高中数学椭圆的相关知识篇1
关键词：椭圆参数方程几何意义案例应用
中图分类号：G63文献标识码：a文章编号：1672-3791（2015）01（B）-0000-00
一、案例背景
依据美国学者埃德加・戴尔（edgarDale）1946年提出的“学习金字塔”（Learningpyramid）理论，依照新课程标准中的要求打造以老师为主导、学生为主体的高效课堂。
1、教材分析
相对于曲线的一般方程，参数方程是曲线的另一种代数表现形式，在某些方面具有一定的优越性，而椭圆的参数方程是其中一个重要的内容。从教材的编排看，椭圆的参数方程被安排在圆的参数方程与双曲线的参数方程之间，它起着衔接，过渡，承前启后的作用。
2、学情分析
学生已经掌握了椭圆的标准方程、图像和性质，能够简单的应用，但是对于一些求最值的问题感到计算比较困难。本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好：1.能从类比圆的参数方程的建立得出椭圆的参数方程；2.引导学生体会椭圆参数的几何意义；3.能利用椭圆的参数方程解决有关的问题。
3、教学目标
知识与技能：通过探究活动，了解椭圆参数方程及椭圆规的设计原理；
过程与方法：有应用参数的意识，能用椭圆参数方程解决一些简单问题；
情感态度价值观：通过观察，探索的学习过程，培养探究能力和创新意识.
4、教学重点：椭圆的参数方程的建立.
教学难点：椭圆参数方程的应用.
5、教学用具：实物展台，投影仪
6、教学流程：目标引入――自主探究――分组讨论――自主实践――反思总结
7、教学方法：自主探究式教学
8、教学课时：1课时
二、教学步骤
1、目标引入：复习回顾圆的参数方程并提出问题――能否根据课本上推导圆的参数方程的过程推导出椭圆的参数方程？引入课题并板书课题――椭圆的参数方程。
2、自主探究，发现新知
探究1：以坐标原点o为圆心，分别以a、b为半径作两个圆。点a是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点a作anx轴于点n，再过点B作Bman于点m。求当半径oa绕点o旋转时，点m的轨迹的参数方程。
①提问学生选取什么作为参数？②再问学生选择该参数的理由；③构建椭圆的参数方程：
如图，设∠xoa=θ，点m的坐标为（x，y）。
则x=on=|oa|cosθ=acosθ，
y=nm=|oB|sinθ=bsinθ。
即（θ为参数），这就是点m轨迹的参数方程。
最后，提问学生点m的轨迹是一条什么曲线？为什么？并引出离心角的概念。
①直接消去参数θ，化参数方程为普通方程可知点m的轨迹是椭圆；
②利用《几何画板》对点m进行“跟踪”，发现点m的轨迹确实是椭圆；
【正确理解椭圆离心角θ的几何意义】
1.给出离心角与旋转角的概念
如图，我们称∠xoa为椭圆的离心角，而把∠xom叫做椭圆的旋转角。
2.初步认识椭圆的离心角θ
①由图可知∠xoa≠∠xom；②提问：∠xoa与∠xom有相等的可能吗？一共有多少次？
3、分组讨论，体验应用
探究2：椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示.在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？（提示：可以用直尺和横槽所成的角为参数，求出点的轨迹的参数方程.）
4、动手实践，深化知识
探究3：已知椭圆.若是椭圆上任一点，求的最值
5、学生小结
知识方面：
思想方面：
6、布置作业：课本思考题
三、结语
1.注重学以致用。课堂不应该是“一言堂”，学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上，老师应为学生讲清楚相关理论、原理及思维方法，做到授之以渔，而非仅是授之以鱼。保证活跃的课堂气氛，进一步激发了学生的学习潜能。
2.教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出椭圆参数方程的生成过程，让学生直观观察参数的影响。
参考文献：
1.普通高中课程标准实验教科书《坐标系与参数方程》人民教育出版社
高中数学椭圆的相关知识篇2
【关键词】新课程；椭圆；标准方程；教学设计
一、研究背景及意义
1.椭圆及其标准方程的教材地位及学习价值
圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，在高中数学选修2-1中，圆锥曲线被安排在第二章中，以“圆锥曲线与方程”的标题出现，其包含曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线四部分内容.“椭圆及其标准方程”具有承前启后的重要作用：首先，“椭圆及其标准方程”中标准方程的推导需借助“曲线与方程”中的知识，是对上一节知识的有效巩固；其次，椭圆位于三种曲线之首，对这三种曲线而言，研究的问题基本一致、研究方法相似，若能够掌握好研究椭圆的基本方法，学习其余两种曲线时就会得心应手.故掌握好椭圆及其标准方程对学生学习具有极大的促进作用.
2.椭圆及其标准方程的教学状况及学生的掌握情况
椭圆及其标准方程如此重要，对于学生的学习及教师的教学均是一种挑战.因而，迫切需要科学合理的教学设计，将知识有效地教授给学生，使其养成良好的数学品质.
圆锥曲线在高考中所占分值较大，这给教师、学生带来了较大的压力.在时间紧任务重的情况下，多数的教师没能很好的利用教材及辅导资料，不进行增减直接照搬资料，常常忽视学生的主体地位，没能充分调动学生积极性，缺少探究学习知识的过程.
例如：教授椭圆及其标准方程时，多数教师按照教材编排，在一个课时内对其进行讲解，导致课堂内容过多，讲解时间增加，学生只能被强迫着将知识装入脑子中，靠死记硬背掌握知识，造成概念理解不到位，进而难以处理相应的问题.因此，本文教学设计中将其分两个课时进行教授.
二、设计依据
1.新课程下的教学要求
通过研读《普通高中数学课程标准（实验）》针对圆锥曲线教学内容的要求后，归纳出以下几点关于椭圆及其标准方程的教学要求：
（1）借助丰富的实例，让学生从探究中抽象出椭圆的定义，并体会其在现实中的实际应用；
（2）椭圆标准方程的推导中，首先从典型的几何特征入手，选取合适的坐标系，其次利用轨迹问题的本质（抓住不变量），创建适当的方程.
（3）明确用代数研究几何的方法，渗透数形结合的思想.
2.教学方法
对于椭圆的标准方程来说，它没有明确的教学类型分类，可以说是椭圆定义的一种应用，也可以说是一种命题，还可以说是一种求解标准方程的数学题，没有较为明确的教学设计依据，但可以汲取著名教育家曹一鸣编写的《数学教学论》一书中的经典教学方法，完成教学设计.
三、教学设计
1.椭圆定义的教学设计
（1）情景引入
用一个不垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可得到不同的截口曲线，分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（多媒体展示图片便于直观理解）.
为什么截口曲线会出现不同情形？学习圆锥曲线定义之后依次进行解答（设置问题，激发学生的好奇心）.
设计意图：采用总分的教学手段：先提出圆锥曲线再引入椭圆，便于学生总体感知，且由熟悉场景引人新课，易于接受，引起兴趣，激发求知欲.
（2）新课教授
之前就已接触过圆，现研究第二种圆锥曲线――椭圆.
生活中处处可发现椭圆的影子：圆柱形水杯倾斜时水面的边界，阳光下圆球的影子，地球绕太阳运行时的轨道等（展示图片，数学来源于生活）.
问题1：观察以上曲线，它们和圆有那些相识之处――似乎圆被“压扁”后就得到了椭圆.
问题2：那么可否借助圆从“到定点距离等于定长”的角度来定义椭圆？
设计意图：将椭圆与圆作类比，借助定点、定长得出椭圆定义顺理成章，培养学生敏锐的观察及类比能力.
师生活动：取一段长为2a的细绳，将两端点分别固定在图板同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆，如果把细绳的两端拉开一段距离，画出的轨迹又是什么――椭圆.
设计意图：以圆为基础，学生在教师的带领下，通过自己观察、猜想、动手检验得到椭圆的定义，由教师灌输式转变为学生自主探究式，加深对椭圆定义的理解，极大的提高了课堂学习效率.
问题1：画出椭圆的过程中哪些量不发生变化（即椭圆上的点有何特征）――在笔尖移动过程中，细绳的长度不变，即笔尖到两定点的距离和为常数（设计问题，让学生从动中找静，培养其对事物的敏感度）.
得出椭圆定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.记为2c（给出椭圆准确定义，将文字语言转化成为符号语言）.
若设m为椭圆上的任意一点，则|mF1|+|mF2|=2a.
问题2：将学生分成小组再次作图并讨论：如果细绳的长度小于或等于两定点的距离，作出的图形又怎么样
通过实践得到当且仅当2a>2c时才可作出椭圆.
设计意图：改变以往教师直接告知学生：2a>2c为椭圆定义中的关键，使学生分组操作，对比讨论，自我总结得出结论（加深对概念的理解，避免遗漏定义中的注意事项，注重数学的严谨性）.
（3）概念巩固
现在解决课堂开始的问题：用一个与圆锥轴线夹角为锐角的平面去截圆锥，得到的截线是椭圆.
用教具模拟平面去截圆锥（使用教具直观展示便于理解，可激发学生的动手能力）在圆锥内放大小不同的两个球，使其分别相切于圆锥的侧面、截面，切点为e，F，现在截口曲线上任取一点a，过点a做圆锥的母线，使其分别与两个球相切于B，C，那么，据椭圆定义，只需求证a与e，F的距离之和为常数即可，为此，需回忆球的切线长定理：过球外一点做球的两条切线，切线长相等.
图1
由图1，不难发现ae与aC为小球的两条切线，aF，aB为大球的两条切线，因而ae=aC，aF=aB，于是ae+aF=aB+aC=BC.
这样，就得到截口曲线上任意一点a到两定点e，F的距离之和为常数，即满足椭圆定义，故截线为椭圆.
设计意图：学习椭圆的概念之后，解决教师们常常忽视的截线是椭圆的问题，既要让学生知其然又要知其所以然（培养学生善于发现问题，并且利用已学知识解决问题的能力）
2.椭圆标准方程的教学设计
（1）复习引入
回顾求轨迹方程的一般步骤：建系设点抓住不变量创建方程化简
例如求圆方程的步骤，即：求到定点的距离等于常数的点的集合
设计意图：知识具有连贯性，课前及时回顾，有助于提前进入课堂；
以圆为例，有两处妙用：①用具体的例子帮助识储备不足的学生，回顾求动点轨迹的方法；②圆作为圆锥曲线的一种，与椭圆联系紧密，可以类比圆的对称性，利用椭圆的对称性，建立坐标，避免了无规则地乱建系.
（2）新课教授
类比圆的方程求法，可否求出椭圆的标准方程（明确要解决的问题、可利用的知识，培养学生严密的解题思维）
椭圆定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆（着重强调2a>|F1F2|不可或缺）.
类比圆，据椭圆的对称性，可能出现两种建系方法：
①以经过椭圆焦点F1，F2的直线为x轴，以线段F1，F2的垂直平分线为y轴.
②x轴、y轴互换，即以经过椭圆焦点F1，F2的直线为y轴，以线段F1，F2的垂直平分线为x轴.
自主探究：将学生分成两组就两种不同的坐标系，求出对应的椭圆标准方程.
利用多媒体给出第一种建立坐标系的详细过程（方便学生自行校对）.
设m（x，y）是椭圆上任意一点，焦距2c（c>0），则焦点F1，F2的坐标分别是（-c，0），（c，0），由定义，得m与F1，F2的距离之和为2a，即|mF1|+|mF2|=2a.
（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a.
化简此方程（教师提点化简过程中的两次平方和方程两边同除以某个式子，最终化解为分式，利用函数的思想求解曲线方程，深化几何与函数的联系）.
将左边的一个根式移到右侧，得（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2.
两边平方，得a2-cx=a（x-c）2+y2.
两边再平方，得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.
方程两边同除a2（a-c2），得x2a2+y2a2-c2=1.
由椭圆的定义可知2a>2c，即a>c，故a2-c2>0.
方程较为复杂，故常令b2=a-c2.（及时说明为何要引出b值不会显得唐突）
最终可得（列出比较内容，更加直观、深刻）
焦点位置x轴，标准方程x2a2+x2b2=1（a>b>0）.
焦点位置y轴，标准方程x2a2+x2b2=1（a>b>0）.
图2
寻找标准方程与坐标轴之间的联系发现：焦点位于哪个轴上，哪个的分母大.
由a，b，c之间的关系b2=a-c2，可在中找出对应的线段（结合图形给出a，b，c的几何意义，符合学生的认知过程，便于理解）
|pF1|=|pF2|=a，|oF1|=|oF2|=c，|po|=a2-c2=b.
其中a为长半轴、b为短半轴、c为焦半径，
设计意图：转变教师直接板演求解标准方程的过程，两种不同的建系方式渗透分类讨论的思想，合理地安排学生分组讨论，由被动听讲转为主动参与，增强了主体意识，在此过程中教师巡视给予帮助，发挥其指导、帮助、促进作用
四、设计反思
这次教学设计中很好地贯穿了新课程教学理念，但是也出现了一定的不足，第一：由于教学经验有限，一些数学教育理论和专业知识，不能完美应用于教学设计中；第二：在教学设计中针对学生的心理情况的设计比较少.
希望借鉴本设计者据实际情况进行合理的修改.
【参考文献】
[1]徐忠才.高中数学课程中圆锥曲线的教学研究[D].甘肃：西北师范大学，2005.
[2]曹一鸣.数学教学论[m].北京：北京师范大学出版社，2010（8）：85-175.
高中数学椭圆的相关知识篇3
关i词：高中数学；椭圆；双曲线；交点；相切；相交
一、高中数学中椭圆与双曲线交点的问题
高中数学中椭圆与双曲线的交点问题主要涉及到四种情形，分别是当椭圆和双曲线的长轴都在x轴上时；椭圆与双曲线的长轴都在y轴上时；椭圆的长轴在x轴上，双曲线的交点在y轴上时；椭圆的长轴在y轴上，双曲线的长轴在x轴上；这四种情况的解题思路是类似的，前提都是建立在对椭圆和双曲线性质熟练掌握的基础上的，设四种情况下椭圆的长轴长均为a，短轴长均为b，双曲线的长轴长均为d，虚短轴长均为e。设它们在有交点的情况下的交点为m。下面对于这四种交点问题进行细致的探究。
（一）椭圆和双曲线的长轴都在x轴上
当椭圆与双曲线的长轴都在x轴上时又分为以下三种情况：当ad时，椭圆与双曲线有四个交点，根据椭圆与双曲线关于x轴、y轴对称的性质，四个交点关于x轴、y轴对称。所以可设在第一象限的交点为m1（x0，y0），第二象限内交点m2（-x0，y0），第三象限内交点m3（-x0，-y0），第四象限内交点m4（x0，-y0）。首先，联立椭圆与双曲线的方程解出椭圆和双曲线的四个交点分别为m1（ad，be），m2（-ad，be），m3（-ad，-be），m4（ad，-be）。
（二）椭圆与双曲线的长轴都在y轴上
当椭圆与双曲线的长轴都在y轴上时又分为以下三种情况：当ad时，椭圆与双曲线的图像存在四个交点，交点存在对称性，所以可设在第一象限的交点为m1（x0，y0），第二象限内交点m2（-x0，y0），第三象限内交点m3（-x0，-y0），第四象限内交点m4（x0，-y0）。根据交点情况，结合椭圆与双曲线的方程得出椭圆和双曲线的四个交点，分别为m1（be，ad），m2（-be，ad），m3（-be，-ad），m4（be，-ad）。
（三）椭圆的长轴在x轴上，双曲线的交点在y轴上
椭圆的长轴在x轴上，双曲线的交点在y轴上，两者的位置关系同样根据两者的长短轴的关系分为三种情况：当bd时，椭圆与双曲线的图像存在四个交点，四个交点分别存在于第一、二、三、四象限内，设在第一象限的交点为m1（x0，y0），第二象限内交点m2（-x0，y0），第三象限内交点m3（-x0，-y0），第四象限内交点m4（x0，-y0）根据两者的交点情况，结合椭圆与双曲线的方程，联立得出椭圆和双曲线的四个交点为m1（ae，bd），m2（-ae，bd），m3（-ae，-bd），m4（ae，-bd）。
（四）椭圆的长轴在y轴上，双曲线的长轴在x轴
当椭圆的长轴在y轴上，双曲线的长轴在x轴上时，两者的位置关系同样根据两者的长短轴的关系分为三种情况：当bd时，椭圆与双曲线的图像有四个交点，我们仍然可以设在第一象限的交点为m1（x0，y0），第二象限内交点m2（-x0，y0），第三象限内交点m3（-x0，-y0），第四象限内交点m4（x0，-y0）（根据两者的交点情况，结合椭圆与双曲线的方程，联立得出椭圆和双曲线的四个交点为m1（bd，ae），m2（-bd，ae），m3（-bd，-ae），m4（bd，-ae）。
二、结语
综上所述，对于椭圆与双曲线的交点问题是高中数学经常考察的内容，所以在遇到此类问题的时候一定要善于辨析，找出两者的位置关系充分结合椭圆与双曲线的图形，对于不同情况下图像的表示情况，结合两者的方程，接触问题，对于椭圆与双曲线的交点问题，什么情况下有几个交点，怎么根据具体的方程式解出答案都是值得仔细思考的，对于两者的交点问题能够在理解的基础上，结合图像，加强记忆，这样对于很多涉及到椭圆与双曲线交点的问题就能迎刃而解。
参考文献：
[1]王小可.椭圆双曲线和抛物线性质的相关性[J].池州师专学报，2004.
高中数学椭圆的相关知识篇4
粟明浩
（山南地区职业技术学校，西藏 山南 856000）
摘 要：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，是高中数学重要的知识点，是高考必考的内容之一。圆锥曲线方程及其图像和可以与直线或者其他几何图形发生复杂的联系，从而产生出众多的题目。在本篇论文中，作者精心挑选了几个经典的圆锥曲线与直线相结合的题目进行分析和总结，希望能够帮助高中生们认清本质、理清头绪，从而做到举一反三，全面掌握圆锥曲线的相关知识。
关键词：圆锥；曲线；例题
一、直线与双曲线的结合
例1、已知动点p与双曲线（x2/2）-（y2/3）=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1pF2的最小值-1/9。
（1）求动点p的轨迹方程；
（2）若已知点D（0，3），点m,n在动点p的轨迹上，且Dm=λDn，求实数λ的取值范围；
解析：首先根据题目给出的线索画出双曲线的示意图，如下图
本题考察了双曲线的焦点的求法，同时这两个焦点与动点p联系在一起考察了椭圆的一个重要性质，即椭圆上的任意一点到达两焦点的距离和为定值，由于题目中的线索cos∠F1pF2的最小值-1/9，可以带入方程计算出椭圆中的未知数，这时题目（1）的本质就变成了已知两焦点求解椭圆方程。由题目（2）本身可知，D、m和n三个点在一条直线上，可将这条直线的方程假设出来，题目（2）的实质就变成了直线与椭圆相交的问题。该题目的解法如下：、
解：（1）由题意知，动点p的轨迹为一个椭圆，该椭圆与双曲线共焦点，所以可以假设该椭圆方程为(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>b>0)。已知两个焦点分别为F1(-,0)和F2(,0)。设篇（x0,，y0），则cos∠F1pF2=【y02+（x0+）2+y02+（xo-）2-4*5】/2（x02-5）=（y02+x02-5)/(x02-5)=(5/a2)【1+（14-a2）/（x02-5）】。因此，当x02=0时，cos∠F1pF2取最小值，即（2a2-4*5）/2a2=-1/9，解之，得：a2=9，则b2=4，所以椭圆的方程为a2/9+b2/4=1。
（2）由Dm=λDn可知，D、m、n三点共线，已知D点坐标为（0,3），如果这条直线斜率不存在，则λ=1/5或者λ=5，如果斜率存在，可设直线方程为如果y=kx+3，与椭圆方程联立得方程组
y=kx+3，
a2/9+b2/4=1，因此，可得方程（9k2+4）x2+54kx+45=0,判断Δ=（54k）2-4*45（9k2+4）≥0，所以k2≥5/9。
设m、n两点的坐标分别为m（x1,y1）、n（x2,y2），x1和x2为方程的两个解，则x1+x2=-54k/（9k2+4），x1x2=45/（9k2+4）。
由于Dm=λDn，则x1=λx2，所以x1=-54k/【（1+λ）9k2+4】，x2=-54kλ/【（1+λ）9k2+4】，所以x1x2=45/（9k2+4），所以λ/(1+λ)2=(5/324)(9+4/k2)。由于k2≥5/9，所以5/36<λ/(1+λ)2<1/4,所以1/5<λ<5且λ≠5或1/5，综上，1/5≤λ≤5。
点评：一圆锥曲线为背景，求取未知数的取值范围，或求取不等式的解等，是常用的考试方法，通常需要运用待定系数和设系数列方程的方法进行求解。
二、直线与椭圆的结合
例2（2013年高考山东卷）、椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2，离心率为/2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长度为1。
（i）求椭圆的方程
（ii）点p是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接pF1、pF2，设∠F1pF2的角平分线pm交C的长轴于m(m,0)，求m的取值范围；
解析：题目（i）求椭圆方程，涉及到了椭圆三个参数之间的关系和离心率的概念；题目（ii）是角的平分线与椭圆的相交问题，与例2中的题目（2）相似。
解：（i）已知椭圆离心率为/2,所以，c/a=/2,由于过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长度为1，所以2b2/a=1,已知a2=b2+c2，解之，得a2,b=1，所以方程为x2/4+y2=1
（ii）设pF1=t，由题意知2-≤t≤2+，在三角形F1mp中，由正弦定理，得
（sin∠pmF1/t)=【sin∠pmF1/(m+)】,同理，在三角形F2mp中，
【sin∠pmF2/（4-t)】=（sin∠pmF2/），且∠mpF1=∠mpF2，∠mpF1+∠mpF2=π，所以m=(1/4)(2t-4),所以-3/2≤m≤3/2。
点评：椭圆与直线相互联系是中学数学的一个重点内容，在求解这部分的题目时，要首先弄清楚椭圆本身的一些特殊性质，如三个参数的关系、与圆的异同点以及一些重要的推论。运用这些推论，可以使题目简单化，有时可以用纯几何的方法解决重要的问题。
总结：在本文中，作者分别对三种圆锥曲线与直线的结合问题进行了举例分析。三个例题中有两个经典模拟题和一个高考的真题。圆锥曲线是高中数学的重点和难点内容，需要广大高中生能够认真学习，认清概念、理清头绪，掌握解题的一般思路，举一反三。同时，认真总结圆锥曲线的一些特殊性质和重要推论也十分重要，可以起到事半功倍的效果。
高中数学椭圆的相关知识篇5
【关键词】圆;椭圆;类比推理
近几年江苏省高考数学在解析几何方面的考查基本上坚持从圆与椭圆的性质入手，本文就圆与椭圆有关的性质类比试举几例与同学们共赏.
一、高考赏析
（江苏2011高考第18题（3））如图，在平面直角坐标系xoy中，mn分别是椭圆x2[]4+y2[]2=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p,a两点，其中点p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为C，连接aC，并延长交椭圆于点B.设直线pa的斜率为k.对任意的k>0，求证：papB.
证明设p(x1,y1）,B（x2,y2),则x1>0,x2>0，x1≠x2,a(-x1,-y1),C(x1,0).
设直线pB,aB的斜率分别为k1,k2，因为C在直线aB上，
所以k2=0-(-y1)[]x1-(-x1)=y1[]2x1=k[]2，
从而k1k+1=2k1k2+1=2y2-y1[]x2-x1・y2-(-y1)[]x2-(-x1)+1=2y22-2y21[]x22-x21+1=(x22+2y22)-(x21+2y21)[]x22-x21=4-4[]x22-x21=0，
因此k1k=-1，所以papB.
点评本题利用椭圆的性质使得过程较为简洁，实际上本题中椭圆具有如下性质：kBa・kBp=-1[]2，请同学们思考椭圆方程的a2,b2与直线Ba,Bp斜率乘积有何联系？是如何想到的呢？这是一种巧合吗？下面我们带着这些问题作进一步探究.
二、类比探究
唯物辩证法告诉我们：“任何事物的存在都不是孤立的，它必与其他事物有着必然的联系.”由平面几何圆的性质我们知道：（1）圆的直径所对的圆周角为直角，即圆上任意一点（除直径两端点外）与圆直径两端点的连线所在直线的斜率（设斜率存在）之积为定值-1.类比到椭圆能否得到：椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上任意一点与经过椭圆中心的弦的两个端点（除这两点外）的连线斜率（设斜率存在）之积为定值呢？
解析设a(x1,y1),p(x0,y0),则x1≠x0，B(-x1,-y1).
设直线pa,pB的斜率分别为k1,k2.
因为点a,p在椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上，
所以y21=b2-b2x21[]a2，y20=b2-b2x20[]a2.
从而k1・k2=y0-y1[]x0-x1・y0-(-y1)[]x0-(-x1)=y20-y21[]x20-x21=b2-b2x20[]a2-b2-b2x21[]a2[]x20-x21=-b2[]a2.
结论1椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上任意一点与经过椭圆中心的弦两个端点（除这两点外）的连线斜率（设斜率存在）之积为定值-b2[]a2.
三、探究延伸
圆与椭圆中是否还存在其他类似的结论，下面将圆中的类似性质类比到椭圆中，再进行探究.
（2）圆中：平分弦的直径垂直于弦.类比椭圆中：过椭圆中心平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率（设斜率存在）之积是否为定值呢？
解析设a(x1,y1），B（x2,y2)，(x1≠x2,y1≠y2),中点p(x0,y0).
因为点a,B在椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)即b2x2+a2y2=a2b2上,
所以b2x21+a2y21=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2.
两式相减得：
b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2）（y1-y2)=0,
所以kaB=y1-y2[]x1-x2=-b2[]a2・x1+x2[]y1+y2=-b2[]a2・1[]kop.即kaB・kop=-b2[]a2.
结论2过椭圆中心平分椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)弦的直线的斜率与弦所在直线的斜率（设斜率存在）之积是定值-b2[]a2.
（3）圆中：过切点的直径垂直于圆的切线.类比椭圆中：椭圆上任一点与椭圆中心的连线的斜率与该点处切线的斜率（设斜率存在）之积是否为一定值呢？
先看苏教版数学教材必修2第105页第7题：已知圆C的方程是x2+y2=r2，求证：经过圆C上一点m(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2.类比到椭圆我们能得到：过椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一点m(x0,y0)的切线方程是x0x[]a2+y0y[]b2=1.（请同学们自行完成，提示应用导数的方法）
解析设椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一点m(x0,y0)，由上述结论可知：以点m为切点的切线斜率为k=-b2x0[]a2y0，又kom=y0[]x0，所以k・kom=-b2x0[]a2y0・y0[]x0=-b2[]a2.
结论3椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一点与椭圆中心的连线所在直线的斜率与该点处切线的斜率（设斜率存在）之积是定值-b2[]a2.把圆中的性质类比到椭圆中，在中学数学有着广泛应用，由于其性质和圆类似，所以应用十分方便.有兴趣的同学可以尝试能否把上述结论类比到双曲线和抛物线中呢？
四、创新赏析
如图,设点p是椭圆e:x2[]4+y2=1上的任意一点(异于左、右顶点a,B).设直线pa,pB分别交直线l:x=10[]3与点m,n,求证:pnBm.
证明设p(x0,y0),由已知a(-2,0)，B(2,0),
设直线pa,pB的斜率分别为k1,k2.
因为点p在椭圆x2[]4+y2=1上，
所以，y20=1-x20[]4.
从而k1・k2=y0-0[]x0-(-2)・y0-0[]x0-2=y20[]x20-4=1-x20[]4[]x20-4=-1[]4.
直线pa的方程为y=k1(x+2)，令x=10[]3，得m10[]3,16k1[]3.
所以kBm・k2=16k1[]3-0[]10[]3-2・k2=4k1・k2=-1，
即pnBm.
用类比的观点学习数学，可使分散的知识得到集中，孤立的知识得到统一，这对于我们构建知识网络有着重要意义.
高中数学椭圆的相关知识篇6
【关键词】弦长;公式;分类;应用
一、问题的提出
解析几何涵盖了丰富的中学数学思想与方法，其中弦长计算是解析几何中不可或缺的内容，也是历年高考数学考查的常见考点。因此教师在教学中，特别是高考复习中，对不同条件的弦长计算应予分类并对弦长公式的应用进行针对性训练，从而有效提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、弦长公式的分类
公式
名称公式表达式公式中参数的含义适用范围
垂径
公式a、B分别是直线与圆的两个交点;R是圆的半径;d是圆心到直线的距离。直线与圆相交形成的弦长。
一般
弦长
公式
消y：
消x：
（a>0）a、B分别是直线与曲线的两个交点;k是直线的斜率;a和?分别是直线方程与曲线方程联立消y（或消x）所得一元二次方程的二次项系数和根的判别式。斜率存在时的直线与圆、圆锥曲线相交形成的弦长。
几何
参数
弦长
公式|aB|=|t2-t1|
直线（t为参数），t1和t2是点a、B对应的几何参数，它是将直线的参数方程代入曲线的普通方程所得的关于t的一元二次方程的两根。直线方程为参数方程，曲线方程为普通方程。
通
径
公
式a为椭圆的长半轴。
b为椭圆的短半轴。直线过圆锥曲线焦点且垂直于对称轴的直线与圆锥曲线相交形成的弦长。
a为双曲线的实半轴。
b为双曲线的虚半轴。
p是抛物线的焦点到准线的距离（焦准距）。
公式
名称公式表达式公式中参
数的含义适用
范围
焦点
弦长
公式
（焦点在x轴上）a、b、c分别为椭圆的长半轴、短半轴和半焦距;α是直线的倾斜角;k是直线的斜率.过圆锥曲线焦点且斜率存在的直线与圆锥曲线相交形成的弦长.
（焦点在y轴上）
（焦点在x轴上）a、b、c分别为双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距;α是直线的倾斜角;k是直线的斜率.
（焦点在y轴上）
（焦点在x轴上）p是抛物线的焦点到准线的距离（焦准距）;α是直线的倾斜角;k是直线的斜率.
（焦点在y轴上）
特殊
弦长
公式x1、x2分别是a、B两点的横坐标.直线的斜率为0.
|y1、y2分别是a、B傻愕淖葑标.直线的斜率不存在.
（1）对上表中公式命名的说明：①垂径公式”是因垂径定理而命名;②“一般弦长公式”是因弦长公式具有一般性而命名;③“几何参数弦长公式”是因直线的参数方程而命名的;④“通径公式”是因通径（过圆锥曲线的焦点且垂直于对称轴的弦）的定义而命名的;⑤“焦点弦长公式”是因直线过圆锥曲线的焦点而命名;⑥“特殊弦长公式”是因直线的斜率特殊（k=0或k不存在）而命名.
（2）上表中的“垂径公式”、“一般弦长公式”、“几何参数弦长公式”、“特殊弦长公式”、“通径公式”的证明不再赘述。仅对焦点弦长公式中：
证明如下：
以椭圆的左焦点为极点，为极轴建立极坐标系，则椭圆的方程为：，又，则
成立;
又
若，则;
若，则k=0，此时|aB|=2a符合;从而成立。
对于其它焦点弦长公式的证明类同于上述证明。
（3）熟练掌握上表中“垂径公式”、“一般弦长公式”、“焦点弦长公式”、“几何参数弦长公式”、“特殊弦长公式”、“通径公式”将可以大量减少解析几何问题解证中繁琐的运算。
三、弦长公式的应用举例
1.垂径公式的应用
例.（2016课标Ⅲ理16）已知直线l：与圆x2+y2=12交于a、B两点，过a、B分别做l的垂线与x轴交于C、D两点，若，则|CD|=。
解析：因为，且圆的半径为，所以圆心（0，0）到直线的距离为，故有，解得，代入直线l的方程，得，所以直线l的倾斜角为30°，由平面几何知识在梯形中，。
2.一般弦长公式的应用
例.（2014课标Ⅰ理20）已知点，椭圆e：的离心率为，F是椭圆e的右焦点，直线aF的斜率为，o为坐标原点。
（i）求e的方程;
（ii）设过点a的动直线l与e相交于p，Q两点。当的面积最大时，求l的直线方程。
解析：（1）设，由条件知，.又，所以，，故e的方程为：.
（2）当lx轴时不合题意，故设直线l的方程为：，，，将直线方程y=kx-2代入椭圆方程中得.因为直线l与e相交于p，Q两点，则，即.由一般弦长公式知，又原点o到直线l的距离为，所以.设，则，所以.因为，当且仅当，即时等号成立，且满足时，.所以，当的面积最大时，直线l的方程为或.
例.直线与椭圆交与a、B两点，过aB的中点m且垂直与aB的直线交双曲线于p、o两点，则|pQ|.
解析：设，，，由点差法得：，即，点在直线上，则有，，即.那么过点且垂直于直线的直线方程为：，将其代入双曲线方程得，从而.
3.几何参数弦长公式的应用
例5.选修4―4：坐标系与参数方程
（1）（2016课标Ⅱ理23）在直角坐标系中，圆C的方程为.直线l的参数方程是（l为参数），l与C交于a，B两点，，求l的斜率.
解析：将直线的参数方程代入抛物线方程中得：
，
即，设a、B对应的参数分别为t1和t2，则，t1t2=1，根据几何参数的弦长公式，解得，则，，即，所以l的斜率为或.
（2）（2016江苏理21）在平面直角坐标系中，已知直线l的参
数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于aB两点，求线段aB的长.
解析：椭圆C的普通方程为，将直线l的参数方程代入椭圆C的方程中得：，即7t2+16t=0.设a、B对应的参数分别为t1和t2，则，t1t2=0，根据几何参数的弦长公式
.
4.通径公式的应用
例.（2016课标Ⅱ理11）已知，是双曲线：的左，右焦点，点在上，mF1与轴垂直，，则的离心率为（）
（a）（B）（C）（D）2
解析：因为mF1垂直于轴，由双曲线的通径公式知，由双曲线的定义知，因为，所以，化简得，故双曲线的离心率，故选a.
5.焦点弦长公式的应用
例.（2014课标Ⅱ理10）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于a，B两点，o为坐标原点，则oaB的面积为（）
a.B.C.D.
解法1：物线的焦点为，则过点F且倾斜角为30°的直线aB的方程为，即，代入抛物线的方程可得：，设a、B，则，，则.故选D.
解法2：抛物线的焦点为，则过点F且倾斜角为30°的直线aB的方程为，即，将直线aB的方程代入抛物线方程可得：，设a（x1+y1）、B（x2+y2），则，由抛物线的定义知：，所以|aB|=x1+x2+p=x1+x2+=12，又原点到直线aB的距离，则，故选D.
解法3：由题知|aB|是过焦点的弦，直线的倾斜角为30°，由=12.所以.故选D.
例.（2016年成都七中模拟）已知椭圆经过点（2，0），F为其左焦点，过F垂直于长轴的直线交椭圆C于a、B两点，且|aB|=3.
（1）求椭圆C的方程;
（2）直线l1：y=k（x+1）（k≠0）交椭圆C于、两点，直线过点F且，交椭圆C于、两点，证明：.
解析：（1）由题知，则，，则椭圆C的方程：.
（2）显然、都是过焦点的弦，的斜率为k，则的斜率为，那么由公式得：，，从而.
学无定法，却有规律可依，系统整合知识，把握规律，将十分有利于学生对知识的掌握，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
参考文献：
高中数学椭圆的相关知识篇7
关键词：椭圆标准方程
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
“椭圆”是中国劳动出版社出版的全国技工学校通用教材（第三版）第5章第6节的内容，在直线方程和曲线方程的知识后，有别于圆方程的一节内容。它是曲线方程的进一步特殊化，是归属于圆锥曲线的第一个既特殊又常见的图形，学好椭圆能为学生后面学习双曲线、抛物线打下良好的基础，也为将来在物理学上的应用奠定基础。
（二）教学目标
用方程的思想来解决几何问题是解析几何的精髓。本着培养学生数形结合、几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力的目的，我把教学目标具体定为：
1.准确理解椭圆定义。
2.掌握椭圆标准方程。
3.会初步从椭圆的定义出发求解标准方程。
（三）教学重点和难点
1.重点：掌握椭圆定义和根据条件确定标准方程。
2.难点：根据条件确定标准方程。
二、学情分析
我校中技生尽管在初中数学的成绩大多属中下游，但椭圆是学生在日常生活中比较熟悉的曲线图形，而且刚刚学了圆的方程和曲线与方程的关系，对坐标轴的引入和点轨迹方程有一定的了解。按照前苏联心理学家维果茨基的“最近发展区”理论，学生的“最近发展区”就是学生思维发展过程中，现有发展水平与潜在发展水平之间的差异和桥梁。“最近发展区”理论指导下的数学教学，其实质就是要把学生的“最近发展区”转化为“现有发展水平”的过程。从本节内容看，椭圆的知识在学生的“最近发展区”内，通过教师的启发、点拨和对数学思想、数学方法、数学观念的渗透，学生掌握本节课知识不会存在太多的障碍。
三、教法分析
中技生虽然正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应的知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但中技生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力有待提高。基于上述分析，我采取的教学方法是“问题诱导―启发讨论―探索结果”以及“直观观察―归纳抽象―总结规律”的一种研究性教学方法（多媒体说明，针对问题进行讨论），注重“引、思、探、练”的结合，引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
四、学法分析
教学矛盾最主要是学生的学。学是中心，会学是目的。有效的教学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，也是本节课中学生学习新知识的主要方法。运用迁移的方法，学生能逐渐掌握并运用已有的旧知识去解决新问题的方法，根据解析几何的特点，这节课主要教给学生“动脑想，会变形，能证明，勤钻研”的研讨式学习方法。让学生主动参与教学过程，使学生“学”有所“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”，让学生体会到数学的美，有成功感，从而提高学生的学习兴趣，进而达到培养“实用性”人才的需要。
本节内容沿以下的脉络学习，学习过程中要注意对有关概念的领会和公式的记忆以及思想方法的把握。
新课引入椭圆的定义椭圆的标准方程焦点在x轴上或焦点在y轴上的椭圆特征。
五、教学过程
本课的教学环节主要分以下几个部分：
（一）引入新课
1.认识椭圆（4分钟）
首先我拿出一根胡萝卜和一把小刀，说要给学生做油焖胡萝卜，开始竖着切几片，发现切出来的萝卜是圆的，问学生还可以怎么切，学生说斜着切，斜着切起来的萝卜是椭圆的。这时我向同学展示竖着切出来是圆，斜着切出来就成椭圆状了。这样能激起学生的学习兴趣，使本来严肃的学科变得生动起来。
2.请学生举出所看到的有关椭圆的实例
目的：使学生对椭圆的认识能得到进一步加深，同时在学生的举例中也能澄清椭圆与椭球这两个不同的几何图形（如：有同学认为鸡蛋是椭圆形的，实质上它为椭球形的）。
3.提出问题
正当他们沉浸在观察鸡蛋、鸭蛋中的时候，我提出问题：怎样画出椭圆呢？椭圆在直角坐标系下是否可以像圆一样用方程来表示呢？学生开始沉思，我拿出准备好的椭圆画法教具开始新课教学。
（二）画椭圆求定义（画椭圆）（6分钟）
拿出两块小黑板，其中一块的两个钉子是纵向的，叫两个同学上来，一左一右，老师站中间。在老师的指导下一起画椭圆。画时一定要跟同学反复要求拉紧绳子用光滑的曲线连接。画后点评，指出那个竖起来的形状是不是也是椭圆。这样做既能培养学生的动手实践、直接观察能力，也能为后来焦点在y轴上的椭圆讲解埋下伏笔，还能使学生对椭圆的定义有了一种感性认识。接下来让学生用自己的语言来描述椭圆定义，教师用圆的定义适当启发，由学生讨论归纳。最后教师规范他们的语言，共同得出椭圆定义，并引入焦点和焦距、定长的概念，然后板书椭圆定义。这在我们的学法指导中也提到过。
为加深对概念的理解，教师可以提问：
设问：为什么|mF|+|mF|＞|FF|？反之，若|mF|+|mF|=|FF|、|mF|+|mF|＜|FF|会怎样？
目的：通过上述的实验操作后，先请学生大胆探究、想象，再由教师动画演示，学生发现|mF|+|mF|=|FF|为线段，|mF|+|mF|
＜|FF|的曲线不存在，从而加深对椭圆定义条件的理解。
（三）椭圆标准方程的推导（10分钟）
为了搞清楚神奇的椭圆，我们用最科学的方法来研究它的方程，这样就很自然地过渡到椭圆标准方程的推导上。
设问1：曲线方程的一般方法是哪些？此处可简单回顾圆标准方程的引入过程。
（建系、设点、列式、化简）
设问2：本题中可以怎样建立直角坐标系？（让学生根据自己的经验来确定，从而让学生对观察椭圆对称性开始了解）
建系：以F、F所在直线为x轴，FF的中点为原点建立直角坐标系。
设点：设m（x，y）为椭圆上任意一点，F、F距离为2c（c＞0），
则F（-c，0），F（c，0）；
又设|mF|+|mF|=2a（a＞0）
列式：由椭圆定义，椭圆就是集合p={m||mF|+|mF|=2a}
化简：+=2a该式
说明：考虑技校特点和教学要求，此推导过程留给学生课后自行探讨。而教师可提示：先移项，再两边平方，再移项，再平方。
教师引入：先说明焦点概念，然后得
出焦点在轴上的椭圆标准方程为+=1（a＞b＞0）
焦点为F（-c，0），F（c，0），焦距为2c。重点说明a=b+c关系式是简化方程措施。
（四）判断椭圆焦点位置（5分钟）
得出焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆标准方程后，让学生先观察两分钟。然后教师要求学生回答这两个方程有没有区别，如有区别，区别在哪里。（这个过程能给学生接受新知识一个缓冲的机会，有些学生会利用这段时间理理思路）
通过学生思考，教师语言引导，确定如何判断椭圆的焦点在哪条轴上。
（五）例题讲解（15分钟）
例1：设椭圆的焦点为F（-3，0），F（3，0），2a=10，求椭圆标准方程。
目的：（1）进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；（2）掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位（焦点位置）、定量（a，b值）；（3）培养学生运用知识解决问题的能力。
例2：设椭圆的焦点为F（0，-3），F（0，3），2a=10，求椭圆标准方程。
目的：通过本题的例题，使学生能加深对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，教学时采用在教师引导下学生自主探究的方法。
本题由学生上台板演过程，教师讲解。
目的：熟悉、巩固知识，运用知识
（六）课后小结（5分钟）
（整理知识，形成网络）
1.一个定义（椭圆定义）。要点：pF+pF=2a＞FF=2c，a＞c
2.两个方程（从几何到代数转变）：
关键：先确定焦点落在何坐标轴上，以分母大者为准。
焦点（±c，0）或（0，±c）定长2a?圯求出a，b?圯椭圆方程+=1或+=1（关系式a=b+c）
3.布置作业：
（1）设椭圆的焦点为F1（-5，0），F2（5，0），2a=26，求椭圆标准方程。
（2）设椭圆的焦点为F1（0，-4），F2（0，4），2a=10，求椭圆标准方程。
（七）板书设计
参考文献：
［1］人民教育出版社.选修2-1，2007.2，第2版.
高中数学椭圆的相关知识篇8
【关键字】圆锥曲线；离心率
离心率一直是近年高考重点考察内容，同时离心率也是高中数学中学生较难掌握的一个知识点，从全国各省份高考试卷看，课标区由于课程改革淡化圆锥曲线第二定义，所以题型基本不涉及第二定义，课标区考题主要有两种，一是求离心率，二是求离心率的范围.在实际的教学过程中如何让学生更好的突破离心率这个知识点，是我们平常教学中研究的重要问题。
在长期的教学过程中，发现要想突这个知识点，方法上应该注重解析几何解题主要思想即用代数方法解决几何问题，同时应该注重题中所反映的几何特征利用数形结合思想解题，不妨看几个教学实例。
例1设双曲线的半焦距，直线过两点.已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率.
分析：由离心率公式可知，思路有两种，一是列出关于的二元方程求出从而求出离心率，二是列出关于的方程，求出离心率.
解：因为直线过点，所以直线方程：，故原点到直线l的距离=，所以或2，
又，
例2已知椭圆，它的上下顶点分别是a、B，点m是椭圆上的动点（不与a、B重合），直线am交直线于点n，且，求椭圆的离心率.
分析：本题圆锥曲线与向量的综合问题，可以以向量作为突破口，利用联立方程组建立起坐标间的关系从而得到关系.
解：（1）设m，又点a（0，b），B（0，-b）
直线am：
解得：，即离心率.
例3设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，求椭圆的离心率.
分析：由于有特殊三角形所以采用数形结合的方法比较好.
解：因为是底角为的等腰三角形，
则有，，因为，
所以，，
所以，
即，所以，即，则椭圆的离心率为
例4已知双曲线（a>0，b
分析：由离心率公式可知，思路有两种，一是求出列出间的不等关系求出的比值从而求出离心率的范围，二是列出关于的不等式，求出离心率，本题可画出图像，通过图像发现直线的斜率与渐近线的斜率的关系从而求出离心率范围.
解：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，≥，离心率e2=，e≥2，
解得：，即离心率.
例5若点o和点分别是双曲线的中心和左焦点，点p为双曲线右支上的任意一点，求的取值范围。
解：因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点，则有，
解得，因为，，
所以，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，所以的取值范围是.
例6已知双曲线（a>0，b
分析：由离心率公式可知，思路有两种，一是求出列出间的不等关系求出的比值从而求出离心率的范围，二是列出关于的不等式，求出离心率，本题可画出图像，通过图像发现直线的斜率与渐近线的斜率的关系从而求出离心率范围.
解：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，≥，离心率e2=，e≥2。
例7椭圆的中心在原点，长轴在轴上.以、为焦点的双曲线交椭圆于四点，且.椭圆的一条弦aC交双曲线于e，设，当时，求双曲线的离心率e的取值范围.
分析：求范围，一般情况有两种方法：不等式法、函数法，本题并没有特别明显的几何性质，所以采用解析法，利用函数最值求离心率的范围.
解：设，则（其中c为双曲线的半焦距，h为C、D到轴的距离）即e点坐标为，设双曲线的方程为，将代入方程，得①将，代入①式，整理得
消去，
由于
例8倾斜角为的直线经过
椭圆的
左焦点，交椭圆与两点，
且有，求椭圆的离心率.
分析：本题明显考察的是直线与圆锥曲线的位置关系问题，原则上可以用解析法，通过联立方程组，韦达定理来解决，但是，如果这样做运算量明显偏大，明显不是这道题的最优方法，通过图像我们可以发现比较明显的几何特征（相似三角形，还有特殊角）不妨以此作为此题的突破口，用椭圆的第二定义建立的关系，从而解决此题.
高中数学椭圆的相关知识篇9
关键词：中职数学；圆锥曲线；教学模式；探讨
中图分类号：G718.3文献标志码：a文章编号：1674-9324（2016）21-0202-02
解析几何是用代数的方法解决几何问题的数学分支，学好解析几何有助于数学其他知识的理解和运用。而圆锥曲线作研究曲线和方程的典型问题，在平面解析几何中占有非常重要的地位.本人在以往的教育教学中发现，中职生对圆锥曲线概念的理解水平较低，对每一种曲线的几何性质掌握非常困难，对运用圆锥曲线知识解决实际问题的能力相对较弱.几年来，为了提高学生对圆锥曲线知识内容的理解与掌握，增强学生分析与解决问题的能力，本人对圆锥曲线内容的教学模式改革做了积极的探索，教学效果显著，现与各位教育同仁一起交流分享。
一、注重新课导入
每节课新课导入非常重要，它能创设问题情景，启发学生思维，使学生形成学习兴趣。
我在讲椭圆定义时，首先给学生介绍在现实生活中经常遇到的圆锥曲线实例。比如油罐车的横截面、汽车车灯、人造地球卫星的运转轨道、宇宙天体的运行轨迹等等都给我们以圆锥曲线的形象。下面给同学演示一下如何做出椭圆：
准备一条长度一定的线绳、两枚图钉和一支铅笔，按照下面的步骤画一个图形：
（2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动，让学生观察所画出的图形。
这样，通过直观演示法轻松的画出椭圆，然后引导学生根据作图观察探讨，最后总结出结论：椭圆上的每一个动点到两个定点F和F的距离之和始终保持不变。从而给出椭圆的定义。从椭圆定义的教学可以看出，导入新课时，使用直观教具演示，要比简单说教的效果要好得多。使用直观教具能够使学生非常透彻地理解椭圆的概念。借助直观演示能够把抽象概念与实物模型结合起来，常可以激发学生的学习兴趣，集中注意力，使抽象概念具体化、形象化，最终取得较好的教学效果。
二、注重圆锥曲线标准方程的推导过程
以往，有的教师为了节省时间，在讲授圆锥曲线的标准方程时，忽视方程的推导过程，直接拿出方程供学生使用，我认为这是非常错误的。试想一下，学生对曲线的方程是怎么回事都不知道，每一个字母表示的含义都不知道，还怎么去掌握并运用公式呢？这样做会严重挫伤学生学习数学的积极性。我觉得，作为教师，传授知识要尽量做到让学生“知其然”和“知其所以然”。学生对知识都不懂，还怎么能用呢？所以我在教学中，十分注重概念的教学和公式的推导环节。比如说椭圆标准方程的推导，虽然推导过程很复杂，步骤很繁琐，用到的数学知识很多，但我都要不厌其烦地和学生一起推导，在推导过程中，让学生感受到数学知识体系的完整性以及结论的完美性。如椭圆的标准方程：
总之，在课堂教学实际中，虽教无定法，学无定法，但每一部分内容都有它的具体特点。对于圆锥曲线的教学，教师一定要善于引导学生认识规律，总结规律，运用规律。在教学中渗透数形结合、数学模型、抽象概括、分类类比等数学思想，在教学方法上，多使用直观演示法和引导发现法，以期达到教学效果的最大化。
参考文献：
[1]高艳.谈中职数学新教材的几点体会[J].现代农业，2010，（05）
[2]张晓琪.中职数学新旧教材函数部分课程难度的分析比较[J].中等职业教育，2010，（02）.
[3]袁长江.圆锥曲线与方程的探究性学习[J].中学数学月刊，2007，（06）.
[4]丁德东.抛物线及其标准方程的教学设计[J].中等职业教育，2007，（08）.
[5]张洪杰.圆锥曲线的产生与发展[J].数学爱好者（高考版），2007，（03）.
[6]齐伟.处理好信息技术与动手操作的关系――美国“椭圆的性质和特点”教学案例[J].现代教学，2005，（12）.
[7]陈奉奎.在游戏中学习高中数学――椭圆定义及简单几何性质的开放式教学设计[J].数学教学通讯，2005，（07）.
高中数学椭圆的相关知识篇10
关键词:圆锥曲线最值问题定义法
最值问题,几乎涉及高中数学的各个分支,在生产实践当中也有广泛的应用,它是历年高考重点考查的知识点之一,经常与三角函数、二次函数、一元二次方程(不等式)及圆锥曲线等知识紧密联系,所以其解法灵活,综合性强,能力要求高。学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题就显得尤为重要。下面我将针对圆锥曲线中的最值问题,介绍几种具体的方法。
一、定义法
圆锥曲线许多性质都是由其定义派生出来的,如果能从它的定义出发,挖掘其性质,把定量的计算与定性的分析有机地结合起来,则可达到事半功倍的效果。下面举例说明。
例1、已知椭圆+=1的左焦点为F,椭圆内有一个定点a(4,1),p为椭圆上任意一点,试求:①当|pa|+|pe|取最小值时,求p点的坐标。
②|pF|+|pa|的最大值,求p点的坐标。
分析:①如果设p(x,y),因为|pa|+|pe|式中的数值“”恰为,与离心率e有关系,考虑左准线,巧妙运用椭圆的第二定义把|pF|转化为点p到左准线的距离。②因|pF|+|pa|与离心率e没有关系,不能考虑左准线,就利用椭圆的第一定义。
解:①a=5,b=4,e=,左准线x=,过点p作左准线的垂线,垂足为n,过a作此准线的垂线,垂足为m,由椭圆的第二定义|pn|==|pF|,于是|pa|+|pF|=|ap|+|pn|≥|an|≥|am|(|am|为定值),当且仅当p点是线段am与椭圆的交点时等号成立。
②如图,设椭圆的右焦点为F',则|pF|+|pa|=2a-|pF′|+|pa|=2a+|pa|-|pF′|。
连结aF′并双向延长交椭圆于BC两点,如图所示,
||pa|-|pF′||≤|aF′|,
-|aF|≤|pa|-|pF′||aF′|,
|pF|+|pa|=2a+|pa|-|pF′|≤2a+|aF′|=10+。
当且仅当p与B重合时,等号成立。
所以(|pF|+|pa|)max=10+。
说明:①由上述求解过程中可知:椭圆上任一点p到椭圆内一定点a及一焦点F的距离之和存在着最大值,这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点F的距离,即为2a+|aF′|。
②与此相类似,我们可求得本例中|pF|+|pa|的最小值为10-,一般地,|pF|+|pa|的最小值为2a-|aF′|。
变式训练:F是双曲线-=1的左焦点,a(1,4),p为双曲线右支上一点,则|pF|+|pa|的最小值为(D)。
a.6B.7C.8D.9
点评:一般的,遇到有关焦点(或准线)问题,首先应考虑用定义来解题。椭圆上的点大两焦点的用第一定义,椭圆上的点到焦点及准线的距离考虑用第二定义。如果引入变量来求最值,会陷入复杂的运算,然而从定义入手,可大大简化运算,少算多思。
二、三角函数法(或参数方程)
我们学过的正弦函数和余弦函数是在区间[-1,1]上取值的,如果我们可以把要求解的问题用三角函数式表示出来,再进行化简,就可以利用三角函数的有界性,求出最值。
例2、在椭圆+=1上找一个点p,使它到直线L:3x-2y-16=0的距离最短,并求出最短距离。
分析:利用椭圆的参数方程,易得到动点p的坐标,从而利用点到直线的距离公式找到p到L的距离。
解:设p到L的距离为d,
椭圆的参数方程为x=2sinθy=cosθ(θ为参数),
则p(2Sinθ,cosθs),
d==(其中cosφ=,sinφ=)。
当θ-φ=时,d有最小值。
此时,θ=+φ,sinθ=cosφ=,cosθ=-cosφ=-,
p(,-)。
变式训练:已知实数x,y满足2x+3y=6x,则x+2y的最大值为(D)。
a.12B.11C.10D.9
三、不等式法
例3、设点o是直角坐标系的原点,点m为直线l∶x=-p(p>0)上的,y动点,n在线段mo的延长线上,且满足|mn|=|mo|・|no|。
(Ⅰ)求动点n的轨迹方程。
(Ⅱ)当p=1时,求|mn|的最小值。
解:(Ⅰ)设n(x,y)(x>0)
由题设m、o、n三点共线,
可联想到对应线段成比例此时需作辅助线段,
得m、n两点各到x轴的垂线段得到比值,求出轨迹方程,过程略。
所得轨迹方程:(p-1)x+py-2px-p=0(x>0)。
(Ⅱ)当p=1时,n点轨迹代入即为y=2x+1(x>0)。
设n(x,y)m(-1,t),由m、o、n三点共线得:
=,即=-t,
m(-1,-),
则|mn|==
=x++1≥2+2=4。
当且仅当x=即x=1时等式成立。
当x=1时,|mn|min=4。
四、构造函数法
例4、求抛物线y=2x上与点a(,0)距离最近的点m及相应的距离|ma|。
解:设m(x,y)是曲线上任意一点,即y=2x,
|ma|=(x-)+y=(x-)+2x=(x+)+,x≥0,
此关于x的函数在[0,+∞)上单调递增,
其最小值在x=0时取得,此时|ma|=,
故所求m(0,0),相应的距离|ma|=。
点评:当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时,可通过建立目标函数,求其目标函数的最值。上述解题过程是将求圆锥曲线最值转化为讨论二次函数最值,其中运用配方法进行恒等变形。此时应注意其定义域受题设条件限制时,要避免简单地认为一定在抛物线顶点处取得最值。
变式训练:已知p点在圆x+(y-2)=1上移动,Q点在椭圆+y=1上移动,试求|pQ|的最大值。
解:故先让Q点在椭圆上固定,显然当pQ通过圆心o时|pQ|最大,因此要求|pQ|的最大值,只要求|oQ|的最大值。设Q(x,y),
则|oQ|=x+(y-4)①
因Q在椭圆上,则x=9(1-y)②
将②代入①得|oQ|=9(1-y)+(y-4)=-8(y+)+27。
因为Q在椭圆上移动,所以-1≤y≤1,故当y=时,|oQ|=3。
此时|pQ|=3+1。
点评:(1)与圆有关的最值问题往往与圆心有关;
(2)函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
五、数形结合法
例5、p为抛物线x=4y上的一动点,定点a(8,7),求p到x轴与到a点的距离之和的最小值。
解:过p引X轴的垂线pm并延长,与准线Y=-1于Q点,由抛物线的定义可知|pQ|=|pF|=|pm|+1,
|pm|+|pa|=|pF|+|pa|-1。
p到x轴与到a点的距离之和最小,则连接aF,于抛物线的交点即为满足要求的p点。
最小值为|aF|-1=9。
点评:在解题的过程中要画出图像,从图像中发现,运用数形结合法解决问题。
综上所述,解决圆锥曲线中的最值问题,要注意联系圆锥曲线的定义和性质,重视运用数形结合,将问题转化为一定的函数关系或不等式进行讨论。