标题：知道两点及半径求圆心坐标
文章内容：
在几何学中，给定两个点和一个圆的半径，我们可以通过一系列的几何和代数步骤来确定圆心的坐标。以下是一个基于数学原理的详细解题过程。
解题步骤
1. 确定圆的直径：
首先，找到通过这两点并且垂直于这两点连线的线段。这条线段就是圆的直径。
2. 计算中点：
找出这两个点的中点。设这两个点为 \( A(x_1, y_1) \) 和 \( B(x_2, y_2) \)，则中点 \( M \) 的坐标为：
\[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
\]
3. 确定圆心坐标：
圆心 \( O \) 将位于直径 \( AB \) 的中点 \( M \) 上，并且距离 \( A \) 或 \( B \) 的距离等于圆的半径 \( r \)。设圆心为 \( O(x, y) \)，则有：
\[
\sqrt{(x x_1)^2 + (y y_1)^2} = r
\]
\[
\sqrt{(x x_2)^2 + (y y_2)^2} = r
\]
由于 \( O \) 在 \( AB \) 的中垂线上，因此 \( O \) 的坐标可以表示为 \( M \) 的坐标加上或减去垂直于 \( AB \) 的距离，即半径 \( r \)。
4. 计算垂直距离：
要找到垂直距离，我们需要知道 \( AB \) 的斜率。斜率 \( k \) 为：
\[
k = \frac{y_2 y_1}{x_2 x_1}
\]
中垂线的斜率是 \( \frac{1}{k} \)。因此，通过 \( M \) 的中垂线方程为：
\[
y \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{1}{k}\left(x \frac{x_1 + x_2}{2}\right)
\]
5. 解方程组：
将中垂线方程与半径等于 \( r \) 的方程组合起来，我们可以解出 \( x \) 和 \( y \) 的值。
信息来源
[Wikipedia: Circles](https://en.wikipedia.org/wiki/Circle)
[Khan Academy: How to find the center of a circle given three points](https://www.khanacademy.org/math/geometry/circles/circlecenterradiustopic/v/findingthecenterofacirclegiventhreepoints)
常见问题清单及解答
1. 问题：如果 \( A \) 和 \( B \) 是圆上的两点，半径 \( r \) 已知，如何确定圆心的坐标？
解答：通过上述步骤，找到中点 \( M \)，然后找到通过 \( M \) 且垂直于 \( AB \) 的中垂线，最后解出圆心的坐标。
2. 问题：如果 \( A \) 和 \( B \) 的坐标分别是 \( (1, 2) \) 和 \( (3, 4) \)，半径 \( r \) 是 2，如何求圆心坐标？
解答：首先计算中点 \( M \)，然后找到中垂线，解方程组得到圆心坐标。
3. 问题：如果 \( A \) 和 \( B \) 不在同一直线上，是否总是存在一个唯一的圆通过这两点？
解答：是的，只要 \( A \) 和 \( B \) 不在同一直线上，就存在一个唯一的圆通过这两点。
4. 问题：如果 \( A \) 和 \( B \) 是同一点，圆心如何确定？
解答：如果 \( A \) 和 \( B \) 是同一点，圆心就是该点，半径可以是任意正数。
5. 问题：如果 \( A \) 和 \( B \) 的坐标分别是 \( (x_1, y_1) \) 和 \( (x_2, y_2) \)，如何计算中点 \( M \)？
解答：中点 \( M \) 的坐标是 \( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \)。
6. 问题：如何计算线段 \( AB \) 的斜率？
解答
