线上线下教学如何有效结合篇1
关键词：西方经济学教学几何图形方法数学方法几何图形谬误
西方经济学作为经管类专业的核心基础课程之一，其教学效果的好坏直接影响学生对后续课程的学习。目前对该门课程的一般性教学方法――例如多媒体教学、案例教学、实验教学等等――已有很多讨论。但对于一些更加具体的问题却未能进一步深入探讨，例如对西方经济学教学中几何图形与数学方法之间关系这一问题就是如此。西方经济学在研究经济变量之间关系时，强调定性与定量分析结合，即要从理论上论证清楚经济变量之间相互影响的逻辑机制和基本规律，又试图对影响程度大小给出一个精确的数量表示。这使得西方经济学教材和研究文献大量采用语言文字、几何图形与数学方法相结合的表述方式，全方位阐释理论。而在西方经济学教学中，与语言文字相配合，大量采用几何图形与数学方法也是西方经济学教学的显著特点。正确认识几何图形与数学方法的各自利弊，从而针对不同情况灵活运用这两种方法讲授基本理论，对于西方经济学课程教师提高教学效率和改善教学效果具有非常重要的意义。本文试图以“宏观经济政策效应”这一问题为例，论证几何图形与数学方法在西方经济学教学中的互补性。
1几何图形方法的优点
对于同一个经济学理论，可以采用几何图形或数学方法加以表述。例如，在讲授运用iS-Lm模型分析“宏观经济政策效应”这一问题时，可运用iS-Lm曲线图来说明：向右下方倾斜的iS曲线代表产品市场均衡时产量与实际利率之间的关系，而向右上方倾斜的Lm曲线则代表货币市场均衡时产量与实际利率之间的关系；两条曲线的交点决定了均衡的产出和实际利率（见图1（a））；宏观经济政策通过影响曲线的位置改变了均衡产出和实际利率（见图1（b））。显然，运用几何图形描述模型和理论具有以下优点：
1.1直观形象
图1运用几何图形将代表多个变量间相互影响关系的复杂模型直观形象地描述为两条曲线的组合，这弥补了纯粹语言文字或数学公式的单调乏味，便于学生理解和记忆。
1.2便于应用
在准确把握基本经济学逻辑基础上，可以用几何图形将宏观经济政策的影响简化为曲线移动对内生变量均衡值的影响。这一点在做“比较静态分析”时特别有用，例如在图1（b）中，用iS曲线自iS向右平移至iS代表“扩张性”财政政策的影响。对比初始均衡（e）和新的均衡（e），立即可知扩张性财政政策的影响是同时提高产出水平和实际利率。除了“定性”结论外，运用几何图形还可以得到某些“定量”结论。例如，图1（c）表明，如果Lm曲线变得更加平坦（由Lm变为Lm），则同样的扩张性财政政策对产出的影响程度就更大（产出的变动由原来的y-y增加为现在的y-y）。在理解有哪些因素决定Lm曲线斜率的基础上（如“货币需求关于利率变动的系数”影响了Lm曲线斜率），就可进一步分析决定财政政策效应大小的各种因素。
1.3对学生知识储备要求较低
以上几何图形分析只要求学生具备中学水平的几何学知识，对于高等数学（如微积分、线性代数等）知识完全没有要求。只要理解了经济变量之间的逻辑关系和这种关系的几何表示方法之后，就可以对经济问题进行分析。这使得教师可以在学生系统学习高等数学之前，就能借助几何图形较为深入地讲授西方经济学基本理论，并且极大地降低了学生学习西方经济学的知识门槛。
2数学方法的优点
几何图形方法的上述优点正是数学方法的不足所在，但与此同时，数学方法也具有几何图形无法企及的优势，这些优势表现在以下方面。
2.1表述更为简练、精确
例如，在讲授运用iS-Lm模型分析“宏观经济效应”这一问题时，只需使用①式和②式组成的方程组就可简洁地表述模型（假设线性函数和“封闭经济”）。①式代表产品市场均衡条件，由此可以解出iS曲线方程；②式代表货币市场均衡条件，由此可以解出Lm曲线方程。运用方程和函数可以更加精确地表述变量之间的关系。特别是在做“比较静态”分析时，运用数学方法可以精确地给出外生变量变化对内生变量均衡值影响程度的大小。
y=α+β（y-t）+e-dr+g①
=ky-hr②
2.2有大量数学定理可以使用
例如，可以直接引用“隐函数定理”证明方程组定义了内生变量（y和r）均衡值与外生变量或参数（包括t、e、d、g、k、h、m、p）之间的函数关系，基于这些函数关系可以进行“比较静态”分析。
2.3数学方法要求明确陈述所有假设，从而避免由于假设不明确造成的结论的模糊性。
2.4数学方法可以不限于二维情况，能够处理n个变量的一般情况
例如，我们可以用数学公式表示两个及其以上外生变量同时变化对内生变量均衡值产生的总影响，而这是几何图形无法做到的。
3几何图形谬误
几何图形方法以其直观和便于应用等优点在西方经济学研究和教学中被广泛使用，但其不精确性也造成如果使用该种方法不当，会得到错误结论。本文将这种由于使用几何图形不当得到错误结论的情况称作“几何图形谬误”。在西方经济学教学实践中，由于教师没有能够准确把握基本理论和正确使用分析方法，上述谬误并非少见，甚至一些国内权威的西方经济学教材也难以幸免。就以“宏观经济政策效应”这一问题为例，某本权威教材运用几何图形将决定财政货币政策效应大小的因素及其影响性质概括为以下4个“几何”结论：
结论1：在Lm曲线不变时，iS曲线越陡峭，财政政策效果就越大；反之则反是。
结论2：在iS曲线不变时，Lm曲线越陡峭，财政政策效果就越小；反之则反是。
结论3：在iS曲线不变时，Lm曲线越陡峭，货币政策效果就越大；反之则反是。
结论4：在Lm曲线不变时，iS曲线越陡峭，货币政策效果就越小；反之则反是。
下面我们运用严格的数学方法证明，上述结论2和结论4是正确的，但结论1和结论3却不一定正确。由①式和②式可解得iS曲线方程和Lm曲线方程分别为③式和④式：
r=-y③
r=+y④
由此可知iS曲线和Lm曲线的斜率（绝对值）分别为〔（1-β）/d〕和（k/h）。假设政府购买g增加Δg，其他外生变量值保持固定不变，那么上述方程组以变量的改变量表示就成为：
Δr=-Δy⑤
Δr=Δy⑥
将Δr消去，整理后可得：
=⑦
运用相同的方法可以证明，若名义货币供给量m增加Δm，其他外生变量值保持固定不变，则可得：
=⑧
由⑦式可知，给定参数d和其他条件不变，Lm曲线越陡峭（即（k/h）越大），则政府购买增加对均衡产出的影响程度越小（即Δy/Δg越小），财政政策效果就越小，这与结论②相符。同理，由⑧式可知，给定参数h和其他条件不变，iS曲线越陡峭（即〔（1-β）/d〕越大），则货币供给量增加对均衡产出的影响程度越小（即（Δy/Δm）越小），货币政策效果就越小，这与结论④相符。但是，⑦式表明，给定参数d和其他条件不变，iS曲线越陡峭（即〔（1-β）/d〕越大），则政府购买增加对均衡产出的影响程度越小（即Δy/Δg越小），财政政策效果就越小，这与结论①正好相反。同理，⑧式表明，给定参数h和其他条件不变，Lm曲线越陡峭（即（k/h）越大），则货币供给量增加对均衡产出的影响程度越小（即（Δy/Δm）越小），货币政策效果就越小，这与结论③正好相反。这表明，结论①和结论③正是本文所说的“几何图形谬误”。
为什么会产生上述谬误呢？如图2中（a）图和（b）图所示，保持Lm曲线不变，如果“扩张性财政政策使得iS曲线向右平移相同的距离”，那么iS曲线越陡峭就意味着财政政策的效果越大（（b）图中y-y的大于（a）图中的y-y），此时谬误并未发生。但“扩张性财政政策使得iS曲线向右平移相同的距离”这一前提条件并不成立，而且iS曲线向右平移的距离与iS曲线的斜率（绝对值）有关。因为iS曲线向右平移的距离等于〔Δg/（1-β）〕，给定d，iS曲线越陡峭（即〔（1-β）/d〕越大），iS曲线向右平移的距离越小。这意味着iS曲线并不会如图2（b）中所示向右平移至iS，而只会如图2（c）中所示向右平移较小的距离，最终导致均衡产出较小幅度的增加。这也与基本的经济学逻辑相符，给定参数d，iS曲线越陡峭意味着乘数效应越小（因为β越小），所以财政政策的效果应当越小。相同方法可用于说明在分析货币政策效应时，如果未能正确运用几何图形，同样可能导致谬误产生（正如结论③那样）。
产生上述谬误的原因并不在于运用几何图形无法得出正确结论，而是因为没有正确地运用几何图形。在运用几何图形分析财政政策效应问题时，iS曲线斜率（绝对值）对政策效果大小的影响有两个方面：第一是“直接”影响，即如果“扩张性财政政策使得iS曲线向右平移相同的距离”，那么iS曲线越陡峭就意味着财政政策的效果越大；第二是“间接影响”，即（给定参数d）iS曲线越陡峭，则扩张性财政政策使得iS曲线向右平移相同的距离就越小，从而财政政策的效果越小。几何图形方法容易捕捉到“直接”影响，但却往往容易忽视“间接”影响。在此例中，正是“间接”影响居于主导地位，所以一旦将其忽略，就会得到错误结论，从而产生“几何图形谬误”。
4结论和建议
前文运用数学方法证明了“几何图形谬误”产生的可能性，实际上也启示我们运用严格的数理推导可以有效地避免谬误产生。运用数学方法对同一问题进行分析，凭借其严格性和精确性，我们可以较为完整地捕捉到前文所述的“直接”影响和“间接”影响，从而规避了“几何图形谬误”。但必须注意到，数学方法结论正确性的取得是以“非直观”、“应用不够方便”和“对知识储备要求较高”等为代价的，所以在实际教学中，教师应当根据教学内容和授课对象灵活选择是侧重于几何图形还是侧重于数学方法，或二者的某种组合。基于笔者的教学实践，提出如下教学建议：
4.1根据大学数学课和西方经济学课程开课的时间顺序，以及“先微观经济学后宏观经济学”的通常授课顺序，建议教师在讲授微观经济学时主要侧重于几何图形方法，在讲授宏观经济学时适当增加数学方法的运用。
4.2在“微观经济学”和“宏观经济学”每一门课程讲授过程中，前半程侧重于几何图形方法，后半程适当增加数学方法的运用。
4.3针对财经类专业和非财经类专业的不同学生，侧重点要有所不同。财经类专业学生要求牢固掌握专业知识和技能，故对这类学生的西方经济学课程教学，在可能的情况下要多运用数学方法。而非财经类专业学生，学习西方经济学课程主要是为了拓宽知识面，所以在对他们的教学中要尽量避免枯燥的数理推导。
4.4由于“文科类”学生和“理工科类”学生在数学知识和技能的储备上有所不同，所以在对“文科类”学生讲授西方经济学课程时，先从直观的几何图形入手，再逐步培养其数学方法的应用能力。而对于“理工科类”学生，则可以尽早培养其分析经济学问题时的数学方法应用能力。
4.5对于某些包含着经济变量间复杂影响和关系的问题，教师可以在运用几何图形做出“启发式”分析的基础上，再运用严密的数理逻辑推导向学生阐明正确结论，这既提高了教学的直观性又增强了教学的严密性。
总之，“几何图形谬误”产生的可能性并非要让我们完全抛弃几何图形方法，而是要求我们更加合理地运用几何图形方法与数学方法，实现两种方法各自优势的有机互补。而要做到这一点，最根本的还是要求教师能够准确把握经济变量之间的逻辑关系、全面理解和深刻领会描述经济变量之间关系的基本理论。
参考文献:
[1]岳爱娴.西方经济学教学中多媒体教学方法的采用[J].南昌教育学院学报,2009,04：42~44.
[2]许晓红，李定庆.《西方经济学》案例教学法初探[J].经济师,2008,08：133～134.
[3]赵成美.实验法和短剧法在西方经济学教学中的应用[J].教学研究,2007,03：240～242.
[4]曼昆.经济学原理（第5版）[m].北京：北京大学出版社,2009：6～7.
[5]蒋中一，凯尔文•温莱特.数理经济学的基本方法（第4版）[m].北京：北京大学出版社,2006：11～13.
线上线下教学如何有效结合篇2
教学目标
知识与技能：复习抛物线的几何图形、定义、标准方程及简单几何性质；利用抛物线的定义和标准方程解决简单的问题。
过程与方法：经历抛物线定义的生成过程，理解抛物线定义的几何特征，通过定义应用，体会其中蕴涵的转化思想；在用两点间距离公式和弦长公式（通性通法）求焦点弦长的过程中，体会“设而不求”思想的应用；能从抛物线定义出发，利用抛物线的几何特征和“韦达定理”优化解题过程，进一步体会数形结合思想的应用。
情感、态度与价值观：学生通过独立解决问题，优化求解过程，树立学好数学的信心。
教学重点、难点
重点：掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质；能利用抛物线的几何特征解决简单问题；能利用“坐标法”解决直线与抛物线位置关系之焦点弦长求法。
难点：掌握直线与抛物线位置关系之焦点弦长的求法。
教学过程
1．引入课题
师（点明复习课题）：前边我们复习了椭圆和双曲线，今天我们来复习抛物线。
教师应用电子白板链接到“几何画板”课件，演示抛物线定义生成过程。
学生观察课件，描述定义。
设计意图：在高三复习课中，定义仍是核心，应用“几何画板”制作课件，演示抛物线定义生成过程，帮助学生回忆定义，挖掘定义的几何特征。
2．复习旧知
（1）分析定义要点
师：你认为抛物线的定义有哪些要点？
随着学生口答，教师应用电子白板的注释功能，选择智能笔画出不同图形，标注定义要点（图1），引起学生注意。
设计意图：引导学生分析定义要点，明确定义的几何特征，进行有效记忆。
（2）回顾抛物线的标准方程及几何性质
教师指导学生复习抛物线的标准方程及简单几何性质。学生完成表格之后，教师演示ppt课件，随着学生口答呈现内容，完成表格（图2）。
设计意图：以填空形式复习抛物线的标准方程及简单几何性质。
教师操作局部遮挡器，引导学生分析抛物线的图形、标准方程及简单几何性质之间的关系。
①分析图形与标准方程的关系（图3）。
②分析焦点坐标与图形的关系（图4）。
③分析焦点坐标与方程的关系（图5）。
④分析准线方程与图形的关系（图6）。
教师提问：从表中可以看出，准线方程与谁的关系最密切？学生分析得出:准线方程与焦点坐标的关系最密切。
设计意图：应用局部遮挡器，进行遮盖与显示，突出需要对比记忆的内容，帮助学生更加有效地分析与记忆。
3．知识检测
教师操作电子白板的聚光灯，检测学生记忆效果。随着学生口答，移动聚光灯显示答案（图7）。
（1）由准线方程说出焦点坐标和标准方程；
（2）由标准方程说出焦点坐标和准线方程；
（3）由准线方程说出焦点坐标和标准方程；
（4）由标准方程说出焦点坐标和准线方程。
设计意图：通过聚光灯，突出学生需要记忆的内容，引起学生注意，检测记忆效果。
4．课堂练习
完成下表，示意图一栏填入表格下方图形对应序号（图8）。
请4名学生在电子白板上书写，从图库中调出图形,画在示意图位置，其他学生在学案上完成。在电子白板上书写的学生从图库中提取图形，拖曳到空格中，填到示意图位置，选择蓝色硬笔进行书写。教师巡视，记录学生的答案，对学生出现的错误，在电子白板上进行点评与纠正（图9）。
设计意图：通过填空，考查学生对抛物线标准方程及简单几何性质的掌握程度。
教师根据学生的答题情况进行点评与纠正，在电子白板上用红笔打“√”或“×”，并进行讲解。
学生在求解y2=ax（a≠0）的焦点坐标和准线方程时，出现错误。教师通过橡皮擦进行纠正，将正确答案呈现给学生（图10），并操作电子白板进行翻页，回顾抛物线的标准方程、焦点坐标与准线方程之间的关系，起到纠错与强化作用（图11）。
5．知识应用
例1．（教材p65）若抛物线y2=12x上的点m到焦点的距离是9，则点m的坐标是。
师生共同分析题目条件，挖掘题目信息，思考解法。教师随着学生口答，用两种颜色的笔在电子白板上写出分析思路。
师生共同总结例1中用到的基础知识和应用的数学思想方法。
设计意图：进行解题探究，通过“解法一”体会方程思想的应用；通过“解法二”体会抛物线定义的应用及其蕴涵的转化思想和数形结合思想；通过解题反思，总结题目考查的知识点及应用的数学思想方法，培养学生及时总结的习惯。
变式：（2009浙江文）已知抛物线C：x2=2py（p>0）上一点a(m,4)到其焦点F的距离为。求p与m的值。（答案：，）
利用电子白板计时器进行3分钟限时训练，展示学生做法。
设计意图：采用限时练习的方式，加强解题速度训练。设计由例1到变式，使学生体会到高考题源于课本，提醒学生注意对课本上基础题的复习。
例2．（教材p66）斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于a、B两点，求线段aB的长。（答案：8）
师：在复习椭圆和双曲线时，我们曾经解决过类似问题，请类比尝试解答。
学生分析题目条件，思考题目解法，尝试解题，解法一、二:学生板演，解法三:学生在电子白板上解答。
解法一分析：用两点间距离公式求解。
解法二分析：用“韦达定理”及弦长公式求解。
解法三分析：用抛物线定义求解（图12）。
教师请每个板演做法的学生回答：（1）你是怎么做的？（2）你这么做的好处是什么？（3）用到哪些知识或思想方法？
设计意图：给学生充足的时间进行解题探究，选择有不同解法的学生板演，起到呈现解法的作用。由学生说解法，提高课堂参与度，同时给其他学生以启发。对比不同解法，体会用抛物线定义的几何特征和“韦达定理”优化解题过程。
6.课堂小结（略）
教学反思
本节课以交互式电子白板为平台，结合实物投影、“几何画板”、ppt课件等信息技术工具，运用了引导、讲授、练习相结合的教学方法。交互式电子白板支持教学中对各种媒体资源的灵活调用，如电子白板超链接到“几何画板”课件“抛物线的定义”，动态展示了抛物线的生成过程，又如切换到实物投影，呈现学生解题结果，由学生进行讲解，提高了课堂参与度。电子白板和ppt的整合，使ppt制作的图形动画效果通过电子白板展示出来，还可以直接在ppt演示文稿上进行标注和书写。电子白板的常用功能，如局部遮挡器和聚光灯的使用，可以根据需要有针对性地展示教学内容，使得原来静态的资源具有互动性，从而增强了视觉效果，集中了学生注意力，帮助学生更加有效地记忆。资源库的使用，使得资源提取与应用更加有效。总之，交互式电子白板让我圆满地实现了本课的教学目标。
线上线下教学如何有效结合篇3
立体几何有六大问题：角、距离、平行、垂直、面积、体积，其中求角和距离是一个难点。纵观近年高考数学试题，可以看出，立体几何解答题是历年高考的必考题型。分值一般12分，难度属容易或中档题。学生得分率较高，但失分率也高。因此，我认为有必要将堆积如山的立几题目进行梳理，提出一个解决问题的基本方法。下面我就针对几道题目的解题突破和各位交流一下。
立体几何模型与题型
立体几何中的模型
模型是解决问题的基础，对于立体几何问题首先我们要会画出相应的立体图形，或对于给出的题目能够识别模型。立体几何中的常见模型有：柱体模型（正方体模型，长方体模型，圆柱体模型）；锥体模型（三棱锥，四棱锥等）；球体模型等。每个模型都可以对应出一套完整的知识体系，例如：正方体模型延伸出的题目会涉及到线线、线面、面面平行判断（性质）定理；线线、线面、面面垂直判断（性质）定理；柱体，椎体等的表面积和体积公式。总的来说，所有的立体几何模型可分为可建系模型和不可建系模型。
立体几何中的题型
立体几何模型加上一定的已知条件和求证结论就构成了一道具体的习题，因此，一个模型可以变化出许许多多的习题。求解立体几何习题的一般方法可以归纳为识别模型，分析题目中的已知条件，以及已知条件与要求证的结论之间的关系，结合相应的（判断或性质）定理与相关知识解决问题，即公理化解题方法。
这道题目是以三棱锥模型为依托延伸出的，且属于不可建系模型，对于考生来说很难完全解决这类问题，通常情况下只能解决问题中的第一问，面对这样的题目我们有必要找一个基本的方法来帮助学生解题。
解题的突破
对于立体几何问题我们有一些常用的处理方法，但是在一些方法的运用中，还存在着一些学生很难把握的难点，比如：用判定定理证明线面平行时如何选取平面内的那条直线？用判定定理证明面面垂直时，如何选取垂直于平面的那条直线？用向量法求二面角时，如何判定向量的夹角与二面角相等还是互补？等等。这些难点成为学生解决此类问题的瓶颈.作为教师来讲，如果能在这些方面做一些工作，帮助学生解决好这些问题，在教学效果上将起到事半功倍的作用.以下我就结合以上摘录的有关立体几何高考题的探讨，和各位交流一下心得.一般而言，向量法解决问题时，容易着手，但写坐标时必须细心谨慎。而传统解法要求我们要学会作辅助线以及对线面垂直、面面垂直、线线垂直、三垂线定理等要非常有研究。不论如何，高考立体几何一般都可以传统法和向量法两种方式来解决。
可建系模型，利用向量运算
使用“形到形”的综合推理方法学习立体几何，由于空间图形的复杂性，一般没有规律可寻，对多数学生都是比较困难的。但向量运算体系与算术、代数运算体系基本相似，学生就可运用他们熟悉的代数方法进行推理，来掌握空间图形的性质。学生在高一已学习了平面向量，只要稍加推广就可得到空间向量运算体系，使用空间向量处理立体几何问题，使对它的研讨达到有效能算的水平，这样做不仅不会增加学生的负担，相反，由于学生掌握了一套有力的工具反而会降低学习的难度，减轻学生的负担。
凡是题目中有共点的三条两两互相垂直的边，或已知两边（相交）垂直能够经过交点添加辅助线构造出三条两两互相垂直的边的立体几何题，建议尽量通过建立空间直角坐标系，采用空间向量的知识解决问题。对于学生来说，寻找并证明线面关系要比解决向量运算难得多。
此题的模型为正方体，显然是个可建系模型，所以可以采用空间向量解决问题。借助方向向量的夹角公式得异面直线所成的角，借助直线的方向向量与平面的法向量的夹角得出线面角，借助两平面的法向量的夹角得出二面角。虽然文科教材内容未要求学习空间向量，但教学中我们会发现文科生更偏爱于采用空间向量解决立体几何问题的证明与计算。因此，适当的补充是值得的。
不可建系模型，寻求解题技巧
空间向量是解决立体几何问题的一个非常有力的工具，但这并不意味着传统方法可以摈弃，空间向量毕竟有它的局限性。所以学生学习立体几何的基本要求、空间想象能力的培养是不能降低的。平面的基本性质、空间线面平行垂直的各个性质都是研究立体几何的重要基础，空间概念的建立、空间想象能力、逻辑思维能力的培养也是由此开始并逐渐得到发展，而且也是空间向量学习的基础。所以我们在教学中要把几何综合推理和向量代数运算推理有机地结合起来，为多角度的展开解题思路提供广阔的空间，不能有所偏废。
用公理化方法解决立体几何问题，通常都必须添加辅助线，并且要经过各种手段进行转化，它具有较大的灵活性，学生掌握起来比较困难。但是传统方法有它的优越性，一旦空间的位置关系搞清楚了，计算量较小，正确率高。因此在日常训练中，就应该引导学生养成良好的思维习惯，从多个角度思考问题，不能让思维陷入模式化的僵局。在处理具体问题时，要采取实事求是的态度。采用传统方法解题解决近几年的高考问题是有技巧可循的。
解题技巧：巧做辅助线，巧借中点效应
解立体几何题“得辅助线者得天下”。此话说得虽有点过头，但学会添加辅助线确实是我们快捷解题的关键。那么，辅助线该如何添加呢？这里我先介绍一段口诀：“有了中点配中点，两点相连中位线；等腰三角形出现，顶底中点相连线；有了垂面作垂线，水到渠成理当然。”下面以两个实例来说明此口诀的实用与精妙之处。
线上线下教学如何有效结合篇4
关键词：课程标准；目标分解；高效课堂
中图分类号：G633.7
文献标识码：a
文章编号：1003-6148（2013）4（S）-0064-3
物理学是一门基础的自然科学。它所研究的是物质的基本结构、最普遍的相互作用、最一般的运动规律以及所使用的实验手段和思维方法。基于物理学的这一特点，教育部颁布了《高中物理课程标准》，它对于高中的教学起到了提纲挈领的作用。在日常教学的过程中，我们如何才能从课程标准上找到更好的切入点？如何才能生成高效课堂？这就要求我们要研究课标，要深入分析课程标准中的每一个词语。笔者以“人教版”高中物理选修3-1中《几种常见的磁场》为例，来谈谈如何进行课程标准分解？分解后如何自然生成教学目标？在课堂上如何实现教学目标？
1课程标准分解
【课程标准】会判断通电导线和通电螺线圈周围磁场的方向。
【课程标准解读】见表1。
【核心内容解读】通电直导线周围磁场的分布情况很难直观呈现，需要通过做“奥斯特实验”来突破这一难点，该实验可以有效训练学生的空间想象能力——学生描绘出长直导线围的磁场分布情况，进而总结出安培定则。学生需要就通电圆环与通电螺线管对小磁针的吸引，来描绘其空间的磁场分布情况。从这些分布情况总结出安培定则的另一种表现形式。
【核心规律解读】此规律是对通电直导线、通电螺线管周围的磁场方向以分布情况作一个方便的判断。它的动作要领是：要抓住导线或是通电螺线管。它的难点是：到底是大拇指是指向电流方向还是四指指向电流的环绕方向？因此安培定则的两种表述形式一定要说清楚。要让学生理解在什么情况下用哪种形式？更要明确的指出，这两种表现形式从本质上来说都是一样的。
【行为动词解读】“判断”一词在课标上纳入理解水平，要求把握内在逻辑联系：与已有的知识建立联系；进行解释、推断、区分、扩展；提供证据；收集、整理信息等。
从这点来看，安培定则的要求是很高的，它的应用极为重要，因此要在不同的情况下让学生会运用安培定则。
【行为条件解读】通过师生共同观察奥斯特实验、环形电流周围磁场分布、通电螺线管内外磁场分布、用传感器来探测通电螺线管内部磁场以及亥姆霍兹线圈之间的磁场强度这四个实验现象，总结出安培定则。
【表现程度解读】通过对不同类型的通电导线与通电螺线管周围的磁场分布情况的判断来巩固核心规律；能灵活运用安培定则。
2教学目标的自然生成
对课程标准详细解读后。我们很自然的了解到本节内容的重点，学生需要掌握的程度。教师教学过程中把握的深度。这些都为制定具体的教学目标提供了很好的指导作用。不过在制定具体的教学目标时，还要针对本节内容进行有效分析。
【本节内容分析】本节内容在初中的基础上有很大的提高和拓展。“磁感线”、“几种常见的磁场”、“匀强磁场”是最基本，也是最重要的知识，在今后的学习中会广泛应用。磁通量的概念是学习电磁感应的基础，也是教学的难点。针对上面的分析，本节可以准备以下四个实验：
（1）通过学生做奥斯特实验来学习通电直导线的周围磁场分布情况。本实验的目的是总结出安培定则。
（2）把导线做成环状观察其小磁针的受力方向，来研究环状导线周围的磁场分布。本实验的目的是总结出安培定则的另一种形式。
（3）研究通电螺线管周围的磁场分布情况。本实验的目的是验证安培定则的正确性。
（4）用磁传感器来检测通电螺线管内部以及两个通电线圈之间是否是匀强磁场。本实验的目的是让学生知道，针对一些无法直观表现的物理量，我们可以用其他技术手段，化未知为已知。
通过以上四个实验的教学。让学生深刻感知物理是以实验为基础的自然科学。可以提高学生的动手、观察、思维、总结等能力。
制定教学目标如下：
【教学目标】
（1）知道磁感线。知道几种常见永磁体磁感线的空间分布。
（2）通过“奥斯特实验”来研究通电直导线周围的磁场分布情况，并总结出安培定则。
（3）对通电线圈周围磁场分布情况的研究，总结出安培定则的另一种形式。
（4）通过实验，观察通电螺线管周围的磁场分布情况，并检验安培定则的正确性。
（5）了解安培分子电流假说，对磁现象的电本质有一定的感性认识。
（6）通过磁传感器来观测通电螺线管内部以及两个线圈之间的磁场分布情况。进而得出匀强磁场的概念。
（7）知道磁通量，了解净磁通的概念。
3教学目标达成步骤
【课堂教学】
（1）通过幻灯片展示马蹄型磁铁周围细铁屑的分布情况（平面）-磁体周围磁场的教具展示（立体）-引入磁感线（目的、基本特征、类比电场线……）。
特别强调：磁感线是闭合的。静电场中的电场线是不闭合的。
（2）实验1：学生做“奥斯特实验”。
思考：①小磁针偏转了说明什么？②小磁针为何会这样偏转？
想象：画出通电直导线周围的磁场分布情况图（立体图、俯视图、平面图）。这个过程对学生来说有一定的难度。必要时要给一定的引导，最好让学生自己体会。
探究：通过磁感线的分布情况。指导学生用左、右手来比划一下，看看有没有新的发现。总结出安培定则。
检验：在黑板上画出几根通电直导线，让学生判断周围磁场的分布情况。最好画出4根，构成一个正方形的环状电流，为下面讲解环形电流做准备。
（3）实验2：观察环形电流周围的小磁针偏转情况，描绘出其周围的磁场分布情况。
解释：对以上实验现象进行解释。把其看作是一小段一小段通电直导线（微元思想），根据安培定则来判断。
思考：你除了用以上方法来判断外，手还可以怎么握？
引导学生总结出安培定则的另一种形式。
（4）实验3：探究通电螺线管周围小磁针的转向，画出其周围的磁场分布情况。
检验：用安培定则来检验理论与实际是否相符？
深化：设计一个通电螺线管内、外小磁针的指向判断题。重点看清通电螺线管内部的小磁针与外部的小磁针指向。
通过对条形磁铁与通电螺线管的磁场相似性，引导学生阅读书本p87安培分子电流假说。引导学生理解磁现象的电本质。
从理论上分析匀强磁场（方向与大小）。
（5）实验4：用磁传感器来检测两个线圈之间的磁场，以及通电螺线管内部的磁场是否是匀强磁场。
（6）介绍磁通量的概念。
探究以下几个问题：①当线圈与磁场方向垂直时穿过线圈的磁通量；②当线圈转过90度与磁场方向平行时穿过线圈的磁通量；③线圈再转90度时穿过此线圈的磁通量：④线圈与磁场成任意角度时的磁通量；⑤对于同一个线圈，如果既有从正面穿过的磁感线。又有从反面穿过的磁感线，你觉得穿过它的磁通量该如何计算？
线上线下教学如何有效结合篇5
【关键词】多媒体教学空间想象能力函数图象解题线性规划解析几何
多媒体辅助教学（Cai）是指运用多媒体计算机并借助于预先制作的多媒体教学软件来开展的教学活动过程。在新的形势下，高中数学课程的目标是：使学生在九年制义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体为：知识技能、过程方法和情感价值观三维目标。而在高考考试大纲中，提出对数学知识的考查主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等几方面的考查。在新课程下，对数学老师的教学要求也更高了，尤其现在每个学校的教学条件在不断提高，都配备了多媒体现代化教学设备，在数学课上充分利用好，对数学教学会有事半功倍的效果。
一、利用多媒体教学培养空间想象能力
空间想象能力是中学数学中的重要考查内容，而考查的主要形式是立体几何，立体几何在高中数学教学中，虽然总共才18课时，但对于学生来说，立体几何是学习的一个难点，难就难在学生没有空间想象能力，对于老师来说，立体几何既是重点，也是难点；重点是年年高考考，难点是对学生空间想象能力的培养比较难，就凭借一把直尺远远不够，而且不太容易画准确，这时，老师能借助多媒体，可以更好地培养学生的空间想象能力。
二、利用多媒体画图解决函数和方程题
数形结合是数学解题中常用的思想方法，很多问题使用数形结合的方法都能迎刃而解，且解法简捷，但是，我们画图时，一般都是画草图，有的问题，图形不准，往往不能解决，或是错解、漏解，如果采用多媒体画图，就能准确解决。
例12x=x2方程有解。
答案3略解，此题直接解方程是求不出来的，必须借助函数图象，要作出指数函数y=2x和二次函数x=x2，作函数图象时又要画草图，画图时往往把x=4这个解漏掉，如果我们借助于多媒体画图，就能很清楚地画出两个图象有三个交点。还有同样的题目，方程有sinx=lgx解，处理时也会犯同样的错误。
三、利用多媒体解决线性规划题
线性规划这一节内容安排在高中数学必修5，主要利用直线平移和可行域相交，找到最优解，平移时老师在黑板上推动，往往容易推歪了，而且画直线时，也很难画得非常准，导致找不到最优解，如果借助多媒体，在几何画板，或在word等软件下，首先画出可行域，并用不同颜色标出，把直线做成动画，学生可以很清晰地找到最优解。
z的范围。
解略，对于此类题型，方法很清楚，就是结果出来麻烦，首先做出可行域，然后再做出直线x+y=0，在向上和向下平移，找到最优解，对于第（2）题，还要利用直线斜率的几何意义通过旋转解决，但很难准确地做出来，如果利用多媒体进行演示，形象直观，不易出错。
四、利用多媒体解决解析几何题
线上线下教学如何有效结合篇6
关键词：数形；教学；规划；案例；应用
一、请同学们画出下列不等式表示的平面区域
1.①x+y-2≥0②x+y-2≤0
2.若将上述不等式中的等号去掉，结论如何
设计目的：
1.理解数与形的转化，体会数形结合的思想。
2.通过图像理解每个不等式所表示的区域的区别与联系。
教学过程：首先让学生在电脑上用几何画板画直线x+y-2=0（无电脑的学校可让学生在练习本上画）。引导他们发现一条直线将平面分为两部分，每一部分的点的坐标代入直线方程所得到的不等式是一样的，因此到底哪一部分表示x+y-2≥0，只需取一点验证就行，从而总结结论：画二元一次不等式，ax+By+C≥0（≤0）的平面区域常采用“直线定界，选点定域”的方法，不等式有等号时，直线画成实线，无等号时，直线画成虚线。
二、画出下列不等式组3≤2x+y≤96≤x-y≤9表示的平面区域
设计目的：借助图像的直观性，将代数问题几何化，使学生清楚画二元一次不等式组所表示的平面区域要注意寻找各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
教学过程：借助多媒体教学手段做出四条直线：2x+y=3，2x+y=9，x-y=6，x-y=9，分别找不等式所代表的平面区域取其交集，最后得到结论：该不等式组所表示的平面区域为平行四边形。
三、（2011新课标高考）
若变量满足约束条件3≤2x+y≤96≤x-y≤9，则z=x+2y的最小值是
设计目的：借助高考题，使学生领会求线性目标函数的最值体现的数形结合思想。
教学过程：
1.做出可行域即不等式组所表示的平面区域。
2.理解的几何意义。
3.做出目标函数所表示的平行直线系中的特殊直线，并且将之平移，在可行域中找到最优解所对应的点。
4.求出线性目标函数的最大值或最小值。
5.总结结论：线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得。当表示目标函数的直线与可行域的边界平行时，其最优解有无数个。
四、求取值范围
1.已知函数满足不等式组x≥1y≥0x-y≥0，则■的取值范围是
（）
a.[-■，1）B.[-1，1）C.（-1，1）D.[-■，1]
2.已知实数满足不等式组x+y-3≥0x-y+1≥0x≤2，求z=■的最值。
设计目的：近几年高考有关线性规划的考题中，有许多试题是结合其他知识点的综合题，在作出可行域后，要充分利用代数式本身的几何意义，解决其最值问题。
教学过程：
1.引导学生理解■所表示的几何意义，即动点（x，y）与定点（-1，1）连线的斜率，而■的几何意义即动点（x，y）与定点（0，0）的距离。
2.引伸：
若1题改为求■最值又如何处理呢？
运用配凑手段：■=■=1+■实质上仍然研究斜率的变化。
若2题改为求最值又该如何解呢？
通过以上教学片断可使学生清楚利用线性规划的知识理解高中数学中非线性函数的最值问题，主要是利用其代数式的几何意义运用数形结合的思想加以解决。利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题既形象又直观，既可提高学生学习的热情，又使学生掌握了知识。
参考文献：
线上线下教学如何有效结合篇7
摘要在高中数学实验教学中引入几何体，通过实际模型的直观展示，帮助学生了解几何体，培养学生的空间思维能力。
关键词几何体；高中数学；实验教学
中图分类号：G633.63文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2016）11-0138-02
1前言
在高中数学学习过程中，学生对于立体几何知识的学习往往更加困难，因为立体几何不仅具备数学的思维复杂性，还需要学生有一定的空间思维能力。此外，学习立体几何是学生首次接触三维空间的相关内容，自然会带来更多理解上的问题。传统的教学方式很难为学生提供更多帮助，所以为了提高立体几何课堂教学的效率，教师需要采取措施，在高中数学课堂实验教学中应用几何体，降低学生对于立体几何理解上的难度，提高学生的学习效率。
2应用几何体，增加课堂参与性
在高中以前的数学学习中，学生只学习过难度很低的平面几何，空间思维能力并不能得到很好的培养。这样一来，学生在学习立体几何时，由于难度骤增，就很容易感到难以应对，进而挫伤学习的积极性，在课堂中无法集中精神学习。如此一来，用单纯的板书授课，教师纵然想培养学生的空间思维能力，也无法在短时间内达到目标，更无法吸引学生的学习兴趣。
对此，高中数学教师可以从提高课堂参与性入手，在课堂中应用几何体，先让学生亲自动手参与，在制作立体几何模型的过程中对立体几何有一个总体的认识。高中学生相对于做题记笔记，更加喜欢这种比较具有操作性的学习，所以应用几何体可以起到很好的增加学生在课堂中参与性的作用[1]。
如在学习“三垂线定理”这部分内容时，教师可以指导学生在预习过程进行这样的思考：“空间中有一直线aB与平面a相交于一点，能否在平面a中找到一条直线与aB垂直？这条直线有什么特点？需要满足什么条件？”并在思考过后，利用身边的事物，亲自动手制作模型。这样，学生在操作的过程中就能够较为轻易地发现直线的特点，然后教师再在课上进行三垂线定理的具体讲解，学生把实际操作中的发现与课堂中教师的讲解相结合，就能够大大降低理解难度，从而更加高效快速地掌握知识。
又比如在学习棱柱、棱锥等较为复杂的内容时，教师可以先拿出一个棱柱或棱锥模型，为学生全面讲解其特点，让学生有个大概的认识；然后为学生提供相关材料，让学生亲自动手，画出一定规格的展开图；再根据展开图，剪裁适当尺寸的卡纸，进行粘合，制作成自己的棱柱或棱柱的模型。这样在立体几何的课堂中，学生就能够有效参与课堂教学，同时基于最初的模糊认识，在操作过程中对棱柱等几何体有更深层的理解，同时培养学生的空间思维能力，增加数学课堂的参与性。
3应用几何体，直观化抽象知识
在立体几何内容教学中，基础理论知识很重要，是构筑立体几何知识体系的基础。立体几何相关的基础理论知识包括各几何体的定义、特点，以及在三维层面下，平面几何中的点、线、面之间的相关关系，涉及很多定律。这些理论知识大都不易理解，学生在学习过程中单单听课、记笔记、做习题，不仅极其费神，还会导致在重复大量的死硬记忆中出现记混的情况。
对此，教师可以在立体几何课堂教学中应用几何体，把抽象的知识直观地在具体的模型上表现出来，辅助学生进行理解学习。在教授基础理论知识时，教师首先需要对所有知识有一个深入透彻的理解，把握好教学侧重点，对重要的概念进行具体清晰的讲解；同时注意板书的结构，做到把所有知识点都条理清楚地罗列出来，并带领学生对不同知识点进行联系总结，进行整体记忆，提高知识的掌握率；再以板书教学为基础，在讲解时应用几何体，使用具体模型，把抽象的理论知识具象化，对板书中的难点进行详细讲解；最后辅以一定的例题，就能让学生高效牢固地学习掌握相关理论知识。
如在教授异面直线的相关内容时，学生对于异面直线所成角的理解往往比较困难。对此，教师可以首先进行必要的讲解，让学生结合预习成果，对知识有个较为细致的了解；然后举出这样一道例题，进行讲解：
如图1所示，空间中有一正方体，它的棱长为a，m、n分别是BB1和CC1的中点。求am和Bn两条异面直线所成角大小以及aC和BC1两条异面直线的所成角。
这道题有一定的难度，教师可以引导学生结合几何体模型进行解题。对于am和Bn的所成角，学生会在研究几何体模型的时候很轻易地发现；Bn和mC1是两条平行的直线，而mC1又和am相交于m点，那么am和Bn的所成角就是∠amC1；对于aC和BC1所成角的求解，可以参考之前的方法，再结合平移法和补偿法，就能比较简单地解决。
在讲解立体几何基础知识时应用几何体，把抽象而复杂的概念直观地表达出来，让学生以直接的视觉体验代替抽象的思维想象，这样就能有效培养学生的空间思维能力，让学生对这些理论知识有更加容易、深入的理解与掌握。
4应用几何体，提高学生积极性
无论是学习什么学科，兴趣都是学生最好的老师，数学也不例外。然而在数学学习中，特别是立体几何部分的学习中，学生往往会因为学习难度过高，且难以找到良好的学习方法，而苦于学习立体几何，甚至厌恶学习立体几何，更不可能对立体几何产生什么兴趣。对此，为了提高学生的学习效率，教师需要采取一定措施，帮助学生简化立体几何的学习，让学生乐于学习立体几何，进而将数学变成自己的一个兴趣，最后在兴趣的驱动下，全身心地投入立体几何的学习中，达到提高学习效率的效果。
在数学立体几何课堂实验教学中应用几何体，就是一个很好的办法。教师在教学过程中辅以数学模型，简化立体几何的学习，引导学生发现数学的规律美，提高学生学习数学的积极性。
如教师在讲解斜棱柱相关的知识时，可以为学生安排这样一道题：试证明斜棱柱的侧面积等于其直截面的周长与侧棱长的乘积。其中直截面是与侧棱垂直的截面，直截面的周长用C表示，侧棱长用L表示，斜棱柱的侧面积用S表示，证明S=C*L。
在学生进行这道题的证明时，教师为学生提供斜棱柱的立体模型，引导学生进行操作。学生首先找出适当的位置和角度，从直截面把斜棱柱截成两段，然后把棱柱的上底面和下底面粘合起来，组成一个新的棱柱。这样一来，原棱柱的直截面就会变成新棱柱的上底面和下底面，而这个新的棱柱，学生会很容易发现它其实是一个直棱柱，直棱柱的侧面积大家都知道如何去求，这样就能够证明题目的要求。
同时，学生在这一学习过程中能够发现斜棱柱竟然可以转化成直棱柱，这相对于严肃严谨的数学知识来说，无疑是非常有趣的现象。这样就能让学生发现数学的规律美，吸引学生发现数学有趣的地方，从而达到提高学生数学学习积极性的目的。
5结语
总而言之，在高中数学课堂实验教学中应用几何体，能够有效提高学生的课堂参与性，帮助学生发现数学的规律美，吸引学生探索数学的乐趣，提高学生的学习积极性。同时，详细系统的理论教学与几何体相结合的教学方式，能够将抽象复杂的概念知识生动直观地表现在几何体上，最大程度帮助学生理解掌握数学知识，提高数学立体几何教学的教学有效性。
参考文献
线上线下教学如何有效结合篇8
1.1有助于对代数概念的理解和认识
线性代数中出现很多抽象的、学生以往没有接触过的概念，充分理解和掌握这些概念的含义对学好后继课起着至关重要的作用。在课堂教学中，教师可以用几何概念引出抽象的代数概念或以几何概念为例阐述代数概念。这样，学生不会认为所学概念空洞、无味。事实上，线性代数中的很多概念是从空间解析几何中推广过来的，例如：n维向量，n维向量的夹角、距离，正交变换等。因此，线性代数的概念大多可以二维和三维空间为例来讲解，这样有助于学生了解概念存在的必要性，加深对概念的理解。
1.2有助于对代数知识的接受和掌握
在工科数学中，强调的是计算和应用，往往忽略严格的数学证明。对于没有给出证明的代数结论，学生往往怀疑它的正确性，进而，影响他们对代数理论的应用。为了避免此种情况的出现，以解析几何为例来简单地阐述代数结论的正确性。例如：线性方程组解的个数有三种情况，即无解，有无穷多解和有唯一解。课堂上教师很少严格去证明这个性质。但是，可以通过平面上一些直线的公共点及空间中一些平面的公共点的个数，自然地引出一般线性方程组解的个数。这样，学生不仅在一定程度上可以接受这个结论，而且对该结论有进一步的认识，便于他们对结论的掌握和应用。
1.3有助于将复杂的代数证明简单化
线性代数理论的论证往往是符号的一个严格的逻辑推理过程，这对于初学者来说有一定的难度。但有时可以用简单的几何图解论述抽象、复杂的代数理论，例如：三个向量共面的充要条件用几何图解即可证明。用几何方法证明代数问题，既能规避代数推理的逻辑性要求，又能使证明更加形象化和立体化，从而在增强学生学习兴趣的同时，让学生了解解析几何在线性代数中的作用，感知代数的数与几何的形的完美结合。
1.4有助于培养学生用代数方法处理几何问题的能力
线性代数的抽象性使学生在学习线性代数的过程中，经常问这样的问题：学这门课有什么用。对学过这门课的人来说，这已经不是个问题了。但是，对于初学者来说，特别是大一的学生，这是需要解决的问题。因此，在讲解完一个抽象的定理、命题后，尽可能多地介绍一些应用，特别是在解析几何方面的应用是必要的。以解析几何作为线性代数的应用实例，既可以帮助学生巩固已学的解析几何知识，理解新学的线性代数知识，又可以在应用中建立两门课知识间的联系，完善知识体系，将知识融会贯通。线性代数理论能够解决很多几何问题，如应用线性方程组的解的结构理论可研究平面的位置关系，直线和平面的位置关系；应用二次型理论可以解决二次曲面的分类问题。教师可以提供给学生这些实例，让学生学会用代数方法解决几何问题。
2.将解析几何融入线性代数教学中应注意的几个问题
2.1不能通过没学的或难于理解的知识讲解新知识
将解析几何融入到线性代数的教学中是目前普遍提倡的教学方法。但是，微积分和线性代数都是大学一年级的课，教师在使用解析几何知识的时候，一定要考虑学生在微积分中是否已经学到该知识点。如果通过学生还不了解的几何知识去讲解代数问题，那么不仅不利于学生对代数知识的理解和掌握，而且会影响学生对几何知识学习的兴趣。因此，教师授课前一定要了解学生当前的知识水平，根据学生实际情况，采用恰当的教学方法。
2.2教师对解析几何与线性代数的内在联系要有深入地理解
将解析几何融入到线性代数教学中需要一个重要的前提，就是要求教师对解析几何与线性代数的内在联系有深入地理解。在高等院校，大部分教师都有自己的专业，讲授线性代数课的教师不一定熟悉解析几何知识，因而不一定能准确地了解解析几何与线性代数的内在联系。在这种情况下，无法保障这种教学模式的有效实现，可以通过开放式课堂解决这个问题。在开放式课堂上，教师既可以通过学习解析几何知识，理解解析几何与线性代数的内在联系，又可以通过与有经验的教师交流实现教学效果的提升。
2.3教师要与时俱进，掌握新技术、新方法
解析几何是图形的科学，因此有直观性和形象性。为了更好地将解析几何的这种特性渗透到线性代数教学中，需要教师绘制图形以此阐述线性代数中定义、定理所要表达的含义。但是，一些立体几何的模型，在普通条件下难以实现，而利用多媒体技术可以形象、直观地将一些现象和性质显现出来。例如：二次曲面的命名是根据截面的形状给出的，如果让一个教师在课堂上手绘马鞍面，讲述截面形状，难度很大，而利用多媒体技术，可以很轻松地完成这个教学。这说明将解析几何融入到线性代数的教学中单靠传统教学方式是不够的，教师要与时俱进，掌握新技术、新方法，更有效地提高教学质量。
2.4有效地将解析几何与线性代数两门课程合并
解析几何与线性代数的内在关系，促使一些高校将两门课程融为一门新课——线性代数与解析几何。两门课程合并成一门课，会带来很多问题。例如：如何安排知识点的先后顺序；由于课时的限制，需要削减一部分教学内容，那么削减哪些内容；新课程是以线性代数为主还是以解析几何为主；新课程与后继课如何衔接等，这些问题都有待于教师在教学实践中积累经验并加以解决。
线上线下教学如何有效结合篇9
关键词：阅读材料；课堂教学的有效性；情境
《数学选修1-1》课本43页，有这样一段“信息技术应用”材料：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
对这节阅读材料的处理，我已经在2012年津河中学的对外开放日的教学展示中上过了观摩课，在这里，我把教学过程摘录下来。
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
问题：小时候下河捉过鱼吗？鱼好捉吗？为什么不好捉？
这节课我们一起用“几何画板”这个工具来捉一次会动的“点”，“点”飞入画面，导入课题：用几何画板探究点的轨迹。
二、感知几何画板展现的动态美（快速知识回顾，整体感知）
1.学生回顾椭圆、双曲线、抛物线的有关知识。
2.用几何画板展现椭圆、双曲线、抛物线的形成过程。
三、展现几何画板的动态美（交流探究，了解几何画板）
1.p42习题2.1a组第7题探究
圆o的半径为定长r，a是圆o内一个定点，p是圆上任意一点，线段ap的垂直平分线l和半径op相交于点Q，当点p在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
2.p54习题2.2a组第5题探究
圆o的半径为定长r，a是圆o外一个定点，p是圆上任意一点，线段ap的垂直平分线l和直线op相交于点Q，当点p在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
四、品味几何画板展现的动态美（揣摩品味，总结归纳）
通过观察离心率e的变化，运用几何画板展现曲线从抛物线逐渐变成椭圆、双曲线，体会圆锥曲线的统一定义。
五、追求几何画板展现的动态美（联系实际，拓展延伸）
1.p35例3探究
设点a、B的坐标分别为（-5，0）（5，0），直线am，Bm相交于点m，且它们的斜率之积是-，求点m的轨迹方程。
既给出了生成椭圆的另一种方法：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数，又能使学生体会椭圆几何特征的各种表现形式。
2.p48正文探究
设点a、B的坐标分别为（-5，0）（5，0），直线am，Bm相交于点m，且它们的斜率之积是，求点m的轨迹方程，并由点m的轨迹方程判断轨迹的形状。与上例比较，你有什么发现？
这是双曲线的另一种产生方法：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个正常数。
3.p34例2探究
在圆x2+y2=4上任取一点p，过点p作x轴的垂线段pD，D为垂足，当点p在圆上运动时，线段pD的中点m的轨迹是什么？
（1）引导学生体会利用中间变量求点的轨迹的方法；（2）一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆。
六、课堂小结
同学们，爱美之心，人皆有之。通过这节课的学习，我们体验了几何画板画图的动态美和通过几何画板体现用数形结合来研究图形的性质的数学思想。结合自己的学习，说说你最大的收获。
七、作业
p36练习：4，p64习题2.3B组1
线上线下教学如何有效结合篇10
一、利用几何画板动态作图计算，构建概念性质
在高中代数中，函数是最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个方面.数形结合思想是研究函数图象与性质的有力工具，正如著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在传统教学中，讲授指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图象与性质时，教师在黑板上手工绘图，费时费力，且所作图象不够精确，不能动态变换.不能留有更多的时间让学生由函数的图象自主分析、探究函数的性质，不利于培养学生的探究创新能力.而利用几何画板辅助教学，不仅作图快捷，大大提高了课堂教学效率，而且能动态作图，通过图象的动态变换和相关变量的动态计算，能很直观地得出函数的性质.如在讲函数y=asin（ωx+φ）（a，ω>0）的图象与性质时，用几何画板辅助教学，动态作图，形象直观，如图1所示，分别拖动点a，ω，p，随着参数a，ω，φ的改变，相应引起图象的振幅变换，周期变换，相位变换.例如在讲函数y=sinωx的图象与y=sinx的图象之间的关系这一难点时，在课件中单击显示y=sinωx与y=sinx的图象之间的关系按钮，并将其他无关图象隐藏，如图2所示，一条平行于x轴的直线分别交函数y=sinωx与y=sinx的图象于C，D两点，这两点纵坐标显然相等，通过度量计算，发现当我们上下拖动直线或拖动点ω改变ω的值，动态显示C点的横坐标始终等于D点横坐标的.从而非常直观明了地得出这两个函数图象间的关系，即函数y=sinωx的图象可以由y=sinx的图象上所有的点纵坐标不变，横坐标缩小或扩大到原来的得到.几何画板能够准确地、动态地表现几何问题，并能在动态变化中保持几何关系的不变性，所以在解析几何中教学椭圆、双曲线、抛物线的定义时，可以通过几何画板动态作图，帮助学生归纳构建出椭圆、双曲线、抛物线的定义，同时借助几何画板能很直观地得出圆锥曲线的相关性质.如要说明椭圆的离心率的大小刻画了椭圆的什么几何特征，可先借助几何画板构建椭圆，并计算出椭圆的离心率，通过直观演示，离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆.在此基础上，再引导学生进行推理分析，有助于理解椭圆的离心率这一抽象概念，突破教学难点.
二、利用几何画板分割拼补图形，推导证明定理
数学的公理、定理和公式是前人在总结知识、经验的基础上概括、总结、提炼出来的知识内容，在教学过程中往往很难调动起学生的积极性.在传统的教学中，我们根本无法为学生提供实践、实验的机会，这就剥夺了他们像数学家一样自己去探索、发现、归纳知识和定理的乐趣，也从某种程度上影响了他们对数学的学习兴趣.而使用几何画板来辅助数学公理、定理、公式的教学，可以很好地弥补这个不足.如在立体几何中，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性.而应用几何画板将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系清晰地显示出来，使学生从各个不同的角度去观察图形.这样不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥.如在推导锥体的体积公式时，可以用几何画板演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程，既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力.如图3，分别单击左合并和右合并按钮，三个三棱锥合并成一个三棱柱，分别单击左分离和右分离按钮，将三棱柱分割成三个三棱锥，其中左、右两个三棱锥等底等高，体积相等，中间一个与右边一个三棱锥也是等底等高，体积相等，所以三个三棱锥体积相等，都为三棱柱体积的三分之一，从而推导出棱锥的体积公式V=Sh.又如推导球的体积公式，如图4，用几何画板构造这样一个几何体，底面半径与高都等于球半径的圆柱中挖掉一个倒圆锥，将它与半球放在同一平面上，然后用平行于底面的同一平面去截这两个几何体，得到两个截面，一个是圆，一个是圆环.拖动点a，两个截面的面积同时改变，并通过度量计算，两者面积始终相等，根据祖原理，两者体积相等.在此基础上，结合图形推导出球的体积公式.显然用几何画板辅助教学，由于作图规范标准，且截面能上下同时动态变换，动态显示截面面积，有效地激发了学生的探索兴趣，帮助学生深刻理解用祖原理推导球的体积公式的思路与方法.
三、利用几何画板进行数学实验，探究发现结论
弗赖登塔尔认为数学教育方法的核心是学生的“再创造”.主张教师不必将各种规则、定律强行灌输给学生，而是应该创造合适的条件，让学生在实践的过程中，自己“再创造”出各种运算法则，或是发现各种定律知识.几何画板为我们提供了一个很好的“做数学”的环境，是培养创新能力的优秀认知平台.使用这个认知平台有利于学生经历数学发现的全过程，从实例出发利用几何画板进行实验发现规律提出猜想证明猜想.如笔者在一次研究课中，与学生一起探究了如下一道题：已知定点a（-1，0），F（2，0），定直线l∶x=，不在x轴上的动点p与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点p的轨迹为e，过点F的直线交e于B，C两点，直线aB，aC分别交l于点m，n.（Ⅰ）求e的方程；（Ⅱ）试判断以线段mn为直径的圆是否过点F，并说明理由.答案是（Ⅰ）e的方程为x2-=1（y≠0）.（Ⅱ）以线段mn为直径的圆经过点F.在完成解答后，我请学生仔细观察原题条件和解答过程，从中有何发现？很快就有学生回答，条件中的点a（-1，0），F（2，0）和直线l∶x=，恰是双曲线x2-=1的左顶点、右焦点和右准线.我进一步追问：你从这道题的解答中能得出什么结论？学生经同桌讨论后，归纳得出如下结论：过双曲线x2-=1右焦点的直线与双曲线交于B，C两点，a是左顶点，直线aB，aC分别交右准线于点m，n，则以线段mn为直径的圆经过右焦点.我接着追问，这个结论是双曲线x2-=1独有？还是对所有的双曲线均成立？在学生思考的基础上，引导他们借助几何画板一起进行实验探究.用几何画板构建如图5所示的图形，拖动a2或F2改变双曲线的开口大小，发现以线段mn为直径的圆恒过右焦点F2.
这时我进一步引导学生提出问题，若将左顶点a1改为双曲线上的任一点a，结论是否仍然成立呢？此时同学们兴趣高涨，踊跃尝试用几何画板进行实验探究，经验证结论仍然成立.由于圆锥曲线的许多性质往往具有一致性，所以很自然地猜想当曲线为椭圆或抛物线时也具有相同的性质，这时只需在上面的探究中拖动点a2到点F2的右边，双曲线变成了椭圆（如图6），结论仍然成立.对于抛物线同样可用几何画板进行验证.综上我们由几何画板通过对一道高考题的实验探究，得到了如下圆锥曲线的一个统一性质：设圆锥曲线e的一个焦点为F，相对应的准线为l，过焦点F的直线交圆锥曲线e于B，C两点，a是圆锥曲线e上的任一点，直线aB，aC分别与准线l交于m，n两点，则以线段mn为直径的圆必过焦点F.在数学教学中，我们若能注重运用几何画板这一动态几何平台，发现规律、印证猜想，这对锻炼和提高学生的探究创新能力无疑大有裨益.
四、利用几何画板进行模拟演示，启迪解题思路
数学的抽象性往往是困扰学生学习数学的一大障碍，如何变抽象为形象，也一直是数学学科与信息技术整合的主要内容之一.传统的静态作图无法模拟数学中的动态变化，很多时候仅凭想象往往会面临高度的抽象和可想而不可及的尴尬，甚至会出现由于想象的不严密而导致错误.几何画板强大的计算、作图功能为一些抽象的数学问题提供了直观验证的可能，成为帮助学生克服数学学习抽象性的有力工具，为解题指引了正确的前进方向.
例如图7，直角三角形aBC，∠a=60°，∠C=90°，aB=4，点a，B分别在射线y=0（x≥0），x=0（y≥0）上滑动，求当点B从原点o滑动到点D（0，4）的过程中，点C经过的路程.
本题的关键是“路程”两字.很多同学先求出点C的轨迹方程，得其轨迹是一条线段：y=x，≤x≤2，然后求出该线段的长度等于2，就作为点C经过的路程.也有的同学认为应该算出点B分别在起始位置原点o和最终位置点D处对应的点C的位置（3，）和（，1）之间的距离即可，算得答案2-2.实际上，以上两个答案都是错误的.造成错误的主要原因是学生只关注了点B从原点运动到D（0，4）的过程中点C所形成的最终轨迹，而忽略了形成这个轨迹的具体过程.事实上，从点B开始运动到结束，点C经历了一个往返的过程，因此以上两个答案并非点C经过的真正路程.那么点C到底经历了一个怎样的往返？其经过的路程究竟是多少？如何向学生讲清这一问题，静态的说明显得力不从心，动态、直观地模拟出点C运动的整个过程就显得格外重要.下面我们借助几何画板来构造出点C的轨迹，作点p（4，0），在线段op上任取一点a，构造以a为圆心，线段op为半径的圆，记a与y轴正半轴的交点为B，以点a为旋转中心，将线段aB顺时针旋转60°，得线段aB′，过点B作线段aB′的垂线，垂足为C，构造线段aC，BC，并将垂线和线段aB′隐藏，同时选中点a，C，选菜单命令构造轨迹得点C的轨迹，如图8所示.当点B与原点o重合时，点C在C1处，将点a向左移动时，点B向上移动，当aC与x轴垂直时，点C由C1移动到C2.继续将点a向左移动与原点o重合，此时点B与点D重合，点C由C2移动到C3，经几何画板动态演示可知，点C经过的路程为C1C2+C2C3=6-2.
五、利用几何画板进行深度迭代，诠释抽象定义