提出了更高的要求，需要教育工作者具有扎实的专业知识，能够自主处理概率统计教学中存在的古典概型问题，并且提出更好的概率统计教学的策略与方案。
一、古典概型问题
古典概型是高中数学（必修3）中的内容。在古典概型的学习中，学生经常会出现理解性的偏差。比如说：先后掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”三种结果，问：“这个命题是否正确？”很多学生都认为这个命题错误，听其原因是先后掷两枚硬币，还有一种结果是“一反一正”，总共有四种结果。通过学生的回答我们可以看到在学生寻找基本事件的时候存在一个误区，认为“一正一反”和“一反一正”是以顺序来做区别。认真思考一下，当我们同时掷两枚硬币时，出现的结果也是一样的，“两个正面”，“两个反面”“一正一反”“一反一正”四种结果。由此可以看出不能以顺序来做区分。其实这个命题是正确的。基本事件是随机试验的每一个可能的结果。如果作为一个基本事件空间，那么出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”三种结果是正确的。如果这个题目做一个修改：先后掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”三种等可能的结果。那么这个命题就一定是错误的，因为出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种的可能性是不同的，出现“两个正面”概率为，出现“两个反面”的概率为，但是出现“一正一反”的概率为，明显不是等可能的。出现基本事件空间与古典概型的定义混淆性错误的原因是学生对古典概型的定义和基本事件空间的理解不透彻。随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它的特点是任何两个基本事件互斥，任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。基本事件又称为样本点，基本事件的全体称作样本空间，通常用字母Ω表示。在判断是否为古典概型时，则要注意其基本事件必须是有限个，并且要求每个基本事件是等可能的。
有的学生对于古典概型的概率计算也存在着理解性偏差，比如说：学生在计算古典概型的概率时，会将基本事件空间混淆，用不在同一基本事件空间中的基本事件总数和事件a所含的基本事件数进行计算。
根据这个现象我们来理解一下古典概型概率的计算公式：事件a的概率p（a）=，其中n是基本事件总数，m是a包含的基本事件的个数。
例.我从1，2，3，…，10这10个数字中随机取出一个数，求取到的这个数为偶数的概率。
解1.设事件a为取到这个数为偶数，所以随机抽取一个数的基本事件都是等可能的，那么出现的基本事件空间是1，2，…，10，即总数n=10，又因为事件a为取到这个数为偶数，则满足要求的基本事件有m=5个，分别是2，4，6，8，10。故p（a）===。
解2.把随机抽取一个数的所有等可能性结果取为：事件a为取到这个数为偶数；事件B为取到这个数为奇数。则此时m=1，n=2，故p（a）==。
通过这两种解法我们可以知道对同一个古典概型问题，可以选择不同的基本事件空间，只要满足古典概型的特点每个基本事件都是等可能的，结果都是一样的。
二、排列组合问题
为什么要提到排列组合？要计算古典概型的概率，我们很多时候要通过排列组合来计算它的基本事件总数和事件a所含的基本事件数，因此我们必须来讨论如何理解排列组合问题，首先我们讨论如何理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
1.分类加法计数原理
如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能完成这件事，那么完成这件事共有n=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步乘法计数原理
如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有n=m1×m2×…×mn种不同的方法。
根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，可以看出两个数学道理，其一：从不影响点入手；其二：看事件是否完成。
通过以下例子来说明这两个数学道理：
我们知道分类加法计数原理和分步乘法计数原理中，如果分别有3个地点a、B、C，我要从a地到C达地，则必须先经过B地，此时，a地到B地有两条路线，B地到C地有三条路线，那么这个时候我们可以发现，a地到B地的路线是不会影响B地到C地的路线，这就是说当我们在选择判断使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，可以依据前后不会影响的点入手。
例.有4封信，扔到3个邮筒中有多种方法？
依据从不影响点入手来考虑这个例题，当我从信来考虑时，我的这一封信扔到哪个邮筒是不会影响到我的下一封信扔到哪个邮筒。换个角度思考，如果当我从邮筒来考虑时，我的这一个邮筒放了几封信是会影响到我的下一个邮筒放了几封信的。那么此时，我们要解决这个题目，应该从不影响的点入手会更加容易。
通过不影响的数学道理，我们已经找到了很好的入手点，那么要解决这个问题还需要看该事件是否完成。
例如，现在分别有3个地点a、B、C，一个人要从a地到达B地，再到达C地，此时，a地到B地有两条路线，B地到C地有三条路线。当这个人从a地到达B地时，可以知道这个事件还没有完成，因此，通过这个例子能够得到分类加法计数原理和分步乘法计数原理的本质区别，以事件的完成与否去理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
如果这事件完成，则选择分类加法计数原理，将所有完成事件的次数加起来；
如果这事件并未完成，则选择分步乘法计数原理，将每一步的次数乘起来。
依据分类加法计数原理和分步乘法计数原理接着解决例题中的问题，通过不影响点入手，我们已经知道，此题需要从信的角度去考虑，总共有4封信，第一封信扔到邮筒有3种可能性（第一封信扔到邮筒可以知道这个事件并未完成），第二封信扔到邮筒有3种可能性（第二封信扔到邮筒可以知道这个事件并未完成），第三封信扔到邮筒有3种可能性（第三封信扔到邮筒可以知道这个事件并未完成），第四封信扔到邮筒有3种可能性，只有到最后一封信扔到邮筒这个事件才算完成，那么此时我们选择分步乘法计数原理，将每一封信的所有可能性乘起来，即3×3×3×3=81。
排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。用符号am
n表示排列的个数时，有
am
n=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=
根据排列的定义，一个排列包含两个方面的意义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排列”。因此，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同。
组合：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素，不论次序地构成一组，称为一个组合。我们用符号Cm
n表示所有不同的组合个数，称Cm
n为从n个不同的元素中取m个元素的组合数。
组合数公式：Cm
n=，0≤m≤n
抽取元素时不考虑顺序，像这样的问题称为组合问题。
排列与组合的相同点都是从n个不同元素中取m个元素，元素无重复。不同点是组合与顺序无关，排列与顺序有关。两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同。
总之，了解并处理学生在学习古典概型中出现的误区，帮助学生理清基本事件不一定是要等可能的，同时在使用古典概型的概率计算公式时，前提必须在同一个基本事件空间中。对于理解排列组合问题，通过两个方面从不影响点入手及看事件是否完成来判断选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理。依据求同求异的思想，排列与组合都有组合的思想，排列中是先组合后全排列，从而得出解排列组合题的三个步骤：分类，先计算数目多的或有条件限制的，先考虑如何取再考虑如何排。
参考文献：
[1]王亮.中学数学中概率统计教学问题研究[D].辽宁师范大学，2007（06）.