逻辑推理的概念篇1
关键词:法律逻辑；应用逻辑
中图分类号：D920文献标识码：a文章编号：1005-5312（2011）14-0259-01
一、关于法律逻辑的研究对象
对于这个问题,我国的逻辑界与法学界主要有两种不同的看法。第一种观点认为法律逻辑就是普通逻辑在法学领域中的具体运用,其理论基础就是普通逻辑即形式逻辑所阐述的原理。法律逻辑是形式逻辑或普通逻辑原理在法的理论、法的规范和法的实践中的应用。因此法律逻辑的研究对象就是法律中的逻辑问题。法律逻辑是普通逻辑或形式逻辑在法律规范或法律活动中的应用。第二种观点则认为法律逻辑作为一门学科,有其独立的研究对象。我们原则上同意第二种观点，作为一门学科,法律逻辑是应该有其特定的研究对象的,而作为一门逻辑学的分支学科,它的研究又应是与一般逻辑学的研究对象相对应、相关联的。法律思维就是在法律的理论与实践中所运用的思维,法律思维的形式,则是指法律概念、法律命题与法律推理。
普通逻辑或形式逻辑把概念作为其重要的研究对象,法律逻辑也要研究概念,法律逻辑中研究的是法律概念,即立法、司法与守法思维中的概念。一般地说,法律概念与普通概念既有一致性也有特殊性,以大量的法律概念为素材,以普通逻辑的一般概念理论为工具研究法律概念与一般概念的同一性及差异性,揭示法律概念的特殊逻辑性质与作用,从而为法律概念的制定、规范、解释提供一般的逻辑原则,这是法律逻辑中关于法律概念研究的主要内容。法律命题也是法律逻辑的重要研究对象,以一般逻辑中的命题理论为墓础研究法律命题的特殊的逻辑性质及其在法律实践中的特殊作用,给予法律命题以科学的分类,这应该是法律命题研究的主要内容。
一般而言,法律工作是由立法、司法两大环节组成。一个立法过程就是对构成法律的每一个概念、命题进行严密分析的过程。关于法律概念与命题的研究,其主要目的是为了用于立法中的思维。至于司法主要指的是法律的实施,而法律的实施主要是围绕诉讼活动的司法侦查与司法审判工作,它主要表现为对法律命题的逻辑推导以及寻找因果的各种逻辑方法。因此,与司法思维相对应的法律逻辑还要研究法律推理及各种法律实践中的逻辑方法。法律推理则是从已有的法律命题或法律知识推出新的法律命题的过程。一般地说,法律推理与一般逻辑的推理是有区别的。一般推理理论以演绎推理为主,特别强调从前提到结论的必然性推理,比较轻视“可能性的”、或然的推理而法律逻辑既重视必然性推理,也重视“可能性的”、或然的推理。比如,法律推理中的回溯推理是很有用的、法律逻辑很重视的推理,但这一推理的形成在一般逻辑理论中是予以排斥的。
二、关于法律逻辑的性质
法律逻辑是属于逻辑学还是法律科学，是应用逻辑还是法律中的逻辑的应用？一方面,作为一门介于法律与逻辑之间的边缘学科,法律逻辑既有法律的内容亦有逻辑学内容,它是一门法律与逻辑相结合而形成的新学科。另一方面，由于法律逻辑研究的是法律中的逻辑问题―法律思维形式与法律思维的逻辑方法,因此,它的重点是逻辑而非法律,所以,它实质是一门应用逻辑新学科―将逻辑原理应用于法律领域而形成的学科。那么，作为法律逻辑的应用工具与基础的“纯逻辑”是普通逻辑还是现代数理逻辑或者辩证逻辑呢？普通逻辑、数理逻辑与辩证逻辑均可以运用于法律领域。因此,在目前关于法律逻辑的研究中我们应该允许将辩证逻辑普通逻辑、数理逻辑等运用于法律的各种尝试。当然,由于逻辑学的发展趋势是现代逻辑即数理逻辑,由于科学的发展趋势是定量化与形式化。因此,我们关于法律逻辑研究的最终目标应该是用现代逻辑为工具来研究法律中的逻辑问题,形成关于法律逻辑的逻辑演算系统。法律逻辑作为一门应用逻辑，它的研究应该是有层次的,这个层次是由“应用逻辑”与“逻辑的应用”的区别而决定的“逻辑的应用”强调的是“应用”，而“应用逻辑”的主体是“逻辑”，因此，只要是将逻辑原理不管是系统的还是零散的传统的还是现代的应用于某一学科，便可谓之“逻辑的应用”但应用逻辑则不同，除了要求将逻辑应用于某一领域或学科，还要求这种应用是系统的、具有逻辑科学性质。所以，“逻辑的应用”是“应用逻辑”的初级阶段，“应用逻辑”则是“逻辑的应用”的最终目标。从这一区分出发，法律逻辑的研究也包括两个层次逻辑在法律中的应用与系统化的法律逻辑。前者是低层次的只要是将逻辑知识应用于法律，均可谓之逻辑在法律中的应用，后者则是高层次的在低层次应用的基础上，以现代逻辑为工具，形成系统的严格的“关于法律的逻辑”。
逻辑推理的概念篇2
关键词：初中数学逻辑思维培养能力
引言
数学作为一门自然科学学科，在初等数学学习中主要培养学生的逻辑思维能力及运算能力。初中数学教学应在不影响正常教学进度的前提下，考虑到每个学生对数学的基础、兴趣、接受能力，对部分学生给予个性化辅导，让学生具备逻辑思维意识，从而积极主动地提高自身逻辑思维能力。所以怎样在初中数学教学中培养学生的逻辑思维能力将是本文主要探讨的。
一、逻辑思维能力与分析思维能力
逻辑思维能力指正确、合理思考的能力，即对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的能力，采用科学逻辑方法，准确而有条理地表达自己思维过程的能力。与形象思维能力截然不同。
分析思维指形式逻辑的思维形式，是最基本的逻辑思维过程，要求学生在掌握推理的形式与方法上，分清命题条件与结论，推论时要有理有据，符合因果关系，掌握基本论证方法等。
概念是思维的基础，是构成判断和推理至关重要的要素，没有概念就不能进行思维，没有概念就无法构成判断，也没法进行推理参照。概念教学的基础是要求学生正确了解和掌握内涵和外延。其中适用于概念的所有对象的范围，叫这个概念的外延；适用于概念的所有对象共同本质属性叫做概念的内涵。如果一个概念的外延越大，内涵越小，反之亦然，此种关系对从属关系的概念有效。教师在教学中应注意这种有先决条件的反相关关系，避免造成学生概念混淆及以偏概全的逻辑混乱状况发生。
二、如何在初中数学教学中培养学生的逻辑思维能力
（一）如何在现实生活中激发学生的逻辑思维兴趣
哲学中，人与动物本质上的区别是制造和实用工具，并且在劳动过程中产生人类特有的意识，随着意识逐步强化，渐渐出现思维。人类一切重要活动都是在思维指导下进行的。逻辑思维已经跟随数学这一自然科学渗透到社会各处，在各行各业都发挥着重要作用。数学教师应善于发现实际生活中涉及的逻辑思维现象、事件，并以此让学生自行推断，激发学生思维兴趣，并在课堂上提出一些贴近现实生活、学生感兴趣并且具备逻辑思维问题的问题。兴趣是最好的老师，一个人只有对一件事情感兴趣，才能积极投入事情中，让学生更好地投入其中，进而锻炼和提高他们的逻辑思维能力。
（二）如何在教学内容中培养学生的逻辑思维能力
首先教师应认识到初中数学知识教学不是填鸭式地一股脑把知识倒给学生，必须有意识、有目的地培养学生的初步逻辑思维能力。只有在基础知识清晰明确后，才能从初步逻辑思维能力开始，有目的地挖掘教学内容中存在的逻辑关系，让学生的逻辑思维能力逐步提高，但要注意的是，需要结合初中数学知识教学，同时明确数学不只是逻辑，结合初中数学教材培养学生初步的逻辑思维能力，做到二者有机结合、自然渗透、融会贯通。
（三）如何在思维基本训练中培养逻辑思维能力
在初中数学教学中培养学生的逻辑思维能力，就是让学生在不断思考中学会和掌握思考方式，对事物进行观察、比较、分析、概括、判断、推理等。需要数学教师在教学中有计划地穿插对学生的逻辑思维训练。其中数学大多数概念都需要理解、想象，是构成判断推理的主要因素，是最基本的思维形式。其次，选择判断能力反映了学生的逻辑思维能力，往往先有直觉判定，并获取信息、对信息进行筛选、判断之后才有策略。所以需要教师培养学生正确获取信息的能力，这是判断能力的关键。
结语
良好的思维品质、逻辑思维能力是学生取得好成绩的必要条件，也是今后作为一个个体必须具备的最基础素质。素质教育观下的素质教育应以育人为本，在初中数学教学中应始终注意调动学生的积极性，激发学生兴趣，开发想象力，强化学生的创造意识，提高学生的逻辑思维能力，取得优异成绩。
参考文献：
[1]王晟.初中数学教学中如何培养学生的逻辑思维能力[J].学周刊，2012，05：89.
逻辑推理的概念篇3
〔中图分类号〕G718.3〔文献标识码〕a
〔文章编号〕1004—0463（2013）19—0052—01
人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等逻辑思维形式反映客观现实，只有经过逻辑思维，人们才能达到对事物本质的把握，进而认识客观世界。在课堂教学中，教师要充分运用逻辑思维，在使学生掌握课堂知识的同时也使学生受到良好的思维训练，使课堂教学更加精彩。要上好一堂课，教师必须要有扎实的业务知识和良好的授课技能。在课堂教学中，逻辑思维通过归纳和演绎，分析和综合，从具体到抽象、从抽象到具体等方式对教学内容进行阐述及讲解，目的是让学生明确概念，准确判断以及严密论证。因此，逻辑思维贯穿教学过程，在课堂教学过程中，教师要充分应用逻辑思维的方法，启发学生思考，从而引导学生学会运用逻辑思维去分析和解决问题。
一、逻辑思维的基本内涵
一般来说，思维可分为逻辑思维和非逻辑思维这两大部分，逻辑思维的最初理论是由古希腊哲学家亚里士多德（aristotle，公元前384—322年）首先创立的。该理论主要是对思维的形式和规律进行研究，其学科性质类似于语法学。逻辑思维是人类所特有的一种高级心理活动，它是人类大脑反映客观事物的一般特性以及客观事物间相互关系的一种过程，它以感知为基础，同时又超越感知的界限，是一系列复杂的心理操作，是一个动态的关联系统。逻辑思维的基本形式主要包括概念、判断和推理之间的结构和联系。形式逻辑的主要内容包括关于正确思维的三个基本规律和演绎推理的基本形式，即同一律、矛盾律、排中律以及思维形式——概念、判断与推理。
二、逻辑思维的主要形式及其在课堂教学中的运用
概念、判断、推理是逻辑思维的主要形式，教学是一门语言艺术，良好的语言驾驭与严密的逻辑思维密不可分。课堂教学内容纷繁复杂，只有充分运用逻辑思维方法才能做到概念明确，判断准确，推理严密等。在课堂教学中能否达到以上要求，成为能否充分发挥逻辑思维作用的关键。
1.概念明确——上好课的基础。概念是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，就成为概念。课堂教学是用一定系列范畴内的概念构筑而成的。要明确概念，首先要对概念的基本要素进行分析，初步掌握概念内涵，然后通过对概念基本要素的综合以及相似概念间的分类与比较，充分理解概念的外延。
2.判断准确——准确表达思想的重要条件。不论在日常生活还是在课堂教学中，我们都离不开判断，离不开抉择。培养和熏陶学生的判断能力不仅有益于他们获得课堂知识，更符合综合素质培养的要求。课堂教学中，判断不仅仅是简单的对与错，更应是对事物发生发展的过程进行判断，通过归纳、演绎让准确的判断随严密的推理同时进行。
逻辑推理的概念篇4
关键词:认识逻辑;思想政治教育;意义
中图分类号:G41文献标识码:a文章编号:1005-5312(2010)19-0164-01
一、初探渊源
认知逻辑关心知识和信念概念,并源于哲学中对这些概念进行逻辑分析而发展起来的。认知逻辑也被译作认识逻辑,是认识论逻辑的重要组成部分。通常人们认为认识论逻辑包括问答逻辑、假设与支持逻辑、信息逻辑、归纳逻辑以及本文要介绍的认知逻辑,而认知逻辑则又包括断定逻辑、知道逻辑、信念逻辑、自知逻辑等。而思想政治教育作为一种社会实践活动,运用逻辑学相关知识来适应新形势、研究新情况、解决新问题、总结新经验、揭示新规律的思想政治教育,对不同阶段的思想政治教育工作提供一些新的思路,有利于我们所力图探索、建设的现代思想政治教育。
二、研究现状
(一)国内对认知逻辑的研究
认知逻辑是认识论逻辑的组成部分,在逻辑学思想中占据着一定的地位,应该受到重视,也应该进行深入研究。80年代前后,马希文教授在美国斯坦福大学曾与麦卡锡(J.mcCarthy)合作从事过有关认知逻辑的研究,用认知逻辑的思想设计了对话解题系统Kp―o。在认识逻辑研究方面,鞠实儿采用逻辑分析与心理实验相结合的方法,研究经典自我欺骗的问题,取得了一定的研究成果。通过一系列研究展示了逻辑分析和心理实验相结合的方法在认知领域研究中的优势,为以后研究提供了很好的认知逻辑的研究范例。周北海在《多主体认知逻辑》中运用广义模态逻辑和多值逻辑两种方法对多主体认知逻辑进行研究,并从理论基础上对多主体认知逻辑作全面系统的研究。周昌乐《认知逻辑导论》的项目中认为认知逻辑可作认识逻辑,主要是研究知识和信念的形式化问题的逻辑分支。并认为认知逻辑是人工智能专家和计算机科学家所“发现”的核心工具之一。
(二)国外对认知逻辑研究
国外在20世纪40年代就对认知逻辑有了专门的研究,1947年卡尔纳在《意义与必然》讨论中带有相信和断定认知模态词的语句。这可能是最早的认知逻辑的研究。1948年,波兰逻辑学家耶西发表的“多值逻辑与内涵项的形式”论文中提出了关于信念逻辑的7条公理,信念逻辑也成为认知逻辑研究的重要内容,并对认知逻辑的发展提供了有力的指导作用。1972年霍丘特发表的《认知逻辑可能吗?》中提出了认知逻辑是否存在的问题,并对其作了相关的阐述。再早几年葛提尔发表短文《有掂的其实信念就是知识吗?》中又对认知论知识和信念的关系作了详细的论述,这对于认识逻辑的发展提供了概念性的补助。2006年荷兰逻辑学家J.范・本特姆发表《认知逻辑与认识论之研究现状况》中认为认知逻辑则是作为对认识论的一个贡献或者说至少是一种工具而产生的。并利用可能世界的域定义上面的公式的模型论语义提供了一种外延思考方法,从而可以考虑在给定情形下主体知道或者相信什么。
三、应用意义
(一)理论意义
认知逻辑试图通过逻辑演算的方法来研究有关知道、相信、断定、认为、怀疑等这些认知问题的一门逻辑,对于认知逻辑的研究而言,逻辑学家主要关心的是与认知概念有关的一些模态词的逻辑性质以及在此模态词之上所形成的命题之间的逻辑关系。特别地,认知逻辑将研究各种有关知识和信念等认知模态词所形成的认知命题,这对于思想政治教育具有一定的指导作用。认知逻辑与推理密切相关,而信念逻辑又与量化归纳推理有着必然的联系,因此认知逻辑对思想政治教育各种推理技术具有重要的推动作用。
(二)实践意义
逻辑学是研究人类思维形式及其规律的科学,在历史发展的进程,对各门其它具体科学的创立与发展都起到了不可忽视的重要作用。可以说,一切具体科学都不可能脱离逻辑所划定的内容范围,都需要概念、判断、推理,思想政治教育也不例外。对于认知逻辑的总体而言,它主要处理有关断定、知道、相信、认为、怀疑、理解、意识等认知概念的逻辑问题。认知逻辑将研究各种有关知识和信念等认知词所形成的认知命题。在日常生活中,知识和信念起着重要的作用,我们大多数的所作所为都是我们知道或相信的事情。当我们为了用某种特殊方法来编程实现需要说明行为的主体时,就会广泛涉及到知识的表示和推理。要提高思想政治教育质量,增强思想政治教育的逻辑力量,除遵循思维规律、正确运用思维形式之外,还必须善于运用各种逻辑思维方法。逻辑学在本质上可以称得上是一种思维方法论,把认知逻辑思维运用于思想政治教育的活动别思想政治教育语言中,会极大地提高思想政治教育的感染力和可信度。
逻辑推理的概念篇5
一、初中物理教育教学中逻辑思维的定义
逻辑思维是指人们在认识过程中，通过概念、判断、推理、试验等思维形式，将客观现实反映出的理性认识过程，同时又称之为理论思维。逻辑思维是通过认识的思维及其结构，以及思维的作用及规律的分析产生和发展的，因此，人们只有先把握物体本质，才能进一步认识客观世界。在初中物理教育教学中，培养学生的逻辑思维能力，不仅能够为学生今后更高层次的物理学习打下坚实的基础，还能帮助学生更好地掌握初中物理知识。
二、初中物理教育教学中学生逻辑思维的培养途径
1.从物理概念及规律教学中培养
在初中物理教学过程中，学生的物理学习是一个循序渐进的过程，学生从不知到知，由现象到本质，逐渐形成物理概念及物理规律，这是抽象思维的功劳。物理概念教学的目的，不仅是要学生有物理概念，更是要让学生能够正确理解和运用物理概念。学生学习和理解物理概念的过程，是教师引导学生思维的过程，学生掌握和运用物理概念的过程，是学生运用和发展思维的过程，因此，要想培养学生的逻辑思维能力，需要教师引导学生掌握和运用物理概念。
2.从物理习题及解答过程中培养
初中物理习题及解答过程既是学生运用物理概念及规律的过程，也是帮助学生加深理解物理概念及规律的重要途径，学生在解答物理习题的过程中，通常是运用自己已掌握的物理知识对物理问题进行判断、计算，最终得出正确的结论，学生在独立分析、思考、解决问题的同时，能够充分发挥自己的逻辑思维能力，因此，教师可以从物理习题及解答过程中，培养学生的逻辑思维能力。
3.从物理实验及探究活动中培养
初中物理教学中有大量的实验探究活动，学生需要掌握的物理实验探究逻辑关系有三种：科学归纳推理、类比推理以及科学假说，在教学过程中，教师要帮助学生掌握这几种逻辑关系，让学生将这几种逻辑关系运用在物理实验探究活动中，这样才能逐渐培养学生的逻辑思维能力。
逻辑推理的概念篇6
一、通识教育与逻辑思维能力培养的关联
概括通识教育人才培养的两方面要求，我们可以说，人才思维能力的培养已成为通识教育的首要目标，进一步说，逻辑思维能力的培养与通识教育的人才培养目标是高度契合的。一方面，逻辑思维能力是有效表达和论证思想以及言语沟通的基础。逻辑性是具有说服力的语言的必备条件，是判断表达水平的重要标志。只有通过明确的概念、恰当的判断和严密的推理，才能准确、流利地表述思想。许多大学生论述偏题、表达含糊、文章论证层次不清和自相矛盾等问题，都是逻辑思维薄弱的表现。离开了逻辑基本技能的训练，学生表述或论证思想的能力必然会受影响。概念、判断和推理是论证思想的基本要素，论证的过程是从已知为真的判断出发推断另一判断的真假的过程，而确定判断的真假必然涉及许多逻辑问题。逻辑教学中，通过明确概念的内涵和外延，可实现对概念的基本认识;通过运用概括与划分、定义与限制等逻辑方法，可确定概念的内涵及概念之间的属种关系，并理解同一语词在不同语境中内涵的区别;通过对不同概念间外延关系的探讨，可掌握不同概念的运用范围;通过分析不同命题的逻辑形式及命题之间的真值关系，可做出正确判断;通过探究不同推理的形式及推理的逻辑规律，可保证推理的有效性;通过剖析论证的逻辑结构，掌握证明和反驳的方法，可识别诡辩和批判谬误，并做出有效论证。总之，通过对概念、判断、推理等思维的逻辑形式的学习，可使学生系统地掌握逻辑学的基本规则、基础理论以及逻辑方法。通过锻炼学生的逻辑思维，有助于学生严谨地思考问题，规范地进行语言表达，达到准确地表述和论证思想的目的。另一方面，逻辑思维能力是培养批判意识和理性判断能力的前提。通识教育的重要任务在于培养学生的创新能力，创新的过程离不开逻辑思维方法的运用。问题的提出通常有两条路径:一是源于理论自身，二是源于经验事实。无论何种路径，问题产生的过程都是在分析已有经验事实或理论的基础上，运用逻辑思维的重要方法———归纳方法形成一般性认识的过程。而解决问题的通常程序是:提出假说，进而以假说为起点预测未知事实。当通过实践使预测的事实得到证实时，问题获得合理解释，而解决问题的路径遵循的主要是演绎推理的逻辑方法。在知识的检验方面，检验过程如果拒斥证伪证据，便会偏离逻辑轨道。某理论提供的经验内容越多越精确，科学性就越高，可证伪性就越大。因为科学理论的确证过程，正是在思维实践中逐渐完善认识、发现真理的过程。而逻辑思维强调的正是反思的精神，要求我们对思维对象不能一味肯定地接纳，在思考其表象的同时，更应追问深层的原因，离开了逻辑思维的保障，便难以通过提出假说和证伪，推动认识不断发展。
二、通识教育中逻辑教学若干问题的思考
我们认为，应将逻辑学作为高校通识教育的重点课程加以推广，这是由逻辑学的自身性质和通识教育的人才培养要求决定的。逻辑学作为一门有关思维发展的科学，对培养高素质的、全面发展的人才起着重要的促进作用。逻辑学以思维的基本形式及其规律为研究对象，具有全人类性、工具性和基础性。全人类性决定了任何具有思维能力的人，无论国家、民族、所属阶层，也无论地域和文化背景，他所进行的思想和语言活动的过程，都是遵循思维的逻辑规律并运用思维的逻辑形式的过程;工具性决定了通过掌握逻辑规律及逻辑方法，可获取从形式上保证思维有效性的知识，从而实现知识创新，在科学研究、预测与决策分析等方面取得可观的应用成果;基础性决定了它可以为掌握不同学科的专业知识提供有效的思维方法，提高受教育群体的科学研究素质。大学生要成为通识教育人才培养目标所倡导的“全面而和谐发展的人”，就必须具备运用逻辑思维工具分析和解决问题的能力。使学生成为具有创新意识和创新能力的人，也是通识教育人才培养的一个主要目标。基于此，应将“批判性思考的能力”和“综合推论能力”作为通识教育逻辑课程的重要内容加以打造。这就要求我们进一步探索逻辑教学理论，系统化研究逻辑学课程的教学目标、内容和方法并付诸实践，打造通识精品课程。逻辑通识课的目的:一是使学生系统掌握逻辑学的基本知识、基本原理和技能，明确思维的基本逻辑规律;二是在逻辑思维训练中，提高学生的思维能力和语言表达能力，使学生能够明确而恰当地使用概念、做出判断，并合乎逻辑地进行推理;三是引导学生运用逻辑知识分析和解决实际问题，通过思维效率的提高，为其他学科知识的学习提供必要的逻辑工具。为达到这些目的，就应在逻辑学课程的教学内容、方法、目标等方面加以改革。通识选修课内容范围的可选择性大，但由于受课时限制(通识选修课通常在36学时左右)，内容多而深都是不可取的。因此，在选择内容时要注意几个方面:第一，内容既应实现教学目标，又应适当删减以降低深度与难度，应以传授逻辑基本知识和训练基本技能为核心内容。第二，内容应密切联系现实，贴近社会、时代热点问题及学生关心的问题，并与其他学科的学习相融合;还应结合学生实际，选取对其学习和工作有帮助的内容。教学方法上，应多运用案例分析法、讨论法，加强师生互动。可通过课后练习、专题讲座、辩论会等形式帮助学生从不同角度去理解、掌握相关知识，提高学生的思维和论辩能力。教学目标上，应能体现通识教育重视人的全面发展，而非单纯地培养专业技能的特征。在教材的选择上，应突出通识课程的特征，符合大众需要，要以生动通俗的语言、精练的内容和多样化的形式，体现逻辑学作为通识基础课程的独特魅力。
作者：张蕴单位：重庆第二师范学院高等教育研究所
逻辑推理的概念篇7
关键词:小学数学;教师专业素养;逻辑素养
在近几年参加的小学数学教研活动中，我们经常发现因教师专业素养不足所导致的各种错误，除不少错误与教师的学科知识素养有关外，还有一些错误与教师的逻辑素养有关，这不得不引起我们的警觉和重视。因此在小学数学教师专业素养的建构中，务必要重视有关数学概念、命题、推理、证明等形式逻辑知识的掌握，谨防在教学中出现各种逻辑性错误。
一、掌握有关数学概念的逻辑知识
1.科学把握数学概念的逻辑定义
在人类的认识过程中，经过抽象形成新概念，由此压缩和简化了语言，加快了思维速度和深度。一个概念引入之后，就要借助语言，将其加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义。对数学概念下定义，其基本方式是“种差+属概念”，即把某一概念包含在它的属概念中，并揭示它与同一属概念下其他种概念之间的差别。比如以四边形为属概念，可以分别对平行四边形和梯形下定义。在对概念下定义时，不能循环定义，比如“用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直”，等等。需要注意的是，尽管“种差+属概念”是对数学概念下定义的基本方式，但对小学数学来说并非理想的定义方式，因为小学数学学习大多采用的是从特殊到一般的方式，因此许多数学概念无法严格按照“种差+属概念”的方式定义。比如在小学教材中先教长方形，后教平行四边形，无法以平行四边形来定义长方形。正因此，小学数学教材中的不少概念最初都没有严格定义，只是通过描述性方法来让学生认识数学概念的特征。
2.明确数学概念与定义的逻辑关系
数学概念不同于数学定义。数学概念是从数和形两方面揭示客观事物本质属性的思维产物，它反映了数学概念的内容；数学定义是对数学概念的语言表达，它是数学概念的外壳，反映了数学概念的形式。对同一个数学概念，可以有不同的定义方式。比如对平行四边形，既可以定义为“两组对边分别平行的四边形”，也可以定义为“一组对边平行且相等的四边形”，这主要取决于采用哪种定义，更容易凸显出对象的本质，或更容易被学生理解和接受。当然，这些定义之间是相互等价的。需要注意的是，由于概念的定义具有人为性，因此定义方式不当，便难以反映出概念的本质属性。比如，在小学把“角”定义为“具有公共端点的两条射线组成的图形”，这并未反映出角的本质，因为角的本质并非体现在可见的“图形”上，而是体现在不可见的“张口大小”上。
3.正确认识数学概念的逻辑分类
如果将一个概念的外延集，按照某一属性分成若干个子集，也就是将一个属概念划分为若干个种概念，这就是明确概念外延的方法——分类。被分的属概念称为划分的母项，分得的若干种概念称为划分的子项，所依据的属性称为划分的标准[1]。通过概念的分类，可以使有关的概念系统和完整，同时使被分类的概念的外延更清楚、深刻和具体。但对概念分类时应注意一些问题，比如每次分类只能依据一个标准、分类要不重不漏、不能越级进行分类等。在小学数学教学中，经常有教师会问：菱形是平行四边形吗？正方形是长方形吗？平行四边形是梯形吗？圆是扇形吗？等等。这里就涉及到对概念的逻辑分类问题。概念的逻辑分类必须基于概念的定义。比如在教材中，将正方形定义为一种特殊的长方形，菱形定义为一种特殊的平行四边形，因此正方形也是长方形，菱形也是平行四边形，两者之间是包含关系。但平行四边形并不是用梯形作为属概念来定义的，平行四边形与梯形均是把四边形作为属概念来定义的，因此两者之间是并立关系，把平行四边形当作特殊梯形是不恰当的。至于圆是不是扇形，单从扇形定义无法判别的话，则通常采用约定的方式，即约定一类对象中的退化情形是否属于该类，这里并不涉及正确与否的科学性问题，仅仅是一种约定俗成的人为规定。因此对这类问题，必须具体问题具体分析，并无统一的确定答案。
二、掌握有关数学命题的逻辑知识
1.掌握命题四种形式之间的逻辑关系
为了研究数学命题的条件和结论的逻辑联系，常把一个命题的条件和结论换位，或变为它们的否定形式，这样就可以得到命题的四种形式，即原命题、逆命题、否命题和逆否命题。对互为逆否的两个命题，它们具有同真同假的性质，此特性称为逆否命题的等效原理。因此，原命题与逆否命题、逆命题和否命题具有同真同假的关系。在数学学习中，为了考察一个数学命题的真实性，可以转换为考察它的逆否命题的真实性。比如在某节课上，任课教师引导学生学习了对称图形的性质，即“如果两个点是对称图形的对称点，那么这两个点到对称轴的距离相等。”但在课堂练习环节，在判断哪些点为对称点时，学生认为“因为m和n到对称轴的距离相等，所以m和n是对称点”，教师进行了肯定，之后学生都据此进行判断。这里师生所犯的错误，即是利用了性质命题的逆命题进行判断，但在这里原命题与逆命题并不等价。
2.明晰命题条件和结论之间的逻辑关系
数学命题常常写成“若p则Q”的形式，其中“若p”部分叫做命题的条件，“则Q”部分叫做命题的结论。根据命题条件p对结论Q所起的作用，可以把命题的条件分为以下四种情况，即充分非必要条件、必要非充分条件、充分必要条件、既非充分又非必要条件。命题的条件和结论之间的逻辑关系，与该命题及其逆命题、否命题和逆否命题的真假，显然存在紧密联系。例如在上述案例中，“两个点对称”只是“距离相等”的充分非必要条件，若原命题的条件和结论满足这样的逻辑关系，则该原命题的逆命题一定不成立。3.明确性质定理和判定定理之间的差异性质定理是由概念或公理得到的定理，讨论某个概念的时候，就包含了它的所有性质，所以性质定理的主要功能是描述特征。断定定理是判断所讨论的某事物是否符合某个概念或公理的定理，所以判断定理的主要功能是判断结论。性质定理和判定定理具有互逆的特征，但两者并不一定是互逆的命题。概念本身既是判定定理也是性质定理，且这两个定理是互逆命题。比如平行线的概念，我们可以直接用它来判断两直线平行，也可以根据两直线平行知道它们位于同一平面内且没有交点。从命题的条件和结论的关系来看，性质定理阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征，性质定理给出了结论成立的必要条件；判定定理阐述了结论成立的依据，判定定理给出了结论成立的充分条件。区分一个定理是判定定理还是性质定理，关键是看该定理阐述了结论成立的依据，还是揭示了一个研究对象的某个特征，若定理阐述了结论成立的依据，则是判定定理，否则就是性质定理了。在小学数学教学中，不清楚性质定理和判定定理的关系，教学就会变得盲目，甚至导致逻辑错误的发生。比如教学三角形的性质“任意三角形的两边之和大于第三边”时，有的教师通过让学生用小木棒来摆一摆，最后发现“若两个短的小木棒大于最长的小木棒，则可构成三角形”。这里就把三角形性质的学习，异化成了三角形判定的学习了。要学习三角形的性质，要先给出三角形，再根据生活经验，知道走直线比走折线要近，由此得出三角形的性质，其本质上依据的是数学公理“两点之间线段最短”。
三、掌握有关数学推理的逻辑知识
1.掌握逻辑推理的基本形式
推理是从一个或几个已知判断中得出一个新判断的思维形式。在推理过程中，所根据的已有判断叫做推理的前提，做出的新判断叫做推理的结论。数学推理主要有演绎推理、归纳推理和类比推理。演绎推理是由一般到特殊的推理形式。由于演绎推理的前提判断范围包含结论中的判断范围，所以只要前提是真的，推理合乎形式逻辑规律的推理形式，就一定能得到正确结论。归纳推理是由个别事物所作的判断，扩大为同类一般事物的判断的一种推理形式。按照前提判断范围的总和是否与结论判断范围一致，归纳推理有完全归纳和不完全归纳两种形式。完全归纳可作为严格论证的方法；不完全归纳得到的结论具有或然性，不能用于证明，只能做出假设或猜想。类比推理是根据两个对象的某些属性相同或相似，推出它们的其他属性也可能相同或相似的思维形式。类比推理是思维过程中由特殊到特殊的推理形式，由于条件和结论没有明确的必然联系，故得出的结论具有或然性，它也是一种不严格的推理方法。比如在推导三角形面积公式时，有的教师直接从平行四边形出发进行推导，即画出一个平行四边形，连接对角线，将其一分为二，分割为两个一样的三角形，根据前面所学平行四边形面积公式，由此得出三角形面积公式。这样的教学思路是错误的。其原因在于，尽管平行四边形是任意画出来的，但一旦画出来后，它就是给定的，给定的平行四边形不能确保三角形的任意性，因此推导出的三角形面积公式就不具有任意性了。也就是说，不能用“特殊”代替“一般”，否则就违反了演绎推理的基本要求。在实际教学中，我们可以采用以上这种思路来突破教学难点，即通过对平行四边形的分割，启发学生想到用割补法把三角形转化为平行四边形，但三角形面积公式的推导必须从任意给定的三角形出发。
2.掌握形式逻辑的基本规律
数学的推理与证明，运用的是形式逻辑的思维，因此必须满足形式逻辑的基本规律。形式逻辑有四条基本规律，即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。同一律是指在同一思维过程中，使用的概念和判断必须保持同一性，不得中途变更，违反这条规则的常见错误是偷换概念或偷换论题。矛盾律是指人们在同一思维过程中，对两个反对或矛盾的判断不能同时承认它们都是真的，其中至少有一个是假的，比如a＞b和a＜b，否则就会出现思维上的前后不一、自相矛盾。排中律是指在同一思维过程中，同一对象的肯定判断和否定判断不能同假，必有一个是真的，比如a＞b和a≤b，违反排中律的逻辑错误是模棱两不可。充足理由律是指在思维过程中，任何一个真实的判断必须有充足的理由，如果论题的真实性要靠论据来证明，论据的真实性又要靠论题来证明，其结果是什么也没有证明，违反这条规则的逻辑错误叫循环论证。比如在学习平行四边形时，有的教师先出示了生活中的平行四边形实例，接着让学生动手做出平行四边形，在此基础上抽象出平行四边形的特征。其实，学生不知道平行四边形的特征，便难以做出平行四边形；现在运用其特征做出平行四边形，再反其道探究其特征，这样的教学便有循环论证之嫌。
四、掌握有关数学证明的逻辑知识
1.按是否直接证明命题，数学证明分为直接证法和间接证法
所谓直接证法，指从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证法是数学中经常采用的方法，在证明过程中，通常要运用演绎、归纳、分析、综合等方法。所谓间接证法，指不是直接证明论题的真实性，而是转化为证明反论题不真；或者证明与论题等效的命题的真实性；或者在互逆命题等效的情况下，通过证明论题的逆命题的真实性，从而肯定论题的真实性。间接证法又可分为反证法和同一法。间接证法是论证数学结论的有力武器，体现了正难则逆、直难则曲、顺难则反的思想。间接证法中的反证法在小学数学中较为重要。尽管在小学数学中没有出现反证法的概念，但反证法思想在分析和解决问题时却经常要用到。比如在直角三角形aBC中，已知∠C是直角，那么要说明∠a一定是锐角，最简单的方法就是应用反证法思想。
2.按思维过程的顺序，数学证明分为综合法和分析法
在数学证明中，为了找到证明的途径，根据思考时推理序列的方向不同，数学证明的方法可以分为分析法和综合法。所谓分析法，就是从结论出发，逆溯其成立的条件，再就这些条件分析研究，看它的成立又需要什么条件，继续逐步逆溯，直至达到已知条件为止，简称“执果索因”。而综合法正好与之相反，它是从题设出发，以已确立的定义、公理、定理、公式、法则等为依据，逐步展开逻辑推理，直到获得所要证明的结论，简称“由因导果”。通常用分析法寻找解题思路，用综合法叙述解题过程。在小学算术应用问题的解决中，离不开综合法和分析法的运用。简单的问题，往往直接应用综合法便可解决；复杂的问题，往往需要分析法和综合法的综合运用。分析法从要求解的结论出发，逐步寻找一系列的“须知”，思维具有目标性和方向性；综合法从已知条件出发，逐步推出一系列的“可知”，思维具有发散性和不确定性。当“须知”和“可知”相遇之后，便成功打通了一条解题通道。
逻辑推理的概念篇8
一、经典逻辑和非经典逻辑的界限
在这里经典逻辑是指标准的一阶谓词演算(CQC)，它的语义学是模型论。随着非经典逻辑分支不断出现，使得我们对经典逻辑和非经逻辑的界限的认识逐步加深。就目前情况看，经典逻辑具有下述特征：二值性、外延性、存在性、单调性、陈述性和协调性。
传统的主流观点：每个命题（语句）或是真的或是假的。这条被称做克吕西波(Chrysippus)原则一直被大多数逻辑学家所恪守。20年代初卢卡西维茨(J.Lukasiwicz)建立三值逻辑系统，从而打破了二值性原则的一统天下，出现了多值逻辑、部分逻辑（偏逻辑）等一系列非二值型的逻辑。
经典逻辑是外延逻辑。外延性逻辑具有下述特点：第一，这种逻辑认为每个表达式（词项、语句）的外延就是它们的意义。每个个体词都指称解释域中的个体；而语句的外延是它们的真值。第二，每个复合表达式的值是由组成它的各部分表达式的值所决定，也就是说，复合表达式的意义是其各部分表达式意义的函项，第三，同一性替换规则和等值置换定理在外延关系推理中成立。也是在20年代初，刘易士(C.i.Lewis)在构造严格蕴涵系统时，引入初始模态概念“相容性”（或“可能性”），并进一步构建模态系统S1-S5。从而引发一系列非外延型的逻辑系统出现，如模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑和认知逻辑等等出现。
从弗雷格始，经典逻辑系统的语义学中，总是假定一个非空的解释域，要求个体词项解释域是非空的。这就是说，经典逻辑对量词的解释中隐含着“存在假设”，在60年代被命名为“自由逻辑”的非存型的逻辑出现了。自由逻辑的重要任务就在于：把经典逻辑中隐含的存在假设变明显；区分开逻辑中的两种情况：一种与存在假设有关的推理，另一种与它无关。
在经典逻辑范围内，由已知事实的集合推出结论，永远不会被进一步推演所否定，即无论增加多少新信息作前提，也不会废除原来的结论。这就是说经典逻辑推理具有单调性。然而于70年代末，里特(R.Reiter)提出缺省(Default)推理系统，于是一系列非单调逻辑出现。
经典逻辑总是从真假角度研究命题间关系。因而只考察陈述句间关系的逻辑，像祈使句、疑问句、感叹句就被排斥在逻辑学直接研究之外。自50年代始，命令句逻辑、疑问句逻辑相继出现。于是，非陈述型的逻辑存在已成事实。
经典逻辑中有这样两条定理：（p∧q）（矛盾律）和p∧pq（司各特律），前者表明：在一个系统内禁不协调的命题作为论题，后者说的是：由矛盾可推出一切命题。也就是说，如果一个系统是不协调的，那么一切命题都是它的定理。这样的系统是不足道的(trivial)。柯斯塔(m.C.a.daCosta)于1958年构造逻辑系统Cn（1〈n≤ω）。矛盾律和司各特律在该系统中不普遍有效，而其他最重要模式和推理规则得以保留。这就开创了非经典逻辑一个新方向弗协调逻辑。
综上所述非经典逻辑诸分支从不同方面突破经典逻辑某些原则。于是，我们可以以上面六种特征作为划分经典逻辑与非经典逻辑的根据。凡是不具有上述六种性质之一的逻辑系统均属非经典逻辑范畴。
二、非单调性与演绎性
通常这样来刻画演绎：相对于语句集合Γ，对于任一语句S，满足下述条件的其最后语句为S的有穷序列是S由Γ演绎的：序列中每个语句或者是公理，或者是Г的元素，或者根据推理规则由前面的语句获得的。它的一个同义词是导出(derivation)。演绎是相对于系统的概念，说一个公式（或语句）是演绎的只是相对于一不定的公理和推理规则的具体系统而言的。演绎概念是证明概念的概括。一个证明是语句这样的有穷序列：它的每个语句或是公理或是根据推理规则由前面的语句得出的。在序列中最后一个语句是定理。
由此可见，缺省逻辑中的推出关系比经典逻辑中的要宽。因而相应扩大了“演绎性”概念的外延。于是可把演绎性分为：强演绎性和弱演绎性。后者是随着作为前提的信息逐步完善，而导出的结论逐步逼近真的结论。
三、逻辑的数学化和部门化
正如有人所指出的那样，“逻辑学在智力图谱中占有战略地位，它联结着数学、语言学、哲学和计算机科学不同学科。”作为构建各学科系统的元科学手段的逻辑与各门科学联系越来越密切。它在当展中，表现出两个重要特征：数学化和部门化。
逻辑学日益数学化，这表现为：(1)逻辑采取更多的数学方法，因而技术性程度越来越高。一些逻辑问题（如系统特征问题）的解决需要复杂的证明技术和数学技巧。(2)它更侧重于数学形式化的问题。其实数学化的本质是抽象化、理想化和泛化（普遍化）。这对像逻辑这样的形式科学显然是非常重要的，近一个世纪逻辑迅速发展就证明了这一点。逻辑方法论的数学化在本世纪下半叶正在加速。这给予逻辑的一些重要结论以复杂的结构和深入的处理，使逻辑变得更精确更丰富。但是，由于逻辑中数学专门化已定型并且限定了它自己，所以逻辑需向其他领域扩张，拓宽其研究领域就势所必然。
逻辑向其他学科领域的延伸并吸收营养，于是出现了各种部门逻辑，如认知逻辑、道义逻辑、量子逻辑等等。我们把逻辑学这种延伸和部门逻辑出现称做逻辑部门化。
哲学逻辑就是逻辑部门化的产物，它是方面逻辑或部门逻辑。众所周知，经典逻辑演算的理论、方法和运算技术具有高度的概括性，它适用于一切领域、一切语言所表达的演绎推理形式。所以，它具有普遍性，是一般的逻辑。有人认为一阶演算完全性定理表明“采用现代数学方法和数学语言来刻画的全体‘演绎推理规律’恰好就是人们在思维中所用的演绎推理规律的全体，不多也不少！”。表达一阶逻辑规律的公式是普通有效的，即是这些公式在任何一种解释中都是真的。而哲学逻辑各分支只是研究某一方面或领域的演绎推理规律，表达这些规律的公式只是在一定条件下在某一领域是有效的，即是它们在具有某种条件解释下是真的。例如，模态公式(D)pp,(t)pp,(B)pp,(4)pp,(e)pp，分别在串行的、自反的、对称的、传递的、欧几里得的模型中有效。而动态逻辑的一些规律只适用于像计算程序那样的由一种状态过渡到另一种状态转换的动态关系。
部门逻辑另一种含义是为某一特定领域提供逻辑工具。例如，当人们找出描述一个微观物理系统在某一时刻的可观察属性的命题的一般形式。对其进行运算时，发现一些经典逻辑规律失效，如分配律对这里定义的合取、析取运算不成立。于是人们构造一种能够描述微观物理世界新的逻辑系统，这就是量子逻辑。
四、哲学逻辑划界问题
哲学逻辑形形并且难于表征。在现代逻辑文献中，“哲学逻辑”是个多义词。它的涵义主要的有三种：它的第一种涵义是指关于现代逻辑中一些重要概念和论题的理论研究。例如，对于名称（词项）、摹状词、量词、模态词、命题、分析性、真理、意义、指涉、命题态度、悖论、存在乃至索引等概念及与它们相关的论题的理论研究以及利用形式逻辑工具处理逻辑和语言的逻辑结构的哲学争论。它的第二种涵义是指非经典逻辑中一个学科群体，它包括模态逻辑、多值逻辑等等众多逻辑分支。它的第三种涵义是兼指上述两种涵义的“哲学逻辑”。
逻辑推理的概念篇9
一、逻辑层次显性化
逻辑层次显性化处理的内容包括：知识的呈现结果（如板书），知识的呈现过程，问题解决的思维策略、方法.知识的呈现结果的逻辑层次也就是知识结构，知识的呈现过程的逻辑层次也就是教学的节奏.逻辑层次显性化处理策略就是教师将这些内容的逻辑层次明确地显示给学生，使他们清晰感知这些逻辑层次，以利于对知识的理解和逻辑思维能力的提升.
1.知识的逻辑层次显性化
案例1力的分类命名逻辑层次.教材对力的分类命名比较分散，缺乏显性逻辑层次，教师有必要把诸多力的名称之间的逻辑层次显性化.笔者对各种力的名称之间的逻辑层次显性化如图1所示.
2.知识的呈现过程的逻辑层次显性化
案例2人教版新课本必修（1）《牛顿第一定律》中，关于伽利略对运动原因的教学内容中已有丰富的逻辑层次，但不少老师在教学中，却没有体现出来，使得学生对伽利略科学思想方法没有清晰的感受，觉得稀里糊涂.
笔者教学中划分为以下几个层次：（1）逻辑推理猜想本质.球沿斜面向下运动时（简称下坡），它的速度增大，而向上运动时（简称上坡），它的速度减小.那么，当沿水平面运动时，不下也不上，它的速度应该不增不减.（2）比较事实，产生矛盾.事实上，球在水平面上运动速度不断减小，与猜想矛盾.（3）坚持猜想，寻找原因.发现摩擦影响.（4）研究摩擦影响规律，理想化推断本质.发现摩擦越小，球在水平面上运动得越远，如果没有摩擦，将一直运动下去，不需力维持.（5）设计新的理想化实验，进一步充分论证.
关于伽利略的新的理想化实验的教学层次：（1）综合情境，事实呈现.设计了球经过下坡、水平、上坡的组合运动情境，实际现象是球冲到上坡的最高处比下坡时的开始位置低.规律是摩擦越小，小球上坡的高度就越高.（2）理想化假设，逻辑推断理想实验现象.假设没有摩擦，球上坡就一定冲到开始释放的高度.（3）理想实验现象的逻辑推演.上坡倾角变小，球要到达开始高度，将运动得更远.（4）逻辑外推，推断本质.如果倾角变为零，球为了到达开始高度，将沿水平面一直运动下去，而不需力的维持.
3.问题解决的思维策略、方法的逻辑层次显性化
案例3解决三力平衡问题的思维策略、方法的逻辑层次.在受力分析的基础上，如何处置“平衡条件F合=0”呢？
首先，分为两大策略：直接合成策略（简称合成策略）；先分解再合成策略（简称分解策略）.其次，两大策略衍生四个大法：合成策略依据平行四边形定则和三角形定则衍生平行四边形法和三角形法；分解策略衍生按力的实际效果分解法和正交分解法.再次，四个大法派生多种方法：平行四边形法和实际效果分解法本质上都是作出一个力的平行四边形，三角形法直接作出一个力的封闭三角形，而平行四边形的一半是三角形，所以这三个大法的共性是归结为解三角形.解三角形又有很多方法和技巧：相似三角形法、辅助线转化法、余弦定理法、正弦定理法（推论：拉密定理法）、动态作图法等，正交分解法不再派生.不少教师在教这些方法时，胡乱地并列呈现，没有体现出各种方法的逻辑层次，学生难以将这些方法融会贯通.甚至，把整体法和隔离法也和以上方法并列呈现.整体法和隔离法是选择研究对象的方法，逻辑上与处置平衡条件的方法根本“风马牛不相及”.
二、逻辑层次认知化
逻辑层次认知化就是在呈现逻辑层次时要符合学生的认知心理规律，换言之，就是教学的节奏要适合学生认知规律.这一策略核心是关注学生的学习，因此，也可称逻辑层次学生化.
案例4符合学生认知的概念教学节奏的设计.
在《波的形成和传播》一节，教材编排知识逻辑层次是：首先，详细分析绳波的形成原因和特征；接着介绍弹簧波，在此基础上，形成波的概念及对波本质的理解与深化认识，并进一步对波分类.如果在波的概念建立时机和节奏的把握上完全囿于教材的呈现顺序，就会贻误概念形成的大好时机，教学节奏显得沉闷而拖沓.那么，概念的最佳呈现时机和节奏如何设计？概念的最佳呈现时机和节奏就是建立在知识内在逻辑基础上的符合学生认知心理特点的最佳教学逻辑顺序.可以按以下的逻辑顺序展开教学：学生观察绳波后，就可以概括出波的概念，这是首次呈现概念时机，使学生有一个初步的了解；接着通过对绳波的成因的分析，着力使学生体会感受波的本质是什么、不是什么但却容易误解为是什么，这是波的概念深化呈现时机；再接着演示弹簧波，让学生与“绳波”进行比较，既要看到与“绳波”相区别，又要看到与“绳波”相同的本质特征.不同的特点，使波的外延拓展，促使我们进行分类，共同的本质则是对概念内涵的巩固与强化.这是对波的概念的本质特征在变式干扰下的强化和概念的拓展时机.这样，通过具体到抽象，抽象到具体，再从具体到抽象的螺旋式循环认识过程，使学生由表及里，由浅入深地理解把握波的内涵和外延.
案例5符合学生认知的例题讲解的逻辑层次设计.
例题1.如图2所示的电路中R1=R2=100Ω，是阻值不随温度而变的定值电阻.白炽灯泡L的伏安特性曲线如i-U图线所示（如图3）.电源电动势e=100V，内阻不计.求：
（1）当电键S断开时灯泡两端的电压和通过灯泡的电流以及灯泡的实际电功率.
（2）当电键闭合时，灯泡两端的电压和通过灯泡的电流以及灯泡的实际电功率.
讲解的逻辑层次设计：（1）灯的电压和电流关系表现为伏安特性曲线，应有对应的函数方程；（2）灯接在闭合电路中满足闭合电路欧姆定律，可列出灯的电压与通过灯的电流的方程；（3）联立方程即可解决问题；（4）难点在于无法列出特性曲线方程，但可以做出根据电路列出的方程的图象；（5）两个图象的交点即两个方程的解.通过以上的逻辑层次，学生就能够较好的理解这种解法.
三、逻辑层次细腻化
逻辑层次细腻化就是将知识的逻辑层次以及知识的认知逻辑层次展现得细致入微、丰满充实，以使学生的认知思维过程自然流畅、水到渠成，从而实现对知识的全面把握和透彻理解.
案例6例如，波长、频率和波速概念的教学中，笔者通过设计六个层次的观察，帮助学生建立概念.利用电脑动画模拟或传统横波演示仪器演示，首先指导学生观察波动过程中，第1号质点和第13号、第2号和第14号……它们有什么规律？以此建立波长概念内涵：相邻的两个振动位移总是相等的质点之间的距离叫做波长；其次，观察1号质点振动一个周期，波形变化也周而复始，建立波动周期和频率的概念，并认识波动周期等于振动周期以及波动频率等于振动频率；再次，观察1号质点振动一个周期内，振动刚好传到13点，正好一个周期，所以波长也是一个周期内波传播的距离，扩展波长概念的外延；第四，观察某一时刻波形中两个相邻波峰（或波谷）之间距离也等于波长，继续扩展波长概念的外延；第五，观察波的最前沿移动快慢，体验波的传播速度，建立波速是表示“振动”在介质中传播快慢物理量，就是波的最前沿移动的快慢；第六，观察波的最前沿移动快慢和波峰移动的快慢相同，因此，波速也是波峰的移动快慢.这样设计六个细腻的观察逻辑层次，使学生顺利建构波长、频率和波速的概念.
案例7游标卡尺的教学逻辑层次设计：人手一尺.首先，观察游标刻度和主尺刻度特点；其次，观察主尺和游标上两零刻度线对齐后，脚爪交合，探杆恰好缩回平齐于主尺.认识主尺与游标的内脚爪之间外脚爪之间以及探杆伸出的长度与两个零刻度线之间的距离相等；再次，观察主尺和游标上两零刻度线对齐后，游标上还有最后一格线与主尺上某一刻度线对齐.读出游标上刻度的总长度是多少，算一算游标上一格是多少，和主尺上最小分度的差值是多少；第四，在两零刻度线对齐的基础上，假设在脚爪之间夹一个一倍差值厚的东西，将游标移动一倍差值距离，观察游标上第几格的刻度线与主尺上某一刻度线对齐；第五，猜想，将游标移动差值两倍、三倍……距离，游标上第几格线与主尺上某一刻度线对齐.做一做，验证猜想；第六，在两零刻度线对齐的基础上，如果将游标移动1mm或1mm整数倍的距离，又会出现什么现象？做一做验证之；第七，在两零刻度线对齐的基础上，如果将游标移动1mm整数倍再加小于1mm的零头的距离，游标上刻度线与主尺刻度线对齐的规律是什么？通过设计以上七个细腻的逻辑层次的引导，使学生能够顺利理解和把握游标卡尺的读数方法.
逻辑推理的概念篇10
本文将从数理逻辑观点看计算机系统结构、计算机软件与理论和计算机应用技术的核心课程，以此探讨数理逻辑的理论基础作用。
1公理系统及数理逻辑简介
亚里土多德在逻辑史上第一次应用了形式化、公理化的演绎系统，类似自然演绎系统，为逻辑的形式化开了先河。亚里士多德关于演绎证明的逻辑结构给出基本概念，通过定义派生概念；给出公理或公设，通过逻辑证明定理。这种由初始概念、定义、公理、推理规则、定理等所构成的演绎体系，称为公理系统。
欧几里德整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，形成了《几何原本》。实质公理系统，给出点、线、面、角等23个原始定义概念，给出5条公设、5条公理，由公理公设出发加以证明了467定理。这也标志着公理学的产生，是实质公理学的典范。
俄国数学家罗巴切夫斯基提出从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行公理，从而发现了锐角非欧几何；1854年黎曼提出在同一平面内任何两条直线都有交点公理，从而发现了钝角非欧几何。非欧几何从直观的空间上升到抽象空间，使得人们认识到区分感性直观与科学抽象的重要性。
弗雷格第一个严格的关于逻辑规律的公理系统。在1879年出版了著作《概念文字：一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》，他完备地发展了命题演算和谓词演算，第一次把谓词演算形式化，标志着数理逻辑的发展由创建时期进入奠基时期。
皮亚诺提出了自然数算术的一个公理系统用逻辑演算表述数学、推导数学。关于自然数论的五个公理一直沿用到现在，成为自然数论的出发点。
罗素(B.Russell)继承皮亚诺的研究，完备了命题演算和谓词演算的成果，以集合论为基础，对自然数作出定义，证明自然数满足皮亚诺的五个公理。罗素总结了数理逻辑的成果，和怀特海合著了《数学原理》，他的成果汇集成为一本巨著，奠定了数学的基础。
希尔伯特1899年的《几何基础》，第一个逻辑理论问题是公理的无矛盾性，在实数的算术理论中为欧氏几何构造一个模型，这实际上就是笛卡儿几何，在此模型中欧几里德何五组公理都真；第二个逻辑理论问题是公理的相互几独立性，利用模型方法作出了证明。《几何基础》已经发展成为一个形式公理系统。《几何原本》里，点线面都有定义。在《几何基础》里，这三个概念没有定义，也没有直观的解释，这是形式公理方法的特征。由于《几何基础》的基本概念没有直观的具体内容，这个系统可以有各种不同的解释即模型。
1931年，《关于数学原理》一书证明了数理逻辑的不完全定理。在数理逻辑发展史上具有划时代意义。哥德尔完全性定理，哥德尔不完全性定理，给出包括自然数公理的系统一定时不完备的，即一定存在逻辑真的公式，是不可证明的。
欧内斯特・内格尔在《科学的结构》中提出四种科学说明的模式：演绎模型、或然性说明、功能性说明以及发生学说明。在科学说明中，演绎模型是最重要的方法之一。鲁道夫・卡尔纳普《世界的逻辑构造》中，提出构造系统的任务要把一切概念都从某些基本概念中逐步地引导出来，形成概念系谱。一种理论的公理化就在于：这个理论的全部命题都被安排在以公理为其基础的演绎系统中，这个理论的全部概念都被安排在以基本概念为其基础的构造系统中。
在人类发展过程中，数理逻辑是最重要的系统的知识表示和科学说明方法，从而形成概念系谱，获得可靠定理。数理逻辑是计算机专业的基础理论，本文将讨论它也是计算机专业的理论基础。
2逻辑公理系统
2.1逻辑公理系统
逻辑公理系统有初始符号、公式规则、公理以及推导规则四部分。
(1)初始符号
个体变元x1,x2,…
个体常元c1,c2,…
函数符号：f11,f21,......；f12,f22,......；
谓词符号：p11,p21,......；p12,p22,....;
逻辑常项：",Ø,®；
逗号：,;
括号：(,)
(2)项和公式
个体常元是项；
个体变元是项；
若是t1,…,tn项，则是fi(t1,…,tn)项。
若是t1,…,tn项，则pi(t1,…,tn)是公式。
若a是公式，则(Øa)是公式；
若a和B是公式，则(a®B)是公式；
若a是公式，则("xa)是公式。
(3)公理
公理模式a1：p®(Q®p)肯定后件律
公理模式a2：(p®(Q®R))®((p®Q)®(p®R))蕴含词分配律
公理模式a3：(Øp®ØQ)®(Q®p)换位律
公理模式a4："xp®ptx其中，项t对于p中的x是自由的。
公理模式a5："x(p®Q)®(p®"xQ)其中x不是p中自由变元。
(4)推导规则
分离规则(简称mp规则)：从p和p®Q推出Q。
概括规则(简称UG规则)：从p推出("xp)。
2.2证明与定理
定义设Γ是公式集。如果公式序列a1,a2,…an中的每个公式ai满足以下条件之一，则称它为an的从Γ的一个推演(演绎)。其中Γ称为推演的前提集，称an为结论，记为Γ├an。
(1)ai是公理；
(2)aiÎΓ；
(3)有j,k
(4)有j
定义如果├a，则a是定理。
希尔伯特给出的证明论告诉我们，一个证明是一个有穷序列，它的每一步或者是公理、或者是前提或者是推导规则产生的公式。歌德尔不完全性定理证明表明，不存在一个通用算法，判定任意公式是否是定理的证明。因此，定理的证明一定依靠人的洞察力、创新性和运气。一旦一个定理用逻辑公理方法给出证明，那么，人们理解证明过程就仅是逻辑定义和逻辑关系的变换，且证明的每一步或者是公理、或者是前提或者是推导规则产生的公式。因此，如果计算机基础理论建立在数理逻辑基础上，给出逻辑的证明，对于理解概念、性质和定理将变得精确而简单。
2.3完备的基础理论
一个具有等词公理的理论是完全的，等词公理如下：
(1)tt
(2)t11t21Ù…...Ùt1nt2n®f(t11,…,1n)f(t21,…,t2n)
(3)t11t21Ù…...Ùt1mt2m®R(t11,…,1n)R(t21,…,t2n)
peano给出了自然数公理，其语言L={+，∘,s,0}，其中+，是二元运算符，s是一元函数符(后继运算符)，0为常元。公理如下：
(1)"x(s(x)¹x)
(2)"x"y(x¹y®s(x)¹s(y))
(3)"x(x+0=x)
(4)"x"y(x+s(y)=s(x+y))
(5)"x(x∘0=0)
(6)"x"y(x∘s(y)=x∘y+x)
(7)(p(0)Ù"x(p(x)®p(s(x))))®"xp(x)其中p(x)是任意公式。
peano给出的自然数，有一个常元0，三个运算s、+和∘。(1)-(2)是有关运算s的公理；(3)-(4)是有关运算+的公理；(5)-(6)是有关运算∘的公理；(7)是数学归纳法。
歌德尔不完全性定理表明包含peano自然数公理的系统是不完全的。人们证明自然数仅包含公理(1)-(4)和(7)，这样的理论是完全的。
因此，我们给出的证明系统的基础理论，包括逻辑公理、等词公理和peano的完全性公理，以增强证明能力。
3数理逻辑是理论基础
3.1计算机理论基础
计算机专业主要理论包括数理逻辑、集合论、图论、代数系统、形式语言与自动机理论等，数理逻辑是它们的基础，因为它们的基本概念、导出概念都可以采用数理逻辑方法定义，定理的证明都可以采用数理逻辑的公理化方法证明。
(1)策梅罗一弗兰克尔公理集合系统
集合论可以用公理化的方法定义一个无悖论的集合系统，策梅罗一弗兰克尔公理集合系统是重要的稽核公理系统，也记为ZF系统，它包括外延性公理、无序对公理、空集公理、替换公理模式、分离公理模式、幂集公理、并集公理、无穷公理、正则公理。
(2)图论
图是集合的有序偶G=，其中，V是顶点集合，e是边的集合。因此，图论的理论都可以用集合方法讨论。
(3)代数系统
代数系统主要包括群、环、域。如群可以用公理方法表示，其定理可以用公理化方法证明。
定义设G是一个非空集合，是它的―个代数运算，如果满足以下条件：
结合律："x"y"z((x∘y)∘z=x∘(y∘z))
左单位元："x(e∘x=x)
左逆元："x$y(y∘x=e)
则称G对代数运算。作成一个群。
(4)形式语言与自动机理论
1956年，美国语言学家乔姆斯基从产生语言的角度研究语言，将语言形式地定义为由一个字母表Σ中的字母组成的一些串的集合。对任何语言L，使得LÍΣ*。1951~1956年间，克林从识别的角度研究语言，在研究神经细胞中建立了自动机，他用这种自动机来识别语言。对于按照一定的规则构造的任一个自动机，该自动机就定义了一个语言，这个语言由该自动机所能识别的所有句子组成。乔姆斯基将语言分为四类，即正则文法、上下文无关文法、上下文有关文法和短语结构文法。文法产生的所有句子组成的集合就是该文法产生的语言。1959年，乔姆斯基通过深入研究将研究成果与克林的研究成果结合了起来，不仅确定了文法和自动机分别从生成和识别的角度去表达语言，而且证明了文法与自动机的等价性。
形式语言与自动机主要的基本概念是语言、语法和自动机。这些基本概念以及定理可以用数理逻辑的方法定义和证明。
定义：若Σ是字母表，且LÍΣ*，则称L是Σ上的语言，L={α|αÎΣ*}。
定义：设文法G=。如果"a®bÎp，a®b均具有如下形式：
a®ω，a®ωB其中，a，BÎV，ωÎt*，则称G为右线性文法，L(G)称为右线性语言。
定义：如果G=是正则文法，则文法G产生的语言L(G)称为正则语言，记为RL。
L(G)={ω|SÞ*ωÙωÎt*}
定义：文法G=称为上下文无关的(context-free)，如果p中的产生式具有形式：
a®ω其中aÎV，ωÎ(V∪t)*
定义：如果G=是正则文法，则文法G产生的子句。
定义：确定有穷自动机，记为DFa。字母表Σ上的有穷自动机m是一个系统，m=，其中，Q是状态的一个非空有穷集合，Σ是一个输入有穷字母表，δ是Q×Σ®Q的一种映射，q0是初始状态集，q0ÎQ，F是终止状态集，FÍQ，δ映射表示为qi=δ(qj,a)。
定义：δ*是Q×Σ*®Q的一种映射，q'=δ*(q,ω)，qÎQ，q'ÎQ，ωÎΣ*，有
δ*(q,ε)=q，δ*(q,ωa)=δ(δ*(q,ω),a)，δ*(q,aω)=δ*(δ(q,a),ω)
定义：设m=，mÎDFa，L(m)是m接受的语言，则L(m)={ω|δ*(q,ω)ÎF}。
3.2硬件基础
数字逻辑与数字部件设计主要包括组合逻辑与时序逻辑原理，数理逻辑的命题演算是其基础。基于mipS指令集，设计寄存器、加法器、移位器、控制器、多路选择器、计数器、比较器等数字部件的逻辑功能。数理逻辑的命题演算将这些逻辑部件的功能表示为真值表，根据真值表表达的逻辑功能，变换为“与、或、非”逻辑运算的逻辑范式。这些逻辑范式的“与、或、非”表达为相应的逻辑部件即实现数字逻辑部件。借助于硬件描述语言和eDa软件工具，完成包括寄存器、加法器、状态机等在内的一系列计算机基础硬件组件的设计和开发。
在计算机组成原理，基于mipS指令集，设计数据通路(如下图)，而后根据每条指令的指令周期的动作，设计指令控制逻辑，从而实现计算机组成原理的CpU设计。
数理逻辑的命题演算作为组合逻辑、时序逻辑以及控制逻辑的基础，使学生能够从逻辑的角度完成对数字逻辑部件的设计；通过数据通路的设计，控制逻辑的设计完成功能计算机的设计工作。以此为基础利用HDL实现指令系统的子集及部分相应的计算机功能部件，完成一个功能型计算机硬件的核心部分，并能在其上运行简单的汇编程序。
4软件基础
在1966年G.Jaccopini和C.Bohm证明的"任何程序逻辑可用顺序\选择和循环等三种结构来表示"的定理基础之上，即(1)序列结构；(2)选择结构，if-then，if-then-else；(3)循环结构，while-do。
一个程序规范可表示为由两个谓词构成的二元组(φ,ψ)。其中φ描述了所欲求解问题必须满足的初始条件，这个条件限定了输入参数的性质，称为初始断言或前置断言。断言ψ描述了问题最终解必须具备的性质，称为结果断言，或后置断言。程序断言是对程序性质的陈述。最重要的一个程序断言形如：
{φ}S{ψ}
其中φ和ψ是两个谓词，它们联合起来构成一个规范(φ,ψ)。S是一个程序。φ称S的前置断言，ψ称S的后置断言。断言{φ}S{ψ}称为S关于(φ,ψ)的正确性断言。它的意义为：“若S开始执行时φ为真，则S的执行必终止且终止时ψ为真。”
Hoare定义了一条赋值公理和四条推理规则，它们是：
赋值公理：{p(x,g(x,y))}yg(x,y){p(x,y)}
条件规则：{pÙR}F1{Q},{pÙØR}F2{Q}Þ{p}ifRthenF1elseF2{Q}或{pÙR}F1{Q},{pÙØR}F2{Q}Þ{p}ifRdoF1
while规：p®i,{iÙR}F1{Q},(pÙØR)®QÞ{p}whileRdoF{Q}
并置规则：{p}F1{R},{R}F2{Q}Þ{p}F1;F2{Q}
结论规则：p®R,{R}F{Q}Þ{p}F{Q}，{p}F{R},R®QÞ{p}F{Q}
证明程序部分正确性的公理化方法就是依据以上的几条公理和规则进行的。推理过程一股有两种形式：(1)根据给出的不变式断言，建立一些引理，根据这些引理和赋值公理，对程序F中的每一个赋值语旬Fi导出相应的不变式语句{Ri}Fi{Qi}；(2)再根据这些不变式语句和上述的四条规则逐步地组成越来越长的程序段，一直到推演出{φ(x)}p{ψ(x,y)为止。这样，就证明了程序F的部分正确性。
5小结