高三数学概率公式总结篇1
（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000）
摘要：贝叶斯公式是《概率论与数理统计》中的一个重要公式，同时也是教学中的一个难点.根据笔者的教学经验，谈了对这一教学内容的教学设计和一些体会，探讨改革教学模式，渗透数学文化等措施.
关键词：概率论与数理统计；贝叶斯公式；教学设计；人才培养；应用能力
中图分类号：G642文献标识码：a文章编号：1673-260X（2015）01-0227-03
基于应用型人才培养模式的教学改革，文[1]讨论了《概率论与数理统计》课程改革探索与实践，文[2]讨论了课程教学方法的改革.现在针对“贝叶斯公式”一堂课，讨论课堂教学.
贝叶斯公式是《概率论与数理统计》课程中的最重要公式之一，也是在现实生活中应用非常广泛的公式.它既涉及到全概率公式，又涉及到条件概率，是概率论课程教学中的一个重点，同时也是教学的一个难点.教学中常常出现以下问题：一是公式复杂，难于理解与记忆；二是应用困难，易与全概率公式混淆；三是对公式的作用认识模糊，不利于解决实际问题.针对上述弊端，基于应用型人才培养模式，我们对于贝叶斯公式的讲解给出新的尝试，并在教学中取得了良好的效果.
1关于课题的引入
中小学数学教学，几乎每一节课，都需要有导言或者引例，有的学校定有制度，也几乎被人接受.至于高等学校数学教学，是否需要导言、引例等，不同的人有不同的认识.有人喜欢用，有人几乎不用.我们认为，要根据课程的特点，适当地选用简单明了的引例.宁缺毋滥，以防冲淡主要教学内容.当然，简单通俗的导言，应该尽量有，但是要精心设计.总结多年的教学，对于“贝叶斯公式”的教学，有效果比较好的两种方式.
1.1复习三个重要公式，启发导出贝叶斯公式
学生在前面的课堂学习中，已经对条件概率、乘法公式和全概率公式有了一定的了解和认识，本次课前先对这三个公式进行复习，板书，以备后用.
乘法公式p（aB）=p（a）p（B|a），p（a）>0
=p（B）p（a|B），p（B）>0(2)
我们知道，全概率公式，简单的说是“已知原因求结果”.那么，在实际当中会不会遇到“已知结果求原因”的情况呢？启发引导学生思考该如何表述，如何解决.
也就是，“事件B发生了”——结果，那么它是由于“事件ai发生导致的的概率有多大”——究其原因.那么，用严谨的数学式子表示就是：p(ai|B),如何计算呢？这是条件概率，其中分子p(aiB)用到乘法公式，分母p(B)中用到全概率.写出来就是：
这就是贝叶斯公式，也叫逆概率公式.推导过程，就是基本的证明.简单明了，重点突出.
1.2通过简单易懂的实例，引入贝叶斯公式
引例一定要简单明了，最好来自于生活，学生易懂.切忌叙述过于复杂，有图有表有视频，分散了学生的注意力.
引例某学院新生有三班级，其中一班男生20人，女生30人；二班男生30人，女生20人；三班男生25人，女生25人.任意选择一个班级，再从中任意选一名学生做学生会主席，结果他是男生，问他是一班的概率是多少.
学生对这个背景非常熟悉，不需要常识介绍，马上就可以转入对问题的思考.
分析用ai表示事件“学生会主席是i班的”，其中i=1,2,3.
用Bi表示事件“学生会主席是男生”.
事件a1,a2,a3是完备事件组，相互独立.
p(a1)=p(a2)=p(a3)=1/3
p(B|a1)=20/50,p(B|a2)=30/50,p(B|a3)=25/50
问题“任意选择一个班级，再从中任意选一名学生做学生会主席，结果他是男生，他是一班的概率”，就是求概率p(a1|B).根据条件概率、乘法公式和全概率公式，计算：
比较两种引入方法，我们更欣赏第一种.认真看看，第二种只是在第一种的基础上加了一个实际背景，计算、推导都一样，反而增加了对两个条件概率p(ai|B)和p(B|ai)理解.我们强调重视应用意识培养，但是比一定必须要“实际——理论——应用”的统一模式.向第一种那样“旧理论——新理论——（新）应用”也未尝不可.
2贝叶斯公式及其证明
有了前面的导入，下面很容易写出完整的贝叶斯公式.这里要注意，公式一定要完整严谨，前边引出公式不完整、不严谨的地方，一定要详细说明，例如：a1,a2,a3,…,an是完备事件组（样本空间的一个划分）.
定理（贝叶斯公式）如果试验e的样本空间为S，事件a1,a2,a3,…,an是完备事件组，B是e的事件，并且p(B)>0,p(ai)>0,(i=1,2,3,…,n)，则有
这一节课最简单的一点就是贝叶斯公式的证明，根据条件概率、乘法公式和全概率公式，可以直接写出.其实（4）就是比较完整的证明.
难点在于公式中对两个条件概率p(ai|B)和p(B|ai)=理解在“谁”的条件下，求“谁”的概率？在这里事件B“是结果”，它发生了，它是由于ai发生“造成的”.根据全概率公式，B的发生由各个ai发生都可能“造成”.每一个ai发生而“造成”的可能性多大？这就是p(ai|B).
3通过典型例题，加深理解，强调应用
在现实生活中，贝叶斯公式有非常广泛的应用，如在疾病诊断、质量控制、安全监控等方面都发挥了重要的作用.在教学实践中，我们怎样科学合理地设置应用案例，将知识性与趣味性相互结合，能够培养学生思维的深刻性.
第一个例题应该比较简单，可以说是公式的直接套用，让学生学会使用这个公式.如果引例不是前边的例子，这里可以作为例题1.否则可以选用一般教材上的“三个工厂生产同一种产品，合格率”问题，第一问应用全概率公式，第二问应用贝叶斯公式.难度不大，容易理解.
第二例可以以不容易理解，甚至可能造成理解错误疾病诊断为例.这个例题在多本教材上出现，但是讲解都不深刻.武汉大学教材用了很长篇幅，但是没有说到重点上.
例题根据以往的临床记录，某一地区患有某种癌症的发病率为0.005.患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是此病患者的概率有多大？
题目难度不大，设a={抽查者患有癌症}，B={抽查者实验反应呈阳性}.那么，a={抽查者不患有癌症}.
根据题目条件，已知p(a)=0.005,p(a)=0.995,p(B|a)=0.95,p(B|a)=0.02.现在要求的是p(a|B).
根据贝叶斯公式：
对于这个结果怎样理解？p(B|a)=0.95说明95%的患者都能够检查出来（漏诊未查出来只有5%）；p(B|a)=0.02说明只有2%的误诊（或者说没有病，认为有病）.这表明检查水平比较高，但是，p(a|B)=0.1927，也就是，其正确性不足20%？
如果将这个实验用于普查，就是化验呈阳性的人真正患有这种癌症的不足20%.“其正确性不足11%”[5]的结论是不对的.教学中，对这个结果引导学生进一步分析，“某一地区患有某种癌症的发病率为0.005”，就是说这里平均1000人中有5人患这种病.而“p(a|B)=0.1927”说的是，检查呈阳性的人群中，10000人中大约有1927人患有这种癌症.二者比较0.1927÷0.005=38.54.这说明的是，“检查呈阳性的人群患有这种癌症”是“普通人群患有这种癌症”的38.54倍.借用“非典”的说法，“疑似”人群是普通人群的21.32倍.这种检查是有意义的.
再进一步思考，检查呈阳性了，“疑似”了，怎么办？复查呗.对“疑似”人群进行复查.注意，这时候p(a)=0.1927，那么p(a)=1-0.1927=0.8078.p(B|a)=0.95,
p(B|a)=0.04不变.现在的
这就是说，对于“疑似”的人，复查检查仍然呈阳性，那么，他患有这种癌症的概率就从19.27%提高到91.89%，是“疑似”的0.9189÷0.1927=4.77倍，是普通人群的0.9189÷0.005=183.78倍，基本可以“确诊”.
当然，在医疗过程中医师根据经验，只有怀疑有这种癌症的人才做这种检查，也就是先筛查，发病率也远远不是0.005.
4融入数学建模思想，培养应用意识
高等教育教学中，不但让学生学会数学，最重要的是要会用数学，用数学来分析问题、解决问题，也就是应用相应的数学理论知识去建立数学模型的能力.将数学建模思想方法融入数学类主干课程中已经成为教师的共识，但是什么时候融入，什么课程适合融入，怎么样融入，是我们一直在探索的课题.我们认为，贝叶斯公式就是非常适合的一个内容.
案例1：“拼写纠正”问题：在文字输入时，我们发现当用户输入了一个在字典中不存在的单词时，我们就需要去猜测，他到底真正想输入的单词是什么呢？用概率论中我们形式化的语言来叙述就是，我们需要求：p(他真正想输入的单词|他实际输入的单词)这个概率，并且找出那几个使得这个概率最大的猜测单词，甚至于对他们排序.比如用户输入：thew，那么他到底是想输入the，还是想输入thaw？到底哪个猜测可能性更大呢？
案例2：“通讯信号估计”问题：通讯系统由信源、信道、编码、译码和干扰源等几部分组成.信源发出来的消息是随机的，而由于信道中存在干扰，进入信道的某个信号，从信道出来的信号可能就不再是这个信号了.我们的问题是，当接收到一个信号后，进入信道的信号到底是什么？
案例3：“股票行情分析”问题：为了分析预测一支股票未来一定时期内的价格变化,我们可以分析影响股票价格的因素,比如利率的变化.若该支股票上涨了,试分析确实是由于利率下调引起股票上涨的概率.
5简单介绍数学家，了解数学史，渗透数学文化
在课堂上适当介绍数学史与数学家，特别是概率论与数理统计学学家，渗透数学文化[2].一是能够减少课堂枯燥，二是提高学生兴趣，三是使学生初步了解科学发展的基本脉络.
托马斯·贝叶斯(thomasBayes,1701—1761)英国牧师，业余数学家.他生前是位受人尊敬英格兰长老会牧师.为了证明上帝的存在，发明了概率统计学原理，非常令人遗憾的是，他的这一愿望至死也未能实现，当然，也不可能实现.贝叶斯在数学方面主要研究概率论，他将归纳推理法用于概率论基础理论，创立了贝叶斯统计理论，对于统计推断、统计决策函数、统计估算等做出了重要贡献.1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用.贝叶斯的另一著作是发表于1758年的《机会的学说概论》.
贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今.贝叶斯思想和方法对概率统计的发展产生了深远的影响.现在，贝叶斯思想和方法在许多领域都获得了广泛的应用，
6结语
任何人，当然包括学生，要善于总结，进行反思.古人讲日三省其身，“省”什么，其中重要方面就是总结与反思.即使不能对事物进行事前准确预测，但是事后必须总结反思，做个“事后诸葛亮”.如果“失了街亭”，要反思其原因，这是因为什么.“一来是马谡无谋少才能，二来是将帅不和”“才失了街亭”.再跟深入地问一句，因素“马谡无谋少才能”和“将帅不和”各自占多大的比例.哪一个是决定性的.这就用到贝叶斯方法.
参考文献：
〔1〕刘国祥，等.应用型人才培养模式下概率论与数理统计课程改革探索与实践[J].赤峰学院学报，2014（11）.
〔2〕张晓丽，刘国祥，等.应用型人才培养模式下《概率论与数理统计》课程教学方法的改革与探讨[J].赤峰学院学报，2015（4）.
〔3〕程小红.贝叶斯公式的几个应用[J].大学数学，2011,27(2).
〔4〕魏宗舒.概率论与数理统计教程[m].北京：高等教育出版社，2004.
〔5〕盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计教程（第四版）[m].北京:高等教育出版社,2008.6.
〔4〕李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].工程数学学报,2005(8):2-7.
高三数学概率公式总结篇2
摘要：对《概率论与数理统计》教学内容进行三个模块的教学实施，就是让教材立体化后对课程系统认识，对教学大纲、基本概念、重点难点、应用案例分析等方面进行教学提高。
关键词：概率统计模块教学
前言
《概率论与数理统计》是学生由确定性思维进入随机性思维的入门课程，也是大学进行随机思维培养和训练的课程。要让教材立体化就是要清楚课程的背景与概况；清楚课程的指导思想；教学理念；教学目标；对难、重点进行深度剖析，明确解决问题的思路；对教学内容的剖析有新的认识。教学实践中将本门课程内容分为：概率论，随机变量的函数及其分布，数理统计初步三大模块进行。
第一模块概率论
针对大三学生在系统学习概率论与数理统计之前已对概率有所了解，但从实际的随机现象中把问题数学化，运用数学符号表示随机现象是第一模块学习内容的难点，这部份内容是整个概率论的基础。所以教学具体实施分三步：第一步，从常见随机想象出发，引导学生用数学语言描述随机现象，补充大量用数学语言描述随机现象的实际练习训练，用集合的概念来表述随机事件；第二步，结合随机事件运算规律学习概率定义的发展规律，了解概率的公理化体系；第三步，对要掌握的条件概率，全概公式，贝叶斯公式等内容，无论是教师讲授演算、还是学生做作业都要求在解题时认真书写每一个题目的详细解题步骤，严格的书写过程方可让学生达到逻辑性地对问题的逐步认识深度，这是非常重要的一个基础训练要加强实施。
第一模块“概率论”中要抓住对概念的引入和背景的理解。如，概率公理化定义引入的背景是：在概率论的发展史上曾经有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观定义，这些定义各适合一类随机现象，为了给出适合一切随机现象的概率的最一般的定义，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化定义，该定义既概括了上述几种概率定义的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处。概率的公理化定义刻画了概率的本质：概率是集合（事件）的函数。对概率的公理化定义的深度剖析是公理化定义未确定概率，它只是规定了概率应该满足的性质，在公理化定义出现之前的古典定义、几何定义、频率定义和主观定义都在一定的场合下给出了各自的确定概率的方法，因此有了概率的公理化定义之后，把它们看作确定概率的方法是恰当的。
一模块中需要重点讲授概念的直观含义或实际意义的有；事件的概率与频率；条件概率；事件的独立性；全概率公式；需要多媒体课件的有效辅助实际教学，充分利用图形演示功能帮助直观理解。对概率论中涉及的众多例题和习题，应理解题目所涉及的概念及解题的目的，而具体计算技巧在在高等数学已学过，因此概率论学习的关键不在于多做习题，而要理解不同题型涉及的概念及解题的思路。
第二模块随机变量的函数及其分布
随机变量的函数及其分布包括一维随机变量与多维随机变量，要求学生认识到分布函数、分布律和概率密度函数是揭示随机现象本质规律的重要工具。对概率分布函数，连续性随机变量概率密度函数的准确理解以及会计算随机事件的概率是本模块的重点，掌握常见的离散型和连续型随机变量，数学期望、方差、协方差和相关系数，并应用这些概念解决实际问题。
分布函数、随机变量的独立和不相关等概念要仔细推敲概念的内涵和相互联系、差异，例如，随机变量概念的内涵是一个从样本空间到实轴的单值实函数X（w），但它不同于一般的函数，定义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间。而它的取值是不确定的，随着试验结果的不同可取不同值，但是它取某一区间的概率又能根据随机试验予以确定的。
第二模块计算难点有二维随机变量的边缘分布，事件B的概率p（（X，Y）∈B），卷积公式等的计算，它们形式简单，但f（x，y）通常是分段函数，真正的积分限并不再是（-∞，∞）或B，如何正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键，所以要综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分及级数等知识去解决问题，课程进行之前一定要复习相关知识并练习一定量的习题作保障。
二模块中需要重点讲授概念的直观含义或实际意义的有；概率密度的几何意义及均匀分布与正态分布；几类常用随机变量的数学期望；相关系数概念。这些概念的引入需要多媒体课件的有效辅助利用图形演示功帮助学生直观理解。
第三模块数理统计初步
概率论是研究揭示随机现象所隐含的本质规律，反映在课程内容上就是随机变量分布函数、分布律和概率密度函数的寻求以及研究它们的数字特征；统计是以概率论为基础，利用实验数据对分布函数，概率密度函数进行估计和检验，第三模块主要讲授参数的点估计和区间估计，参数的假设检验，尤其要熟悉正态总体均值和方差的区间估计方法，假设检验方法。重点是极大似然估计思想和假设检验思想的介绍。
高三数学概率公式总结篇3
视角一：古典概率与统计中的频率分布直方图的交汇
高考对古典概率与统计中的频率分布直方图或分布表交汇的考查，常以解答题的形式呈现，是高考常考命题之一，难度中等.此类题从考查统计的基础知识入手，侧重考查古典概型的概率求法，同时考查学生应用数学知识解决实际问题的能力.
例1（2010·陕西高考理19）：为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（1）估计该校男生的人数；
（2）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（3）从样本中身高在165～180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180cm之间的概率.
【思路分析】利用百分比解问题（1），据频率估算概率解问题（2），据对立事件或古典概型解问题（3）
【解析】（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
（2）由统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f==0.5，故有频率估计该校学生身高在170～185cm之间的概率.
（3）样本中女生身高在165～180cm之间的人数为10，身高在170～180cm之间的人数为4.
设表示事件“从样本中身高在165～180cm之间的女生中任选2人，至少有1人身高在170～180cm之间”，p（a）=1-=（或p（a）=）=.
【点评】本题属常规题，解决此类问题的关键是：从频数分布图入手，得到相关数据，然后用频率估计概率，再用古典概型概率公式计算得出结果.
视角二：古典概率与统计中的茎叶图的交汇
高考对古典概率与统计中的茎叶图交汇的考查，以解答题或选择填空题的形式呈现，难度中等.此类题从统计中的基础知识入手，考查数据的平均数与方差，侧重考查学生分析数据特征与古典概型的概率求法，这类试题考点丰富，具有一定的综合性与灵活性.
例2（2009·广东高考文18）：随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7.
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.
【思路分析】根据茎叶图估算甲乙两个班的平均身高，据方差公式计算甲班的方差，利用古典概型的概率公式解决问题（3）.
【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160与179之间，而乙班身高集中于170与180之间.因此乙班平均身高高于甲班；
（2）x==170，
甲班的样本方差为s2=[（158-170）2+（162-170）2+（163-170）2+（168-170）2+（168-170）2+（170-170）2+（171-170）2+（179-170）2+（179-170）2+（182-170）2]=57；
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为a；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173），（181，176），（181，178），（181，179），（179，173），（179，176），（179，178），（178，173），（178，176），（176，173）共10个基本事件，而事件a含有4个基本事件；
p（a）==.
【点评】本题是概率与统计相交汇的问题，门槛低，入手容易.解决此类问题的关键是理解平均数与方差的概念，用列举法列出事件的所有可能结果.易错点是列举时没有按一定顺序而出现遗漏.
视角三：古典概率与立体几何的交汇
这一类问题往往巧妙地将概率知识移植于立体几何中，集趣味性与创新性为一体.主要考查空间立体几何的知识，以及利用列举法计算古典概率.此类试题综合性强，对学生思维能力要求较高，属中难度题.
例3（2012·江西高考文18）：如图，从a1（1，0，0），a2（2，0，0），B1（0，1，0，），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点.
（1）求这3点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
（2）求这3点与原点o共面的概率.
【思路分析】根据立体几何的有关知识，计算总的基本事件个数与所求事件含的基本事件个数，由古典概率公式求出结果.
【解析】（1）总的结果有（a1，a2，B1），（a1，a2，B2），（a1，a2，C1），（a1，a2，C2），（B1，B2，a1），（B1，B2，a1），（B1，B2，C1），（B1，B2，C2），（C1，C2，a1），（C1，C2，a2），（C1，C2，B1），（C1，C2，B2），（a1，B1，C1），（a1，B1，C2），（a1，B2，C1），（a1，B2，C2），（a2，B1，C1），（a2，B1，C2），（a2，B2，C1），（a2，B2，C2）共有20种，其中这3点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点只有（a1，B1，C1），（a2，B2，C2）2种，则满足条件的概率为=.
（2）满足这3点与原点o共面的情况为（a1，a2，B1），（a1，a2，B2），（a1，a2，C2），（a2，a2，C2），（B1，B2，C1），（B1，B2，C2），共有6种，所以所求概率为=.
【点评】本题在立体几何与概率的知识网络交汇点命题，解决此类问题的关键是理解立体几何中的相关知识与利用列举法列出总的基本事件的所有结果，再利用古典概型概率公式求得对应的概率，易错点是列举时出现重复与遗漏.
视角四：古典概率与数列的交汇
这一类问题往往将概率知识作为一个新型的材料和介质，与等比数列知识合理融合，创造了新的命题情景，同时使概率与数列知识在整合过程中均得到进一步的升华.考查等比数列的通项公式与古典概型求法，近几年的高考对这样的交汇命题常以选择填空形式呈现，难度中等.
例4（2012·江苏高考文6）：现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是.
【思路分析】利用等比数列的通项公式写出前10项，算出小于8的数的个数，由古典概率公式得出结果.
【解析】以1为首项，-3为公比的等比数列的10个数为，其中有5个负数，1个正数1，一共6个数小于8，从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是=.
【点评】本题亮点是概率与数列有机相结合.要求学生熟练掌握等比数列的通项公式，解决此类问题的关键是利用通项公式写出前10项，再运用古典概型的概率公式求得结果.
视角五：古典概率与向量的交汇
高考对概率与向量交汇的考查形式多样，本题将向量知识作为一种工具，把向量知识与概率合理融合，创造了新的命题情景，同时使概率与向量知识在整合过程中得到进一步的升华.考查向量的加法运算与古典概型概率求法，难度中等.
例5（2010·浙江高考文17）：在平行四边形aBCD中，o是aC与BD的交点，p、Q、m、n分别是线段oa、oB、oC、oD的中点，在a、p、m、C中任取一点记为e，在B、Q、n、D中任取一点记为F，设G为满足向量oG=oe+oF的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形aBCD外（不含边界）的概率为.
【思路分析】根据向量加法的意义，由oG=oe+oF且计算落在平行四边形内的点G的个数，再根据对立事件的概率计算公式求解.
【解析】由题意知，G点共有16种取法，而只有e为p、m中一点，F为Q、n中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G的只有4个，因此落在平行四边形aBCD外的概率为1-=..
高三数学概率公式总结篇4
关键词：回归课本；概念；公式；例、习题
经过一轮全面复习、二轮专题复习，高三数学最后阶段的复习应当回归课本。在教学实际中大多数学生都存在困惑：一是怀疑是否有用；二是不知道如何回归课本，回归哪些内容，是全面看教材还是看例题？
如何让学生认识到回归课本的重要性，引领学生做好复习，以及如何实施回归，巩固知识，做好最后的冲刺，这是我们教师在总复习最后阶段应当关注的。
一、回归课本的重要性
《课标》、《考试大纲》、《考试说明》一致体现了高考要全面检测考生的数学素养，发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度.回归课本就是抓住教材中知识点之间内在联系，形成网络体系，强化“三基”的掌握，让教材中例习题的基础性、典型性和示范得到落实，达到高效的复习成果。
高考数学总复习，很多同学都采用题海战术，但是效果并不明显。其很多原因是没有结合课本来进行全方面复习。高考命题的原则是稳定加创新，高考试题的命制主要依据教材，纵观几十年高考，许许多多的高考题源于课本。在总复习最后的阶段中，要减少盲目性，减少题海战术，重视回归课本、要向准确性、规范性要成绩。
实时回归课本有三方面的含义。一是“基础性”，在高考试题考查要求中，强调了“突出试题的基础性、综合性和层次性”，回归课本要求学生掌握基础知识、解题的通性通法。二是“全面性”，《考试大纲》中把这个要求具体落实到了每一个知识点，便于考生备考，学生对教材中一些“不太重要”的知识点，不能存在侥幸心理。例如向量投影的概念在2013年的高考中多省出现，如湖北卷理科第6题、江西卷理科第12题、四川卷理科第17题。三是“重点性”，首先对于高考必考的知识点进行重点梳理外，其次对一些易错的地方更要重点进行筛查。比如用直线的点斜式、斜截式方程一定要考虑斜率不存在的情况，等比数列求和要讨论公比是否为1，向量的夹角一定要具有相同的起点（终点），这些都是使用公式必须注意但往往又不够重视的地方，学生容易落入丢分陷阱，这也是构成“会而不对、对而不全”的主要原因。
二、回归课本的措施
（一）回归课本基础知识，进行查缺补漏、构建完整知识体系
《考试大纲》要求对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点.对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体.因此，在复习中要紧抓住课本，把课本细过一遍，回顾课本知识，查找是否有遗忘的地方，及时纠正.对于考纲要求重点掌握的，更要认真细读。在阅读课本时，还要注意掌握知识点的内涵与外延.例如，在复习数列中，不仅要掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，而且还要掌握在这四个公式的推导过程中蕴含的四种数学方法--叠加法、叠乘法、倒序相加法、错位相减法.在回归课本时，这些方法的本质特征是要提炼出来的。
数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，回归课本知识点时，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学的框架结构。一些学生在复习中，不注重知识点之间的联系和综合运用，复习当前的内容的就忘记前面的知识。虽然一些学生能掌握一些知识点，但是各知识之间依然是孤立的、零散的、解题的时候很难用上。因此在回归课本时，要理清高中数学的知识主线，透彻地掌握知识结构，熟记概念、公理、定理、性质、法则、公式，理解每个知识点的内涵与延伸，注意前后知识点之间的联系，建立一个完整的知识体系。
例如，在复习函数章节时，首先要理解函数的定义、定义域、值域（求值域的几种方法）、性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、凹凸性）、高中学习过哪些函数（包括每一类型函数的图象）、体现了哪些函数思想方法（数形结合、转化与化归）等。
（二）回归课本，强调概念的复习
1.避免对于概念的理解模糊不清
数学概念掌握得不熟练或者似是而非，在考查概念性问题的时候，一些学生的出错率较高，是导致解题失分的一个重要因素。因此，在高三复习回归课本中必须强化对数学概念的理解和记忆。
从教学实际来看，大多数学生会认为数学概念单调枯燥，不容易记，考试不会考，而造成学生不重视，不求甚解，从而导致对概念认识和理解的模糊；部分学生对基本概念虽然能记住，但是机械的死记硬背，而不能从它的内涵外延深刻去理解。这样造成概念学习障碍，严重影响其对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。
在历年的高考中对于概念的考试是必不可少的，下面以福建省高考理数为例。
例1（2014福建卷理科第1题）.复数[z=（3-2i）i]的共轭复数[z]等于（）
[a.-2-3i][B.-2+3i][C.2-3i][D.2+3i]
本题考查了共轭复数的概念。
例2（2014福建卷理科第7题）已知函数[fx=][x2+1，x>0cosx，x≤0]则下列结论正确的是（）
a.[fx]是偶函数B.[fx]是增函数C.[fx]是周期函数D.[fx]的值域为[-1，+∞]
正确答案D。本题考查了函数的奇偶性、单调性、周期性的概念以及函数的值域。部分考生易选错误答案a，他在印象中机械认为[f（x）=x2]、[f（x）=cosx]是偶函数，所以[f（x）=x2+1，（x>0）]，[f（x）=cosx（x≤0）]也是偶函数，而没有深刻认识奇偶性的定义。值得一提的是，在2012福建卷理科第7题中也考查函数同样的概念。
在研究函数y=asin（ωx+[?]）（a>0，ω>0）的图象变换的物理意义时，a称为振幅、[t=2πω]是周期，[f=1t]频率，[ωx+?]为相位，[?]为初相.但上述概念是在a>0且ω>0这一前提下的定义.否则，当[a
例3已知函数[y=2cos（2x-π6）]，求它的振幅、周期和初相，
如果对于概念的不熟悉，学生若没有将函数转化为[y=2sin（2x+π3）]那么就很容易得出错误答案了。
2.加强对概念的内涵延伸的复习
对概念的复习，可以从内涵、外延、定义方式、正反例证、合理性等方面分析加深对概念的理解，也要多留意课本上不太引起关注的知识点，思考这一知识点考的是什么，会怎么考等，设计多向分析，深化概念理解。
例4（2014福建省文第21题节选）.已知曲线[Γ]上的点到点[F（0，1）]的距离比它到直线[y=-3]的距离小2。
（Ⅰ）求曲线[Γ]的方程。
本小题考查抛物线的定义，但高于定义，它对抛物线的定义进行了延伸变化。
例5（2012新课标文）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线[y=12x+1]上，则这组样本数据的样本相关系数为
（a）-1（B）0（C）（D）1
本题主要考查样本的相关系数，是简单题.由题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.而部分同学对相关系数一无所知，易选C，认为相关系数就是直线的斜率，白丢了容易得到的分数。在考试中如果发现有概念不是很清楚，都要及时查看课本。
（三）回归课本，加强公式的记忆与运用
首先要加强公式的记忆，学生可以使用一些辅导资料上的公式表，也可根据自己的做题习惯整理一份适合自己的公式表，记住并明白如何应用。
其次对公式不能只停留在表面的认识上，要重视数学公式的来源，深入地理解公式的实质极其全部含义，掌握它们的基本特征和重要性质。利用公式的本质特征记忆公式，还应有意识地训练自己能够用语言准确地叙述数学公式，这样有利于对公式的理解和记忆。如果能用简练明确的口诀把公式中主要数量关系突出地表达出来，这更是记忆数学公式行之有效的方法。当然公式之间也是相互联系的，要注意各个公式间的相互转化，正用、逆用、变形应用。比如高中数学中三角公式最多，实质上学生只要记住两角和与差公式、正余弦定理就可以了.至于诱导公式、倍角公式，与两角和差的公式本质上是一模一样的；降幂半角公式是倍角公式的逆用。
例6（2014福建卷理科第19题节选）、已知双曲线[e：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的两条渐近线分别为[l1：y=2x，l2：y=-2x].（1）求双曲线[e]的离心率；
本小题考查双曲线的离心率公式[e=ca=a2+b2a2=1+b2a2]，双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的两条渐近线为[y=±bax]，若考生记住公式，进行公式之间的转化，由[ba=2，]易得出[e=5]
最后，对于有联系的或容易混淆的公式，可以根据公式的不同特点，进行适当的对照比较，揭示其内在联系，找到它们的异同点，这样可以对公式有更加清晰的印象又可有效地防止某些类似数学公式的混淆。
例如2014福建卷理科第17题，本题考查利用直线与平面所成角的公式，这就要求学生能区别直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的公式。又比如在向量的投影中，要区别[a]在[b]方向上的投影、[b]在[a]方向上的投影，否则公式容易用混淆。
（四）回归课本，强化课本例题的示范性
学生在复习中往往会轻视课本例题的作用，而教材例题是课本的精髓、是无数专家学者研究的成果，具有很强的特性：基础性、示范性、典型性、拓展性、规律性。课本例题虽然基础，但无疑是最有代表性的。它一方面起到了加深学生对概念、知识的理解，并综合运用新知识；另一方面也是培养学生规范解答、提高能力的重要载体。
课本例题的解答过程为学生提供了样板，使学生自己明确解题表述的基本过程和规范要求，从而养成良好的解题习惯和规范语言表达能力。同时教材的例题，体现了一个完整的解题过程，弄清题意、思路分析、解题过程表述、反思总结。通过回归课本例题让学生明白了解题的基本步骤。
例如，在立体几何求角时要“一作二证三计算”。对于解析几何大部分同学都感到难，其实只要涉及直线与圆锥曲线问题，“一设（设直线方程，已知直线过点的用点斜式，但要讨论斜率是否存在；已知直线斜率的，用斜截式）；二联立；三消元；四设而不求，判别式，韦达定理。五代入化简（将根与系数的关系代入题目中的已知条件）”。
这种规律有时候要听老师讲，有时候要学生自己总结，引导学生做完题多想一想，这样以后少走弯路，从而提高自己解题的速度，表述有了规范性，减少了扣分的可能。
（五）回归课本，注意课后习题的挖掘、变式教学
数学课后习题是课堂教学的延伸和补充，数学课后习题的设计不仅能帮助学生巩固知识、技能及分析解决问题的能力，而且还能帮助教师了解教学情况，及时进行教学反思改进。近几年高考，许多高考题都能在教材中的习题找到题源。例如：2012年福建省卷理科第17题，题源是人教版a必修4第138页习题B组第3题。2013年全国新课标卷理科Ⅱ第17题、陕西卷理科第7题、辽宁卷理科第6题；2011年安徽卷第16题；2011年山东卷第17题、江西卷第17题等，这些题源均来自于是人教版a必修5第18页练习第3题。
在教学中，教师应充分认识课本习题所蕴涵的价值，注重对课本习题进行充分的挖掘和研究，对其变式、发散思维训练，挖掘其内涵及外延，把新旧知识有机地组合起来，以达到优化认知、开拓视野、锻炼思维、提高能力的目的.
总之，在高考最后阶段的复习，为了让学生学得轻松、又能达到事半功倍的效果，回归课本是行之有效的一种方法。通过回归能让学生基础扎实、规范解答，将学生引向高考的至高点。
参考文献：
高三数学概率公式总结篇5
概率是新课程根据新课标新增添的内容，它与我们的生活紧密联系。本节课主要解决以下三个问题：1.将不能完全区分的基本事件（红与红）转化成可区分的基本事件（1号与2号）；2.游戏的公平性由机会是否均等转化成概率是否相等，事实上，我们还可以用期望值描述游戏的公平性；3.根据已知概率设计游戏方案。
上节课学的“等可能事件的概率”第一课时关于可区分（有编号）的基本事件的概率的计算方法，为本节课的问题提供了一种解决方案，本节课所学的知识将为下节课“停在黑砖上的概率”和“转盘游戏”做铺垫。
二、学习目标
根据新课程标准的要求，我制定了本节课学生必须实现的学习目标：
1.会将不能完全区分的基本事件转化为可区分的基本事件，进一步熟悉体会概率公式；
2.理解游戏的公平性与概率是否相等之间的等价关系；
3.能用所得公式解决类似的概率问题，并能根据已知概率设计游戏方案。
三、学情分析
我班大部分同学能较好地掌握上节课所学的关于可区分的基本事件的概率，并能在课堂上积极地参与讨论、交流，但也有少部分同学存在一些错误的概率直觉。
四、教学重点难点
根据以上分析，我设定本节课的重点为：
1.将不能区分的基本事件转化成可区分的基本事件；
2.游戏是否公平由机会是否均等相等转化成概率是否相等。
难点为：
1.将不能区分的基本事件转化成可区分的基本事件；
2.根据已知概率设计游戏方案。
五、教学方法
为了充分体现学生是学习的主体，根据本节课的内容性质，我采取了“自主、合作”的探究式和启发式教学法。
六、教学过程
本节课，我将分四个环节进行教学，“创设情境，激趣生疑―分组探索，归纳总结―师生互动，指导应用―课堂小结，自我评价”。
第一环节：
根据本节课的内容，我设计了一个游戏，游戏做法如下：
不透明的箱子里装有6个球。它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一球，记录颜色后放回摇匀再摸球。男女生各请一名代表，每人摸球5次，摸到白球次数多算女生赢，摸到黄球次数多算男生赢。
【设计意图】吸引学生的兴趣，通过游戏，提高学生的学习热情，引发学生对游戏公平性的思索。
第二环节：
（1）呈现课本“议一议”中的问题情境：袋子里装有2个红球，3个白球。它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一球。摸到红球的概率是多少？
学生思考之际，我展示小明同学的想法，征求同学的意见，并引导同学们回答下面三个问题：1.如果是一个白球和一个红球，任意摸一个球，摸到红球的概率是多少呢？2.如果是两个白球和两个红球，任意摸一个球，摸到红球的概率是多少呢？3.如果是三个白球和三个红球，任意摸一个球，摸到红球的概率又是多少呢？
【设计意图】分析对比，确定小明同学的想法是错误的（根本原因是他没有把红球与红球、白球与白球区别对待）。
（2）引导学生回顾上节课中的“议一议”，并与本题进行对比分析，有哪些相同点和不同点。为了解决本节课的问题，我们试借助上节课的方法，将每个球都标上号码，白色分别为1、2、3号，红球分别为4、5号。
【设计意图】将不能完全区分的基本事件转化成可区分的基本事件，突出本节课第一个重点，突破第一个难点。
（3）请同学们小组内完成下表，并请组长汇报结果。
即摸到红球的概率是。然后对所得结果的分子和分母进行分析，可知其中分子就是表示任意摸一球摸到红球的可能性，分母表示任意摸一球所有可能的结果数。进而我们可以探索出求摸到红球的概率的公式，p（摸到红球）=，其中分子m表示任意摸一球摸到红球的结果数，分母n表示任意摸一球所有可能出现的结果数，及时提出如何求p（摸到白球）呢？
出示例题：图中的箱子里装有3个白球，3个红球，2个黑球。它们除颜色外完全相同。从袋中任意摸出一球，求摸到红球的概率。
【设计意图】让学生熟悉体会概率公式，并能用所得公式解决类似的概率问题。
在我们会求概率之后，接下来就要看看概率能解决什么问题。
第三环节：
（1）如果我们用此情景做游戏，规则如下，从中任意摸出一球，摸到白球小明胜，摸到红球小凡胜，请问这个游戏公平吗？为什么？
通过小学所学的知识，可知道这个游戏是不公平的，因为摸到红球和白球的机会不一样。机会不一样也就是摸到红球和白球的可能性不一样，即我们今天所学的摸到红球和白球的概率不一样。
【设计意图】将游戏是否公平由机会是否均等转化成概率是否相等。我们再判断游戏是否公平时，只需要计算双方获胜的概率是否相等即可，突出第二个重点。
（2）由此我们可以判断游戏“我们放一个白球和一个红球，从中任意摸出一球，摸出白球小明胜，摸出红球小凡胜”是公平的，原因就是他们获胜的概率都是。
接下来进入实践操作，改变球的数目，变为4个，怎样设计，游戏才能公平？这个问题我在课堂上是这样解决的，学生分组讨论，组长汇报结果（观看视频）。
【设计意图】学生通过设计游戏，进一步理解了通过计算概率判断游戏的公平性。
（3）为了进一步深化提高，改变条件，继续设计游戏方案。
如果要求设计的游戏必须满足：球的总数是8个，摸到红球的概率是，摸到白球和蓝球的概率都是，你能设计吗？请同学们口答。
【设计意图】让学生能根据已知概率顺利的设计游戏方案，从而突破本节课第二个难点。
（4）设计完毕后，我再次更改条件，将总数由8改成7，其余条件不变。
【设计意图】说明有些情况下，我们可能无法设计出满足要求的游戏方案。
（5）课堂训练。
【设计意图】巩固所学知识，让学生熟练的应用公式，并能准确判断游戏的公平性，开放学生的思维。
第四环节：（1）课堂小结：
1.p（摸到红球）=；
2.概率相等，游戏公平。
【设计意图】加深学生对本节课知识的理解和巩固。
（2）课堂小测。
【设计意图】反馈学生本节课的学习效果。
（3）布置作业。
必做题：1.课本p151第4题
高三数学概率公式总结篇6
郑 洋
（射阳县陈洋中学，江苏 盐城 224300）
摘 要：“概率与统计”是高中数学新课程的重要组成部分，也是最能反映数学应用性的课程．本文从“概率与统计，，的背景和地位，内容与要求以及教学的方法和策略及高考的要求来分析阐述高中“概率与统计’’的教与学。
关键词：高中数学；概率统计；方法
一、新课程概率统计的背景及其地位
据中学数学教学大纲的要求，概率与统计的内容在新课程中分为必修和选修两部分，其中概率的基础知识为必修部分。选修的部分分为文理科两种：文科的内容主要包括：抽样方法，总体分布的估计，总体期望值以及方差的估计。理科的内容主要包括：离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和方差，抽样方法，总体分布的估计‘，正态分布，线性回归等。这些知识以前是大学讲授的课程，但是现如今在中学的教材当中出现，这充分的体现其重要性及其实用性．虽然所讲授的概率和统计内容属于简单部分，但是它为中学生提供了一个很好认识数学应用性的平台，为学生以后进入大学阶段学习提供了一个理想的过渡阶段。
二、分析新课程“概率与统计”这一内容及其特点
1、统计部分的内容：(1)随机抽样：包括简单随机抽样，分层抽样和系统抽样；(2)用样本估计总体：包括频率分布表、频率分布直方图；数字特征，如均值，方差等；利用样本的频率分布来估计总体分布，利用样本的数字特征估计总体的数字特征。体会怎样运用样本估计总体的思想。(3)变量的相关性：要求利用散点图，来认识变量问的相关关系；知道最小二乘法的思想，根据公式建立线性回归方程。
2、概率部分内容：(1)随机事件的概念，频率与概率区别与联系；(2)随机事件的基本事件数和事件发生的概率，互斥事件的概率加法公式，古典概型及其概率计算公式，独立重复试验；(3)随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，几何概型。
3、教材特点分析：(1)强调典型案例的作用：教科书无论在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际；(2)重视统计思想以及计算结果的解释；在教科书当中突出统计思想的解释，比如在概率的意义这一部分，利用概率解释了统计档中似然法的思想，解释了遗传机理中的统计规律。统计试验过程中随机的模拟方法的原理就是运用样本估计总体的思想．在古典概型部分，每道例题在计算出随机事件的概率后，都给出相应结果的解释或提出思考问题让学生做进一步的探究。(3)重视现代信息技术手段的充分的应用：因为概率统计本身的所具有的特点，统计需要分析以及处理大量的数据，概率中随机模拟方法需要产生大量的模拟试验结果，并需要分析和综合试验结果，所以现代信息技术的使用就显得更为必要。
三、概率与统计的课堂教学的方式方法
1、需要重点的突出统计思维的特点及其作用：统计的特征之一是通过部分数据来推测全体数据的性质．因此结果具有随机性，统计推断是有可能犯错误的，但同时，统计思维又是一种重要的思维方式，它由不确定的数据进行推理随机事件的基本事件数和事件发生的概率也同样是有力而普遍的方法．因此使学生体会统计思维的特点和作用，教学中应注重通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，以使学生认识统计的作用。
2、统计教学通过案例来进行并要注重数据的收集：高中阶段统计教学应通过案例的进行，使学生经历较为系统的数据处理全过程来学习一些常用的数据处理的方法，从而解决简单的实际问题。同时，具体的案例也容易帮助学生理解问题和方法的实质，更好的帮助学生理解问题。
3、注重对随机现象与概率意义的理解：概率是研究随机现象的科学，概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。因为随机试验的结果不确定，从而导致试验之前无法预料哪一个结果会出现，表面看无规律可循，但当我们大量重复实验时，实验的每一个结果都会出现其频率的稳定性．应让学生在实际情景中来体会这一点，可多设案例，多做实验来解决。
4、重视对概率模型的理解和应用以及和其他数学知识的结合：学生学习时，首要的是对各种概率模型的理解和应用，教学中，应注意使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程，体会这些例子中的共同特点，从而理解各种概率模型，并且在实际问题中培养学生识别模型的能力．此外教师在教学的过程中，也要注重与其他高中数学知识的结合，使学生体会到数学知识是相通的，激发学生学习其他数学知识的兴趣。
5、注重建立正确的概率直觉：学生存在着一些生活经验，这些经验是学生学习概率的基础，但是其中往往有一些是错误的．怎样建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标．要想实现这个目标，教师必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程，引导学生首先猜测结果发生的概率；然后让学生亲自的动手进行实验，收集实验的相关数据，进行分析实验结果，并且将所得结果与自己的猜测进行比较；最后可以建立理论的概率模型，并且和实际结果联系起来，学生在此过程中不断将自己的最初猜测、实验结果和理论概率进行比较，这将促进他们修正自己的错误经验，建立正确的概率直觉。
四、高考对概率统计部分的考察
高三数学概率公式总结篇7
例1（2011年福建卷）如图1，矩形aBCD中，点e为边CD的中点。
若在矩形aBCD内部随机取一个点Q，
则点Q取自aBe内部
的概率等于（）
a.14B.13
C.12D.23
分析由于在矩形aBCD内部随机取一个点Q的可能性相等，且结果是有无穷多个，它是一个与面积有关的几何概型。
解因为SaBe＝12|aB|•|BC|，S矩形＝|aB|•|BC|，则点Q取自aBe内部的概率p＝SaBeS矩形＝12，故答案选C。
点评对简单的概率问题首先要能迅速判断出是古典概型还是几何概型，再套用公式解决。求几何概型事件的概率是高考中的一个新考点，解决问题的关键是要根据条件构造出与随机事件对应的几何图形，找出利用图形的几何度量如长度、面积、体积等。
二、正确运用列举法，直接求解
为了得到基本事件的结果总数，常用树状图或列表法，先列出1次试验可能出现不同的结果，然后求一共有多少种不同的结果数，所求概率的事件包含基本事件的个数，最后根据古典概型的概率计算公式求得。
例2《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚。
据《法制晚报》报道，2010年8月1日至8月28日，某市交管部门共抽查了1000辆车，查出酒后驾车和
醉酒驾车的驾驶员80人，图2是对这80人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图。
(Ⅰ)根据频率分布直方图完成下表：
酒精含量
(单位：mg/100ml)［20，30）［30，40）［40，50）［50，60）［60，70）［70，80）［80，90）［90，100）
人数
(Ⅱ)根据上述数据，求此次抽查的1000人中属于醉酒驾车的概率；
(Ⅲ)若用分层抽样的方法从血液酒精浓度在［70，90)范围内的驾驶员中抽取一个容量为5的样本，并将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率。
分析求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，可以用事件发生的频率近似值作为它的概率。根据第(Ⅰ)问确定分层抽样确定在［70，90)范围内的驾驶员的人数抽样比，再确定5人这一样本中有几个，可以利用序数对列举所有的结果，并通过古典概型的概率计算公式求出恰有1人属于醉酒驾车的概率。
解(Ⅰ)
酒精含量
(单位：mg/100ml)［20，30）［30，40）［40，50）［50，60）［60，70）［70，80）［80，90）［90，100）
人数121616481284
(Ⅱ)p=(8+4)÷1000=0.012。
(Ⅲ)因为血液酒精浓度在［70，80)范围内有12人，［80，90)范围内有8人，要抽取一个容量为5的样本，［70，80)内范围内应抽3人，记为a,b,c，［80，90)范围内应抽2人，记为d,e，则从总体中任取2人的所有情况，画树状图如下：
从图中可以看出，从总体中任取2人的所有情况为{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e}，恰有一人的血液酒精浓度在［80，90)范围内的情况有{a,d},{a,e},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e}，共6种，设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件a，则p(a)=610=35。
点评列举是处理古典概型的基本方法，列举时要注意分清“有序”还是“无序”，按一定次序进行列举，防止重复和遗漏。采用树状图、列表等直观手段是防止重复与遗漏的有效方法。
三、分清事件构成，合理转化
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常试验中的某一事件a，由几个基本事件组成。若对事件的构成分不清，概念难以转化，则解题容易导致错误。
例3（江西省南昌市2011届高三数学联考）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止。设甲在每局中获胜的概率为p(p>12)，且各局胜负相互独立。已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59。
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望eξ。
分析根据题意比赛停止的条件是“有一人比对方多2分或打满6局”，因此比赛停止时已比赛的局数只能是2，4，6。“第二局比赛结束比赛停止”可能是甲连胜2局，也可能是乙连胜2局；同样，可以看成前两局没有结束，后两局结束；“第六局比赛结束比赛停止”，则是第一、二局没有结束，且第三、四局没有结束，且第五、六局不管结果是怎样，都是到第六局都要结束。
解（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束。
所以有p2+(1－p)2=59，解得p=23或p=13。
因为p>12，所以p=23。
（Ⅱ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6。设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59。若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响。从而有p(ξ=2)=59，p(ξ=4)=(1－59)(59)=2081，p(ξ=6)=(1－59)(1－59)•1=1681。下略。
点评解决概率问题，关键是确定事件性质，弄清它是由哪些事件构成，判断事件是互斥、还是相互独立，然后正确运用概率计算公式求解。
四、利用“正难则反”策略，逆向求解
例4(2011年江西省新余市高三模拟)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列表：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
男生5
女生10
合计50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35。
（Ⅰ）请将上面的列表补充完整；
（Ⅱ）是否有99．5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（Ⅲ）已知喜爱打篮球的10位女生中，a1,a2,a3还喜欢打羽毛球，B1,B2,B3还喜欢打乒乓球，C1,C2还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求女生B1和C2不全被选中的概率。
下面的临界值表供参考：
p(χ2≥k)0．150．100．050．0250．0100．0050．001
2．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828
（参考公式：χ2=n(ad－bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d。）
分析（Ⅲ）由于事件“女生B1和C2不全被选中”含有“B1被选中且C2不被选中”“B1不被选中且C2被选中”“B1与C2都不被选中”，但其对立事件为“B1和C2全被选中”，只有一种情况，所以对事件的概率公式p(a)=1－p(a)求解方便。
解（Ⅰ）（Ⅱ）（略）；（Ⅲ）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件数为3×3×2=18（种），用m表示“B1、C2不全被选中”这一事件，则其对立事件m表示“B1和C2全被选中”这一事件。由于m含有的基本事件数为C13=3（种），所以p(m)=318=16，由对立事件的概率公式得p(m)=1－p(m)=1－16=56。
点评先求事件的对立事件的概率，根据“正难则反”的解题策略，可以大大简化繁琐的计算。
五、数形结合
例5（2011年江西卷）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书。则小波周末不在家看书的概率为________。
图2
分析如图2，到圆心的距离大于12的点是以12为半径的圆外部的点，到圆心的距离小于14的点是以14为半径的圆内的点，作出图形，利用几何概型知识即可获解。
解设a={小波周末去看电影}，B={小波周末去打篮球}，C={小波周末在家看书}，D={小波周末不在家看书}，则如图2所示：
p(D)=1－p(C)=1－(12)2π－(14)2ππ=1316。
高三数学概率公式总结篇8
【关键词】核心概念；数据分析；应用意识；统计推理
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）在“课程设计思路”中安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”[1].为帮助教师更好的引导初中学生学习“统计与概率”部分的有关知识，笔者在本文首先谈谈对这部分内容的认识，然后提出宏观教学建议.1全面认识“统计与概率”部分内容
1.1主要内容
“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、方差等；从数据中提取信息并进行简单地推断；简单随机事件及其发生的概率.
1.2热葜飨
这部分课程内容的主线为[2]：
（1）数据分析过程：让学生参与收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；
（2）数据分析方法：掌握必要的收集数据、整理数据、描述数据和分析数据的方法；
（3）数据的随机性：体会样本和总体的关系.通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势；
（4）随机现象及简单随机事件发生的概率：通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，从而了解并获得事件的概率.
1.3核心概念
《课标（2011年版）》提出了十个核心概念，本部分主要涉及三个：
（1）数据分析观念：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律.数据分析是统计的核心[1].
（2）应用意识：结合“统计与概率”的知识，使学生经历收集数据、整理数据和分析数据的过程，让学生认识到现实生活中蕴涵着大量的和统计与概率有关的问题，这些问题可以用统计与概率的知识和方法加以解决，在解决的过程中逐步发展学生的应用意识.
（3）推理能力：推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.在“统计与概率”知识的教学中，结合具体内容，培养学生的统计推理能力.
1.4学习目标
初中阶段“统计与概率”部分的学习目标为[3]：体会抽样的必要性以及用样本估计总体的统计思想，进一步学习描述数据特征的方法，根据数据处理的结果做出合理的统计推断；进一步体会概率的本质含义，能计算简单事件发生的概率，能够应用概率的知识解决问题，体会统计与概率之间的联系，以及统计与概率在制定决策时的作用.
（1）经历数据统计的全过程（提出问题、确定样本、收集数据、整理和描述数据、分析数据、作出决策和预测）；
（2）掌握统计与概率的一些基本知识和方法；
（3）感受客观世界的不确定性，初步形成对事件发生概率的认识；感悟一些随机现象的规律；
（4）运用统计与概率的知识和方法进行推理，作出合理的决策，并进行交流，逐步提高应用意识；
（5）能用随机的观念认识并解释现实世界，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；2宏观教学建议
统计和概率主要是通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对客观事件发生可能性的刻画，来帮助人们更好的制定决策，这部分内容已成为一个公民的必备素养，是数学核心素养的重要组成部分.是义务教育阶段唯一培养学生用随机的观点来理解世界的课程内容，使学生掌握基本的统计与概率的知识和方法，形成数据分析的观念，在面对不确定情境或大量数据时，能作出更合理的决策，具有重要的教育价值[4]：
“数据分析观念”是统计和概率部分的核心，因为这部分内容与实际生活有着密切的联系，所以这部分内容的教学应围绕如何培养学生的数据分析观念及应用意识展开.
2.1经历知识的产生过程
在《课标（2011年版）》中，数据分析观念包含三层意思：
第一，经历数据分析的过程，体会数据中蕴涵着信息；
第二，掌握数据分析的基本方法，根据问题的背景选择合适的方法；
第三，通过数据分析，感受数据的随机性[2].
本部分内容“承载”着培养学生数据分析观念的任务，形成数据分析观念的有效方法就是让学生投入到数据分析的全过程中去.学生经历这样的过程，不仅能学习一些具体的知识和方法，同时还能体会到数据中蕴涵着大量有价值的信息，进而提高自己运用数据分析问题、解决问题的能力.教学中应“设计必要的数学活动，让学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等，感悟知识的形成和应用”[1].
案例1加权平均数概念的学习过程[5].
对于加权平均数的概念，教师可设计以下问题，让学生去独立思考、相互交流，进而发现新的知识.
（1）你过去已经学过平均数.你能举例说明如何计算一组数据的平均数吗？如果已知一组数据为x1，x2，…，xn，这组数据的平均数应该怎样计算？
（2）为满足顾客的需要，某商场将15kg奶糖、3kg酥心糖和2kg话梅糖混合成什锦糖出售.已知奶糖的售价为每千克40元，酥心糖为每千克20元，话梅糖为每千克15元.混合后什锦糖的售价应为每千克多少元？
小亮认为：混合后每千克什锦糖的售价是三种糖单价的平均数，即40+20+153=25（元）.
小莹认为：在总体中三种糖的质量不相等，计算每千克什锦糖的售价时，应求出混合后三种糖的总价格，再除以它们的总质量数，即40×15+20×3+15×215+3+2=34.5（元）.
你同意上面谁的算法？与同学交流.
（3）上面小莹列出的算式还可以作以下变形：
40×15+20×3+15×215+3+2=40×1520+20×320+15×220=34.5（元）.
由此可见，什锦糖的单价不仅与混合前奶糖、酥心糖和话梅糖的单价有关，也与混合后这三种糖的质量在什锦糖质量中所占的比值有关.
（4）由问题（3）所列出的算式可以看出，数据40，20，15对什锦糖单价影响的“重要程度”是不一样的.你发现这三个数据影响平均数大小的“重要程度”可以通过哪三个比值反映出来？
（5）某车间工人日加工零件数如下表所示，仿照（3）中小莹列出的算式，你能计算出平均每个工人日加工零件的个数吗？
在这个问题中，数据20，22，24，25出现的次数是不同的，因此，全部数据的平均数，不仅受上述4个数据大小的影响，还要受到它们占这组数据总件数40的比值440，840，2040，840的影响.这就是说，这些比值的大小分别代表了上述四个数据影响平均数大小的“重要程度”.
因此，我们把比值440，840，2040，840分别称作数据20，22，24，25的权.
（6）在加权平均数的计算公式中，所有数据的权的和是多少？对比加权平均数与以前学过的平均数的意义，你能说出二者有什么联系吗？
设计意图学生在小学第二学段已经学习了“平均数”的概念，问题（1）就是引导学生回忆这个问题的，本设计也就是在这个基础上产生的（这个基础本质上反映出引进加权平均数的可行性）.为了体现《课标（2011年版）》提出的“现实性”要求，让学生加深对“数学来源于生活“的认识，设计了两个实际问题：第一个实际问题（求“什锦糖”的售价），这是个求平均数的问题.部分学生受思维定势的影响，可能会根据小学学过的平均数的求法，得到小亮的结果.为了让学生自己发现这种计算方法的错误，引起认知上的冲突，由小莹给出了另外一种计算方法.学生通过独立思考、相互交流能判断出小莹的解答是正确的.之后，通过对小莹列出的算式的变形，引出问题（3）中的算式，目的在于使学生感受到一组数据的平均数不仅与这组数中各个不同数据的大小有关，也与各个不同数据在总体中所占的比重，即各个数据影响平均数的“重要程度”有关.初步感受加权平均数中的“权”的意义.第二个实际问题，即问题（5）中计算“平均每个工人日加工零件的个数”，这也是个求平均数的问题.通过问题（5），学生再次感受到如果各个数据出现的次数与总次数的比值不同，在计算平均数时它们的重要程度也不相同（体现了引入新概念的必要性）.因此，需要对学生原认知结构中平均数的计算方法进行加工改造，引出权的概念和加权平均数的计算公式，由平均数概念扩充到加权平均数概念及其求法，扩大了学生原有的数学认知结构.
2.2培养学生的应用意识
《课标（2011年版）》指出，数学教学应当“根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动.……这样的活动要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识”[1].在“统计与概率”知识的教学中，应注重设计贴近学生生活的情境，使他们经历收集数据、整理数据和分析数据的过程，逐步发展应用意识[2].
案例2怎样的记分规则才合理[6].
青年歌手大奖赛的决赛在甲、乙两名歌手之间进行，9位评委的评分（10分为满分）情况如下表所示（单位：分）：
（1）将甲、乙两名歌手的得分适当进行分组整理，并列成统计表；
（2）分别求出甲、乙两名歌手得分的平均数、中位数和众数；
（3）由（2）的结果，分析甲、乙两名歌手中谁的演唱水平较高；
（4）如果以平均分为标准区分比赛的名次，那么制订怎样的计分规则比较合理？
设计意图为培养学生能对日常生活中的有关统计问题做出分析判断，培养学生的数据分析观念和应用意识，特设计了以上四个问题：（1）要求学生先把题目中出现的评委对甲、乙两名歌手打分的原始数据适当进行分组、整理，并用统计图表分别描述；（2）分别计算两组数据的平均数、中位数和众数，使学生进一步感受这三个统计量计算方法的区别；（3）要求学生根据问题（2）的结果，利用平均数、中位数和众数对甲、乙的演唱水平进行评价，这实际上是对两组数据的集中程度从不同角度进行比较.学生通过解答这个问题，能认识到如果在一组数据中出现个别差异较大的数时，用不同的统计量评价时，结果是不一样的.（4）制定计分规则是为了消除个别差异较大的数据对平均数的影响，采取去掉两个极端数据后再求平均数的方法，使评价的结果尽量做到客观公正，这实际上是对问题（2）中求平均数方法的改进.
2.3加强统计推理训练
统计推理是国际公认的统计学习目标之一，让学生具备根据不确定的情境做出决策以及处理统计信息的能力，是培养学生数学核心素养的重要措施之一.在“统计与概率”部分的教学中，应结合具体知识，对学生进行统计推理训练，不断提高学生的说理能力，从而实现《课标（2011年版）》指出的“了解利用数据可以进行统计推理，发展建立数据分析观念”[1]的课程目标.
案例3这种游戏公平吗？（2016年山东威海中考题）
一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同.
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字.若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.
析解（1）因为标号为1，2，3，4，5，6的六个小球中，标号数字为奇数的有三个，所以摸到标号数字为奇数的小球的概率为：36=12.
（2）画树状图：
如上图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果也有18种，由此可求出p（甲）=1836=12，p（乙）=1836=12.
显然这个游戏对甲、乙两人是公平的.
启示本题是用概率的知识判断游戏的公平性问题.选材来源于学生的生活实际，符合学生的认知心理特点，这样的问题能激发学生的学习兴趣，调动其学习积极性.学生通过解答类似的问题，能“体会数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考”，这对于培养学生的推理能力是大有帮助的，这种“以理服人”的好习惯、好品质也是基础教育的目的之一.
以上我们论述了引导学生学习“统计与概率”知识的宏观策略.在教学中要认真研读《课标（2011年版）》准确把握课程内容和教学目标要求，结合具体的知识内容，精心设计一些能利用这些知识进行统计活动的问题情境，引导学生经历观察、猜测、计算、推理等活动的过程.既重在实践，又重在综合，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用，感受数学的理性精神和人文价值[7].逐渐培养学生的数据分析观念以及应用统计与概率知识解决实际问题的能力，不断积累数学统计经验，逐步形成“评价与反思”的良好习惯和“严谨求实”的科学态度.
参考文献
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[2]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解x[m].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3]马复.初中数学教学策略[m].北京：北京师范大学出版社，2010.
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[5]李树臣.充分体现课标理念，促进学生全面发展――《义务教育教科书・数学》编写的主要原则[J].中学数学杂志，2015（8）.
高三数学概率公式总结篇9
古典概型：
1.古典概型的判断：
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征――有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型.
2.对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去解决.
例1（2012・安徽高考）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于.
解析：设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为（a，b1），（a，b2），（a，c1），（a，c2），（a，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共15个.
两球颜色为一白一黑的基本事件有（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共6个.
因此其概率为615=25.
方法小结：
计算古典概型事件的概率可分三步：（1）算出基本事件的总个数n;（2）求出事件a所包含的基本事件个数m;（3）代入公式求出概率p.
例2（2012・江西高考）如图所示，从a1（1，0，0），a2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点.
（1）求这3点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;
（2）求这3点与原点o共面的概率.
解析：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：
x轴上取2个点的有a1a2B1，a1a2B2，a1a2C1，a1a2C2，共4种;
y轴上取2个点的有B1B2a1，B1B2a2，B1B2C1，B1B2C2，共4种;
z轴上取2个点的有C1C2a1，C1C2a2，C1C2B1，C1C2B2，共4种.
所选取的3个点在不同坐标轴上有a1B1C1，a1B1C2，a1B2C1，a1B2C2，a2B1C1，a2B1C2，a2B2C1，a2B2C2，共8种.因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.
（1）选取的这3个点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：a1B1C1，a2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为p1=220=110.
（2）法一：选取的这3个点与原点o共面的所有可能结果有：a1a2B1，a1a2B2，a1a2C1，a1a2C2，B1B2a1，B1B2a2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2a1，C1C2a2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点o共面的概率为p2=1220=35.
法二：选取的这3个点与原点不共面的所有可能的结果有a1B1C1，a1B1C2，a1B2C1，a1B2C2，a2B1C1，a2B1C2，a2B2C1，a2B2C2，共8种，因此这3个点与原点o共面的概率为p2=1-820=35.
例3（2012・江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是.
解析：由题意得an=（-3）n-1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p=610=35.
答案：35
方法小结：
求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型.必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
几何概型
1.几何概型的特点：
几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关.
2.几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果.
（1）与长度、角度有关的几何概型
例4（2011・湖南高考）已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25.
（1）圆C的圆心到直线l的距离为;
（2）圆C上任意一点a到直线l的距离小于2的概率为.
解析：（1）根据点到直线的距离公式得d=255=5;
（2）设直线4x+3y=c到圆心的距离为3，则|c|5=3，取c=15，则直线4x+3y=15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x+3y=15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.
答案：5，16
方法小结：
求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度），然后求解.确定点的边界位置是解题的关键.
（2）与面积有关的几何概型
例5（1）（2012・湖北高考）如图，在圆心角为直角的扇形oaB中，分别以oa，oB为直径作两个半圆.在扇形oaB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是.
解析：（1）法一：设分别以oa，oB为直径的两个半圆交于点C，oa的中点为D，如图，连接oC，DC.不妨令oa=oB=2，则oD=Da=DC=1.在以oa为直径的半圆中，空白部分面积S1=π4+12×1×1-（π4-12×1×1）=1，所以整体图形中空白部分面积S2=2.又因为S扇形oaB=14×π×22=π，所以阴影部分面积为S3=π-2.
所以p=π-2π=1-2π.
法二：连接aB，设分别以oa，oB为直径的两个半圆交于点C，令oa=2.
由题意知C∈aB且S弓形aC=S弓形BC=S弓形oC，
所以S空白=SoaB=12×2×2=2.
又因为S扇形oaB=14×π×22=π，所以S阴影=π-2.
所以p=S阴影S扇形oaB=π-2π=1-2π.
方法小结：
求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率.这类问题常与线性规划知识联系在一起.
（3）与体积有关的几何概型
例6在棱长为2的正方体aBCDa1B1C1D1中，点o为底面aBCD的中心，在正方体aBCDa1B1C1D1内随机取一点p，则点p到点o的距离大于1的概率为.
解析：（1）点p到点o的距离大于1的点位于以o为球心，以1为半径的半球的外部.记点p到点o的距离大于1为事件a，则p（a）=23-12×4π3×1323=1-π12.
方法小结：
与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：
对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化;也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域.
统计中常见题型
（1）用样本估计总体
例7从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为.
解析：由题意知a×10+0.35+0.2+0.1+0.05=1，
则a=0.03，故学生人数为0.3×100=30.
1.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高的矩形的中点的横坐标.
2.注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻度为频率/组距.
3.方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
（2）用样本的频率分布估计总体分布
例8（2012・广东高考）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值;
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分;
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.
分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）
x∶y1∶12∶13∶44∶5
解析：（1）由频率分布直方图知（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1，解得a=0.005.
（2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73（分）.
（3）由频率分布直方图知语文成绩在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）各分数段的人数依次为0.005×10×100=5，0.04×10×100=40，0.03×10×100=30，0.02×10×100=20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5，40×12=20，30×43=40，20×54=25.
故数学成绩在[50，90）之外的人数为100-（5+20+40+25）=10.
方法小结：
解决频率分布直方图问题时要抓住：
（1）直方图中各小长方形的面积之和为1.
（2）直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即矩形的面积.
（3）直方图中每组样本的频数为频率×总体数.
高三数学概率公式总结篇10
一、引言
概率论作为一门研究随机性或者不确定现象的学科，有其广泛的应用性，为此很多高等院校的工科类及经管类专业都将其作为专业基础课程，但是，由于我们所研究的概率问题的抽象性使得这门课程成为很多学生学习的障碍，另外由于这门学科的很多内容都与高等数学的知识有很大的关联性，因此对于那些数学基础相对薄弱的学生而言，概率论是他们的弱项学科.数形结合思想是数学中常用的思想之一，它贯穿于学生的小学中学的数学学习中，使用这种方法可以起到“以行助教”的作用，可以使一些复杂抽象的数学问题变得直观化、生动化，从而使难题迎刃而解，达到事半功倍的效果.
二、数形结合方法计算几何概型的概率
例1甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开，如果没人可在指定的一小时内任意时刻到达，试计算两人能够会面的概率.
分析根据题意，很容易看到这种概率模型应属于几何概型，因此我们可以套用计算几何概型的公式，但是由于问题的抽象性很多学生并不清楚样本空间和两人能够会面所表示的区域大小，通过结合图形讲授此类题目，很多学生便能够轻而易举地解决.
解记7点为计算时刻的0时，以分钟为单位，x，y分别记为甲、乙到达指定地点的时刻.
第一步：在二维平面上做x轴，y轴，分别表示甲、乙到达指定地点的时刻，则整个空间为S={（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}.
第二步：以事件a表示“两人能会面”，依题意，只有两人到达的时刻差小于20时可以会面，因此a={（x，y）|（x，y）∈S，|x-y|≤20}，在图像上作出相应的直线.
第三步：结合图像，我们可以看到阴影部分代表“两人能会面”，而正方形的面积代表整个样本空间，根据计算几何概型概率的公式即可得到p（a）=μ（a）μ（S）=602-402602=59.
三、数形结合方法求解一维连续型随机变量函数的概率密度函数
求解一维连续型随机变量函数的概率密度函数一直是概率论学习中的难点问题，一部分学生喜欢套用课本中提到的概率密度公式，却忽略了这种方法的使用条件（函数必须是严格单调的），另一部分学生则对于具体的计算题目不知如何处理，运用数形结合的方法则能很好地解决这些问题.
例2设随机变量X概率密度为fX（x）=2xπ2，0
四、数形结合方法求解二维连续型随机变量函数的概率密度函数
二维连续型随机变量函数的概率密度函数的求解方法类似于一维的情形，但是由于二维的计算上更加困难，学生通常用卷积公式来求解这类问题，实际上通过数形结合的方法可以使这类问题的求解一目了然，易懂易学.