鸡兔同笼问题的解决方案篇1
关键词小学数学；“鸡兔同笼”问题；教学反思
引言：著名的苏联教育学家苏霍姆林斯基曾经说过：不能促进学生进步的课堂教学是毫无益处的，而且，如果课堂教学没有实际作用，对教师和学生来说都是严重的损失。随着我国社会水平和经济水平的不断发展，新课改和素质教育的观念深入人心，对教师的教学方式也提出了更高的要求，教师必须顺应教改的步伐，转变自己的教学思路。只有灵活多变的教学方式，才能激发学生的学习热情，提高他们的学习主动性，同时也能够提高教师的教学质量。
一、“鸡兔同笼”问题的解决
“鸡兔同笼”问题早在一千五百多年前的《孙子算经》中就出现了，而北师大版的小学五年级数学课本的“数学广角”环节再现了这一题目。“鸡兔同笼”问题表现出了我国历史悠久的数学文化，解决这个问题能够大大增加学生对数学学习的兴趣，能在一定程度上培养逻辑思维的能力。“鸡兔同笼”问题贴近生活，具有很强的代表性。在以往的教材中，这类问题一般是针对水平较高的学生，用来锻炼自己的能力，而新教材则把这道问题作为全体学生都能够面对的问题。解决“鸡兔同笼”问题有多种多样的方法，例如假设法和列表法等，也表现出数学学习的灵活性。下面通过课堂上使用列表法解决“鸡兔同笼”问题：
教师：大家通过了解这道题目，知道主要问题是什么吗？
学生：题目告诉我们鸡兔共有八只，脚共有二十六只，问鸡和兔子各有多少只。
教师：大家可以先猜一下结果，也可以和你身边的同学交流一下，比较一下答案。然后来列举一下可能的情况。
学生：可能的情况有七只鸡，一只兔子；六只鸡，两只兔子；五只鸡，三只兔子；四只鸡的话，就有四只兔子；三只鸡，五只兔子；两只鸡；六只兔子；或者一只鸡，七只兔子，这么多种情况。
教师：还有其他可能吗。
学生：全部是鸡或者全部是兔子。
教师：那么我们来分别计算上面的情况，看哪种情况下，脚的数量是二十六只。大家来计算一下。
学生：计算后得到的结果是有五只兔子和三只鸡。
通过上述课堂教学的过程，让学生自主的解决了“鸡兔同笼”问题。这种方式加强了学生在课堂教学中的主体地位。在解决问题的初始阶段，鼓励学生大胆猜想，发散自己的思维。然后让学生列举所有可能的情况，再引导他们通过计算得到正确答案。让学生了解解决问题的基本思路和方法，培养良好的学习习惯。
二、“鸡兔同笼”问题的教学反思
从小学数学“鸡兔同笼”问题的解决过程中，可以引起数学教师的反思。第一个方面趣味是最好的老师，激发了学生的学习兴趣，那么课堂教学基本成功了一半。通过灵活多变的教学方式，活跃课堂氛围，转变传统课堂枯燥无味的气氛，能够大幅度激发学生的求知欲，而只有有了求知欲，学生才会主动去了解问题，解决问题。通过教师的引导，让学生感受到解决问题带来的快乐，满足他们丰富的学习欲望，才能保证高涨的学习热情。美国的教育学家通过研究证明，激发了学习兴趣，学习效果能够成倍增加。孔子的《论语》中也提到过“知之者不如好之者，好知之不如乐之者”，只有激发学习兴趣，才能达到教学的最终目标――快乐学习。但是，现今很多小学数学教师，虽然知道新课改和素质教育的理念，但是仍然固步自封，不远转变观念，填鸭式的教学，造成课堂效率低下，浪费时间，又阻碍了学生的发展，所以，激发兴趣对学生的数学学习至关重要。
学无定法，掌握方法也是提高学习质量的重要因素。而课堂教学除了提高学生的学习热情外，更重要的是让学生掌握方法。在“鸡兔同笼”问题的教学中，就体现了以下两种数学方法：
（1）检查检验：要保证得到的答案准确，就要做好检查和检验。通过培养学生良好的检查习惯，能够揪出在解决数学题时出现的问题，保证答案符合题目要求。在教师引导学生自主解决“鸡兔同笼”问题后，很多同学会将答案弄错，比如将鸡和兔子的数量弄反了，这种情况是很常见的。所以，检验是保证解题正确的重要方法。通过方程或者其他方法得到了鸡和兔子的只数，还要通过计算总的脚的数量，来保证答案的正确性。检查和检验，是学生务必养成的良好学习习惯。
（2）数形结合：数学知识是比较抽象难懂的，而且小学生的知识水平认知水平都还不高，对过于理论性的解题方式，很多都是一知半解。针对这个问题，在数学教学中就要采用数形结合的方法，教师可以使用符号、图形来代替题目中的元素，通过题目中的条件将这些元素结合起来，就能很快得到答案。教师还可以利用现今普遍使用的信息化技术，通过计算机、课件让抽象的数学知识更加形象、易于理解，课件还能够提供给学生视觉、听觉上的全方位的接受知识的方式，能够有效加深学生对知识的理解和记忆。
小学生的思维方式还不是很成熟，而且正处在由形象思维向逻辑思维发展过度的阶段，所以，这个阶段接受的数学知识，仍然具有较强的具体形象性。数学知识贴近生活，数学上的很多问题，都能够用生活上的知识来解答，而我们也可以使用数学知识解答生活中的难题，所以，数学和生活是紧密结合的。数学课堂的教学内容都是来源于生活的，经过知识性的凝聚和提高，成为专业的数学知识。学生对来源于生活的数学知识接受程度最高，而且，在讲解这部分内容的时候，学生首先能够通过自己在生活中的体验，了解这部分知识的大致内容，基本相当于预习，对接下来的学习有很大帮助。
结束语
综上，通过小学数学课本中的“鸡兔同笼”问题教学，可以发现教学中仍然存在一定问题。在教学中，教师应该使用多变的教学方法，活跃课堂气氛，激发学生的学习热情，通过知识的生活化，让抽象的数学知识易于接受。这样才能做好小学数学教学工作。
参考文献：
[1]卢春华.初中数学教学反思刍议[J].中学教学参考.2012，（31）：90.
鸡兔同笼问题的解决方案篇2
一、说教材
1.教材分析
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中，也是奥数教材中的经典名题。而新课标揭去了它令人生畏的面纱，正式编入教材，借鸡兔同笼这一问题的解决过程，让学生体会和掌握基本的解决问题的策略，渗透一些数学思想方法，还其生动有趣的一面，这也正是“数学广角”所承载的基本任务。通过学习，不仅能使学生感受到祖先的聪明才智，而且体会到解题策略的多样性以及其中蕴含的丰富的数学思想方法，培养学生探索的兴趣和能力。基于以上分析，我将本课的教学目标确定为以下几点：
2.教学目标
（1）了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性，从中发现其特殊的规律。
（2）借助列表、画图、假设、方程等方法解决相关的实际问题，体验解决问题方法的多样化，体会代数方法的一般性。
（3）培养学生的逻辑推理能力，让学生体会到数学问题在日常生活中的应用价值。
3.教学重难点
教学重点：尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题。
教学难点：探索用多种方法解决同一问题的策略。
二、说教学方法
本课教学力求改变过去重知识轻能力、重结果轻过程、重教法轻学法的状况，在教学过程中我主要采用猜测尝试、自主探究、小组合作、讨论交流等方法组织教学，引导学生经历解决问题策略的探索过程，体验学习的乐趣，感受数学的价值。
三、说教学流程
1.问题引入，揭示课题
我们都知道：“儿童是有个性的人，他们的活动受兴趣和需要的支配，一切有效活动必须以某种兴趣作为先决条件。”新课开始，我出示《孙子算经》中的鸡兔同笼问题，并通过小精灵挑战性的提问“这个问题你能解决吗”唤起学生解答我国古代著名数学问题的兴趣，产生探究的欲望，既为下面的学习做好了心理铺垫，又自然地引出了课题。
2.自主探究，学习新知
（1）呈现探究素材。笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？
【设计意图：此环节考虑到“鸡兔同笼”原题的数据较大，不便于学生探究学习，因此，我根据化难为易的思想，避繁就简，用这个数据较小的同类问题进行替换，消除了学生因为数据过大而产生的恐惧心理，贴近学生的“最近发展区”，增强了探究的自信心。】
（2）出示探究提纲。
①从题中你得到了哪些数学信息？联系生活实际，想一想鸡和兔各有几只脚？（看似简单又是现实中司空见惯的指向性问题，恰好是解决“鸡兔同笼”问题的必经之路，也是关键所在，它的出示确保了学生自学的效果。）
②请自学课本第113―114页的内容，并标注出你不理解的地方。（当学生俯下身子静心自学时，我充分关注学生的自学表现，借助眼神或表情提示不够专注的学生，收集梳理学生自学时遇到的疑惑，为下一步合作学习做好准备。）
③自由选择合作伙伴，讨论解决自学中遇到的困惑，理解不同的解题思路。（有困难才合作，有问题才讨论。让学生根据自己的需求选择合作伙伴，可以是同桌互助，可以是小组合作，也可以是师生互动，营造出活而不乱的学习氛围。）
【设计意图：自主学习是新课程改革的主旋律，“以学生为主体”是当代教学的基本思想，也是学生终生学习的基础。但是，学生由于认知能力的局限，在自学课本时往往不能很到位地理解某些知识，形成思考后的思维断点，产生模糊的认识。为了避免学生自学的盲目性，确保自学环节的实效，使学生养成有序思考的习惯，我设计了以上三个探究提纲。】
3.汇报交流，深化理解
学生通过自主探究、同伴互助，已经有了自己解决这个问题的方法，这时组织学生在全班展示交流，他们个个有话可说，争先表达，说出了解决同一问题的多种方法。
（1）列表法：通过填写教材中提供的表格，多数学生不重复、不遗漏地写出了所有答案，也就是“逐一列表法”。还有部分反应较快的学生受到“逐一列表法”的启发，通过估计，发现了鸡兔只数的大致范围，即“跳跃列表法”。更有甚者，提出了较为简便的“取中列表法”。
（这时我对学生的积极表现给予及时的肯定，正在学生得意之时，我追问：“还有其他的方法吗？”唤起了他们更强烈的表达欲望。）
（2）画图法：动手能力较强的学生，用“”表示头，用“|”表示脚。先画8个头，有的学生给每个头下画了2只脚，共有16只脚，比题中给出的脚少了10只，2只2只地添，添5次刚好26只脚，得到笼中有3只鸡、5只兔；也有的学生给每个头下都画4只脚，结果比题中给出的脚多了6只，2只2只地划去，划3次后刚好是26只脚，得到了相同的答案。
【设计意图：“数无形，少直观；形无数，难入微。”利用数形结合，使抽象的鸡兔同笼问题直观化、生动化，也为理解假设法做好了铺垫。】
（3）假设法：学生利用已有的经验还发现了用“假设法”解答此题的思路，先假设全部都是鸡或全部都是兔，再计算实际与假设之间总脚数的差，最后推理出鸡和兔的只数。
方法一：
解：设全是鸡。
8×2=16（只脚）
26-16=10（只脚）
兔：10÷（4-2）=5（只）
鸡：8-5=3（只）
答：有兔5只，有鸡3只。
（4）方程法：当有学生提出用方程解答这个问题时，我顺势引导，让全体学生都参与到分析说理的过程，突出了代数方法的一般性。
方法一：
解：设有兔x只，有鸡（8-x）只。
4x+2（8-x）=26
4x+16-2x=26
16+2x=26
2x=26-16
x=5
鸡：8-5=3（只）
答：有兔5只，有鸡3只。
【设计意图：此环节，我组织学生全班交流，旨在使他们分享自学成果、产生思维共鸣，感受到同一个问题竟然有这么多的解法！整个课堂也因此而精彩不断。】
4.运用新知，回扣主题
以数据较小的“鸡兔同笼”问题为载体，使学生在经历自学找疑、合作解疑、交流提升的过程中掌握了“鸡兔同笼”问题中所蕴含的多种数学思想方法，再去解决课前设问的《孙子算经》中鸡兔同笼的原题，既巩固了所学知识，又回扣了主题。“你想知道古人是怎样解决‘鸡兔同笼’问题的吗？”自然地把学生的注意力吸引到课本114页阅读资料上来了。
5.变式练习，拓展延伸
（1）有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条，龟、鹤各有几只？
（2）大船乘6人，小船乘4人，全班一共有38人，共租了8条船，每条船都坐满了，大小船各租了几条？
鸡兔同笼问题的解决方案篇3
【关键词】鸡兔同笼教材教法教学目标
【中图分类号】g623.5【文献标识码】a【文章编号】2095-3089（2014）03-0138-03
“鸡兔同笼”是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？古人解答“鸡兔同笼”的方法主要是假设法，于是，假设法也成为了解答“鸡兔同笼”的主要方法。发展至今，“鸡兔同笼”已经成为了一类问题的代名词，称为“鸡兔同笼”问题。
一、各种版本教材分析
“鸡兔同笼”作为一种经典名题，从教育的角度看，定位于不同解题方法不是随意的，我们所接触到的各个版本教材都有自己的独到之处，将解法的难度与学生的可接受水平结合起来进行了充分的考量。归纳起来，基本有这样的逻辑序列：一年级可以应用数形结合的思想选择画图法，二、三年级可以应用枚举的思想选择列表法，四年级可以应用假设的思想选择假设法，五年级可以应用方程的思想选择方程法。在国标新教材中，不少版本都有编排。比如，北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中用6个页码详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。
人教版编排“数学广角”主要是想“通过简单的事例渗透一些重要的数学思想方法，或者介绍一些比较著名的数学问题，让学生在解决这些问题的过程中能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，培养学生解决实际问题的实践经验和能力。最重要的目的是让学生通过接触这些重要的数学思想方法，经历猜想、实验、推理等数学探索的过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。”从而逐步实现《标准》所提出的教育教学目标。比如“鸡兔同笼”问题，就是借助于古代的数学名题，教授学生运用猜测法、列举法、假设法、代数法等方法解决问题，教师在教学时不能仅仅局限于问题本身，而应通过解决问题帮助学生掌握解题的一般方法，获得必要的数学知识。因此，教师要充分了解人教版编排“数学广角”的这些目的和意义，才能在教学时做到心中有数，准确把握。
人教版实验教材《教师用书》上对这个编排是这样说明的：一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。对这个内容的编排特点是这样阐述的：1.由《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题引入，激发学生的解题兴趣。2.注重体现解决“鸡兔同笼”问题的不同思路和方法。3.拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，明确其在生活中的应用。
二、各地名家教法分析
按理说，教师用书上有如此清晰的说明，那么本课的教学应该是没什么争议，有一个统一的教学结构。然而实际却并非我们想象的那样。据了解，目前六年级教学“鸡兔同笼”问题的方法是大相径庭，主要有以下几种课型结构：
1.几种方法一起教的。
这种课现在较为多见。在我看到的网络视频教学实录中，几乎都是这样的课型。其中以列表、假设和方程三种方法一起教学居多。因为列表可以让那些学习能力相对较弱的学生有一个解题的模型，使他们也能较好地解答“鸡兔同笼”问题。而假设法和方程则可以让那些学习较好的学生根据自己的喜好选择使用。这样就可以实现“全面掌握”的目标。也有在课堂上专门教学假设法和方程的。因为列表太低级了，六年级的学生应该可以理解假设法和方程的，至少可以掌握其中的一种方法，因此在课堂上只要重点教学这两种方法就可以了。
2.专门教一种方法的。
在一些活动中，也有只教学一种方法的。这样做的老师认为：在
堂课40分钟中，既要教学列表，又要教学假设法，还要教学方程，到最后往往是一样都没有吃透。与其如此，不如在课堂上就教学一种方法，并把这种方法放大、教透。其中，以专门教学假设法的居多。因为假设法是解答“鸡兔同笼”问题的主要方法，因此选用假设法是名正言顺了的事情。如果以方程为主要方法，那么除了问题本身之外，在计算层面上还要面对一个新的问题——如何解“鸡兔同笼”问题的方程，因为“鸡兔同笼”问题的方程明显高于小学阶段方程教学的要求。如果这样理解，那么选择假设法就显得更为合理了。
3.将学生置于一种“已会”状态的。
刚刚看了一位名师的课堂实录。这位老师就是将学生置于了一种“已会”的状态，具体做法是：呈现“鸡兔同笼”的典型问题，学生独立解答，反馈交流学生的方法，有假设法、方程、枚举等，在让学生解释自己的方法的同时，教师进行简单地引导，最后通过对比，让学生感悟假设法的优点，就算完成了“鸡兔同笼”问题解法的教学。教师虽然没有明说要用假设法解题，但在无形中还是体现着以假设法为主的思想。
分析这几种课型，虽然出现了与《教师用书》不相吻合的情况，但其做法都是有道理的，都有自己对“鸡兔同笼”问题教学的理解。那么就给我们带来了一个困惑：六年级到底该怎么教学“鸡兔同笼”问题？
三、学生学习现状分析
在上面说到的几种课型中，出现了解答“鸡兔同笼”问题的几种基本方法：假设法、方程法、列表法、枚举法和画图法。我们想象一下，在学生还不曾接触过“鸡兔同笼”问题的前提下，让学生尝试解答“鸡兔同笼”问题，他们会出现哪些方法呢？六年级学生知道“鸡兔同笼”问题也是很正常的。因为“鸡兔同笼”是中国趣题之一，“鸡兔同笼”这个名词在中国夸张的说可谓“妇孺皆知”，而问题的解决方法，很多家长可能早就与孩子讲过，学生也可以通过很多渠道了解甚至是掌握这方面的知识。正因为如此，就给六年级教学“鸡兔同笼”问题带来了新的挑战。那么学生的知道程度到底怎么样呢？我们不敢断言。但我们可以通过一些调查，说明一些问题。检测分两次进行，第一次是在学生没有一点准备的情况下的盲测，第二次是在学生自学完课本之后的再测。调查的题目和问题：
题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。笼子里有鸡和兔各几只？
问题：
1.像上面这样的问题我们一般称为（）问题。
2.这个名称你大概在（）年级时知道的？是怎么知道的？
3.你有什么办法可以把这道题目解答出来？（把你的方法写下来，列式，画图，方程，列表，文字说明都可以，能用几种解答就用几种方法。）
调研对象及样本数量：六年级两个班，共计65人。
调研结果分析：
学生对于列表法掌握的情况最为理想。列表法应用的是数学中的枚举思想，其特点是简洁，这种起点低、易操作的解题方法在学生的脑海中留下了深刻的印象，被广大学生所接受、理解。学生应用了枚举的思想，经历了列表、尝试和不断调整的过程，从中体会数学的乐趣。
对于画图法，调研学生中有60.47%采用。通过调研后的访谈，我进一步了解到，学生基本上都会画图法，但是有一部分学习情况较好的学生认为画图法容易受数据太多太大的影响而没有使用。看来，学生对于这一解题方法还是基本认可的，它所存在的局限性学生也是有所了解的。
假设法，调研学生中有58.14%采用。就数学学习本身而言，假设法是一种重要的解题方法，许多问题都可以用假设的方法而得到解决。而鸡兔同笼问题的算术解法就是依据假设的方法来解决的。单就前文所述的列表法其中也蕴含着假设的思想，此外还有一些“化归法”“砍足法”以及上面提到的公式法，归根结底都是应用了假设的数学思想。因此，教师应该引导学生在反复运用列表方法的基础上，渗透并让学生真正理解假设的方法，以便为学生掌握鸡兔同笼的算术解法奠定基础，同时也为培养学生的思维能力奠定基础。
方程法的调研结果仅为11.63%。单从解题方法的角度而言，方程法远比画图、列表之类的方法要快捷、简便，这种简便有其固有的数学价值，但是六年级的学生对此却并不乐于接受。在后续的访谈中，我进一步了解到学生不用方程法的主要原因有两个：一是“不习惯用”；二是“不会用”。的确，解决“
鸡兔同笼”问题的一元一次方程，在设句、列法、解法上，明显超过六年级所学方程的难度。同时，χ在减数位置的方程，现行教材回避教学，学生不会解答，对未知数在减数位置的情况没有深刻的认知，只有设每份数大的为χ才可以避免。学生的这些认知基础，导致他们对于列方程解“鸡兔同笼”没有亲切感。此外，关系性思维的欠缺导致六年级学生对于方程的本质也尚未形成良好的认知（关系性思维特征包括利用基本的数字和运算形式对数学表达式进行转换，而不仅仅是依据既定顺序的程度简单地计算出结果）。学生要想使用方程求解务必要进行建模，而建模的依据就是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。把未知当做条件进行建模并解答的意识和能力还不够。在这样的情况下，强加方程于学生，事倍功半是可以预见的。我相信，当学生在以后学习了“二元一次方程组”这一解决“鸡兔同笼”问题的最佳模型后，用方程组解“鸡兔同笼”必定能成为学生最乐学乐用的方法，理解其数学模型也是水到渠成的事情。
列表法是从全部假设成鸡或全部假设成兔开始一个一个推算的，假设法也是利用全部假设是鸡或兔来思考推理的。从这个思维层面上讲，这两种方法具有一个共同的特征：全部想成鸡或兔。所以，列表其实也是假设法的一种表现形式，假设法可以看成是对列表法的进一步抽象和提升。基于这样的分析，我们可以发现，如果学生能使用假设法或列表法，那么他们首先要实现一个思维上的飞跃：全部想成鸡或兔。而让一个未曾接触过“鸡兔同笼”的学生独立来实现这样的思维跳飞，显然是有一定难度的。这是因为学生的思维受到了题目语句“笼子里有若干只鸡和兔”的束缚。
四、自己教学定位分析
多数老师是在三、四年级用它给孩子们讲假设法；特级教师徐斌曾尝试在二年级教鸡兔同笼问题，用它讲画示意图解题；在中学里，老师则用它来讲二元一次方程组。同一个载体鸡兔同笼问题，不同的老师，在不同的学段可以教出不同的知识点。教材其实只是个载体，同一个题材你可以赋予它不同的使命，这也许就是大家常挂在嘴边的“用教材教”。经过综合分析，我的“鸡兔同笼”教学最主要的目标不应该定位在为了解决“鸡兔同笼”问题的本身上；而是应该定位在借助“鸡兔同笼”这个载体让学生历经列表、假设和方程的过程，并沟通这几种方法之间的联系，借助列表让学生学会假设法，借助假设体会方程的一般性。因此让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点，也是教学难点。采取以表格中数据变化规律为探究基础，以小组合作、师生互动为探究方式，将学生的认知经验和思维过程转化成数学语言，即数学算式，从而形成解决问题的全新的一般策略，发展学生的思维水平和推理能力。因此本节课最大的价值是借助假设法，帮助学生实现“全部想成鸡或兔”的思维飞跃，在发展学生的推理能力同时，形成一种解决“鸡兔同笼”问题类型的思维方法。此外也是一个重要的要实现的教学目标是渗透一些基本的数学思想和方法。如：用容易探究的小数量替代《孙子算经》原题中的大数量的“替换法”解决问题，渗透了转化的思想和方法；用“列表法”解决问题，渗透了函数的思想和方法；用“算术法”解决问题，渗透了假设的思想和方法；用“方程法”解决问题，渗透了代数的思想和方法等等。这些对于学生而言，无疑奠定了可持续发展的坚实基础。
本节课的教学重点和难点都是理解和运用假设法。“假设法”是科学研究中常用的一种思维方法，也是解决数学问题的一种重要策略。它是指根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，使复杂的情境简单化，隐蔽的数量关系明朗化，使问题较为容易地得到解决。使用“假设法”要注意两点：一，假设要符合题意，要找准与假设内容相对应的数量关系；二，假设要周密，要善于把假定的内容和数据加以调整，从而得到正确的答案。
用假设法解决的数学问题有很多，“鸡兔同笼”问题只是用假设法解决的诸多问题中的一类，其方法特征主要表现为全部假设成a或b。这个特征具体体现在“鸡兔同笼”问题教学中，那就是四个步骤：假设——计算——推理——解答。根据上述分析，假设法教学的思路应该已经非常清晰了，即围绕“假设——计算——推理——解答”这四个步骤展开。同时我们可以想象，推理应该是学生学习时的难点，只要注意引导就可以了。 【教学片断】
1.把所有的
猜测有序地表示出来就是列表法。请你试着根据黑板上的这些猜测列成完整的表格。做在作业纸上。
2.书113页已经帮你列了一个表，看一看你的表格和它一样吗？还能怎样列表格？请你把书上的表格填完整，找到正确答案圈出来。
3.观察表格，寻找规律。
从左向右观察__________________________________
从右向左观察__________________________________
从上向下观察__________________________________
从下向上观察__________________________________
观察第一列__________________________________
观察最后一列__________________________________
观察脚数的特征__________________________________
4.如果鸡和兔一共100只呢，我们还要列表吗？
5.是不是我们刚才列表找规律这件事白做了呢？列表有什么用呢？
当头和脚的只数数据较大时，猜想和列表就不容易找出答案了。我们还有研究新方法的必要。那么在猜想和列表中找到的规律可以帮助去研究新的更加一般的方法。
6.如果全部假设成鸡，用列表法中的哪一列进行思考？如果全部假设成兔呢，其实就是表格中的第几列？可以画示意图帮助理解。7.如果假设鸡为x只，兔为（）只。如果假设兔为x只，鸡为（）只。你能把表格补充完整吗？
8.如果假设鸡为x只，兔为y只。你会用这两个字母列一个等式吗？反过来，如果假设兔为x只，鸡为y只呢？你还能把表格补充完整吗？
让学生在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动中，用数学语言清晰地表达自己的想法。从课初的随意猜想到表格中的有序猜想，从一般验证到表格中数据变化规律的发现，从列表法很快自然联想到假设法、代数法，学生的思维经历从无序到有序、从特殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻等方面的巨大变化，注重不同策略间的相互联系和影响，注重解决问题策略的局限性和一般性，学生的思维能力随之得到提升。
参考文献：
[1]郑毓信著：《国际视角下的小学数学教育》，人民教育出版社2004年1月版。
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[6]曹培英著：《小学数学教学改革探析》，人民教育出版社2004年9月版。
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[9]j.l.martin著王嵘等译：《教与学的新方法·数学》，北京师范大学出版社2004年2月版。
鸡兔同笼问题的解决方案篇4
关键词：小学数学；鸡兔同笼；教学方法；教学思考
中图分类号：G623.5文献标识码：a文章编号：1009-010X（2013）06-0067-03
一、“鸡兔同笼”问题的教学背景
“鸡兔同笼”是中国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中鸡和兔各有几只？
因为“鸡兔同笼”问题的趣味性和拓展的广泛性，也因为其解题方法的代表性，因此，使得这类问题频频出现在当今的各种小学数学竞赛中或各种奥数读本里。在新课改的教材中，“鸡兔同笼”也堂堂正正地与小学数学新课程“同笼”。其实，无论从哪个角度来说，小学数学教学中都应该有“鸡兔同笼”的一席之地。也可以这样说：只要有小学数学的存在，就应该有“鸡兔同笼”的存在。
关于“鸡兔同笼”的教学，所呈现的景象是：教师乐教，学生乐学，教学方式多样化，教学探究的文章在有关刊物屡屡出现。这种教与学的氛围、教学方式的多样化和满怀激情的教学探究，已经超越了问题本身，促进了学生快乐地“学”，教师有效地“教”。
二、“鸡兔同笼”教学中的解题方法
“鸡兔同笼”问题呈现在教学中的解题方法，归纳起来有下面几种。
问题：鸡兔同笼，有12个头，30条腿。鸡、兔各几只？
（一）假设法
假设法就是先假设全都是鸡（或兔），然后根据由假设得到的腿数与实际腿数的差，就能求出兔（或鸡）的只数。
解：（30-2×12）÷（4-2）=3（只），12-3=9（只）
答：鸡9只，兔3只
（二）列举法
列举法就是列出鸡和兔的各种可能的情况，然后根据腿的总数是否符合来求解。
答：鸡9只，兔3只。
（三）方程法
方程法就是设鸡（或兔）的只数是x，列一元一次方程即可求解
解：设鸡有x只，则
2x+4（12-x）=30
解得：x=9，12-9=3（只）
答：鸡9只，兔3只
（四）面积法
面积法就是将鸡与兔的只数作为长方形的一边，每只鸡或兔的腿数作为长方形的另一边，根据长方形的面积对应的腿数来求解。
解：以长方形的一边表示鸡与兔的只数，另一边表示每只鸡或每只兔的腿数，那么相应长方形的面积表示鸡与兔的腿的总数，如图所示：
4×12=48（条）
48-30=18（条）
18÷（4-2）=9（只）
12-9=3（只）
答：鸡9只，兔3只。
三、关于“鸡兔同笼”问题的教学思考
（一）关于解题方法的思考
以上几种解题方法各有千秋，对于培养小学生的发散思维能力、感悟数学的思想和方法、提高数学学习的情感和兴趣等方面都将产生非常积极的影响。
假设法是教学中用得最多的方法，很多教师一看到“鸡兔同笼”问题，就定格为假设法而忽视其他方法。假设法也确实能够便于小学生接受，只要学会假设，同时学会寻求两个差相除，问题就得以解决。假设法是解决这类问题的一种行之有效的方法，而利用两个差相除的方法还不仅仅是假设法才用到。
列举法应该是在学生还没能掌握假设法之前就能够想到的方法，这符合儿童的认知特点。虽然在列举的过程中也许有学生会直达目标，但只有列举出所有情况才能肯定有且只有一个答案。这就会自然出现一个感觉上不太愉快的问题，那就是一一列举的操作量的问题，倘若把题目中的数据换大，势必带来操作量过大的麻烦。因此，教师还须探究更为简便可行的方法。
方程法也应该是在学生能够想到的方法，对于小学高年级的学生来说，已经具备列一元一次方程求解应用题的能力。此时运用方程法，可巩固和提高列方程解应用题的能力，同时能够感受到方程法在数学运用上的普适性。这也为学生进入初一阶段的学习，包括学元一次方程组，都是一种铺垫和过渡。因此，方程法的运用不可不提。
面积法，这是一种具有挑战性的方法，既是对学生的挑战，也是对教师的挑战。面积法使得数与形巧妙地结合在一起，不仅体现出数形结合的思想和方法，而且体现着一种数学的美。在这里，腿的数量存在着鸡与兔的只数和每只鸡与兔的腿数的乘积关系，而能够反映两个量乘积关系的几何意义的平面图形，莫过于熟知的长方形。进而，只要是能够反映两个量乘积关系的应用题，教师不妨试一试面积法。这样，面积法的运用就可能转化为一种意识，就会随之而扩大运用的范围，如行程问题、工程问题、盈亏问题，甚至较复杂的计算题。事实上，对于数学的学习，一旦学会了数形结合，也就使学习进入一个新天地。
那么，只有这些方法都展示出来，才能显示其千秋，比较其忧劣。也许有的方法并不简便，也并不易于接受，但是各种方法的数学内涵是不能相互替代的。“鸡兔同笼”教学的目的，并不仅仅是能够给出一个求解问题的方法，而应该是能够探究出解决该类问题的多种方法。否则，怎样体现新课程理念？又怎样体现课堂教学较之奥数辅导的优越性？新课程理念的核心是问题的探究，是探究的过程，是探究的过程中的创新，从而具有数学学习的情感、态度和价值观，而传统教学和奥数辅导所缺乏的正是这些。因此，借助“鸡兔同笼”的教学机会，就应该展示出这些解题方法。
（二）关于题型拓展的思考
“鸡兔同笼”教学的目的，并不仅仅是能够求解一个“鸡兔同笼”问题，而是能够求解一类“鸡兔同笼”问题。事实上，“鸡兔同笼”展现的是这样一类问题：把有联系的两种事物放在一起描述，已知这两种事物的总数和关于这两种事物本身特有的另一个数量，求这两种事物各自的数量。这类问题就是一个具有普遍性的问题，“鸡兔同笼”只不过是其中的一个代表，而用“鸡兔同笼”来代表这类问题又的确很恰当、很经典，因此，教师不妨称这类问题为“鸡兔同笼”问题。
既然“鸡兔同笼”是一类题型，那么，在教学中就应该将“鸡兔同笼”拓展为一类问题，而不是一个问题，不只是鸡兔同笼本身。因此，教师有必要将问题进行拓展，让学生看到形形的生活中的“鸡兔同笼”类型问题。在“鸡兔同笼”这个大类问题中，存在着若干小类的问题，常见的有下列问题：
1.支付问题：某零件加工厂按工人完成的合格零件和不合格零件支付工资。工人每做一个合格零件得工资10元，每做一个不合格零件被扣除5元。已知某人一天共做了12个零件得工资90元。那么他在这一天做了多少个不合格零件？
2.装载问题：有大小两个瓶，大瓶可以装水5千克，小瓶可装水1千克，现在有100千克水共装了52瓶。问大瓶和小瓶相差多少个？
3.比赛问题：赢一场球赛得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队踢12场，负6场得分16分，问胜了几场？
4.计数问题：一份中学数学竞赛试卷共15题，答对一题得8分，答错一题或不做答均倒扣4分。有一个参赛学生得分为72，这个学生答对的题目个数是多少？
5.购买问题：红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红、蓝铅笔各买几支？
6.工程问题：一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？
7.贷款问题：某公司向银行申请a、B两种贷款共60万元，每年共需付利息5万元，a种贷款年利率为8%，B种贷款年利率为9%，该公司申请了a种贷款多少万元？
8.年龄问题：今年是2012年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁，四年后父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？
9.币值问题：买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？
10.行程问题：从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路。李强上坡速度是每小时3千米，平路速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时。问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？
在这些“鸡兔同笼”类型的问题中，都有对应的“鸡”和“兔”，都有对应的“鸡腿数”和“兔腿数”，都有对应的“鸡兔总只数”和“鸡兔总腿数”。解题时，只须在头脑里装着“鸡兔同笼”即可。
（三）关于教学设计的思考
“鸡兔同笼”来自人教版六年级数学上册“数学广角”，20多年来首次进入教材和课堂，是人教版新课标教材的一大亮点。关于“鸡兔同笼”的教学设计，主要是处理好两个方面的问题，一是关于教学目标的定位问题，二是关于教学时间的安排问题。
1.关于教学目标的定位。前面谈到，“鸡兔同笼”的教学不应该仅仅局限于问题本身，而应该展示出多种解题方法和“鸡兔同笼”题型。那么，教学目标的定位，就应该将此作为立足点。下面给出关于“鸡兔同笼”问题的教学目标，仅供参考。
知识与技能目标：
（1）认识“鸡兔同笼”的数学趣题，了解与此有关的数学史，学习我国传统的数学文化。
（2）认识“鸡兔同笼”的题型，理解、学习“鸡兔同笼”问题的意义。
（3）能运用不同方法解决“鸡兔同笼”问题。
过程与方法目标：
（1）探究“鸡兔同笼”问题的各种解题方法。
（2）理解一些基本的数学思想和数学方法。
情感、态度与价值观目标：
（1）获得解决问题的成功体验，提高学习数学的兴趣。
（2）体会“鸡兔同笼”问题在日常生活中的应用，进而体会数学的价值。
教学重点：“假设法”和“面积法”的探究；题型的拓展和认识。
教学难点：“假设法”和“面积法”的探究。
需要说明的是：（1）这里的教学目标是对整个“鸡兔同笼”问题而设计的，一个学时是难以达到的。（2）“假设法”、“方程法”和“面积法”具有普遍性和实用性的运用价值，也是数学思想和方法的体现，“面积法”更是数形结合的思想和方法的体现。由于“列举法”的局限性和“方程法”是学生在五年级上学期学过的方法，“假设法”和“面积法”就成为了教学重点，同时也是教学难点。（3）由于“鸡兔同笼”的题型也作为教学的立足点，所以也就成为另一个教学重点。（4）教师首先要对“鸡兔同笼”问题要有一定的研究，否则，教学就只能是照本宣科或就题讲题，课堂目标就大打折扣。（5）在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求运用某一种方法，只要学生会解决这类问题即可，同时要兼顾学生之间的差异而做好辅导工作。（6）关于“面积法”，似乎未曾有人提到，但笔者坚持将其作为一种重要的方法，比起“假设法”来，其运用范围和数学思想都是有过之而无不及，况且它直观形象而易于接受，对中学数学的学习有非常重要的意义。（7）对于“猜测法”，我不赞同把它也作为一种让学生学习的方法，因为它是盲目的、无序的、不可操作的。
2.关于教学时间的安排。根据教学目标的定位和教学的重点难点，教学时数至少应该是两个学时，第一学时侧重于“鸡兔同笼”问题的解题方法，第二学时侧重于“鸡兔同笼”问题的题型拓展。
实际上，按两个学时来达到教学目标依然是时间紧张。尽管在教学中几种解题方法不宜平均使用，题型的拓展也是有选择的，但是解题方法的探究过程、数学思想的体会提炼和题型拓展的认识及其求解方法的巩固，都需要用一定的时间。因此，教师不妨转换一下思维和视角，瞄准课堂教学以外的时间。
利用课堂教学以外的时间，历来（包括传统的和现在的）都是被为巩固课堂教学中学到的知识而占有，就是所谓的课外作业。其实，教师也在提作业布置的改革，但就是没有实质性的举措。我以为，课外作业的布置除了少量的巩固当天所学的知识和方法外，应该布置些对问题的探究方面的作业。这种对问题的探究形式在时间和空间上都是开放的，通过学生自己动手操作、实验、制作、摆弄、查阅、访问等形式去探究和发现，学生肯定乐学，这也正是新课程的价值取向。
鸡兔同笼问题的解决方案篇5
一、链接生活现实――同一单元例题与练习间的重组
例如:教学六年级上册的“解决问题的策略――假设”,它是本单元的教学难点之一,如何化解难点?当时进行教学设计时我认真阅读了教材:教科书安排了一个例2:全班42人去公园划船,一共租用了10只船。每只大船坐5人,每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只?以及两道练一练,其中一题是鸡兔同笼问题,另一题是学生制作标本的问题。教科书选择了三道较为典型的实际问题。但是根据以往的教学经验,我考虑到练一练的鸡兔同笼问题学生更加熟悉了解,学生更愿意去解决古老的数学问题,于是我把练一练中的鸡兔同笼问题作为例题进行教学,而例题却作为练习,相互进行对调。该节课的教学设计过程如下:
1.教师谈话,揭示课题。
出示:你知道吗?“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一。它出自于我国古代的一部算书《孙子算经》。书中的题目是这样的:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各有几何?你能算出这道题中的鸡兔各有多少只吗?
师:同学们,你了解“鸡兔同笼”这个古老的数学问题吗?今天,老师想和大家一起来解决“鸡兔同笼”的这个古老的数学问题。(板书:鸡兔同笼。)呈现例题。
2.自主探究,掌握策略。
鼓励学生用多种方法解决“鸡兔同笼”的古老数学问题。学生独立解答,同桌交流,教师巡视,选择学生上黑板板演。交流不同的方法并沟通方法间的联系。观察各种解答方法,找出相同的地方和不同的地方,引导学生在画图法和列表法中寻找假设的因素,小结假设法。
巩固练习时呈现题目:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?理解句子的意思,然后独立解答。大多数学生在解答过程中用假设法,因为数据较大用假设法较适宜。
教师在教学中沟通生活,运用策略,问题就会迎刃而解,学生在不知不觉中就能掌握所学知识。
二、调整教材思路――同一单元例题与例题间的重组
教师要根据教学内容的不同要求,精心设计课堂的教学过程,充分地相信学生,以学生为中心。
例如:苏教版课程标准数学五年级下册“解决问题的策略――倒推”。在设计教案前,我认真仔细地阅读了教师教学用书,当时就考虑到教材安排的两个例题,例2比例1更贴近生活,更能让学生理解。于是我就设想先教例2,采用让学生自学探讨、自行实践,教师只是围绕教学内容设计一些相应的问题。
教学例2时我让学生自己分析问题,并用自己喜欢的方式表达出来,这样很好地调动了学生的学习积极性。在交流时,学生有用文字的办法,用画图表示的办法,用线段箭头表示的方法,等等,这些方法都描述了题目中事情的发展变化状况。通过描述,学生找到了解决问题的办法――还原。然后我出示例1,要求学生用自己喜欢的方法去解答,解答完后交流各自不同的方法。这样安排顺理成章,教师教得轻松了,不需要作过多反复累赘的讲解;学生学得有劲了,体现了主体性。这样真正体现了以教为主导、学为主体、变学会为会学,把以教师为中心转变为以学生为中心的“减负增效”。
三、顺应学生思维――不同单元例题与例题间的重组
鸡兔同笼问题的解决方案篇6
本文结合“鸡兔同笼”一课的教学实践，谈一谈探究式教学模式的几个主要环节在课堂教学中的应用。
环节一：创设情境
探究式教学模式的核心是“问题”，学生的探究性学习活动总是围绕“问题”展开。因此，依照顾泠沅教授优化课堂教学结构的“情意原理”，把学生认知过程与情意过程统一起来，从学生实际出发，根据具体的教学内容，着眼于学生的最近发展区，创设有助于学生自主学习的问题情境。
【教学过程1】教师创设故事情境。从前，鸡和兔共同生活在一个院子里，它们是好朋友。兔子看到鸡两条腿走路，觉得怪有意思，于是就号召全体兔子竖起两条腿，如鸡一样走路。如果院子里有3只兔子在练习两条腿走路，请大家想想空中有几条腿？如果空中有10条腿，再猜猜有几只兔子在练习走路？假如鸡也想模仿兔子，同学们想一想鸡怎样模仿？鸡把翅膀往下一放，也是四条腿，但它是“假”的，数学上就叫作“假设”。如果院里有4只鸡在操练，你知道地上有几只翅膀？如果地上有20只翅膀，又有几只鸡在模仿兔子呢？
环节二：启发思考
有效的教学活动是教师教与学生学的统一，教师是学习的组织者、引导者与合作者。所谓引导者，是指教师引导学生设计恰当的学习活动，激活学生进一步探究所需的知识和经验，引导他们围绕问题的核心进行深度探索、思想碰撞等。教师提出能引起学生深入思考并与当前探究活动密切相关的问题，为探究活动的顺利开展铺路搭桥。
【教学过程2】教师引导学生估计“鸡兔同笼”问题中鸡和兔的只数，学生在估计的过程中感受到数大了不好猜。教师启发引导学生此时可以怎么办。让学生体会到从简单问题入手的必要性，感受化繁为简的数学思想。引出探究问题例1：笼子里有若干鸡和兔，从上面数有8个头，从下面数有26只脚，问鸡和兔各有几只？
环节三：探究交流
自主探究是指学生为了得到某个结论或验证某个结论时自觉地进行观察、实验、猜测、计算、推理及验证等数学活动。探究性教学模式采用“自主、探究、合作”的学习方式，在教学过程别强调学生的自主探究，以及在此基础上实施的小组合作学习活动。因此，本环节成为探究性教学模式中的关键。
独立思考是进行主动探究与合作交流的前提和基础，自主探究是学会学习的重要保障，合作交流是分享交流学习成果的有效方式。没有经过思考的主动探究是无本之木，没有清晰的目标和路径；没有经过思考的合作交流，是信息的单向传递，不会产生共鸣。教师要为学生提供必要条件，帮助他们在独立思考的基础上尝试分析问题，在独立思考的过程中形成自己对数学的理解，让他们经历知识的探究发展过程，在合作交流中提高学习效率，使他们在学习活动中既发挥个体作用，又l挥群体效能。
【教学过程3】
（一）独立思考，自主探究
学生独立思考，针对问题进行判断和分析，尝试解决问题。
（二）组内交流，质疑问难
在有了个性化思考的基础上，学生组内交流解决问题的方法，发挥小组合作学习的优势，通过“兵教兵、兵强兵”，学生间互帮互学，达到对此类问题的初步感知和理解。对仍感到困惑的问题要做出标记，全班交流时共同研讨。
【教学过程4】
（三）集体交流，解疑释惑
1.交流“列表法”的解题策略。
2.交流“假设法”的解题策略（多媒体辅助演示）
预设：假设全部都是鸡，让兔子抬起两只前脚，在每个“头”下画_____只脚，用去_____只脚，题中已知的26只脚比这多出_____=_____只，多出的脚其实就是_______________的脚，再给每只兔子添上两只脚。因为1只兔比1只鸡多2只脚，所以兔子有=_____只，鸡有_____=_____只。
预设：假设全部都是兔，让鸡的翅膀当脚。在每个“头”下画_____只脚，共用去_____只脚，比已知条件26只脚多出_____=_____只，多出的脚可以看作是鸡的翅膀。因为每只鸡放下2只翅膀，即1只鸡比1只兔少2只脚，所以鸡有_____=_____只，兔有_____=_____只。
学生呈现出的表中数据既可逐一列出，也可以跳跃列举，还可以取中列举。依据表中数据逐步调整寻找答案。教师相机启发“能不能一次就调整到正确结果”从而引发学生对规律的探究。从数据的随意猜想到有序猜想，从数据的不断调整到正确答案的呈现，从规律的初步感知到理解和应用，学生的思维经历了从无序到有序、从特殊到一般、从肤浅到深刻，从而实现从“列表”到“假设”的有效衔接。
学生经历“假设―推理―计算―验证”一系列的探究过程，同时以课件动态演示为辅助手段，化静态为动态，化抽象为直观，巧妙地将认知经验和思维过程用数学语言进行表达，形成解决问题的全新策略，提升学生思维水平，培养学生的推理能力。
环节四：总结提升
教师引导学生对探究内容和成果进行回顾，既是对知识与技能的优化，也是对过程与方法的梳理，是对情感态度价值观的升华，进而深化与提高数学素养。
【教学过程5】
1.谈一谈你对解决“鸡兔同笼”问题的收获与感悟。
2.解决《孙子算经》中的“鸡兔同笼”原题，并阅读相关资料，读完后你有什么感受？
鸡兔同笼问题的解决方案篇7
“问题解决”是《数学课程标准》制定的四大总目标之一，并明确指出：“使学生步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”解决问题的方法是解决问题的核心，没有方法就是无本之木、无源之水，更谈不上解决问题。小学数学解决问题的方法多种多样，列表法就是其中一种很有效的解决问题的方法。由于列表法在解决问题的过程中比较繁琐，且教师教学时也不够重视，所以大多数学生不愿意去尝试，导致一些能解决的问题而无法解决或者解决得不彻底。因此，在“问题解决”的教学中，教师要根据题目的内容和结构特点，适时引导、鼓励学生用列表法解决问题，让学生真正体会到用列表法解决问题的好处与作用，培养思维的有序性和缜密性，提高学生的数学素养和创新能力。
一、在“租车”问题中感知列表法
北师大版数学教材三年级下册和五年级上册都安排了“租车”问题这个内容。如五年级上册“旅游费用”的“租车”问题（如下图）：“我们学校共115人，准备去秋游，怎样租车省钱？”
教学时，我是这样组织的：1．先让学生估一估怎样租车省钱。有的学生认为都租大客车省钱，有的认为都租小客车省钱，还有的认为两种客车都可以租用。2．引导学生自己探究哪种方案省钱。3．学生汇报如下：（1）115÷40＝2（辆）……35（人），需租3辆大客车，共付租金1000×3＝3000（元）；（2）115÷25＝4（辆）……15（人），需租5辆小客车，共付租金650×5＝3250（元）；（3）租两辆大客车和两辆小客车，租金是1000×2＋650×2＝3300（元）；（4）租一辆大客车和3辆小客车，租金是1000＋650×3＝2950（元）……我一一列举学生的租车方法，并追问：“还有不同的租车方法吗？”“你们所有的方法都尝试了吗？”“到底哪种租车方法最省钱呢？”这时有不少学生处于茫然状态，因为他们不敢保证是不是所有的方法都全部列举出来了，而且面对这么多种解法，学生不容易比较，思维紊乱，缺乏整体感。在这种情况下，我设疑点拨：“有没有一种能把你们列举的方法全部都罗列出来并让人一目了然，不担心有没有遗漏的方法呢？”在此基础上引出列表法，并让学生自己尝试填表。
师：比较这几个表，你喜欢哪个？为什么？
学生都认为第三个表格较好，因为它是按大客车的辆数依次减少来排列的，是有顺序的思考。这说明按一定的顺序来思考问题，不仅不会出现重复、遗漏的情况，而且很容易解决问题。这样教学，既能突出列表解决问题的优势，使学生体会到列表虽然有点麻烦，但确实是解决“租车”问题的最好方法，又能引导学生的思维处于有序状态，提高他们解决问题的兴趣。
二、在“鸡兔同笼”问题中凸显列表法
“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》，是一道很有趣味性的题目。北师大版教材将“鸡兔同笼”的内容安排在五年级上册，从教材的编排上看，其意图不是为了使学生学会如何解决问题，而是要让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会解决问题的一般策略——列表。虽然解决“鸡兔同笼”的问题有多种方法，如假设法、方程法等，但学生理解起来比较困难，唯有用列表法解决问题最简单，能把复杂的问题变得浅显易懂，适合各种层次的学生学习。
如有这样一道题：“鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡、兔各有多少只？”教学时，我故意说道：“这道题有点难哦，能用什么方法算出鸡、兔各有几只呢？”此话一出，没想到就有几个机灵的学生说：“老师，我有办法解决这个问题，我可以一个一个去试。”“这是个不错的想法。那么，怎样才能清晰地表示出你试的过程呢？”这个学生不假思索地说：“可以列表呀！”“那么，请同学们用列表的方法来解决这个问题。”因为有了前面“租车”问题的教学，学生对列表有了一定的经验，不到10分钟时间，就有学生举起了小手。
生1（列表如下）：先猜想有1只鸡、19只兔，算出它们腿的条数，然后一个一个去试。
生2：我不同意他的做法，这样太麻烦了，可以省去一些步骤（列表如下）。因为假设有1只鸡时，发现腿共有78条，应该是把兔的只数假设多了，所以可假设鸡的只数多一些，将兔的只数减少。而且，在假设有10只鸡时，发现多出6条腿，可直接得出鸡有13只，兔有7只。
生3：我从20中间设鸡有10只、兔有10只来计算腿数，列出下表。在看到60条腿比54多时，兔的只数要减少，第二行就为鸡有12只，兔有8只。
生4：因为60比54多6，6÷2＝3（只），所以只需把兔的只数减少3只即可。
……
学生汇报交流后，我做了一个统计：全班95％的学生都列出了不同形式的表格，而且结果正确。这让我很意外、很欣喜，说明用列表法解决“鸡兔同笼”问题是一个好方法，不仅能使学生很容易接受和理解，而且很多学生在列表解决问题的过程中不知不觉地运用了假设法，使解决问题更简便、快捷。
三、在举一反三中建立模型思想
学习的关键及其目的在于运用。课堂教学中，教师应引导学生概括出解决“租车”和“鸡兔同笼”问题的一般解题策略，使学生学会举一反三、触类旁通，提炼出此类问题的结构特征和问题解决的一般性策略，从而帮助学生建立模型思想。如北师大版教材五年级下册“数学与生活”有这样一道题：“粉刷某办公室约需涂料330千克，如何购买不同包装的涂料才能最省钱？每大桶18千克，160元；每小桶10千克，105元。”再如：“有20张5元和2元的人民币，一共是82元。5元和2元的人民币各有多少张？”因为学生在建模的过程中学会思维和推理，掌握了猜测、验证、假设等数学思想方法，所以题目出示后，学生能很快运用列表法求解。
鸡兔同笼问题的解决方案篇8
【关键词】小学数学；课堂教学；问题
新课改发展到今天，我们所提到的什么“有效课堂”、“高效课堂”、“卓越课堂”、“生态课堂”，甚至正在兴起的“翻转课堂”，其实都离不开以下六个问题：
一、你注重了学生思维的训练及算理的表达吗？
曾经有人作过一次对比研究：在探究长方形的面积公式计算时，一位老师就直接告诉学生长方形的面积计算公式，然后学生记面积公式，再通过大量题目进行强化训练，最后运用面积公式解决相关问题；另一位老师在教学长方形的面积公式时，是让学生数、摆、拼、量、算、猜、验证等活动，探究长方形面积公式的形成过程，然后运用面积公式解决问题。从表面上看，第一位老师的教学效率好像要高些，利用面积公式解决问题的能力好像要强些，但从教育的长远目标来看，显然，第二位老师的教学方式更有利用于学生思维能力的培养，教育是一个长期慢长的过程，它不能急功近利。
培养学生的思维能力，除了注重知识的形成过程外，我认为，一题多解也是训练学生思维的一种重要的方式。一个题目，多种解法，要求学生从不同的角度、不同的侧面去分析问题，可以训练学生思维的宽度和深度，坚持长期训练，学生的思维能力会变得非常活跃，教师可能在不经意间会获得意外的惊喜。我在教学“鸡兔同笼”问题时，要求学生用算术方法（假设法）、方程方法、画图法等多种方法解决问题。“学数学不如做数学，做数学不如说数学”，这句话很好地解释了数学思维表达能力在数学教学中的重要性。然而，从我们平时的数学课堂教学中可以看出，我们学生的数学思维表达能力不太理想，在许多公开课中，当教师提出问题后，积极举手发言的学生并不多，即使是抽举手的学生回答问题，在表达时也比较吃力，不能很好地运用所学过的数学语言表达出自己的想法。教师们经常在报怨：学生的胆子太小，表达能力不行等等。但通过我在外学习、观摩，发现许多地方的学生（特别是主城区及主城区周边教育较发达的地区）学生的表达能力非常强，他们能用较标准的数学语言流利、清楚地表达出自己的思维过程。在本校内，同年级的不同班级，学生的表达能力也是因班而异的。所以我认为：学生数学思维表达能力不强的关键原因还是教师未注重对学生的从小培养。
二、你注重了数学模型的建立及解决问题的策略指导吗？
数学是一门“模式”的科学，它是对生活原型的抽象。老师要引导学生从具体生活情境中逐渐抽象出“数学模型”，然后运用建立起来的数学模型去解决生活中的实际问题，如果教师在教学时有“建模”的意识，并加强对学生解决问题的策略指导，我们的学生就能够举一反三，触类旁通。比如我在教学“鸡兔同笼”的问题时，我通过“鸡兔同笼”这个具体的问题进行初步建模，然后运用建立起来的数学模型去解决“龟鹤同游”、“自行车、三轮车”、“租大船小船”、“和尚吃馒头”等问题。此外，还让学生寻找生活中还有类似“鸡兔同笼”的问题。在课件上两次出现：“鸡兔同笼到底有什么独特的魅力？”其独特魅力应该是数学模型的力量，才让这古老的数学题千年不衰。
三、你注重了学生的数学阅读吗？
有的教师可能认为：数学就是计算、推理、验证等思考过程，它与其它学科没有多大的关系。其实，我们应树立“大数学观”思想。数学是研究数量关系和空间形式的科学，它来源于现实生活，它必须是在学生已有知识基础、生活经验、认知水平之上建构起来。而广泛的阅读能积累学生的生活经验、夯实知识基础、提高认知水平、丰富语言词汇，从而增强学生的思维能力和数学思维表达能力。曾有人对中法两国的小朋友作过实验调查：题目为“船长的年龄有多大？”即在一只从南斯拉夫开往澳大利亚的船上，载着30头牛和40只羊，请问船长的年龄有多大？结果70%的中国小朋友答案为：70岁，而70%的法国小朋友答案为：所给的信息与船长年龄无关。检测实验结果证明了，我国的小学生存在阅读理解力、逻辑思维力相对低下的问题。前苏联教育家苏霍姆林斯基在《教师的建议》中指出：部分学生不会用词句来表达自己的思想的某个部分，因此他们语言里就出现了坑坑洼洼，模糊不清。经过多年研究，得出一条结论：这种智力上的“口吃不清”，正是由于缺乏流利地、有理解地阅读以及边阅读边思考的技能而造成的。除了课外阅读外，在数学课堂教学中，也要注重学生的数学阅读习惯。
四、你注重了对学生进行数学思想方法的渗透吗？
由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以，隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。小学数学思想方法包括：对应、假设、比较、符号化、类比、转化、分类、集合、数形结合、统计、极限、代换、模型、化归、变中抓不变、整体、可逆等。比如，我在教学“鸡兔同笼”问题时，学生出现的解决方法有：算术方法、方程方法、画图法，面对多种解决方法，老师问：“这些方法有没有相同的地方？”可能许多老师觉得：学生能出现多种解决方法已知足了，但是我紧追不放，让学生寻找这些方法之间的共同点：万变不离其宗，都用“假设”的思想。无论是画图方法还是算术、列表方法都是先假设是几只鸡或兔，方法多种不离其宗：假设的思想。“假设思想”是解决数学问题的重要思维方法之一，很多地方都可以运用假设的思想解决问题。
五、你关注了学生对计算结果的检验意识及对解决问题过程的反思意识吗？
对计算结果的合理性和正确性进行评估和检验，以及对解决问题过程进行总结和反思，这既是一种习惯，更是一种能力。我们许多学生没有养成检验和总结的习惯，其原因还是老师没有对学生进行从小的训练。
六、你关注了学生的自信心和自尊心吗？
在人的心灵的深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。在宽松、民主、和谐的课堂氛围中，才能满足孩子们的这种“根深蒂固”的需要，他们才学得自信、活得有尊严，今后才能从容地走向世界，演绎属于他们自己、更属于我们社会的精彩人生。
教师们，“问题不是比答案更重要”吗？我就以六个问题的形式来表达我对小学数学课堂教学的一点肤浅的认识，我相信关于小学数学课堂教学的相关问题肯定不止六个，但可以起到抛砖引玉的作用。我想：如果我们的教育主管部门重视更多的“教育之问”；如果我们的学校领导思考更多的“管理之问”；如果我们的每位教师心存更多的“教学之问”，那么“钱学森之问”是否就可以迎刃而解呢？
【参考文献】
[1]《小学数学新课程标准》，2011年版
鸡兔同笼问题的解决方案篇9
1.整合教材例题，鼓励学生自主探究
新教材提供了丰富的素材，教师可以充分利用这些素材，编制例题，培养学生的探究能力.
例如“二元一次方程组的解法（1）”的教案设计.
教材中有这样一个思考题：中国古代的《孙子算经》中记载了一个有趣的鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
笔者在参照此思考题的基础上做了以下设计：
引例：中国古代的《孙子算经》中记载了一个有趣的鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有九头，下有二十六足，问鸡兔各几何？”问1：若设有x只鸡，y只兔子，则根据“上有九头”这个条件能不能列出二元一次方程？问2：若设有x只鸡，y只兔子，则根据“下有二十六足”这个条件能不能列出二元一次方程？问3：方程x+y=9的正整数解有哪些？这其中有哪些又是方程2x+4y=26的解？问4：如何求方程组x+y=9，2x+4y=26的解？
通过问1和问2帮助学生列出二元一次方程组，从而引出二元一次方程组的概念.紧接着通过问3帮助学生理解方程组的解的概念.最后通过问4引出本课主题“二元一次方程组的解法”.这样的设计旨在只利用一个例题，通过层层递进的设问，展现了知识发生的过程，培养学生的自主探究能力，既创设了问题情境，又保证了课堂教学的连贯性.而原题中“上有三十五头，下有九十四足”改成“上有九头，下有二十六足”的目的在于便于计算，帮助学生在较短的时间内探索出问题3的答案，而不影响整节课的教学进度.
在探究二元一次方程组的解法的例题设计上，笔者没有选用教材中原有的例题1：解方程组3x-y=5，4x+2y=11.而是考虑一题多用，利用从引例中列出的二元一次方程组x+y=9，2x+4y=26进行二元一次方程组的解法的探究.笔者认为利用方程组x+y=9，2x+4y=26进行解法的探究在规范“代入消元法”的一般步骤的同时，更有利于“未知”转化为“已知”的化归思想的形成，提升学生的思维深度和探究能力.
2.倡导一题多解，拓宽学生解题路径
提倡一题多解，不仅能使学生所学的基础知识更加扎实，还可以拓宽学生的解题路径，促进学生解题思路的畅通.
例如“二元一次方程组的解法（1）”这一课中，笔者参照教材中的课后练习题，设计了这样一组练习：
其中，以第（1）小题作为例题的巩固练习，而第（2）小题在第（1）小题的基础上增加难度，有一定的思维能力的要求.这样的设计既可以帮助学生掌握“双基”，同时又满足了班中各层次学生的学习需求，训练了学生的思维.
结合学生的四种解法，笔者顺势提出：“这四种解法中哪种更简便？”然后引导学生进行观察、讨论.学生比照运算步骤后分析发现第④种做法最简便.理由是系数中不含分母，所以减少了计算步骤，计算量减少了，就不容易出错.于是，笔者引导学生得出结论：在利用“代入消元法”解二元一次方程组时，应先观察未知数的系数特征，一般选择系数为1或-1的未知数进行代入消元.
与第（1）小题相同，学生通过分析后发现第二种解法更简便，笔者再次引导学生得出结论：有时，整体代入能使运算变得更简便.
总而言之，一题多解可以避免过重、繁复的机械式的训练模式，可以培育求简意识，挖掘学生的思维潜能，可以激活课堂，提高课堂教学效率.
启示与思考
综上所述，精编习题是提升数学教学有效性的途径之一.通过精编习题，能帮助学生巩固“双基”，拓展解题思路，协调思维训练，有利于学生数学思维的形成和发展.
在实践中，笔者有以下几点体会：
第一，选编例题可以参照教材上已有的例题，但不能生搬硬套，应当考虑激发学生学习兴趣和认知需求的原则，根据学生的实际情况加以修改，倡导一题多用，延伸到后续问题的解决中，既增加课堂教学的连贯性，又有利于学生在学习中把握知识本质，提高教学效率.
鸡兔同笼问题的解决方案篇10
关键词：传统文化小学数学趣味课堂
在数学课堂上，怎样让学生学习的同时关注相关传统文化？怎样让小学生透过数学知识的学习更深入的了解中国传统文化？又该怎样让我的学生充分的感受到祖先们对我们如今的幸福生活所做出的贡献？要想让学生做到以上几点，就必须通过研究教材和实际案例，在我们目前所用的教材中存在很多关于传统的知识，那怎样将这些知识充分利用起来就需要我们进一步的研讨。
一、充分利用课本已有信息，对学生进行传统文化熏陶
课本是学生接触最多的素材，在我们的教材上有“你知道吗？”环节，这些知识是在方框中框起来的，平时容易被我们忽略，但是这里面却饱含着有关数学中的传统文化的知识。比如说学习小数意义的这个章节中，就指出我国是最早提出这个概念的国家。我国数学家刘徽在公元三世纪提出徽数的概念，这就是小数的雏形，数学家朱世杰在公元十三世纪正式提出小数概念，随后这个概念一直沿用至今。从这方面就可以看出，我国古代数学学科研究也相当先进，古时候的前辈都很善于钻研，通过这部分的学习可以让学生对我国数学发展历史有更多的了解，同时也能提升学生的爱国热情。
出入互补的理论对图形进行面积计算，这就是刘徽所采取的计算面积的方式。而我国在学习相关章节时，很多同学也会想到这种方法，在这种情况下，教师就可以适时的对学生进行表扬，这样可以让学生提高对数学学习的兴趣。
二、小学数学趣味课堂对提升学生兴趣的作用
对教师来说，备课是一个重要的环节，是对相关知识的一种梳理和整理，更是对相关知识的一种延伸和拓展，是对课堂教学的完善的准备，毕竟，只有充分准备，才能够为课堂教学奠定坚实的基础，提供更好的保障，为课堂教学的成功铺平道路。
比如，学生对循环小数的理解容易分出现偏差，尤其是将其与其他小数进行对比的时候，如无限小数，就会觉得无所适从。这时，学生对这句话有点不理解，于是我想借助一个例子来说明这句话的意思，就想到了圆周率π，写成小数是3.1415926……这时学生都出现了惊讶的表情，我就借助这个机会对学生讲了我国的祖冲之等人与圆周率的关系，学生们都很敬佩。有这样的举例，既能让学生更好地理解相关的数学知识，也能让学生对我国一些历史上的成就有所了解，一举两得。
三、利用魍澄幕促进小学趣味数学实践的具体措施
数学教学的成功，并不仅仅取决于课堂，更应该更多地延展到现实中，以达到学生更好地理解相关知识，更好地找到解决问题的更多样化的方法，并且从中选择最佳的方法的目的。因此，在小学数学的教学过程中，教师应该不断增加趣味性的内容，并且尽可能低融入中国的传统文化中的一些数学相关的东西，这可以拓展学生的视野，让学生更热爱数学。比如，可以通过“鸡兔同笼”这一古老而有趣的问题，激发学生学习兴趣，让学生对多视角思考问题有更好的理解和体验。在学生思考和讨论的基础之上，教师可以为学生们讲解最为有趣的解题方法，那就是在《孙子算经》中就已经出现的“砍足法”。这一方法具有独特的思路，其是根据鸡和兔子不同的脚的数量作为解题的切入点，首先将两者的脚都砍掉一半，则就出现了“独脚鸡”和“双脚兔”，在进行解答就变得比较简单了。早在一千多年前就出现的这一独特的思路，从本质上看，这是化归法的一种，是一种以化繁为简为思路而衍生出来的比较实用的数学思维方法。就像是鸡兔同笼这个问题，就比较新奇独特，本身就能够吸引学生。
此题可以通过合作探索，主动构建：
1.出示例子：教师：首先我们可以从相对简单的问题来进行研究，将题目中的35个头，94只脚更换成8个头，26只脚。这样题目就会变成在笼子中有鸡和兔子两种动物，我们可以看到有8个头和26只脚，那么请问笼子中分别有多少只鸡，多少只兔子？2.题目中的8个头和26只脚分别代表什么意思？3.尝试与探究，教师：大家可以猜一猜一共有多少只鸡，多少只兔子？学生进行大胆猜测，教师：通过大胆的猜想可以有很多意想不到的发展，刚刚我们是随意猜，接下来我们可以通过一定的顺序来进行猜测（出示课件表格）：鸡876543210兔012345678脚161820222426283032师：如果先猜有8只鸡和0只兔，就有几只脚；和题目中26只脚相不相同？这说明了什么？该怎样去做？如果有七只鸡一只兔，那么一共有几只脚，脚的只数怎样？加入增加一只兔，那么会变成有几只鸡？这种情况下有几只脚？老师：从大家的回答中可以看出大家都非常细心，那么请问我笼子中动物总数不变的情况下，每增加一只兔子，减少一只鸡，就会增加两只脚，而每减少一只兔，增加一只鸡，脚的总数会减少两只？这个二到底如何来份额？根据这种方式我们能否得到鸡和兔子的总数？大家认为这种方式如何？学生：当动物的头和脚比较多时，采用这样的列举法很难获得正确答案，所以我们应该研究新的方法来进行计算。
四、结语
我们平时在学习中很少关注课本上的各种文化传统知识，但实际上教材中类似知识非常多，只是我们缺乏关注，但只要我们对教材进行深入研究，组织好课堂教学，就能够实现将学生全面发展的教学目的。同时也可以让学生通过了解数学历史，从而更加热爱数学这门课程。
参考文献：
[1]王会会.小学生数学学习力提升研究[D].河南大学，2015.
[2]朱黎生.指向理解的小学“数与运算”内容的教材编写策略研究[D].西南大学，2013.
[3]梁红秀.小学高年级数学自主学习能力培养模式探究[D].四川师范大学，2015.
[4]常梅芹.小学数学科普阅读指导的行动研究[D].扬州大学，2014.