等腰三角形的性质篇1
一、问题描述
等腰三角形的性质是新人教版八年级数学第十四章第三节的内容，是全等三角形的续篇。是在认识了轴对称以及了解了全等三角形的判定的基础上进行的。这节课是《等腰三角形》讲授完后对该节进行复习，重点复习等腰三角形的性质及运用等腰三角形的性质初步学会证明线段之间的等量关系的复习课。
二、问题解决过程
《数学课程标准》强调，教师应发扬教学民主，成为学生数学学习活动的组织者、引导者、合作者。据此本节课我分以下环节组织建模教学。
(一)创设情境，观察联想。1、多媒体展示电视转播台、房屋人字架，让学生观察找出其中的几何图形?(等腰三角形、四边形、梯形)2、两幅图中都有哪种几何图形?(等腰三角形)从学生身边的生活和已有知识出发，创设情境，引导学生观察、联想，使学生感受到生活中处处有数学，并学会从数学的角度去观察事物。
(二)抽象假设，建立数模。3、什么是等腰三角形?等边三角形?它们有何关系?4、多媒体展示：如图1已知直线L和L外一点a。o是直线L上的一点，试用尺规作图，作出过a.o两点，另外一点在L上的等腰三角形。
5、小组交流发现的结论。
6、小组代表用语言表达得出的结论。图2、图3。
7、多媒体演示过程，再现归纳得出的结论。
8、揭示、板书课题：复习等腰三角形的性质。让学生看书温习、重现已学相关知识，为后面做铺垫。《新课程标准》要求通过实践、思考探索、交流获得知识，所以我在这里力图通过学生动手操作、动眼观察、动口交流表达，使学生充分感知等腰三角形性质。
(三)独立思考，归纳总结。
9、对于观察得出的结论图3如果等腰三角形aoB是正三角形如图4求他们角∠B、∠aoB、∠C
之间的关系。待学生们探究得出了他们之间的关系。∠B=∠aoB=2∠C（稍作一个引导）∠C，∠B和∠a是三角形aBC中三个角。且有∠B＝2∠C，∠C＝∠Cao，他们的边具有什么样的等量关系呢？
镜头：现场学生认真观察，然后积极回答。生1：Co＝ao＝aB生2：Co+oB＝aB+oB 生3：CB＝aB+oB…
(四)合作探究，交流创新。
10、（引导深化）如果ao是三角形的高，那么他们的边具有什么样的等量关系呢？得到图5（镜头：教室里一下像开了锅，热烈的讨论交流起来）
放手让学生自己探索，把期望带给学生，让学生最大限度地发现自己的潜能，当部分同学找到了问题的突破口，而少数找不到思路的同学也充分感知了困难，尝试了困难后，及时组织学生进行合作探究和交流，并作为合作者参与到学生的交流中。
(五)引导评价，掌握规律。
现场镜头：（师：刚才大家得出CH＝aB+BH的结论是完全正确的，不错！但作图时不能同时满足两个条件，另外一个条件需要证明，这是一个线段等量关系的证明问题，大家回忆一下，有什么知识可以证明线段相等？生1：三角形全等 ；生2：等腰三角形的知识）
11、小组合作交流后，请各小组派一名代表上台讲解(给学困生提供上台机会，让他们尝试建模成功的喜悦)通过师生、生生的相互补充评价，将探究建模活动引向深入，强化学生的创新思维训练。运用知识迁移在新知识的基础上探索新的未知，把学生的探究兴趣进一步推向高潮，激励学生要敢于迎接挑战，不断追求，锻炼意志。
(六)实践应用，巩固提高。
课堂镜头1：三角形的重要线段除了高，还有哪些？
生1：中线
生2：角平分线
师：同学们回答得很好。下面我们运用∠BaC的角平分线模拟前面的证明题来编写一道证明好不好？
生：齐呼好！
镜头2：学生4人一组，建模、画图、写已知、求证明，一步一步，认认真真。当同学之间交流正确时欢呼雀跃，当不一致时，大家又认真对照，细心体会，一步步重新操作，再修正。。。。。。。直到真正的搞懂，证明正确。他们个个都成了科学家.发明家和数学家。
镜头3：学生编写的题如图6，在三角形aBC中，已知∠B＝2∠C .am平分∠BaC,求证：aB+Bm＝aC
镜头4：如图7，图8同学们证明这道题所作的同学的辅助线。
评：为学生再一次创设探究情境，引导学生仿照数模自己编写新的数模，进一步培养学生的探究能力和思维的广阔性、灵活性，提高了学生分析问题和解决问题的实践能力。培养了学生的应用意识和应用能力。给学生一种的全新体验。而这种探索活动除了让学生消除对数学问题的神秘感外，还会产生学习数学的浓厚兴趣。
(七)反思归纳，形成结构。
1、引导学生对学习过程进行小结：
①本节课你有哪些收获?(知识、方法、技能)，你认为重点是什么?
②所学知识能解决哪些实际问题?
③本节课所运用的学习方法对你今后学习有什么启示?
三、课堂教学建模的思考
《课程标准》中明确指出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等各方面均得到进步与发展”。由此可见，学生数学建模能力培养的意义不仅仅在于解决一个具体的实际问题，也不仅仅在于获得一个数学规律的认识，而在于使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。笔者认为在数学建模过程中要注意以下几点：
①鼓励学生积极主动地参与，要把教学过程变成学生活动的过程，鼓励学生有创造性。
②注意结合学生的实际水平，分层次逐步地推进。数学建模对教师、对学生都有一个逐步的学习和适应的过程。教师在设计数学建模活动时，特别应考虑学生的实际能力和水平，起点要低，形式应有利于更多的学生能参与。如这节课我在设计时就注意在开始的教学中,先描述一些实际现象，逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果，模仿地解决一些比较确定的应用问题，到独立地解决教师提供的数学建模问题，最后发展成能独立地发现、提出一些实际问题，并能用数学建模的方法解决它。
等腰三角形的性质篇2
1.教学知识点
（1）等腰三角形的概念。
（2）等腰三角形的性质。
（3）等腰三角形的概念及性质的应用。
2.能力训练要求
（1）经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点。
（2）探索并掌握等腰三角形的性质。
【教学重点】
1.等腰三角形的概念及性质。
2.等腰三角形性质的应用。
【教学难点】
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。
【教学方法】
探究归纳法。
【教学过程】
Ⅰ.提出问题，创设情境
1.复习轴对称和轴对称图形的知识。
2.三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？
Ⅱ.导入新课，合作探究
满足轴对称图形条件的三角形是轴对称图形――等腰三角形。
1.你会画等腰三角形吗？学生动手，教师适当提示，并演示。
2.等腰三角形有什么性质？（提示：可从以下几个方面探索：a.等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴.B.等腰三角形的两底角有什么关系？C.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？D.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？）
经过学生的探索、归纳及提示，我们得出等腰三角形的性质。
等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。
你会证明这些性质吗？教师引导学生进行规范的证明。
看我大显身手：
1.如图，在aBC中，aB=aC，点D在aC上，且BD=BC=aD，求aBC各角的度数。
2.在等腰aBC中，aB=aC，∠B=75°，求∠a和∠C的度数。
3.在等腰三角形中，已知两边的长为3cm和4cm，求它的周长。
Ⅲ.随堂练习
1.课本p51练习1、2、3。
2.解答下列各题。
（1）在等腰三角形中，有一个角为75°，求其余两角的度数。
（2）在等腰三角形中，已知两边的长为4cm和5cm，求它的周长。
（3）在等腰三角形中，已知两边的长为8cm和3cm，求它的周长。
Ⅳ.课堂小结
1.知识小结
等腰三角形的定义、等腰三角形的性质。
2.学习技能小结
探究学习、合作学习、实践能力等。
Ⅴ.课后作业
1.课本p56第1，4，7题。
2.预习课本p51～p53。
等腰三角形的性质篇3
一、说教材分析1、本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中等边对等角，等角对等边的边角关系，并且对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。并且在以后直角三角形和相似三角形中等腰三角形的性质也占有一席之地。2、教学目标：要求学生掌握等腰三角形的性质定理1、2和等边三角形的每个角都相等，且每个角都为60度，使学生会用等腰三角形的性质定理进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法，培养学生的联想能力3、教学重点、难点：等腰三角形的性质定理是本课的重点等腰三角形“三线合一”性质的运用是本课的难点4、为了使学生了解这堂课，本课要求学生自制一个等腰三角形模型，教学过程采用多媒体教学。二、说教学方法：“教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。根据本课内容特点和初二学生思维活动的特点，我采用了教具直观教学法，联想发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交际相结合的方法。三、说学生学法。“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识，首先教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。四、说教学程序1、等腰三角形的有关概念，轴对称图形的有关概念。提问：等腰三角形是不是轴对称图形？什么是它的对称轴？2、教师演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，并让学生做同样的实验，引导学生观察重合部分，发现等腰三角形的一些性质。3、新课：让学生由实验或演示指出各自的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行逐条归纳，最后得出等腰三角形的性质定理1、2。性质定理1：等腰三角形的两个底角相等在aBC中，aB=aC（）∠B=∠C（）性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合①aB=aC∠1=∠2()BD=DCaDBC()②aB=aCBD=DC()∠1=∠2aDBC()③aB=aCaDBC于D()BD=DC∠1=∠2()
强调性质定理2中的三线段前的定语的重要性，可让学生实际画图验证。4、对新知识的感知性应用指导学生表述证明过程。思考题：等腰三角形两腰上的中线（高线）是否相等？为什么？、课堂练习：p.43练习1，练习2（指出这是等边三角形的性质定理）。5、小结：（1）等腰三角形的性质定理1、2。（2）等边三角形的性质（3）利用等腰三角形的性质定理可证明：两角相等，两线段相等，两直线互相垂直。（4）联想方法要经常运用，对解题大有裨益。五、布置作业：见作业本六、对于本节的几点思考1、本节的学习任务比较重要，有定理的证明、定理的计算和证题应用，所以本人针对学生的特点，在上节课例的掌握好的情况下，让学生自己去发现、去联想，能充分地发挥学生主观能动性。练习2其目的有二：（一）使学生在复习本节知识。（二）为下一节内容铺垫。2、通过学生自己动手实验得到两个定理的内容，可以使他们比较好的掌握知识、提高学习数学的兴趣，达到了事半功倍之效。3、在整个教学过程中，本人利用多种教学方法，使学生在实验中提出问题，解决问题的途径，而不知不觉地进入学习氛围，把学生从被动学习步入主动想学的习惯。总之，在本节教学中，我始终坚持以学生为主体，教师为主导，致力启用学生已掌握的知识，充分调动学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中，在整个教学过程中我以启发学生，挖掘学生潜力，让他们展开联想的思维，培养其能力为主旨而发展的。
9．12等腰三角形的性质定理板书设计课题：9．12等腰三角形的性质定理例1、书写格式例2、书写过程性质定理1性质定理2
学生板演（1）（2）（3）（4）
等腰三角形的性质篇4
第十二章全等三角形
一、知识框架：
二、知识概念：
1.基本定义：
⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质：
⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3.全等三角形的判定定理：
⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边（SaS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角（aSa）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边（aaS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
4.角平分线：
⑴画法：
⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
5.证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
第十三章轴对称
一、知识框架：
二、知识概念：
1.基本概念：
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.
⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
2.基本性质：
⑴对称的性质：
①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
②对称的图形都全等.
⑵线段垂直平分线的性质：
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质
①点p(x,y)关于x轴对称的点的坐标为p'(x,y).
②点p(x,y)关于y轴对称的点的坐标为p"(x,y).
⑷等腰三角形的性质：
①等腰三角形两腰相等.
②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.
③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.
⑸等边三角形的性质：
①等边三角形三边都相等.
②等边三角形三个内角都相等，都等于60°
③等边三角形每条边上都存在三线合一.
④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.
3.基本判定：
⑴等腰三角形的判定：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形.
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.
⑵等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形.
②三个角都相等的三角形是等边三角形.
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.基本方法：
⑴做已知直线的垂线：
⑵做已知线段的垂直平分线：
⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.
⑷作已知图形关于某直线的对称图形：
⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.
第十四章整式的乘除与分解因式
一、知识框架:
二、知识概念：
1.基本运算：
⑴同底数幂的乘法
⑵幂的乘方
⑶积的乘方
2.计算公式：
⑴平方差公式
⑵完全平方公式
3.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.
4.因式分解方法：
⑴提公因式法：找出公因式.
等腰三角形的性质篇5
一、精心选一选（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．下列各组线段为边，能组成三角形的是（） a．4cm、4cm、9cmB．4cm、5cm、6cmC．2cm、3cm、5cmD．12cm、5cm、6cm 2．下列句子是命题的是（） a．画∠aoB=45° B．小于直角的角是锐角吗？ C．连结CD D．三角形的中位线平行且等于第三边的一半 3．如图，在aBC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠aCD=120°，则∠a等于（） a．60°B．70°C．80°D．90° 4．木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的aB和CD），这样做的根据是（） a．矩形的对称性B．矩形的四个角都是直角 C．三角形的稳定性D．两点之间线段最短 5．以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（） a．3，4，5B．4，5，6C．5，12，13D．6，8，10 6．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠a′o′B′=∠aoB的依据是（） a．（S．S．S．）B．（S．a．S．）C．（a．S．a．）D．（a．a．S．） 7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（） a．12B．15C．12或15D．18 8．下列命题的逆命题是假命题的是（） a．直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 B．两直线平行，内错角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．对顶角相等 9．如图，aBC中，D为aB中点，e在aC上，且BeaC．若De=10，ae=16，则Be的长度为何？（） a．10B．11C．12D．13 10．若aBC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）（c﹣a）=0，那么aBC的形状是（） a．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形二．细心填一填（本题有10小题，每题3分，共30分）11．如图，在aBC中，∠a=55°，∠B=60°，则外角∠aCD=度． 12．已知aBC中，aB=aC=4，∠a=60度，则aBC的周长为． 13．若aBC的三个内角满足，则这个三角形是三角形． 14．若a＞b，则a2＞b2，是（真或假）命题． 15．图，已知aC=DB，再添加一个适当的条件，使aBC≌DCB．（只需填写满足要求的一个条件即可）． 16．如图，已知ae∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=度． 17．如图，aDBC于点D，D为BC的中点，连接aB，∠aBC的平分线交aD于点o，连结oC，若∠aoC=125°，则∠aBC=． 18．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心a和B的距离为． 19．观察下面几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；请你根据规律写出第⑤组勾股数是． 20．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4=．三、简答题（共6小题，共60分）21．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形． 22．如图，四边形aBCD中，aD∥BC，BD平分∠aBC，试判断aBD是否为等腰三角形，并说明理由． 23．如图，滑杆在机械槽内运动，∠aCB为直角，已知滑杆aB长2.5米，顶端a在aC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端a下滑多少米？ 24．如图，aBC中，aB=aC，∠a=36°，aC的垂直平分线交aB于e，D为垂足，连结eC．（1）求∠eCD的度数；（2）若Ce=12，求BC长． 25．如图，点B在线段aC上，点e在线段BD上，∠aBD=∠DBC，aB=DB，eB=CB，m、n分别是ae、CD的中点，判断Bm与Bn的关系，并说明理由． 26．如图，已知aBC中，∠B=90°，aB=8cm，BC=6cm，p、Q是aBC边上的两个动点，其中点p从点a开始沿aB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCa方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求pQ的长；（2）从出发几秒钟后，pQB第一次能形成等腰三角形？（3）当点Q在边Ca上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间．2014-2015学年浙江省宁波市宁海县东片八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析 一、精心选一选（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．下列各组线段为边，能组成三角形的是（） a．4cm、4cm、9cmB．4cm、5cm、6cmC．2cm、3cm、5cmD．12cm、5cm、6cm考点：三角形三边关系．分析：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．解答：解：根据三角形的三边关系，得a、4+4＜9，不能组成三角形，故此选项错误；B、4+5＞6，能够组成三角形，故此选项正确；C、3+2=5，不能组成三角形，故此选项错误；D、6+5＜12，不能组成三角形，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 2．下列句子是命题的是（） a．画∠aoB=45° B．小于直角的角是锐角吗？ C．连结CD D．三角形的中位线平行且等于第三边的一半考点：命题与定理．分析：根据命题的定义即可作出判断．解答：解：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，是命题；小于直角的角是锐角吗，是询问的语句；画∠aoB=45°，联结CD是描述性语句，都不是命题，正确的只有D．故选D．点评：本题主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题． 3．如图，在aBC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠aCD=120°，则∠a等于（） a．60°B．70°C．80°D．90°考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠aCD=∠a+∠B，从而求出∠a的度数．解答：解：∠aCD=∠a+∠B，∠a=∠aCD﹣∠B=120°﹣40°=80°．故选：C．点评：本题主要考查三角形外角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 4．木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的aB和CD），这样做的根据是（） a．矩形的对称性B．矩形的四个角都是直角 C．三角形的稳定性D．两点之间线段最短考点：三角形的稳定性．分析：根据三角形具有稳定性解答．解答：解：门框为防止变形钉上两条斜拉的木板条的根据是三角形具有稳定性．故选C．点评：本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 5．以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（） a．3，4，5B．4，5，6C．5，12，13D．6，8，10考点：勾股定理的逆定理．分析：根据勾股定理的逆定理知，当三角形中三边存在：a2+b2=c2关系时是直角三角形．解答：解：a、能，因为32+42=52；B、不能，因为不符合勾股定理的逆定理；C、能，因为52+122=132；D、能，因为62+82=102．故选B．点评：本题考查了用勾股定理的逆定理判定直角三角形． 6．（3分）（2009•西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠a′o′B′=∠aoB的依据是（） a．（S．S．S．）B．（S．a．S．）C．（a．S．a．）D．（a．a．S．）考点：全等三角形的判定．专题：作图题．分析：我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．解答：解：作图的步骤：①以o为圆心，任意长为半径画弧，分别交oa、oB于点C、D；②任意作一点o′，作射线o′a′，以o′为圆心，oC长为半径画弧，交o′a′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线o′B′．所以∠a′o′B′就是与∠aoB相等的角；作图完毕．在oCD与o′C′D′，，oCD≌o′C′D′（SSS），∠a′o′B′=∠aoB，显然运用的判定方法是SSS．故选：a．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键． 7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（） a．12B．15C．12或15D．18考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，3+3=6=6，不能构成三角形，故舍去，答案只有15．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 8．下列命题的逆命题是假命题的是（） a．直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 B．两直线平行，内错角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．对顶角相等考点：命题与定理．分析：先写出各命题的逆命题，然后再判断真假即可．解答：解：a、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为：“三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形”，逆命题为真命题，故此选项错误；B、两直线平行，内错角相等的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，逆命题为真命题，故此选项错误；C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为“两底角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题为真命题，故此选项错误；D、对顶角相等的逆命题为“相等的两角是对顶角”，逆命题为假命题，符合题意；故选：D．点评：本题考查了命题与定理的知识，注意掌握逆命题的书写方法，及真假命题的判断，属于基础题． 9．如图，aBC中，D为aB中点，e在aC上，且BeaC．若De=10，ae=16，则Be的长度为何？（） a．10B．11C．12D．13考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线．分析：根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可求出aB的长，再根据勾股定理即可求出Be的长．解答：解：BeaC，aeB是直角三角形，D为aB中点，De=10，aB=20，ae=16，Be==12，故选C．点评：本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大． 10．若aBC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）（c﹣a）=0，那么aBC的形状是（） a．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：把b2﹣2bc+c2分解得到（a﹣b）（b﹣c）2（c﹣a）=0，则a﹣b=0或（b﹣c）2=0或c﹣a=0，所以a=b或b=c或c=a，然后根据等腰三角形的判定方法进行判断．解答：解：（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）（c﹣a）=0，（a﹣b）（b﹣c）2（c﹣a）=0，a﹣b=0或（b﹣c）2=0或c﹣a=0，a=b或b=c或c=a．即aBC是以a、b为腰的等腰三角形或以b、c为腰的等腰三角形或以a、c为腰的等腰三角形．故选a．点评：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题． 二．细心填一填（本题有10小题，每题3分，共30分）11．如图，在aBC中，∠a=55°，∠B=60°，则外角∠aCD= 115 度．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：∠a=55°，∠B=60°，∠aCD=∠a+∠B=55°+60°=115°．故答案为：115．点评：本题主要考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 12．已知aBC中，aB=aC=4，∠a=60度，则aBC的周长为 12 ．考点：等边三角形的判定与性质．分析：由条件易证aBC是等边三角形，由此可得到BC的值，即可求出aBC的周长．解答：解：aB=aC=4，∠a=60°，aBC是等边三角形，BC=aB=aC=4，aBC的周长为12．故答案为12．点评：本题考查的是等边三角形的判定与性质，突出了对基础知识的考查． 13．若aBC的三个内角满足，则这个三角形是 直角 三角形．考点：三角形内角和定理．专题：计算题．分析：由于，则∠C=3∠a，∠B=2∠a，再根据三角形内角和定理得到∠a+∠B+∠C=180°，即∠a+2∠a+3∠a=180°，然后分别计算出∠a、∠B、∠C，再根据三角形的分类进行判断．解答：解：，∠C=3∠a，∠B=2∠a，∠a+∠B+∠C=180°，∠a+2∠a+3∠a=180°，∠a=30°，∠B=60°，∠C=90°，此三角形为直角三角形．故答案为直角．点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 14．若a＞b，则a2＞b2，是 假 （真或假）命题．考点：命题与定理．分析：根据真假命题的定义进行判断即可．解答：解：当0＞a＞b，a2＜b2，若a＞b，则a2＞b2，不成立，是假命题．故答案为：假．点评：本题主要考查了命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 15．图，已知aC=DB，再添加一个适当的条件 aB=DC ，使aBC≌DCB．（只需填写满足要求的一个条件即可）．考点：全等三角形的判定．专题：压轴题；开放型．分析：要使aBC≌DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等．解答：解：添加aB=DCaC=DB，BC=BC，aB=DCaBC≌DCB加一个适当的条件是aB=DC．点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SaS、aSa、aaS、HL．添加时注意：aaa、SSa不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键． 16．如图，已知ae∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= 20 度．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据平行线的性质和三角形的内角和定理求得．解答：解：ae∥BD，∠1=130°，∠2=30°，∠CBD=∠1=130°．∠BDC=∠2，∠BDC=30°．在BCD中，∠CBD=130°，∠BDC=30°，∠C=180°﹣130°﹣30°=20°．点评：本题应用的知识点为：三角形的外角与内角的关系及两直线平行，同位角相等． 17．如图，aDBC于点D，D为BC的中点，连接aB，∠aBC的平分线交aD于点o，连结oC，若∠aoC=125°，则∠aBC= 70° ．考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得oB=oC，根据等边对等角的性质求出∠oBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．解答：解：aDBC，∠aoC=125°，∠C=∠aoC﹣∠aDC=125°﹣90°=35°，D为BC的中点，aDBC，oB=oC，∠oBC=∠C=35°，oB平分∠aBC，∠aBC=2∠oBC=2×35°=70°．故答案为：70°．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键． 18．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心a和B的距离为 100mm ．考点：勾股定理的应用．分析：如图，在RtaBC中，aC=120﹣60=60，BC=140﹣60=80，然后利用勾股定理即可求出两圆孔中心a和B的距离．解答：解：如图，在RtaBC中，aC=120﹣60=60，BC=140﹣60=80，aB==100（mm），两圆孔中心a和B的距离为100mm．故答案为：100mm．点评：此题主要考查勾股定理在实际中的应用，首先正确从图中找到所需要的数量关系，然后利用公式即可解决问题． 19．观察下面几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；请你根据规律写出第⑤组勾股数是 12，35，37 ．考点：勾股数．专题：规律型．分析：根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据这个规律即可解答．解答：解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．所以第⑤组勾股数是12，35，37．故答案为：12，35，37．点评：观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键． 20．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4= 2 ．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．分析：首先证明CDe≌aBC可得aB=CD，BC=De，同理可得FG2+LK2=HL2=1，进而得到S1+S2+S3+S4=Ce2+HL2=1+3=4．再由S2+S3=2，可得S1+S4=2．解答：解：在CDe和aBC中，，CDe≌aBC（aaS），aB=CD，BC=De，aB2+De2=De2+CD2=Ce2=3，同理可证FG2+LK2=HL2=1，S1+S2+S3+S4=Ce2+HL2=1+3=4．S2+S3=2，S1+S4=2，故答案为：2．点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明aB2+De2=De2+CD2=Ce2是解题的关键． 三、简答题（共6小题，共60分）21．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．考点：利用轴对称设计图案．专题：网格型．分析：作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．解答：解：如图所示：点评：解答此题要明确轴对称的性质，并据此构造出轴对称图形，然后将对称部分涂黑，即为所求． 22．如图，四边形aBCD中，aD∥BC，BD平分∠aBC，试判断aBD是否为等腰三角形，并说明理由．考点：等腰三角形的判定．分析：利用aD∥BC，得出∠aDB=∠DBC，BD平分∠aBC，得出∠aBD=∠DBC，进一步得出∠aBD=∠aDB，得出答案即可．解答：解：aBD是等腰三角形，理由如下：aD∥BC∠aDB=∠DBC，BD平分∠aBC，∠aBD=∠DBC，∠aBD=∠aDB，aB=aD，aBD是等腰三角形．点评：此题考查平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识． 23．如图，滑杆在机械槽内运动，∠aCB为直角，已知滑杆aB长2.5米，顶端a在aC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端a下滑多少米？考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：由题意可知滑杆aB与aC、CB正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．解答：解：设ae的长为x米，依题意得Ce=aC﹣x．aB=De=2.5，BC=1.5，∠C=90°，aC===2BD=0.5，在RteCD中，Ce====1.5．2﹣x=1.5，x=0.5．即ae=0.5．答：滑杆顶端a下滑0.5米．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 24．如图，aBC中，aB=aC，∠a=36°，aC的垂直平分线交aB于e，D为垂足，连结eC．（1）求∠eCD的度数；（2）若Ce=12，求BC长．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据线段垂直平分线得出ae=Ce，推出∠eCD=∠a即可；（2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠aCB=72°，求出∠BeC=∠B，推出BC=Ce即可．解答：（1）解：De垂直平分aC，Ce=ae，∠eCD=∠a=36°．（2）解：aB=aC，∠a=36°，∠B=∠aCB=72°，∠eCD=36°，∠BCe=∠aCB﹣∠eCD=36°，∠BeC=72°=∠B，BC=eC=12．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 25．如图，点B在线段aC上，点e在线段BD上，∠aBD=∠DBC，aB=DB，eB=CB，m、n分别是ae、CD的中点，判断Bm与Bn的关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：根据SaS推出aBe≌DBC，推出ae=DC，∠eaB=∠BDC，∠aeB=∠DCB，求出∠aBD=∠DBC=90°，Bm=am=em=ae，Bn=Cn=Dn=CD，推出∠aBm=∠DBn，∠eBm=∠nBC即可．解答：解：Bm=Bn，BmBn，理由是：在aBe和DBC中，，aBe≌DBC（SaS），ae=DC，∠eaB=∠BDC，∠aeB=∠DCB，∠aBD=∠DBC，∠aBD+∠DBC=180°，∠aBD=∠DBC=90°，m为ae的中点，n为CD的中点，Bm=am=em=ae，Bn=Cn=Dn=CD，Bm=Bn，∠eaB=∠mBa，∠CDB=∠DBn，∠aeB=∠eBa，∠nCB=∠nBC，∠eaB=∠BDC，∠aeB=∠DCB，∠aBm=∠DBn，∠eBm=∠nBC，∠aBC=2∠DBn+2∠eBm=180°，∠eBn+∠eBm=90°，BmBn．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力． 26．如图，已知aBC中，∠B=90°，aB=8cm，BC=6cm，p、Q是aBC边上的两个动点，其中点p从点a开始沿aB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCa方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求pQ的长；（2）从出发几秒钟后，pQB第一次能形成等腰三角形？（3）当点Q在边Ca上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间．考点：勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．专题：动点型．分析：（1）根据点p、Q的运动速度求出ap，再求出Bp和BQ，用勾股定理求得pQ即可；（2）设出发t秒钟后，pQB能形成等腰三角形，则Bp=BQ，由BQ=2t，Bp=8﹣t，列式求得t即可；（3）当点Q在边Ca上运动时，能使BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠a=∠aBQ，则BQ=aQ，则CQ=aQ，从而求得t；②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时（如图3），过B点作BeaC于点e，则求出Be，Ce，即可得出t．解答：解：（1）BQ=2×2=4cm，Bp=aB﹣ap=8﹣2×1=6cm，∠B=90°，pQ====2；（2）BQ=2t，Bp=8﹣t…1′2t=8﹣t，解得：t=…2′；（3）①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，∠aBC=90°，∠CBQ+∠aBQ=90°，∠a+∠C=90°，∠a=∠aBQ，BQ=aQ，CQ=aQ=5，BC+CQ=11，t=11÷2=5.5秒．…1′②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12t=12÷2=6秒．…1′③当BC=BQ时（如图3），过B点作BeaC于点e，则Be==，所以Ce=，故CQ=2Ce=7.2，所以BC+CQ=13.2，t=13.2÷2=6.6秒．…2′由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ为等腰三角形．点评：本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．
等腰三角形的性质篇6
等腰三角形的性质是《三角形》一章中的重要内容，它在平面图形和空间立体图形的证明和计算中有着广泛的应用，在实际生活的建筑、测量、设计等方面也有其独特的应用。学习它不仅是对全等三角形、轴对称图形等知识的综合应用和深化，更是以后研究特殊平行四边形和有关定理的基础，具有承上启下的作用。因此本节课的重要性是不言而喻的。
而现在的学生对生活中某些普通存在的现象常常熟视无睹，因而丧失了许多从生活中来学习新知的机会，但学生对于用新知识、新观点在认识周边的世界感兴趣，关键在于欠缺科学的引导，在新一轮课改下，我们应当尽力营造一个使学生有机会自己动手、亲自体验新知识的氛围。
二．设计思路：
问题教学法，以问题引领整个教学，由教师提出问题后，学生带着问题自己动手观察、实验、体现再发现、再创造的思路。
三、情景描述：
问题导入：同学们天天上课都坐在自己的课桌前，你是否考虑过你的课桌面是否水平呢？如何检测？（提出学生眼前感兴趣的问题）学生：“量一量课桌的四桌腿是否一样长”；“把笔放在桌面上看一看是否会滚动”；“桌子摇一摇会不会晃就知道了……
1、老师这里有一木工用的测平仪，用它一测就知道了，而且很准确（教师演示测平仪）
2、教师出示木工用的测平仪，其构造是等腰三角形aBC，D是底边BC的中点，在a上挂一铅锤，当点D在铅垂线上时，则被测面水平；否则，被测面不平。（学生感觉很神奇）
［设计意图］创设问题情境，让学生体验生活中的经历，调动学生学习的主动性、积极性，激发学生的兴趣和求知欲望。
问题一：为什么要求aBC是等腰三角形？测平仪的依据是什么？它真的是很准确吗？
这就是我们这节课要学习的内容----等腰三角形的性质
a、启发猜想，激发兴趣
出示课前分发给每个学生的等腰三角形演示教具，启发学生猜一猜，既然大家都认为等腰三角形是一类特殊的三角形，那它的特殊性到底在哪里呢？
［设计意图］提出问题，给人悬念，引发学生的发散性思维，给学生提供自我表现、猜想的空间，充分发表意见的机会，以便最大限度地发挥学生的主体能动性，激发他们的创造性。
在这一讨论过程中，学生回答的答案很多。不管学生怎么回答，最终要使学生自己亲身经历等腰三角形的轴对称性(对折)。然后筛选有价值的猜想，并再次创设问题情景，既然你们觉得等腰三角形是个轴对称图形，那你觉得对称轴应该在哪里？
［设计意图］再次通过巧设问题情景，又一次地激起学生求知的欲望，让学生带着问题进入下一层次的教学。
B、动手实验、电脑验证：
生：(1)每个学生继续研究教师课前准备好的等腰三角形。
(2)学生动手操作：观察对折的折痕。
对于以上a、B这两个环节，我要求学生组织四人小组进行合作探究活动，然后我利用几何画板的作图工具直观演示等腰三角形对折的整个过程，并对相关的各元素关系进行检验。接着通过几何画板的动画功能，动态地对等腰三角形的轴对称性进行了验证，并且找出了等腰三角形的对称轴，使学生形成共识。
问题二：等腰三角形有哪些性质？学生通过动手操作，认真观察，联想小学的知识和方法，猜想出“等腰三角形的两个底角相等”、“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合”或与之相近的性质（结论）
［设计意图］设计活动情境，围绕探究的问题，让学生通过画一画、折一折，合作讨论和探索交流，充分发挥学生学习的积极性，体现了教学过程中学生的主体地位。
问题三：如何证明等腰三角形的性质？
1、教师演示、实验：
现在利用计算机演示，看一看结论是否正确？
等腰三角形的顶点垂直上下移动。底边两个端点同时左右移动，通过计算机的测算功能观察到两底角相等；如图（2），任意三角形的右端点向左边移动，只有当三角形变成等腰三角形时，三角形角平分线、中线、高线完全重合在一起。
2、学生证明结论：
引导学生回忆关于文字几何命题的证明步骤，启发学生找出题设和结论，画出图形，并写出已知，求证。
问题四：证明两角（或两线段）相等常用方法是什么？（即证明两角（或两线段）所在的两个三角形全等）
问题五：通过折叠后的等腰三角形折痕的观察（或启发），辅助线如何添加？
［设计意图］连续的几个问题的创设是为了鼓励学生不停留在直观的认识上，要进行合情的推理、精确计算，科学地判断。让学生发现规律，使学生在长知识的同时，也长智慧、长能力，进一步培养学生良好的思维品质。
问题七：（课堂小结）
试回答“问题一”中所提出的问题，明确测平仪的依据
［设计意图］此问题与引入课题时提出的问题模型呼应，体现了数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义的观点。培养学生学数学，用数学的意识。
问题八：课外活动（作业）
1、设计制作一测平仪，并检测，教师讲台桌面是否水平？
2、设计制作一等腰三角形的风筝，把风筝的尾部放在等腰三角形底边的中点或其他处，看一看哪种风筝飞的平稳，为什么？
［设计意图］这一类活动应逐渐培养，养成学生学习知识与生活相联系的习惯，并注意学生创新性的萌芽与发展。
四、教学反思：
这堂课我始终以新课程标准中“学生的数学学习应是现实的、有意义的、富有挑战性”这一基本理念为指导，在整个教学过程中紧紧围绕“问题教学法”，体现教学过程再发现、再创造的思路，不仅注重知识的结论，而且突出知识的形成过程，教学中注重引导学生观察、猜想、演示、实验、证明。
等腰三角形的性质内容虽然简单，但对于初二的学生来说是第一次接触，把教学点设定在学生感兴趣的问题上，是让学生多动手、多观察，并用计算机进行实验，体现了再发现、再创造的思路，它有利于学生创新精神和能力的发展。
等腰三角形的性质篇7
一、证线段相等
例1已知：如图1，在aBC中，D为BC边的中点，eDBC交∠BaC的平分线于点e，eFaB于点F，eGaC交aC的延长线于点G.求证：BF=CG.
解析：本题可构造三角形，根据角平分线的性质找出全等关系，使问题获证.
连结eB、eC.因为eD垂直平分BC，所以eB=eC.又因为ae为∠BaC的平分线，且eFaB，eGaC，所以根据角平分线的性质可得eF=eG.从而RteBF≌RteCG.根据全等三角形的对应边相等，可得BF=CG.
二、证线段之差不等
例2已知：如图2，∠1=∠2，aB＞aC，p是aD上一点.求证：pB-pC＜aB-aC.
解析：本题可通过截长法找出等量关系，再结合角平分线的性质找到全等关系，从而使问题得证.
在aB上截取ae=aC，连结pe.在ape和apC中，因为ae=aC，∠1=∠2，ap为公共边，所以ape≌apC，从而pe=pC.在Bep中，pB-pe＜Be，而pe=pC，Be=aB-ae=aB-aC，所以pB-pC＜aB-aC.
三、证线段垂直
例3已知：如图3，在aBC中，aD平分∠BaC，DeaB于点e，DFaC于点F，连结eF，与aD交于点o.求证：aDeF.
解析：本题可先证出aeF是等腰三角形，再根据角平分线的性质，使问题获证.
在RtaDe和RtaDF中，因为∠aeD=∠aFD，∠eaD=∠FaD，aD为公共边，所以RtaDe≌RtaDF，所以ae=aF，所以aeF是等腰三角形.因为ao是顶角∠eaF的平分线，根据等腰三角形的性质可得aoeF，即aDeF.
四、证线段平行
例4已知：如图4，从aBC的顶点a分别引∠aBC、∠aCB的平分线的垂线，垂足分别为D、e.求证：De∥BC.
解析：要证De∥BC，可延长ae、aD，由角平分线的性质证出De为aFG的中位线.
延长ae交BC于点F，延长aD交BC于点G.由BD平分∠aBC，BDaG，可得RtaBD≌RtGBD，从而aD=DG.同理可得，ae=eF.所以De为aFG的中位线.由中位线的性质可得De∥FG，即De∥BC.
五、证两线段之和与第三条线段相等
例5如图5，在aBC中，∠a=2∠B，CD是∠aCB的平分线.求证：BC=aD+aC.
解析：根据角平分线的对称性构造全等三角形，可使问题获证.
在BC上取一点e，使Ce=Ca，连结De.由Ca=Ce，∠1=∠2，CD=CD，可得aCD≌eCD，所以aD=eD.因为∠CeD=∠a=2∠B，且∠CeD=∠BDe+∠B，所以∠BDe=∠B，从而Be=De=aD.所以BC=Be+eC=aD+aC.
六、证两线段之和与第三条线段不等
例6已知：如图6，D为aBC的边BC的中点，∠aDB、∠aDC的平分线分别与aB、aC交于点e、F.求证：eF＜Be+CF.
解析：要求证的线段比较分散，可由角平分线的性质入手，将要求的数量关系集中于同一三角形中.
延长FD至点m，使Dm=FD，连结Bm、em.由Dm=FD，∠BDm=∠CDF，BD=CD，可得BDm≌CDF，所以Bm=CF.因为∠aDF=∠CDF，∠BDm=∠CDF，所以∠BDm=∠aDF.又因为∠BDe=∠aDe，所以∠eDm=∠eDF.又因为Dm=FD，De为公共边，所以Dem≌DeF，所以em=eF.因为em＜Be+Bm，所以eF＜Be+CF.
七、证线段之间的倍数关系
例7已知：如图7，在等腰直角三角形aBC中，∠a=90°，∠B的平分线交aC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点e.求证：BD=2Ce.
解析：要证BD=2Ce，可将Ce延长一倍，结合角平分线的性质找出等量关系，使问题得证.
延长Ba、Ce交于点F.由Be平分∠CBF，且BeCF，可知BCF为等腰三角形，从而Ce=eF，即CF=2Ce.因为∠BaD=∠CaF=90°，aB=aC，∠aBD=90°-∠F=∠aCF，所以RtaBD≌RtaCF，从而BD=CF=2Ce.
八、证线段之间的差倍关系
例8已知：如图8，ao是aBC中∠a的角平分线，BDao交ao的延长线于点D，e是BC的中点.求证：aB-aC=2De.
解析：可根据角平分线的性质，构造等腰三角形求证.
等腰三角形的性质篇8
很多八年级的学生之所以总是考不好数学，是因为平时缺乏思考，所以学过的知识要及时复习，不懂的知识要多思考。。以上就是小编为大家梳理归纳的知识，希望能够够帮助到大家。
初二数学上册知识点北师第一章勾股定理定义：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
判定：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
定义：满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数。
第二章实数定义：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。无限不循环小数叫做无理数
(有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示)
一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，我们规定0的算术平方根是0。
一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根)
一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。
求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。
有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
第三章图形的平移与旋转定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。
经过平移，对应点所连的线段平行也相等;对应线段平行且相等，对应角相等。
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
第四章、三角形一、知识框架：
二、知识概念：
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。
12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面(平面镶嵌)。
镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形。
13.公式与性质：
⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°
⑵三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°
⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线。
第五章：轴对称1.基本概念：
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2.基本性质：
⑴对称的性质：
①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
②对称的图形都全等。
⑵线段垂直平分线的性质：
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质
。
⑷等腰三角形的性质：
①等腰三角形两腰相等。
②等腰三角形两底角相等(等边对等角)。
③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合。
④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一(1条)。
⑸等边三角形的性质：
①等边三角形三边都相等。
②等边三角形三个内角都相等，都等于60°
③等边三角形每条边上都存在三线合一。
④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一(3条)。
3.基本判定：
⑴等腰三角形的判定：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)。
⑵等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
4.基本方法：
⑴做已知直线的垂线：
⑵做已知线段的垂直平分线：
⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线。
⑷作已知图形关于某直线的对称图形：
等腰三角形的性质篇9
【关键词】纸片图形性质
【中图分类号】G633.6【文献标识码】a【文章编号】2095-3089（2014）02-0135-01
初中数学中有一块内容是要求学生准确理解并掌握矩形、菱形、等腰梯形的性质。以往好多教师讲授这块知识时，只是让学生死记硬背这些性质，学生虽然背得很熟练，但理解起来太抽象，运用起来效果不是很好。怎样用最直观、最简单的方法来引导学生快速、正确掌握这块知识呢？本人通过多年的教学实践，发现利用学生亲自动手对一张a4纸进行剪裁和对折，借助轴“对称”的直观特征来探究矩形、菱形、等腰梯形的性质，效果非常好。这种方法既能调动学生动手的积极性和主动性，又能激发学生学习兴趣，具体做法如下所述。
课前，先让学生提前准备好所需要物品：一张a4纸、剪刀、量角器、直尺等常用学习工具。
课上先让学生认真观察a4纸张，看a4纸有什么特点，然后进行分组讨论，这时教师可以从a4纸的四个角和四条边加以引导，让学生在动手的过程中逐步进行研究和探讨。
一、针对矩形的研究提出如下问题：
1.a4纸有什么特点？利用量角器和直尺验证a4纸这一矩形四个角和四条边的关系。
2.经过如下图虚线对折纸张：
可以得到虚线表示的对称轴，询问学生能否用轴对称验证学生所得出的结论。通过学生具体动手操作，得出矩形除具有平行四边形性质外的如下性质：
（1）四个角相等，并利用量角器测量得出都是直角；
（2）对角线相等。
二、针对菱形提出问题：
1.你能利用工具从矩形纸张得到一个菱形吗？你能利用轴对称验证自己的做法吗？动手操作，分组讨论。在学生操作的过程中观察学生的实际操作进行指导。学生可以轻松剪出如下菱形：
2.引导学生仔细观察得到的菱形，沿虚线对折能发现什么结论？通过学生的具体操作，不难看出菱形的性质：
（1）四条边相等；
（2）对角相等；
（3）对角线垂直且平分对角。
三、针对等腰梯形提出问题：
1.你能利用工具从棱形纸张得到一个等腰梯形吗？你能利用轴对称验证自己的做法吗？分组讨论，动手操作。在学生操作的过程中看学生的实际操作进行指导。剪出如下等腰梯形：
2.将得到的等腰梯形对折你能发现什么结论？通过学生的具体操作，不难看出等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形的两腰相等；
（2）等腰梯形的同一底上的两底角相等；
（3）等腰梯形的对角线相等；
等腰三角形的性质篇10
案例：《等腰三角形性质定理二》探讨课
1.提出问题
等腰三角形，除了两个底角相等的性质外，还有哪些性质呢？
2.实验探索
先用一张长方形纸片剪一个等腰三角形。将等腰三角形对折，使两腰重合，然后打开对折的三角形，观察折痕，猜想折痕有哪些性质，等腰三角形有哪些性质？
3.设置问题
（1）这个猜想是等腰三角形所特有的吗？不等边三角形会不会也有这些特点呢？
（2）是不是所有的等腰三角形都具备这个特点呢？
4.推理论证
（1）出示一个不等边三角形（用《几何画板》），画出同一边上的高线、中线、角平分线，观察三线并不重合。
（2）慢慢拖动三角形一顶点，将不等边三角形转化为等腰三角形，发现底边上的高线、中线、顶角的平分线互相重合。
（3）在教师的指导下，由学生证明发现的结论。
5.得出结论
本节探讨课变直接给出定理为发现定理，让学生人人参与定理的发现过程，活跃学生的思维。
一、数学开放题是实施数学研究性学习的载体
例如，怎样测量学校旗杆的高度。针对各种不同的实际情况，设计出不同的测量方法。
这是一道综合开放题，其条件、策略、结论都是开放的。（1）条件的开放性。可考虑的各种不同的条件大致有：旗杆的大小，旗杆周围的地理环境和测量者能涉足的位置、测量工具。（2）策略的开放性。可考虑的各种不同的策略大致有：直接测量、利用勾股定理进行计算。利用相似三角形的比例关系进行计算，利用三角函数进行计算等。通过这样的活动不但使学生巩固了解直角三角形的有关知识，而且使学生体会了数学的应用，以及如何创设条件将一个现实问题转化为一个数学问题。
二、注重用数学知识和数学方法处理周围的社会生活问题是研究性学习的延伸
教师在注重对学生的基础知识、基本技能进行教学的同时，更应重视学生数学思想和方法的学习以及数学能力的提高，要让学生多思、多想、多探索、多领悟，引导学生增强自己理解、分析、归纳等处理问题的能力。让学生凭借自己的智慧和能力，积极、独立地思考问题，主动探索知识，创造性地解决社会生活实际问题。
如，裁缝师傅要想在一块三角形的布料上剪出一个半径尽可能大的圆做裙子，应该如何剪才能符合要求？这个问题可归纳为怎样作一个圆和三角形的三边都相切的问题。又如，木工把一块直角三角形的木板加工成一张正方形桌子的台面，方法有很多，但若要求台面的面积最大，他应该怎么做呢？这个问题归结为二次函数的最大值问题。