高中数学椭圆技巧篇1
例1（2012年高考重庆理科卷第20题）如图1，设椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，上顶点为a，左、右焦点分别为F1，F2，线段oF1，oF2的中点分别为B1，B2，且aB1B2是面积为4的直角三角形.
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B1作直线l交椭圆于p，Q两点，使pB2QB2，求直线l的方程.
分析本题的第（Ⅰ）小题可利用待定系数法结合图形特征求得椭圆的方程.第（Ⅱ）小题可设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用“设而不求”的思路，依据垂直关系求得方程的参数.由于直线过点B1，可设直线方程为点斜式，为避免讨论斜率的存在与否，可另巧设直线方程，从而简化运算过程.
小结本题考查椭圆的性质、直线与椭圆的相交位置关系.在大多数情况下，圆锥曲线的解题程序化――设（点、直线或曲线方程）、联立、消元、判别式及韦达定理.在这常规化的程序中也恰恰孕育着灵动的技巧，如在设直线的方程时，当直线可能垂直于x轴时，直线方程应该分斜率是否存在两种情形进行讨论，但应用例1中的技巧可以回避这个易错点，因为当斜率不存在时，m=0.此外，用纵坐标转化已知条件更值得深省，只有移步换景才会柳暗花明.当然，这种设法也有不适合的情形，即当直线垂直于y轴时，斜率为0，而m的值不存在，在审题时要注意洞察这一特殊情形.
技巧2：典型性问题模式化
分析解答本题的第（Ⅰ）小题时，p为弦aB的中点，则其坐标与弦所在直线的斜率以及弦的端点坐标之间有着密切的关系.若曲线所对应的弦与中点有关系，我们常把弦的两端点的坐标代入到曲线方程中去，然后将所得的两个方程对应相减，整理得到一个既含直线斜率又含弦的中点坐标的式子，这种方法一般被称为“点差法”.解答第（Ⅱ）小题时，表示四边形aCBD面积的关键是表示出边CD的长度，此处可利用弦长公式来处理.
小结本题考查圆锥曲线的中点弦问题，“弦”是考查直线与圆锥曲线位置关系的典型应用情境.因此，对于圆锥曲线中的有关特征弦（如原点弦、焦点弦、中点弦、定点弦等），借助其与曲线方程、图形及性质的特殊联系，采取模式化处理策略，可简化运算过程.
技巧3：探索性问题特殊化
小结本题考查圆锥曲线的定元素的存在性问题.解析几何中的定元素主要是指定直线、定点和定曲线.解决有关定元素问题时常用的特殊探索法：先从一般中考虑特殊（如特殊值、特殊位置、特殊图形等），从而得到定元素，再转化为证明这个元素满足一般性.
高中数学椭圆技巧篇2
对于江苏高考，解析几何有其特殊的重要地位，一般是18题，若此题做不好，那分数不但得不高，还会产生焦虑，影响后两道难题.而通过笔者的研究，解析几何问题也是有规可循的.原因是2002年初中课改，已经将韦达定理排除在课程之外，命题就较为单一.08年、09年高考命题是直线和圆的问题，需要紧扣圆的几何性质解决，而10年、11年、12年又回到了直线和椭圆问题，因此，直线和椭圆问题仍会是高考解析几何的命题重点.那是不是因为椭圆的性质少了，就纯用代数方法去解决了呢？
下面笔者就“直线过椭圆焦点”问题来谈一谈.（附注：直线和椭圆的三类相交问题是指“直线过椭圆焦点”问题、“直线过椭圆上已知点”问题、“直线过椭圆中心”问题.）
例1（2012年江苏）如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,32)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设a,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线aF1与直线BF2平行,aF2与BF1交于点p.
()若aF1-BF2=62,求直线aF1的斜率；
()求证:pF1+pF2是定值.
分析1第一小题求椭圆的方程就要求两个参数，而已知条件为两个点，利用方程思想即可解决.
解(1)由题设知,a2=b2+c2,e=ca,由点(1,e)在椭圆上,得
12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以c2=a2-1.
由点(e,32)在椭圆上,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2.
所以椭圆的方程为x22+y2=1.
分析2第二小题很多人的想法就是代数运算，设出直线aF1的方程，根据平行关系得出直线BF2的方程，从而联立方程解出a,B两点的坐标，从而求出aF1,BF2的长，进而解决第二小题，过程计算非常复杂，见下方答案：
(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因为aF1∥BF2,
所以设aF1、BF2的方程分别为my=x+1,my=x-1,a(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.
所以x212+y21=1，
my1=x1+1
(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.
所以aF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21
=m2+1・m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2.①
同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2.②
()由①②得,aF1-BF2=2mm2+1m2+2.
解2mm2+1m2+2=62得m2=2.
注意到m>0,所以m=2.
所以直线aF1的斜率为1m=62.
()证明:因为aF1∥BF2,所以pBpF1=BF2aF1,
即pBpF1+1=BF2aF1+1pB+pF1pF1=BF2+aF1aF1.
所以pF1=aF1aF1+BF2BF1.
由点B在椭圆上知,
BF1+BF2=22,
所以pF1=aF1aF1+BF2(22-BF2).
同理pF2=BF2aF1+BF2(22-aF1).
所以pF1+pF2=aF1aF1+BF2(22-BF2)+BF2aF1+BF2(22
函数式为y=3sinπ6t+10．
（2）由题意，水深y≥4.5+7,即y=3sinπ6t+10≥11.5,t∈［0,24］．化简得sinπ6t≥12，于是t∈［1,5］或t∈［13,17］．
所以，该船在1时至5时或13时至17时能安全进港．
若该船当天安全离港，在港内停留的时间最多不能超过16h．
函数y=asin(ωx+φ)作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究的实际问题十分广泛.由于周期现象有明显的图象特征，在解决这些实际问题的过程中，体验图象的应用，既可以加深对函数y=asin(ωx+φ)的图象和性质的认识和理解，又能培养数学应用的意识和数学应用的能力.在学习函数y=asin(ωx+φ)时，是一个值得我们引起关注的重要环节．
-aF1)=22-2aF1・BF2aF1+BF2.
由①②得,aF1+BF2=22(m2+1)m2+2,aF1・BF2=m2+1m2+2,
所以pF1+pF2=22-22=322.
所以pF1+pF2是定值.
分析3如果能重视解析几何问题的本质还是几何问题，优先思考几何性质的运用，那就简单很多了.那过焦点的直线aF1如何求呢？关键是对点a的处理，除了上述代数上的“设点法”，还可以根据几何图形用“设角法”.如右图，设∠aF1o=θ，点a到相应准线的距离为d，根据统一定义：而将d平移到对称轴F1F2上即为oC，因此aF1=ed=e・oC=e・(CF1+F1o).而CF1是焦点到相应准线的距离即为p，且在直角aF1o中，oF1=aF1・cosθ，哪怕θ为钝角，还是成立的.所以，aF1=e(p+aF1・cosθ).
从而解出aF1=ep1-ecosθ.
同理：BF2=ep1+ecosθ.
所以aF1-BF2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=62（其中离心率e=22，焦准距p=1），则cosθ=63，所以kaF1=tanθ=22.运用了几何性质来解题后，代数运算过程大量减少.
第二小题同样可以运用几何性质来解决，
因为aF1∥BF2，则paF1∽pF2B，
所以pF1pB=aF1BF2.①
又因为BF1+BF2=2a,即pF1+pB+ep1+ecosθ=2a.②
由①②两式可得pF1=324+cosθ.同理可得pF2=324-cosθ.
高中数学椭圆技巧篇3
关键词：数控车；椭圆编程；宏程序
中图分类号：tG519.1
在数控车床可以利用直线和圆弧插补指令，轻松实现对圆柱面、圆锥面、圆弧面、球面等各种类型回转体表面的加工，但是对于椭圆、双曲线、抛物线、正弦曲线等一些非圆曲线构成的回转体，加工起来却不那么简单。在中职数控专业高级数控车工的培训课题中，加工椭圆类零件是不可或缺的内容。椭圆的加工属于非圆曲线的特殊零件加工，相对比较复杂，但是可以使用宏程序进行编程，使复杂问题变得简单化。
实质上，宏就是用公式来加工零件的，宏一般分为a类宏和B类宏。a类宏是以G65为开头的格式输入的，比如在广州数控系统GSK980tD中使用的宏程序就是如此，而B类宏程序则是以直接的公式和语言输入的，这个特点和C语言很相似，在FanUC0i系统中应用比较广。
下面以实际椭圆图形为例，说明使用FanUC0i系统中B类宏程序编制椭圆程序的过程，尤其注意加工程序清单中宏程序的写法。
1图例分析与编程
下面分别就两点重合（见图1）和两点不重合（见图2）这两种图形情况进行举例说明，其中两点指的是：工件坐标原点与椭圆中心。
1.1两点重合
众所周知，椭圆方程有两种：椭圆参数方程及椭圆标准方程，其中标准方程为，变换坐标后得到，经过数学变换后很容易得知和。根据凸取正，凹取负的特点，只有使用公式。
零件的加工分粗加工和精加工，对应的粗加工程序内容和注释，见表1加工程序清单，相应的精加工程序内容和注释，见表2加工程序清单。
1.2两点不重合
零件2的粗加工程序和零件1很相似，此处不再编写，相应的精加工程序内容和注释，见表3工件2精加工程序清单表。
2加工椭圆的注意事项
椭圆宏程序是利用小直线段来拟合椭圆轮廓的，步距的赋值不能大，否则逼近误差就大，加工精度就差，但是太大了，又会影响数控系统的进给速度，造成效率低下。一定要根据加工的技术要求，合理选择步距。
3宏程序编程的一般步骤
（1）编程方法的选择：根据椭圆在零件中的不同位置，合理选择是参数方程还是标准方程。
（2）a类宏和B类宏的选择：根据数控车床的数控系统而定。
（3）公式推导与变量赋值：一定要根据公式，弄清各个变量之间的关系，然后用标准的语句写出来即可。
编程结束后，接着是选择好刀具，安装并对完刀具之后，就可在数控车床上加工出椭圆零件了。
4结论
使用宏程序编制出简洁合理的程序，是数控车工高级工必须掌握的一项技能，其中涉及大量的编程技巧，这不仅能锻炼学生们的手工编程能力，也有利于在今后的实际工作中解决自动编程所存在的缺陷，胜任更复杂零件的加工。
参考文献：
[1]陈海舟.数控铣削加工宏程序及应用实例[m].机械工业出版社，2006.
[2]孙伟伟.数控车工实习与考级[m].高等教育出版社，2012.
高中数学椭圆技巧篇4
【关键词】高中；平面几何；最值；教学策略
高中解析平面几何最值问题是数学教学中的一大难题，高考中分值所占的比重较大.可以简单划分成两种，一种是针对在平面中的几何图形所包含的两线之间的夹角、点线之间的距离，甚至几何图形的面积大小的最值；另外一种指的是直线与曲线之间的最值问题.
一、平面几何最值解题策略分析
平面几何最值问题属于综合性问题，这种综合性主要体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互融合，常见的解法有两种：曲线法、函数法.下面结合本人的教学经验和一些例题总结出几种利用平面几何知识巧解最值问题的方法.
（一）曲线定义
首先，圆锥曲线的概念，指的是曲线上动点的本质属性的反映.如果要研究分析圆锥曲线中最值的问题，需要巧妙熟练地运用定义，就可以把问题简单化，同时，还可收到好的效果，简单明了得到问题的答案.
例如，已知点F为抛物线y2=2x的焦点，点a（3，2），试在抛物线上求一点p，使|pa|+|pF|的值最小，并求最小值.
解如图所示：抛物线y2=2x的焦点为F12，0，准线为l：x=-12，由抛物线的定义知，pF与p到l的距离相等，于是，若对于抛物线上的点p作pQl于Q，则有|pF|=|pQ|，从而|pa|+|pF|=|pa|+|pQ|，而为了使右端最小，其充要条件是a，p和Q三点共线.从而，若设p（x，y）为所求的点，则y=2.从而x=12y2=2，p点坐标为（2，2）.所以，|pa|+|pF|=|pa|+|pQ|=|aQ|=72，点p（2，2）为所求的点，此时|pa|+|pF|达到最小值72.
（二）函数思想
在高中解析几何最值问题的教学过程中，将合适的变量转化为函数思想进行最值问题的解决是一个有效的策略，例如，在2010年的福建高考题中，可以通过二次函数配方法快速解决解析几何中的最值问题.
例如，若点o和点F为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点p是椭圆上的任意点，求oF・Fp的最大值.对于该题，可以巧妙地利用函数思想进行解答.首先，通过题意可以知F（-1，0），假设点p（x0，y0），则可以得到算式x204+y203=1，将之变化为y20=3・1-x204.同时，因为Fp=（x0+1，y0），op=（x0，y0）.所以op・Fp=x0（x0+1）+y20=x0（x0+1）+31-y204=y204+x0+3，可知-2≤x0≤2，因此，当x0=2时，op・Fp的最大值为224+2+3=6.
同时，在高中解析几何求最值的教学过程中，要注意四边形面积公式S=14|aB||CD||sinθ|的通用.@也是一种巧妙利用函数形式解决解析几何最值问题的重要途径.
（三）基本不等式
在高中解析几何的最值问题求解中，当所体现的函数关系满足基本不等式使用的条件时，可以将其转化为利用不等式方法来进行准确解答.在这一解题过程中，要掌握好配凑的技巧，结合“一正二定三相等”原则求最值，例如，
已知椭圆e：x2a2+y23=1（a>3）的离心率e=12，直线x=t（t>0）与曲线e交于m，n两个不同点，以线段mn为直径作圆C，圆心为C.问题：（1）求椭圆e的方程；（2）若圆C与Y轴相交于不同两点a，B，求三角形aBC的面积最大值.该题可以采用不等式的方法进行解答，获得最终答案.
对于问题1，可知a2-3a=12，由此解答出a=2.也就能得出椭圆e的方程为x24+y33=1.而对于第二个问题，可以设圆心为C（t，0）（0
而根据上面已经得到的半径值，可以得出|aB|=2r2-d2=212-3t24-t2=12-7t2，从而计算出三角形aBC的面积为S=12・t12-7t2=127×（7t）・12-7t2≤127×（7t）2+12-7t22=377，而且根据题意及不等式定义，当且仅当7t=12-7t2，即t=427时，等号成立，因此，三角形aBC的面积最大值为377.
高中数学椭圆技巧篇5
一.真题解析
2013年湖北高考数学理科第21题，如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点o，长轴均为mn且在x轴上，短轴长分别为2m，2nm>n，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为a，B，C，D。记λ=mn，ΔBDm和ΔaBn的面积分别为S1和S2。
（i）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；
（ii）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由。
（i）S1=λS2m+n=λm-n，λ=mn+1mn-1=λ+1λ-1
解得：λ=2+1（舍去小于1的根）
（ii）（第一步：建立并研究方程。也有已知条件坐标化的成份比如假设椭圆，直线的方程形式，但主要任务是把直线方程和两个椭圆方程联立，并直接求得方程的解即交点的坐标，多数情况下不直接解方程，而是运用“判别式+韦达定理”寻求以后步骤的整体代换以及限制条件的运用）
设椭圆C1：x2a2+y2m2=1a>m，C2：x2a2+y2n2=1，直线l：ky=x
ky=x
x2a2+y2m2=1a2+m2k2a2m2y2=1ya=ama2+m2k2
同理可得，yB=ana2+n2k2
（第二步：已知条件坐标化。由于几何的背景比如几何要素（点，线，图形），几何的位置关系（平行，垂直，相等，成比例等）都要用点的坐标，曲线的方程等坐标形式加以表示。这里总的来说充分挖掘几何性质并有效利用可以简化运算）
根据对称性ΔBDm和ΔaBn的的高相等
S1S2=BDaB=yB-yDya-yB=yB+yaya-yB
（第三步：整合结果并用方程或函数研究，得到几何结果。这一步是最复杂的.一是运算的目标即朝那个方面变形要能预判或确定，一般来说主要有两个方向函数和方程，设定自变量和主元好比运算的航标；二是运算的技巧。由于引入较多的字母势必加大运算的难度，所以诸如韦达定理整体代换，（构造）特征式子整体代换，由对称（等同）性替换字母，先特殊猜想再一般性证明等等。）
如果存在非零实数k使得S1=λS2，则有λ-1ya=λ+1yB，
即：λ2λ-12a2+λ2n2k2=λ+12a2+n2k2，解得k2=a2λ2-2λ-1λ2+14n2λ3
当λ>1+2时，k2>0，存在这样的直线l；当1
二.“四问归一”
解析几何解题主要研究四个方面的问题：曲线轨迹（方程）问题；几何量的范围或最值问题；几何对象的存在性问题；曲线过定点或几何量为定值问题，简称为“四大问题”。虽然四个问题求解方向不同，但蕴涵的思想完全一样。所以“三步曲”解题可以普遍适用，并且步骤一二完全一样，只是第三步整合前两步的结果后的运算方向不尽相同。一般运用方程解决轨迹和存在性以及定点定值问题；运用函数解决范围或最值问题。
例如图，椭圆C0：x2a2+y2b2=1（a>b>0，a，b为常数），动圆C1：x2+y2=t21，b
（1）求直线aa1与直线a2B交点m的轨迹方程；
（2）设动圆C2：x2+y2=t22与C0相交于a′，B′，C′，D′四点，其中b
解：（1）设a（x1，y1），B（x1，-y1），又知a1（-a，0），a2（a，0），则直线a1a的方程为y=y1x1a（x+a）①
直线a2B的方程为y=y1x1a（x-a）.②
由①×②得y2=y21x21a2（x2-a2）.③
由点a（x1，y1）在椭圆C0上，得x21a2+y21b2=1.从而y21=b21x21a2，代入③得x2a2-y2b2=1（x
评析：运算上没有具体求交点的坐标关于x轴对称，而是运用了整体代换的技巧，其实主要还是几何性质的运用。直线aa1与直线Ba1关于x轴对称，
而易发现Ba1与Ba2的斜率之积是定式，所以容易想到以上变形了。
（2）证明：设a′（x2，y2），由矩形aBCD与矩形a′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|=4|x2||y2|，故x21y21=x22y22.
因为点a，a′均在椭圆上，所以
b2x211x21a2=b2x221x22a2.
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x21+x22=a2.
从而y21+y22=b2，
因此t21+t22=a2+b2为定值.
评析：由几何条件矩形aBCD与矩形a′B′C′D′的面积相等转化为坐标的关系，由点在椭圆上也转化为坐标的关系，结合目标t21+t22=x21+y21+x22+y22确定先求x21+x22再求y21+y22，看得出步骤一，三的痕迹。
三.“三步”后的延续
解析几何问题往往由于背景深，立意远。解题结束不意味着背后问题的思考结束。不止步于三步的机械解答，深入思考问题的几何本质，一般性结论可以摆脱只缘身在此山中的困惑，却有一览众山小的境界。
2012年福建高考理科第19题如图，椭圆e：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12。过F1的直线交椭圆于a，B两点，且ΔaBF2的周长为8。
（Ⅰ）求椭圆的方程。
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，且与直线x=4相交于点Q。试探究：
在坐标平面内是否存在定点m，使得以pQ为直径的圆恒过点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由。
解答：
（Ⅰ）设c=a2-b2
则e=ca=123a2=4b2
ΔaBF2的周长为|aB|+|aF2|+|BF2|=8|aF1|+|aF2|+|BF1|+|BF2|=84a=8a=2，b=3，c=1
椭圆e的方程为x24+y23=1
（Ⅱ）由对称性可知设p（x0，y0）（y0>0）与m（x，0）
x24+y23=1y=3-34x2y′=-3x
43-34x2k=-3x04y0
直线l：y-y0=-3x04y0（x-x0）Q4，3（1-x0）y0
mp・mQ=0（x-x0）（x-4）+y0×3（1-x0）y0=0x0（x-1）=（x-1）（x-3）（*）
（*）对x0∈（-2，2）恒成立x=1，得m（1，0）
反思：1.直线x=4，定点m（1，0）恰好是椭圆的右准线和右焦点，自然可以联想到问题是否可以推广到一般情形：
椭圆e：x2a2+y2b2=（a>b>0）设动直线l：y=kx+m与椭圆e有且只有一个公共点p，且与直线x=a2c相交于点。试探究：
在坐标平面内是否存在定点m，使得以pQ为直径的圆恒过点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由。
2.如果以上猜想成立的话，那么其背后的几何本质是什么？
针对反思1可以模仿范例的方法进行推导，针对反思2可以把问题分解成以下三个问题：
1.过点Q可以作椭圆e的两条切线，所以两个相应的圆都过点m说明切点弦恰好过m。
2.再只要证明Qm垂直切点弦就可以了。
高中数学椭圆技巧篇6
有效追问是建立在数学教师的学识魅力基础上的一种教学技巧，适时恰当的追问是学生探究学习的动力，是引导学生进一步探索的“钥匙”，也是学生理性思维深入的标志，是提升学生思维高度的“云梯”，情到浓时方为真，它是数学课堂教学最真实的表现，也是数学回归“本真”理念的体现.
笔者在对2012年安徽省数学高考20题的点评课中，从课堂的教学实际出发，不断地探索发问，取得了意想不到的效果.
题目：如图1，F1（-c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点p，过点F2作直线pF2的垂线交直线x=于点Q；
（i）若点Q的坐标为（4，4）；求椭圆C的方程；
（ii）证明：直线pQ与椭圆C只有一个交点.
一、追问于粗浅时――水到渠成
师：本题内涵丰富，易做易错，解法多样，应牢牢抓住直线pQ为椭圆的切线这一关键点处理问题，常规解法是什么，哪位同学要尝试一下呢？
生1：我的解法是写出直线的方程与椭圆方程联立，用判别式证明方程只有一解.因为pF1x轴，所以pF1=，即p（-c，）.设Q（，y2）；则pF2QF2？圳×=-1？圳y2=2a.
故直线pQ的方程为：=，即y=x+a，
将上式代入椭圆+=1得，x2+2cx+c2=0，解得x=-c，y=.所以直线pQ和椭圆C只有一个交点.
学生在学习数学时，由于受知识、经验的局限或思维惯性的影响，对数学概念、数学思想、数学方法等的认识常表现出孤立、肤浅的思维特征.教师若能够恰当地追问，引导学生作进一步的探索，能激发学生的思维和想象，将学生的思维一步一步、循序渐进地发展深入下去，逐渐领悟数学的本质，使知识的掌握水到渠成.
二、追问于错误时――巧妙纠正
师：椭圆的切线类问题除了生1的解法外，还可以用导数的方法，不知有没有同学用此法解题呢？
生2：我就是这么做的，下面是我的过程（该生表现得很兴奋，因为他猜到了我心中所想，觉得和我志同道合）.
设Q（，y2），则pF2QF2？圳×=-1？圳y2=2a，得：kpQ==，+=1？圯y=±，y′=±.
过点p与椭圆C相切的直线斜率k=y′x=-c==kpQ，则直线pQ与椭圆C只有一个交点.
师：生2的解法很简洁，但是这中间还有一个小的瑕疵，在对椭圆方程进行求导的过程中，该生得到了两个导函数，我们应该如何处理呢？
生3：生2忽略了题目中点p在椭圆C的上半部分这个条件，在解题中+=1？圯y=
±，求出两个导函数是画蛇添足.
对于这两个学生的回答让我发现只要我们教师放得开，其实在课堂上学生可以走得更远.而教师应善待学生的错误，以“错”为媒，挖掘教育价值，让课堂生成更有价值.在教学中，妙用学生的“错”，将错就错，因势利导地进行有效追问，引导学生进行查错、思错、纠错活动，使其暴露出错的过程，并在分析讨论中生成正误知识的辨析点，达到引导学生“自我反省、自行纠错”的目的，进而更加深刻地认识其本质.
三、追问于疑难时――画龙点睛
师：解析几何的核心思想是用代数方法解决几何问题，但是并不代表我们就要摒弃几何法，几何图形的性质往往更形象直观，巧用几何法往往会有事半功倍之效.有位同学对20题给出了如下的解法，但是并不完备，我们来帮他一下如何？
生4：因为pF1x轴，所以pF1=，pF2=2a-，由条件ptpF1F2～RtF2HQ（其中H为直线x=与x轴的交点），得=，即=，化简得F2Q=c+.于是F2Q=F1H……
师：该生的过程可以让我们得到什么直接的结论呢？
生5：直线pQ为∠F1pF2的外角平分线.
师：由直线pQ为∠F1pF2的外角平分线和要证明的结论，我们可以采用椭圆的光学性质（直线pQ为∠F1pF2的外角平分线，则pQ为椭圆的切线），从而使问题得以解决.
这一解法开阔了学生的眼界，也使这道高考题的考查背景更开阔，内容更丰富，极大地调动了学生学习的积极性，现也将该光学性质简证如下：
设F1关于直线pQ的对称点为F1′，如图2，连结F1′p，易得F1′，p，F2共线，从而F1F2=2a，设p′是直线pQ上异于p的任意一点，则p′F1+p′F2=F1′p′+F2p′>F1′F2=2a，因此点p′不可能在椭圆C上，点p为直线pQ与椭圆的唯一公共点，即为椭圆pQ的切线.
师：本题中的点p为通径的一个端点，从上面证法中不难看出，过程并未用到pF1x这一条件.事实上，对椭圆上的任意一点p，第二问的结论均成立，且其逆命题也成立，这是一个很有价值的结论，我们不妨加以研究利用.
结论：设F为椭圆的一个焦点，其相应的准线为l，点p，Q分别在椭圆及其准线l上，则pFFQ的充要条件是直线pQ为椭圆的切线.
证明如下：设椭圆方程为C：+=1（a>b>0），其右焦点为F，l为右准线.（充分性）设p（x0，y0），则切线pQ的方程为+=1（从而Q（，），于是kpF=，kFQ==，即kpF・kFQ=-1，故pFFQ.（必要性）已知pFFQ，因为kpF=，所以kFQ=，直线FQ的方程为y=（x-c）.令x=，得Q（，）.
直线pQ方程为y-y0=（x-x0），化简得+=1.（1）
式（1）为椭圆在点p处的切线方程，即直线pQ为椭圆的切线.
追问是突破教学难点、促进学生思考的催化剂.教师通过精彩的课堂追问，或降低难度或改变角度，可以化繁为简、变难为易，引发学生自主探究，建构新知.因此，在教学疑难点处，如果教师善于利用追问，就能起到画龙点睛的效果.
四、追问于关键时――点石成金
师：通过上面的探索我们不难发现这道高考题有着它存在的普遍性，它应该是一类问题的代表，同学们可以试着对上述结论加以推广.
生6：推广1：设F（t，0）是椭圆C：+=1（a>b>0）内异于原点的一点，直线l的方程为x=，点p，Q分别在椭圆及直线l上，则kpF・kFQ=的充要条件是直线pQ为椭圆的切线.
师：推广1的证明方法和结论类似，这里略.显然当t=c时，推广1即为结论，可见结论为推广1的特例，该生为我们前行迈进了一步.如果我们往广义范畴考虑，椭圆只是圆锥曲线的一种，其他曲线是否也有类似性质呢？我们本节课可以加以推广.
生7：推广2：设F为双曲线的一个焦点，其相应的准线为l，点p，Q分别在双曲线及其准线上，则pFFQ的充要条件是pQ为双曲线的切线.
生8：推广3：设F为抛物线的一个焦点，其相应的准线为l，点p，Q分别在抛物线及其准线上，则pFFQ的充要条件是pQ为抛物线的切线.
师：猜想必须经过严格的理论证明才有可信度，也才具有实用价值，具有可操作性，推广2的证明与结论的证法相似，这里就不再重复了，我们一起给出推广3的证明.
证明：设抛物线方程为y2=2px（p>0），p（x0，y0）.
（充分性）切线pQ的方程为yy0=p（x+x0），
令x=-，得Q（-，（x0-）），kpF=，kFQ==-，因此，kpF・kFQ=-1，即pFFQ.
（必要性）现已知pFFQ，因为kpF=，所以kFQ=-，故直线FQ的方程为y=-（x-）.令x=-，得Q（-，），因此直线pQ的方程为y-y0=（x=x0），化简得yy0=p（x+x0）.（2）
式（2）即为抛物线在点p处的切线方程，即直线pQ为抛物线的切线.
师：上述推广可以统一归纳成为我们一个耳熟能详的性质吗？
生9：设圆锥曲线的一个焦点为F，其相应的准线为l，点p，Q分别在圆锥曲线及其准线l上，则pFFQ的充要条件是pQ为圆锥曲线的切线.
所谓数学的关键处就是教学过程中师生、生生之间容易产生思想碰撞的地方，即有可能达到教学高潮的地方.教师要在关键处设置追问，引发学生向更深层次处思考，拓展思路，迸发灵感，使学生的思维由表及里地走向深入，进而使学生加深对新知的理解和建构.
高中数学椭圆技巧篇7
只要我们紧密围绕已知条件分析，全方位探索解决问题的途径，及时抓住推理过程中出现的蛛丝马迹，就会找到解决问题的方法.从各种不同的角度入手，抓住机会深入研究和探讨，就能找到解决这一问题的多种方法。
【关键词】直线；椭圆；准线；直线方程和椭圆方程联立；韦达定理；单调递减函数在解析几何中，直线与圆锥曲线相交，可以生成许多数学问题，当直线和圆锥曲线相交时，借助于已知中的向量等式求参数的范围，是摆在我们面前的难题.这类题我们经常会遇到，是非常典型的一类题型，在高中数学课程中既是重点又是难点。
下面以直线与椭圆相交为例，详细阐述解决这类题型的一些常用方法以及解题过程中所包含的技巧.
例已知F1、F2分别是椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点n.直线l过点n与椭圆C相交于a、B两点，并且满足na=λnB，当λ∈[15，13]时，求直线l的斜率k的取值范围.
解：根据已知，得
a=2b=1c=1
左准线方程为：x=-2，点n坐标为（-2，0）
设直线l的方程为：y=k（x十2）.
设l与C的交点坐标为：a（x1，y1），B（x2，y2）.
na=λnB
（x1+2，y1）=λ（x2+2，y2）
x1+2=λ（x2+2）
y1=λy2x1=λx2+2λ-2
y1=λy2
1、解法一：
当k=0时，直线l与x轴重合，此时各点坐标分别为：
n（-2，0），a（-2，0），B（2，0），
na=λnB
（-2+2，0）=λ（2+2，0）
λ=3-22
显然，λ瘙綋
[15，13]
k=0不适合题意k≠0
将直线l的方程和椭圆C的方程联立：
y=k（x+2）
x22+y2=1
k≠0x=yk-2
消去x，得（2k2+1）y2-4ky+2k2=0
>0
k≠016k2-8k2（2k2+1）>0
k≠00
根据韦达定理，得y1+y2=4k2k2+1
y1y2=2k22k2+1
y1=λy2
λy2+y2=4k2k2+1
λy2·y2=2k22k2+1（λ+1）y2=4k2k2+1
λy22=2k22k2+1[（λ+1）y2]2λy22=（4k2k2+1）22k22k2+1（λ+1）2λ=82k2+1
λ+1λ+2=82k2+1
令h（λ）=λ+1λ+2，则h（λ）在区间[15，13]上是单调递减函数。
h（13）≤h（λ）≤h（15）
163≤λ+1λ+2≤365
163≤82k2+1≤365118≤k2≤1426≤|k|≤12
考虑上解法一的过程中前面部分得出的结论0
k∈[-12，-26]∪[26，12]
2、解法二：
将直线l的方程和椭圆C的方程联立：
y=k（x+2）
x22+y2=1
消去y，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0
>064k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0k2
根据韦达定理，得x1+x2=-8k22k2+1
x1·x2=8k2-22k2+1
x1+2=λ（x2+2）
x1+x2=（x1+2）+（x2+2）-4=λ（x2+2）+（x2+2）-4=（λ+1）（x2+2）-4
x1·x2=[（x1+2）-2][（x2+2）-2]
=（x1+2）（x2+2）-2[（x1+2）+（x2+2）]+4
=λ（x2+2）（x2+2）-2[λ（x2+2）+（x2+2）]+4
=λ（x2+2）2-2（λ+1）（x2+2）+4
（λ+1）（x2+2）-4=-8k22k2+1
λ（x2+2）2-2（λ+1）（x2+2）+4=8k2-22k2+1
（λ+1）（x2+2）=42k2+1……………………①
λ（x2+2）2-2（λ+1）（x2+2）=-62k2+1……②
由①得x2+2=4（λ+1）（2k2+1）………③
把③代人②得
λ16（λ+1）2（2k2+1）2-2（λ+1）4（λ+1）（2k2+1）=-62k2+1
16λ（λ+1）2-8（2k2+1）=-6（2k2+1）
8λ（λ+1）2=2k2+18（λ+1λ）+2=2k2+1
15≤λ≤13
109≤8（λ+1λ）+2≤32109≤2k2+1≤32
118≤k2≤14
考虑上解法二的过程中前面部分得出的结论k2≤12
k∈[-12，-26]∪[26，12]
3、解法三：
把点a（x1，y1），B（x2，y2）的坐标分别代人椭圆C的方程，得
x122+y12=1………………④
x222+y22=1………………⑤
把y1=λy2代人④，得x122+（λy2）2=1x122λ2+y22=1λ2…………⑥
⑥-⑤得x122λ2-x222=1λ2-1x12-λ2x22=2-2λ2
把x1=λx2+2λ-2代人上面等式中，就能得出x2=12λ-32
15≤λ≤130≤12λ-32≤10≤x2≤1
将直线l的方程和椭圆C的方程联立：
y=k（x+2）
x22+y2=1
消去y，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0x=-4k2±2-4k22k2+1
x1
根据条件0≤x2≤1
>0，
得出0≤-4k2+2-4k22k2+1≤1
64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0
k∈[-12，-26]∪[26，12]
根据对称性思维，还可以根据x1的范围求出k的范围，因此，解法三还可以演变成另一种形式的过程：
x1=λx2+2λ-2
x2=x1+2λ-2
把这个结论代人等式x12-λ2x22=2-2λ2中，得x1=λ-32
15≤λ≤13-75≤λ-32≤-43-75≤x1≤-43
根据解法三的过程中前面部分得出的结论x=-4k2±2-4k22k2+1
x1
根据条件得-75≤x1≤-43
>0，
得出-75≤-4k2-2-4k22k2+1≤-43
64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0
k∈[-12，-26]∪[26，12]
4、解法四：
利用解法三中得到的结论x2=12λ-32，x1=λ-32
x1+x2=12（λ+1λ）-3
x1·x2=-34（λ+1λ）+52
15≤λ≤13-34≤12（λ+1λ）-3≤-25
-75≤-34（λ+1λ）+25≤0
-43≤x1+x2≤-25
-75≤x1·x2≤0
将直线l的方程和椭圆C的方程联立：
y=k（x+2）
x22+y2=1
消去y，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0
根据韦达定理，得x1+x2=-8k22k2+1
x1·x2=8k2-22k2+1
接下来有两种方法都可以求出k的范围。
（i）-43≤x1+x2≤-25
>0
-43≤-8k22k2+1≤-25
64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0
k∈[-12，-26]∪[26，12]
（ii）-75≤x1·x2≤0
>0
-75≤8k2-22k2+1≤0
64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0
k∈[-12，-26]∪[26，12]
5.解法五：
利用解法三中得到的结论x2=12λ-32，x1=λ-32
y1=k（x1+2）
y2=k（x2+2）y1=k（λ-32+2）
y2=k（12λ-32+2）
y1=k（λ2+12）
y2=k（12λ+12）
y1+y2=k[12（λ+1λ）+1]
y1·y2=k2[14（λ+1λ）+12]
y1+y2k=12（λ+1λ）+1
y1·y2k2=14（λ+1λ）+12
15≤λ≤13
83≤12（λ+1λ）+1≤185
43≤14（λ+1λ）+12≤9583≤y1+y2k≤185
43≤y1·y2k2≤95
当K=0时，直线l与x轴重合，此时各点坐标分别为：
n（-2，0），a（-2，0），B（2，0）
na=λnB
（-2+2，0）=λ（2+2，0）
λ=3-22
显然，λ瘙綋
[15，13]
k=0不适合题意k≠0
将直线L的方程和椭圆C的方程联立：
y=k（x+2）
x22+y2=1
k≠0x=xk-2
消去x，得（2k2+1）y2-4ky+2k2=0
>0
k≠016k2-8k2（2k2+1）>0
k≠00
根据韦达定理，
得y1+y2=4k2k2+1
y1y2=2k22k2+1y1+y2k=42k2+1
y1·y2k2=22k2+1
接下来两种方法都可以求出k的范围
（i）83≤y1+y2k≤185
k∈[-12，-26]∪[26，12]
（ii）43≤y1·y2k2≤95
k∈[-12，-26]∪[26，12]
高中数学椭圆技巧篇8
妙用圆心解题
指数函数及其反函数图象交点个数
构椭圆解题的若干途径和技巧
变“习题结论”为“解题杀手”
解析椭圆定义的二应用
三角函数求值的解题策略“三变换”
六法确定椭圆离心率的范围
如何求函数y=|cosx|+|cos2x|的最小值?
关于椭圆的焦点三角形的一个性质及应用
点击2010年高考概率与其它知识的整和
两角和正切公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)的灵活运用
三角函数解题中容易忽略的隐含条件
错解导数题后的反思——培养批判性思维的四个案例
公式F=BiL的理解和应用
求解合力有妙法
牛顿运动定律错题精析
牛顿运动定律解题常用“十法”
一道多考点习题的解析
例析“接地”意义
《数理化学习》高中版征稿启事
论证线面位置关系的关键——“找线”
点在平面内的射影
线线角与线面角的求解方法
二面角的一题多解
立体几何中距离最值问题
体积问题的求解策略
聚集高考试题中的组合体
高考中的直线方程
例谈直线和圆中的数学思想
巧构圆,妙解题
直线截距在求函数值域中的应用
一道最值题的多种解法
运用牛顿第二定律解题的基本方法
揭秘物理选择题的陷阱
二次函数在物理解题中的应用
割补法计算挖空球对质点的万有引力
例谈物理习题设计与创造性思维的培养
浅谈摩擦力做功的特点
治疗遗忘的方法——一题多解
点击排列组合与解析几何的整合
例说分离参数法解题
不尽相异元素的排列的求解方法
三项式的五种处理方法
空间图形中的轨迹问题
一组不等式的几何证明
非常规的排列组合问题例析
浅谈与二项式系数有关的求和问题
教你学好立体几何的三招
谈如何求二项展开式的系数最大项
组合恒等式证明八法
灵活运用组合数的性质求和
利用简谐运动的对称性解题
多解还是错解?
提高解题能力的几点认识
磁场边界问题中的等效极值与不等效极值
浅谈限流电路与分压电路
与地球的自转有关的物理问题
高中数学椭圆技巧篇9
【关键词】高中数学；教学；高效；构建
在教育教学过程中，课堂教学是教育教学的主阵地，课堂学习也是学生获得知识与技能的主要途径。要实现学生实践能力和创新精神的培养，最大限度地提升他们的数学能力，应该首先从课堂教学上予以突破。而提高课堂效率就成为高中数学教学的首要任务，所谓“高效课堂”就是用最少的时间获取最大效益的教学活动。高中数学教师应充分把握数学的学科特点。在课堂教学中通过各种有效途径提高课堂效率。那么，究竟如何才能打造出高效的课堂呢？
1有明确的教学目标
教学目标分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。因此，在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，进行必要的内容重组。在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。如《复数的引入》这一课是整个复数这一章的第一课，在备课时应注意，通过这一课的教学，使学生能利用辩证唯物主义的观点来解释复数的形成和发展，体会到矛盾是事物发展的动力，矛盾的解决推动着事物的发展。引伸到现实生活中，就是当我们遇到矛盾时，也要勇于面对矛盾，要有解决矛盾的决心和信心，促进矛盾的转化和解决，同时也就提高了自己分析问题和解决问题的能力。
2能突出重点、化解难点
每一堂课都要有一个重点，而整堂的教学都是围绕着这个重点来逐步展开的。如《椭圆》第一课时，其教学的重点是掌握椭圆的定义和标准方程，难点是椭圆方程的化简。教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆的直观图、圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生对椭圆有一个直观的了解。为了强调椭圆的定义，教师事先准备好一根细线及两个钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解了。再进一步求标准方程时，学生容易遇到这样一个问题：化简出现了麻烦。这时教师可以适当提示：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？学生回答：可以两边平方。教师问：是直接平方好呢？还是恰当整理后再平方？学生通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，最后能得到圆满的结果。这样，椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解了，同时也解决了以后将要遇到的求双曲线的标准方程时的化简问题。
3激发学生学习数学的兴趣，让他们爱上数学
兴趣是人们积极探究某种事物的心理倾向。这种心理倾向使人对某种事物给予优先的注意，并且具有向往的心情。兴趣是学生学好知识的催化剂，不断刺激学生学习兴趣，使学生始终处于积极的思维状态，是学生发展智能的基础。瑞士著名教育学家皮亚杰说：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。”当一个人对某一事物发生兴趣时，他就会入迷地去追求、探索。学生如果对学习产生了浓厚的兴趣，那么必将成为学习的内在动力，就会提高学习效率。所以教师要把第一锤敲在学生的心灵上，激发起他们心灵的火花，或像磁石一样把学生牢牢地吸引住。通过理论联系实际、巧设疑问、创设情境等各种有效途径激发学生学习数学的兴趣，从而让他们死心塌地地爱上数学。
4设计问题教学情境，提高学习主动性和积极性
孔子曰：“学起于思，思源于疑。”高效教学要求教师要根据课堂教学的目标和内容，把教学过程设计成以问题为中心的教学过程，把问题设计看成是教学设计问题的中心，在课堂教学精心设置问题情境，有计划地、有针对性地激发学生主动参与探究。设计有效的数学问题要从以下几个方面进行思考：一是问题设计要科学，提出的问题应该是信息量适中的合理问题，难易程度要适合学生的现有发展水平，“跳一跳，够得着”。二是问题的设计要按照课程的逻辑顺序，遵从学生学习认知规律，循序渐进，由浅入深。三是所提的问题的指向性必须明确，不能产生歧义；问题的答案也应是确切和唯一的，即使是发散问题，其答案的范围必须是可预料的。四是所提问题要有启发性，通过对问题的思考，要使学生更好地理解所学知识，体会数学本质和内涵。
5尊重学生主体作用
高中数学椭圆技巧篇10
关键词：GSK980tD数控机床；椭圆形工件；a类宏程序；宏指令；参数方程
中图分类号：R283文献标识码：a文章编号：1009-2374（2009）09-0041-03
在实际应用中，我们会遇到各种各样的曲线形加工特征。而在现今的数控系统中，无论硬件数控系统，还是软件数控系统，其插补的基本原理是相同的，只是实现插补运算的方法有所区别。常见的是直线插补和圆弧插补，没有椭圆、双曲线、抛物线等插补。椭圆的加工，运用宏程序来解决就非常简单了。
用户宏程序是提高数控机床性能的一种特殊功能。使用中，通常把能完成某一功能的一系列指令像子程序一样存入存储器，然后用一个总指令代表它们，使用时只需给出这个总指令指令就能执行其功能。用户宏程序的最大特点是可以对变量进行运算，使程序应用更加灵活、方便。虽然子程序对编制相同加工操作的程序非常有用，但用户宏程序由于允许使用变量算术和逻辑运算及条件转移，使得编制相同加工操作的程序更方便、更容易。
用户宏程序有a、B两类，GSK980tD数控车床中，使用的是a类宏程序。下面我就以我校GSK980tD数控车床为例，介绍如何用宏程序对椭圆形工件进行编程加工。
一、熟悉宏指令
用户宏程序本体的一般形式：
G65Hmp#iQ#jR#k
m：01～99表示运算命令或转移命令功能；
#i：存入运算结果的变量名；
#j：进行运算的变量名1，也可以是常数。常数直接表示，不带＃；
#k：进行运算的变量名2；也可以是常数。
指令意义：＃i＝＃j＃k（注：为运算符号，由Hm决定）。
二、掌握椭圆的参数方程的含义
在实际的图形中，一般给出椭圆的长半轴a和短半轴b。
当椭圆的长轴在X轴上，短轴在Y轴上，这时椭圆的参数方程如下：
x=acos
y=bsin（1）
当椭圆的长轴在Y轴上，短轴在X轴上，这时椭圆的参数方程如下：
x=bcos
y=asin（2）
椭圆参数方程中的离心角在第一象限（0°~90°），第二象限（90°~180°），第三象限（180°~270°）及第四象限（270°~360°）。
在数控车床上编制程序时，要注意坐标的转换，把车床的坐标系所示的X轴变为Z轴，Y轴变为X轴。再考虑直径编程，上式椭圆的参数方程（1）和（2）转变为：
z=acosz=bcos
x=2bsin（1）x=2asin（2）
三、变量的设置
对于椭圆的加工，可以采用一次性切削。但粗加工时由于吃刀量较大，效果不是很好，后来我们改用分层切削加工。在宏程序中可以把参数方程中的角设为一个变量1，然后把开始切削点向直径外偏移出来，把偏移量也设为一个变量2，通过控制这两个变量就可以实现椭圆的粗加工和精加工。而变量的使用是用户宏功能的核心，从广义上说，程序使用变量的功能就可以称为用户宏功能。
参数方程中的角，编程时是作为一个变量来设置的，所以应计算的起始角和终止角。而不同形状的椭圆其角的变化是不同的，下面分析的GSK980tD数控机床中如何用宏程序来进行椭圆形工件的加工。
实例：加工如下图所示的零件，工艺条件：工件材质为45#钢，或铝；毛坯为直径Φ32mm，长100mm的棒料（X轴无偏心距）。
在上图中，终点a的离心角的计算如下：
因为：Xa＝14＝28sinasina＝0.5a＝300
所以：=1800-300=1500Za＝-（20+20cosa）=-37.32
利用宏程序对椭圆的编程可采用以下方法：
1．采用一次性切削的方法来加工椭圆来编程，在实际加工时，把刀补偏移出来。
其流程图如下：
Q0001
n10G00X100Z50m03S1t0101
G00X30Z2
G90X28.5Z-70F180
G00X100Z50
t0202
m03S2
G00X32Z-45
G94X15Z-45F50
Z-42
Z-40.52
Za＝－(37.32+3.2)＝－40.52
X32
G00X100Z50
m30
m03S1t0101
G42G00X30Z5
n20G65H01p#201Q0//宏程序加工椭圆，定义变量#201为的起始角，起始角为0度
n30G65H31p#202Q28000R#201
G65H32p#203Q20000R#201
G65H03p#204Q#203R20000
G01X#202Z#204F100//粗加工椭圆（直线插补椭圆）
G65H02p#201Q#201R3000//变量#201（角度）每次增加3度
G65H86p30Q#201R150000//判断变量#201是否少于或等于150°（的终始角为#200＝150°）
n40G01X30F100
G01Z0
G40G00X50Z50
G00X100Z50m05
m00
m03S1t0303
G01X28
Z-70
X32
G40G00X100Z50
t0100
m30
上述程序中，工件零点设在工件右端面，加工起点和换刀点可以设为同一点，在工件的右前方距工件右端面100mm，X轴向距轴心线50mm的位置。
宏程序中把角设为一个变量#201，其起始角为0度，而终点角为150度（终点为点a，用数学方法求出点a的角）。加工时，为了提高工作效率，每次增加3度，最后判断角是否少于或等于150度，少于时，再加工一层，否则顺序执行。为了保证椭圆左右两部分无接合痕迹，利用外圆车刀对整个外形轮廓采取连续车削。为了方便测量，我们还可以把与椭圆相连的一段直线或圆弧一起编程加工。在切削的过程中，为了防止发生干涉现象，我们采用的刀具补偿来解决这个问题。
2．采用分层切削加工时，其流程图如下：
程序如下：
Q0002
n10G00X100Z50m03S1t0101
…….
n20G65H01p#200Q25000
n30G65H01p#201Q0
G65H31p#202Q28000R#201
G65H32p#203Q20000R#201
G65H03p#204Q#203R20000
G65H02p#205Q#202R#200
G01X#205Z#204F100
G65H02p#201Q#201R3000
G65H86p30Q#201R150000
G01X30F100
G01Z0
G65H03p#200Q#200R3000//每次吃刀量为3mm
n40G65H85p30Q#200R0//判断变量#200是否大于或等于0（偏移量的终始值为0）
……
上述程序中，把角设为一个变量#201，其起始角为0度，而终点角为150度。把开始切削点向直径外偏移出来，偏移量设为另一个变量#200，变量#200初始值要考虑工件的最大加工余量，上例中，X方向最大的切削余量为28mm，加工时每次的吃刀量为3mm，所以变量#200的初始值设为25mm。
为了节约篇幅，编程时一律没有区分粗、精加工，重点只考虑椭圆的加工程序。
当椭圆相对X轴或Z轴有偏心距e，在计算X或Z的坐标值时就需在X或Z方向加上一个偏心距e值。其余都不变。
通过以上方法，我们可以方便地实现椭圆的加工。
参考文献
[1]广州数控设备有限公司．GSK980tD车床CnC使用手册[m]．