物体波动方程公式总结第1篇
首先，我们介绍波动方程：
u_{tt}-\Deltau=0\\
非齐次波动方程：
u_{tt}-\Deltau=f\\
其中x\inU，U\subset\mathbb{R}^n是开集，u(x,t):\overline{U}\times[0,\infty)\to\mathbb{R}，并且拉普拉斯算子是对x=(x_1,x_2,...,x_n)进行操作的，且f:U\times[0,\infty)\to\mathbb{R}已知。
物理解释波动方程是在日常生活中常见问题物品的简化，例如一维情况下的线，二维情况下薄膜以及三维弹性固体波动的现象研究。u(x,t)描述的是在t时刻，x点的位移情况。
V代表U的任意子空间，则加速度为：\frac{d^2}{dt^2}\int_Vudx=\int_Vu_{tt}dx，净接触力是
-\int_{\partialV}F\cdotvdS，F代表合力且质量为1.由牛顿定理(F=ma)可知
\int_Vu_{tt}dx=-\int_{\partialV}F\cdotvdS\\
在根据V的任意性，我们可以得到u_{tt}=-divF，对于弹性物体，F是关于位移梯度的函数，对于小梯度，我们可以近似得到F(Du)\approx-aDu，于是有u_{tt}-a\Deltau=0.当a=1时为我们所研究的波动方程。
物体波动方程公式总结第2篇
波面/波阵面：相位相同的点所连成的曲面，
波前：最前面的波面
球波面：波面是球面的波
平波面：波面是平面的波
波长：同一波线相邻相位差为2π两质点间距用\lambda表示
周期：前进一个波长的距离所需要的时间用t表示
频率：周期的倒数
波速：单位时间某一振动状态传播距离用u表示u_固>u_液>u_气
u=\frac{\lambda}{t}=\lambda\nu
表达式：y=acos[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]
代入\omega=\frac{2\pi}{t}与u=\frac{\lambda}{t}
得：y=acos[2\pi(\frac{t}{t}-\frac{x}{\lambda})+\varphi]
定义波数k为k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\omega}{u}
得：y=acos(\omegat-kx+\varphi)
y=acos(\omegat-kx_1+\varphi)=acos(\omegat-2\pi\frac{x_1}{\lambda}+\varphi)=acos(\omegat+\varphi_1)
其中\varphi_1=\varphi-2\pi\frac{x_1}{\lambda}
y=acos(\omegat_1-kx+\varphi)
y(x_1,t_1)=acos(\omegat_1-\frac{\omega}{u}x_1+\varphi)
这是行波，所谓波动，即波形的移动过程
动能：de_k=\frac{1}{2}(dm)v^2=\frac{1}{2}\rhodV\omega^2a^2sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]
势能：de_p=\frac{1}{2}\rhodVa^2\omega^2sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]
总能量：de=de_k+de_p=\rhodV\omega^2a^2sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]
能流密度：i=\frac{1}{2}\rhoa^2\omega^2u
前提：频率相同，振动方向一致，相位相同\相位差恒定
假设两列相干波y_1=a_1cos(\omegat+\varphi_1)y_2=a_2cos(\omegat+\varphi_2)
y=y_1+y_2=acos(\omegat+\varphi)
其中tan\varphi=\frac{a_1sin(\varphi_1-\frac{2\pir_1}{\lambda})+a_2sin(\varphi_2-\frac{2\pir_2}{\lambda})}{a_1cos(\varphi_1-\frac{2\pir_1}{\lambda})+a_2cos(\varphi_2-\frac{2\pir_2}{\lambda})}a=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_1a_2cos\Delta\varphi}
相位差为\Delta\varphi=(\varphi_2-\varphi_1)-2\pi\frac{r_2-r_1}{\lambda}
概念：振幅，振动方向，频率都相同，传播方向相反的简谐波叠加而成
存在两列波y_1=acos2\pi(\nut-\frac{x}{\lambda})y_2=acos2\pi(\nut+\frac{x}{\lambda})
则合成驻波函数为y=y_1+y_2=2acos2\pi\frac{x}{\lambda}cos2\pi\nut
波节：振幅为0的位置
波腹：振幅最大的位置
相邻两波节或波腹间距为\frac{\lambda}{2}
物体波动方程公式总结第3篇
简谐运动表达式：x=acos(\omegat+\varphi)
对其求导，可得速度表达式：v=-\omegaasin(\omegat+\varphi)=v_{m}cos(\omegat+\varphi+\frac{\pi}{2})
其中v_{m}=\omegaa叫速度幅值
再求导，可得加速度表达式：a=-\omega^{2}acos(\omegat+\varphi)=a_{m}cos(\omegat+\varphi+\pi)
其中a_{m}=\omega^{2}a叫加速度幅值
a:振幅t：周期(s)\omega:角频率\nu：频率(Hz)\omegat+\varphi:相位
t=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{\nu}
势能：e_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}ka^{2}cos^{2}(\omegat+\varphi)
动能：e_{k}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega^2a^2sin^2(\omegat+\varphi)
因为有\omega^2=\frac{k}{m}，根据能量守恒，总能量为：e=e_k+e_p=\frac{1}{2}ka^2=\frac{1}{2}m\omega^2a^2
合振幅：a=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_1a_2cos(\varphi_1-\varphi_2)}
初相\varphi应满足：tan\varphi=\frac{a_1sin\varphi_1+a_2sin\varphi_2}{a_1cos\varphi_1+a_2cos\varphi_2}