高三数学数列求和篇1
要想灵活应对数列的拔高问题，解决问题的思想方法很重要。针对数列是一种特殊的函数，我们要把研究函数的思想方法迁移到数列中。
从一次函数角度研究等差数列的通项公式，挖掘公差与一次项系数的关系；从二次函数特征观察等差数列的前n项和公式，根据一个数列的前n项和的表达式，判断该数列是否为等差数列；从指数型函数形式对比等比数列通项公式，研究等比数列的递增和递减规律，并强调公比不能是0。在研究问题时，在考虑一般情况的同时，也不能忽略特殊情况。尤其是常数列和数列通项公式是分段函数这两种形式。另外，根据函数单调性求最值，放缩法证明不等式，这些方法也经常被应用到解决数列问题中。下面我就求数列通项公式及前n项和两个方面谈几种方法。
一、求数列通项公式
求数列通项公式，常见类型有三种：
第一类问题是利用公式求通项。
（一）根据等差数列定义或等差中项公式，判断该数列是等差数列，直接代入等差数列通项公式求通项。
（二）根据等比数列定义或利用等比中项公式，判断该数列是等比数列，直接代入等比数列通项公式求通项。
第二类是根据数列的递推关系式求通项。
二、求数列前n项和
在数列求和中，常用的方法有以下六种：
（一）公式法。如果数列是等差等比，则直接代入公式即可。
以上这些是在解决数列问题时，具体在求一些数列的通项公式及求它们的前n项和中，经常用到的方法。在解决数列问题时，只有掌握这些方法，才能做到融会贯通，游刃有余。
三、总结
近几年，高考数学中的数列问题一直作为一个考试的热点，虽然很多数学老师在数列解题上有一些独到的见解，但大多数局限于具体题目的讲解和分析，系统性不强，分析点也不全面。本文首先介绍了高中数列相关的基础知识，在以高考为背景的前提下，分析了数列在高中数学中的重要性，系统阐述了从小学到高中数学中数列循序渐进的过程。在案例部分，对高中数学中的数列问题进行了全面的概括，将常见的数列问题进行了一一分析。主要涉及：（一）求数列通项公式常见的三种类型：第一类问题是利用公式求通项，第二类是根据数列的递推关系式求通项，第三类是根据混合递推关系式求通项。（二）求数列前n项和，常用的方法有以下六种：一是公式法，二是倒序相加法，三是错位相减法，四是裂项相消法，五是分组转化求和法，六是并项求和法。并针对以上问题进行归类总结，给出针对高考数列解题的策略和建议。将近几年来高等数学的思想、方法和观念在高中数学中逐步渗透，并积极探讨，进一步说明了高中数学中数列学习和应用的必要性。本文对高中数学中的数列问题的分析是笔者在教学期间实践研究的初步成果，希望广大同仁对本文提出宝贵意见，将有助于进一步促进该领域的教学研究，笔者在今后的工作中也会不断实践，继续进行不懈研究。
参考文献：
高三数学数列求和篇2
关键词函数；等差数列；数据研究；一次函数
函数在高中阶段非常重要的一个数学阶段，它贯穿于整个高中数学课程中。用函数思想解决有些问题要比用普通方法简单、轻松。在日常教学过程中，教师和学生都应不断挖掘数学学习中蕴含的函数思想，从而更深刻地理解函数概念。一、函数、等差数列“牵手”
函数是贯穿整个高中数学课程的一条主线，这条主线链接着高中数学课程的许多内容，来分析如下教学案例。在高三这个阶段，同学们已学习了数列的基本知识和基础函数的应用，其实函数和数列存在着千丝万缕的联系。那么我们可以尝试将等差数列和一次函数结合起来，在等差数列中我们通常用通项公式来求数列的相关量，而等差数列{an}的通项公式为（nR），an可以看做n的一次函数（特殊地，d=0为常数函数），也就是说数列可以直接看成特殊的函数，那么在数列中很多问题都可以应用函数来解决了。
例一：
（1）求等差数列8，5，2，...的第20项。
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，...的项？如果是，是第几项？
解：（1）因为（1，8）、（2，5）、（20，a20）是同一直线上的点。所以，解之得a20=-49
（2）由题意可知，所求问题就是求n是否为正整数的问题。因为（1，-5）、（2，-9）、（n，-401）是同一直线上的点。所以，解之得n=100。故-401是这个数列的第100项。
总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。
数列是一种特殊的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值就是数列。差数列会是什么样的函数，首先研究等差数列的通项公式，因为它体现了数列的项与项数的对应关系在等差数列{an}中，公差为d（d是常数）。当d≠0时，其通项公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），f（n）=dn+（a1-d），是关于自变量n的一次函数。所以，通项an可以写成关于n的一次函数形式是an成等差数列的充要条件。当d=0时，an=a1，而一次函数要求一次项的系数一定不为0，所以当d=0时，an不是关于n的一次函数.只有在d≠0时，才可以进行刚才的研究。但不管公差d是否等于0，我们都可以认为an分布在一条直线上，d相当于该直线的斜率，这样就得到d≠0时，an是关于n的一次函数，这实际就是是在用函数思想来研究数列。
二、等差数列的通项公式
例二：数列an是等差数列的充要条件是它的通项an可以写成关于n的一次函数的形式。若an是等差数列，公差为d，an是关于n的一次函数。若an可以写成关于n的一次函数，即：an=an+B（a、B为常数）则：an+1-an=〔a（n+1）+B〕-（an+B）=a所以an是以a为公差的等差数列
根据一次函数的图象是一条直线知：等差数列an中的任三点（m，am）（p，ap）（q，ap）共线。已知等差数列（an）和第n项为1997，第1997项为n，求数列的第n+2000项。解：因为{an}是等差数列，所以点（n，1997）（1997，n）（n+2000，an+2000）三点共线，所以an+2000=-3。
例三：已知当x=5时，二次函数f（x）=ax2+bx取得最小值，等差数列{an}的前n项和Sn=f（n），a2=-7。求数列{an}的通项公式。
解：因为S2=a2+a1
a1=S1=f（1）=a+b
S2=f（2）=4a+2b
所以a2=S2-S1=S2-a1=4a+2b-a-b=3a+b=-7
又因为
当x=5时f（x）=ax2+bx有极小值
所以可推算出
函数f（x）与x轴交点在0，10处及x1=x2=10
有10a+b=0与3a+b=-7联立解得：a=1，b=-10
那么数列的通项公式为：an=Sn-Sn-1=n^2-10n-[（n-1）^2-10（n-1）]=2n-11
三、等差数列的前n项和公式
在掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质以后，要进一步研究等差数列的前n项和公式。而在解决函数问题时我们通常选择画图，如果将前n项和公式也看成一个特殊函数，利用图像来解决问题，是不是会更简单呢？
例四：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S90，则此等差数列的前n项和中n是多少时取得最小值？
分析：等差数列前n项和Sn是关于n的二次函数，常数项为0，因此函数的图象是过原点的抛物线上横坐标为自然数的点。由题意可知该数列公差大于0。如图1对应的抛物线，开口向上，与横轴的一个交点的横坐标为0，另一个交点的横坐标在区间（9，10）内，可见其顶点横坐标在区间（4.5，5）内，故当n=5时，Sn最小。
高三数学数列求和篇3
一、原题展示
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10
（i）求数列{an}的通项公式;
（ii）求数列
的前n项和。
二、试题背景及试题分析
数列是高中数学的重要内容之一，其中数列的求和是重点，也是难点，在历年的高考中都占有较重要的地位。
高考主要考查数列通项公式及前n项和公式等基本公式和性质的灵活应用，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，对考生能力的要求比较高。考题一般属于中、高难度的题目。
本试题考查的内容是求数列通项公式及求数列和，难度中等，涉及到的主要知识点有等差数列的通项公式和差比数列的求和，这些知识点属于掌握层次。
三、解题过程
（i）解题过程略，易得an=2-n。
（ii）方法一：错位相减法
解：设数列
的前n项和为，即
sn=a1++...+……①
从而
=++...+……②
当n>1时，①-②得：
=a1++...+-
=1-（++...+）-
所以
综上，数列
的前n项和sn=
解题思路说明及反思：错位相减法是数列求和的一种常用方法，应用于求差比数列和。形如数列cn（其中cn=an.bn），an为等差数列，bn为等比数列。具体求法是：列出sn=a1+a2+a3+...+an，再把等式两端同时乘或除以等比数列的公比，然后错一位，两式相减，再利用等比数列求和公式即可求解。本解法的优点是思路清晰，方法较易掌握;缺点是计算量一般较大，如果学生在细节处没有处理好容易出现错误，在讲解时要特别强调细节。
方法二：裂项相消法
解：令an=2-n=2（Cn+D）=[C（n+1）+D]
可得C=-1，D=3
则bn==-
sn=b1+b2+b3+...+bn
=0-（-1）+（-1）-（-）+（-）-（-）+（-）-（-）+...+-=
综上，数列
的前n项和sn=
解题思路说明及反思：裂项相消法也是数列求和的常用方法，但一般我们用来处理类似an=或an=等类型问题。其实，差比数列的前n项和问题也可利用裂项相消法来解决。只需将差比数列cn（其中cn=（an+B）・qn-1）中的等差部分an=an+B构造成（Cn+D）-[C（n+1）+D]（其中q为等比数列bn的公比C=，D=（B+C），C和D的值也可由待定系数法求出），再列出sn=c1+c2+...+cn，将cn裂成即可消去中间各项，并计算出结果。本解法的优点是计算量小，准确率高;缺点是做法思路较难想到，需经过训练才能掌握。
方法三：导数法
解：由（i）得bn=（2-n）・（）n-1=（）n-2-n・（）n-1
sn=[2+1++...+（）n-2]-[1+2・+3・2+...+n・（）n-1]
设tn=[1+2・+3・（）2+...+n・（）n-1]
令=x
则tn=[1+2・x+3・x2+...+n・xn-1]
tn=（x+x2+x3+...+xn）'=[]'=
将x换为
tn=
Sn=4[1-（）n]-=
综上，数列
的前n项和Sn=
解题思路说明及反思：数列是特殊的函数，因而数列问题可以利用解决函数问题的思路和方法解决，但是由于数列作为特殊函数，其定义域有一定的特殊性，因而在解决数列问题（特别是数列最值问题）时，导数法或其他解决函数问题的方法在运用时要特别谨慎。本题所用到的导数法较为特殊，所有差比数列的求和问题都可以化为1+2・x+3x2+...+n・xn-1（x为等比数列bn的公比）与其他式子的和、差、积的形式。所以，我们由1+2・x+3x2+...+n・xn-1可联想到其为（x+x2+x3+...+xn）'，只需计算出
高三数学数列求和篇4
高考二轮数学复习：三角函数与平面向量
1.三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一.近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等.高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置.无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%.
2.平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.
1.2011年高考试题预测
(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势，以下仍是今后高考的主要内容：
①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.
②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式，再研究其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asin
x+bcos
x的常考内容.
③通过实际背景考查同学们的数学建模能力和数学应用意识.
高考二轮复习数学考点突破之数列
1.本专题是高中数学的重要内容之一，在高考试题中一般有2～3个题
(1～2个选择、填空题，1个解答题)，共计20分左右，约占总分的13%.选择题、填空题的难度一般是中等，解答题时常会出现与函数、三角、不等式等知识交汇的问题，故多为中等偏上乃至较难的问题.
2.数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏，有关数列的试题一般是综合题，经常把数列与不等式的知识综合起来考查，也常把数列与数学归纳法综合在一起考查.探索性问题是高考的热点，常有数列解答题中出现.
高三数学数列求和篇5
【关键词】数列求和常用方法高考难点高考教学
【中图分类号】G632【文献标识码】a【文章编号】1674-4810（2012）24-0149-01
数列求和是高中数学的一个重点，也是高考的难点，纵观山西省近几年高考数学的最后一题，都是数列与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的压轴题，因此搞好数列求和的学习是非常重要的，经过整理，常见的数列求和的方法有四种：
一常用公式法
直接利用公式求和是数列求和最基本的方法。常用的数列求和公式有：
Sn==na1+d（为等差数列）
Sn==（q≠1）或sn=na1（q=1）
（为等比数列）
二乘比错位相减法
对于数列，若an=bn·cn且数列、分别是等
差数列、等比数列时，求该数列前n项和时，可用该方法。
例1：求和Sn=++++…。
设an==n·，其中为等差数列，为等比数
列，公比为，利用错位相减法求和。
两端同乘以，再两式相减得：Sn=2--。
说明：乘比错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题。
三分组求和法
对于数列，若an=bn±且数列、…都能
求出其前n项的和，则在求前n项和时，可采用该法。
例2：求和Sn=0.9+0.99+0.999+0.9999+…。
解：设an==1-10-n
Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
=n-（1-10-n）
四倒序相加法和倒序相乘法
1.倒序相加法
在教材上推导等差数列前n项和Sn的公式：Sn=
使用的就是该法，推导过程参看教材。
例3：求和S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°。
解：S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°（1）
S=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°（2）
由（1）+（2）得：S=。
例4：求和Sn=+2+3+…n。
解析：据组合数性质=，将Sn倒序写为：Sn=n+（n-1）+。
以上两式相加得：2Sn=n（+++…++）=n·2n。
因此，Sn=n·2n-1。
2.倒序相乘法
例5：已知a、b为两个不相等的正数，在a、b之间插入n个正数，使它们构成以a为首项，b为末项的等比数列，求插入的这n个正数的积pn。
解：设插入的这n个正数为a1、a2、a3…an，且数列a1、a2、a3…an、b成等比数列。
则：ab=a1·an=a2·an-1=…
pn=a1·a2·a3…an（3）
高三数学数列求和篇6
一、概念性试题
概念性试题属于基础题，只要学生能够灵活掌握等差数列和等比数列的相关公式，比如，通项公式、求和公式等，能够认真分析题意找到相关量，就能顺利得出答案。
1.在等比数列{an}中，若公比q=4，且前3项之和等于21，求该数列{an}的通项公式。
2.已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8。求等差数列{an}的通项公式。
从上述三个试题来看，都属于基础性试题，也都不难，只要学生能够熟练掌握数列的相关概念，认真、灵活运用便能得出正确的答案。第1题是求等比数列的通项公式，该题就是通过已知条件求出a1，然后按照公式就能得出答案。第2题考查的是等差数列的前n项和，而且将通项公式与前n项和相结合，虽然两个知识点都有所考查，但是依旧属于基础中的基础题。所以，我们首先要思考等差数列Sn的公式，即：Sn=（a1+an）n/2，接着对已知条件进行分析，得出a1和an，这样就能轻松地解答出来。
从上面几个题目可以看出，有关数列题中的概念性试题是相对来说比较简单的，也是基础。所以，我们要让学生打下扎实的基础，这样才能在灵活运用所学知识的过程中提高解题效率。
二、综合性试题
一般我们常常见到的是数列和函数知识的综合，两者都是数学教学中的重点内容，所以，难度系数上是不确定的。所以，在做题时，我们还是要引导学生学会分析，这样才能真正提高学生的解题能力，才能提高学生的解题效率。
例如：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-an（n∈n*），若数列{bn}满足：bn=an-sinan（n∈n*），求证：bn+1
高三数学数列求和篇7
【关键词】错位相减法；三步骤；数列
已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求数列{an・bn}的前n项和tn，通常使用错位相减法.错位相减法是数列求和的一项重要方法，一直是高考的重点和热点.错位相减法程序化的步骤让学生容易掌握和理解，但运算化简能力要求较高，学生在运算过程中容易出错，难于得到正确的结果.从历年的高考答卷中发现，能用错位相减法算出正确结果的考生少之又少.学生在应用错位相减法解决数列求和问题时，主要在三个地方容易出错.针对易错点，本人提出三步解决法：“变符号，定项数，巧检验”.这三个步骤，将有助学生出奇制胜，一举突破错位相减法.
易错点分析：
易错点一：上述求解过程中，（3）式中最后一项的符号易出错，这一项如不特别注意，很容易写成加号.
易错点二：上述（3）式，除去首项和末项，中间新构造的等比数列和式应为n-1项的和.
易错点三：经过较为复杂的运算、化简得到的结果（4）式可能有误.
应对措施：
1.变符号，牢记经过错位相减得到的（3）式前面各项的符号均为加号，最后一项的符号应变为减号.
2.定项数，切记经过错位相减得到的（3）式除去首项和末项，中间的等比数列和式是n-1项的和.
3.巧检验，对于经过艰苦运算得到的最后结果（4）式，可巧妙的使用t1=a1b1进行检验.若t1≠a1b1，那结果肯定错了.上述例1中，根据（4）式得到t1=-2+5=3，而a1b1=3・1=3，符合t1=a1b1.
例2已知等差数列{an}满足：a5=14，a7=20.设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-2・Sn.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
高三数学数列求和篇8
【关键词】高中数学；数列求和；解题技巧
在解答数列求和类题目时，我们需要对各种问题先进行类型的区分，充分运用相关的数学解题思维和方法来进行简单的转化和计算.
一、裂项法
例1已知数列{an}的通项公式为2（2n-1）（2n+1），求其前n项和Sn.
解由通项公式为
an=2（2n-1）（2n+1）=1（2n-1）-1（2n+1），
可得
Sn=a1+a2+…+an
=1-13+13-15+…+14n-3-12n-1
+12n-1-12n+1
=1-12n+1
=2n2n+1.
裂项求和的方法是将数列的每一项拆开为两项的差，使其能够互相抵消，从而最终剩余少量的几项，最终求出结果.
裂项法求解数列前n项和的方法在高考的综合性题目中经常用到，例如2015年高考数学理科试卷中就有所涉及.题目为设bn=1anan+1（在第（1）问中已求出an=2n+1），求数列{bn}的前n项和.让学生自己试着用裂项法求解.
二、错位法
错位法在解决数列求和问题中有一个特征，就是所求和的数列往往是等差数列与等比数列的组合，即若数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，然后求诸如{an・bn}的前n项和.
例2已知数列{an}的通项公式为an=n22n-1，bn=an+1-12an，求数列{bn}的前n项和.
解由题意可知bn=2n+12n.
所以前n项和
Sn=32+522+723+…+2n-12n-1+2n+12n，①
12Sn=322+523+724+…+2n-12n+2n+12n+1，②
①-②得12Sn=32+222+223+…+22n-2n+12n+1
=32+2122+123+…+12n-2n+12n+1
=32+2×1221-12n-11-12-2n+12n+1.
将上边的等式两边同时除以12得：
Sn=3+2-12n-2-2n+12n
=5-2n+52n.
高三数学数列求和篇9
高中数学教学等比数列等差数列对比法所谓对比法，就是把有某种关联的两个对象放在一起，找出他们之间的异同或者联系，从而发现某些规律。著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”对比法是数学教学中最常用的一种教学方法，数学教学中可以使用对比法的地方有很多。比如，数与形的对比、解题方法的对比、公式概念间的对比，等等。
一、对比法在数学教学中的作用与意义
在数学教学过程中，恰当地运用对比法可以解释问题的本质及其规律，进而突出重点并解决难点；还可以加强数学基础知识与基本技能的训练，既能学习新知识，又能发展智能。具体来讲，对比法教学有以下几个方面的作用：
1.对比法教学有利于学生寻找最佳的学习方法。课堂教学的最终目的是教会学生学习，也就是要重点抓教给学生的科学文化知识和专业知识的方法。
2.对比教学法有利于学生进行全方位思考。使用对比法教学，能增强学生学习思维的敏锐性，提高全面思考问题的能力，进而调动学生学习的积极性。
3.对比法是应用启发式教学的较好体现。启发式教学作为数学课堂传统的教学经典方法，其显著特点之一，就是能引导学生的积极思维，发展学生智力，培养学生的创新能力。而对比法，就是应用启发式教学的一个较好的体现。
4.对比法有利于学生基本概念的建立和强化学生对基本知识和基本技能的理解与掌握。一方面，在教学中如果能恰当地运用比较法，根据需要紧紧扣住事物的不同点或共同点，往往就抓住了突破难点的关键，从根本上帮助学生把基本概念牢固地建立起来。另一方面，只要在教学中将两方面反复比较，密切关注相互之间的联系和区别，就能予以正确理解和掌握，进而提升教学效果。
5.对比法有利于培养学生的自学能力。在新知识的学习中，与旧知识加以对比，学生就不会觉得什么都是新的，只是在某些部分是新的。学生在掌握对比法后，自学能力提高了，便他们不再满足于跟在老师后面，而是主动去学习。
总之，对比法的特点就是鲜明醒目，在中学数学学习中不失为一个好方法。下面以高中数学等比数列和等差数列的教学为例，谈谈对比法在教学中的应用。
二、高中数列教学中存在的问题
数列作为函数的代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，在现实生活中也有着非常广泛的作用。因而，在整个高中数列的教学中，等差数列和等比数列的教学就显得十分重要。一般情况下，高中教材中数列是安排在高一数学下册第五章的。目前的高中数学教学过程中，仍然存在着很多问题，最突出的问题就是填鸭式和满堂灌的教学方式，与学生的学习方式不能有效结合，导致教学效果不能得到显著提高。尤其是高中数学等差数列和等比数列的教学，传统的教学模式将无法教师的教和学生的学有机地联系在一起，学生便难以掌握数列知识。
三、对比法在等比数列和等差数列教学中的应用
1.概念的对比教学。等比数列和等差数列这两个概念都可通过对几个具体数列共同特点的研究，启发学生积极思考，大胆假设：都是数列中的前后项之间存在某种联系，区别在于等差数列是后项与前项的差是常数，等比数列是后项与前项的比是常数。另外，等比数列还要求任意一项都不为0。通过这样的比较，就加深了学生对这两个概念的认识，学生掌握定义后可改变定义中的关键词（差，比）引出等和数列，等积数列等等，有利于拓展学生的思维。
2.性质的对比教学。可以通过对比等差和等比数列的性质在教学实践中的应用来加深学生对数列知识的掌握。等差、等比数列有很多性质是相类似的。例如，等差数列{an}，等比数列{bn}，a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……b1・bn=b2・bn-1=b3・bn-2=……在{an}中按等间距选到的子数例仍是等差数列，在{bn}中按等间距选取的子数列仍是等比数列；从{an}中取前m项，次m项，再m项……的和分别为t1，t2，t3……t1，t2，t3……仍是等差数列；则从{bn}中取前m项，次m项，再m项……的积分别为p1，p2，p3……p1，p2，p3……仍是等比数列。也有不同的地方，例如2b=a+c是a、b、c成等差数列的充要条件，b2=ac是a，b，c成等比数列的必要非充分条件，在本章数列教学结束后，可通过列表的方法将等差数列与等比数列的有关知识进行对比，作为一次复习，使学生对等差、等比数列的性质进一步的理解。
3.解题方法的对比教学。等差、等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中，单独考查某一个数列的情况较少，大部分都是在两个知识点的交汇处命题，同事考查其他数学知识，且多以解答题的形式出现。解决此类相关试题的常用方法就是“基本量法”，把一般的数列问题转化为等差、等比数列求解。比如说，数列求通项的常见类型与方法有公式法、由递推公式求通项，累加法、累乘法，等等；数列求和的常用方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等等、解答综合性试题的关键就在于审清题目，透过所给信息，抓住问题的本质，结识问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略。这种对比方法在分析题型时要注意三个方面：第一，形同实异。有些题型很类似，但要善于在类似中找出差异，找出行之有效的解题途径。第二，形异实同。有些题型表面不同，但实质相同。第三，形同实同。有些题型表面与实质都是相同的，要警惕被误导。
对比法在等比数列和等差数列教学中的应用还有很多，这里就不一一列举。值得关注的是，在对比法的应用过程中，要注意三个方面：第一，围绕课题，把对比法用在最关键、最易混乱、最易出错的地方。既要注意他们的联系，又必须找出他们的区别。第二，要提高兴趣，促进思维。有些问题是把学生熟悉的题目，通过引申、变换、转化、扩充等手段得到的，学生对这些问题有浓厚的兴趣，他们已不满足细微差别的比较。第三，要注意反馈，面向多数。要找出学生普遍存在的、带有根本性问题的错误，使对比法建立在帮助学生解决实际问题的基础上。
总之，在数学教学中适时并恰当地运用对比法，有利于训练学生的思维能力、探究发现能力、学习能力以及学生的终身发展。广大教师在平时的数学教学中还需要将对比法与其他教学方法密切配合，才能更好地提高数学教学的质量。
参考文献：
[1]范淑敏.在对比中揭示数量关系[J].云南教育，1996，（9）.
高三数学数列求和篇10
一、数列竞赛题中的一些简单题型
1求数列的通项或求和是常见题型.
例1设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋an＝n-1n(n+1)，n＝1，2，…,则通项an＝．(2008年全国高中数学联赛)
分析利用数列的和与通项的关系，用下标减1法，使所给式简单化．
解Sn＋1＋an＋1＝n(n+1)(n+2)，与Sn＋an＝n-1n(n+1)相减得，
2an＋1－an＝n(n+1)(n+2)－n-1n(n+1)＝-n+2n(n+1)(n+2)．
令2an＋1＋λ(n+1)(n+2)＝an＋λn(n+1)，即λ(n+2)-2λnn(n+1)(n+2)＝-n+2n(n+1)(n+2)λ＝1．
即2an＋1＋1(n+1)(n+2)＝an＋1n(n+1)．
令bn＝an＋1n(n+1)，b1＝a1＋12＝12(S1＋a1＝0a1＝0)，
有bn＋1＝12bn，故bn＝12n，所以an＝12n－1n(n+1)．
例2设正数列a0，a1，a2，…，an，…满足
anan-2－an-1an-2＝2an-1(n≥2)，
且a0＝a1＝1，求{an}的通项公式．
解同除以an-1an-2得：anan-1＝2an-1an-2＋1，
令anan-1＋1＝bn，则得bn＝2bn－1．
即{bn}是以b1＝11＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
所以bn＝2n．
所以anan-1＝(2n－1)2．故a0=1，
an=(2n-1)2(2n-1-1)2…(21-1)2(n≥1).
2在给出数列后，常常会要求研究数列的某些性质．
例3设an＝∑nk=1
1k(n+1-k)，求证：当正整数n≥2时，an＋1＜an．(2007年全国高中数学联赛)
分析就是证明数列从第二项起就是单调减的，故因计算an＋1－an．
解1k(n+1-k)＝1n+11k＋1n+1-k，于是an＝2n+1∑nk=1
1k．若记2∑nk=1
1k＝a＞2．
所以，an＋1－an＝2n+2∑n+1k=1
1k－2n+1•∑nk=1
1k＝1n+2a＋2n+1－1n+1a
＝2(n+1)(n+2)－1n+1－1n+2a
＝1(n+1)(n+2)(2－a)＜0．
故an＋1＜an．
例4设f(n)是数列
0，1，1，2，2，3，3，4，4，5，5,…
的前n项的和．
(1)给出f(n)的公式；
(2)证明f(s＋t)-f(s-t)＝st，其中s与t正整数，并且s>t．(第二届加拿大数学奥林匹克)
解1°当n为偶数时，f(n)＝0＋1＋2＋…＋n2－1＋1＋2＋…＋n2
＝12n2－1•n2＋12•n2n2＋1＝n24．
2°当n为奇数时，f(n)＝0＋1＋2＋…＋n-12×2＝14(n2－1)．
所以f(n)＝n24，当n为偶数时；
n2-14，当n为奇数时.
亦可统一成f(n)＝n24－1+(-1)n-18．
(2)由于s＋t与s-t的奇偶性相同，故
当s＋t与s-t同为偶数时，f(s＋t)－f(s-t)=14(s＋t)2－14(s-t)2＝st．
当s＋t与s-t同为奇数时，f(s＋t)－f(s-t)=14［(s＋t)2－1］-14［(s-t)2－1］=st．
3数列的竞赛题中，有许多是需要求出满足某些特定要求的.
例5使不等式1n+1＋1n+2＋…＋12n+1＜a－200713对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为．(2010年全国高中数学联赛)
分析记左边式子为f(n)，如果f(n)是单调减的，则f(n)＜f(1)．即易求a值．
解记f(n)＝1n+1＋1n+2＋…＋12n+1，
则f(n)－f(n＋1)＝1n+1＋1n+2＋…＋12n+1－1n+2＋…＋12n+1＋12n+2＋12n+3
＝1n+1－12n+2－12n+3＝12n+2－12n+3＞0，即f(n)单调减．
所以对一切正整数n，f(n)＜f(1)＝12＋13＜a－200713a＞200713＋13＋12＝200816．
所以a的最小值＝2009．
例6证明：方程2x3＋5x－2＝0恰有一个实根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得25＝ra1＋ra2＋ra3＋…．(2009年全国高中数学联赛)
分析先判定方程实根的范围，再把25写成等比数列的和的形式．
证明
取f(x)＝2x3＋5x－2，则f′(x)＝6x2＋5，在R上f′(x)＞0恒成立，从而f(x)在R上严格单调增，
而f(0)＝－2＜0，f25＞0，故方程在0，25内有一个实根．
所以方程2x3＋5x－2＝0恰有一个实根r∈0，25．
由2r3＋5r－2＝05r＝2(1－r3)25＝r1-r3＝r＋r4＋r7＋r10＋…＝ra1＋ra2＋ra3＋…；
所以an＝3n－2(n∈n*)．
又设还有另一个与{an}不同的严格递增的正整数数列b1，b2，…,bn,…也满足25＝rb1＋rb2＋rb3＋…．
在{an}与{bn}中去掉所有相同的项后由余下项按递增排列组成的数列分别为ak1，ak2,…与bl1，bl2,…．
于是rak1＋rak2＋rak3＋…＝rbl1＋rbl2＋rbl3＋….
不妨设ak1＜bl1．同除以rak11＋rak2-ak1＋rak3-ak1＋…＝rbl1-ak1＋rbl2-ak1＋rbl3-ak1＋….
而rbl1-ak1＋rbl2-ak1＋rbl3-ak1＋…≤r＋r2＋r3＋…＝r1r＜25125＝23＜1．
于是有1＜1＋rak2-ak1＋rak3-ak1＋…＝rbl1-ak1＋rbl2-ak1＋rbl3-ak1＋…＜1，矛盾．
故证．
二、中学的“数列”中，最基本的数列就是等差数列与等比数列
学生在学习与考试中所遇到的数列大多能与这两种数列联系．所以，熟悉这两种数列的概念与运算方法技巧是非常重要的．特别的，一些公式的变形，例如①an＝ak＋(n－k)d，②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈n*)等都要能熟记与灵活运用．
1本内容中常常考一些小题以检验概念的掌握及公式的熟练情况，这类题的难度一般不高.
例7已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2，3a5＝b3，且存在常数α、β使得对每一个正整数n都有an＝logαbn＋β，则α＋β＝．(2010年全国高中数学联赛)
解设等差、等比数列的公差与公比分别为d、q，由bn＞0，故q＞0，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1．
所以3＋d＝q；3(3＋4d)＝q2＝(3＋d)29＋12d＝9＋6d＋d2d＝0(舍去)，d＝6，q＝9．
an＝6n－3；bn＝9n－1，由6n－3＝(n－1)logα9＋βnlogα9＋β－logα9．
所以logα9＝6α6＝9α＝33；β＝6－3＝3α＋β＝3＋33．
例8已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数．若a1＝d，b1＝d2，且a21a22a23b1+b2+b3是正整数，则q等于．(2007年全国高中数学联赛)
解a21+a22+a23b1+b2+b3＝141+q+q2＝m为正整数．则q＋122＝56-3m4m．
由0＜q＜114＜q＋122＜9414＜56-3m4m＜944＜m＜14．其中m＝8使56-3m4m为有理数的平方．此时q＝12．
2研究等差数列与等比数列的某些性质也是常考的题型.
例9给定正整数n和正数m，对于满足条件a21＋a2n+1≤m的所有等差数列a1，a2，a3，…,试求S＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋1的最大值．(1999年全国高中数学联赛)
分析写出S的表达式，再利用此表达式求最大值．
解设此数列的公差为d，
则S＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋1＝(n＋1)a1＋32nd
.故Sn+1＝a1＋32nd．
由n给定，故应求a1＋32nd=t的最大值．
m≥a21＋(a1＋nd)2＝2a21＋2a1nd＋n2d2＝λa1＋32nd2＋(2－λ)a21＋(2－3λ)a1nd＋1－94λn2d2.
(若(2－λ)a21＋(2－3λ)a1nd＋1－94λn2d2能配成完全平方式，则可求出t的最大值)
取(2－3λ)2－4(2－λ)1－94λ
＝0，即4－12λ＋9λ2－8＋22λ－9λ2＝0，λ＝25．
所以m≥25a1＋32nd
2＋110(4a1＋nd)2≥25Sn+12.
所以S≤102(n＋1)m．等号当且仅当4a1＋nd＝0及m＝25a1＋32nd2时成立．即a1＝－14nd，a1＝－10m10，d＝410•1nm时成立．易算得此时a21＋a2n+1＝m,S＝102(n＋1)m．
所以S的最大值为102(n＋1)m．
例10数1，2，3，…,100能否是12个等比数列的项？(第二十一届全俄数学奥林匹克)
分析考虑任何三个质数，它们不能构成等比数列．
解先证明：任何三个不同的质数不能是同一个等比数列的某三项．
取三个质数x，y，z(x＜y＜z)，若它们是同一个等比数列的某三项，设为某等比数列的第m，n，l项(m＜n＜l)，且此数列的公比为q．
于是y＝xqn－m，z＝yql－n．
所以q＝yx1n-m，q＝zy1l-n，于是yx1n-m＝zy1l-n，
所以yxl－n＝zyn－myl－m＝xl－n•zn－m．
但x、z为质数，必无质因数y，矛盾．即任何三个质数不能是同一个等比数列的某三项．