高中数学函数概念篇1
函数是高中数学的重要内容之一，函数的思想和方法贯穿了高中数学课程的始终。同时，函数概念也是高中数学的难点。调查表明，很多学生对函数概念的掌握并不理想。每次考试过后，总有学生由于对函数概念把握不准，导致解题失误。
现行普通高中《课程标准》实验教科书（必修1）上采用的函数定义是：“设a、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：aB为从集合a到集合B的一个函数。记作：y=f（x），x∈a。其中x叫作自变量，x的取值范围a叫作函数的定义域，与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）|x∈a}叫作函数的值域。
笔者认为，函数概念具有高度的抽象性，学生真正理解函数概念需要一个漫长的过程，需要在不同层次上、从不同角度给学生提供理解和巩固函数概念的机会。对函数概念的教学，应基于以下几点思考：
一、要使学生了解函数的形成过程
从历史上看，函数概念的产生经历了“变量说”到“对应说”两个阶段，函数概念来源于物理公式。在初中，学生学习过的函数概念，也是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。函数概念几乎等同于解析式。要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制。而如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究。例如：
f（x）=1，当x是有理数时，0，当x是无理数时。
对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么。但用集合、对应的观点来解释，就十分自然。
通过对函数概念历史发展的了解，既可以向学生渗透数学文化，也有利于让学生对函数概念了解更加全面，以激起学生对函数学习的兴趣。
二、要使学生理解函数的本质特征
函数的本质特征是“对应”关系。这种“对应”，正是函数的内涵所在。
1.函数的“对应”关系有三种形式
一是具体的两变量之间确定的对应关系，如函数的解析式；二是以列举方式给出两个变量之间的对应关系，如统计数表等；三是以曲线形式反映的两变量之间的对应关系，如一天中的气温随时间的变化图等。
2.函数的“对应”关系包含三层内容
（1）“非空数集a、B”――说明变量的存在性；（2）“两个变量x和y，x∈a、y∈B，某个确定的对应关系f”说明函数是研究两个变量间的依存关系；（3）“对于集合a中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）（即y）和它对应”――说明有唯一确定的对应规律。
3.函数的“对应”关系具备三个要素
函数y=f（x）的记法，突出了函数的三个要素之间的依存关系。其中“f”是连接“x”和“y”的纽带。
（1）对应关系f下的自变量。在记法中，f的变量为x，这里应突出x的整体性，即整个x充当的f自变量，由于函数的抽象性及换元的数学思想，这里的x只是充当一个代表元，也就是说x可以表示单纯的x，也可以表示关于x的某个单项式，甚至可以是关于x的其他代数式。因此，对应关系f下的自变量，严格来说，是f后面括号内的整个变量式。这为以后进一步求抽象函数的定义域打下伏笔，如①已知f（x）的定义域为[a，b]，求f[g（x）]的定义域，就是求不等式a≤
g（x）≤b的解集；②已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，求f（x）的定义域，就是求当x∈[a，b]时，g（x）的值域。
（2）对应关系f下的函数值。y是x通过对应关系
f得到的，y值是相应x的值在对应关系f下的函数值。因为x只是一个代表元，因此对应关系f下的函数值y，严格来说，是f后面括号内的整个变量式的值通过对应关系f而得到的函数值。这也为以后进一步求复合函数的值域埋下伏笔。另外值域中的每一个值y，都能在定义域中“找到”一个或几个x的值与之对应，这又为以后利用方程思想求函数值域打下基础。
三、要使学生学会对函数概念的灵活运用
在学生理解了函数的本质特征即“对应”后，我们要在实践中使学生理解和掌握概念，引导学生运用函数概念去解决一些实质性的问题，培养学生运用概念分析问题与解决问题的能力，进而使学生在理解的层次上达到一个新的高度，在认识上得到升华。
例1：函数y=f（x）与直线x=a的交点个数为（）。
a.1个B.2个C.0个或1个D.无穷多个
例2：函数y=x2和S=v2是否同一个函数？
高中数学函数概念篇2
（一）函数知识是个复杂的体系
函数概念包括两个本质属性（变量和对应法则）及一些非本质属性（如集合、定义域、值域等），还有函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。中学数学的函数就有对数函数、指数函数、三角函数、导函数和函数列（离散型函数）等多种类型。有了函数概念，方程、函数和不等式三者就得以联系和整合，函数知识已经构成了一个复杂的知识体系，成了中学数学的核心内容。因此，学生对函数概念的理解程度也将影响他们对函数有关知识的掌握程度。
（二）“变量”概念的复杂性和辩证性
函数涉及较多的子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则等。其中，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关，但数学中对时、空是没有定义的。
另外，数学中的“变量”与日常生活经验是有差异的。函数定义在初中和高中分别采用“变量说”和“对应说”。“变量”、“对应”并没有给出比较明确的定义。在日常生活中“变量”是变化的，是不确定的。而数学中的变量包括常量。正是由于日常的变量概念对学生的干扰，使很多学生认为“Y=2中Y的值不随x的变化而变化，所以它不是函数”。函数概念中变量的意义更具一般性，既可以作为数，也可以作为点、有形之物，甚至为无形的东西。在教学实践中，教师往往对变量概念的理解困难估计不足，课堂上只是给出变量（自变量、因变量）这个词汇，至于学生头脑中的变量概念是怎样的，很少顾及。如果学生不能很好地理解变量概念，就会影响他们对函数概念的理解。有的学生能认识到函数是一种单值对应，但还弄不清是谁对谁的单值对应（函数是函数值对自变量的单值对应），或是在变化了的不熟悉的函数表征形式中难以区分自变量和函数值。
（三）函数的表征形式特别丰富
函数主要的七种表征类型：①解析式：这是中学教材中最常见的，例如二次函数f(x)=x2-2x-3；②图象式；③表格式；④集合箭图式(如左图)；⑤函数机器式(如右图)；⑥序偶式：例如，f={(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}；⑦通俗语言式：例如，甲是乙的两倍再加上3。
这七种类型各自又有很多的变式，要都能正确识别的确是困难的。有时要求学生在符号语言、图形语言和文字语言之间进行灵活地转换，使抽象思维和形象思维结合起来，这对学生而言，更是一种思维上的挑战。另外，函数概念学习之前，学生对数与形的学习基本上是分开进行的，而函数要求在符号语言与图形语言间进行适当地转换。
中学阶段的数学教学，传统上只是关注函数解析式表征形式的教学，同时它们的图象都是直线或光滑的曲线，只能用列表法表示的函数例子屈指可数。学生从未接触过“不光滑”的曲线，这样势必影响学生对函数概念的建构，导致学生在心理上建立起不恰当的概念表象。学生很容易把按某种对应法则理解为一种规则或规律甚至是一个等式或代数表达式。Vinner指出，在学校教学的函数概念，经常只是用它的一种表征形式，要么是代数符号形式要么只是图形形式，前者会导致学生把函数当作公式。
（四）函数符号的抽象性
函数概念的符号化表示是学习的难点，y=f(x)表示了一种广义的又是特殊的对应关系，其中每一个字母往往既是广义的，又是特定的。例如，f表示任意一个函数，但又是一个确定的函数，但这种含义学生仅从字母是难以看出的。学生不能通过符号“f”来想象对应法则的具体内容，即使f所表示的对应法则是确定的，学生也缺乏足够的为符号“f”建立起具体内容的经验基础；也不能通过x或y来想象定义域，值域到底是什么。总之，要付出比//等符号更多的思维操作。“f”的抽象性和隐蔽性，大大增加了函数的学习难度。
另外，在f(x)的定义中，“对于任意给定的x，都有唯一确定的y”，其中同时强调“任意”和“给定，这对学生的
早期理解是有障碍的。
（五）学生的思维发展
高中数学函数概念篇3
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教a版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.
对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.
高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.
学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.
课程目标
学科素养
能根据函数的定义判断两个函数是否为同一个函数
会求函数的定义域
会求函数的值域
1.逻辑推理：同一个函数的判断；
2.数学运算：求函数的定义域，值域；
1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；
2.教学难点：求函数的值域。
多媒体
复习回顾，温故知新
1、函数的概念：设a、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：aB为从集合a到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x) x∈a．
x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈a }叫做函数的值域.
2.对函数符号y=f(x)的理解：
（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是f与x相乘。
例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1。
当x=2时y=7可以写成f(2)=7
想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？
一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。
（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，
如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；
二、探索新知
探究一 同一个函数
前提条件
定义域相同
对应关系完全一样
结论
是同一个函数
思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
探索二 常见函数的定义域和值域
思考2：求二次函数的值域时为什么分和两种情况？
提示：当a>0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y|y≥}．
当a
例1.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(
)
(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．(
)
(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．(
)
[解析] (1)f(x)＝与g(x)＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．
(2)例如f(x)＝与g(x)＝的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数．
(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．
例2 (2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(
)
[解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数．
例3．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( a )
a．{－2,0,4}
B．{－2,0,2,4}
C．{y|y≤－} D．{y|0≤y≤3}
例4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是(
)
a．{y|－1≤y≤1} B．R
C．{y|2≤y≤3} D．{－1,0,1}
[解析] 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．
关键能力·攻重难
题型一 函数的值域
1、函数的值域是(
)
a．(－3,0]
B．(－3,1] C．[0,1] D．[1,5)
[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．
[解析] 由，可知当x＝2时，；当x＝0时，，
因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．
[归纳提升] 二次函数的值域
(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；
(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；
(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．
题型二 同一个函数
2、判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？
(1)y＝与y＝1；
(2)y＝与y＝x；
(3)y＝·与y＝.
[分析] 判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．
[解析] (1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y＝的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数．
(2)对应关系不相同，y＝＝|x|＝的定义域为R，y＝x的定义域也是R，但当x
(3)函数y＝·的定义域为使成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此条件下，函数解析式写为y＝，而y＝的定义域也是{x|－1≤x≤1}，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数．
[归纳提升] 判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤
(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．
题型三 复合函数、抽象函数的定义域
3、(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为_______________.
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为______________.
(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为____________.
[分析] (1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．
(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．
(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．
[解析] (1)由－1
(2)－1
(3)由f(2x＋1)的定义域为(－1,2)得f(x)的定义域为(－1,5)，
由－1
[归纳提升] 函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：
(1)若已知函数f(x)的定义域为数集a，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈a解出．
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集a，则函数f(x)的定义域为g(x)在a中的值域．
误区警示
函数概念理解有误
1、设集合m＝{x|0≤x≤2}，集合n＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合m到n的函数关系的个数是(
)
a．0
B．1
C．2
D．3
[错解] 函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D．
[错因分析] 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．
[正解] 图(1)定义域m中的(1,2]部分在值域n中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B．
[方法点拨] 函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集a、值域与数集B之间的关系．
学科素养
求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用
1．分离常数法
求函数y＝的值域．
[分析] 这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋的形式再求函数的值域．
[解析] y＝＝＝3＋，
又≠0，y≠3.函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}．
[归纳提升] 求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋的形式．
2．配方法
求函数的值域
[解析] ，
其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．
根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且；当x＝－2时，y取最大值，且.
故的值域是[－12,3]．
[归纳提升] 遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋)2＋的形式，从而求得函数的值域．
3．换元法
求函数y＝x＋的值域．
[分析] 忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令＝t，则x＝(t2＋1)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围．
[解析] 设u＝(x≥)，则x＝(u≥0)，
于是y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥.
故函数y＝x＋的值域为[，＋∞)．
[归纳提升] 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．
woRD模版
源自网络，仅供参考！
高中数学函数概念篇4
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2、教学目标及确立的依据：
教学目标：
（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3、教学重点难点及确立的依据：
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理：
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。学法：
四、教学程序
一、课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
二.新课讲授：
（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：aB，及原像和像的定义。强调指出非空集合a到非空集合B的映射包括三部分即非空集合a、B和a到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从a到B的对应是否为映射的关键是看a中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。
（2）巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。
例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设a、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得a中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合a到集合B的映射，它包括非空集合a和B以及从a到B的对应法则f），并说明把函f：aB记为y=f（x），其中自变量x的取值范围a叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈a}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
2.函数是非空数集到非空数集的映射。
3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
5.集合a中的数的任意性，集合B中数的唯一性。
6.“f：aB”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域a（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。
三.讲解例题
例1.问y=1（x∈a）是不是函数？
高中数学函数概念篇5
【关键词】函数映射说;建构;固着点;认知障碍;思维定势;顺应
函数是高中数学的重点和难点，函数思想贯穿着整个高中数学.因此对于函数概念的教学研究从未停止过.已有的研究主要包括以数学史指导函数教学和以建构主义理论指导函数教学.但是以往研究对于如何做好初中和高中两个函数定义的衔接目前还没有相关研究，也没有可操作的教学建议.本文针对如何处理初中和高中两个函数定义在思维上的衔接问题，结合教育心理学理论和数学史知识给出了关于高中函数定义教学的具体的可操作的建议和措施.
1.初高中函数概念的区别与联系
初中函数以一次函数，反比例函数，二次函数为主要内容，性质较少且比较简单，单调性形象化仅仅用增大、减小来反映，与其他知识联系相对简单;而高中函数首先概念理解的难度增大，要深刻研究二次函数，还要学习指数、对数、幂函数教学内容多，知识信息广泛，形式化程度较高，与函数相关的内容关联程度高了许多，对数学语言的运用要求更高.初中函数概念没有突出“函数”应当指对应法则本身，而高中函数定义正抓住了这个关键点.在概念教学中，由具体到抽象，尤其多出抽象的“对应法则”这个概念.初中函数仅仅是一个基础，而高中函数则更加丰富多彩，它将通过单调性、奇偶性、周期性、对称性等众多独特的性质出现在我们面前.
2.高中教材没有涉及与初中函数概念衔接的内容
高中教材编写者也在高中教材的第一节引言中提到：“在初中，我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，从本节开始，我们将进一步学习有关函数的知识”.虽然提到了初中学过，可是并没有真正将初中内容与高中内容衔接起来，学生只是被提醒学过，可是跟现在学习的有什么不同，有什么联系，都没有涉及到.
学生在初中阶段已经学习了函数概念的变量说，即：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.并且在此基础上有学习了一次函数，二次函数及反比例函数.至此，函数的变量说定义已经在学生大脑中形成了深刻印象.那么当学生在高中再次学习函数定义时就会产生疑问，初中已经学习过函数的定义了，高中为何又要重新定义呢？两个定义是什么关系谁服从谁呢？在这样的疑惑中学生很难顺利接受新知.
高中教材以三个例子归纳出函数映射说的定义后便直接进入求定义域和值域的例题，没有分析两个概念的联系和区别.笔者以为函数定义映射说的固着点正是新旧概念的区别和联系，如果此处没有深刻具体的对比分析将难以打破旧概念的定势作用，从而不能实现旧概念对新概念的顺应.
3.实现初高中函数概念的衔接的教学建议
高中数学人教a版必修1的1.2.1节内容是函数定义.教材的编写结构是由三个例子归纳出函数定义，而后给出两个例题强化定义域和值域的概念，至此结束本节内容.笔者以为教材对初中函数的定义的衔接处理太少，不利于学生的新知识的建构，故而给出实施教学时的具体建议.
奥苏贝尔曾经说过：“如果让我用一句话概括教育心理学的内容，我将说就是在学生已有知识的基础上进行教学.”数学教育家波利亚有句名言：“教师要教的知识是非常重要的，而学生已经知道的知识是更加百倍的重要.”因为学生已经具备的知识是学生构建新知的固着点.而数学知识的逻辑性强，充分了解学生已有的知识结构并在此基础上进行教学就显得更加重要.
鉴于对教材和学生已有知识的认识，教师在处理教学时应从以下几点入手.
（1）以问题引入
教师给出狄里克雷函数，让学生观察讨论该函数的特点，并且提问这是否是函数，能否用初中的函数概念来描述它.由此发现函数变量说的局限性，从而引出重新定义函数的必要性.这种处理方法是符合函数概念发展历史的.历史上函数定义映射说的产生正是由于数学家狄里克雷给出的狄里克雷函数，迫使函数定义的变量说需要再一次被升华抽象.学生学习数学知识是对前人知识的再认识再发现，这样才能顺利而正确的掌握知识.因为学生在学习函数概念时遇到的困难和问题与函数发展史上出现的问题是一致的.函数的定义从变量说抽象到映射说经历了近一百年的时间，可见两者在思维上跨越之大，而这种思维的跨越正是今天我们的学生所面对的认知障碍.正如费赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法就是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”函数发展过程中的认知障碍也是今天课堂上学生的认知障碍.因此在函数的教学中，需要恰当借鉴历史，选择学生容易接受的典型情境探究函数概念，使学生在情境的识别与辨析中逐步体会它的形成过程，并亲身感悟逐步抽象函数概念的方法，将有助于学生打破思维定势，形成清晰的认识，并深刻理解函数概念.
（2）在概念的形成过程中，让学生回顾初中用变量的关系给出的函数概念并让学生在已有知识经验中找出一个函数原型，如y=3x，引导学生写出它的定义域、值域.从x和y的取值范围中抽象出两个集合，为新旧概念的过渡搭建桥梁.
（3）在对比中建构
在归纳出函数映射说的定义后，将函数定义的变量说与映射说做对比发现异同，体会函数映射说的进一步的抽象性和先进性.通过对比发现二者的关系，实现新旧概念的衔接，从而打破旧概念的定势作用，为新概念建构找到清晰的固着点.在概念的教学过程中，要让学生充分暴露错误（不全面的）概念，把对事物表面现象观察及思维的结论与数学知识进行对比，反思，找出矛盾所在，经历认知上的冲突和震撼，改变不平衡的认知结构，促成新概念的同化和顺应.如果没有对两个定义进行对比，体会二者的区别和联系的话，那么教师就有将函数映射说强加给学生的嫌疑.“因为所有知识的学习都涉及到原来经验的迁移，迁移量是以学生带到学习情境的原有知识为基础.”正如费赖登塔尔在《数学结构的教学现象学》中告诫我们：“一般来说，人们宁愿教授概念，而不愿教思维对象与思维活动，而这就是我所谓的违反教学理论颠倒的例子.”
（4）数学史知识的介绍
函数概念从萌芽到完善经历了300多年的历史，期间多次更改定义.每次新的定义都是在前一个定义的基础上再抽象再扩张.“由于学习的封闭性，学生很少从课本及习题集以外的途径获取有关函数的知识，所以我国学生对函数关系的前概念知识是贫乏的，难以适应从数学情境中提出数学模式进而用数学符号或图形表征出来的发展历程.”因此介绍函数发展史有利于学生开阔眼界拓展思维，从而对函数有全面深刻的理解.
函数概念是人类300多年思维的结晶，教学中不求一步到位，应该遵循认识的由远及近，由模糊到清晰，由粗略到精细的认知过程.
新一轮课程改革实施已达到10年时间，教学观念的转变必然带来教学方法的转变.在这一轮改革中需要所有教师群策群力，践行新课程理念.路漫漫其修远兮，我辈须上下而求索.
【参考文献】
[1彭林，童纪元.借助函数概念的发展史引入函数概念[J].中学数学，2011（6）.
[2]李红梅，张晓梅.数学概念教学的几个策略[J].教育教学论坛，2014年（15）.
[3]JohnDBransford.人类是如何学习的――大脑、心理、经验及学校[m].上海：华东师范大学出版社，2002.
高中数学函数概念篇6
关键词高一函数概念有效教学
一、高一学生对函数概念学习的理解水平
（一）对基本概念、基本知识掌握不牢固
数学概念、基本知识的学习是数学学习的基础，需要正确理解概念，正确、灵活运用概念、公式解决数学问题。在这方面绝大多数教师在教学中已经作了很大努力，但考生对数学概念望文生义、臆造公式和法则，忽视双基，导致基础题丢分，成绩不理想。函数概念学习中有许多错误表现为学生认知的“惯性”。这种思维导致学生在数学概念中不知不觉地犯某种错误，表现为不恰当的推广、扩大，不恰当的方法迁移，或者在过于限制的领域内建立联系，而没有整体地去看问题，或者是对某一数学方法的偏好，而忽略其对立的方法，或者思考问题时思维的单向性、单一性。思维惯性影响低层次认知水平向高层次认知水平迁移，影响着新的认知结构的建立和发展。
（二）知识的掌握不扎实、方法不熟练
由于学习进度快，前面学习的内容没能得到及时再巩固，使大多数学生知识的掌握存在漏洞，不扎实、不系统、不牢固，在考试短时间内综合运用显得力不从心，考虑到这就忽略那，从而造成答题不完整，步骤不全、条件不全等情况。
学生在学习新概念时，常常按过去的经验、结论、方法对概念作“合理”的推广，由于没有清楚新的概念层次与原来概念层次之间的差异，所以大多数“合理”推广是错误的。但是推广是数学研究与学习极为重要的途径，是学生在同化与顺应过程中的思维构造，它可以扩展学生思维、培养学生探索能力。学生自身具有探索、创新的潜能与欲望，他们时刻自觉地在作尝试、推广工作。但他们掌握的知识毕竟有限，有时在推广时考虑不那么全面，往往会导致出错。特别是在函数概念学习中，他们同样会这样做，这种推广是人类天性与潜能，有时会导致错误，但是只要教给学生一定的方法，错误还是能尽量避免的。
（三）基本运算能力不过关
运算能力的考察在平时的考试和学习中中占有一定分量，试卷中具有非常明显的比例。由于运算不过关导致不能正确地对试题作答的情形在考生中十分普遍。计算和式子变形出错很多，公式不熟，步骤、格式不规范，该写的步骤不写，该加的条件不加，符号表达不准确等现象，造成该得到的结论没有得到，这对下一步的思考带来了障碍，使学生被一些表面现象所迷惑，对概念的理解也会出现失误，从而影响正常的判断。
二、对高一函数概念有效教学的建议
函数概念多元表征情景的创设是函数概念多元表征教学的前提。与实验教材相比，新课标中函数概念更注重多元表征情景的创设。譬如，函数具体实例表征由过去的“两个数集对应”，换成了“解析式”、“图象”、“列表”三种对应。另外，时下数学课堂，虽注重多元表征教学情景的创设，但总体来看，很多教师只是照本宣科地由情景到情景，并没有注意或意识到函数概念多元表征情景的优化。本研究依据数学多元表征学习视角，认为优化函数概念多元表征教学情景，可以遵循以下原则。
（一）导入遵循“变量说一对应说”
函数概念经过了200多年的发展，在演进过程中衍生多种界定，形成了不同的表征。总的来看，我国初中到高中对函数概念界定，主要遵循。变量说一对应说。因此，对于高中函数概念的教学，应该在变量说的基础上再现函数概念的发生、发展与形成过程。
（二）具体表征实例包含“式、图、表”三种表征
解析式是函数的符号表征，具有抽象性、简洁性、运算性等特点，是形成函数概念言语化表征的学习材料。图象、列表是函数的图象表征，具有直观、形象，是形成函数概念视觉化表征的必要学习材料。有关多元表征功能的研究表明，言语表征与心象表征具有互补、限制解释以及深度理解等功能，函数概念三种不同的表征形式，可以建构多元表征的学习平台，有利于促使学生学习函数概念的多元表征，并在多元表征的转换与转译中实现对函数概念本质的理解。
（三）“听、说、看、写”相结合
多次实际课堂观摩发现，许多课堂注重关注学生的“听”和“看”，这样的“填鸭式”课堂，学生极度缺乏“说”和“写”的机会，无法促进学生深度加工各种表征，多元表征的教学与学习最终只能流于形式。
双重编码理论认为，言语码和心象码可以通过不同的感觉通道获得，各种编码形式可以是视觉的、听觉的、甚至触觉的。因此，课堂上要求学生听、说、看、写等，可以促使他们从多元渠道学习函数概念，从而把握函数的多元属性。
（四）深度解释策略
从“解释策略”的角度看，目前数学概念教学中主要存在着两个缺陷：其一，以教师的解释为主，甚至许多教师独揽了解释权；其二，许多概念的解释过于形式化，。一个定义，几点注意。常常淹没了概念的本质属性。概念解释的缺乏或解释过于肤浅，都不利于多元表征的转换与转译操作的产生以及实现。
深度解释策略，主要包括教师的解释与学生的解释两个方面，而且更突出后者。这是因为，通过深度解释，学生使自己的编码外显化，通过对他人解释的内容批判性考察，学生间的个体数学知识可以相互补救，以促进和增强深层码、整合码的建构。
在函数概念的教学中，我们可以设计看图说话、积极回答问题、积极参与讨论、主动交流与分享等活动，促使学生对函数概念进行深度解释。譬如，在学习完函数的定义表征后，我们可以创设这样的深度解释机会：从宏观看，函数概念包含了哪些主要因素？从微观看，函数概念主要因素间应该满足什么条件？张同学通过观察，认为函数概念就像“加工厂”，他的这个比喻是否合理？为什么？这些问题的深度解释，能引导学生从文字表征、符号表征、图象表征等各方面进行加工、转换、转译，有利于学生整合各种表征，从而抓住函数的本质属性。
参考文献：
[1]谈雅琴."高一学生对函数概念的理解"的调查研究[J].中学数学教学参考，2007，1-2：119-121.
高中数学函数概念篇7
在函数概念的学习中，高一新生以初中的认知结构为基础，把学生生活实际与函数概念的关键特征有机结合起来，使学生对函数概念的认识经历了泛化――分化――综合的过程，函数概念的“变量说”经过不断地分化和整合，函数概念的本质特征被原有的观念所同化，从而形成“对应说”的函数概念，建构起了新的函数认知结构。在抽象、概括出函数概念之后，教材内容上安排几种特殊类型的函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等），通过探究各种具体函数类型，逐步深化对函数本质特征的理解，使新的认知结构更加巩固和完善，达到对于函数概念的理解螺旋式上升的目的。
一、对于函数概念抽象性的教学策略研究
1.借助生活原型进行函数概念的直观教学
通过学习，学生可以不断强化甚至改变这种概念的意象。个体在知识的运用中，首先反映的不是概念的抽象的定义，而往往就是这种概念的替代物即具体模型或者直观形象。我们知道，数学概念具有过程和对象的双重属性，所以它是逻辑分析的对象，概念的教学过程应该又是具有实现背景和丰富寓意的建构过程，展示数学概念的生成过程尤为重要。无需赘言，在现行新课标教材（以人民教育出版社出版的实验教材为例）的编排上，教材内容就充分体现了函数概念具有过程――对象的双重性的这种特点。弗来登塔尔主张儿童应该学习“现实的数学”，从学生所熟悉的现实生活开始，沿着人类数学发现活动的轨迹，从现实问题到数学问题、从具体问题到抽象概念、从特殊关系到一般规律，逐步让学生通过自己的主动建构知识，实现数学的“再发现”，即数学化。函数概念的理解应该建立在学生的已有的认知结构和实际生活基础上，这样才有益于学生对于知识的内化和顺应。
2.借助函数不同的表征形式加强函数概念的教学
通过函数的表征形式的教学，可以帮助学生实现对于函数概念本质的理解，实施分两个阶段进行。第一阶段，进行同一种函数的多种表征形式的识别的教学。第二阶段，引导学生用不同的表征形式去表示相同的函数。传统的教学方法，不太关注同一函数不同的表征形式联系教学，这就导致学生在理解函数概念时，往往会用单一函数的表征形式来代替某一类型函数，导致学生无法理解函数的本质。
3.数形结合的函数概念直观教学
“领悟数学理论看来涉及认识该理论在物理、几何及数学的一些更熟悉、更容易理解的那些部分的一个模型”。心理学家认为，学生对于概念的识别优于对概念特征的说明，概念外延的掌握优于概念内涵的掌握，具体概念的掌握优于抽象概念的掌握，形式概念的掌握优于辨证概念的掌握。在定义和图形之间，学生更加愿意用图形来作为概念的代表，用图形来表示概念。
4.运用数学逻辑上的直观方式进行函数概念教学
高一学生的抽象思维的发展从经验型占主导逐步向理论型占主导转变，并且迅速进入理论型发展的关键时期。他们已经具有初步的抽象思维能力和意识，所以在这个时期，有意识培养学生的理论型的抽象思维是十分必要的。充分利用与函数概念相关联的数学概念和数学符号，进行逻辑直观方式的教学，极大帮助学生对于函数概念本质的理解，可以促进学生对于函数概念的知识建构。
二、对于函数运用学习障碍的教学对策研究
1.“模式识别”是提高解决函数概念问题能力的有效途径
教育家陶行知先生提出“生活教育”的教育思想，他认为最好的教育就是从生活中学习。教师要把生活、数学、社会有机结合起来，尽可能建立生活中的问题情景，从学生的生活入手，加强利用函数知识解决问题的能力，进行函数概念的学习。
在函数与方程、不同函数模型的增长差异、用函数模型解决实际问题、从理论到实际生活，函数概念的运用都有着充分的体现。从生活着眼，教材创设了大量的问题情境，通过问题的解决，可以达到正确理解和加深函数概念的目的。教学案例：某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、61、68。为了预测以后各月的患病的人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c。乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病的人数，x为月份，a、b、c、p、q、r都是常数。结果4月、5月、6月的患病人数分别为74、78、83，你认为谁选择的模型较好？
点评：其实本题是一道较易的题目。解答此题需要分析所给的数据的特点，而后结合两类函数的变化快慢即可解答。但是，本题可以看做是函数概念的本质一个典型题型，通过解答，可以让学生进一步体会自变量x与因变量y之间的对应关系。
高中数学函数概念篇8
关键词 函数 概念
回顾函数概念的历史发展，函数概念是不断被精炼，深化，丰富的。初中时函数的定义是一个变量对另一个变量的一种依赖关系。在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。高中时，是用集合与对应的语言描述了函数概念。函数是一种对应关系，是函数概念的近代定义。
设a,b是非空数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:ab为从集合a到集合b的一个函数,记作y=f(x),x∈a。函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
函数的概念这一节课，内容比较抽象，概念性强，思维量大，为了充分调动学生的积极性和主动性，教学中通过典型实例来启发和帮助学生分析，比较，以达到建构概念之目的。
引出函数的概念，先是举出了生活中的三个实例。第一个实例是关于物体做斜抛运动的，和初中学习过的二次函数相联系。第二个实例是关于臭氧空洞的问题，给出了函数的图像，按照图中曲线，发现了两个集合之间的一种特殊的对应关系。第三个实例是关于恩格尔系数的经济实例。列表给出了恩格尔系数和时间（年）的关系。三个实例共同反映了变量之间的相互依赖的关系，同时反映出两个非空集合之间的一种特殊的对应关系。这样，自然而然地给出了函数的概念，并且这三个实例中的函数恰好是用了三种表示方法：解析法，图像法，列表法。
以实际问题为载体，以信息技术的作图功能为辅助。通过三个实例的教学，师生共同发现了函数概念中的对应关系。教师在归纳出函数定义后，可以在全班进行交流。结合初中函数的定义，指出两个定义的区别和联系。关于“y=f(x)”这一个函数符号的理解，教师可以提问：y=f(x)一定是函数的解析式吗？回答是不一定，可以举出实例二和实例三。函数的解析式，图像，表格都是函数的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函数，但f(x)不一定是解析式。当f(x)是一个解析式时，如果把x,y看作是并列的未知量或者点的坐标，那么y=f(x)也可以看做是一个方程。
函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域a的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在b中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合b中并非所有的元素在定义域a中都有元素和它对应；值域 。教师引导学生归纳并总结，函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
然后，教师给出同学们所熟悉的三种函数，一次函数y=ax+b(a≠0)，反比例函数 ，以及二次函数 。教师演示动画，用几何画板显示这三种函数的动态图像，启发学生观察，分析，并请学生们思考之后，填写对应关系，定义域和值域。通过三个熟悉的函数加深学生对函数近代定义的理解。教师引导学生归纳总结出：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如果函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。
连续的实数集合可以用集合表示，也可以用区间表示。利用多媒体课件展示怎样用区间表示集合。区间可以分为闭区间，开区间，半开半闭区间。特别地，实数集r记作(-∞,+∞), ∞ 读作无穷大；-∞ 读作负无穷大；+∞ 读作正无穷大;“∞”不是一个数，表示无限大的变化趋势，因此作为端点，不用方括号。
例1和例2的编排，是为了进一步地加深理解函数的三要素。函数的定义域通常由问题的实际背景确定.对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。在例1中，要注意f(a)与f(x)的联系与区别：f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量。f(a)是f(x)的一个特殊值。例2是来判断两个函数是否相等的。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就是相等的。
数学概念是构建数学理论大厦的基石；是导出数学定理和数学法则的逻辑基础；是提高解题能力的前提；是数学学科的灵魂和精髓。因此，数学概念教学是高中数学教学的一项重要任务，是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分，应引起足够重视。正确理解概念是学好数学的基础，概念不清往往是导致学生数学成绩差的最直接的原因。
高中数学函数概念篇9
关键词：教材教法；数学概念；实例分析；概念内涵；外延
在高中数学教学中，教师往往面临学生数学基础参差不齐，学习能力高低不一的问题。因此，深刻理解数学概念命名的特点，其内涵和外延的具体表征，对于数学教学有着重要意义。下面通过实例简单分析如何突出高中数学中的概念教学优化。
一、注重概念命名特点
数学概念的命名是有依据的，或者说是有作用的。从概念的命名方式上去探究概念的形成过程，将更有助于学生记忆、有助于教学。然而一些学生混淆概念，致使解答错误。
案例1：在“函数的奇偶性”一节的教学中，教师常规教学环节是：引生活中的实例，如飞机、蝴蝶等轴对称图形，直接给出偶函数的概念，即“在定义域内，对任意的x，都有f（-x）=f（x），则称y=f（x）为偶函数”，接着就进入偶函数的应用。
我们不禁会问，为什么图象关于y轴对称，符合f（-x）=f（x）的函数被称之为“偶函数”，称为别的名称是否更恰当？学生一般不会从这个角度思考。所以，事实上“偶函数”的概念尚未生成，这时，可以通过对概念的特点做进一步阐释来使学生更好地理解和掌握概念的含义。如“偶”在字典中被解释为“双，对，成双成对”的意思，让学生有“左右对仗要工整”的感觉。
与此相似，在讲解“奇函数”概念时，就“奇函数图象关于原点对称”的知识点，或可提出：“当一个人的身体左侧肢体高于右侧（或右侧高于左侧）时，我们称这样的人为‘畸形’。是否可以借助此‘畸’记忆彼‘奇’呢。”通过类似这样的讲解，一方面引起了学生极大的学习兴趣，另一方面让“函数的奇偶性”概念在学生心中生根发芽。
由此可见，分析“名称”不仅适合“数学概念”学习，也有利于培养学生采用发散、逆向等数学思维来运用数学概念解决数学问题。
二、注重概念内涵的理解
实践证明，若没有确切掌握概念的内涵，在解题实践时，不免会在细节点上摔跟头。对高中数学概念的内涵阐述须精确，其严谨性在立体几何模块部分表现尤为明显。
案例2：（2011年北京东城检测题）给定下列四个命题：
1.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行。
2.若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直。
3.若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面。
4.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的是（）
a.①和②B.②和③C.③和④D.②和④
分析：两面平行的判定定理的严谨性，以及对直线与平面垂直定义的理解程度。经分析可知，两面平行，要求一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面才相互平行，故①错。由直线与平面垂直定义，直线与平面垂直，则直线与平面所成角为90°度，反之，另一平行平面平行移动，直线与另一平面所成角也为90°，直线与另一平面垂直，故②正确。③直线可能在平面内（学生惯性思维易犯错误）；两个平面垂直，一个平面内与它们的交线不垂直的直线在另一个平面内的射影恰好是交线，由直线与平面垂直定义可知，若直线与另一个平面垂直，则它与交线所成角为90°，显然不成立，故④正确。本题选择D。仔细观察，不难看出命题一：“经过一条直线和一个点有一个平面。”与命题二：“经过一条直线和一个点可以确定一个平面。”这两个命题之间差异极小，但命题一为真命题，命题二却为假命题。由此可见，高中数学教师在数学概念的教学中要反复思考，充分挖掘概念的内涵，让学生全方位、多角度地接受新概念，力求精准。
三、注重概念的外延
案例3：（2014年湖卷第6题）若函数f（x）g（x）满足？蘩1-1f（x）g（x）dx=0，则称f（x）g（x）为区间[-1，1]上的一组正交函数。给出三组函数：
①f（x）g=sin■x，g（x）=cos■x；②f（x）=x+1，g（x）=x-1；③f（x）=x，g（x）=x2。其中在区间[-1，1]上的正交函数的组数是（）
a.0B.1C.2D.3
本题考查学生对概念内涵的理解程度。本题中的概念强调定积分值为0。由微积分基本定理可知：？蘩1-1f（x）g（x）dx=F（x）|1-1=F（1）-F（-1）=0，所以F（1）=F（-1），被积函数的原函数F（x）符合偶函数特点。原函数为偶函数，则原函数的导函数为奇函数。所以①和③正确。故选C。
通过此题不难看出，学生对函数奇偶性的概念要熟练掌握，能应用概念解决类似问题。
在高中数学教学中，可以通过优化数学概念教学，帮助学生深刻理解和掌握数学概念命名特点，提高运用数学概念内涵和外延处理数学问题的能力，使学生逐渐形成扎实的数学基础和数学逻辑思维能力。
参考文献：
高中数学函数概念篇10
关键词：初中教学；函数；困境和突破
中图分类号：G633.6文献标志码：a文章编号：1674-9324（2016）02-0250-02
函数的学习与运用是初高中数学教学的侧重点，代数式、不等式、方程、数列、排列组合等知识点都与函数有着直接的、极其重要的联系。但函数教学在初中数学教学中却一直是一个另老师非常重视，而又非常头疼的问题，因为函数相对于初中数学其他知识点来说对学生是非常深奥的而又千变万化的，非常考验学生的学习能力与逻辑思维能力。下面就试分析初中数学函数教学的困境与突破。
一、培养函数思维
在数学教学中，每一个数学知识点背后都有一种数学思维。数学思维是建立在对所学知识内容和运用方法都有本质了解的基础上，一种学习数学，灵活地运用数学意识与方法解决在学习或生活中遇到的与数学有关的问题的思考方式。函数思维是多方面学习、多角度研究的思想，是由函数内涵的深刻性、外延的广泛性所决定的。如果老师在教学中让学生的精力不仅在学习课本的知识上，还注重培养学生在函数学习中的函数思维，就能既让学生掌握函数知识，又让学生学会了一种学习方法，在初中的学习（数学的函数、物理的运动等）还有现实生活中，都能灵活地使用函数思维解决问题。但现在许多老师在数学教学中都不知道或不重视数学思维，在课堂上只教课本上的数学知识，那教出来的学生在数学运用上大多数就像一个机器人，是呆板、不会变通的，只是另一本“课本”。初中正是学生对小学学习的一个总结，也是学生为高中学习打下基础的重要阶段，因此老师在初中函数教学时一定要注重培养学生的函数思维，达到“为了不教而教”的基本目的，才能突破教条教学的桎梏，让学生学到真正的东西，为学生掌握函数、熟练运用函数打下坚实的基础。
二、掌握函数概念
在古代战争中，通常讲究“兵马未动，粮草先行”，而在函数教学时，先让学生了解、掌握函数的概念，就是先行的粮草，是函数教学的第一步。但在教学中，有许多老师还没熟练掌握概念教学的方法，从而让学生对函数概念似懂非懂，也就大大影响了接下来的函数学习。接下来就说一下函数教学的方法。
1.引入函数概念。一般来说，能很好地引入函数概念有两种基本解决方法，即从一般函数到特殊函数和从特殊函数到一般函数。从一般到特殊即较直接性地把函数概念教与学生，再加上适当举例说明就可；从特殊到一般即先给予学生一些较特殊的函数或者生活中的例子引出，然后进行对该函数的本质属性的分析，最后以此得出函数的概念。其实第一种方法比较适合高中生，而第二种方法则适合初中生。函数概念的直接给出对于高中生来说是很好理解的东西，而对于初中生来说，由大量的函数例子推出函数概念能很好地培养初中生对数学函数的分析能力，使得初中生能在高中时期学习函数时自我推出概念，同时也有利于学生们的记忆和加强了学生们对概念的理解。除此之外，从大量函数实例推出函数概念也比较适合学生们的认识规律，比较能让学生们接受。
2.形成函数概念。老师可以要求学生对大量的函数实例进行分析、比较，并且能在这些函数属性中总结出它们的共同的属性。在这些大量的函数实例的洗礼下，学生们大概也有了变量意识和一些变量之间是相互联系的意识，在此之后，能让学生们很好地理解函数概念的准备工作就做足了，接下来就可以直接给出函数概念，并且给学生们讲解函数概念的含义。其中老师在给学生讲解函数概念时，首先在不断复习前面有关的知识的基础下，要特别强调并培养前面提到的那两种意识，让学生们能理解并接受这两种意识，然后老师可以给学生引入一些函数中的名称，并指导学生运用这些名称来表示和描述函数关系，以此来熟悉函数概念，最后老师可以讲解一些函数实例来让学生更好地理解函数的概念，也可在讲解中强调函数关系等，加强学生们对函数的记忆与认识。在教学过程中，老师首先可以举一些简单一点的函数，如正比例函数等，从这些例子中，学生们能较清楚地认识到函数中两个变量的联系和它们的共同特征，更有利于学生对函数概念的理解，而且通过实例也比较直观地反映函数的性质，在以后的反比例函数或二次函数等函数的教学中，也能进一步加强学生对函数概念的理解和记忆，同时也培养了学生的学习能力，有利于学生以后学习的发展。
三、函数教学与生活相结合
对学生的学习来说，兴趣是最好的老师。函数的深奥性与枯燥性，是函数一个很大的教学难点。在课堂上，老师吸引学生对函数的兴趣，激起学生学习函数的激情，是一个引导学生学好函数的比较好的突破口。而且当函数教学与生活相结合，更能加深学生对函数的理解与记忆。因此老师在备课时，可以为上课所教函数的一些引入点或者关键点，设置几个与生活相关联的实例，而不是一味地就照着教科书讲，这样不仅能挑起学生的兴趣，使他们集中注意力，还能给学生一种由浅到深的学习模式，便于学生理解。如在做实际应用题时，我往往会把同学的名字放在里面，并用现实的事当例子，还让在里面扮演角色的同学给我们讲他们的解题思路，所以每次我在讲实际应用题时，只要加一点小小的改动，学生就会都非常积极参与讨论，踊跃发言，有助于他们在学习中开阔自己的解题思维与思考思路，并在积极开心的氛围掌握我教给他们的知识，能很大地增加学生的学习效果。
例1张超家有白米200吨，王彪家有白米300吨，现要把这些白米全部运往C、D两地。如果从张超家往C、D两地运送白米的费用为每吨20元和25元；从王彪家往C、D两地运送白米的费用为每吨15元和24元。现C地需要白米240吨，D地需要白米260吨，怎样调运总费用最少？最少费用是多少？
在教学中要想做到函数教学与生活相结合，最考验的是老师的课堂气氛掌握能力，唯有熟练地掌握课堂气氛，才能在吸引学生的同时又让学生保持一个认真学习的心态，这样才能达到我们教学最好的结果。
四、加强函数与相关内容的联系
如前文所说，在初高中函数是贯穿整个数学学习的，学好函数，加强函数与相关内容的联系，才能熟练掌握用函数解决相关问题的方法。如在解代数式时，可以将其变形成函数式；在做数列时，可以用函数式表示；在解图形题时，大部分又可以结合函数分析、求解。因此在学习函数时，老师可以多举相关例子，培养学生用函数思维去联系相关内容的分析、解题能力。例如，方程f（x）=0就是函数y=f（x）的一种特殊变化形态，函数的零点就是方程的解，从而对方程的研究（像根的性质、个数、分布范围等）就与对应的函数性质研究联系起来了。又如，要求不等式y>0的解集，就可以画出y=f（x）的图像，再观察图像与X轴的上下关系解题。这样就把对不等式的研究与函数图形联系起来。在函数与相关内容的联系中，函数与图形的联系更是重中之重，是老师在函数教学中都着重的教学点之一，也是学生学好函数的一个必备手段。因为单纯的函数在解析式中的关系并不明显，但如果结合函数图形，就能把解析式中的函数关系清晰化、明显化，减轻学生解题的难度，提升学生解题的速度与准确度。在初中二次函数的学习中，数形结合更是其中极其重要的一环。
例2已知二次函数的图象经过（1，-1），（2，1），（-2，-5）三点，求这个二次函数的解析式。
如果单纯进行解析，求其解析式，无疑要复杂一些。但如果数形结合，就能从图形中对解析式中代数的正负与大小有一定的判断，从而减轻求解的难度。
五、函数与函数联系教学
在初中函数教学中，许多老师都只照着教材进度教学，但有时候老师可以根据班级实际情况，自由地安排自己的教学进度，有时候跳过一些章节，把相似的章节连在一起上，如初中函数的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等，在概念、解析式、图像性质上都有着一些相似点，学生在这些相似点上也往往会搞混或者理解错误。如果老师能够根据教材进行适当的章节调换和安排，把一些有相似点的函数进行联系教学，加深学生的记忆与理解，这样学生就能在概念没有搞混之前把两种函数之间的联系与不同给分类清楚，无疑提高了教学的效率。例如，在我们首先学到正比例函数的时候，老师就可以把一次函数结合正比例函数来讲，因为正比例函数就是一次函数的一种特殊形式。当学生理解了正比例函数的时候，老师可以趁热打铁，在下一个内容讲一次函数，这样不仅可以加深学生对正比例函数的记忆，更能加快对一次函数的学习与理解，提高学习效率。老师运用函数与函数联系教学，一定要掌握班上学生的学习情况，因为在联系教学时，如果对班上学习情况没有把握好，忽略学生对教学内容的掌握程度，反而可能会造成学生在函数学习中对概念、性质的理解混乱，在解题中使用解题方法不恰当等情况。因此在函数的联系教学中，老师一定要牢牢把握班上学生的学习情况，循序渐进，保证学生能够深刻理解、熟练运用函数性质。
函数在学生的初高中学习中，有着极其重要的地位，不仅是数学学习的基础，对化学、物理等理科学目的学习与使用也有着非常大的帮助。因此，虽然初中函数教学还有着各种各样问题，需要所有的老师来共同解决，但每解决一个问题，都是教育史上的一个进步，都能给学生带来更好的学习方法，减少学习漏洞，减轻学生的学习负担。因此找出教学中的问题，突破教学的困境，是我们每一位老师都义不容辞的责任。
参考文献：
[1]吴创.建立函数关系式的方法浅探[J].中学教学参考，2012，（13）.
[2]孙孝武.2011年海南省中考数学试卷分析[J].新教育，2011，（10）.