高中数学中的逻辑推理篇1
本人上世纪80年代中期开始在普通（非重点）高师院校文科专业教授普通逻辑课程，已超过二十五年，笔者不揣谫陋，就高师院校文科逻辑学教学改革谈点感受浅见,以就教于学界同仁。
一、逻辑学教学改革的焦点和逻辑学教学现状
长期以来,逻辑学教学改革的焦点就是教学内容问题，也就是在教学中如何处理传统逻辑和现代逻辑的关系问题。在这场关于教学内容的改革大讨论中，主要出现了明显的两种不同意见：一种意见认为传统逻辑已经过时，内容陈旧，方法单一，应当立即废止，以现代逻辑取而代之，称之为“取代论”。其理由是:逻辑学是联合国教科文组织明确规定的当代七大基础学科之一(数学、物理、化学、天文、地理、生命科学、逻辑，这里的逻辑指的是现代逻辑)，应该得到重视；就科学的发展而言，逻辑已实现了由传统形态向现代形态的转变，所以作为教学不可囿于传统逻辑，而应顺乎学科发展，实现逻辑现代化，也就是用现代逻辑取代传统逻辑，从实际效果来看，坚持传统逻辑教学将会影响我国的教学水平和人才培养实践，不利于培养出高水平的逻辑人才。而另一种意见认为在中国高校文科教学中不应废止传统逻辑，高校文科学生应该主要学习传统逻辑；作为逻辑学的教学，如果采取“取代论”，则无疑会丢失人类历史上的思想成果；逻辑教学可以在保留传统逻辑的大部分内容之外适当地引入一些现代数理逻辑的内容，以加强对传统内容的论证，而不是简单的废止，称之为“吸收论”。其理由是:现代逻辑是传统逻辑发展到一定阶段的一个分支，传统逻辑中的很多内容如归纳推理、类比推理、假说、论证和逻辑规律是现代逻辑无法代替的；传统逻辑有其独有的特点和功用，适合于人们的日常思维，在人们的工作和学习中起到了很大的作用，不但不应该废止，反而应该加强学习、深入探讨和广泛普及；大学生先学习传统逻辑的知识，可以激发对逻辑的兴趣，初步领会逻辑精神，对将来学习现代逻辑等其他课程十分有利。[1]其实双方在激烈的争辩背后共同的心态，即对逻辑课现状的忧虑、不满以及改变现状的急切心情。双方的想法也可以说各有一定的合理性，取代论者多数是专业研究人员多熟知现代逻辑，知传统逻辑之不足，似立逻辑科头，大多脱离教学一线。如果取代论者讲的是我国主要重点大学哲学或理科专业的话可说有一定的道理。
但对普通高师院校文科专业来说，取代论肯定是不对的。“传统逻辑现代化是在保留传统逻辑前提下的现代化，而不是以数理逻辑取代传统逻辑；逻辑教学现代化是整个高校的逻辑教学系统要现代化，而不是以数理逻辑教学去取代传统逻辑教学”。[2]“数理逻辑在思维形式方面的研究是极有成效的。形式逻辑应当根据它本身的特点，适当地吸取数理逻辑的某些研究成果。但是，如果把数理逻辑中的一套硬搬到形式逻辑中来，甚至用数理逻辑来代替形式逻辑，则是错误的”。[3]在我国对同一个学科教学内容的看法是如此不同乃至对立，这在别的学科是不多见的，这对在大学课程体系中的地位日益下降的逻辑学现状来说是雪上加霜。目前逻辑学的发展，遭遇前所未有的冷落。尽管在学术界有许多逻辑学者向人们呼吁重视逻辑学的发展，但反映平淡，逻辑学“面临着一些令人堪忧的问题，诸如逻辑队伍的萎缩，不少逻辑专业人员下海，高校的逻辑课程和课时遭到不同程度的砍杀，研究生生源枯竭，等等。”[4]更严重的是有些学校竟然做出取消逻辑课程的决定。以我所在的韩山师范学院来说，上世纪80年代中期大学文科很多系，如，中文、历史、外语、思想政治教育等，都开设逻辑课，其中多数是专业基础课。当时有二位逻辑老师，上世纪90年代，我所在学校就只有中文、思想政治教育两个系开设逻辑课。2000年以来连中文也取消逻辑课，因为中学语文中逻辑内容很快就被取消了。现在只有思想政治教育及后来新办的法学专业开设逻辑课，我一个人负责全校12000名大学生的逻辑课，工作量还远不够，还要上其它课程，我还兼行政工作呢。这对逻辑学硕博研究生就业也非常不利，这种状况需要逻辑学界团结起来齐心协力加以改变。
二、关于普通高师院校文科逻辑教学的内容
任何教学改革都要面对客观实际，要遵循教育规律。高校逻辑学的教学改革也一样。一个适应于人文科学领域的逻辑教学体系首先应该是和人们实际使用的自然语言紧密结合的逻辑教学体系。对于刚刚进入大学的学生们来说，他们在逻辑知识上可谓是一片空白。而现代逻辑利用数学演算和人工语言研究有效推理，追求必然思维，是形式化的推演，这种思维方式不属于普通人的日常思维，是高级的科学思维方式，更适合尖端性高深科学研究的需要[2]。相反，传统逻辑主要是用自然语言对思维形式及其规律进行论述，所以对于刚刚进入大学的学生，尤其是文科学生来说，他们比较容易接受传统逻辑的知识。而且高校文科的学生将来所从事的多数是教育、行政等方面工作，这一工作的性质也决定了他们需要的是传统逻辑而不是数理逻辑。从教学规律而言，顺乎学科发展，也并不是说要废止传统逻辑而只要现代逻辑。没有学好传统逻辑是学不好现代逻辑的，相反，学习好了传统逻辑可以激发对逻辑这门学科的浓厚兴趣，初步领略逻辑的奥妙，从而使已掌握的传统逻辑知识成为学习现代逻辑的敲门砖。再加上目前高校文科逻辑教师，许多人本身也没有经过现代数理逻辑的专门训练，要讲好一门完整的数理逻辑课也决非易事。长期的教学实践证明，文科学生学习普通逻辑非常有益，它能使人思维敏捷，反映灵敏。而现代逻辑在通俗性和实用性上大打折扣。各门学科有各门学科的特点和用途，当传统逻辑的原理原则、方法规律在我们的学习和生活中还有市场，用途极其广泛的时候，它就没有被废止的道理。虽然联合国教科文组织确定的七大基础学科之一的逻辑指的是现代逻辑，应该重视，但并不是说只有废止了传统逻辑才能重视现代逻辑，不废止传统逻辑同样可以重视现代逻辑，高校可以让学生先学习传统逻辑知识，而后有选择性地学习现代逻辑。
再说，一般高校文科的逻辑学教学主要的目的也并不是要培养出逻辑学方面的专门人才，而是把它当成一门工具来使用，为将来学习其它学科和工作提供帮助。这也是“取代论”为什么在大学课堂中推崇讲授现代数理逻辑的改革举步维艰的原因所在。逻辑既是表达工具，又是分析工具，在人文科学领域内，人们学习逻辑主要是为了掌握一种表达和分析的工具，从而做到更好地表达思想和分析问题。比如，我们的讲话和文章如何才能合乎逻辑，我们应该采用什么样的逻辑方法进行表达才能做到概念明确、判断恰当、推理合乎逻辑，在参加各种各样的谈判、辩论中我们应该注意什么样的逻辑问题，等等，这些都属于表达思想方面的问题;而面对自己或者他人的一些话语或者文本，我们应该怎样客观地认识和评价它们，这些文本或话语到底说了什么，它们有没有逻辑问题，从这些文本或话语我们能够逻辑地推演出什么，应该怎样分析才算做到了正确理解，这些便属于分析问题。当然，我们强调传统逻辑的重要并不是说在高校文科逻辑学教学中只传授传统逻辑，对现代逻辑避而远之。事实上，“吸收论”的观点是:逻辑教学可以在保留传统逻辑的大部分精华内容之外适当地引入一些现代数理逻辑的内容，以加强对传统内容的论证。如在演绎推理部分向学生介绍有关数理逻辑的内容诸如命题演算、谓词演算；在复合判断的推理部分可以引入命题自然推理系统来进行判定等，以达到传统逻辑与数理逻辑的融合，加强逻辑学科的发展和拓宽。这对于培养学生的整体思维水平和综合素质，使他们掌握现代逻辑方法，适应21世纪社会主义市场经济和科学发展对人才的需求是非常必要的。同时，教学内容的改革，势必对教师提出了更高的要求,教师应尽快地更新知识，刻苦学习和掌握现代逻辑的知识和方法，进一步了解国外逻辑研究和逻辑教学的情况，扩大知识视野,不断提高科学研究平，以适应逻辑学教学改革的需要。要继续坚持逻辑学现代化的改革方向。但是，逻辑学的现代化绝不是数理逻辑化，传统逻辑现代化的前提是保留传统逻辑,而不是取代传统逻辑。#p#分页标题#e#
根据普通高师院校文科逻辑教学的内容，我们选用了由《普通逻辑》编写组编的《普遍逻辑》(上海人民出版社出版)为教材。《普通逻辑》1992年增订本为教材，适应逻辑学现代化改革的需要,以现代逻辑的思想为主导来安排各种逻辑知识,突出了推理形式这个主体；把命题和推理直接联系起来,先介绍命题逻辑(含各种复合命题的推理),再介绍词项逻辑(含直接推理和三段论)，内容上增加了命题的判定与自然推理、谓词自然推理、统计推理和典型归纳等,在保留了传统逻辑的精华的前提下推动了传统逻辑的现代化改革进程,并受到逻辑学界广大同仁的好评。我们也曾选用何向东教授主编的“面向21世纪课程教材”《逻辑学教程》教材，它的确是一部好教材，它融现代逻辑和传统逻辑为一体,能够适应21世纪教学内容和课程体系改革的需要,能够提高逻辑学课程的教学水平，体现逻辑教学是为培养和提高学生的逻辑思维素质和创新能力服务的这一宗旨。但是，这个教材也并不完全适合于普通高师院校文科大学生,尤其不适合于普通高等院校用扩大招生名额的方式招收进校的文科学生，学生总体素质水平有所下降。我们也选用了本人参与的由胡泽洪、周祯祥、王健平主编《逻辑学》，该书现代逻辑内容偏多，学生反映比《普遍逻辑》难学。
三、高师院校逻辑课要重视逻辑应用的教学
普通逻辑的基础性、工具性特点决定了它的生命不仅在于它的科学理论价值，更在于它的应用价值，进行理性思维训练是它的基本功能和核心。目前很多的普通逻辑学教材存在片面追求演绎系统化、符号化、技术化，侧重于介绍理论化的逻辑系统，脱离现实的一般的思维运动过程和规律的倾向，在内容体系与指导思想上不适应思维训练的实际需要。为了让逻辑贴近思维现实，发挥提供思维训练方法的基本功能，在教学内容选择上应把逻辑提供的思维方法、原则与思维训练应用相结合，增加逻辑科学研究与逻辑知识应用相结合的内容。面向21世纪，结合学生实际，应使普通逻辑成为提高学生思维素质，增强理性思维能力的课程。为使普通逻辑学服务于素质教育，我们要在教育实践中不断努力。数理逻辑有优越于传统逻辑的方面，比如它克服了以自然语言为特征的传统逻辑存在的歧义性和模糊性缺陷，可它也有局限性。虽然数理逻辑具有着现代色彩，但它与人们的日常思维不很一致。
触及到以自然语言为载体的实际思维就会陷入困境，也不易为人们所接受。数理逻辑在电子计算机里大有用武之地，并正在向着各类学科沙透，前景十分光明，但现代人的思维并不都是与电子计算机联系在一起的。日常思维中的交流思想、论证真理、驳斥谬误都是要运用白然语言的，公说公有即，婆说婆有理的，计算机无能为力。因此，联系实际思维去发展传统逻辑，仍然是传统逻辑的发展方向。
高中数学中的逻辑推理篇2
关键词：数学课堂；小学生；逻辑推理
一、精心设计思维感性材料
思维的感性材料是学生开展逻辑推理的基础前提，也可以说思维感性材料的数量和质量在一定程度上影响着学生逻辑思维推理的成败。因此，要培养小学生的逻辑推理能力，教学者首当其冲的任务是做好思维感性材料的设计工作，为学生提供丰富的感性材料，帮助小学生顺利实现量变到质变的飞跃。比如说，在质数和合数的概念教学中，教学者可以通过大量找自然数约数的方法，让学生观察分析总结得出质数与合数概念的内在的区别。即质数的约数只有1和它本身；合数的约数除了1和它本身之外，还存在其他约数。
二、依据基础知识进行思维活动
逻辑推理是在把握了事物与事物之间的内在必然联系的基础上展开的，所以，培养小学生的逻辑推理能力可以有效结合小学生现有的基础知识。由于小学生学习能力有限，所接受和理解的教学内容较少，依据已有的基础知识应当从数学概念、公式和定义、法则等入手，进而开展逻辑推理活动。比如，在给三角形作高的教学中，很多学生对锐角三角形、直角三角形的作高感到很容易，但很难把握钝角三角形的作高方法，究其原因是没有依据三角形高的概念，没有找到正确的逻辑思维方向。
三、养成多角度认识事物的习惯
多角度看问题、思考问题是发散小学生思维能力，提高小学生逻辑思维能力的重要途径。养成多角度看问题即在认识事物的过程中，全面认识事物部分与整体之间的关系、事物与其他事物之间的关系、部门与部分之间的关系等。这需要小学生理解和把握“求同存异”和“异中求同”的思维理念，相同事物的比较要发现其存在的不同之处，而不同事物的比较能够找出其中某个方面的相同之处。比如，在课程教学中，老师可以将比较相似或相近的问题作比较，让学生找出两者的联系和区别，进而找出问题的正确答案，提高学生的逻辑思考能力。
高中数学中的逻辑推理篇3
【关键词】数学教学逻辑价值
【中图分类号】o1【文献标识码】a【文章编号】2095-3089（2014）10-0125-01
逻辑在数学教学中一直发挥着十分重要的作用，严密的逻辑体系不仅有效的提升了数学教学的效果，同时在素质教育的大背景下，对于提升学生逻辑思维能力也发挥着其他课程难以替代的作用。传统数学教学理念认为，数学即是逻辑，这种理念虽然没有将数学与逻辑学清晰的分解开来，但是却无形中强调了逻辑在数学教学中的地位和作用。
一、逻辑及数学的关系
“逻辑”一词含义非常丰富，它最早源于古希腊哲学体系，原意指思想、辞、规律等泛义的方法性知识体系。现代逻辑学认为，逻辑的主要研究对象是人们的思维形式及其规律和方法。推理形式是人们逻辑思维的一种重要形式，在逻辑学发展的历程当中呈明显的阶段性特征，早期的逻辑学由古希腊时期哲学家亚里士多德创立，发展至19世纪则进入现代逻辑学阶段。现代逻辑学主要是形式逻辑及其相关理论。现代逻辑对逻辑推理规律的研究更加细致，并且数学性质在现代逻辑中越来越明显，数理推理为现代逻辑学的发展提供了更加强大的支撑和推动作用。
数学中所包含的“简单逻辑”是这门学科形成和发展的骨架，它主要是在满足数学教学和学习的需要驱动下，对相关的逻辑知识在理论、思想、方法和语言方面做必要的了解。这些逻辑知识体系主要是学生认知规律的一种体现，同时对他们更加深入和准确的理解各种数学知识具有无可替代的重要作用。当前在数学教学中对逻辑知识体系的介绍和教学发挥着越来越重要的作用，长期的数学教学中虽然也积累的一定的经验，但是随着学科教育的不断发展，无论是教师还是科研工作者不断在思考如何从根本上提升数学教学的有效性和效果。得到的结果必然是在学生思维中首先建立起一个严密的逻辑框架。这样才能使他们更加有效的消化和吸收各种数学推理和思维能力。因此逻辑在数学教学中发挥的作用也越来越明显，越来越重要。
二、数学教学的逻辑透析
数学教学中包含两方面内容，一是教师的教学，二是学生的学习。对于教学而言，教师必须解决“为何教？如何教？”的问题。而学生则也要清晰的认识到“为何学？如何学？”的问题。也就是在数学教学和学习中主体首先要对目的、内容、方法、手段和途径建立一个清晰的框架。这是逻辑知识体系的最基本要求。数学教学与逻辑之间的联系由此开始，数学教学这一过程中本身就包含了教师对教学这一工作的思考和实践，他们首先应对知识本身的逻辑特点有着更加深入的把握，数学知识的逻辑特点同时也是知识发生过程的直接体现。为此，教师应当在对知识特点与逻辑规律进行充分研究的基础上，按照逻辑规律和学生的认知特点开展教学。这样的教学才能称之为有效的教学，符合规律的教学，也才能取得明显的效果。学生在学习过程中也应当把握好知识与逻辑之间的关系。在破解一些数学难题的过程中要充分借助逻辑规律进行推理、假设。如此反复的训练自己利用逻辑这一思维工具的熟练能力。在这一过程中也就顺利的实现了逻辑思维能力形成和发展的良好效果。
三、逻辑在数学教学中的价值
1.在数学教学方法的选择和运用中提供了有效的指导作用。数学教学方法的选择和运用对于提升学科教学质量和效率发挥着十分关键的作用。教师首先应当根据教学内容的需要不断优化和匹配自己的教学方法。教学方法的选取不是随意的，他要根据知识内容的特点和规律进行搭配。同时还要考虑学生现有的知识储备和思维能力[1]。在数学教学中，教师需要将一些概念、命题、逻辑规则和方法介绍给学生，而这些知识虽然隐含在数学知识当中，但是在教材中却很少对其直接讲述。这就需要教师首先要对教材内容做系统的逻辑分析，将知识梳理为一个严密的逻辑体系。将命题和概念划分为不同的逻辑层次，按照由简到繁，由易到难的形式向学生解说。这本身就是一种逻辑思维的体现。教学方法的选择的一个最终的要求就是必须遵循逻辑规律。因此从这个角度来说，逻辑指导了教师教学方法的选择和运用。
2.逻辑学习和训练加强了学生思维发展的研究和培养。学生作为个体的人，其逻辑形成和发展具有不同的阶段性特征。他们在不同的年龄段和不同年级逻辑思维的生理基础不同。但总体来说是呈上升和发展趋势的。学生逻辑思维的发展也不是凭空进行的，它是伴随着对相关学科的学习和各种不同现象和事物的思考和认识的过程中形成的。其中数学知识的学习对于学生逻辑思维能力的培养和形成发挥着更加重要的作用。初中学生的逻辑思维的最大特点是经验型的抽象逻辑思维，高中则又达到一个新的阶段，那就是理论抽象思维。这其实是一个上升过程。学生的思维在这一过程中变得更加理性和清晰，更能把握和调整自己的思维模式[2]。这在数学教学中体现的最为明显。培养学生思维能力需要借助于逻辑知识体系的建立。数学教学中，学生的思维是最隐蔽也是最重要的支撑。尽管这一过程中也包含了形式逻辑思维和经验逻辑思维。而且在中小学数学中这种逻辑思维起主要作用。但是这些思维都是为后期的理性抽象思维的形成所准备的。总体而言数学教学还是一个理性教学思维的发展过程。逻辑在这种思维的形成过程中几乎是同步的也是最重要的。
3.有助于学生整体素质的提高。数学是一门科学，数学能力也是学生综合素质中的一个重要组成部分。同时学生在获取数学知识过程中所形成的逻辑思维能力不仅对于他们提升数学学习效率发挥着重要作用，同时对于他们其他学科的学习，甚至今后的人生道路都发挥着十分重要的作用。因为逻辑思维能力是人们思路清晰，思维严谨的体现。它能够为人们解决问题提供科学的方法和理性的认识。因此，逻辑思维能力对于一个人在处理复杂矛盾和问题的过程中提供着最直接的帮助和支撑作用。这些都是学生综合素质中的一个重要组成部分。当下，随着素质教育的开展和社会对人才综合素质要求的不断提升，在数学教学中培养和提升学生的逻辑思维能力意义重大。
参考文献：
[1]张筱蘅.逻辑与数学教学――中学数学教师学习和掌握逻辑的意义与作用[J].西安教育学院学报.2012（03）
[2]黄双才.谈数学教学中的整体性原则[J].商洛师范专科学校学报.2009（02）
高中数学中的逻辑推理篇4
关键词：初中数学；逻辑思维；培养；研究探讨
一、初中数学教学中对逻辑思维能力培养的重要性分析
初中数学的教学不仅只是灌输给学生数学知识，更应该注重对学生整体素质的培养，尤其是逻辑思维能力。对于初中数学的教学方法而言，学生的逻辑思维能力对于全面提高学生的数学学习水平具有非常重要的作用。首先培养学生的思维模式是形成学生素质的重要标准，能够提高学生的组织领导能力和沟通能力
等。新课程标准的提出，使教育工作者逐步认识到培养逻辑思维能力对于提高数学水平的重要作用，我国著名教育学家叶圣陶先生曾提出“训练思维”这一观点，中学生正处于逻辑思维的黄金时期，在这一阶段如果能够具备好的逻辑思维能力将会对今后的全面发展打下扎实基础，对学生未来的工作也是大有裨益的。随着知识经济的来临和工业化社会的不断发展，各行各业对于人才的要求不断变化，这正反映了教育中注重逻辑思维能力培养的重要性。
二、初中数学教学方法对逻辑思维培养的具体路径分析
对于如何培养初中生在数学学习中的逻辑思维能力，笔者认为应从以下几个方面着手：首先，要培养学生在数学学习中的主体地位，提高学生的学习积极性和学习热情。只有使学生真正对数学产生兴趣才能逐步引导学生进入思维能力的养成阶段。其次，要合理设置教学情境实现学生数学学习的深入化和入主化。通过具体的数学问题创设问题情境，比如，在学习“有理数的乘方”
时，可以通过与学生一起对折白纸来引入教学内容，并激发学生的兴趣和求知欲。此外还应鼓励学生大胆提出对坚守常识的质疑，引发学生的思考，使数学教学从生活经验出发，培养学生的批判性思维。最后，要加强逻辑推理的示范和教育，加深学生对逻辑推理的基本方法的理解，加强课堂上对学生思维的稳固性训练，循循善诱，逐步培养学生在数学中的思维能力。
总之，初中数学的教学要始终围绕逻辑思维能力的培养来进行，不断引导学生对数学的正确认识和对数学知识的内涵理解，提高学生理解、分析和解决问题的能力。
参考文献：
高中数学中的逻辑推理篇5
一、学习逻辑学的意义和作用
作为一门学科，逻辑学有广义与狭义两种理解。广义的逻辑学泛指研究思维形式、思维方法、思维规律的科学;狭义的逻辑学仅指形式逻辑，形式逻辑又可分为传统的形式逻辑和现代形式逻辑。
学习逻辑学可以帮助人们认识真理，人们的真理性认识归根结底是从社会实践中来的，正如“实践是检验真理的唯一标准”。认识真理有两条基本途径：
(1)从实践中获得感性认识并运用科学的思维方法对感性材料进行加工分析，实现感性认识向理性认识的飞跃，从而把握事物的本质和规律。要实现从感性认识向理性认识的本质转变，应当掌握丰富的、切合实际的感性材料，同时还要有分析这些材料的能力，即能够运用科学的逻辑思维方法，从感性材料中准确地提炼概念，作出判断，得到正确推理。
(2)根据已经被实践检验过的真理性认识，通过正确地推理，推出新的真理性认识。能否推出真实的结论，需要具备两个条件：①前提条件是真实的;②推理形式正确(即符合逻辑学的推理要求)。学习和掌握逻辑学中的概念、判断、推理，有助于人们在感性认识的基础上获得理性认识，也有助于人们根据已有的真理性认识推出新的真理性认识。
逻辑学的意义、作用和目的可概括为以下几点：
(1)通过学习逻辑，掌握逻辑学的专门技术和方法，应用这些技术和方法，可以帮助我们解决一些实际问题;
(2)通过学习逻辑，培养人们的逻辑思维意识，使这种逻辑思维意识成为我们知识结构中的重要组成部分，在我们的学习、工作和生活中起到潜移默化的作用;
(3)通过学习逻辑知识形成一种逻辑观念。
上述三者中，最为重要的是树立逻辑观念，任何形式的学习都是为了树立某种观念，具备相应的素质，从而为我们的工作和生活提供指导。若能达到这三个方面，说明逻辑学已经成为你素质的重要组成部分，成为你发现问题、处理问题、思考问题、分析问题的一种能力。大学教育除了培养学生的专业技能外，更为重要的是培养学生思考、分析、解决问题的能力，这也是国民素质强的一种表现。
二、逻辑学与素质教育
人的素质分为先天素质和后天素质，先天素质是人生来就有的素质，包括人的感觉器官、运动器官、神经系统、大脑的结构和机能等。先天素质是人们认识形成和发展的自然前提。后天素质是通过培养和锻炼而形成的素质，思想道德素质和科学文化素质就是后天素质。人的素质不仅表现在知识面非常广，更为重要的是对问题的处理能力及对问题的认识、思考、分析和判断等，用一个词来概括就是“能力”。因此，素质教育不仅仅是掌握几门知识、技术，更为深刻的是有没有处理问题的能力。因此，可以说逻辑学与素质教育应该是最为密切的。在实际生活中，最早培养逻辑思维能力的是语言，我们从学说话起就进行这种逻辑思维能力的培养。相对于数学，这种思维能力更为抽象，只是对于我们来说，日常应用，司空见惯而不讨论其本质。在实践中我们知道，数学学得好的，逻辑学也容易学得好，相反，则不容易。这是因为数学与逻辑学之间有联系，数学教学中，有一项教学任务就是训练学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，正因如此，我们在逻辑学的教学中应按照不同的专业有不同的要求，使学生的素质得到均衡发展。
逻辑学与数学相比较，它更抽象，这点与大家的认识可能有误差，下面我们对比分析一下：(1)数学用数学语言(字母、符号等)表示，逻辑学用逻辑符号来表示，逻辑符号有具体含义，所以，逻辑学抽象的难度是既要理解符号的含义，理解符号之间的运算关系，还要理解运算规则所包含的意义。(2)日常生活中，我们使用的是文字符号，不是数学符号，因此，逻辑学与我们的日常生活联系更为紧密。所以，学生在进入大学后开始接触逻辑学就不感到陌生，基于这一点，我们的逻辑学是以语言为主、传统逻辑为主要内容的教学。
狭义的逻辑学分为传统的形式逻辑和现代形式逻辑。传统形式逻辑是现在高等专科学校逻辑学教学的主要内容，同时也是培养学生逻辑思维能力的基础学科的主要内容。随着科学技术的进一步发展，现代形式逻辑所具有的基础性、应用性和培养能力远远超过传统形式逻辑。现代逻辑是对传统逻辑的继承与发扬，现代逻辑不仅可以作为日常生活中的思维工具(具有传统逻辑的作用)，还可以解决传统逻辑所不能解决的问题。现代科学技术的发展和高等教育的发展，对人的思维能力的培养也提出了更高的水平，这已超出传统逻辑所能提供的要求。
因此，逻辑学与素质教育的关系不能停留在对传统形式逻辑的要求上，应当是两者共同发展的要求。现代形式逻辑的意义、性质和作用可以作为适应现代科学发展需要的素质要求，成为素质教育中的核心课程。这样才能更好地发挥逻辑学作为一门基础学科的意义和作用，体现逻辑学对素质培养的地位。
三、逻辑学与素质教育的展望
教育是民族振兴和社会进步的基石，十八大报告把教育放在改善民生和加强社会建设之前，全面提高全民受教育程度和创新人才培养水平，就能为基本实现教育现代化，进入人力资源强国行列作出贡献。建设创新型国家的战略任务，永远自立于世界先进民族之林的愿望，迫切要求我们加强素质教育，而逻辑思维能力的训练则构成素质教育的重要组成部分。逻辑学早已被联合国教科文组织列为基础学科之一，作为重要的基础学科，我们大家应高度重视逻辑思维能力训练，推动和加快素质教育的全面落实。
高中数学中的逻辑推理篇6
【关键词】数理逻辑离散数学教学方法
【中图分类号】G640【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2014）1-0254-02
离散数学作为计算机科学研究与学习的基本数学工具，其研究主要对象是离散量的结构及其相互关系。离散数学最难学习的是数理逻辑部分，这部分内容定义公式繁多，不易记忆和接受，学生学习比较困难，但它是培养学生逻辑推理能力的重要内容。因此，在离散数学教学中，讲授数理逻辑部分是教学的重点。
一、离散数学中数理逻辑的教学内容
命题演算和谓词演算是数理逻辑中两个最重要最基本的部分。命题是指有具体意义的能判断真假的陈述句。形象的说，如果将命题看作运算对象，如代数中的数字、字母或代数公式，而把逻辑联结词看作是运算符号，如代数中的“加、减、乘、除”，那么命题演算也就类似于代数运算。这种逻辑运算同代数运算一样，有自己的运算规律。
谓词演算也称一阶逻辑演算。它为了克服命题逻辑的局限性，将命题的内部结构分解成三部分：个体词、谓词和量词，然后研究这种命题之间的逻辑推理关系。
二、数理逻辑的教学方法讨论
（一）设置悬疑，激发学生兴趣
为了激发学生的学习兴趣，比较有效的方法是，可以在每部分内容前设置悬疑，提出一些与该内容相关的有趣问题，让学生明白学习这部分内容有什么用。如在讲授命题逻辑的推理理论之前，可以先提出如下问题：
例1：一逻辑学家被困一部落，酋长有意放行，于是对逻辑学家说：“现有两扇门，一是自由，一是死亡，两门可任开启一扇。你可从两战士中选其一负责解答你任一问题（Y/n），两战士其一诚实，另一说谎。”逻辑学家沉思片刻，向其一战士发问，然后开门从容地离开。逻辑学家是怎样发问的呢？
听到这个问题，学生必定非常好奇，在此教师可说学完命题逻辑推理理论后，这个问题就可解决。于是学生会带着好奇心，学习效果定会比预期好。
（二）深入生活，加强概念理解
在命题逻辑中的五种联结词中，学生最难掌握的是蕴涵联结词。其中重点是蕴涵联结词的前件和后件的区分。根据课本的定义[1]：
设p，q，为二命题，复合命题“如果p，则q”称为p与q的蕴涵式，记做pq，并称p是蕴涵式的前件，q是蕴涵式的后件，称作蕴涵联接词。并规定pq为假当且仅当p为真q为假。
为了加深对此概念的理解，可以给出一些用蕴涵式表示的自然语言。如“只要p就q”，“因为p，所以q”，“p仅当q”，“只有q才p”，“除非p才q”，“除非p否则非q”等。在上述语句中，一个共性就是q是p的必要条件。
例2：“爱生活，爱拉芳。”
这是一句耳熟能详的广告词，大家都觉得有一定道理，但同时也有一些的疑惑，问题的关键到底出现在哪里呢？我们设p：爱生活；q：爱拉芳，则原广告可写作pq。假设爱拉芳，可以推断出一个人爱生活，有品位；但反过来说，爱生活的人，一定会爱拉芳，用拉芳的产品吗？结论显然是否定的，这句广告词有意混淆蕴涵式的前件和后件，把必要条件说成充分条件。
（三）注重类比，抓住重点内容
数理逻辑部分的内容复杂，公式繁多，在教学中如何抓住重点，让学生容易听懂呢？这是每个老师都必须面对的一个非常严峻的问题。我们可以考虑将命题推理系统和一阶逻辑推理系统对比，由于它们的字母表、合式公式和推理规则都很类似，把它们的相同和区别之处给学生讲清楚，就可以帮助学生加深理解。又如在命题逻辑的等值演算中，教材给出了16个组基本的等值式：
教学时，可以给出学生其中的一个证明，剩余的让学生自己去做。如证明（1），当a为F时，┑a为t，┑┑a为F；当a为t时，┑a为F，┑┑a为t，所以有a┑┑a。这样，学生就得到了等值式，而且对其他等值式也有了更加具体的认识，便于记忆。
为了改进离散数学中数理逻辑部分的教学方法，在分析数理逻辑的教学内容的基础上，从以下四个方面着手来提高教学效果：激发学生兴趣、加深概念理解、启发学生思维和抓住重点内容。经我们在实际教学中的运用结果来看，效果较好。
参考文献：
高中数学中的逻辑推理篇7
哲学逻辑这一术语最初是由罗素引入的，透过这个术语罗素意在传递人工语言对于自然语言和思想的研究是充分的这样一种想法。本质上这是一种对语言加以形式化处理的哲学纲领[1]。在当代，大多数哲学家认为哲学逻辑是更具体的逻辑的哲学问题的研究。例如关于论证、意义和真理的研究；关于同一性、存在和断定、必然性的研究[2]。逻辑哲学家伍德（Johnwoods）认为逻辑哲学研究自然语言中的真理、意义和指称等问题。他认为弗雷格的《概念文字》是典型的逻辑研究,而他的《涵义和指称》则属于典型的哲学逻辑研究[3]。哲学逻辑的另一种涵义是它主要涉及经典逻辑的扩展和替代系统，即所谓的非经典逻辑。在这种意义上哲学逻辑是一个技术性科目。如J.伯吉斯（J.Burgess）的教科书《哲学逻辑》，布莱克威尔的《哲学逻辑指南》和多卷本的《逻辑哲学手册》就是在术语的这种意义上使用的。在这种情况下，经典逻辑作为一个核心部分包括在非经典逻辑之中。按照伯吉斯的说法，这种逻辑对理论计算机科学具有极大的重要性，因为许多非经典逻辑在该领域中发现了它的应用。斯普林格出版的《哲学逻辑杂志》主要涉及的就是哲学逻辑的这种涵义。但是在这里我们最好不要一般地假定“哲学逻辑”必然地比“数理逻辑”一定有着更强的哲学关联。尽管在现代的早期阶段逻辑被作为哲学的一个分支看待，但今天的情况已经完全不同了，只有少数专业逻辑学家仍然在哲学系编制之内，不仅大多数“数理逻辑”专业工作者，而且大多数的“哲学逻辑”专业工作者的编制是在数学系或者计算机科学系。大多数非经典逻辑最初是由哲学家引入的，而且是基于一种哲学的动机，但是随着研究的发展它们很快就被纳入逻辑的“数学”研究范围之内。尽管我们对逻辑哲学的涵义做了仔细的分析，但逻辑哲学和哲学逻辑这对范畴之间的关系并没有一种普遍接受的表述方式，有些作者宁可将二者混为一体，把两个短语或多或少视为同义词来看。例如，哈克（SusanHaack）认为逻辑哲学和哲学逻辑之间没有实质性的区别[4]。杰奎特（DaleJacquette）也承认二者之间并没有显著的区别，不管是把它们作为两个不同的概念看待，还是不加区别地使用都没有特别充分的理由。如果一定要在二者之间做出一种划分的话，杰奎特的观点是哲学逻辑涉及到任何一种公认的逻辑方法对哲学问题或者以推进哲学讨论为目的的应用，反之逻辑哲学是对出现于和任何公认的逻辑分支的研究有关的哲学问题的思考[5]。格雷林（Grayling,a.C.）认为，当人们在从事哲学的逻辑研究时他是在做关于逻辑的哲学化的工作，而当人们在从事逻辑哲学研究时他是在做哲学工作[6]。作者认为，在二者的划界问题上应当将方法论的特征作为一个主要的因素来看待。凡是对论题的处理使用或者采取了逻辑的方法，那么它所处理的问题应当归属于哲学逻辑的范围，而凡是对论题的处理采用了哲学化的方法，那么它所处理的问题就应当归属于逻辑哲学。这一基于方法论划分的优点是有一个同一的标准。例如，按照这一标准，罗素的摹状词理论研究以及他的逻辑主义的数学哲学研究就是典型的哲学逻辑的研究，而他的关于（自然语言表层结构）误导形式的论题研究则属于逻辑哲学的研究。基于这一方法的划分当然有某些相互重叠交叉的论题，但这并不影响人们从不同的角度对它们做出不同的划分。例如，尽管罗素的摹状词理论是哲学逻辑的研究，但后来引发的施特劳斯和唐纳兰的更富语用学色彩的批评则属于哲学逻辑的范畴。按照本文提出的划分标准，大多逻辑哲学的论题事实上属于哲学逻辑的论题。作者认为真正属于纯粹的无争议的逻辑哲学的论题包括：真值的负荷者是句子类型，或者句子标记，还是命题？如果是命题，这些命题是无结构的还是有结构的？如果是有结构的，是粗糙结构的或罗素式的，还是细腻结构的或弗雷格式的？逻辑形式是与语言的语法形式相一致的，还是与语言的“表层形式”相对应的“深层形式”相一致。逻辑形式是心理实在的，或者是被表达在推理者意识中的或者大脑中的？抑或它们仅仅是在评价推理的过程中被分析者所强加的。逻辑真理或者逻辑知识是存在于逻辑小品词的意义中还是在其他地方？意义是由真值条件所构造还是体现于使用的规则中？等等问题。逻辑哲学和语言哲学是一种什么关系？逻辑和语言哲学被认为是20世纪哲学家们在哲学上做出最无可置疑的进步的少数领域中的两个。其中语言哲学的进步主要获益于逻辑的极大发展。例如，起源于中世纪哲学的从言模态（dedicto）和从物模态（dere）之间的区别直到当代模态逻辑诞生并为其提供了精确的语义刻画之后，这个问题才获得了一种较好的解决（尽管在认知语境的条件下，它们之间的区别仍有待于进一步澄清）。其他那些可以按照这种方式加以分类的论题包括存在、同一性、陈述条件句、本质主义、模态算子、量词和模糊性等。在逻辑和语言哲学中的进步已经正面地影响到相邻的哲学学科，如形而上学和元伦理学。基于上述理由，一些哲学家认为语言哲学是当代“第一哲学”，就像当年笛卡尔将“认识论”称为第一哲学那样。但事实上,语言哲学已经取得的巨大进步并不意味着它为我们提供了一种“第一哲学”。人们认识到一个学科比其他的学科进步得更快并不意味着这个学科掌握着所有其他学科进步的关键。二十世纪是语言哲学的世纪不是因为所有甚至大多数哲学问题已经通过诉诸于语言而使问题得到解决，而是由于哲学的那些涉及意义和内容的问题由此变得更加的复杂。如果说逻辑对语言哲学有一种方法论的在先性的话，逻辑哲学与语言哲学则是一种相互交叉，相互依存的互动关系。由于逻辑涉及推理，而推理如果不是全部也是绝大部分与语言有关的，因此逻辑哲学也必然涉及语言、语言哲学问题。一方面逻辑哲学家总能在自然语言那里找到新问题和新思路的灵感，语言哲学探讨的问题激发了逻辑哲学的思考和发展；另一方面逻辑哲学仍慷慨地向语言哲学提供自己的研究成果。二者也有一些研究主题是交叉的，如预设、隐含、模态性、条件句和内涵性。但二者仍有它们特有的可辨识的主题，语言哲学的核心论题是语言的意义，而按照斯特劳斯的表述，逻辑哲学的核心论题是“关于命题的观念，即关于什么是真什么是假的观念，和关于可能性的观念。”[7]（p211）
二、怎样理解逻辑的扩展？逻辑依然被定格为传统的推理理论吗？
许多哲学家和逻辑学家发现给出一个适合于当代逻辑现状的定义并不容易，一个很重要的原因在于当代逻辑具有很强的多元性和异质性。的确，在罗素谈及逻辑是哲学的本质时，他所指的“逻辑”还是一种单一的逻辑。而当代哲学家在谈论逻辑时一般指的是能够系统地表述语言的形式推理结构的特定方面的逻辑，特别指的是经典逻辑之后的各种替代逻辑系统，或者超经典逻辑（extraclassicallogic），如广义模态逻辑和各种反经典逻辑（anticlassicallog-ic），如自由逻辑、相干逻辑、多值逻辑、非单调性逻辑、概率逻辑、条件句逻辑、内涵逻辑、模糊逻辑、省缺信息逻辑、偏好逻辑、描述逻辑等。怎样理解逻辑的扩展和增生？其实这个问题除了有学科自身内部发展的原因之外，还可以从逻辑与科学关系的角度加以分析。从科学与逻辑的关系看，科学中的证据和假设之间的关系是科学进步的基础，这种关系涉及逻辑前提和结论之间联系，而这正是逻辑的核心概念。在这种核心意义上，逻辑是正确推理的研究。它是证据和假设、理由和信念或者前提和结论的形式结构和非形式关系的研究。是一种推定式（单调）和非推定式（非单调或扩展）的推理研究，或者人们通常也称之为蕴涵和归纳。特别是，逻辑涉及被详加设计，以展示这种蕴涵和归纳的形式系统。更一般地说，它是一种证据、证明、蕴涵、支持、证实、确证或者证伪一结论的条件的研究。有这样一个与科学相联系的背景，我们也就不难理解20世纪的逻辑不仅包括形式蕴涵理论，而且包括非形式逻辑、概率理论，确证理论、决策论、博弈论、可计算性和认知模型。在过去的一个世纪里，逻辑的研究不仅从诸如哲学和数学这些传统学科，而且也从诸如计算机和经济学众多其他学科受益匪浅。反过来，逻辑开辟了关于数学推理研究的新的可能性，因而促进了诸如集合论和范畴理论等与数学基础研究相关的新的逻辑研究分支的发展。同样，20世纪许多哲学分支如形而上学、认识论、数学哲学、科学哲学、语言哲学和形式语义学的发展与逻辑学的发展相向而行，相互渗透，相互影响。这些进步已经导致逻辑范围进一步地拓宽，对逻辑的应用和范围的更深入的理解。与逻辑系统的扩张相适应，逻辑的论题也由传统的推理理论、悖论、谬误和定义的研究扩展到广义模态家族概念分析、概率、概率自然语言模型、精确概率推理、博弈分析、语义解释、意向性结构、动态性、不确定推理、因果性论证、信息更新、信念修正、逻辑编程、因特网智能体、学习推理、甚至交往互动、认知表征、语言翻译等方面的研究。可以说逻辑的触角已经渗透到人类理性过程的各个方面，逻辑也由哲学和数学扩展到诸如语言学、计算机科学、人工智能、认知科学甚至经济学等领域。新旧论题在这种新配置之下重新组合（如真性模态逻辑和时态逻辑、认知逻辑和道义逻辑的组合，相干逻辑和直觉主义逻辑的组合）产生出各种组合逻辑。在这种背景下逻辑事实上已经从关于正确推理这一单一主题的研究扩展到包括推理、（语言）分析和计算这三大主题。分析传统上就属于逻辑的范畴。逻辑必然要涉及语言分析，尤其是语言中的语义分析。语义分析既是逻辑应用的必要条件也是逻辑研究的内容之一。现代逻辑赋予分析以更为重要的地位，并且日渐成为逻辑学家实践活动的主要部分。例如，哲学逻辑中的各个分支的主要问题来源是语言的分析。特别是像蒙太格形式语义学或者内涵逻辑，以及各种基于语言的逻辑分析的广义语言逻辑的整个发展，只有在语言分析的背景下才能得到清楚而准确的理解。在这些分支中语义分析往往处在问题的核心的位置。更进一步地说，逻辑与演绎、分析、演算和计算乃至自动化（automation）的概念有密切的联系。亚里士多德是第一个将推理作为演算来处理的并取得成功的逻辑学家。在当代继演算的代数处理和符号算法的发展之后，演算已经变成了一种普遍的工具，以至于人们期待最终的自动逻辑推理将像演算一样被广泛的应用。这就把我们带入到逻辑、计算机科学、人工智能和认知科学相互交汇的广阔领域。当代逻辑的主要灵感也来自于这些领域。最后，这也是莱布尼茨普遍演算逻辑理想的一种现代扩展。
三、逻辑语言、心智和形而上学的在先性问题
逻辑哲学的一个重要问题是逻辑成分与世界成分的联系。逻辑作为一种形式符号的语言，通过一种语义解释可以表达思想，进而可以谈论这个世界，表达世界的结构。这样，逻辑语言、思想和世界构成了一个三角形，在逻辑哲学、心智哲学和形而上学中我们围绕着这个三角形运动。例如，现实世界的某些区别———如物体和性质或一般与特殊之间的区别在逻辑系统中根据谓词和个体词，以及高阶谓词和低阶谓词的差别，或语义解释（思想领域）的差别而有所区别。但这种差别之所以能够做出，需要某些关于我们对逻辑语言和思想方面的差别有一种形而上学的假设。这就有一个逻辑（或逻辑哲学）和形而上学何者相对优先的问题。在逻辑哲学和心智哲学之间也存在何者优先的问题。例如，对逻辑语言的意义的解释的任何方法，总会涉及语言和思想的优先顺序的问题。首先，我们应搞清楚这里的优先是个什么概念。
四、逻辑哲学是如何产生的？
高中数学中的逻辑推理篇8
1、对逻辑思维的认识i辑推理的方式来论证数学命题。1847年．英围数学家逻辑思维是指人们在认识过程中借助于概念、判i布尔发表了《逻辑的数学分析》，利用符g-来表示逻辑断、推理等思维形式，能动地反映客观现实的理性认i中的各种概念。可见，数学自古以来就是与逻辑学紧识过程。逻辑思维能力是一个人正确、合理地思考的‘密相关的。今天的《数理逻辑》已经发展为一个独立的能力，一个人的逻辑思维能力越强，对知识的理解就i学科领域，它既是数学的一个分支．也是逻辑学的一越透彻，掌握得就越牢同．运用就越灵活。思维是表达1个分支，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。的前提和基础，只有思维合乎逻辑．表达才能鲜明生i2．数学学习有助于逻辑思维能力的提高动，有助于提高学习和1：作的效率，才能准确、有条理l提到数学教学。我们往往联想到数学公式、计算地表达自己的思维过程。联合国教科文组织的一份报l，能力方面。实际上，数学教学对学生逻辑思维能力的告指出，一次由50个国家500位教育家列出的162i培养也是十分重要的一个方面。数学学科中有许多方项最重要的教育目标中。把发展学生的逻辑思维能力：法高度抽象．对培养学生的逻辑思维有着非常好的效列为第二位。这足以表明培养学生逻辑思维在人才培i果．是培养学生逻辑思维能力的极佳途径。实践证明，养中的重要性。数学作为--i'1结构严谨的科学。对于1从事数学学习和研究的人．其逻辑思维能力得到了更培养学生对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概l好的培养与发展。在牛活中，逻辑性差的人．其思维常括、判断、推理的能力具有不可替代的作用。因此，本：常是混乱的．而逻辑性强的人，其思维是有条理的，数文旨在通过探讨数学教学中如何培养学生逻辑思维l学学习从基础阶段到高级阶段都足以掌握方法为重能力，提供新的途径和方法。i点，数学方法具有高度的抽象性和概括性、逻辑的严二、数学与逻辑思维的关系l密性和结论的确定性、应用的普遍性和町操作性等特1．数学属于逻辑学的范畴i点．因其能够提供简洁精确的形式化语言，在科学技数学是研究数最、结构、变化以及空间模型等概f术研究领域作为逻辑推理的工具而具有举足轻重的念的-r-J学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，学生i地位和作用。在数学学科中的分析法、综合法、反证大多概念明晰、逻辑清楚、推理严密，从某种意义上•法、逆证法、归纳法、穷举法等基本数学方法，因而通讲，数学属于逻辑学的范畴。说数学属于逻辑学范畴，l过这些数学方法的学习，可以大大提高学生的逻辑思理由有二：一方面，数学为逻辑学的研究提供了十分i维能力。事实上，数学教学中大量的数学运算都是某理想的模型，而逻辑学的运用则为数学的研究提供了1种意义上的逻辑运算，这些相关内容的学习都有助于达到本领域自由乇国必不可少的工具和方法；另一方：学生逻辑思维能力的提高。学习、掌握和运用数学知识的过程就是逻辑思维i三、数学教学中学生逻辑思维能力的培养的过程，分析、综合、比较、抽象、概括、系统化、具体化l1．在数学教学中采取问题式教学形式等思维活动贯穿于学习数学知识的全过程。大量研究：在教学实践中，提问是教学中引发思考的主要方表明，逻辑思维是在计数、计算、量度和对物体形状及J式。各国教育界历来重视“问题式教学”，“让学生带着运动的观察中产生，逻辑性是思维的一个重要特点，i问题学习”是增强学生学习主动性的有效手段，不但而且只有经过逻辑思维，人们才能达到对具体对象本1可以由学生自己找到问题的结果，还有利于让学生在质规定的把握，进而认识客观世界。而从专业领域来。解决问题的过程中培养逻辑思维能力。当前．新课程说，数学需要比日常用语更多的精确性，数学家将此i改革已经全面展开。在数学教学中采取问题式教学形对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。早在大约公i式可以使学生由教学的被动受体转换为课堂教学的元250年，我国古代著名数学家刘徽就明确主张用逻i主体，使教学过程由教师的抽象推理教学转变为学生的技术操作练习环节。教学的主要任务不再是知识传i授，而在于方法的传授和思维能力、创新能力的培养。l学生解决问题的过程实际上就是主动思考和探索的l操作性过程，可以有效地激发学生的实际行为。由于课程学习往往涉及到大量的新内容。教学中l完全靠学生自己解决问题也是现实，问题式教学的主i要作用和目的是让学生掌握解决问题的过程和流程，l让学生明确解决一个具体问题所要经过的各个具体}环节，通过让学生明确这些环节之间的逻辑关系，培养i学生逻辑思维能力。因此，在数学教学中采取问题式教i学形式需要教师的指导和在整个解决问题过程中的：不断启发和引导，在问题解决的最后要做逻辑梳理和l过程总结，从而使教学过程进行得有计划，使学生逻i辑思维能力培养有层次性。为了使学生逻辑思维能力1培养具有层次性，就要使问题式教学中的问题有层次：性，这里的层次性主要通过问题的难易程度来体现，i难度不同的问题对学生逻辑思维锻炼的作用也不同。f所以，教师要把握好问题的难度，对问题式教学过程进i行全程监控和调节，以达到预期的教学目标和效果。2．在数学教学中采取辩论式教学形式正所谓“思想在辩论中产生”，有专家指出，辩论i是产生思想的有效方法。在数学教学中，采取辩论式-教学也有利于学生逻辑思维能力的培养。辩论式教学l以反向思维和发散思维为特征，围绕特定的论题各抒i己见，要求在辩论中增强自我观点的逻辑性，以便明}确所阐述观点的主线。通过在数学教学中实施这种辩：论式教学，学生在辩论中能够主动获取知识，有助于l提高学生的逻辑思维能力，同时，辩论式教学可以使l学生在辩论中相互学习，提高自身素养。辩论式教学!实际上又是一种互动式教学，有利于形成师生、生生1的多边互动格局，不但可以促使学生积极、主动地去l获取知识，而且还有助于使学生在多维流中通过i感悟问题的逻辑联系增强知识的深刻性。辩论式教学可以形成多维交流的态势，使整个课l堂充满活力。由于课堂进程不是预设的，而是生产性i的，因而，教师与学生、学生与学生之间的思维碰撞有l利于激发灵感，其创新性和发展性是十分广阔的。辩i论式课堂使教学过程变得更生动，营造外部的竞争与i合作气氛，有助于激发创造的火花。同时，辩论式教学f多以小组形式进行，又有利于培养学生的团队精神和：合作能力。不过，辩论式教学虽然可以激发学生内部i学习需要和动机，但数学作为“严谨的科学”，并不意i味着所有教学内容都适合采用这种教学方式，因而，l数学教学中需要根据具体的教学内容，有选择性地采：用教学方法。#p#分页标题#e#3．在数学教学中采取活动式教学形式活动式教学形式能让学生有更多的锻炼机会，能更好地激发学生学习兴趣，体现以学生为主体的教学原则，可以培养学生热爱数学的情感。在数学教学中。通过活动式教学形式，引导学生将所学知识应用于实际。让解决数学问题的过程转换为学生解决日常生活问题的过程，充分发挥学生的主体性，展现学生的自主性，这种教学形式符合培养学生的实践能力和自主学习能力的数学教学要求。可以让学生在解决实际数学问题的过程中，探究数学规律，学会使用数学思想和数学方法，从而有利于提高学生逻辑思维能力。活动式教学形式通过让学生解决一个或几个具体问题，实际上就是让学生自己分析问题的过程。学生在分析问题时往往会在思维中把对象分解为各个部分或因素，分别加以考察，这实际上就是一个逻辑分析的过程，这种逻辑分析方法的运用就会在不知不觉中对学生逻辑思维能力起到一个良好的训练效果。在活动教学，学生运用分析的方法和综合的方法往往是不自觉的，还没有达到从整体上认识事物本质的水平。因此，这就需要教师通过引导。训练学生自觉地运用分析的方法和综合的方法。既有意识地在思维中把对象分解为各个部分或因素分别加以考察，又有意识地在思维中把对象的各个部分或因素结合成为一个统一体加以考察，通过有意识的、自觉的训练过程，上升到更高层次的、自动的、无意识的、不自觉的运用逻辑思维方法的过程。数学作为一门与逻辑思维紧密相连的课程，教师在数学教学中要有意识地通过多种途径和方法培养学生逻辑思维能力，除了本文所提及的在数学教学中采取问题式教学形式、辩论式教学形式、活动式教学形式外，教师还要在教学实践中积极探讨培养学生逻辑思维的方法，为改变“我国学生逻辑思维水平总体较低”的面貌做出不断的努力。同时需要强调的是，我们不能受“中学阶段是逻辑思维形成的最佳年龄阶段”的限制，在各个阶段都不能放松对学生逻辑思维能力的培养，积极创设有利于培养学生逻辑思维的教学情境，为我国社会主义建设培养高素质人才。
高中数学中的逻辑推理篇9
逻辑思维是创造思维的基础，创造思维往往是逻辑思维的简缩。就多数学生说，如果没有良好的逻辑思维训练，很难发展创造思维。因此如何贯彻《大纲》的目的要求，在教学中有计划有步骤地培养学生逻辑思维能力，是值得重视和认真研究的问题。
逻辑思维能力是数学能力的核心，依据《大纲》和《考试说明》的精神，近年来的高考十分重视对学生逻辑思维能力的考察。本文结合高三数学复习，谈以下几点认识和教学建议。
一、千头万绪抓根本，发展逻辑思维能力是培养学生数学能力的核心，训练只能加强，不能削弱
高中教学的逻辑思维能力，说到底是一个正确、严谨、合理地进行思考和解决问题的能力，它要求学生在对具体问题的观察、分析、类比、归纳、演绎、综合、抽象和概括时，周密严谨，有理有据；也要求在采用演绎、归纳和类比等推理方式进行推理和论证的表达中，格式、步骤要规范，要准确而有条理，符合逻辑。
逻辑思维能力实际上是运算能力和空间想像能力的基础。《大纲》在提到培养学生的逻辑思维能力中，指出“注意培养良好的思维品质”。这也就进一步说明了，培养学生逻辑思维能力和提高思维品质是相互关联、密不可分的！
基于以上几点，复习课中，科学地设计和强化对学生逻辑思维能力的训练，于素质、于能力、于思维品质，都是必需的务实之举；抓住了这一点，无疑就抓住了核心、抓住了根本。
二、关于如何科学地培养和训练学生逻辑思维能力的具体做法和教学建议
1.充分注意向学生展现探究问题的全部失败或成功的思维过程，培养学生周密、严谨、灵活思考问题的良好习惯。
着眼于方程的“二次”结构特征，学生的惯常思路是解出cosx=-1或cosx=■，而后据给定区间及解的惟一处理之，无疑，这个思考过程是正确的，符合逻辑的，但若仅局限于此，未免有些单薄，事实上，作为经验丰富的教师，会注意向学生揭示和展现以下几种思考这个问题时的出发点和过程。
Δ=0-1≤■≤1或Δ>0f<0f=0或Δ>0f=0■<0
解之，亦可得a≤-3或a>1.
由上述可见，f的图象与横轴在[-l，1]上仅一个交点时，列式求值是繁难的，能否求简？注意到交点情况在这里无外乎：在[-1，1]上有一个，在[-1，1]上有零个或有两个。显见f=0，故“惟一交点”的对立面即为“有两个交点”。而在[-1，1]上有两个交点等价于：Δ>0f≥0f≥0→-31。
显然，这样的揭示和展现，既处处体现了逻辑思维的深刻性、严谨性，又体现了数形结合思想方法、函数思想方法，也培养了等价转化、遇繁思简的思维意识；对问题的彻底解决大有裨益。
2.密切关注学生思维失误的表现，通过旗帜鲜明、有的放矢地训练和点拨，使学生在“吃一堑、长一智”中不断提高。
例2.设{an}为等比数列，a1=8，公比q=■，则a6与a8的等比中项是
a.■；B.±■；C.■；D.±■
当观察到a6=85，a8=87后，学生常会误选；他们认定a6与a8的等比中项必为a7，要让学生知道，这犯了“顾此失彼”的逻辑思维错误，根源在于缺乏思维的严谨性，而要使思维严谨，出发点和依据就不能出错，教材中定义a、b、c三数成等比时，b2=ac，即b=±■，这是理论根据；在无其他限制条件时，不能更改。思维的片面性和简单化是发生此类错误的根源。
例3.若y=log2在上是减函数，求实数a的取值范围。
许多学生会这样思考；真数u=x2-ax-a在上是减函数且大于0，于是有：
这个逻辑推理犯了“盲目加强条件”的错误，要让学生结合教材中充要条件的论述，明白这个问题的实质不在于要求“真数u恒大于0”，而在于求y在上有意义且递减时的充分条件，即：■≥1-■f≥0
由此得出：2≤a≤2。
3.锤炼数学语言，培养逻辑推理能力
数学语言是正确进行推演论证的重要工具，过不了纯熟的语言关，就无法规范、流畅、准确地表达思维成果，因此，做好这方面的工作，是培养学生逻辑思维能力的重要一环。
高中数学中的逻辑推理篇10
［关键词］人工智能，常识推理，归纳逻辑，广义内涵逻辑，认知逻辑，自然语言逻辑
现代逻辑创始于19世纪末叶和20世纪早期，其发展动力主要来自于数学中的公理化运动。当时的数学家们试图即从少数公理根据明确给出的演绎规则推导出其他的数学定理，从而把整个数学构造成为一个严格的演绎大厦，然后用某种程序和方法一劳永逸地证明数学体系的可靠性。为此需要发明和锻造严格、精确、适用的逻辑工具。这是现代逻辑诞生的主要动力。由此造成的后果就是20世纪逻辑研究的严重数学化，其表现在于：一是逻辑专注于在数学的形式化过程中提出的问题；二是逻辑采纳了数学的方法论，从事逻辑研究就意味着象数学那样用严格的形式证明去解决问题。由此发展出来的逻辑被恰当地称为“数理逻辑”，它增强了逻辑研究的深度，使逻辑学的发展继古希腊逻辑、欧洲中世纪逻辑之后进入第三个高峰期，并且对整个现代科学特别是数学、哲学、语言学和计算机科学产生了非常重要的影响。
本文所要探讨的问题是：21世纪逻辑发展的主要动力将来自何处？大致说来将如何发展？我个人的看法是：计算机科学和人工智能将至少是21世纪早期逻辑学发展的主要动力源泉，并将由此决定21世纪逻辑学的另一幅面貌。由于人工智能要模拟人的智能，它的难点不在于人脑所进行的各种必然性推理（这一点在20世纪基本上已经做到了，如用计算机去进行高难度和高强度的数学证明，“深蓝”通过高速、大量的计算去与世界冠军下棋），而是最能体现人的智能特征的能动性、创造性思维，这种思维活动中包括学习、抉择、尝试、修正、推理诸因素，例如选择性地搜集相关的经验证据，在不充分信息的基础上作出尝试性的判断或抉择，不断根据环境反馈调整、修正自己的行为，……由此达到实践的成功。于是，逻辑学将不得不比较全面地研究人的思维活动，并着重研究人的思维中最能体现其能动性特征的各种不确定性推理，由此发展出的逻辑理论也将具有更强的可应用性。
实际上，在20世纪中后期，就已经开始了现代逻辑与人工智能（记为ai）之间的相互融合和渗透。例如，哲学逻辑所研究的许多课题在理论计算机和人工智能中具有重要的应用价值。ai从认知心理学、社会科学以及决策科学中获得了许多资源，但逻辑（包括哲学逻辑）在ai中发挥了特别突出的作用。某些原因促使哲学逻辑家去发展关于非数学推理
的理论；基于几乎同样的理由，ai研究者也在进行类似的探索，这两方面的研究正在相互接近、相互借鉴，甚至在逐渐融合在一起。例如，ai特别关心下述课题：
·效率和资源有限的推理；
·感知；
·做计划和计划再认；
·关于他人的知识和信念的推理；
·各认知主体之间相互的知识；
·自然语言理解；
·知识表示；
·常识的精确处理；
·对不确定性的处理，容错推理；
·关于时间和因果性的推理；
·解释或说明；
·对归纳概括以及概念的学习。[①]
21世纪的逻辑学也应该关注这些问题，并对之进行研究。为了做到这一点，逻辑学家们有必要熟悉ai的要求及其相关进展，使其研究成果在ai中具有可应用性。
我认为，至少是21世纪早期，逻辑学将会重点关注下述几个领域，并且有可能在这些领域出现具有重大意义的成果：（1）如何在逻辑中处理常识推理中的弗协调、非单调和容错性因素？（2）如何使机器人具有人的创造性智能，如从经验证据中建立用于指导以后行动的归纳判断？（3）如何进行知识表示和知识推理，特别是基于已有的知识库以及各认知主体相互之间的知识而进行的推理？（4）如何结合各种语境因素进行自然语言理解和推理，使智能机器人能够用人的自然语言与人进行成功的交际？等等。
1．常识推理中的某些弗协调、非单调和容错性因素
ai研究的一个目标就是用机器智能模拟人的智能，它选择各种能反映人的智能特征的问题进行实践，希望能做出各种具有智能特征的软件系统。ai研究基于计算途径，因此要建立具有可操作性的符号模型。一般而言，ai关于智能系统的符号模型可描述为：由一个知识载体（称为知识库KB）和一组加载在KB上的足以产生智能行为的过程（称为问题求解器pS）构成。经过20世纪70年代包括专家系统的发展，ai研究者逐步取得共识，认识到知识在智能系统中力量，即一般的智能系统事实上是一种基于知识的系统，而知识包括专门性知识和常识性知识，前者亦可看做是某一领域内专家的常识。于是，常识问题就成为ai研究的一个核心问题，它包括两个方面：常识表示和常识推理，即如何在人工智能中清晰地表示人类的常识，并运用这些常识去进行符合人类行为的推理。显然，如此建立的常识知识库可能包含矛盾，是不协调的，但这种矛盾或不协调应不至于影响到进行合理的推理行为；常识推理还是一种非单调推理，即人们基于不完全的信息推出某些结论，当人们得到更完全的信息后，可以改变甚至收回原来的结论；常识推理也是一种可能出错的不精确的推理模式，是在容许有错误知识的情况下进行的推理，简称容错推理。而经典逻辑拒斥任何矛盾，容许从矛盾推出一切命题；并且它是单调的，即承认如下的推理模式：如果p?r，则pùq?r；或者说，任一理论的定理属于该理论之任一扩张的定理集。因此，在处理常识表示和常识推理时，经典逻辑应该受到限制和修正，并发展出某些非经典的逻辑，如次协调逻辑、非单调逻辑、容错推理等。有人指出，常识推理的逻辑是次协调逻辑和非单调逻辑的某种结合物，而后者又可看做是对容错推理的简单且基本的情形的一种形式化。[②]
“次协调逻辑”（paraconsistentLogic）是由普里斯特、达·科斯塔等人在对悖论的研究中发展出来的，其基本想法是：当在一个理论中发现难以克服的矛盾或悖论时，与其徒劳地想尽各种办法去排除或防范它们，不如干脆让它们留在理论体系内，但把它们“圈禁”起来，不让它们任意扩散，以免使我们所创立或研究的理论成为“不足道”的。于是，在次协调逻辑中，能够容纳有意义、有价值的“真矛盾”，但这些矛盾并不能使系统推出一切，导致自毁。因此，这一新逻辑具有一种次于经典逻辑但又远远高于完全不协调系统的协调性。次协调逻辑家们认为，如果在一理论t中，一语句a及其否定?a都是定理，则t是不协调的；否则，称t是协调的。如果t所使用的逻辑含有从互相否定的两公式可推出一切公式的规则或推理，则不协调的t也是不足道的(trivial)。因此，通常以经典逻辑为基础的理论，如果它是不协调的，那它一定也是不足道的。这一现象表明，经典逻辑虽可用于研究协调的理论，但不适用于研究不协调但又足道的理论。达·科斯塔在20世纪60年代构造了一系列次协调逻辑系统Cn（1≤n≤w），以用作不协调而又足道的理论的逻辑工具。对次协调逻辑系统Cn的特征性描述包括下述命题：(i)矛盾律?(aù?a)不普遍有效；(ii)从两个相互否定的公式a和?a推不出任意公式；即是说，矛盾不会在系统中任意扩散，矛盾不等于灾难。(iii)应当容纳与(i)和(ii)相容的大多数经典逻辑的推理模式和规则。这里，(i)和(ii)表明了对矛盾的一种相对宽容的态度，(iii)则表明次协调逻辑对于经典逻辑仍有一定的继承性。
在任一次协调逻辑系统Cn(1≤n≤w)中，下述经典逻辑的定理或推理模式都不成立：
?(aù?a)
aù?aB
a(?aB)
(a??a)B
(a??a)?B
a??a
(?aù(aúB))B
(aB)(?B?a)
若以C0为经典逻辑，则系列C0,C1,C2,…Cn,…Cw使得对任正整数i有Ci弱于Ci-1，Cw是这系列中最弱的演算。已经为Cn设计出了合适的语义学，并已经证明Cn相对于此种语义是可靠的和完全的，并且次协调命题逻辑系统Cn还是可判定的。现在，已经有人把次协调逻辑扩展到模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑、多值逻辑、集合论等领域的研究中，发展了这些领域内的次协调理论。显然，次协调逻辑将会得到更进一步的发展。[③]
非单调逻辑是关于非单调推理的逻辑，它的研究开始于20世纪80年代。1980年，D·麦克多莫特和J·多伊尔初步尝试着系统发展一种关于非单调推理的逻辑。他们在经典谓词演算中引入一个算子m，表示某种“一致性”断言，并将其看做是模态概念，通过一定程序把模态逻辑系统t、S4和S5翻译成非单调逻辑。B·摩尔的论文《非单调逻辑的语义思考》（1983）据认为在非单调逻辑方面作出了令人注目的贡献。他在“缺省推理”和“自动认知推理”之间做了区分，并把前者看作是在没有任何相反信息和缺少证据的条件下进行推理的过程，这种推理的特征是试探性的：根据新信息，它们很可能会被撤消。自动认知推理则不是这种类型，它是与人们自身的信念或知识相关的推理，可用它模拟一个理想的具有信念的有理性的人的推理。对于在计算机和人工智能中获得成功的应用而言，非单调逻辑尚需进一步发展。
2．归纳以及其他不确定性推理
人类智能的本质特征和最高表现是创造。在人类创造的过程中，具有必然性的演绎推理固然起重要作用，但更为重要的是具有某种不确定性的归纳、类比推理以及模糊推理等。因此，计算机要成功地模拟人的智能，真正体现出人的智能品质，就必须对各种具有不确定性的推理模式进行研究。
首先是对归纳推理和归纳逻辑的研究。这里所说的“归纳推理”是广义的，指一切扩展性推理，它们的结论所断定的超出了其前提所断定的范围，因而前提的真无法保证结论的真，整个推理因此缺乏必然性。具体说来，这种意义的“归纳”包括下述内容：简单枚举法；排除归纳法，指这样一些操作：预先通过观察或实验列出被研究现象的可能的原因，然后有选择地安排某些事例或实验，根据某些标准排除不相干假设，最后得到比较可靠的结论；统计概括：从关于有穷数目样本的构成的知识到关于未知总体分布构成的结论的推理；类比论证和假说演绎法，等等。尽管休谟提出著名的“归纳问题”，对归纳推理的合理性和归纳逻辑的可能性提出了深刻的质疑，但我认为，（1）归纳是在茫茫宇宙中生存的人类必须采取也只能采取的认知策略，对于人类来说具有实践的必然性。（2）人类有理由从经验的重复中建立某种确实性和规律性，其依据就是确信宇宙中存在某种类似于自然齐一律和客观因果律之类的东西。这一确信是合理的，而用纯逻辑的理由去怀疑一个关于世界的事实性断言则是不合理的，除非这个断言是逻辑矛盾。（3）人类有可能建立起局部合理的归纳逻辑和归纳方法论。并且，归纳逻辑的这种可能性正在计算机科学和人工智能的研究推动下慢慢地演变成现实。恩格斯早就指出，“社会一旦有技术上的需要，则这种需要比十所大学更能把科学推向前进。”[④]有人通过指责现有的归纳逻辑不成熟，得出“归纳逻辑不可能”的结论，他们的推理本身与归纳推理一样，不具有演绎的必然性。（4）人类实践的成功在一定程度上证明了相应的经验知识的真理性，也就在一定程度上证明了归纳逻辑和归纳方法论的力量。毋庸否认，归纳逻辑目前还很不成熟。有的学者指出，为了在机器的智能模拟中克服对归纳模拟的困难而有所突破，应该将归纳逻辑等有关的基础理论研究与机器学习、不确定推理和神经网络学习模型与归纳学习中已有的成果结合起来。只有这样，才能在已有的归纳学习成果上，在机器归纳和机器发现上取得新的突破和进展。[⑤]这是一个极有价值且极富挑战性的课题，无疑在21世纪将得到重视并取得进展。
再谈模糊逻辑。现实世界中充满了模糊现象，这些现象反映到人的思维中形成了模糊概念和模糊命题，如“矮个子”、“美人”、“甲地在乙地附近”、“他很年轻”等。研究模糊概念、模糊命题和模糊推理的逻辑理论叫做“模糊逻辑”。对它的研究始于20世纪20年代，其代表性人物是L·a·查德和p·n·马林诺斯。模糊逻辑为精确逻辑（二值逻辑）解决不了的问题提供了解决的可能，它目前在医疗诊断、故障检测、气象预报、自动控制以及人工智能研究中获得重要应用。显然，它在21世纪将继续得到更大的发展。
3．广义内涵逻辑
经典逻辑只是对命题联结词、个体词、谓词、量词和等词进行了研究，但在自然语言中，除了这些语言成分之外，显然还存在许多其他的语言成分，如各种各样的副词，包括模态词“必然”、“可能”和“不可能”、时态词“过去”、“现在”和“未来”、道义词“应该”、“允许”、“禁止”等等，以及各种认知动词，如“思考”、“希望”、“相信”、“判断”、“猜测”、“考虑”、“怀疑”，这些认知动词在逻辑和哲学文献中被叫做“命题态度词”。对这些副词以及命题态度词的逻辑研究可以归类为“广义内涵逻辑”。
大多数副词以及几乎所有命题态度词都是内涵性的，造成内涵语境，后者与外延语境构成对照。外延语境又叫透明语境，是经典逻辑的组合性原则、等值置换规则、同一性替换规则在其中适用的语境；内涵语境又称晦暗语境，是上述规则在其中不适用的语境。相应于外延语境和内涵语境的区别，一切语言表达式（包括自然语言的名词、动词、形容词直至语句）都可以区分为外延性的和内涵性的，前者是提供外延语境的表达式，后者是提供内涵性语境的表达式。例如，杀死、见到、拥抱、吻、砍、踢、打、与…下棋等都是外延性表达式，而知道、相信、认识、必然、可能、允许、禁止、过去、现在、未来等都是内涵性表达式。
在内涵语境中会出现一些复杂的情况。首先，对于个体词项来说，关键性的东西是我们不仅必须考虑它们在现实世界中的外延，而且要考虑它们在其他可能世界中的外延。例如，由于“必然”是内涵性表达式，它提供内涵语境，因而下述推理是非有效的：
晨星必然是晨星，
晨星就是暮星，
所以，晨星必然是暮星。
这是因为：这个推理只考虑到“晨星”和“暮星”在现实世界中的外延，并没有考虑到它们在每一个可能世界中的外延，我们完全可以设想一个可能世界，在其中“晨星”的外延不同于“暮星”的外延。因此，我们就不能利用同一性替换规则，由该推理的前提得出它的结论：“晨星必然是暮星”。其次，在内涵语境中，语言表达式不再以通常是它们的外延的东西作为外延，而以通常是它们的内涵的东西作为外延。以“达尔文相信人是从猿猴进化而来的”这个语句为例。这里，达尔文所相信的是“人是从猿猴进化而来的”所表达的思想，而不是它所指称的真值，于是在这种情况下，“人是从猿猴进化而来的”所表达的思想（命题）就构成它的外延。再次，在内涵语境中，虽然适用于外延的函项性原则不再成立，但并不是非要抛弃不可，可以把它改述为新的形式：一复合表达式的外延是它出现于外延语境中的部分表达式的外延加上出现于内涵语境中的部分表达式的内涵的函项。这个新的组合性或函项性原则在内涵逻辑中成立。
一般而言，一个好的内涵逻辑至少应满足两个条件：（i）它必须能够处理外延逻辑所能处理的问题；（ii）它还必须能够处理外延逻辑所不能处理的难题。这就是说，它既不能与外延逻辑相矛盾，又要克服外延逻辑的局限。这样的内涵逻辑目前正在发展中，并且已有初步轮廓。从术语上说，内涵逻辑除需要真、假、语句真值的同一和不同、集合或类、谓词的同范围或不同范围等外延逻辑的术语之外，还需要同义、内涵的同一和差异、命题、属性或概念这样一些术语。广而言之，可以把内涵逻辑看作是关于象“必然”、“可能”、“知道”、“相信”，“允许”、“禁止”等提供内涵语境的语句算子的一般逻辑。在这种广义之下，模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑、认知逻辑、问题逻辑等都是内涵逻辑。不过，还有一种狭义的内涵逻辑，它可以粗略定义如下：一个内涵逻辑是一个形式语言，其中包括（1）谓词逻辑的算子、量词和变元，这里的谓词逻辑不必局限于一阶谓词逻辑，也可以是高阶谓词逻辑；（2）合式的λ—表达式，例如(λx)a，这里a是任一类型的表达式，x是任一类型的变元，(λx)a本身是一函项，它把变元x在其中取值的那种类型的对象映射到a所属的那种类型上；（3）其他需要的模态的或内涵的算子，例如?，ù、ú。而一个内涵逻辑的解释，则由下列要素组成：（1）一个可能世界的非空集w；（2）一个可能个体的非空集D；（3）一个赋值，它给系统内的表达式指派它们在每w∈w中的外延。对于任一的解释Q和任一的世界w∈w，判定内涵逻辑系统中的任一表达式X相对于解释Q在w∈w中的外延总是可能的。这样的内涵逻辑系统有丘奇的LSD系统，R·蒙塔古的iL系统，以及e·n·扎尔塔的FiL系统等。[⑥]
在各种内涵逻辑中，认识论逻辑（epistemiclogic）具有重要意义。它有广义和狭义之分。广义的认识论逻辑研究与感知（perception）、知道、相信、断定、理解、怀疑、问题和回答等相关的逻辑问题，包括问题逻辑、知道逻辑、相信逻辑、断定逻辑等；狭义的认识论逻辑仅指知道和相信的逻辑，简称“认知逻辑”。冯·赖特在1951年提出了对“认知模态”的逻辑分析，这对建立认知逻辑具有极大的启发作用。J·麦金西首先给出了一个关于“知道”的模态逻辑。a·帕普于1957年建立了一个基于6条规则的相信逻辑系统。J·亨迪卡于60年代出版的《知识和信念》一书是认知逻辑史上的重要著作，其中提出了一些认知逻辑的系统，并为其建立了基于“模型集”的语义学，后者是可能世界语义学的先导之一。当今的认知逻辑纷繁复杂，既不成熟也面临许多难题。由于认知逻辑涉及认识论、心理学、语言学、计算机科学和人工智能等诸多领域，并且认知逻辑的应用技术，又称关于知识的推理技术，正在成为计算机科学和人工智能的重要分支之一，因此认知逻辑在20世纪中后期成为国际逻辑学界的一个热门研究方向。这一状况在21世纪将得到继续并进一步强化，在这方面有可能出现突破性的重要结果。
4．对自然语言的逻辑研究
对自然语言的逻辑研究有来自几个不同领域的推动力。首先是计算机和人工智能的研究，人机对话和通讯、计算机的自然语言理解、知识表示和知识推理等课题，都需要对自然语言进行精细的逻辑分析，并且这种分析不能仅停留在句法层面，而且要深入到语义层面。其次是哲学特别是语言哲学，在20世纪哲学家们对语言表达式的意义问题倾注了异乎寻常的精力，发展了各种各样的意义理论，如观念论、指称论、使用论、言语行为理论、真值条件论等等，以致有人说，关注意义成了20世纪哲学家的职业病。再次是语言学自身发展的需要，例如在研究自然语言的意义问题时，不能仅仅停留在脱离语境的抽象研究上面，而要结合使用语言的特定环境去研究，这导致了语义学、语用学、新修辞学等等发展。各个方面发展的成果可以总称为“自然语言逻辑”，它力图综合后期维特根斯坦提倡的使用论，J·L·奥斯汀、J·L·塞尔等人发展的言语行为理论，以及p·格赖斯所创立的会话含义学说等成果，透过自然语言的指谓性和交际性去研究自然语言中的推理。
自然语言具有表达和交际两种职能，其中交际职能是自然语言最重要的职能，是它的生命力之所在。而言语交际总是在一定的语言环境（简称语境）中进行的，语境有广义和狭义之分。狭义的语境仅指一个语词、一个句子出现的上下文。广义的语境除了上下文之外，还包括该语词或语句出现的整个社会历史条件，如该语词或语句出现的时间、地点、条件、讲话的人（作者）、听话的人（读者）以及交际双方所共同具有的背景知识，这里的背景知识包括交际双方共同的信念和心理习惯，以及共同的知识和假定等等。这些语境因素对于自然语言的表达式（语词、语句）的意义有着极其重要的影响，这具体表现在：（i）语境具有消除自然语言语词的多义性、歧义性和模糊性的能力，具有严格规定语言表达式意义的能力。（ii）自然语言的句子常常包含指示代词、人称代词、时间副词等，要弄清楚这些句子的意义和内容，就要弄清楚这句话是谁说的、对谁说的、什么时候说的、什么地点说的、针对什么说的，等等，这只有在一定的语境中才能进行。依赖语境的其他类型的语句还有：包含着象“有些”和“每一个”这类量化表达式的句子的意义取决于依语境而定的论域，包含着象“大的”、“冷的”这类形容词的句子的意义取决于依语境而定的相比较的对象类；模态语句和条件语句的意义取决于因语境而变化的语义决定因素，如此等等。（iii）语言表达式的意义在语境中会出现一些重要的变化，以至偏离它通常所具有的意义（抽象意义），而产生一种新的意义即语用涵义。有人认为，一个语言表达式在它的具体语境中的意义，才是它的完全的真正的意义，一旦脱离开语境，它就只具有抽象的意义。语言的抽象意义和它的具体意义的关系，正象解剖了的死人肢体与活人肢体的关系一样。逻辑应该去研究、理解、把握自然语言的具体意义，当然不是去研究某一个（或一组）特定的语句在某个特定语境中唯一无二的意义，而是专门研究确定自然语言具体意义的普遍原则。[⑦]
美国语言学家保罗·格赖斯把语言表达式在一定的交际语境中产生的一种不同于字面意义的特殊涵义，叫做“语用涵义”、“会话涵义”或“隐涵”（implicature），并于1975年提出了一组“交际合作原则”，包括一个总则和四组准则。总则的内容是：在你参与会话时，你要依据你所参与的谈话交流的公认目的或方向，使你的会话贡献符合这种需要。仿照康德把范畴区分为量、质、关系和方式四类，格赖斯提出了如下四组准则：
（1）数量准则：在交际过程中给出的信息量要适中。
a．给出所要求的信息量；
b．给出的信息量不要多于所要求的信息量。
（2）质量准则：力求讲真话。
a．不说你认为假的东西，。
b．不说你缺少适当证据的东西。
（3）关联准则：说话要与已定的交际目的相关联。
（4）方式准则：说话要意思明确，表达清晰。
a．避免晦涩生僻的表达方式；
b．避免有歧义的表达方式；
c．说话要简洁；
d．说话要有顺序性。[⑧]
后来对这些原则提出了不少修正和补充，例如有人还提出了交际过程中所要遵守的“礼貌原则”。只要把交际双方遵守交际合作原则之类的语用规则作为基本前提，这些原则就可以用来确定和把握自然语言的具体意义（语用涵义）。实际上，一个语句p的语用涵义，就是听话人在具体语境中根据语用规则由p得到的那个或那些语句。更具体地说，从说话人S说的话语p推出语用涵义q的一般过程是：
（i）S说了p；
（ii）没有理由认为S不遵守准则，或至少S会遵守总的合作原则；
（iii）S说了p而又要遵守准则或总的合作原则，S必定想表达q；
（iv）S必然知道，谈话双方都清楚：如果S是合作的，必须假设q；
（v）S无法阻止听话人H考虑q；
（vi）因此，S意图让H考虑q，并在说p时意味着q。
试举二例：
（1）a站在熄火的汽车旁，b向a走来。a说：“我没有汽油了。”b说：“前面拐角处有一个修车铺。”这里a与b谈话的目的是：a想得到汽油。根据关系准则，b说这句话是与a想得到汽油相关的，由此可知：b说这句话时隐涵着：“前面的修车铺还在营业并且卖汽油。”