高中数学圆和椭圆的知识点篇1
一、课例的主体研究
我们面临的职高生其特点是：爱说爱动，自我约束能力不强，痴迷于手机游戏，没有学习目标，数学基础弱。教学中如果忽视这些特点，单纯使用传统教学模式和方法进行讲解，他们便不感兴趣，也就谈不上学习的积极性和主动性了。如何能够让学生学习化被动为主动，理解数学知识的本质，是教学活动中的重点。
二、选课
在教材结构上，本节内容起承上启下的重要作用。前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。通过对椭圆图形的分析，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。
在教学上主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，让学生亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶，通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，让学生在学会知识的同时，体验获得知识的过程，真正能够理解数学发生的本质。
三、教学设计
1、教学任务分析
学情分析：本节课的授课对象是我校高级物联网1501班，共48人，由于我校属于职业学校，生源相对不是很理想，学生的学习能力普遍不高。在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。
教材分析：圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。
2、教学目标分析：
知识目标：①建立直角坐标系，根据椭圆的定义求其标准方程；能根据已知条件求椭圆的标准方程；②了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。
能力目标：①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力；②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力，及运算能力。
情感目标：①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶；②过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。
教学重点和难点
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程
难点：椭圆标准方程的建立和推导。
3、教材教法和学法分析
教材的教法：为了使学生更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故重点采用探究式教学法和启发式教学法。按照“创设情境―启发诱导―团结协作―参与体验―及时总结--拓展延伸”的模式来组织教学。
教材的学法：通过创设情境，推陈出新，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“类比--协作--参与―归纳--提高”的学习模式，把学生的潜意识状态的好奇心化为自觉求知的创新意识。又通过实际操作，体验知识获得的过程，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质。
教学的流程：认识椭圆画椭圆椭圆的定义推导椭圆方程椭圆知识的讲解椭圆知识的运用本课小结课后作业
4、教学情境设计
教师活动：1、认识椭圆：图片展示身边的椭圆并提出本节课就是研究椭圆的方程。
学生活动：学生观看ppt
设计意图：①从实际问题引入，使学生了解数学来源于实际，激发学生探求实际问题的兴趣。②借助多媒体生动、直观的演示使学生更形象地了解后面要学的内容。
教师活动：2、画椭圆：教师用课件动态演示椭圆的形成过程，同时指点归纳椭圆定义时可类比圆的定义，且注意定义中常量与变量的关系，即哪些量发生了变化，哪些量没有变？
学生活动：①拿出课前准备的硬纸板、细绳、铅笔，类比圆的画法，同桌一起合作画椭圆，再一起讨论归纳出椭圆的定义；②学生回答：两定点间的距离没变，绳子的长度没变，点在运动。
设计意图：①以活动为载体给学生提供一个动手操作、合作学习的机会；调动学生学习的积极性。；②通过画椭圆，让学生经历知识的形成过程，同时也让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会。
教师活动：3、归纳椭圆的定义：引导学生归纳定义时要注意：强调椭圆是个平面图形；引导学生观察变量（动点）与常量（绳长和两定点之间的距离大小关系）；强调常数大于|F1F2|（也可通过三角形两边之和大于第三边来理解，但要忽略动点在长轴两端点的情况）
定义：在平面内，到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a（2a>oF1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记oF1F2|=2c.
问题：为什么要满足2a>2c呢？当2a=2c时，轨迹是什么？当2a
结论①当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
②当2a=|F1F2|时，轨迹是线段；
③当2a
学生活动：学生认真听讲并仔细观察课件演示，深刻理解椭圆定义中的条件。
设计意图：①学生通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。②让学生了解归纳概念的严密性；③通过动画演示，让学生深刻地理解椭圆定义中含有的内在条件，突破了重点。
教师活动：4、椭圆标准方程的推导
设问1：利用坐标法求曲线方程的一般方法是什么？
设问2：本题中可以怎样建立直角坐标系
根据建系的一般原则是使点的坐标、几何量的表达式尽可能简单化，并使得到的方程具有“对称美”“简洁美”的特点，因此可以类比利用圆的对称性建系，我们也可以利用椭圆的对称性建系，得到如下两个方案：
学生活动：学生口答例题，并做适当的笔记
设计意图：①为了让学生掌握椭圆方程的焦点位置及a，b，c三者间的关系而设计了例题；②让学生学会利用椭圆的标准方程解决问题。
教师活动：7、运用知识
练：平面内两定点距离之和等于8，一个动点到这两个定点的距离之和等于10，建立适当坐标系写出动点的轨迹方程。
学生活动：学生动手做这道练习题
设计意图：①让学生熟悉利用定义法求动点轨迹方程的过程；②通过课堂练习，使学生进一步巩固知识，运用知识。
教师活动：小结：1、一个定义：（椭圆的定义）
2、二类方程：（焦点分别在x轴、y轴的上的两个标准方程）
学生活动：学生听讲并做适当笔记
设计意图：①归纳小结有助于学生学习、记忆和应用；②巩固新知，形成知识网络。
教师活动：作业布置：必做题：课本36页第2、3题
设计意图：①巩固学生本节课所学的知识并落实教学目标；②巩固知识发现和弥补教学中的不足；研究性题可以提高学生学习的积极性。
四、教学实践的反思
高中数学圆和椭圆的知识点篇2
一、数形结合思想，增强直观感受
师：同学们，在我们的生活中存在着各种各样的椭圆，你们知道椭圆是如何画出来的吗？椭圆又有什么性质吗？
生1：椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.
师：说得没错，根据我们以前学习的知识，椭圆就是轴对称图形，也是中心对称图形.那么接下来就看老师在黑板上画的这个椭圆，要观察老师是如何画的.
（然后教师就用一根绳子、两个图钉和一只粉笔画出了椭圆，同学们都被教师画的过程惊呆了.）
师：同学们，有没有感觉到椭圆画起来很神奇呢？
生：是.
师：那么就需要接下来好好听老师讲解椭圆的性质.我们一般会以椭圆的中心为原点，以对称轴为坐标轴建立坐标系，就是这个样子的，同学们看仔细了.还有这两个比较短的轴我们就叫做短半轴，而两个比较长的轴我们就叫做长半轴.同学们明白了吗？
生：明白了.
【设计思路：让学生对学习的内容产生兴趣，这就需要让学生对椭圆有直观的感受，因此就需要利用数形结合的方式来加深学生的印象，教师在作图的时候，学生也会紧跟着教师的思路，积极思考教师提出的问题，这样就能够大大提升教学效率.】
二、函数与方程思想，简化解题过程
师：我们已经对椭圆的基本性质有了了解，现在同学们来思考一下椭圆的表达式是怎样的呢？椭圆的方程和我们之前学过的哪个图形的表达式比较相近呢？
生：椭圆和之前学过的圆比较相似.
师：没错，在圆中，长轴和短轴是相等的，但是在椭圆中是不相等的，因此我们的椭圆表达式就如下所示，x2a2+y2b2=1（a>b>0），其中c2=a2-b2；y2a2+x2b2=1（a>b>0），其中c2=a2-b2.前一个式子是长轴在x轴上的椭圆的表达式，而第二个式子是长轴在y轴上的表达式，同学们明白了吗？
生：明白.
师：那么接下来老师问同学们一个问题，如果求某条直线和椭圆之间的关系，同学们如何来进行思考呢？想一想直线和椭圆之间的关系和我们之前学过的哪些知识比较相近.
生1：和直线与圆之间的关系比较相近.
师：那我们之前是如何来进行圆与直线之间的关系处理，那么又如何将以前的方法迁移过来呢？
生1：以前是将圆和直线的方程联立起来，建立方程来进行解答，看二者之间的解的个数.
师：说得没错，我们以前就是将几何问题转化为函数方程问题来进行解决，那么我们是否能够将这种函数方程的思想迁移到这里呢？
生1：可以，我们也可以将椭圆的方程与直线的方程联立起来，看解的个数就知道直线与椭圆之间的位置关系.
师：真聪明，要解决直线与方程之间交点问题，需要做的就是联立方程，求共同解，这样就能够很快得出结果.
【设计思路：对学生渗透函数与方程的数学思想，教师并不是立即就告诉学生答案，而是对学生进行引导，将之前学习的知识引申到新的知识点的学习中，这样学生对于新的知识点就能够自然而然地接受，学生以后在进行新的数学问题解决的时候，也学会将以前学过的数学思想借鉴过来.】
三、分类讨论思想，锻炼逻辑思维
师：同学们，我们刚才探究了直线和椭圆之间的问题，那么椭圆和直线之间的关系应该有几种呢？（学生沉默.）
师：那么同学们想一想直线和圆之间的关系有几种呢？
生1：三种，相交，相切以及相离.
师：那么直线和椭圆之间的关系是不是也应该有这三种呢？
生：是的.
师：同学们在看到直线的表达式中含有字母的时候，在探究与椭圆的问题的时候，就需要对字母进行分类讨论，只有通过分类讨论才能够将所有的情况都考虑进来.同学在以后的学习中也需要具备这样一种分类讨论的思想，明白吗？
生：明白.
高中数学圆和椭圆的知识点篇3
1什么是数学的研究性学习
数学的研究性学习是指学生们在解决生活中遇到的实际问题，对具体问题运用已经学习过的基础性知识来解决这些问题，在解决问题时会有或多或少的新知识在老师的指导、启发下通过自己的探索、学习，来掌握这些新知识从而解决问题。这样的学习过程就加入了同学之间的合作、交流，从根本上让学生们发散思维的开动脑筋，互帮互助，提升自身对数学的创新精神，更迅速的挖掘潜力，达到知识与能力共同进步学习的目的。
数学的研究性学习的核心是在解决问题的同时掌握知识、开拓思维、开发潜力以及激发创新能力来提高自己。研究性学习具备着实践性、独立自主性、开放性、相互协作等特性，师生之间也可形成一种合作的关系，共同探讨问题，相互交流解决方法，找出最优化的解决办法来解决问题。
2以椭圆为例分析数学的研究性学习
2.1椭圆的知识点
1）了解椭圆的定义，掌握焦点、焦距的概念。
2）熟悉椭圆的标准方程，能够根据已知条件会确定椭圆的标准方程且绘出草图进一步分析。
3）学生发现问题，能够独立思考，分析问题的实质，最终解决问题。
4）提升学生对抽象问题的逻辑思维能力及总结学习能力。
2.2引用一个关于椭圆的题目来进行研究学习
在应用教学中，当我们要引入一个新的概念。比如说什么是椭圆，那么我们就可以举一个实际问题：1997年初，中国科学院紫金山天文台了一条消息，从1997年2月中旬起，海尔？波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后，又将渐渐离去，并预测3000年后，它还将光临地球上空1997年2月至3月间，许多人目睹了这一天文现象。那么天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔？波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的周长。通过这个实际发生的且大家都关注的问题引入我们所要教学的课题中。那么就可以让学生们自己思考：我们怎样才能绘出一个椭圆呢？引入学生们进入到今天的课程中。
接下来我们就要学生们自己动手去绘出这个椭圆，由于绘图的道具简单。故老师就可以在课前准备一些工具如铅笔、一定长度的细线、画板以及图钉。
都准备好以后，可以让同学们自由分组，有老师指导怎样去绘出今天的课题椭圆。这里简单介绍一下，用图钉固定线的两端，线的长度大于两图钉间的距离，铅笔将线慢慢拉近，笔尖在绘图板上移动，这样就可以绘出一个椭圆来。在这里可以引出两个问题来让同学们去思考：
1）为什么绘出来的是一个椭圆而不是其他形状？
2）绘图过程中哪些量是变化的，哪些是不变的？
这期间就可以让学生们相互讨论，去发散思维的思考，在相互交流中不断总结，得出结论即椭圆的概念。然后有老师用专业的术语复述椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点p的轨迹叫做椭圆。其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│F1F2│=2c
下面就可以组织同学们相互交流：
为什么？
1）椭圆含义的关键点：到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹。
2）对关键点的理解。两个定点一个动点，定点间的距离不变，动点到两定点的和确定。
再一次让学生们去做以上那个绘椭圆的实验，这一次需要他们改变两个定点的距离。然后反复理解椭圆的含义。
出现问题：在改变定点距离后，为什么图形会由椭圆变圆形慢慢的又会由圆形变回椭圆形。最后当定点距离为线长是，只有线段而无轨迹了。
小组之间相互讨论，怎样才能更好的定义椭圆。上述的定义是存在问题的，是不完整的。通过这一次的反思，他们会发现问题的所在。对椭圆的定义需要一个界限，定点距离等于线长时就是一条线段，大于线长时就无轨迹了。这样在不断的提出问题解决问题，反思问题中，同学们就会更深刻的理解椭圆的概念，同时在不知不觉中掌握了基本概念，达到了教学要求。
高中数学圆和椭圆的知识点篇4
【关键词】高中数学问题情境法应用
【中图分类号】G【文献标识码】a
【文章编号】0450-9889（2015）05B-0031-02
新一轮的课程改革强调改变传统的教学方式，要求教师依据教材的学习内容，创造性地设计学生熟悉的问题情境以利于激发学生思维、探究的积极性和主动性，改变传统教师讲、学生听被动接受知识的方式，让学生自主发现数学规律，寻求解决问题的途径，从而创建会学、乐学的课堂模式。本文以“圆的标准方程”、“椭圆的定义与标准方程”为例，谈谈问题情境法在高中数学教学中的应用。
一、高中数学教学创设问题情境的基本原则
（一）针对性原则。教师在创设问题情境时，应直入正题，切忌故弄玄虚。紧扣教材内容，设计要利于激发学生思维的兴趣，体现问题情境的典型性。如对于“椭圆的定义与标准方程”，在情境的创设上，如果使用“嫦娥二号”近月制动的运行轨迹的话，那么直接以多媒体展示“嫦娥二号”的运行轨迹，能够方便快捷地引起学生的注意力。
（二）适度原则。新课程标准的基本理念是“面向全体学生”。因此，情境问题的创设应坚持这一理念，注重问题的情境的适度原则。所谓问题情境的适度，是要注意问题情境的设计应面向全体学生，所提出的问题除兼顾每一个学生外，还应注意有梯度，注重层次性，注重提问的方法和角度，使每个学生都得到发展。
（三）启发性原则。在问题教学法的使用中，常见到有些教师在运用时，问题一个接一个，可是问题过多，过度渲染情境，可能出现冲淡教学主题的现象，变成个别优生的表演，多数学生会囫囵吞枣，甚至有的会出现“消化不良”，也容易使部分学困生看“热闹”。因此，问题在于精不在于多，在于是否有启发性，不在于面面俱到。
二、高中数学教学创设问题情境的策略
（一）用问题情境激发学生的兴趣。教育心理学告诉我们，学生只有对学科知识产生浓厚的兴趣，才有可能主动投入学习，才能对探索知识、认识事物表现出主动性、积极性和创造性。高中数学教学如果沿袭传统的灌输教学，教师对数学概念进行介绍、对数学公式进行推理、对数学定理进行论证、对数学公理进行验证等，再给学生布置偏、难、繁的“题海式”的练习，学生会感到自己是作业的机器、知识的容器，为了考试而学、为了应付而学的现象在所难免，产生厌学、不学情绪，对学习缺乏兴趣。因此，教师应改变传统的教学方法，依据教材，依据学生的实际，创设趣味性、探究性的问题，诱发学生的好奇心，吸引学生的注意力，激发学生的求知欲，培养学生浓厚的学习兴趣，促其主动学习，并发展和提高非智力因素。例如，在教学“圆的标准方程”时，首先设计生活化问题的情境，以期让学生明白数学来源于生活、运用于生活，同时生活化问题情境的创设，更能激发学生学习数学的兴趣。例如，一个隧道的半径是4m的半圆，车辆只能在中心线的两边行驶，那么，一辆宽为2.7m、高为3m的车，能否顺利通过隧道？这个问题，将学生的思维从初中阶段的直角三角形的勾股定理引入到用曲线的方法解决问题，这样，就将学生的注意力引入本节课的主题――“圆的标准方程”的学习中，同时，也复习了以前所学过的轨迹方程的解题方法。这种方式习得的知识，不仅适用于学生记忆、理解，更易于学生拓展迁移和实际运用。
（二）用问题情境引发学生思维。真实、生动、熟悉的情境，容易引发学生的想象，诱发学生的思维，以便快速将学生的注意力引导到课堂的知识中。例如，在学习“椭圆的定义与标准方程”时，先用多媒体呈现“嫦娥二号”近月制动的画面和运动轨迹，让学生了解椭圆的形状。接着，让学生自己给出椭圆的定义。再根据“嫦娥二号”的运行轨迹的视频图片，启发学生想象实际生活中，还有哪些物体的运行轨迹是椭圆、哪些物体的形状是椭圆，再进一步引导学生如何画出椭圆，进而进入本节课的重点之一――椭圆的作图。如此环环相扣，牢牢吸引学生的注意力，紧紧围绕教学内容而巧妙使用问题情境，使学生在熟知的情境中，主动思考，发散思维能力得以培养和提升。
（三）用问题情境引发学生深入探究。著名心理学家皮亚杰在建构主义教学理论中认为：教学不应仅限于“授予”和“吸收”的简单过程。事实也如此，知识的习得不是单一的“拿来主义”，教师不应是知识的权威，而应是学习活动的组织者、促进者，应是学生走进知识殿堂的领路人。这就要求教师创设问题情境，促使学生在合作中学习新知识，在探究中构建知识，让学生感到探究是学习的主要有效途径之一。为此，数学教学中，借助于问题情境，引发学生深入探究，培养学生合作探究的能力，值得多使用。对于“椭圆的定义与标准方程”，通过复习“圆”的定义以及（下转第50页）（上接第31页）作图方法，提出以下问题：你能给椭圆下个定义吗？怎样做出椭圆？这些问题很容易引起学生的注意，并会注意到圆和椭圆的定义的区别，了解椭圆的画法一定与圆不完全相同。为此，教师演示椭圆的作图方法之后，启发学生：改变两个固定点的距离，使其与绳长相等，画出的图形是否还是椭圆？绳子长等小于两个点之间的距离吗？再让学生亲自动手演示。在动手做、仔细观察和思考中，学生的探究意识得到强化，探究能力也得到提高。
（四）用问题情境来拓展知识运用。《中学数学课程标准》强调：高中数学教学中要通过拓展知识的空间，引导学生对数学知识的实际运用能力。学习数学，重在运用，如果运用脱离了生活，将很难激发学生的兴趣，而设计学生熟悉、感兴趣的情境，在情境中运用数学知识，效果将会迥然而异。例如，在学习“椭圆的标准方程”一课时，如果针对椭圆的标准方程的运用、结合“嫦娥奔月”而设计探讨题：2010年，中国“嫦娥二号”实现了第二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度为210km，远月点8000km，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道，已知月球半径为3475km，试求嫦娥二号卫星的轨迹方程。这个情境问题显然和前面的导入等相一致，使整节课首尾呼应，更凸显了数学知识的实用性特点。此外，问题情境可培养学生的问题意识。数学学科的主要特点是思维性强、逻辑性缜密，所以，在数学教学活动中，教师可在一定的情境中提出问题，引发学生的思考、探究，培养学生的问题意识。例如，学生了解了焦点在X轴上时，椭圆的方程后，自然而然会想到如果焦点不在轴上，而在y轴上时，椭圆的方程又是如何。
总之，教师应精心设计问题情境，把握问题情境的基本原则，充分体现情境教学的优势，促使学生积极探讨、乐于探究，并用于生活实际，解决实际问题，从而提高高中数学课教学质量。
【参考文献】
[1]高羽.也谈高中数学问题情境的创设[J].考试周刊，2012（54）
[2]刘兰梅.“实效课堂”下高中数学问题情境的创设[J].新课程学习，2014（6）
高中数学圆和椭圆的知识点篇5
例题：（2012年广东省理科第20题）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C1：+=1（a>b>0）的离心率e=，且椭圆C1上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C1的方程。
（2）在椭圆C1上，是否存在点m（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆o：x2+y2=1相交于不同的两点a、B，且oaB的面积最大？若存在，求出点m的坐标及相对应的oaB的面积；若不存在，请说明理由。
分析：线性规划的应用之一是求最值，这里采用线性规划的方向去解决。题目中椭圆C1：+=1（a>b>0）及其围住的区域为可行域，区域内的点p（x，y）到点Q（0，2）的距离为目标函数z=，即x2+（y-2）2=z2，表示以（0，2）为圆心，z为半径的圆。要使得目标函数z最大，即使圆的半径最大。如图1、图2所示，必须是圆与椭圆外切（图2）的时候，才能满足题目的要求。
于是有如下解法：
解：由e=得：=，又因为c2=a2-b2
得a2=3b2，椭圆方程化为x2+3y2=3b2
以（0，2）为圆心，z为半径的圆方程为：x2+（y-2）2=z2，要使得z最大，必须是圆与椭圆相切的时候，即Δ=0时。联立椭圆方程和圆方程得：x2+（y-2）2=z2x2+3y2=3b2即为：2y2+4y-3b2-4+z2=0，Δ=24b2-8z2+48
由Δ=0，解得：b2=。由题可知：z=3，所以b2=1，a2=3，椭圆的方程为：+y2=1
点评：从线性规划出发，将椭圆上动点到定点距离的最大值问题，转换为圆与椭圆相切的问题，动中求静，变中求定，距离最大值点即为椭圆与目标圆的切点。
二、问题的拓展与探究
在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。
上面的例题具有一定的特殊性，目标函数所对的圆心Q点固定为（0，2），目标函数所对的最大值固定为3，椭圆的离心率也固定为。从解得的结果分析：椭圆与目标函数所对的圆的交点恰好是椭圆的下顶点。依据上面的三个条件，是否能求出交点不是椭圆的下顶点的椭圆方程，即：是否可以推广到如下更一般的形式呢？
推广1：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C1：+=1（a>b>0）的离心率e，且椭圆C1上的点到Q（0，m）的距离的最大值为r（r>|m|），求椭圆C1的方程。
命题1：如果有上面推广的条件，那么c2=e2r2-m2。
推广2：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C1：+=1（a>b>0）的离心率e，且椭圆C1上的点到Q（0，m）的距离的最小值为r（0
命题2：如果有上面推广的条件，那么c2=r2+m2。
命题1的证明如下，命题2的证明从略。
证明：以（0，m）为圆心，r为半径的圆方程为：x2+（y-m）2=r2，要使得r最大，必须是圆与椭圆相切的时候，即Δ=0时。联立椭圆方程和圆方程得：
x2+（y-m）2=r2b2x2+a2y2=a2b2
即为：c2y2+2b2my-b2m2-a2b2+b2r2=0，Δ=4b2m2-4c2（-b2m2-a2b2+b2r2）
由Δ=0，解得：c2=e2r2-m2
点评：得到椭圆的e、c与圆心纵坐标m、圆半径r四者之间的一个关系式，可以解决一个动点与椭圆距离相关的最值、取值范围的问题。
三、掌握规律，破解一类题
练习1：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C1：+=1（a>b>0）的离心率e=，且椭圆C1上的点到Q（0，3）的距离的最大值为5，求椭圆C1的方程。
分析：本题是完全仿照2012年广东省理科第20题改编的一个题目，由上面命题的结论知c2=6，结合e=，求得a2=10，b2=4，椭圆方程为+=1。
高中数学圆和椭圆的知识点篇6
发现教学法：20世纪60年代，布鲁纳根据皮亚杰的智力结构发展理论，提出了此教学法.发现教学法是指教师在教授新的理论知识、新的知识点时，通过情境的创设，用已学知识或者一些实例用问题的形式给出，引导学生积极思考，相互交流或者独立探索，自行发现，教师加以适当的引领，使得学生掌握新知识点的方法.
领悟：领会晓悟，是豁然明朗的一瞬感受.苏联心理学家卢柯认为“悟”是“一种逻辑中断和思维上的飞跃.”
发展：发展性教学是以学生为主体，通过学生主动学习促进主体性发展的一种教学思想和教学方式.这种教学，强调尊重学生的主体地位和主体人格，培养学生的自主性、主动性和创造性，使他们在掌握知识点的基础上进一步学会学习，最主要的是学会创造.
高一、高二数学课堂主要是新授课，基于新授课特点，结合学校的3D课堂模式，我初步摸索出了以下的模式：
1.配合新授课知识点的内容用相关已学知识创设情境、导入新问题，由教师引导，学生对新问题进行质疑，师生互动——发现新问题；引导学生进行新授课知识的探究，鼓励学生独立探索或者相互讨论交流——发现新知识点；教师带领学生将他们探索和讨论出来的内容进行提炼整合，加以适当的补充，形成系统的完整的知识体系——发现并完善新知识点.
2.在发现的基础上教师进行启发、引导他们探索新知识相关联的更一般化的或者更特殊化的知识，也就是在他们已经形成的数学观念的作用下，经过自身思维的整合形成了数学新模式，转化成为了自身的知识，达到真正的领悟，配合以相关联的典型例题，进一步体验和运用所学知识，领悟新知识点的精髓.
3.配以恰当的练习，让学生当场解决或者黑板上进行板演，让学生切身体会所学知识，将所学知识转化为自身能力的基础上并加入自身的思考加以运用和创新，所学新知识点完全内化为自身知识，得到更高层次的发展.
4.最后教师带领学生回顾整堂课的内容，将零碎知识点串成一条线，帮助学生更好地领悟，创新，实现每一个数学课堂教学的意义所在.课堂上留有思考余地，让学生运用新知识继续探索、发现，培养和发展学生的自我创新能力，实现更深层次的自我发展.
例如，在讲“圆锥曲线的极坐标方程”时，先以求直线和圆的极坐标方程的一般步骤、圆锥曲线的统一定义和圆锥曲线的直角坐标系下的标准方程导入，引导学生发现直线和圆有极坐标方程.那么圆锥曲线呢？学生相互讨论交流，探索出应由圆锥曲线的统一定义出发，通过求曲线的极坐标方程的一般步骤，推导出圆锥曲线统一的极坐标方程.
为了让学生进一步理解和领悟圆锥曲线的极坐标方程，教师给出例1：2003年10月15～17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道.若地球半径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程.
设计意图：让学生独立思考，探索后得出符合题意的椭圆的极坐标方程.
教师引领学生思考一个问题：我们已经掌握了的直角坐标系下的圆锥曲线的标准方程，为何还要学习圆锥曲线的极坐标方程？是否运用极坐标方程可以解决某些特定的圆锥曲线问题？紧接着给出例2，供学生探讨：过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点F作倾斜角为60°的直线l交椭圆于a、B两点，若|Fa|=2|FB|，求椭圆的离心率.
学生通过自我摸索和相互交流探讨，由已知条件中的|Fa|=2|FB|，摸索出运用椭圆的极坐标方程来表示出Fa和FB，构建等量关系，由此求出椭圆的离心率e，并且进一步领悟出由椭圆的标准方程也可以解决该题，但是显然用椭圆的极坐标方程比用椭圆的标准方程来解决该题方便了很多.
椭圆背景下的例题发现了运用极坐标方程的优点，那么抛物线和双曲线呢？给出例3：求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数之和为常数.
高中数学圆和椭圆的知识点篇7
教学中，许多老师往往比较重视将教科书上的知识教给学生，忽视让学生领略知识的发生发展过程，忽视情意教学目标，忽视学生主体地位，学生的学习过程大多停留在理解，记忆，复述，重现知识的阶段，而奢谈学生思维能力的培养，
心理素质的发展，个性品质的健全。
心理学理论认为：知识的获得是一种学生主动的认知活动，学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的参与者。
人本主义教育观认为：成长的可能性是学生与生俱有的，而教育最重要，最根本的目的即在于将这种可能性转化为现实，培养学生成为“完整的人”。
在解析几何中，圆锥曲线是这块内容中的重点、难点和考点。根据教材的安排，双曲线、抛物线的定义和性质的给出都是类比于椭圆的定义、性质。因此，椭圆的定义、标准方程、性质的教学是这一内容的重中之重，而标准方程又是根据椭圆的定义得出，所以椭圆的定义推出显得至关重要。现把这一教学片段展示如下：
教师：在生活中，哪些事物是呈椭圆形的。
学生1：鸡蛋，橄榄球……
还有个别学生2：没有画圆的圆。
教师微笑：大家说的都很对，椭圆是一个很美的图形，我想大家看了下面的几个场景就有此感觉了。（演示课件：花卉的瓣，倒影在水面上的拱桥，美国白宫，地球运动轨迹等）
（黑板上书写课题：椭圆定义及其标准方程）
教师：椭圆的形状很美，它在生活中应用很广泛，从上面我们可以看到它用在建筑、天文学上，因此我们很有必要对椭圆进行研究。我们看到椭圆的形状是一个压扁了的圆，那我们一起回忆圆的定义。
学生3：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。
教师：我们是怎样画圆的呢？同学们画画看。
（课前教师要求学生每人准备一块硬纸板，并发给每一位学生两颗图钉几颗及一根定长细绳子）
学生：（动手画圆）
教师：“圆是动点p到定点o的距离为常数的点的轨迹”说成“圆是动点p到定点o的来回距离之和为常数的点的轨迹。”行不行。
学生齐声地：行
教师：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？
学生：（动手画椭圆）
教师：（现场用几何画板制作课件：作椭圆）
教师：刚才大家对椭圆有了形象上的认识，我们不仅作出了椭圆这个曲线，而且还在生活中找到了它的应用，下面我们能否根据上面圆的定义给出椭圆的定义？
学生4：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。
（教师在黑板上写出学生总结的椭圆定义）
教师：很好，善于类比。
（教师拿起两个学生所画的椭圆展示）
同学们画椭圆时，线段长是事先给你们的，并且是一样长，为什么我们所画的椭圆不一样，有扁有圆呢？
学生5：这于两定点F1、F2的位置有关。
教师：很好
我们改变一下F1、F2的位置，大家再画一画，看一看到底有何关系？
学生6：F1、F2位置越近椭圆越圆，F1、F2越远椭圆越扁。
教师：这位同学观察的很仔细，总结的非常好。
如果我们不改变F1、F2的位置，只改变线段长，大家画一画它们又有什么联系？
学生7：定线段越小椭圆越扁，定线段越长椭圆越圆。
教师：答的非常好。
设|F1F2|=2c,|pF1|+|pF2|=2a,如何通过a、c刻画椭圆扁圆程度。
（课堂上顿时安静，学生陷入思考、讨论）
学生8顿悟：当
越小时，椭圆越圆，当越大时，椭圆越扁。教师：还有不同的意见吗？他的结论对吗？
（教室中又陷入讨论、不敢肯定）
教师：实践是检验真理的唯一标准，我们可以去画一画。
（学生检验后，发现是正确）
学生齐到：正确
教师：以上我们讨论了椭圆的定义，知道了椭圆与两定点位置以及定线段长有关。给定了线段长，两定点位置就真的一定能作出椭圆吗？大家讨论以下，这里有没有条件限制。
学生：（动手实验，讨论，总结）
教师：（演示课件：展示2a>2c,2a=2c,2a<2c,三种不同情况的轨迹）
根据我们动手实验、课件展示，以及讨论，大家进一步总结定义。
学生9：（1）当2a>2c时，轨迹是椭圆。
（2）当2a=2c时，轨迹是一条线段，是以F1、F2为端点的线段。
（3）当2a<2c时，无轨迹。
（4）当c=0时，轨迹为圆。
教师：下面同学们再看看椭圆的定义，有无补充。
学生10：椭圆是平面上到两定点F1、F2的距离之和2a为常数的动点的轨迹，其中2a>|F1F2|>0.
教师：（黑板上用彩色粉笔写上：其中2a>|F1F2|>0）
…………………………………
设计意图：
（1）采用感性导入法用课件展示图片的，由点及面，由感性到理性，符合学生认识的思维路线，易激起兴趣和学习动机。
（2）创设问题情境在学生的“最近发展区”中设计问题，所设计的问题面向全体，使学生的思维一直处于亢奋状态，使每一位学生都积极参与思维活动，体现以学生为主体的新理念。
（3）培养动手能力培养动手实践能力是现行教育中的一个弱点，在新课标别指出研究性学习的重要性，而培养动手实践能力是研究性学习中的所要培养的能力之一。通过画椭圆检验，线段定长、两定点时椭圆的圆扁程度。
（4）培养探索能力教育家布鲁纳说过：“探索是数学教学的生命线。”探索是创造的起步，学生的创造力不可能一蹴而就，只有引导他们学会探索，才能使学生的创造力得到有效的培养。
对此堂课进行了反思，我认为本案例成功之处在于：
（1）将传统教学媒体与现代教学媒体有机结合在一起，促进了学生学习的积极性和主动性，即将工具画图和课件展示有机结合。
（2）用多媒体的形象性和生动性解决难点。
课堂教学中若能恰当地运用多媒体，就能化抽象为具体，化无声为有声，有利于对教材内容的理解、深化，落实知识点。实践证明，运用Cai手段，使学生从数学抽象描述中产生立体感知形象，唤起他们的想象思维，加深对知识的理解，同时有利于观察力、想象力、思维力的培养。在给椭圆定义补充时，就是用课件展示2a>2c,2a=2c,2a<2c,三种不同情况的轨迹，通过课件展示形象性和生动性解决了定义的补充。
（3）体现课堂中学生的主体地位及教师的主导地位。
数学理论和数学实践告诉我们，学生是学习的主体，教师的“教”是为学生的“学”服务的，因此，在数学教学中，充分体现学生的主体地位，调动学生的学习主动性和积极性，把学习中的学习潜力挖掘、开发出来，是提高教学效率和教学质量的关键。在此片段中，教师主要是引导、启发学生解决问题，而学生的思维一直处于亢奋状态。
（4）创设情境，激发学习数学的兴趣是教学动力。
兴趣是推动学生学习的内在动力，也是发展思维的催化剂。兴趣总是在一定的情境中产生的，要使学生在课堂上处于最佳的心理状态，教师必须想方设法激发学生的情绪领域，唤起学生心灵的共鸣，让学生因情感的驱动而产生学习的兴趣。著名数学家华罗庚说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。在案例中，引用了生活中的鸡蛋、橄榄球、花瓣等实物的形状，还补充
白宫、地球的运动轨迹等。
（5）创造人人参与，人人有体验，人人成功的氛围。
学生是课堂的主人，有活动实践的天性和创造成功的欲望，最大限度地发挥学生的潜能是课堂教学的灵魂。教师要重视学生的参与性和实践性，让学生全员参与，全程参与，通过自身的实践活动，建构属于自已的知识系统。在本课中，教师是以宽容，友爱，平等的心态对待每个学生，使他们身心舒展，乐于思考，勤于发表自已的见解；其次教师给学生提供参与的机会，凡是学生能操作的，能颔悟到的，教师绝不包办代替；不刻意要求学生与教师思维一致，不刻意要求个别学生给出的答案对全班具有代表性，重视学生为解决问题而产生的一切想法和进行的一切尝试。
（5）积极的反馈与评价是教学的促进剂。
教师的期待和评价对学生有着重要作用。教师要允许学生对已有信息（材料）提出自已的想法，用自已喜欢的方式去分析问题，得出结论，验证结论，解决问题。在这个过程中，要给学生以充分表达自已的思想，表明自已的态度，表露自已的观点，表示自已的愿望和表现自已情感的自由。教师的鼓励与反馈“有利于创造活动的一般条件------心理的安全和心理的自由”。学生在心理安全的环境中，才能大胆猜想，质疑问难，发表不同意见。本课中教师的表扬语，对学生的积极猜想的肯定，学生对其他同学的表现抱以热烈的掌声，赞同的目光都是教学过程有利的促进剂。
总之，课堂教学是实施素质教育的主渠道，教师要重视学生知识系统的建构，重视学生获得知识的过程，关注学生灵活运用知识解决实际问题的能力，重视学生思考方式的学习，重视学生的个性品质健全，心理素质的发展，使学生获得全面的进步与发展。
参考文献
1、顾泠沅，《教学任务与案例分析》，载于上城教育信息港
2、顾泠沅，《追求卓越——教师专业发展案例研究》，人民教育出版社出版
高中数学圆和椭圆的知识点篇8
一、案例
如图，直线y=kx+b与椭圆■+y2=1交于a、B两点，记aoB的面积为S。
（1）求在k=0，0
（2）当|aB|=2，S=1时，求直线aB的方程。
本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
（1）解：设点a的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），由■+y2=1，解得x1.2=±2■，所以S=■b|x1-x2|=2b■≤1，当且仅当b=■时，S取到最大值1。
（2）解：由■+y2=1y=kx+b，得（k2+■）x2+2kbx+b2-1=0，
得：=4k2-b2+1>0x1+x2=■x1x2=■，由|aB|=■|x1-x2|=2，
得■=2。
设o到aB的距离为d，则d=■，又■，所以b2=k2+1，代入上式，整理，得k4-k2+■=0，解得k2=■，b2=■，经检验，>0，符合题意。
故直线aB的方程是：y=■x+■或y=■x-■或y=-■x+■或y=-■x-■。
教师再提示解题重在用方程观点研究几何，用设而不求整体代换方法分析问题和解决问题，培养较强的运算能力和不懈的毅力；再布置相关练习，一节课也就结束了。
这样的教学仅在于搞清题意，解决了题目，为解题而解题；对学生更深层次的学习、理解、探究还未到位，与新课标的要求还有距离。因此，笔者继续带领学生向问题的原型探索。
二、本题在日常教学中的原型
原型1：圆x2+y2=1上两点a、B，圆心为o，求aoB面积S的最大值。
学生：当oaoB时，Smax=■|oa||oB|=■
原型2：椭圆■+y2=1上a、B两点，记aoB的面积为S，求S最大值。
学生1：当直线aB斜率不存在时，设点a（x1，y1），点B（x1，-y1），|aB|=2|y1|，记o到aB的距离为d，d=|x1|，S=|x1||y1|=2■■≤■+y12=1，当且仅当|x1|=■，|y1|=■时取“=”；
当直线aB斜率存在时，设aB：y=kx+b，
联立■+y2=1y=kx+b，得（k2+■）x2+2kx+b2-1=0，
得：=4k2-b2+1>0x1+x2=■x1x2=■，
由|aB|=■|x1-x2|=■
设o到aB的距离为d，则d■，S=■■=2■≤1（当仅当4k2+1=2b2时，式子取“=”）Smax=1。
学生2：设a（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），■，■的夹角为θ，则：
|oa|=■，|oB|=|■，
sinθ=■
=■
S=■|oa||oBsinθ=|cos（α+β）|≤1（当α=-β时式子可取“=”），
Smax=1。
学生3：圆x2+y2=1到椭圆■+y2=1变换矩阵为■001，变换行列式的绝对值为■，而圆x2+y2=1上两点a、B，圆心为o，aoB面积S的最大值为■，所以椭圆■+y2=1上a、B两点，aoB的面积为S的最大值为1。
三、高考题与教材原型的链接
当明确原型结论后，回头再看看2007年这道考题，由S=1，不难发现：aoB的面积S正是取得最大值时，因此：4k2+1=2b2，结合：|aB|=1，即■，易得：k2=■，b2=■，从而顺利解决问题。
再链接：
问题（1）：椭圆■+y2=1上两顶点a、B两点，m为椭圆上动点，记amB的面积为S，求S最大值。
解析：思路很明显，应分情况讨论。
a）a，B为同轴上两顶点时：|aB|=4时，Smax=2；|aB|=2时，Smax=2。
B）a，B为长、短轴上各取一个顶点时，不妨设a（0，-1），B（2，0），|aB|=■，由数形结合思想可知：只需将直线aB平移至与椭圆相切时，结论将产生。
设椭圆切线：y=■x+b，代入椭圆方程，可得：■x2+bx+b2-1=0，由=0，可得：b=±■，由图可知，当b=■时，该切线与直线aB距离最远，最远距离为■（■+■），
此时，Smax=■+1；综上所述：S最大值为■+1。
问题（2）：椭圆■+y2=1上两焦点为F1，F2，m为椭圆上动点，记mF1F2的面积为S，求S最大值。
解析：由椭圆图像易知：m（0，±1）时，Smax=■。
问题（3）：椭圆■+y2=1上两焦点为F1，F2，直线aB过焦点F1且交此椭圆于a，B两点，记aBF2的面积为S，求S最大值。
解析：不妨设aB：x=ny+■点a（x1，y1），点B（x2，y2），S=■|y1-y2|=■・■，
联立■+y2=1x=ny+■，得（n2+4）y2+2■ny-1=0，得：y1+y2=■y1y2=■.
可得：S=■■=■・■
=■≤2
当且仅当n=±2■时，式子取“=”，所以：S最大值为2。
问题（4）：椭圆■+y2=1上a、B、C两点，记aBC的面积为S，求S最大值。
解析：令x=2x'y=y'，则x'2+y'2=1有，而圆的内接三角形为等边三角形时面积为最大，S'max=■，由线性变换，可知Smax=■×2=■。
问题（5）：椭圆■+■=1（a>0，b>0）上a、B、C两点，记aBC的面积为S，求S最大值。
解析：令x=ax'y=by'，则有x'2+y'2=1，而圆的内接三角形为等边三角形时面积为最大，S'max，=■由线性变换，可知Smax=■ab。
问题（6）：椭圆■+■=1（a>0，b>0）（内接四边形面积为S，求S的最大值。
解析：令x=ax'y=by'，则有x'2+y'2=1，而圆的内接四边形为正方形时面积为最大，S'max=■，由线性变换，可知Samx■。
问题（7）：椭圆■+■=1（a>0，b>0）（内接n边形面积为S，求S的最大值。
解析：令x=ax'y=by'，则有x'2+y'2=1，而圆的内接n边形为正n方形时面积为最大，S'max=■sin■，由线性变换，可知Smax=■sin■。
四、教学反思
1.教师要重视课本
高考数学“年年岁岁题不同，岁岁年年题相似”，高考命题是“源于课本，高于课本”，课本是试题的根。在教学中，教师要重视课本，充分挖掘好课本的例习题的功能，加强学生对知识的理解。
2.注重数学本质的教学
本题的本质确实是用方程观点研究几何，注重解析思想、数形转换，同时加强问题内在的联系，引导学生重视方法的同时，努力提高数学本质的认识和理解。
3.注重问题的通解通法的教学
高考的命题趋势在本质上是考查学生对知识的理解和数学思想方法的掌握程度及灵活应用知识的能力。在问题教学中拓展学生思维的同时，让学生学会总结、学会反思、学会感悟，促进学生完善认知结构。
高中数学圆和椭圆的知识点篇9
一、几何画板的理论依据
建构主义的学习观认为，学习是一个积极主动地建构过程，学习者不是被动地接受外在信息，而是根据先前的认知结构主动地和有选择地接受外在信息，建构当前事物的意义。也就是说，知识的获得是通过学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助于他人的帮助，利用必要的学习资料，通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程。因此，在教学过程中不能离开学习者的背景知识和经验，要充分尊重学生的主体性。几何画板的动态性和形象性，给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境，使学生在体验与发现中学习，在较短的时间内产生许多经验。学生在通过对几何图形进行观察、探索、发现的过程中增加感性认识，形成丰厚的几何经验背景，通过自己的思考建立自己的数学理解力，从而更有助于理解和证明。
二、教会学生使用几何画板软件
问题1.在椭圆及其标准方程教学中，为了更形象地让学生在动态中观察椭圆的运动现象，探究椭圆的性质，首先，我把制作椭圆的过程教给学生。
（1）在平面上作线段F1F2，度量出其长度，定义为2c。
（2）在同一平面上作一条线段aB，度量出其长度，定义为2a，使a>c。
（3）在线段aB上任取一点C，“构造”线段aC，度量aC的长度；“构造”线段BC，度量BC的长度。
（4）以线段aC为半径，以点F1为圆心，“构造”圆C1。
（5）以线段BC为半径，以点F2为圆心，“构造”圆C2。
（6）圆C1与圆C2交于点m，m1，“构造”线段mF1、mF2（提示：|mF1|=|aC|，|mF2|=|BC|），并选择“跟踪”点m，m1。
（7）计算|mF1|+|mF2|的值。
（8）选中点C，在编辑菜单下操作类按钮设置为动画，标记为“轨迹”。
（9）当鼠标点击“轨迹”按钮时，点m，m1运动，运动的轨迹是椭圆。（或拖动点C在aB上运动，出现点m，m1的轨迹是椭圆。）
在点m运动的过程中，学生观察到|mF1|+|mF2|的值始终保持不变，即椭圆满足下列条件的点的集合：p={m||mF1|+|mF2|=2a}
很容易得出椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离之和是常数（大于|F1F2|）的点的轨迹称为椭圆。对进一步利用“坐标法”研究曲线（椭圆）的标准方程，再利用曲线的方程讨论曲线的性质，解决几何问题，起到了很重要的作用。
几何画板的动态性，能够把数学图形动态直观地展现出来，化抽象为具体，化具体为形象，有助于学生发现问题，启发学生的思路，找到解决问题的有效方法，体现了数形结合的数学思想。
三、鼓励学生作出猜想，参与探究
利用几何画板的动态性，可以让学生在实验的基础上作出猜想，为教师培养学生探究性地建构知识提供环境，从而让学生在探究中学习，在探究中自主地建构知识，提出猜想的结论，实现创新。
探究椭圆轨迹
问题2.在问题1研究椭圆的轨迹时，让学生进一步探究：若改变线段aB的距离，曲线的形状、大小有什么变化？为什么？学生可先对曲线的轨迹作出猜想，在纸上画出曲线的轨迹。然后教师通过拖动a（B）点，改变aB的长度，验证学生的猜测。结果发现：若F1、F2的距离不变，aB的长度越大，得到的椭圆越接近于圆；aB的长度越小，得到的椭圆越扁，越接近于线段F1F2；当aB的值等于|F1F2|时，其轨迹为一线段，与F1F2重合。
问题3.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2。从这个圆上任意一点p向x轴作垂线段pp′，求线段pp′的中点m的轨迹。
学生根据已知条件进行构图，设置点p为“动画”，追踪点m，得到中点m的运动轨迹是椭圆，很容易就完成这个课件的制作。结论证明将圆按某个方向压缩（拉长）都可以得到椭圆。
进一步探索：若把点p任意缩放，得到点m′，则点m′的轨迹仍是椭圆。
问题4.探究椭圆的第二定义：即到定点的距离与到定直线的距离之比e（0分析：在x轴上任画两点e、F，过e作x轴的垂线L，构造线段aB、GH（|aB|
几何画板的最大特色是动态性，使学生在动态中观察数学现象，体验知识的形成过程，探究几何图形的性质。因而，使教学更加直观、生动，有利于激发学生的学习兴趣，增强教学的趣味性。
四、参与教学过程，进行数学实验
学生掌握了几何画板，可以更好地参与到教学过程中来，进行数学实验，根据问题的内容，展示数学思想，进行数学学习、数学探索，体验数学的本质，探究知识之间的联系，发现数学规律，寻找解决问题的方法。
问题5.从椭圆到双曲线（让学生仿照探究椭圆轨迹的方法探究双曲线的轨迹）。
在几何画板上画一直线aB，在直线aB上任意画一点C，再画两点F1、F2，使|F1F2|>|aB|，以F1为圆心线段aC（即r1）为半径画圆，以F2为圆心线段BC（即r2）为半径画圆，圆F1与F2的交点是m、m′，改变点C的位置，点m、m′的轨迹是双曲线。
由上面的画图过程可以看出，双曲线是满足下列条件的点的集合：
p={m|||mF1|-|mF2||=2a}.
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
在图3中，|aB|=2a，|F1F2|=2c，|aB|
根据上述条件，学生仿照求椭圆的标准方程的做法，很容易求出双曲线的标准方程并探究其几何性质。五、自我探索，体现“多元联系”
借助几何画板所提供的“多元联系表示”的环境，使学生自我探索，揭示知识之间的内在联系，探索出问题的一般规律，有助于加深对数学知识的理解和掌握。
高中数学圆和椭圆的知识点篇10
关键词：椭圆曲线密码体制；对称密码体制；非对称密码体制
中图分类号：tp311文献标识码：a文章编号：1009-3044（2013）34-7776-06
密码学可以认为是数学的一个分支，它是密码编码学和密码分析学的总称。通常主要用于保护通信双方实施安全的信息传递，且不被非授权的第三方知道。密码学的发展经历了三个阶段：手工加密技术、经典加密技术、现代计算机加密技术[1]。当前的密码技术和理论都是基于以算法复杂性理论为特征的现代密码学。
Shannon在1949年发表的“theCommunicationtheoryofSecrecySystem”奠定了密码学的理论基础，并使之成为一门独立的科学。1976年，Diffie&Hellman发表的“newDirectionoftheCryptography”首次提出了公钥密码学的基本思想，开创了公钥密码学的新纪元[2]。
当前通用的密码体制一般基于以下三类数学难题：
1）基于大整数因子分解。1978年，麻省理工学院Rivest、Shamir、adlman三位学者首次发表的RSa公钥密码体制就是基于此的一种公钥密码体系，简称RSa算法。
2）基于有限域上离散对数。最著名的有elGamal、DSa数字签名算法。
3）基于椭圆曲线离散对数。基于椭圆曲线有限加法群上的椭圆曲线离散对数问题的求解困难性，同其他公钥密码体制相比较，在相同安全强度下，椭圆曲线密码系统具有密钥短、占用空间和带宽小、处理速度快等优势。基于椭圆曲线建立的密码体制还有两大优点：一是可用于构造有限点群的椭圆曲线数量多；二是计算椭圆曲线有限点群的离散对数亚指数算法不存在，解密算法难度很大，安全性高。
1公钥密码算法相关研究
由于对称密码算法在密钥管理、分发和数字签名方面的缺陷，1976年w.Diffie和m.Hellman提出了一种巧妙的密钥交换协议，称为Diffie-Hellman密钥交换协议/算法[8]，比如alice和Bob希望通过公共通信网协商一个会话密钥，只需要以下操作过程：
这种算法是安全的，对于窃听者Charlie，他只能得到gamodp或者gbmodp，如果他想构造出gabmodp，这便属于一个离散对数问题，我们知道目前这还是一个数学难题。
在公钥密码系统中，每位计算机网络的通信者都应该拥有两个密钥，其中一个是对外保密的“私钥”，另一个是对网络上所有人公开的“公钥”。私钥和公钥都可以对信息加密，但私钥加密的信息须用对应的公钥解开，公钥加密则须用对应的私钥解开。使用公钥密码系统，网络上的双方无需事先传递密钥就能进行保密通信[11]。
首个公钥密码系统由形Rivest、Shamir和adleman在1978年提出来，简称为RSa公钥密码[9]，RSa的安全性是基于大整数因子分解难题。目前，国内外大多数使用公钥密码进行加密、解密和数字签名/验证的产品都是基于RSa密码体系。RSa密码体系的安全性完全依赖于大整数因子分解问题，随着解决因子分解方法的进步及完善、计算机运算速度的不断提高和计算机网络的发展，RSa密码的安全性受到了前所未有的挑战，人们必须选择更大的整数，以增加破解的难度。目前，安全的RSa密码需要的大整数都在1024位以上的二进制长度，造成了RSa密码实现的代价变得越来越难以任受，导致了RSa应用的效率越来越低，成为RSa应用的主要瓶颈。
第二个著名的公钥密码是eGamal密码[10]，它的安全性依赖于离散对数问题。假设G为一个有限乘法循环群，g为G的生成元，x为任意的整数，如果已知g及gx，如何求解x的问题在数学上称为离散对数问题。在当前环境下，当群G选择适当，且整数x充分大时，求解是非常困难的，现己知最快的求解数域上离散对数的方法是亚指数级时间复杂度。
第三个著名的公钥密码是基于有限域上椭圆曲线加法群的离散对数问题，它是华盛顿大学的nealKoblitz[4]和在iBm工作的Victormiller[5]各自独立地提出来的，这使得研究了150多年的椭圆曲线在密码领域中得以发挥重要作用。椭圆曲线密码体制（ellipticCurvesCryptography，eCC）的数学基础是椭圆曲线上的点构成的abel加法群中离散对数的计算困难性。可以证明基于有限域上eCDLp的困难性要高于一般乘法群上的离散对数问题的困难性，而且椭圆曲线域的运算位数远小于传统离散对数，且很容易使用软件或硬件在计算机上进行实现。同时，利用eCC实现速度非常快，在同等安全强度下，eCC所需的计算量、存储量、带宽、开销都较小，且加密和签名的速度高。因此，eCC特别适用于计算能力、带宽和集成空间受限的地方，比如Smart卡。由于eCC具有其他公钥密码体制无法替代的优点，eCC从提出就得了到广泛关注，而且被认为是下一代最通用的公钥密码系统。
2椭圆曲线基本理论
2.1椭圆曲线定义
椭圆曲线是一门古老且内容丰富的数学分支，1985年，Victormiller和nealKoblitz各自独立地提出椭圆曲线公钥密码学，它的基本思想仍然是基于有限域乘法群的公钥密码体制，用有限域上椭圆曲线构成的群来类比有限域的乘法群，从而获得类似的公钥密码体制。eCC的安全性是基于椭圆曲线离散对数问题的难解性，经证明它目前还没有亚指数攻击方法，所以，eCC具有一些其它公钥密码体制无法比拟的优点。
椭圆曲线并非我们通常意义上的椭圆，这样命名的原因是因为对椭圆曲线的研究来源于椭圆周长计算问题，以及所描述的椭圆积分等问题，这里[e（x）]是[x]的三次或四次多项式。
2.2椭圆曲线上点的加法规则
以上加法规则在复数、实数、有理数和有限域[GF（p）]上均有效。值得指出的是，对于有限域[GF（p）]的情形，上述加法规则得到的应是[modp]的结果。对于有限域[GF（2m）]，由于所用椭圆曲线形式发生变化，因此上述加法规则应做相应修改，这方面可参考相关资料。
2.3椭圆曲线分类
3椭圆曲线在密码学中的应用
3.1椭圆曲线密码体制的建立[7]
首先选取一个基域[Fq]，它可以是一个素域，也可以是一个特征为2的域[F2m]（[m]为素数）。其次在[Fq]上选取一条椭圆曲线[e]，并使其群阶为一个大素数[n]，或者是一个大素数与一个小整数的乘积。然后选取[e]上的一个阶为大素数的[n]的点[p]。有限域[Fq]、曲线[e]、点[p]和其阶[n]均为公开的信息。
3.2椭圆曲线密钥对的生成
每一个参与者需要完成下述过程：
3.3椭圆曲线加密方案
现在假设alice要向Bob发送信息，则alice加密过程如下：
3.4椭圆曲线签名方案（eCDSa）
我们给出基于椭圆曲线的数字签名方案，称为eCDSa。
eCDSa签名生成：设alice要对信息m签名后，传送给Bob，则alice要完成以下步骤：
3.5椭圆曲线密钥生成协议（eCKep）
这里给出一个基于椭圆曲线的密钥协议：
由于eCC的安全性和优势非常明显，再加上许多标著名组织在椭圆曲线密码算法标准化方面做了大量工作，在1998年eCC被确定为iSo/ieC数字签名标准，1999年椭圆曲线数字签名算法被anSi确定为数字签名标准。
3.6椭圆曲线密码体制分析
同以往的公钥密码体制相比较，椭圆曲线密码体制有以下三个方面的优点[2]。
1）安全性高
目前，针对有限域上的离散对数问题攻击的最快算法是指数积分法，其运算复杂度为：
而攻击椭圆曲线上的离散对数问题的常用算法为大步小步算法，它的复杂度为：
2）密码长度更小
对以上两种攻击密码算法的复杂度进行比较，可知在同等安全性能下，椭圆曲线密码体制算法需要的密钥长度远小于有限域上离散对数问题的公钥密码长度，因此，椭圆曲线密码体制更适合于存储空间有限、带宽小、运算速度高的环境中。
3）算法灵活性更好
通常情况下，如果有限域[GF（p）]确定，那么其上的循环群也就确定了，但有限域上的椭圆曲线却可以通过改变曲线参数而进行随机变化，相应地生成不同的循环群，从而导致椭圆曲线有着丰富的结构和多种选择，与RSa/DSa相比较，在安全性同等的条件下，椭圆曲线密钥长度更小，灵活性也高。
4结论
自公钥密码体系被提出来，都是以某一含有“陷门”的数学难题作为其安全性基础的，各种椭圆曲线公钥密码体系的安全性都与相应的椭圆曲线离散对数问题的求解困难性等价。如果离散对数可以计算，那么从一个用户的公钥就可以推导出相应的私钥，这样系统就不安全了。目前，有许多针对椭圆曲线离散对数的攻击算法，主要有以下几类：针对一般离散对数问题的攻击算法，比如大步小步算法和pollard-p算法；针对特殊椭圆曲线的攻击算法，如针对超奇异型椭圆曲线的moV类演化算法，还有针对畸异型椭圆曲线的SSaS多项式时间算法等。
从以上分析可知，只要选取的椭圆曲线能抵抗上述几种常见的攻击算法，即选取一条安全的椭圆曲线，那么椭圆曲线密码的安全性是可以保证的，但如何才能选取一条安全的椭圆曲线，这是一个深刻的数学难题，有待于相关领域的深入研究。总之，我们在给椭圆曲线选择参数时应该谨慎，为避免安全隐患，所选择的椭圆曲线上的离散对数问题必须能够抵抗上述的所有攻击。
参考文献：
[1]郭海民，白永祥.数论在密码学中的应用[J].电脑知识与技术，2010（6）.
[2]williamStallings.CryptographyandnetworkSecurity–principlesandpractice，Fifthedition[m].publishHouseofelectronicsindustry，2011.
[3]胡向东，魏琴芳，等.应用密码学[m].2版.北京：电子工业出版社，2011.
[4]VictorS.miller.ellipticcurvesandtheiruseincryptography[J].mathematicsofComputation，1997（61）：1-15.
[5]nealKoblitz.ellipticcurvescryptosystems.mathematicsofComputation，1987（177）：203-209.
[6]miller.Useofellipticcurveincryptography.inadvancesincryptology-CRYpto’85（SantaBarbaraCalif.），Spring-Verlag，1985：417-412.
[7]张方国.超椭圆曲线密码体制的研究[D].西安：电子科技大学，2001.
[8]吴世忠，祝世雄.应用密码学[m].北京：机械工业出版社，2000.
[9]w.Diffieandm.Hellman.newdirectionsincryptography[J].ieeetrans.inf.thy.1976，22：644-654.
[10]Rivest，Shamir，adleman.amethodforobtainingdigitalsignaturesandpublic-keycryptosystems[J].Commassoc.Computermath，1978（21）：120-126.