对数学建模的认识与总结篇1
【关键词】小学数学;数学模型思想;融入
在小学学习中数学是十分关键的基础性学科，由于其具有较强的逻辑性，很多学生在学习数学过程中较为困难。而在小学数学教学中融入数学模型思想，有利于学生认清数学的逻辑关系，解决学习过程中存在的难题，进一步提升学生数学的整体素质。
一、数学模型思想内涵
数学模型思想是指把现实生活中存在的问题成功转化为一些数学理论，通过学习的数学理论知识寻找实际量和数学理论量之间的复杂关系，并且对数学概念、定理和性质内容进行应用产生相应的数学模型，应用数学模型对实际问题进行解决的思路。
新课程改革要求对学生学习数学理论基础知识进行指导的基础上，还要加强指导学生的实践应用能力，培养学生产生优良的数学思维能力。而在小学数学教学过程中数学模型思想的应用，可以对学生采取模块引导，进一步提高他们的数学感知能力、数学符号概念、数学空间思维能力以及数学应用能力，帮助学生产生一个相对完整的数学知识结构，为小学生将来的数学学习以及成长打下基础，推动小学生综合发展。
二、小学数学教学中融入数学模型思想的意义
（一）积极培养学生利用数学的意识
教学建模问题来源于生活还要回归于生活，很明显，若将数学模型思想渗入到教学中，时间一长，学生就可以通过数学的眼光对待问题，发现实际生活中包含的大量数学建模问题，抽象的认为这些问题是数学问题，利用数学方法进行解决，进一步强化学生数学应用意识。
（二）有效提升学生的数学素养
数学素养是指人们利用数学教育以及自身的实践认知活动，进一步获得的数学知识、技术能力以及品德的素养。小学生的数学素养必须包括，基础数学知识、基本数学技能、通过数学思想与方法对问题积极解决、应用数学策略，以及对数字产生的感觉。数学建模过程要求学生开展观察、抽象、分析、选择等相关数学活动。很明显，数学建模过程可以培养学生的各个方面，具体包括掌握基本知识技能，以及一些思想和方法，还可以积累一定的经验。
（三）帮助学生培养学习数学的兴趣
首先需要对学生不喜欢数学的原因进行了解。学生本身的原因很大程度上是不理解为什么学习数学，学习目标较为模糊，再者便是教师的原因，目前还是由不少教师为了成绩，一味搞题海战术，强调学习知识与技能，忽略了学生的发展。再者便是家长的原因，他们的很多要求是学生无法达到的。此时学生就失去了学习兴趣。利用数学模型思想构建的教学可以帮助学生理解数学的应用性，明白数学学习的实用性，进一步提升学习兴趣。
三、小学数学教学中数学模型思想融入策略
（一）创立生活化数学模型
数学紧密联系着人们的生活，并且大量数学问题都体现出共性，因此，为了提升解决相同类型数学问题的效率，人们总结了一些数学模型，极大推动了人们的生产生活，因此，数学模型思想应用在小学数学模型中具有巨大意义。可是考虑到数学模型通常较为抽象，学习难度较大，所以，小学数学教学过程张，教师必须创立生活化教学模型，帮助学生了解与感知数学模型的作用。
例如，在讲解数学加减法时，为了帮助学生加深对加减法的认识，教师可以设计这样的例题：小明家栽了两颗苹果树，小明观察第一天一棵树上长了5朵紫花，另一棵树则长了8朵白花，提问：两棵树开的花一共有多少朵？列出计算公式：5+8=13朵，其中5代表紫花5朵，8代表白花8朵。小明第二天观察第一棵树又多了2朵紫花，接着问：两棵树的花朵一共有多少？列出公式：7+8=15朵，第三天，第一棵树又多了2朵紫花，提问：两棵树此时总共有多少花朵？列出公式：9+8=17朵。之后向学生提问其中有怎样的规律。
学生较为熟悉例题中涉及的场景，因此，十分认真的在听，最后教师可以总结例题。如此一来，教师利用建立生活化模型，在提升学生认知的前提下，培养学生的学习兴趣。
（二）帮助学生习惯建模
小学数学课堂教学中关键是指引学生习惯建模，经过教师的帮助，可以促使小学生养成很好的建模思想理念，有利于深入理解数学知识，并且利用数学知识对生活问题有效解决。例如：平行和相交这一教学课题，教师可以选择这样提问：在哪些情况下两条直线永远不会相交？充分调动学生的积极性，之后实行绘图、仔细观察，在校学生的思维中找到问题的答案，最后形成建模整体过程。
（三）利用教学实践培养学生的建模能力
小学数学教师必须重视实践指导，对学生的实践操作能力加强培养，数学教师可以利用开展室外有关活动完成有关的教学内容，在实践活动中可以帮助学生开拓眼界，更加踊跃的参加模型建设中，当处在实践活动中，一旦出现数学相关的问题，教师可以指导学生通过建立模型对问题有效解决，逐步产生数学建模思想，逐步学会利用建模习惯对数学问题有效解决。例如，在符合实践条件的情况下，数学教师可以带领学生进入商店，在商店寻找一些数学问题，例如计算价格以及统计问题等，教师科学指导学生建模，通过建模的思想对数学实际问题深刻认识，同时在解决问题的过程中极强理解数学知识，产生一个对数学问题有效解决的理论架构，对所学的知识科学运用，转变传统的机械学习方式，为小学生学习数学奠定基础，推动其健康的发展。
（四）设计相应的练习，运用模型
当成功对模型进行验证以后，课堂教学就会发展到模型应用环节。这时，学生已经比较深刻的认识到有关的模型概念，数学教师可以设计一些相应的练习，鼓励学生运用模型。例如轴对称图形这节课，首先，可以通过多媒体展示大量图形，使学生直接观察图片，让其判断该图形是否就是轴对称图形。这样的联系可以帮助学生加深认识模型，对学习的有关轴对称图形的知识进行了巩固。其次，可以鼓励学生亲自设计轴对称图形。这一突出了开放性和灵活性的练习，学生能够结合轴对称图形概念与特点，自行设计轴对称推行，准确运用数学模型。
四、结束语
总而言之，小学数学教学过程中数学模型思想的融入，有利于帮助学生深刻认识所学的数学知识，建立系统的数学知识结构。数学模型思想的融入方式并不单一的，需要数学教师不断进行研究，总结更加有效的融入策略，逐渐培养学生的建模能力。只有这样，学生才可以有效发展数学能力，在数学世界中尽情遨游。
参考文献：
[1]郭霞.在小学阶段进行数学建模的探索[J].中小学教育（小学版），2013，（3）
[2]季山红.谈对小学生数学建模思想的培养[J].语数外学习（小学版）.2014，（3）
对数学建模的认识与总结篇2
关键词：水文规划；系统性；定性；定量
现在科学的发展进入了新阶段；科学进步的动力从科学家个人的好奇、理想、努力，转变成由政府资助的大规模集体合作。科学发展与技术的发展，互相刺激、推动，形成几乎不可分的紧凑反馈关系。科学、技术以及社会之间出现了强大的互相影响，因此导致科技工作者在不同的层面的强烈竞争，以及对社会资源的全面需求和依赖。从科学发展的趋势中，我们可以看出，科学研究越来越复杂，这就要求我们系统性地看待问题，进而能将实际工作做的更合理，更有效。
水文规划是以水资源利用、调配为对象，在一定区域内为开发水资源、防治水患、保护生态系统、提高水资源综合利用效率而制定的总体措施计划与安排。其目的是合理评价、分配和调度水资源，支持经济社会发展，改善自然生态环境，以做到有计划的开发利用水资源，并达到水资源开发、经济社会发展及生态环境保护相互协调。所以，水文规划的综合性是很强的，是现代科研思想的一种体现。在这个水文规划的综合系统中，关键是水资源的开发和社会经济发展之间的定量问题以及如何对待生态环境的。对于此，本人有以下的看法；
1.水文规划系统中从定性到定量
对于水文规划这一门与国民经济有关的工作，它的难点就是在评价社会经济方面如定量的问题，即如何从定性的研究转化成定量的计算。而所谓“定性”，就是在我们认识和解决一个问题时，首先对它有一个感性认识。感性认识来自人从社会实践中感悟到的经验知识，是人接触到一个新鲜事物以后在大脑中形象思维的结果。当我们对这个事物的经验知识积累得多了，就可能对事物的整体形成一个初步的理论框架或体系。这个“定性”的认识是处理复杂问题的前提。有了这个正确的定性的理论框架，我们就可以用科学方法进行结构化处理，将一个高度复杂的非线性问题，逼近有序的结构化，然后利用现代数学设计数学模型。
数学模型的建立有以下几个步骤；（1）、了解问题的实际背景，明确建模的目的，收集掌握必要的数据资料。例如在实际的水文规划中，水资源量和质的计算和评估、水资源供需平衡分析与水量科学分配、社会发展规模以及经济结构调整与发展速度的确定等等项目。同时与水资源有关的社会发展资料、水文气象资料、地质资料、水资源开发利用资料以及地形地貌资料等。（2）、在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。（3）、在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构。对于模型的假设和结构的建立可以利用基本的数学模型和已有的研究实际课题的模型。例如基本数学工具模型：初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型。已有课题模型：人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型等。也可以在原有的基础上，结合实际情况建立新的模型。（4）、模型求解。在难以得出解析解时，可适当地借助计算机求出数值解。例如matlab、Lindo、Lingod等数学处理软件。（5）、模型的分析与检验。
实体信息（数据）——假设——建模——求解——验证——应用
（如果验证不符合实际，可以从新假设，接着进行。）
模型的设计及其计算过程是一种严密的数理推理，是反映人的逻辑思维的。当我们得出了精确计算结果，人的认识就豁然明确了，原来那种初步的、模糊不清的整体概念也因为有了各部分之间的量化关系而变得清晰，这就使人的认识达到了理性认识，就是“定性”到“定量”。
从实际的模型操作中，我们可以看出定性到定量的转化，实际上是把大量零星分散的定性认识、点滴的知识、甚至普通人的意见，都汇集成一个整体结构，达到定量的认识，是从不完整的定性认识到比较完整的定量，是定性到定量的一个飞跃。当然，一个方面的问题经过这种研究，有了大量积累，又会再次上升到整个方面的定性认识，达到更高层次的认识，形成认识的有一次飞跃，为总体的决策提供更好的依据。
由于这样的复杂的系统具有很大的开放性，所以我们不能像经典统计物理以及处理一些简单系统的方法那样来处理，我们必须用依靠宏观观察，解决一定时期的发展变化的方法。所以。任何一次解答都不可能是一劳永逸的，它只能管一定时期。过了一段时期，宏观情况变了，系统本身也会有些变化。因此，在实际的系统中，我们需要适时地根据新的宏观变化，对方法做新的调整，以便更好得实施。
2.水文规划系统中不可或缺的“定性”
水文规划与生态环境之间的联系不是通过定量问题可以解决的，这需要我们用战略的眼光来看待，需要战略指导思想，而所谓的战略指导思想就是指导战略规划的制定和实施的基本思路与观念，是整个战略谋划的灵魂。它包括战略理论、战略分析、战略判断、战略推理，直至形成战略思想、战略方针，是贯穿战略管理始终的战略思维过程，对确定战略目标、寻找战略重点和采取战略措施具有十分重要的意义。如今中国的发展已经发生了很大的转变，特别在十以后，着重提出了生态文明，强调必须按照生态文明建设战略部署，以落实最严格的水资源管理制度为抓手和切入点，抓紧确立“三条红线”，严格实行“四项制度”，从源头上扭转水环境恶化趋势，全面推进水生态文明建设。从中我们可以看出来，国家的发展不能着重强调以经济的定量增长为主要指标，而要将生态文明提到一定的战略高度。因此，在考虑具体的水文规划和生态环境之间的关系时，要以生态环境这个“定性”为指导思想，以它作为基本的原则，不能用定量的概念来衡量。而这些“定性”也就是像十指出的那样。首先，要严格实行用水总量控制和严格用水效率控制，维持河流生态流量和湖泊、水库、地下水合理水位，保障生态用水基本需求。其次，要从严核定水域纳污容量，加强入河湖排污口监督管理，建立水功能区水质达标评价体系，实施入河湖排污总量动态监控。最后，要深入推进水土保持生态建设，有效保护水土资源。
总之，在水文规划中，需要我们用系统的角度来看待，能很好地协调水文规划与经济规划、城市规划等的关系。在处理与国民经济发展的关系时，可采用定性到定量的数学模型，从而将其作为决策的一个依据。而在考虑与生态环境的关系时，可以重大的突出“定性”，站在更高的层次上去考虑问题，为全人类、国家以及子孙后代着想。这样，水文规划才能有效地发挥它的最大作用，为社会和人民作出长远的贡献。
参考文献
[1]《论系统工程》——钱学森；上海交通大学出版社
[2]《数学建模教程》——林军：科学出版社
作者简介
对数学建模的认识与总结篇3
【关键词】数学建模经济数学教学改革
随着我国经管学科的快速发展，数学作为经管专业的基础课受到越来越广泛的关注和重视，经管类专业对经济数学的要求也越来越高。但我国经济数学教育开展的时间还不长，过去的教学过于追求体系的完整、理论的完美和逻辑的严谨，忘记了数学“从何而来，又向何而去”的问题。同时，计算机正迅速渗入我们的生活，然而当前绝大多数数学教师对计算机的要求并不迫切，数学教育似乎是信息时代与世隔绝的“世外桃源”。尽管专家对计算机辅助教学报以很大的期望，但至今计算机在数学教改中远没有发挥应有的作用。因此，大学经济数学教学的改革势在必行，把数学建模的思想融入到经济数学的教学中，不仅能激发学生学习经济数学的兴趣，帮助学生理解和掌握教材中的定义、定理，而且可以培养学生应用经济数学的意识和提高其解决实际问题的能力。
一、数学建模及经济数学教学过程中存在的问题
数学建模就是在实验、观察和分析的基础上，对实际问题的主要方面做出合理的简化与假设；确定变量和参数；应用数学的语言和方法将实际问题形成一个明确的数学问题；用数学理论、方法对该问题求解析解或用数值计算方法、计算机编程求近似解；检验求解的结果是否符合实际，这样的过程的多次反复进行直到较好地解决问题，这就是数学建模的全过程。实际上，数学建模就是通过有目的地搜集数据资料，研究其固有的特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，经过抽象简化，建立起反映实际问题的数量关系的数学模型，然后运用数学的方法与技巧去分析和解决实际问题。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到社会各界的普遍重视，它已成为现代社会工作者必备的重要能力之一。
迄今为止，全国大学生数学建模竞赛已经进行了21届。历经20多年的发展，数学建模已经深入人心。但是，在经管类专业的授课过程中真正把数学建模思想融入到经济数学教学中的老师还不多。目前各高校经济数学教学中主要存在以下几个问题：在内容上，传统的经济数学教材仅仅是数学专业教材的简写本，部分教材更像一本习题解；在教学上，数学教学方式单一，越来越形式化，过于注重概念、定理的推导和证明、计算和解题的技巧，过分强调数学的逻辑性和严密性，使学生觉得数学相当抽象，从而对数学问题望而却步，感觉数学远离我们的世界和日常生活；在应用上，数学的应用停留在古典几何和物理上，忽视数学在经济和管理中的实际应用，导致学生认为数学没有用，自觉应用数学知识的意识淡薄，不利于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，且不能满足后续专业课学习的需要；在师资上，缺少一批懂得经济学和管理学知识的数学老师。这些问题导致了很多学生对数学的学习有一种错误的认识，觉得数学没有什么用处，再加上数学抽象难学，很多学生学数学只是为了应付考试，等考试结束了就什么都给忘了。认识上的错误必然使学生学习数学的兴趣下降，从而是一种被动的学习，这也直接导致现在大学经济数学考试中出现大批的挂科现象。即使那些数学成绩好的学生的认识也是片面的，他们中有相当一部分认真学习数学完全是为了拿奖学金和考研。然而，把数学建模思想引入到经济数学的教学过程中是解决这一系列问题的最好办法。
二、数学建模在经济数学中的作用
现代世界发展史证实了经济发展速度与经济数学建模的密切关系。经济数学建模促进经济学的发展；带来了生产效率的提高。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天，经济数学建模更是无处不在的。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统与客户进行商业谈判。一方面，数学建模可以让学生亲自去感受、理解知识产生、发展的过程，促进学生的职业探索能力培养。在高校中，数学建模课程的教学模式和教学理念一般都是：从问题出发组织教学，学生自己做的开放式的教学。另一方面，数学建模对培养学生观察力、想象力、逻辑思维能力以及分析、解决实际问题的能力起到很大的促进作用。二十多年来，以数学建模竞赛为主题的各种数学建模教学与研究活动已遍布全国各个高校，它在提高学生学习兴趣、激发学习主动性和提高获取知识的能力方面，在培养学生勇于克服困难的顽强毅力、扎实的工作精神和良好的协作能力方面，在培养学生应用知识的能力、创新能力和实践能力方面，都表现出了重要作用。
三、怎样在经济数学教学中融入数学建模思想
1.在绪论课中融入数学建模思想。爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师”，通过一次好的绪论课教学，可以使学生认识到经济数学的重要性和必要性，让学生了解所学知识的来龙去脉和历史渊源，有助于激发学生的求知欲，帮助学生顺利步入经济数学学习的殿堂。在讲经济数学的绪论课时，可以向学生简单介绍微积分的前期史，使学生了解到，微积分产生于17世纪，精密科学从当时的生产与社会生活中获得巨大动力；航海学引起了对天文学及光学的高度兴趣；造船学、机器制造与建筑，堤坝及运河的修建，导弹学及一般的军事问题等等，促进了力学的发展；天文学、力学及工业技术本身，又要对当时的数学作彻底的革命。当时科学面临的主要问题是：求曲线的切线；求变速运动的瞬时速度；求某种条件下的最大值或最小值；求不规则图形的面积、体积、弧长等等，这些问题需要研究变量的数学，而从古希腊继承下来的数学就是常量的数学，所以需要对当时的数学作彻底的革新，革新的旗帜是变量，有了变量数学才能研究动力与变化，才能适应新时期科学技术对数学的新要求，微积分正是在这样的历史条件下应运而生。
微积分的诞生并非单个人的功劳，它是由许多伟大的数学家经过漫长而曲折的奋斗过程而取得的成就。了解这一历史，学生将不仅可以获得真知灼见，还可以获得探寻科学真理的勇气，这对于克服学习数学和数学建模中可能遇到的困难是十分有帮助的。
2.在概念讲授中融入数学建模思想
数学中的概念本身就是从客观事物的数量关系中抽象出来的数学模型，它必然对应着某种实际原型，因此我们在导入它们时应尽可能选取一些学生熟悉的生活中的例子来还原现实情景背后的数学，使学生感到这些概念不是人为的硬性规定，而是与实际生活有密切联系的。
例如，在讲授导数概念时，可以建立如下两个经济模型：
（1）求产量为时的边际成本模型。
（2）求经济函数曲线在某点的切线的斜率。
经济管理中，常涉及经济函数的边际变化问题。例如设C（Q）为产量Q时的总成本函数，当产量改变Q时，总成本的该变量为CQ=C（Q+Q）-C（Q），而=表示产量由Q变为Q+Q时，总成本的变化与产量的变化的比率，即在区间[Q，Q+Q]上的总成本对产量的平均变化率。Q越小，该平均变化率越接近产量为Q时的瞬时变化率。
当Q0时，若总成本的平均变化率的极限存在，即
[lim][Q0]
存在，则该极限表示在产量为Q时总成本对产量的变化率，又称为产量为Q时的边际成本。
类似地，可以得到问题（2）的表达式；[lim][x0]
数学上把可归结为求函数值的改变量与自变量的改变量之商的极限，从这两个表达式的共同性，可以引入导数的定义。
3.在课外作业中融入数学建模思想。目前经济数学教材中的习题涉及应用方面的问题很少，即使有也是一些条件充分、答案确定的问题，这对培养学生的创新能力十分不利。为了弥补这一缺陷，教师可补充一些建模素材到习题中，不仅可丰富教学内容，又能使学生学习数学建模的全过程。
在作业中布置一些开放型的应用题，与经管学科相联系或从实际生活中采集来的开放型应用题，给学生以更大的思维空间，促进数学思想的进一步完善。通过完成作业，使学生感受到数学应用无处不在，这样，学生完成作业就不再是以“练”为主，而是以“做”为主，通过“做”来体验数学，认识数学，掌握数学建模的思想方法。例如，在学习“导数和微分”一章时，介绍过导数的概念以后，课后可以让学生根据搜集我国历年国民生产总值的数据，研究国民生产总值的变化率及其变化趋势，并引导学生为国民生产总值的变化率建立数学模型。
当然，经济数学课的中心内容并不是建立数学模型，我们只是通过数学建模增强学生的数学理论知识的应用意识，激发学生学习经济数学的兴趣。所以在选择数学模型时要注意因材施教，难度不能太大，要结合经管专业的特点，有生产、生活实际背景和较好的应用价值，使学生真正体会到数学的科学性和实用性，达到既有助于理解教学内容，又可以通过对实际问题的抽象、归纳、思考，用所学的数学知识解决问题的目的。所选的模型，还应具有浓厚的趣味性，使学生在趣味盎然的学习气氛之中体会到数学思想方法在实际问题中的应用，达到让学生了解数学来源于生活实际，又应用于生活实际之中，从而激发学生学好数学的决心，提高他们应用数学解决实际问题的能力。
4.丰富课外数学建模活动。课外活动是课内教学的延伸，我们充分拓展学生课外学习空间，使课内课外的学习相得益彰、相互促进。如举办校级大学生数学建模竞赛；顺应时代的进步和数学课程及数学建模竞赛的改革与发展，组织校级matLaB编程大赛。从而充分发挥学生的特长，促进学生对matLaB软件学习的积极性；在数学建模课程和数学建模竞赛培训的基础上，学校以数理实验室为平台经常开展数学建模活动等等。
5.如何引导学生建模。在经济数学教学过程中，教师要想方设法引导学生通过自己动手动脑，建立数学模型。例如：首先，为学生创设具体的思维场景。接着，教师根据学生的具体情况组织活动和数学实验，可以是个人探索，或分成小组来进行讨论，教师给出实验的要求，学生按照要求搜集整理相关的数据资料，建立数学模型。最后，是讨论与交流，这是培养合作精神的重要环节，通过发言、提问和总结等各种机会培养学生数学思维的条理性，同时这也是培养学生逻辑思维能力和语言表达能力的一个重要途径。
参考文献：
[1]姜启源.数学建模（第2版）[m].北京：高等教育出版社，2005.
对数学建模的认识与总结篇4
（贵州省盘县大山镇中学553500）
1研究背景
“一元二次方程”是北师大版九年级上册第二章的内容。本章课程老师们上后的感想为，思维严密，表面学起来简单，但考题较深。课堂教学缺乏内涵和思想，且有盲目增补教学内容和随意提高教学要求的现象。从教学活动中发现：教师们对数学内容的本质、内容的逻辑结构和思想方法结构、内容蕴涵的科学方法、理性思维过程和价值观资源认识模糊，从而导致教学缺乏内涵和思想。基于这种事实，我们在区域性教研活动中进行了一次以“一元二次方程”为载体的教学分析与决策的教研活动。活动经历了“教学分析教学决策实践验证修改完善”的过程。我认为《“一元二次方程”教学分析与决策》，不但有助于教师明确“一元二次方程”的内涵和思想，而且对帮助教师学会科学的教学分析的方法和提高有效的教学决策的能力会产生积极的影响。
2教学分析
2.1内容及其解析。
内容：“一元二次方程”主要讲下列几方面的内容：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解法及应用。内容的逻辑结构及思想方法结构的概括如下图。
解析：“一元二次方程”是在学生学习了“一元一次方程”、“二元一次方程（组）”，方式方程的基础上，为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出来的，是体会方程思想是刻画现实世界的一个有效的数学模型的继续。一元二次方程概念与方程概念的联系方式是“类属关系”，一元二次方程概念与一元一次方程和二元一次方程（组）概念的联系方式是“并列结合关系”，一元二次方程概念与有关现实问题的数学模型的联系方式是“总括关系”。内容的数学本质是：研究现实世界数量的相等关系及研究相等关系的方法和观念。内容的核心目标是：体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。内容蕴涵着方程思想、类比思想、观察与比较方法、抽象表示方法等对发展学生的智力会产生积极的影响；内容蕴涵的理性思维过程对发展学生的概括能力和类比能力、丰富学生转化、类比、反思等数学活动经验、形成多边思维学习状态等有积极作用；内容能结合现实中的问题，对增强学生的方程意识和懂得数学的价值也有重要作用。
重点：一元二次方程的涵义及表示，特别是体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2.2教学问题诊断。
认知特点：一元二次方程是特殊的方程，概念学习是下位学习，思维形式是演绎。一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程（组），方式方程既有联系又有区别，如果按这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是并列结合学习，思维形式是类比。但一元二次方程是现实问题的数学模型，如果按这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是上位学习，思维形式是归纳。
认知基础：如果采用下位学习的形式，学生需要知道方程概念和具有演绎的能力；如果采用并列结合学习的形式，学生需要知道一元一次方程和二元一次方程的概念，需要具有一定的类比能力；如果采用上位学习的形式，学生需要具有现实问题转化为数学问题的符号化经验和观察、比较、概括、类比的经验。
认知障碍：用上位学习的形式概括一元二次方程的概念，尽管学生认知结构中有相应的知识与新知识有联系，但需要经历实际问题转化为数学模型的“数学化”过程，一部分学生“数学化”能力弱，可能会遇到困难；需要经历特殊到一般的理性思维的过程，一部分学生理性思维能力弱，可能很难渡过“抽象”这一关。用并列结合学习概括一元二次方程的一般形式，需要经历特殊到特殊的类比推理的过程，一部分学生类比推理能力弱，可能会遇到困难。学生普遍对运算符号和性质符号理解不清，在求二次项系数、一次项系数、常数项时可能会出现错误。
教学难点：设未知数，列方程；一元二次方程和一元二次方程一般形式特点及应用。
2.3学法指导分析
（1）这章教学的创新点之一是选择合适的教学结构。根据一元二次方程知识的逻辑结构及隐含在知识背后的思想方法结构，这章有以下三种教学结构可供选择：
1）回顾方程概念演绎得出一元二次方程特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种接受式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“类属关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“类属关系”），且教学效率较高。但纯数学操作，不利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。尽管这种方式有利于发展学生的逻辑推理能力，但不利于发展学生的合情推理能力。目前学生合情推理能力比较弱，且这种课的数学本质是体会方程思想。因此，这种方式不利于学生和谐发展。
2）呈现若干实际问题用方程思想建立数学模型概括得出一元二次方程特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种发现式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“总括关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“总括关系”），有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，有利于发展学生符号化能力和概括能力，且合适的情景有利于激发学生的学习情趣。但这种教学方式过程缓慢，会对按时完成教学任务带来挑战。
3）呈现有意义的实际问题用方程思想建立数学模型用数学方法解决实际问题反思、提炼数学模型的特点类比给出一元二次方程概念类比给出一元二次方程的一般形式概念的应用、辨析与建构。这种“问题驱动”的方法，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“总括关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“总括关系”）。其优点是：能使学生经历用一元二次方程解决实际问题的全过程，有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，且有能力发展点、个性和创新精神培养点。其缺点是：“一个例子打天下”缺乏概括基础，同样存在学习过程缓慢的问题。
这就是说，第二种教学方式，不但符合认知同化理论，而且最能反映数学的本质和最有利于学生认知发展。
（2）这章教学的创新点之二是选择合适的教学例题。①为有利于学生体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，课本提供了三个现实问题：第一个是长方形花边问题；第二个是海洋航行问题；第三个是销售问题。从实际问题到数学模型，再从数学模型到一元二次方程的特征，是学生认识一元二次方程概念的第一次飞跃；通过对概念的应用、辨析与建构——沟通知识之间的内在联结与变式活动，使学生多方位丰富完善概念，区分、评价此概念与彼概念，明确概念的本质属性和非本质属性，使概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中，是学生认识一元二次方程概念的第二次飞跃。这就是说，需要教师再次开发教材，使教学内容具有个性化并满足实现教学目标的需要。
（3）这章教学的创新点之三是选择合适的教学方法。从现实问题到数学模型，需要经历“数学化”的过程，部分学生“数学化”能力弱，需要教师在理解数学和了解学生的基础上，根据“最近发展区”理论提供合适的感性材料，并用“暗示”的方法激活学生已有的知识与经验及激发学生的学习情趣。从数学模型到一元二次方程的特点，需要经历反省、内化和概括的过程，部分学生理性思维能力弱，需要教师用合适的“问题清单”驱动学生的思维，帮助学生渡过“抽象”难关。从一元二次方程的特点到一元二次方程特点的形式化表达，需要经历用简练的文字形式和符号表示的过程，需要教师用“点拨”的艺术激活学生数学表示的经验，帮助学生仿效。从一元二次方程特点的形式化表达到一元二次方程概念的建构，需要经历概念的应用、辨析与建构的过程，需要教师提供概念的应用、辨析与建构的合适的“问题清单”，并运用“独立学习”、讨论、积极的认知干预等指导艺术，帮助学生实现概念建构和发展认知。
这就是说，根据学习内容的特点，这章宜采用发现性学习与有意义的接受性学习相结合的方法。在学习过程中，教师需采用“独立学习”、讨论、“暗示”、点拨、积极的认知干预等指导艺术。
2.4教学决策：
建模的数学本质是：研究现实世界数量的相等关系及研究相等关系的方法和观念。“一元二次方程的应用”是在学生学习了“一元一次方程的应用”、“二元一次方程（组）的应用”基础上，为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出来的。
解析：“一元二次方程的应用”是体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型的继续。建模的核心目标是：体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。建模过程中蕴涵的重要思想方法有：方程思想、类比思想、数学化方法、观察法、比较法、抽象表示法等。这些过程对发展学生的概括能力和类比能力、丰富学生的数学经验、形成多向思维等有积极作用；建模学习内容需要结合现实中的问题，因而对增强学生的方程意识和懂得数学的应用价值也有重要作用。
过程及方法：
列一元二次方程解应用题的一般步骤是：
（1）审题。分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系。
（2）设未知数。一般采取直接设法，有的要间接设。
（3）列出方程。要注意方程两边的数量相等．方程两边的代数式的单位相同。
（4）解方程。应注意一元二次方程的解，方程的解既要符合该一元二次方程，也要符合应用题的实际情况。因此，解出方程的根后，一定要进行双方面的检验。
2.5研究反思：
教学分析是准确定位的需要，是确定有效教学策略的需要，是不该被遗忘的教学起点。教学分析有利于明确内容的逻辑结构和思想方法结构，有利于明确内容的背景、新旧知识的联系方式、内容的本质特征、内容蕴涵的科学方法、理性思维过程和价值观资源，从而能使教学“立意”更高，内在逻辑线索更明显，目标定位更准确；教学分析有利于明确新知识的“生长点”、学生学习新知识的认知特点、学生学习新知识的主要障碍，从而能选择更合适的实现目标的策略；教学分析有利于明确实现目标所需要的合适载体，从而能更好地开发和利用教学资源并处理教学内容，使组织的教学内容更具有针对性，更能激发学生的学习兴趣；教学分析有利于明确内容呈现的各种可行方式，从而能使教学方式经历“多选一”的优化过程，并有可能在优势互补的基础上作出创新，使数学教学更符合数学发展规律和学生学习数学的认知规律；教学分析有利于明确实现目标所需要的学习方法，从而能使学法指导更科学，教学更有效。
参考文献
对数学建模的认识与总结篇5
在引导学生学习导数时，教师如果直接给出导数的概念公式，部分学生不能从抽象的知识直接理解导数的概念．教师要想引导学生理解他们从来没有听过的概念，可以从学生已知的概念出发，让学生思考导数知识．例如，教师可以从以上古人的思索开始，让学生理解无穷大与无穷小的例子，引导学生用函数的方法表示无穷大与无穷小的思想．通过教师从直观思维到抽象思维的引导，学生就能理解无穷大与无穷小的含义，同时建立初步的导数思想．
二、引导计算
在引导学生做数学计算时，有些教师认为数学计算的意义就是学生会做数学题，即自己完成教学任务．然而，如果学生没有深化概念的含义，在做数学题时会弄错概念，在计算时弄错计算的方向．因此，在引导学生计算时，教师要引导学生理解概念知识．例如，在学生已经理解无穷大与无穷小的概念，并能用函数的方法表达以上两个概念时，教师可以引导学生深入思考两个无穷小相加，怎么计算?所得结果会比一个无穷小大吗?两个无穷小相乘的结果是什么?它比一个无穷小的结果更大吗?使学生深入理解无穷小的意义．教师引导学生继续思考:两个无穷大相加的结果呢?两个无穷大相乘的结果呢?学生在无穷大、无穷小的计算和证明中将具象化的知识学为抽象化的理解．通过计算，学生能深化导数各个概念之间的认识，此时学生对导数的理解已经不再是模糊的感性认识，而是条理清晰的抽象认知．
三、引导应用
在传统导数教学中，教师引导学生应用导数的计算公式的方法只是为了学生会做题，对教师而言，学生只要会做数学题就完成教学任务．教师以这种方式引导学生学习，学生会出现以下的问题:学生常常会出现知道应该怎么做题，做题时常常犯错，教师通过讲解引导学生正确做题，学生再次做类似的题时还是犯同样的错，教师的教学效率也难以得到保证．学生做题时反复犯同样的错，是由于教师的教学思路出现偏差，教师引导学生做数学题，应当是为了学生思考和总结题目中的规律．例如，求limx→12x－3x2－5x+4，教师要引导学生思考如下问题:
(1)逻辑思维的分析方法．学生看到该道数学题，要从逻辑的思路思考:它给出哪些已知条件，自己需要得出什么未知的结果．如果学生不能逻辑地分析方法，学生拿到题目只会感觉很茫然．
(2)数形结合的思想方法．该道数学题可以将导学用座标图的方式表达出来，学生可以直观地看到该题是一道涉及界限的问题，它需要求出该函数表达式的界限．
(3)简化思路的计算方法．在函数计算中，有些学生常常用计算的方法、曲折的道路证明问题，或者面对几何图形不知道如何证明．学生如果意识到数形结合的问题，就应当时时拥有函数、几何、坐标是一体的认知，在计算时，要根据已知条件判断哪种方式最便于计算就优先使用该种计算方式的思路．教师要引导学生一边做题一边总结规律，然后将总结的规律应用到其他的数学问题中．当学生能自己通过做题慢慢总结出知识的规律时，学生已经完成数学建模思想．
四、总结
对数学建模的认识与总结篇6
【关键词】小学生数学；数学建模；教学策略
在教学过程中，“数学建模”是数学思考方法之一，是数学语言与数学方法的运用，经过抽象，简化构建，可解决实际问题的有效教学手段。简而言之，数学建模，即利用数学语言对现实现象的描述过程。其中，现实现象，包含了具体的自然现象，也包括抽象性现象。在小学数学教学中，开展数学建模教学，对学生数学能力的提高有着极大的帮助。笔者结合教学实践，提出了如下几种数学建模的教学策略。
一、预设问题策略
在数学教学过程中，问题是激活学生思维的重要媒介，可激发学生求知欲，点燃学生智慧火花。在小学数学建模教学中，教师预设问题时，需要考虑学生认知水平，需联系新旧知识与新旧方法，结合学生生活经验，以引发学生认知冲突，观念冲突，从而唤起学生探究激情。第一、注意主体性。在预设问题时，教师不但要考虑问题本身，还需要注意提问过程中学生是否积极参与。当同学们积极参与到提问过程中，他们才可以感受数学，才会有学习兴趣，才能为他们发现问题、探究问题、分析与解决问题做好铺垫。在选取问题时，教师既要顾及到学生个体，也需考量学生合作，从而培养学生合作意识，让学生形成独立思考的良好学习习惯；第二、注意典型性。在小学数学模型教学中，教师所展现的问题模型应具有典型性、代表性，可准确体现出教学内容；第三、把握实践性。在选取素材时，教师应将教学与学生生活紧密结合，以诱导学生实践操作、认真观察、想象猜测、积极思考，同时，可让学生在学习活动中把握资料收集、问题分析与解决之法。
如教学《抽屉原理》时，教师可提出问题：①将4只钢笔放入3个文具盒中，不论如何放，总会有一个文具盒中最少有2支钢笔，请说明原因？②在2个抽屉中放进5本书，有几种放置方法？你们有何想法，有何发现？然后教师可让进行模型假设，展开活动实践：将4支钢笔放入3个文具盒中。教师可将前后四名学生组成一小组，凑3个文具盒与4支笔，动手实践看有几种放法。在学生操作过程中，教师需巡视，最后学生汇报实践结果。这样，通过问题，让学生以数学语言来描述实际问题，通过实践，让学生感受数学模型，初步了解“抽屉原理”。
二、构建模型策略
构建模型策略，是数学建模教学有效策略之一。在实施这一策略时，教师需要注意如下几点。
第一、合作性。在新知学习过程中，学生需要独立思考，这样，才可有更深刻的思维，具有独创性。同时，也需要合作学习，这是生生对自己独立思考与问题结论的相互交流、分享。在小组交流、讨论后，教师可引导学生进行总结归纳，并选出代表汇报学习成果。接着教师予以评价、点拨。
第二、合理性。在小学数学建模教学中，教师应重视学生的合理假设、猜想与归纳数学思想方法的运用，而不是过于侧重演绎、推导过程中的严密性。在知识学习过程中，思维方式是沟通知识与能力的关键桥梁。但是，学生思维习惯与建模思维方式有着很大的不同。所以，教师需要注意分析建模的思维过程。揭示出建模的形成、发展与应用过程，发掘其中所含的思维训练要素，并概括出建模中的数学思想方法，以启发学生思维，提高学生数学能力。
第三、渐进性。在建模教学中，教师应充分关注学生认知水平，把握教学的渐进性，逐层递进，让学生思维逐步发散，使其学会思考，学会以数学语言来表述实际问题，体会到数学的学习乐趣。这就需要教师在教学之前弄清知识形成发展过程，并将数学建模呈现于学生面前，使其直观地感知到知识的形成与发展过程，认识到其现实价值与意义。如学习《抽屉原理》时，教师可引导学生对一些实际问题构建抽屉原理模型。如鸽子飞入5个鸽舍，最少有2只鸽子回到同一鸽舍，那么8只鸽子飞入到5个鸽舍，那么总有一鸽舍最少有几只？若9只或10只呢？这样，通过追问，可逐步培养学生类推能力，让学生深刻理解数学模型。经过分析发生可发现其中的规律，可将抽屉原理模型简化。同时，教师可通过有余数的除法的思想，帮助学生理解抽屉原理的数学形式。
对数学建模的认识与总结篇7
建模思想小学数学教学应用一、建模思想简述
要把建模思想应用到小学数学教学中，首先要解决的就是什么是数学建模。所谓的数学建模，就是利用数学模型对现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实状态或者能预测对象的未来状态，或者能提供对象的最优决策或控制。在这里，数学模型被看成是一个能够实现某个特定目标的有用工具。从本质上说，数学模型是一个以“系统”概念为基础的，关于现实世界的一小部分或几个方面抽象的“映像”。也有人说，所谓的数学模型就是应用数学的艺术。
二、将建模思想应用到小学数学教学中的策略
接下来根据建模思想的内容以及小学数学教学的实践经验，简单地介绍一下将建模思想应用到小学数学教学中的方法，主要有以下三点：
1.感知积累表象，学习铺垫进行思想渗透
要建模，首先就要对想要进行建模的对象有一定的感知基础，找出事物之间的共性，并根据他们的共性进行数学建模。教师应该充分提供有利条件，锻炼学生的感知能力，为学生感知事物的共性创造可能，进而为准确地建立数学模型提供必要的前提。教师们在教学的过程中也要注意新旧知识的联系，应用旧的知识为新的知识的学习进行铺垫，进一步降低数学知识的抽象程度，使得学生更容易掌握新的知识。例如在认识分数的时候，教师可以运用不同的模型去引导学生，如把绳子平均断成几段，平均分苹果等，也可以采用涂方格等方法，从不同的角度运用不同的模型对学生进行引导，并且引导学生找到这些不同模型的共同点，这样做可以帮助学生积累足够的表象，从而提高感知程度，寻找不同模型的共性，加深学生对分数的理解和认识，帮助他们更好地学习数学。
2.认识事物的本质问题，应用建模思想建模
建模的思想与过程并不是独立在数学教学之外的，他和数学的教学过程是紧密相连的。数学建模，是帮助认识事物、学习数学的一个工具，是运用数学建模思想建立数学模型并且来解决数学难题的一个过程。所以要将他和数学教学组成一个有机的整体，教学过程中不仅要帮助学生完成建模，更要带领学生认识到数学建模的本质，领悟到数学建模思想的真谛，传授建模思想并逐渐引导学生使用数学建模，更加容易地解决数学学习过程中遇到的问题，帮助学生更好地学习数学知识，提高对数学学习的兴趣，锻炼学生解决数学问题的能力。例如，在学习平行线的过程中，如果仅仅使用五线谱、双杠、斑马线等一些素材，而没有透过现象看本质，就失去了意义。教师在教学过程中可以提出问题，平行线为什么不能相交，然后让学生动手测量两条平行线之间的垂直距离。经过这样的一系列过程，学生就可以自主构建起关于平行线的模型，认识到了平行线的本质内容，达到了教学的目的。
3.优化建模过程，对建模进行外部拓展
教师在教学过程中教材是必不可少的工具之一。教师在教学的过程中要充分利用教材，小学课本上有很多生动的实例，这些实例都是和教学主题相关度很高、很典型的实例，并且这些实例贴近生活，而且在小学生接受的范围之内。由这些事例可以引申出很多的数学模型供在教学中使用。对教材要进行深度的把握，充分挖掘教材在建模上的作用。例如，在学习加减法的时候，教材上会有很多关于数小鸡小鸭的例题，其实这些实例本身就是很好的数学模型，在教学中，教师可以使用数手指，数班级人数等的方式来建立数学模型，这样的数学模型更加贴近生活，更加贴近教材，更加容易被小学生接受，并且这样建立数学模型可以提高学生的参与程度，提高他们的学习兴趣，对于数学模型的理解也更加深刻。
三、结语
总之，数学建模思想是非常重要的一种数学教学思想，它的应用之广，效率之高，就可以反映出来它的重要性。运用数学建模思想进行教学，目前的发展还不是很成熟，需要广大教师的共同努力，在不断地进行教学实践过程中进行经验总结。随着社会的不断发展，人们对数学的认识肯定是越来越成熟，建模思想在数学研究上发挥的作用肯定越来越大。在小学数学教学中不断地渗透数学建模思想，是符合时代的要求和数学发展模式的要求的。伴随着它不断地成熟，数学建模思想会在数学发展史上留下辉煌的足迹。
参考文献：
对数学建模的认识与总结篇8
【关键词】数学思维数学思维障碍突破方法
思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。所谓高中学生数学思维，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对高中数学知识本质和规律的认识能力。高中数学的数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋：“唉，我怎么会想不到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时候，学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。因此，研究高中学生的数学思维障碍对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。
1.高中学生数学思维障碍的形成原因
根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。
所谓的教学模式，是在一定教学思想、教育理论的指导下，教学活动诸要素依据一定教学目标、教学内容及学生认识特点，所形成的一种稳定而又简约化的教学结构。也就是按照什么样的教育思想、理论来组织你的教学活动进程，它是教育思想、教学理论、学习理论的集中体现。教学结构的改变必然会触动教育思想、教学观念、教与学的理论等根本性的问题，可见，教学模式的改革是深层次的改革。
2.高中数学自主探究式教学模式的理论构思
我们已初步构建了将现代信息技术与高中数学课程加以整合，以培养学生的数学创新意识、创新精神、创新能力和解决实际问题的能力为宗旨，以数学实验为主要教学方法，以学生自我评价为主要评价方式的，以学生为主体、以教师为主导、以学生自主探究为主线的，以建构主义“学与教”理论和认知工具理论为主要理论依据的，基于校园网网络环境下的以自主学习为核心的“自主探究式”高中数学课堂教学模式：创设情境——提出问题——自主探索——网上协作——网上测试——课堂小结。
3.高中数学自主探究式教学模式的理论基础
高中数学自主探究式教学模式以建构主义“学与教”理论、建构主义“学习环境”理论、建构主义“认知工具”理论为主要理论依据。
建构主义“学与教”理论强调以学生为中心，要求学生由外部刺激的被动接受者和知识的灌输对象转变为信息加工的主体、知识意义的主动建构者，建构主义的教学理论则要求教师要由知识的传授者、灌输者转变为学生主动建构意义的帮助者、促进者；要求教师应在教学过程中采用全新的教育思想与教学结构(彻底摒弃以教师为中心、强调知识传授、把学生当作知识灌输对象的传统教育思想与教学结构)、全新的教学方法和全新的教学设计。
建构主义“学习环境”理论认为，学习者的知识是在一定情境下，借助于他人的帮助，如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等，通过意义的建构而获得的。
对数学建模的认识与总结篇9
关键词：中职数学教学建模学习实施构想具体实践应用能力
一、问题的提出
对于中职学生而言，学习数学的主要目的是利用所学的数学知识去解决生产和生活中所遇到的问题，而应用的关键是数学应用能力的培养。现行的中职数学课程多是“掐头去尾烧中段”，也就是说数学主要着眼于内部的理论结构和它们之间的逻辑关系，着重训练学生的逻辑思维能力，而没有着重讨论和训练如何从实际问题中提炼出数学问题，到头来还是不会解决实际问题。没有充分的有意识的训练，学生的应用意识是不会形成和提高的。数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，也是连接应用问题与发展学生数学应用意识的纽带。如果学生能将与所学数学知识相关的实际问题自觉模型化，就说明学生的数学应用意识和应用能力很强了。根据长期的教学实践，我认为开展数学建模学习能够有效培养中职学生的数学应用能力。
二、中职数学教学开展建模活动的实施构想
第一阶段（一年级实施）：结合教材，以应用题为突破口，培养学生运用数学建模方法的意识，以简单建模为主要目标。例如：暑假考虑全家外出旅游，找两家旅行社联系，甲社的收费标准为：家长一人购全票，其余成员全部可购半票；乙社的收费标准为：家庭旅行按团体票优惠，照标价的三分之二计算。已知旅行社的原价是一样的，试就家庭成员的多少分析哪家旅行社更实惠。本题解法其实很简单，只不过要将现实世界的问题经简化转换成现实模型，然后翻译成数学模型，再采用数学方法和计算工具求解模型，接着将此解翻译成实际问题的解，最后分析此解是否符合实际，是否需要修改、深化、拓展等。经过这样一段时间训练之后，学生的建模能力将逐渐提高，同时运用数学知识解决实际问题的兴趣也会逐渐提高，享受到数学学习的乐趣，增强学好数学建模的信心。但要注意的是由于刚开始接触这一新的思想方法，因此选取的例子要贴近教材内容，要考虑到中职生的数学基础，贴近学生的认知水平，贴近学生的生活实际，涉及的专业知识不能太多，且要易于理解。此阶段的重点是站在提高学生素质的高度，把渗透数学建模的意识作为首要任务，并注重培养学生的阅读理解能力和数学语言的转换能力。同时，此阶段师生共同讨论，分析寻找等量关系或函数关系，将实际问题数学化，本阶段主要是落实简单建模的教学目标。
第二阶段（二年级实施）：安排与教材内容有关的典型案例，落实典型案例教学目标，让学生初步掌握建模的常用方法。到了中职二年级阶段，学生所学知识逐渐增多，教师应结合教材内容精心挑选典型案例，有计划地让学生参与建模过程。例如：某零售商店对甲商品的需求量为每天一个单位，而前置时间（订货至到货的时间）是两天。如果甲商品成本为每单位500元，存货1单位每年的存贮费为成本的20%，每次订货所付订货费为20元。（1）决策S：每2天订货一次，每次订货2个单位；决策：S每20天订货一次，每次订货20个单位。试比较哪种决策为优?（2）能否找出更好的订货决策?在解决这类决策问题时可适宜介绍数学建模方法，以激发学生进一步学好数学的热情，拓宽学生视野，接触更多的社会知识和科学知识。此阶段主要落实典型案例教学目标。为此，教师应该改变传统教学方式，精心指导学生自己独立完成，然后由学生汇报并写报告，使他们能对经过提炼加工、忽略了次要因素保留下来的诸因素之间的数量关系比较清楚的实际问题，构建其数学模型。
第三阶段（三年级实施）：由于中职三年级不再开设数学课，在此阶段数学建模的学习主要以讲座和专题活动的形式开展。此阶段重点培养学生的对各种能力的综合应用，它涉及文字理解能力，对实际的熟悉程度，对相关知识的掌握程度，良好的心理素质，创新精神和创造能力，以及观察、分析、综合、比较、概括等各种科学思维方法的综合应用。为此，师生应组成“共同体”，在活动时结合中职生的实际情况，以建模为核心，在老师的点拨指导下，以小组为单位开展建模活动，同时为提高学生独立工作和相互合作的能力，小组成员最好是优、良、中、差均衡搭配，并轮流担任组长负责召集、记录和写报告，然后师生共同讨论评定并总结，教师重点在科学的思维方法上给予点拨和总结。此时，有关课题可由教师提供，亦可由学生提供，并可让学生去实践，增强应用意识和经济观念，增长生活、生产知识，提高学生的应用能力和创新能力，为今后的工作和就业做好准备。比如下文具体举例阐述的投资方案选择研究课题。
三、开展建模学习的具体实践
数学应用和建模应与平时的数学教学有机结合，把应用和数学课内知识的学习更好地结合起来。这样的结合可以向两个方向发展，一是向“源”的方向展开，即教师应特别注意向学生介绍知识产生、发展的背景；二是向“流”的方向深入，即教师要引导学生了解知识的功能，以及在实际生活中的应用，了解数学应用、数学建模与学生现实所学知识的切入点，引导学生在学中用，在用中学。在每学完一单元有关数学知识后，应安排该单元知识的应用专题，重点是渗透数学建模思想，提高学生的创新意识和化归等能力。根据大纲要求和现行教材内容，主要有：函数的应用，等差数列和等比数列的应用，不等式的应用，线性规划的应用，排列与组合和概率统计应用，导数的应用，等等。此外，结合时展的特点，涉及现代生活的经济统计图表（识别、分析、绘制），矩阵对策，股票、发行模型，风险决策，市场预测，存贮原理，供求模型，就业与失业，广告与税款，等等，亦可以专题讲座等形式向学生作介绍，以适应时展的要求。在此基础上，应对上述内容结合专业需要，对其建模的主要类型进行化归，以适应教学的需要，减轻学生负担。
比如建立或化归为函数模型，可以选择现实生活中普遍存在着最优化问题――最佳投资、最小成本等，归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。
例如，我对财会专业三年级学生提出投资方案选择研究课题：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问：你会选择哪种投资方案？
1.分析问题，激发思考。
学生已经在初中学过一次函数、二次函数，在前面两年又学习了指数函数、对数函数及幂函数，对函数的知识已有一定的认识。虽然在前面已初步了解了指数函数、对数函数及幂函数的概念及其基本性质，本课题的内容只是对这些知识进行实际应用。但是在解决实际问题时，学生经常会面临着如何选择恰当的函数模型来刻画一个实际问题，这对学生来说不是轻易能做到的。多数学生选择方案三，我反问：“一定是这样吗？”学生陷入沉思，引起不同的思考。我引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述，鼓励学生猜想，更引导学生确认，进而提出用数学方法解决该问题――建立相应的函数模型。
2.建立模型，求解作答。
解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元；y=40（x∈n）
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；y=10x（x∈n）
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方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番；y=0.4×2（x∈n）
提供备选方案：
（1）投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优，比较三种方案每天回报量。
（2）比较三种方案一段时间内的总回报量，哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
师生合作：利用计算工具列出三种投资方案对应的表格。
引导学生观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流。
引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线上升”、“指数爆炸”等。
根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。
利用几何画板画出上述三种函数的图像。
引导学生利用函数图像分析三种方案的不同变化趋势。学生对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据。
累积回报表
学生往往是将每天的回报量当作选择的依据，因此会得出错误的结论，需要修正。我引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要作出正确选择，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息作出推理判断，获得累计收益并给出本题的完整解答，然后全班进行交流。
3.修正错误，完善结论。
从每天的回报量来看：第1―4天，方案一最多；第5―8天，方案二最多；第9天以后，方案三最多。有人认为投资：1―4天选择方案一；5―8天选择方案二；9天以后选择方案三。其实不然。
结论：投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8―10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案.当然投资时间越长，我们越会选择第三种投资方案――指数爆炸型。
由问题1的解决，我们可以得到解决实际问题的一般步骤：（1）实际问题；（2）读懂问题抽象概括；（3）数学模型；（4）演算推理；（5）数学问题的解；（6）还原说明；（7）实际问题的解。
从投资方来说，总希望利润越高越好，但实际上是不可能的，还需要受很多因素的制约，利润不可能无限制增长，说明了理论与实际的距离。问题的分析与解决都遵循求解函数问题的一般方法，通过师生合作、生生合作的互动方式，提取各种信息，综合运用所得的信息，转化问题、体会过程，从而获得结论。
我有效指导学生把实际问题转化为函数模型，选择合适的数学模型分析解决实际问题，进而在探究中比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例使学生体会到直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义，使学生体验到数学源于生活，又应用于生活，学好数学、用好数学可以提升我们自身的品位。
当然，现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策、生产规划、交通运输等问题中涉及的有关数量问题，常归结为方程或不等式求解，因此我们可以指导学生建立或化归为方程或不等式模型。许多经济问题，如增长率、利息（单利、复利）、分期付款等与时间相关的实际问题，常通过建立相应的数列模型求解，我们可以指导学生建立或化归为数列模型。其他如建立或化归为几何模型，建立或化归为概率模型等都可以结合学生所学专业开展建模学习，既培养了学生的数学应用能力，又为专业课教学作好了铺垫。
总之，实际问题数学化是过程，数学问题生活化是目的。数学建模就是应用数学的语言和方法对一个实际问题所作的设计。中职数学建模教学的主要目标是培养学生运用数学的意识、切实提高学生运用数学知识解决解决实际问题的应用能力，让数学服务于学生的发展。
参考文献：
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对数学建模的认识与总结篇10
关键词：数学建模；大学数学；基础理论教学；能力培养
作者简介：于林（1965-），男，山东滨州人，三峡大学理学院，教授。（湖北宜昌443002）
基金项目：本文系三峡大学教学研究项目（项目编号：J2010057）的研究成果。
中图分类号：G642.1文献标识码：a文章编号：1007-0079（2013）32-0124-02
大学生数学建模竞赛和数学建模活动在对大学生创新能力培养和数学技术应用能力培养中的重要作用已经是一个不争的事实，而在大学数学课程教学中融入数学建模思想的理念也被广大的数学教师所公认，并且取得了许多宝贵的实践经验。但是，在众多关于此问题的教学研究文献中，基本上都是仅仅就高等数学课程中那些本身就具有很强的应用性的数学方法和数学技术介绍了其在数学建模中的一些应用实例，而难得见到有关如何将原始的数学概念和抽象的数学定理的教学与数学建模相互联系的研究和分析。本文旨在通过对概率统计中两个最原始的概念（概率空间与统计结构）和高等数学中一个最抽象的定理（weierstrass定理）的教学中如何融入数学建模思想的分析，揭示了在大学数学核心课程的教学中，数学建模与深化学生对基本概念的理解以及加强对抽象数学理论的实际应用能力的培养之间的关系。目的在于进一步探讨如何借助数学建模来激发学生对数学课程的学习兴趣，深化学生对抽象理论的理解。
一、最原始的概念，最基本的模型
众所周知，概率论和数理统计理论中有两个最原始的基本概念，一个是概率空间，另一个是统计结构（或者统计模型）。通常在“概率论与数理统计”课程教学中一般总是这样进行的，在给定了概率空间（Ω、F、p）之后，研究定义在其上的随机变量及其分布等性质；在给定了统计结构（或者统计模型）之后，研究其上的样本、抽样分布及其由此而建立起来的统计推断问题。例如，一般的课本上几乎都是主要介绍建立在“正态分布总体”这样一种统计结构上的统计推断理论的。但是，只要稍微仔细思考一下，就会发现一个被忽略的问题：这种作为研究起点的所谓“概率空间”和“统计结构”是怎么来的？这一问题一般情况下被教师和学生所忽略，因为同学们只需要会做课后的习题就够了，而在每一个习题里这些所谓的“起点”早就被题目的设计者给设计好了。于是，时间久了，同学们也就习惯了，很容易由此而造成一种假象，似乎这些作为“起点”的东西是天生的，或者是自然就有的，很容易对这一课程中最基本的两个概念缺乏必要的理解。
然而，如果将这一问题与数学建模结合起来则情况就大不一样了。对于数学建模，任务不再是求解那种被人设计好的习题，而是面对的各类实际问题。运用概率分析的方法或者统计分析的方法对这些实际问题进行研究，但是概率分析理论、统计分析理论都不能直接作用于任何实际问题，这就需要首先确定这一实际问题所对应的“概率空间”或者“统计结构”是什么。事实上，“概率空间”就是架设在实际问题和概率分析理论之间的一座桥梁，而“统计结构”即是贯通在实际问题和统计分析理论之间的一条隧道。随机数学建模或者统计分析建模从对“概率空间”和“统计结构”的建立就已经开始了。
1.概率空间
（1）随机现象与随机试验。数学建模的研究对象都是一些实际的问题，如果这一实际问题表现为具有某种随机性的时候则被认为是一种随机现象，因此准备运用概率分析的方法进行研究。但是，概率理论直接的研究对象并不是随机现象，而是为研究随机现象所作的随机试验（Randomexperiment）。为简单计，今后凡是在概率论中的随机试验皆简称为试验，并记之以英文字母e。对于数学建模者需要指出的是：对于同一随机现象，根据研究者的研究目的和研究方法的不同可以设计不同的随机试验。
例如，某同学打篮球投篮，这当然是一个随机现象，因为他可能投中也可能投不中，也就是说他每次投篮是否能投中具有随机性。假设现在要考察该同学投篮的命中率，可以设计如下两种不同的随机试验。试验e1是让该同学先后投篮10次，看他其中能投中几次；试验e2是请该同学连续投篮直到投中为止，看该同学共需要投几次才能投中。由于所设计的随机试验不同，因而所产生概率空间就不同，以后所运用的概率分析方法也就不一样。
（2）样本空间。当确定了随机试验e之后，称试验e的每一个可能结果为样本点（Samplepoint），并称由全体样本点的集合为试验e的样本空间（SampleSpace），并分别用希腊字母ω和Ω表示样本点和样本空间。
例如，对于上述的两个试验，试验e1的样本空间可以表示为，其中表示该同学在该次试验中共投中k个球；试验e2的样本空间可以表示为，其中表示该同学在该次试验中总共的投篮次数。注意，是一个有限样本空间，而则是一个无限样本空间。
（3）几何概率模型的实例。几何概率在现代概率概念的发展中起到了非常重大的作用。在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答，然而JosephBertrand在1888年提出的一个问题改变了人们的想法，这就是贝特朗奇论（Bertrand’sparadox）。
Bertrand奇论：在一半径为1的园内“任意”作一弦，试求此弦长度l大于园内接正三角形的边长的概率p。
解法1：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。
解法2：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的，则所求概率为1/2。
解法3：弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4。
于是得到了三个不同的答案，原因是什么呢？这是因为三种解法中使用了三个不同的随机试验，从而得到三种不同的概率空间。解法1的样本空间Ω1是全圆周；解法2的样本空间Ω2是直径上点的全体；解法3的样本空间Ω3是二维区域C。这一例子说明，对于同一个问题，由于构造了不同的概率空间而可以得到不同的结论。相对于各自的概率空间，每一种解法都是正确的，而概率空间即是最基本的数学模型。
2.统计结构
（1）对统计总体的认识。正如“概率空间”是概率研究的起点一样，“统计结构”（或称统计模型）则是统计分析的起点。数理统计学就是这样一门学科：它使用概率论和数学的方法，研究怎样收集（通过试验或者观察）带有随机误差的数据，并在设定的统计结构（或称统计模型）之下，对这种数据进行分析（称为统计分析），以对所研究的问题做出推断（称为统计推断）。
面对应用中遇到的实际问题，统计结构是如何得来的呢？首先，来看一下如何认识统计的总体。所谓统计总体是指具有某种分布的随机变量（或随机向量）。所以，通常总体记为随机变量ξ，它服从某分布（族）p。
（2）统计结构（统计模型）。统计总体的随机变量量ξ及其服从的分布p统称为统计结构（或统计总体），p代表的实际上是一族分布函数。如果已经知道p的分布类型，即已知分布函数的类型，只是对其中的某个或者某几个参数θ未知，则问题就归结为根据样本值推断参数θ究竟取何值为好。此类统计模型就是参数模型，涉及的统计问题就是参数统计问题。如果连分布函数的类型也知道得很少，以至于不能给出参数模型，那么问题就成为非参数统计问题。
以对某物理量的测量问题为例：假设有某物理量μ，采取多次测量的方式以求得到该物理量真实值μ的估计。如何建立统计模型呢？
模型一：设总体随机变量，其中，所以
该研究者认为：测量仪器工作状态稳定，可以认为测量结果只存在随机误差。根据误差分析理论，此时有理由认为误差服从正态分布，由此总体随机变量。其中均值μ和方差都未知。所以该模型是一个含有两个未知参数的正态分布函数族。
现在再设想，假如该项测量工作是由一个非常专业的测量团队来完成的，因此事前可以假设测量的精确程度是已知的，即可以假设上述的方差已知，且取值为，于是又有如下模型。
模型二：设总体随机变量，其中，所以
当然，与建立模型二时相反，建模者可能十分悲观，或者事实上也是如此，这就是事前对该总体的信息收集实在太少。研究者只能肯定的是测量者既不会有意把数据夸大，也不会有意缩小，也就是测量所得的随机变量关于真实值应该是左右对称的，除此之外没有其它信息了。这样就只能设置模型如下：
模型三：设总体随机变量{对称分布}。
模型三得到的只是一个非参数统计模型，因此决定了首先必须运用非参数统计进行分析和研究，这较之前两种模型要复杂得多。
二、最抽象的定理，最直接的应用
1.weierstrass定理
有界闭区间上连续函数的性质表现为一系列十分抽象的定理，weierstrass定理是其中的一个。一方面，从理论上讲，它们在微积分理论体系中具有非常重要的地位；而另一方面，它们在形式上十分抽象。因此，一般情况下，学生们会认为其没有实用价值。其实正好相反，在数学建模中weierstrass定理就经常被用到。该定理说：如果是上的一个连续复函数，那么便有多项式的序列，使得在上一致地成立。如果是实函数，则是实多项式。
2.在数学建模中的一个应用
土豆施肥效果分析：在土豆生长期间，施用不同量的氮（n）和钾（K）肥，土豆产量结果见附表1，求土豆产量与施肥量之间的关系。
首先，为了计算方便，对数据作中心标准化处理，即令：
，
如果说，施肥量x1、x2与土豆产量y有很密切的关系，则应该有，其中可能是线性函数，也可能是非线性函数，探求的具体形式是本题的目的，需要用回归分析方法。
（1）失败的线性回归模型。通常情况下，同学们首先想到的是线性模型：。根据最小二乘法计算得回归方程：。但是这个模型的效果究竟如何呢？计算多重判定系数得。显然，该线性模型对所给数据的拟合效果很差，由对数据的直观观察亦可以看出，用线性模型去拟合所给数据是不合适的。
（2）有效的多项式回归模型。显然，所求的函数关系肯定不是线性函数，而一定是一个非线性函数。然而，非线性函数有无数种，最有可能是哪一种呢？此时，weierstrass定理帮了大忙。其实，无论是什么样的非线性函数，总可以用多项式去逼近。因此，可以考虑为多项式函数，且不妨从最低阶的二次多项式开始。
设模型为：，
同样根据最小二乘法计算得回归方程：。经计算多重判定系数为：。由此可知该模型拟合效果非常好，问题得到圆满解决。
三、结论
由上述实例分析可见，恰当地将数学建模融入大学数学课程教学，不仅有利于对学生数学应用能力的培养，而且更重要的是还可以帮助学生对抽象的基本概念和理论的理解。因此，对于更多的抽象概念和定理，如何引入适当的数学模型是一个非常值得进一步详细探讨的问题。
参考文献：
[1]李大潜.中国大学生数学建模竞赛[m].第四版.北京：高等教育出版社，2008.