运筹学对偶问题篇1
关键词：微课；移动学习；运筹学
中图分类号：G434文献标志码：a文章编号：1674-9324（2017）15-0172-02
运筹学是高等院校应用数学专业、管理学等专业的一门专业必修课，是一门应用性相当强的学科，其主要内容包括线性规划与整数规划、目标规划、非线性规划、动态规划、图与网络分析、排队论等。运筹学课程存在教学内容多、模型求解过程烦琐等特点；另外，大部分院校运筹学的教学课时有限，要求大学生在有限的学时内，掌握运筹学数学模型的理论推导、模型求解方法以及模型实际应用非常困难。因此，如何提高运筹学教学效果是目前运筹学教学改革中的重要内容。
基于微课资源的大学生移动学习是开展随时随地非正式化学习的最佳选择，这种移动学习方式将给大学生带来一种全新的学习模式，它既是魍晨翁醚习模式的有力补充，又是促进传统教学模式改革的重要手段。本文研究了基于微课资源的运筹学课程的移动学习模式，期望对推动运筹学教学改革、变革运筹学教学方式、提高运筹学教学效果有一定的帮助。
一、移动学习是适合大学生课外随时随地自主学习的方式
移动学习是学习者通过智能手机、平板电脑等移动设备和无线通信网络在自己需要学习的任何时间、任何地点获取学习资源的过程[1]。学生可以不受时间、地点的限制随时随地使用移动设备进行学习。移动学习的内容可以是电子书、图片、视频、音频等各种资源，学生可以选择自己感兴趣的资源进行学习。教师和学生之间还可以相互进行实时地交流与沟通。移动学习这种学习模式可弥补传统学习模式在灵活性、方便性、移动性、个性化等方面存在的不足。
二、微课是支持移动学习的最佳选择
微课是以视频为载体按照课程标准或教学实践要求针对某个具体知识点或教学环节进行的教学活动[2]。微课时长通常控制在5―20分钟之内，时间短。微课和ppt相比具有内容少、问题集中、主题突出的特点。微课视频总容量一般在几十兆左右，资源容量小，且支持网络在线播放格式，学习者可流畅地将其下载并保存到移动终端设备（平板电脑、智能手机等）上，这为学习者随时随地地进行移动学习交流提供了很好的条件。微课的视频往往有声音、动画，主要以声音突出讲课效果，视频具有吸引力，学生可以一步步跟上教师的节奏，最后把知识点消化。微课制作常用的设备是摄像机与ppt，且制作方法容易，高等院校都有能力制作出高质量的微课。微课既可用于知识点的介绍，又可用于学生的问题答疑，适用范围广。因此，微课是支持移动学习这种学习模式的最佳选择[3，4]。
三、基于微课资源的运筹学课程的移动学习模式
1.利用微课资源进行新课预习。大学生是手机的忠实拥有者，教师可以利用微课引导学生进行运筹学新课预习，激发他们的学习兴趣。教师在讲授运筹学新课之前，可将运筹学新课的预习内容做成微课，比如教师可将运筹学发展史[5]、运筹学在实际生活中的应用、运筹学的展望、对偶单纯形法的性质等分别做成微课，将运筹学微课提交到移动学习系统中，学生登录移动学习系统后，借助移动终端设备（平板电脑、智能手机等）自主学习运筹学教师制作的运筹学微课。学生可以通过回答运筹学微课中布置的具体问题，对所学内容有一定的认识，教师在正常的运筹学教学中可减少运筹学发展史、运筹学在实际生活中的应用、运筹学的展望相应内容的介绍或对偶单纯形法的性质理论推导授课时间，着重讲解运筹学解决问题的思维过程，理解最优化的思想。
2.利用微课进行课后复习，解决新授课中的难点、重点问题。运筹学课程中有些算法求解过程相当烦琐，要求所有学生仅用课堂时间去理解吸收运筹学里的知识，有一定的难度。运筹学的授课教师可把运筹学每一章节的重点或难点内容做成短小、精悍的运筹学微课专题。比如教师可将单纯形法、对偶单纯形法、表上作业法、分支定界法、割平面法等微课提交到移动学习系统中，供学生进行选择，学生课后可以借助移动学习系统，根据自己对运筹学知识的掌握情况利用智能手机或平板电脑等移动设备，课后仔细观看运筹学模型计算方法专题，反复推敲揣摩，弄清算法的每个步骤，从而弥补正常课堂上的不足。
单纯形法和对偶单纯形法是运筹学中求解线性规划问题的重要方法，是线性规划中的重点也是难点，教师可将单纯形法的计算步骤、对偶单纯形法的计算步骤、两种方法计算步骤的相同和不同的地方、单纯形法和对偶单纯形法使用条件等做成微课，学生可通过观看单纯形法和对偶单纯形法微课专题，熟练掌握单纯形法和对偶单纯形法。
3.利用微课进行课后作业答疑，解决作业中的难题。借助移动学习系统，学生可以建立运筹学讨论组或运筹学虚拟课堂，相互讨论运筹学学习中的疑难问题，教师可以及时掌握学生运筹学作业中碰到的难题，然后将学生反映较多的运筹学难题做成微课，满足大学生对运筹学课程课后答疑的需求。学生对线性规划问题中的基、基解、基可行解、可行基等概念往往弄不明白，教师可将基、基解、基可行解、可行基的概念做成微课，在微课中用多个例子分别解释基、基解、基可行解、可行基的具体内容，学生可通过反复观看微课解决运筹学学习中的疑难问题。
4.利用微课进行课本内容的拓展。由于课时有限，课堂上一般不允许运筹学授课教师对运筹学知识进行过多的拓展，对部分学有余力的学生，教师需要对运筹学知识内容进行延伸。教师可将需要延伸的运筹学内容单独做成运筹学微课专题，提供给有需要的学生。比如教师上完运筹学第一次课后可将孙膑斗马术、丁谓“一举三得”修皇宫问题、生产中常见的管道铺设问题、最短路线设计问题等分别做成微课，让学生体会运筹学在实际生产、生活中的运用。
教师可把单纯形法理论产生的历史背景、matlab语言编写的单纯形算代码做成微课，这样关于单纯形法理论、算法方面的知识被拓展了。教师在用对偶单纯形法进行灵敏度分析时，也把用LinGo软件或matlab语言求解改变某些约束条件的线性规划问题的内容做成微课，让学生逐步弄清线性规划问题中系数的变化规律。
教师还可把实际生活中的案例做成运筹学微课。比如，给出各种饭菜中所含营养成分的比例，每天学生对比饭菜营养成分的需要量和饭菜的价格，把如何建立数学模型既能保证营养又能使费用最低的问题做成微课。大学生可运用所学运筹学知识进行解答，学以致用。
四、结语
基于微课资源的运筹学课程的移动学习模式是在运筹学微课资源已经具备的前提下研究的。运筹学微课资源的建立需要教育部组织建设内容丰富多样的优质运筹学教育资源库。同时，各高校需要建立激励机制，鼓励教师参与运筹学微课建设，培养运筹学微课制作和研究的骨干力量，打造内容丰富的运筹学教育资源库和微课平台。随着教育系统对微课资源库建设投入的加大，基于微课的运筹学课程的移动学习模式必将给大学生学习运筹学带来全新的体验。
参考文献：
[1]王佑镁，王娟，杨晓兰，伍海燕.近二十年我国移动学习研究现状与未来趋势――基于中西方对比的研究综述[J].现代远程教育研究，2013，（1）：49-55.
[2]曹玉娜.基于微课资源下的大学生移动学习研究[J].新余学院学报，2015，20（4）：140-142.
[3]刘巍，叶明芬.浅谈移动学习背景下的微课[J].郧阳师范高等专科学校学报，2014，34（5）：134-137.
[4]刘世能.微课在移动学习中的应用策略[J].教育信息技术，2013，（4）：22-24.
[5]运筹学教材编写组.运筹学[m].第4版.北京：清华大学出版社，2013.运筹学是高等院校应用数学专业、管理学等专业的一门专业必修课，是一门应用性相当强的学科，其主要内容包括线性规划与整数规划、目标规划、非线性规划、动态规划、图与网络分析、排队论等。运筹学课程存在教学内容多、模型求解过程烦琐等特点；另外，大部分院校运筹学的教学课时有限，要求大学生在有限的学时内，掌握运筹学数学模型的理论推导、模型求解方法以及模型实际应用非常困难。因此，如何提高运筹学教学效果是目前运筹学教学改革中的重要内容。
基于微课资源的大学生移动学习是开展随时随地非正式化学习的最佳选择，这种移动学习方式将给大学生带来一种全新的学习模式，它既是传统课堂学习模式的有力补充，又是促进传统教学模式改革的重要手段。本文研究了基于微课资源的运筹学课程的移动学习模式，期望对推动运筹学教学改革、变革运筹学教学方式、提高运筹学教学效果有一定的帮助。
一、移动学习是适合大学生课外随时随地自主学习的方式
移动学习是学习者通过智能手机、平板电脑等移动设备和无线通信网络在自己需要学习的任何时间、任何地点获取学习资源的过程[1]。学生可以不受时间、地点的限制随时随地使用移动设备进行学习。移动学习的内容可以是电子书、图片、视频、音频等各种资源，学生可以选择自己感兴趣的资源进行学习。教师和学生之间还可以相互进行实时地交流与沟通。移动学习这种学习模式可弥补传统学习模式在灵活性、方便性、移动性、个性化等方面存在的不足。
二、微课是支持移动学习的最佳选择
微课是以视频为载体按照课程标准或教学实践要求针对某个具体知识点或教学环节进行的教学活动[2]。微课时长通常控制在5―20分钟之内，时间短。微课和ppt相比具有内容少、问题集中、主题突出的特点。微课视频总容量一般在几十兆左右，资源容量小，且支持网络在线播放格式，学习者可流畅地将其下载并保存到移动终端设备（平板电脑、智能手机等）上，这为学习者随时随地地进行移动学习交流提供了很好的条件。微课的视频往往有声音、动画，主要以声音突出讲课效果，视频具有吸引力，学生可以一步步跟上教师的节奏，最后把知识点消化。微课制作常用的设备是摄像机与ppt，且制作方法容易，高等院校都有能力制作出高质量的微课。微课既可用于知识点的介绍，又可用于学生的问题答疑，适用范围广。因此，微课是支持移动学习这种学习模式的最佳选择[3，4]。
三、基于微课资源的运筹学课程的移动学习模式
1.利用微课资源进行新课预习。大学生是手机的忠实拥有者，教师可以利用微课引导学生进行运筹学新课预习，激发他们的学习兴趣。教师在讲授运筹学新课之前，可将运筹学新课的预习内容做成微课，比如教师可将运筹学发展史[5]、运筹学在实际生活中的应用、运筹学的展望、对偶单纯形法的性质等分别做成微课，将运筹学微课提交到移动学习系统中，学生登录移动学习系统后，借助移动终端设备（平板电脑、智能手机等）自主学习运筹学教师制作的运筹学微n。学生可以通过回答运筹学微课中布置的具体问题，对所学内容有一定的认识，教师在正常的运筹学教学中可减少运筹学发展史、运筹学在实际生活中的应用、运筹学的展望相应内容的介绍或对偶单纯形法的性质理论推导授课时间，着重讲解运筹学解决问题的思维过程，理解最优化的思想。
2.利用微课进行课后复习，解决新授课中的难点、重点问题。运筹学课程中有些算法求解过程相当烦琐，要求所有学生仅用课堂时间去理解吸收运筹学里的知识，有一定的难度。运筹学的授课教师可把运筹学每一章节的重点或难点内容做成短小、精悍的运筹学微课专题。比如教师可将单纯形法、对偶单纯形法、表上作业法、分支定界法、割平面法等微课提交到移动学习系统中，供学生进行选择，学生课后可以借助移动学习系统，根据自己对运筹学知识的掌握情况利用智能手机或平板电脑等移动设备，课后仔细观看运筹学模型计算方法专题，反复推敲揣摩，弄清算法的每个步骤，从而弥补正常课堂上的不足。
单纯形法和对偶单纯形法是运筹学中求解线性规划问题的重要方法，是线性规划中的重点也是难点，教师可将单纯形法的计算步骤、对偶单纯形法的计算步骤、两种方法计算步骤的相同和不同的地方、单纯形法和对偶单纯形法使用条件等做成微课，学生可通过观看单纯形法和对偶单纯形法微课专题，熟练掌握单纯形法和对偶单纯形法。
3.利用微课进行课后作业答疑，解决作业中的难题。借助移动学习系统，学生可以建立运筹学讨论组或运筹学虚拟课堂，相互讨论运筹学学习中的疑难问题，教师可以及时掌握学生运筹学作业中碰到的难题，然后将学生反映较多的运筹学难题做成微课，满足大学生对运筹学课程课后答疑的需求。学生对线性规划问题中的基、基解、基可行解、可行基等概念往往弄不明白，教师可将基、基解、基可行解、可行基的概念做成微课，在微课中用多个例子分别解释基、基解、基可行解、可行基的具体内容，学生可通过反复观看微课解决运筹学学习中的疑难问题。
4.利用微课进行课本内容的拓展。由于课时有限，课堂上一般不允许运筹学授课教师对运筹学知识进行过多的拓展，对部分学有余力的学生，教师需要对运筹学知识内容进行延伸。教师可将需要延伸的运筹学内容单独做成运筹学微课专题，提供给有需要的学生。比如教师上完运筹学第一次课后可将孙膑斗马术、丁谓“一举三得”修皇宫问题、生产中常见的管道铺设问题、最短路线设计问题等分别做成微课，让学生体会运筹学在实际生产、生活中的运用。
教师可把单纯形法理论产生的历史背景、matlab语言编写的单纯形算代码做成微课，这样关于单纯形法理论、算法方面的知识被拓展了。教师在用对偶单纯形法进行灵敏度分析时，也把用LinGo软件或matlab语言求解改变某些约束条件的线性规划问题的内容做成微课，让学生逐步弄清线性规划问题中系数的变化规律。
教师还可把实际生活中的案例做成运筹学微课。比如，给出各种饭菜中所含营养成分的比例，每天学生对比饭菜营养成分的需要量和饭菜的价格，把如何建立数学模型既能保证营养又能使费用最低的问题做成微课。大学生可运用所学运筹学知识进行解答，学以致用。
四、结语
基于微课资源的运筹学课程的移动学习模式是在运筹学微课资源已经具备的前提下研究的。运筹学微课资源的建立需要教育部组织建设内容丰富多样的优质运筹学教育资源库。同时，各高校需要建立激励机制，鼓励教师参与运筹学微课建设，培养运筹学微课制作和研究的骨干力量，打造内容丰富的运筹学教育资源库和微课平台。随着教育系统对微课资源库建设投入的加大，基于微课的运筹学课程的移动学习模式必将给大学生学习运筹学带来全新的体验。
参考文献：
[1]王佑镁，王娟，杨晓兰，伍海燕.近二十年我国移动学习研究现状与未来趋势――基于中西方对比的研究综述[J].现代远程教育研究，2013，（1）：49-55.
[2]曹玉娜.基于微n资源下的大学生移动学习研究[J].新余学院学报，2015，20（4）：140-142.
[3]刘巍，叶明芬.浅谈移动学习背景下的微课[J].郧阳师范高等专科学校学报，2014，34（5）：134-137.
运筹学对偶问题篇2
关键词：运筹学，改革，本科生。
【中图分类号】G640
本文受广西高等学校特色专业及课程一体化建设项目（管理科学专业）项目资助；
《运筹学》课程的目的是根据问题的要求，通过分析与运算，做出综合性的合理安排，使有限资源发挥更大效益。这课程所要求的数学基础面比较广，并且不同的问题对应着不同的求解方法。《运筹学》课程已逐渐成为应用数学、工程管理、信息管理、管理科学、机械制造、计算机、系统科学、交通运输等专业的基础课程之一。因此运筹学课程必须既能满足理工类专业的教学需要，又能兼顾经管类等专业的要求。他是大学生参加数学建模竞赛能否取得优异成绩的关键因素，统计表明，全国大学生数学建模竞赛各参赛队所采用的求解方法90%以上都是《运筹学》课程中的内容。
《运筹学》课程的核心是研究优化的理论与方法。运筹学内容丰富、分支众多，已经形成了三个不同的发展领域：运筹学应用、运筹学科学和运筹学数学。主要内容有：1、线性规划问题，其应用非常广泛，是现代科学管理的一种重要手段；2、对偶理论，研究线性规划的对偶关系和解的特征理论，在求解线性规划问题时同时得到其对偶问题的最优解以及相对各个约束的影子价格等信息在实际问题中有着广泛的应用；3、动态规划，是解决多阶段决策过程最优化的一种有效的数学方法，其思想是把一个较复杂的问题按照阶段划分，分解为若干个较小的局部问题，然后按照局部问题的递推关系，依次作出一系列决策，直至整个问题达到总体最优的目标；4、对策论亦称博弈论：是研究具有对抗或竞争性质现象的数学理论和方法，它既是数学的一个分支，也是运筹学的一个重要学科。对策论就是研究对策行为中斗争各方是否存在着最合理的行动方案，以及如何找到这个合理方案的数学理论和方法。是研究决策主体的行为发生直接相互作用时的决策及这种决策的均衡问题。即它是研究聪明而又理智的决策者在冲突或合作中的策略选择理论；5、决策论是一种对已知目标和方案的选择过程，当人们已知确定需实现的目标是什么，根据一定的决策准则，在供选方案中做出决策的过程。决策科学是一门专门研究决策的学问，并将现代技术成就应用于决策，其包括决策心理学、决策的数量化方法、决策评价以及决策支持系统、决策自动化等；存储论也称库存论，是研究物资最优存储策略及存储控制的理论；6、存储论中的主要问题：如果物资存储过多，不但积压流动资金，而且还占用仓储空间，增加保管费用。如果存储的物资是过时的或陈旧的，会给企业带来巨大经济损失；反之，若物资存储过少企业就会失去销售机会而减少利润，或由于缺少原材料而被迫停产，或由于缺货需要临时增加人力和费用。因而，寻求合理的存储量和订货时间就显得十分重要，即如何设计存储控制策略，包括什么时间供货和每次供货多少。还包含目标规划、运输问题和网络模型等，均具有广泛的应用背景；
如何将《运筹学》课程的内容高效有序的传授给学生，使他们积极主动的掌握和理解这些方法显得尤为重要。特别是当前大多数高校中均出现学生厌学现象日益严重，大多数学者以及从事教学一线的教师都在做深入的探讨，期望找到解决这种不良现象的方法，现结合自身对《运筹学》课程教学实践，提出自己的两点建议：
1、进行教学改革，教师授课与学生授课相结合。
众所周知现在大部分高校均出现学生厌学的现象，学习积极性不高或被动
式学习，效率很低。在自身教学中，采用了下述方式：一门课程老师讲授其中的60%-70%的内容，余下的有学生来讲。课程开始时，先给学生说明授课方式，让他们做好准备，在第二次或第三次课的时候，将任务分配给每一个学生，当然内容不要太多，一般半节课或三分之一课的时间即可。还要对学生提出如下具体的要求：
（1）授课学生要准备充分，讲授的内容力求每个听课的学生都要懂。若听课的学生不懂可以提问，授课学生要进行解答；
（2）听课的学生也要认真听讲，学生讲完后，老师随机点名让听课的学生至少提出一个问题，来给他们一定的压力；
（3）任课教师也要认真准备，及早备课，对学生授课过程中可能出现的问题进行掌握，还要对每一个授课学生的授课情况进行总结来鼓励学生。
2、改变考核方式
大多数高校的传统考核方式是考试占70%平时成绩占30%，这些要适当进行调整为考试占60%平时占40%，因为大学生的教育除去对知识的掌握和了解，更重要的在于素质的提高，即动手能力培养。所以平时成绩的比重加大是比较合理的，这40%重点体现在：
（1）老师平时作业，学生完成情况。这能促使学生课后也需要看书以巩固所学的知识；
（2）考勤情况。如果一个学生经常不来上课或经常请假迟到等，说明此学生学习态度很不端正，也说明他对自己很不负责人，同时表明对任课老师不尊敬。这也是学生素质以及道德方面的一个体现，应该平时注重培养；
（3）学生课堂表现。学生自己负责的授课内容是否认真准备以及很好的完成，能否认真听讲等均纳入其中。
《运筹学》课程所包含的知识非常丰富且使用性很强，学生若能掌握对其
今后的学习和工作均有很大的帮助，且对提高大学生素质教育起着举足轻重的作用，它对促进学生学习积极性、提高学生解决实际问题的能力等方面都发挥着重要的作用，所以探讨有效的教学方法和实践很有意义。
参考文献：
1、熊伟，《运筹学》，机械工业出版社，2005。
运筹学对偶问题篇3
关键词：线性规划；投资额；灵敏度分析
中图分类号：F272文献标志码：a文章编号：1673-291X（2013）02-0009-02
引言
投资问题主要可以划分为两个主要方面，一个是投资项目的组合，在多个项目中选择效益最大的项目组合；另一个是如何将既定的资金下分配给已选择的投资项目，即确定每个项目的投资额。有很多学者用不同的方法对第一个投资问题进行了研究，如差异系数变型模型、均衡理论模型、均值方差模型、风险价值法等等，都是用于求使期望收益最大或风险最小的最佳的投资组合，即解决如何选择项目的问题。对第二个投资问题，研究成果很少。本文主要以某个部门的项目投资为例，在已知每个项目的投资方式、投资收益和风险和投资总额的基础上，运用线性规划的方法研究如何确定每个项目的投资额，以满足投资者效益最大化或风险最小化的投资目标。
一、线性规划模型的评价
线性规划是运筹学的一个重要的分支，运用十分广泛。该方法主要解决在满足一定约束条件的基础上，决策变量如何取值，使目标函数实现最大值的问题。线性规划的决策变量是可控的连续变量，目标函数和约束方程都是线性的。
基本假设：
1.每种经营活动对目标函数的贡献是一个常数；
2.每个决策变量对目标函数的和约束方程的影响是独立于其他变量的，目标函数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和；
3.决策变量应取连续值；
4.所有的参数都是确定的参数，不含随机因素。
线性规划的标准形式：
maxZ=
st：（i=1，2，….，n）
0（j=1，2，.…n）
二、问题的提出及解决
现在，用线性规划方法来确定一公司某部门的不同投资项目投资额。
该部门现有资金200万元，今后五年内考虑以下的项目投资：
项目a：从第一年到第五年每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；
项目B：从第一年到第四年每年年初都可以投资，次年末收回本利125%；
项目C：第三年初需要投资，到第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过80万元；
项目D：第二年初需要投资，到第五年末收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。
据测定每次投资1万元的风险指数如表一所示：
我们要解决的问题是，如何确定这些项目每年的投资额，从而使得第五年末拥有的资金的本利金额最大；为使第五年末拥有的资金的本利在330万元的基础上总的风险系数最小，又应该怎样确定这些项目每年的投资额。
对该问题进行分析，可以发现它满足线性规划的四条基本假设。下面我们用线性规划的方法对该问题进行求解。
1.确定变量
设i为第i年初投资于项目j的金额（单位：元），根据给定条件，将变量列于表2中。
2.约束条件
因为项目a每年都可以投资，并且当年末都能收回本息，所以该部门每年都应该把金子投出去，手中不应该有剩余的呆滞资金，因此，
第一年：该部门年初有资金200万元，固有x1a+x1B=200；
第二年：因第一年给项目B的投资要到第二年末才能收回，所以该部门在第二年初拥有的资金仅为项目a在第一年投资额所收回的本息110%x1a，固有x2a+x2a+x2D=1.1x1a；
第三年：第三年初的资金额是从项目a第二年投资和项目B第一年投资所收回的本息总和1.1x1a+1.25x1B，固有x3a+x3B+x3C=1.1x1a+1.25x1B；
第四年：同以上分析，可得x4a+x4B=1.1x3a+1.25x2B；
第五年：x5a=1.1x4a+1.25x3B。
另外，对项目B，C，D的投资额的限制有
xiB≤30（i=1，2，3，4）；x3C≤80；x2D≤100
3.目标函数
要求在第五年末该部门所拥有的资金额达到最大，即目标函数最大化，则可以表示为
maxZ=1.1x5a+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D
这样可以得到如下的数学模型：
maxZ=1.1x5a+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D
约束条件：x1a+x1B=200；x2a+x2B+x2D=1.1x1a；x3a+x3B+x3C=1.1x1a+
1.25x1B；x4a+x4B=1.1x3a+1.25x2B；x5a=1.1x4a+1.25x3B；xiB≤30（i=1，2，3，4）；x3C≤80；x2D≤100；xij≥0。
用“管理运筹学”软件求得此问题的解：
x5a=33.5，x4B=30，x3C=80，x2D=100，x1a=170，x1B=30，x2a=57，x2B=30，x3a=0，x3B=20.2，x4a=7.5。
这时第五年末拥有的资金本利（即目标函数的最大值）为341.35万元，用“管理运筹学”软件所求的结果如图1。
其中，x1a=x1；x2a=x2；x3a=x3；x4a=x4；x5a=x5；x1B=x6；x2B=x7；x3B=x8；x4B=x9；x3C=x10；x2D=x11
为使第五年末拥有的资金的本利在330万的基础上总的风险系数最小，这些项目每年的投资额的确定方法同上，只是目标函数发生了变化，多了一个约束条件，第五年拥有的资金的本利要在330万元以上，同样用“管理运筹学”软件可以求得最优解和最小的风险系数。
三、灵敏度分析
利用“管理运筹学”软件的计算结果中的对偶价格、目标函数系数范围、常数项系数范围，进行进灵敏度分析。
由对偶价格栏可知，第一年初增加或减少投资1万元，将导致第五年末拥有资金的本利增加或减少1.664万元，第一年投资额为200万元；第二年初增加或减少1万元，将导致第五年末拥有的资金本利增加或减少1.513万元，第二年的投资额来自第一年投资于项目a而收回的100%的本利。同样可知，第三年初、第四年初、第五年初增加或减少投资1万元，将导致第五年末拥有的资金本利分别增加或减少1.375万元、1.210万元、1.1万元。从第六个至第九个约束方程的对偶价格中可知，如果第一年、第二年、第三年、第四年项目B的投资额的限制放松或收缩1万元指标，将导致第五年末拥有的资金的本利分别增加或减少0.055万元、0万元、0万元、0.040万元。从第十个和第十一个约束方程对偶栏可知，项目C和项目D的投资额的限制放松或收缩1万元指标，将导致第五年末拥有的资金的本利分别增加或减少0.025万元、0.037万元。
由目标函数中变量系数的变化范围可知，当x5a，x4B，x3C和x2D中的一个变量在此范围里变化时，即项目a的第一年、项目B的第四年、项目C的第三年、项目D的第二年投资在第五年末的收回本利的百分比中的一个在次范围里变化时，最优解保持不变。超出这个范围就要重新建模求解。例如在这个范围变化0≤x5≤1.12，其他的变量保持不变，那么最优解不变。当几个系数同时变化时要用百分之一百法则来判断，即各个变量的允许增加或减少的百分比之和，如果小于百分之百的话，最优解不变；如果大于百分之一百的话，需要重新建模求解。需要说明的是x1a，x1B，x2a，x2B，x3a，x3B，x4a的系数都为零，主要是把这些变量的投资回收本利的百分比对第五年的贡献都体现在约束条件里，而没体现在目标函数中，所以没法用其目标函数的系数对其进行收回本利百分比的灵敏度分析。
以常数项变化范围一栏可以得到保持对偶价格不变的约束条件中常数项的变化范围，当某一个约束条件的常数项在此范围里变化而其他约束条件的常数项不变时，对偶价格不变。例如，第一年初现有资金为190万元，从图1中可知，190万元处于保持对偶价格不变的约束条件的常数项的变化范围内，故可以从对偶计算出第五年末所拥有的资金的本利总数为341.35-（200—190）*1.664=324.71（万元）；同样，当变化超过了常数项的变化范围，需要重新建模。当几个约束条件的常数项同时变化时，则用百分之一百法则来判断。
运筹学对偶问题篇4
一门课程的学习是一个知识体系的构建，所有的知识点和每一堂的教学内容都不是孤立的存在。在教学设计过程中作为教学者应该注意引导和促使学习者将新知识与已知知识组成内在一致的表征。如，在《运筹学》线性规划问题的单纯形求解教学过程中可以结合已有的知识体系（图1），这种组织体系能够帮助理解教材和知识点的安排思路，有助于对于课程的理解和学习。
二、促进整合的教学设计
教学设计在整合过程中可结合奥苏伯尔的先行组织者理论。"组织者"是先于学习材料的一个引导性材料，它从学生的已有经验和知识出发，给学生以易懂的、通俗的语言表述。组织者分为说明性组织者和比较性组织者。说明性组织者的作用是为新知识提供类属，如教学背景。在《运筹学》线性规划模型的提出教学时，可提供一个企业在已有资源条件下的生产利润最大化案例供大家讨论，然后引出知识点。
而在对偶模型提出时，自然可创设情境让学生去收购该企业，让大家给出收购计划和收购报价，然后在讨论过程中很自然地引出对偶模型的概念。比较性组织者的作用是指出新知识与已有知识点间的异同来帮助理解。在《数学模型》数学建模的基本步骤教学设计中，可提供初等应用题（已有知识）案例，具体教学过程设计如下：a)给出已有的知识：解二元一次方程组应用题。甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?b)教师设问：如何解答该问题？学生回答：假设x，y，列方程组，解方程组，*答。c)教师设问：为什么以前老师说不"答"要扣分？学生回答：知其然，不知其所以然。教师：接下去的学习会告诉我们为什么不"答"要扣分。
运筹学对偶问题篇5
关键词：高中数学；分层；合作；模型
中图分类号：G63文献标识码：a文章编号：1673-9132（2016）23-0195-02
Doi：10.16657/ki.issn1673-9132.2016.23.124
课堂教学是师生互动的过程，从教师的角度而言，影响高效课堂的因素主要有教学方式和教学方法。许多人将教学方式和教学方法混为一谈，其实不然，教学方式是指教师在课堂上传授知识时采用怎样的组织方式，教学方法则指在教学过程中采取怎样的手段。我们只有弄明白一堂课应该采取怎样的方式和方法才能让知识以契合学生认知和发展的方式呈现出来，才能满足学生的认知需求。随着新课程改革的不断推进，广大教师认识到了学生是课堂的主体，无论是教学方法还是教学方式都要根据学生的认知规律进行整合设置。下面笔者优选几种常用的高效课堂教学方式和方法进行例析和讨论。
一、统筹组织教学方式
教学方式是指教师在要求学生获取知识，提高能力，获取学习方法的过程中所采用的方式。在众多教学方式中，笔者认为有两种教学方式是课堂必备，不可褫夺。
（一）分层教学
分层教学是课堂教学比较常见的组织方式。一个班级往往有几十位学生，他们肯定存在认知能力、知识背景等方面的差异，存在由易到难的认知层次规律。所以，我们在课堂教学中要注意通过分层教学来满足学生的认知需求。比如教学“函数的奇偶性”时，我们要根据学生的认知规律来循序渐进地进行逐层深入认知：（1）通过分别例举典型的奇函数和偶函数，让学生形象地掌握函数奇偶性的概念；（2）结合图像以直观的方式指导学生掌握判定函数奇偶性的基本方法；（3）能画出奇函数和偶函数的示意图……这三个层次，都是根据学生的认知能力渐次深入，便于让学生循序渐进地完成知识迁移。在这一过程中，我们要对不同认知层次的学生进行有针对性的启发和辅导。（1）要求基础生掌握奇函数和偶函数的基本概念和判定方法，并能根据图像进行说明；（2）优等生要能尝试特殊函数：y=x4+x2，y=x-2+2，y=x2n（n∈Z），y=2x，y=x-1+x等的判定……这样要求既能让基础生步步为营，树立信心，又能让优等生敢于挑战难点，发散思维。总之，能让不同层次的同学在达成教学目标的基础上都获得进步和提升。
（二）合作探究
生活中的许多问题都需要我们发散思维，总结、归纳相关数据才能得出正确结论。当前的高考数学也有很多综合性试题，旨在考察学生的数学综合运用能力。
课堂教学中，合作探究不能是机械的前后桌组合，而是要根据学生的认知规律和知识背景等特长优势，进行统筹组合。为了保证组间公平竞争和组内相互帮扶，通常都是以“组内异质，组间同质”为原则搭配5人左右的探究小组。学习小组要选一名组织能力比较强的做组长，然后根据每位组员的特长，为他们分配探究任务。下面我们就通过一个综合性问题来说明一下合作探究模式：叶老师想在济南买一套房，已知他看上的那栋楼前排楼高度是100米，楼间距是60米，如果叶老师想买全年可采光的最低楼盘，可以买第几层呢？这是一道生活实际问题，涉及数学和地理等多方面的知识，这样的问题就可以通过合作探究来提升学生的数学解题能力。（1）善于动手的学生做出示意图，这样好形象找到相关数学量；（2）让后进生分析相关数学量之间的关系，卡壳的地方优等生给予启发和指导；（3）让地理好的学生算出济南太阳高度角H=90°-（23°26′+36°40′）=29°54'；（4）根据三角函数原理，算出楼间距60米可以承担前楼tan29°54'×60米高度的影长。这样教学，大家恍然大悟，明白了剩余楼高就相当于影子能挡住后楼的高度。
可见，合作探究模式能在有限的课堂时间内扩充课堂容量，学生在这个过程中能教好地解决问题，掌握相关数学解决实际问题的能力。
二、优化选择教学方法
教学方法是教师根据教学内容设置的契合学生认知规律的具体手段。新课程改革以来，新型教学方法很多，其中抓概念和构模型不失为实用性的教学方法。
（一）开始抓好基层概念
再难的数学题都有其原理，其基础必是数学概念。许多学生往往会因为不重视概念造成对其中细节把握不牢固，难免出现“失之毫厘，谬之千里”的情况。对此，教师在数学教学时可以通过对比等方式来强化概念学习。
以高一的集合概念为例，集合的知识比较简单，许多学生在实际判断和运用时往往因为忽略了集合的性质而生成错误。对此，我们可以通过具体案例的方式引导学生掌握其概念和性质。问题：根据集合概念和性质，大家看看哪组是集合？a.我们班所有同学；B.10086这组数字；C.学生。这个问题看似简单，其实暗藏玄机。不少学生看到后会毫不犹豫地说都是概念。这就“阴沟翻船”了。我们可引导学生对其进行仔细分析：a组，符合集合的概念，也具备其三个性质，是集合；而B组，有两个0不符合集合的互异性，所以不是集合；C组，没有确定是哪些学生违背了集合的确定性，也不是集合。这样通过对比让学生从心理上重视概念的细节，然后深入挖掘，真正掌握概念，才能为深入学习数学奠定基础。
（二）以典型问题来体验过程，构建模型
如果我们搞题海战术，那肯定有做不完的题，如果我们善于归纳的话，就会发现高中数学解决问题的类型也是有限的。所以，我们在教学中要能以典型问题的方式给学生构建同类问题的解题模型，这样就能举一反三，深化学生的知识迁移能力。
这里以高中数学二次函数为例。该部分内容在生活实际中运用范围很广，但是需要我们注意的细节也很多，尤其是值域和定义域的问题。为了完善学生的思考问题方法，我们要通过典型问题来构建此类问题的解题模型：当a为实数时，函救f（x）=（a-2）x2+（a-5）x-1的图像与x轴仅有一个交点，求实数a的值。
许多高中生看到二次函数思维就被局限了，然后根据二次函数的定义和性质进行判断，当二次函数f（x）=（a-2）x2+（a-5）x-1（a为实数）与x轴只有一个交点时，就是=（a-5）2+4（a-2）=0时，这时函数顶点在X轴，构成二次函数和X轴仅有的一个交点。但是这在=（a-5）2+4（a-2）=0中得出a无解。
运筹学对偶问题篇6
何谓“数、行、形、算”？
也就是数论，行程，图形、计算四个问题。数论难在它的抽象，这是区分尖子生和普通生的关键;行程问题复杂就在其应用，孩子在做这类题目的时候，要求的不仅是其思维，还有其表述;图形问题(几何问题)杂而难，重点要求的是面积的计算，这是中学教育的开始;计算是基础，是孩子取得高分的必要保障。
由于这四个问题，学生容易入门，但不易熟练，时常犯错误，因此成为近年来重点中学考试的热点，据统计各民校近年来的这几大问题的考题占据全部了80%左右，而数论和行程问题的考察更是重中之重，往往占到一张试卷的50%.如何复习这四方面的内容呢?
对于图形问题，我们要说的就是培养孩子的形象思维，重点加强的是面积的计算。（面积公式总结往下看）计算的技巧和方法也是在做题的总结和加强的，这里重点介绍一下数论和行程问题的复习方法。
数论学习中学生往往容易犯如下几个错误
1、读题障碍。数论的题目叙述往往只有几句话，甚至只有一行，可就这短短的几句话，却表达了很多意思，学生如果读不出题中的意思，题目通常会解错。
2、知识僵化。由于数论问题非常抽象，大多数学生往往采用死记硬背的方法来"消化"所学的内容，导致各个知识点都似曾相识，但遇到实际题目却一筹莫展。例如，说起奇偶性都知道怎么回事，马上就开始背："奇数+奇数=偶数……"可是在做题的时候就想不到用。
3、只见树木，不见森林。对于数论定理的灵活运用很欠缺。提起定理都能一字不差的背下来，但是对各个概念和性质缺乏整体上的认识和把握，更不用说理解各知识点之间的内部联系了。
知识体系
整除问题：
(1)数的整除的特征和性质(小升初常考内容)
(2)位值原理的应用(用字母和数字混合表示多位数)
质数合数：
(1)质数、合数的概念和判断(2)分解质因数(重点)
约数倍数：
(1)公约最小公倍数(2)约数个数决定法则(小升初常考内容)
余数问题：
(1)带余除式的理解和运用;(2)同余的性质和运用;(3)中国剩余定理奇偶问题：(1)奇偶与四则运算;(2)奇偶性质在实际解题过程中的应用完全平方数：(1)完全平方数的判断和性质(2)完全平方数的运用整数及分数的分解与分拆(重点、难点)
小升初必考题目主要有下面类型
一、计算
1．四则混合运算繁分数
⑴运算顺序
⑵分数、小数混合运算技巧一般而言：
①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；
②乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化
⑷繁分数的化简
2．简便计算
⑴凑整思想⑵基准数思想⑶裂项与拆分⑷提取公因数⑸商不变性质⑹改变运算顺序①运算定律的综合运用②连减的性质③连除的性质④同级运算移项的性质⑤增减括号的性质⑥变式提取公因数形如：
3．估算求某式的整数部分：扩缩法
4．比较大小①通分a。通分母b。通分子②跟“中介”比③利用倒数性质
5．定义新运算
6．特殊数列求和运用相关公式
二、数论
1．奇偶性问题
2．位值原则
3．数的整除特征
4．整除性质
5．带余除法
6.分解定理
7.约数个数与约数和定理
8.同余定理
9.完全平方数性质
10．孙子定理（中国剩余定理）
11．辗转相除法
12．数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
三、几何图形
四、典型应用题
1．植树问题
①开放型与封闭型
②间隔与株数的关系
2．方阵问题外层边长数-2=内层边长数（外层边长数-1）×4=外周长数外层边长数2-中空边长数2=实面积数
3．列车过桥问题
①车长+桥长=速度×时间
②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间
③车长甲+车长乙=速度差×追及时间列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题车长=速度和×相遇时间车长=速度差×追及时间
4．年龄问题差不变原理
5．鸡兔同笼假设法的解题思想
6．牛吃草问题原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间
7．平均数问题
8．盈亏问题分析差量关系
9．和差问题
10．和倍问题
11．差倍问题
12．逆推问题还原法，从结果入手
13．代换问题列表消元法等价条件代换
五、行程问题
1．相遇问题路程和=速度和×相遇时间
2．追及问题路程差=速度差×追及时间
3．流水行船顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
4．多次相遇线型路程：甲乙共行全程数=相遇次数×2-1环型路程：甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数
5．环形跑道
6．行程问题中正反比例关系的应用路程一定，速度和时间成反比。速度一定，路程和时间成正比。时间一定，路程和速度成正比。
7．钟面上的追及问题。①时针和分针成直线；②时针和分针成直角。
8．结合分数、工程、和差问题的一些类型。
9．行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
六、计数问题
1．加法原理：分类枚举
2．乘法原理：排列组合
3．容斥原理
4．抽屉原理：至多至少问题
5．握手问题在图形计数中应用广泛
七、分数问题
1．量率对应
2．以不变量为“1”
3．利润问题
4．浓度问题倒三角原理例：
5．工程问题
①合作问题
②水池进出水问题
6．按比例分配
八、方程解题
九、找规律
十、算式谜
1．填充型
2．替代型
3．填运算符号
4．横式变竖式
5．结合数论知识点
十一、数阵问题
1．相等和值问题
2．数列分组⑴知行列数，求某数⑵知某数，求行列数
3．幻方
⑴奇阶幻方问题：杨辉法罗伯法
⑵偶阶幻方问题：
双偶阶：对称交换法
单偶阶：同心方阵法
十二、二进制
1．二进制计数法
①二进制位值原则
②二进制数与十进制数的互相转化
③二进制的运算
2．其它进制（十六进制）
十三、一笔画
1．一笔画定理：
⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点；
⑵两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出；
2．哈密尔顿圈与哈密尔顿链
3．多笔画定理笔画数
十四、逻辑推理
1．等价条件的转换
2．列表法
3．对阵图竞赛问题，涉及体育比赛常识
十五、火柴棒问题
1．移动火柴棒改变图形个数
2．移动火柴棒改变算式，使之成立
十六、智力问题
1．突破思维定势
2．某些特殊情境问题
运筹学对偶问题篇7
新的一年金融市场开局不利，一片哀戚，很多人认为初创企业或许是未来创造就业和促进增长的希望。虽然我们都认同，对任何经济体来说中小企业都是制造就业岗位的主力，可是它们常常热情有余而资金不足。
传统的股票市场都是为大企业提供融资，而中小企业要靠持久的盈利并做出名气，才能找到赞助人和资金，好支撑到上市。
因此，众筹现在成了初创企业融资的热点。可是直到最近，除非经过证券监管当局许可，向公众（即超过一定数量的合伙人）以可交易证券形式进行股权融资是违法的。这个过程不仅成本高昂，也很难管理。
众筹最早在美国流行，刚开始是通过网络平台向公众进行小额的慈善募捐（和政治募款）。
美国证监会3月初批准自2016年5月1日起公司可以通过众筹向大众投资者发售证券。这是中小企业融资渠道的革命性变化，投资者也将能够购买初创企业的股权。
传统上，初创企业的资金都来自家人朋友。随着互联网的普及，有些初创企业尝试从陌生人那里获得资本，也因此催生出了一些平台，想要成为“初创企业交易所”帮助中小企业进行众筹。投资于此类未受监管的平台有两层风险：投资的公司或平台本身可能涉嫌诈骗。中国很多未受监管的p2p平台纷纷关闭，其中不少都涉嫌欺诈，使得p2p不断失去投资者信任。
为保护公众，美国证监会通常禁止公司和私募基金发售证券，除非交易在证监会注册或获准免于注册。豁免只适用于少数证券，如有较高风险的对冲或风投基金，并且只适合于“合格投资者”。
“足够富裕”的定义是，年收入在20万美元（或30万美元包括配偶收入）以及包括配偶财富在内的净财富值（不包含主要居所）超过100万美元。在香港，职业投资者的定义是需要超过800万港元净资产。
但是在众筹领域，任何人都可以投资这些初创企业。美国证监会如何保护投资者？从两个方面。一是告诉投资者如何判断自己的投资风险。二是确保众筹平台由受证监会或美国金融业监管局（FinRa）监管的券商或融资门户运作。
与合格投资者的定义一样，每个众筹投资者都应当知道自己在任何一个12个月的期间内能够承担的投资限度。投资人要接受收入和财富审核。如果他们的收入或净财富低于10万美元（主要居所除外），那么他们一年最多可以投资2000美元购买众筹股权，或是年收入或净财富的5%，以较低者为准。如果年收入或净财富超过10万美元，那么投资者可用于众筹投资的金额不超过年收入或净财富的10%，取较低值，但总额不应超过10万美元。
众筹的融资门户或券商虽然有监管，欺诈的可能性只能说是下降但并非完全消除。公司或初创企业不能直接从公众进行众筹，而必须使用受监管的门户或券商。
此外，出于自我保护的考虑，众筹投资人应充分理解其中涉及的高风险，进行充分的调研，理解自己投资或购买的项目。
投资者需要充分了解投机风险、流动性不足、撤资限制、估值困难、信息披露有限、欺诈、缺少专业建议等风险，以及最重要的是要明白，自己投资的不是资产，而是个人或团队。年轻的初创企业会屡屡犯错，不管是技术的、法律的，还是对人才的基本管理。因此，这些资产的风险可能非常高，成功几率或许很小。
好消息是，一旦美国证监会开始率先明确对众筹的规定，亚洲其他监管机构就能够调整这些规定，帮助创造适合本土的众筹生态。去年，马来西亚证监会出台了一些指导原则为股权众筹提供便利。香港证监会2014年也就此进行了磋商，虽然尚未制定出适用于众筹的具体法律法规。
亚洲各国的政策制定者常常高谈培养中小企业的必要性，但实际行动如何呢？砸钱并不是正确的解决方法。就连市场都缺少理解初创企业面临的实际困难的能力，更不用说官员和官僚机构。减少中小企业面临的障碍需要不同机构、部门和监管层面的协同努力，也需要动员学界、商界和社会组织的能力。
如果我们不能帮助年轻人把他们的热情投入在创业中，我们又怎么能怪他们转向街头闹事呢？
运筹学对偶问题篇8
【论文摘要】本文浅谈了运筹学的内容和特点，并对其教学内容和讲授方式的改进进行了探讨。
运筹学是一门应用性很强的边缘学科，其主要研究对象是管理问题，研究的基本工具是数学。运筹学也被称为管理科学。
运筹学起源于20世纪30年代，通常认为运筹学的应用是第二次世界大战早期从军事部门开始的。运筹学发展至今已形成了较完整的学科体系，并在社会经济各个方面都有着广泛的应用。例如军事、能源、生态与环境、运输、城市规划、教育、工业、农业、商业等各个系统都用到运筹学的各种方法进行规划管理。近年来，由于计算机快速发展，运筹学能够解决规模更大、更复杂的问题。随着运筹学的广泛应用，运筹学的各种理论、方法不断地丰富，并形成了运筹学的许多分支。
本文根据以上运筹学的应用性和发展趋势，简单介绍了运筹学的内容和特点，并重点探讨了运筹学教学内容和讲授方式的改革问题。
一、运筹学的内容和特点
1．运筹学的内容
一般来说，运筹学可分为规划理论、决策理论、随机理论。其中规划理论包括线性规划、非线性规划、目标规划、动态规划等，主要解决资源的优化利用和配置、最佳路线的确定、非线性系统的优化等问题。决策理论包括对策论、决策论、图与网络、网路计划技术等，主要解决管理领域的各种复杂的决策问题。随机理论包括的领域更加广泛，如排队论、存储论、仿真技术、为序更新理论、可靠性和质量管理等分支，它主要解决随机系统、模糊系统以及不确定系统的复杂问题。由此可见，运筹学是具有许多分支、方法和应用广泛的一门学科。
2．运筹学的特点
（1）运筹学是基于数学的一门学科。运筹学实际上是用数学方法研究在一定的约束条件下，具有某些目标的优化问题。如经济、管理和国防等部门在内外环境的约束条件下合理分配人力、物力、财力等资源问题。它是充分利用数学工具，将实际系统的复杂问题尽量做到定量化，实现决策的科学化。
（2）运筹学的发展与实际应用息息相关。运筹学的产生起源于军事问题，后来逐渐形成自己的理论体系，同时被应用到社会、经济、工业、农业等各个领域。
（3）运筹学是一门边缘学科。运筹学在发展过程中，吸收了很多其他学科的成果，如系统工程、管理科学、计算机技术等学科的思想、方法和技术，不断丰富了自己的内容，形成了较完善的边缘学科体系，与很多学科的关系变得越来越紧密。
（4）运筹学的领域越来越大。近20年来，随着计算机的发展，出现了许多运筹学的新分支及新算法，例如规划论中的随机规划和模糊规划及线性规划的一些新算法，决策支持系统及专家系统、mRp理论、模拟技术、遗传算法等。运筹学正在加快扩展自己的应用领域。
（5）运筹学的发展促进了很多相关学科的发展。从前，运筹学的应用领域一般局限在军事、工业、农业等有限的部门，但目前逐渐扩展到社会、文化、服务等领域，如生态与环境、城市规划、服务行业、教育部门等各个系统都利用运筹学的各种方法进行定量的规划，这些部门不断的吸收运筹学的思想和方法，把定性和定量相结合，实现现代化和科学化。
二、运筹学教学的改革
1．运筹学教学改革的必要性
由于运筹学具有上述的内容和特点，国内外大学的很多院系将运筹学作为必修课，运筹学已成为大学管理类的核心课程和其他课程的基础。但我国各大专院校所开设的运筹学课程，其内容庞杂，授课方法陈旧，很难适应快速发展的学科建设和应用需要。因此，必须对大学运筹学的教学内容和教学方法进行改革。
（1）因为运筹学发展迅速，分支内容越来越多，新理论和算法层出不穷，所以必须对讲授内容进行一定的取舍。取舍的标准应放在有利于学生的思维方式、分析和应用能力的培养和提高，以及对解决实际问题有指导意义，在后续课程使用较多的内容上，即在实际应用中，以比较常用为标准。
（2）因为运筹学的各种应用范围不断扩大，必须对运筹学的内容进行调整和改革。
（3）随着计算机技术等高新技术的发展，教学手段也越来越先进和丰富，特别是像运筹学这样的理论推导繁琐、各种算法的计算过程复杂，更应该使用先进的教学手段和方法来提高授课的效率，即应该对现行的教学方法进行改革。
2．运筹学的改革内容
（1）根据运筹学应用情况的统计调查，对运筹学分支的调整和取舍。不同的年代，运筹学的应用情况也不同。20世纪六、七十年代是运筹学开始普及和迅速发展的时期，这个时期运筹学应用情况的排序是数学规划、排队论、决策论、存储论、网络计划技术、可靠性理论等。我国现行的大部分教材基本上按以上的排序形成体系，并安排内容。例如使用较广泛的运筹学教材《运筹学》（清华大学出版社）、《运筹学教程》（清华大学出版社）的主要内容都是包括线性规划、动态规划、图与网络分析、网络计划技术、排队论、存储论、对策论、决策分析等章节。但是，20世纪80年代以后，特别是90年代这些排序已发生了很大变化。据统计，90年代运筹学的应用排序为数学规划、统计方法、模拟技术、排队论、决策分析、随机过程、网络分析、建模技术等，而且目前人工智能和专家系统得到越来越广泛的应用。因此，在教学过程中，为了紧跟时展及解决实际问题的需要，对运筹学分支进行及时的调整和取舍。如减少排队论的理论课时，增加统计方法和模拟技术的课程时数，确保让学生及时了解现代运筹学的应用情况和发展趋势。
（2）根据运筹学的应用需要，对运筹学每个分支的讲授内容进行调整。线性规划是运筹学的一个重要分支，也是应用最广泛的一个分支。但具体讲授时，在线性规划的众多内容中，将侧重点放在哪里是一个重要的问题。因此，在讲授中，在保持线性规划体系的基础上，应强调影子价格和灵敏度分析的内容。因为影子价格在经济分析中具有重要意义，应讲清影子价格的概念及其在经济分析中的应用。在实际的线性规划模型中，其系数经常会随着条件的改变而变动，这些系数变动对最优解和决策影响较大，灵敏度分析及参数线性规划就是解决此类问题的方法。但在现行运筹学教材和大纲中，对这些内容强调的不够，而且很多教师讲课时都忽略这部分内容，这是不可取的。转贴于
（3）根据专业的特点，强调运筹学的应用。管理专业的主要任务是应用运筹学等各种理论和方法来解决复杂的管理问题。因此，在运筹学的讲授中应特别强调运筹学的应用。如实际问题的线性规划模型建立、整数规划和目标规划及运输问题的应用。随机规划和模拟技术的引入和介绍都是为了强调让学生重视理论与实践相结合，提高学生解决实际问题的能力。
（4）注重定性和定量方法相结合。由于许多系统涉及到技术、经济、心理、偏好等综合因素，解决这类问题光靠定量方法是不够的。应该将运筹学等常用的定量方法和非数学方法（定性）相结合，才能够很好的解决实际问题。层次分析法就是一种定性和定量相结合的一种决策方法。这些看起来简单和粗糙的方法，对解决一些结构不十分明确、复杂的问题来说确实是一种可行和有效的方法。对于这些新思想和新方法，在运筹学教学中应给以足够的重视。在教学过程中将这些定性方法介绍给学生，以便拓宽学生的应用知识范围。
（5）强调计算机模拟技术在运筹学中的作用。近年来运筹学的应用已扩展到大规模复杂系统问题的领域，如大型能源规划、生态与环境规划、区域经济规划等很多领域。对于这类复杂系统建立严格的数学模型、求解都比较困难。用计算机模拟来解决这些问题是一种非常有效的方法。运用计算机对系统进行模拟，容易得到多种可行方案和相应的系统性能指标，为决策服务。尽管模拟不是一种很精确的技术，其提供的仅仅是一个统计估计，而不是一个精确解，但计算机模拟耗费时间短，费用较低，对那些无法用解析方法解决的问题可以得到解决。因此，强调和注重计算机模拟技术在运筹学中的应用非常重要。
3．运筹学教学方面的改革
（1）保持教学严格性的同时，重点解决学生的理解和应用。数学的严格性众所周知，运筹学的理论也是如此。但如果片面地追求严格性，对于管理专业的学生来说接受困难，可能产生负面影响。因此，在具体讲课时，对于重要的定理采取严格的讲授，对于次要的定理尽量避免繁琐的推导，而强调这些定理的内容理解和实际应用。如在线性规划中，单纯形法是一种有效的算法，单纯形法原理及对偶理论需要讲清讲透应该让学生掌握，因为它是灵敏度分析的基础。而对灵敏度分析、整数规划等内容强调其基本思想和应用，减少不必要的数学推导，可得到事半功倍的效果。
（2）通过案例的分析和讨论，提高学生的理解程度和分析能力。运筹学是一门应用性很强的学科，它具有较丰富的实际案例。如果将这些实例和教学相结合定能得到良好的效果。如动态规划是研究多阶段决策过程最优化的一种方法，许多实际问题都可以化为一个多阶段决策过程，所以在解决一些实际问题时，动态规划经常被使用。但在教学过程中发现，学生普遍感到建立动态规划模型比较困难，因为对于一个实际问题，如何确定状态变量、决策变量、状态转移方程没有一般方法。为了解决这个问题，可以精选典型案例，多组织案例分析课，通过这些案例，学生可以正确掌握如何确定状态变量、决策变量、状态转移方程。
案例分析是国外先进国家经常采用的教学方法，有很好的教学效果。我国的教材体系也重视教学案例的组织和完善。
（3）在教学中，强化计算机的应用。运筹学的大部分问题算法复杂、计算量大，靠人工计算非常困难，而计算机具有计算速度快、准确等优点，它是解决运筹学问题的重要工具。目前已有很多解决运筹学问题的计算机软件。因此，将运筹学的问题变成计算机模型，具有重要意义。在教学中，要把实际问题转化成运筹学模型作为重点，增加讲授使用计算机软件的课时，以便使学生尽快用计算机进行求解。
参考文献
1吴育华、何雁群.运筹学在工业工程中的应用［J］.工业工程，1999（4）
2《运筹学》教材编写组.运筹学（第三版）［m］.北京：清华大学出版社，2005
3胡运权.运筹学教程［m］.北京：清华大学出版社，1998
运筹学对偶问题篇9
关键词运筹学实验教学教学模式实验内容实验考核
中图分类号：G712文献标识码：a
1引言
运筹学是一门应用科学，在我国管理百科全书中的定义为：“运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理”。它是一门定性分析与定量方法相结合的综合应用科学，广泛应用现有的教学方法、软件技术和计算机等工具，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优或较优决策提供定量依据。
国内高等院校运筹学课程最初主要开设在数学等理工类专业，比较注重让学生掌握运筹学的原理和模型算法，对学生的数学水平和逻辑推理能力要求很高。但对于财经类专业学生来说，开设运筹学课程的目的主要是要求他们了解运筹学理论的主要思想，并能灵活运用运筹学方法去分析和解决财经管理中的实际问题。而实验教学正是能够充分体现这一教学目标，同时也是实现这一教学目标的重要手段。抓好运筹学的实验教学意义重大。
财经类专业的学生与一般理工类专业学生的学习模式和习惯都有较大差异。传统运筹学在建立、求解模型的过程中不可避免地要进行复杂的运筹学理论的证明以及算法的讲解，这很容易使得一些财经类专业的学生产生畏难心理，丧失信心，失去学习动力。
因此，在运筹学理论教学过程中引入实验教学，在强调运筹学基本理论、方法教学的同时，增设上机实验内容，可以突出学生利用运筹学思想分析问题、利用计算机作为工具来解决问题的能力培养，真正体现从管理实际出发，把运筹学看作一种解决实际问题的方法来学习。
运筹学实验教学可以让学生应用所学理论方法解决本专业相关问题，在应用中理解消化吸收理模型与算法，培养学习热情和进一步钻研的兴趣。通过实验教学，可以使学生能够运用运筹学的思想、原理、方法去分析和解决实际工作中存在的大量最优化问题，有助于提高学生独立解决实际问题、管理决策及科研能力。
因此，实验教学对于财经类专业学生学习并掌握这门课的基本理论方法和技巧有重要作用。
2财经类专业运筹学实验教学普遍存在的问题分析
在实际教学过程中，高校财经类专业运筹学实验教学普遍存在共性问题，运筹学课程强调“定量与优化”，对于财经类专业还需要强调“理论与实践相结合”、“理论与专业知识”相结合，但是目前运筹学课程实验教学过程中对这些特点的把握仍略显不足，归纳起来有以下几点：
2.1课程教学模式单一，实验教学重视程度不够
运筹学的教学方法仍然停留在传统的粉笔加黑板板书或幻灯片播放的模式上，教学内容主要是对于概念的解释、定理公式的的推导证明、手工计算分析，运筹学的数学推理成分很重，对于运筹学的应用及分析问题、解决问题方法的讲授偏少，缺乏实践性环节。这样的教学模式虽然有利于学生掌握运筹学各分支的基本理论，基本模型以及模型求解方法，但是忽略了运筹学模型“来自实践、用于实践”的学科发展脉络，忽视模型方法以及结论的经济学管理学解释，由于缺乏实际问题建模分析应用的实验教学过程，学生在学完后缺乏应用运筹学解决专业问题的兴趣和能力，最终运筹学课程的价值没有得到充分发挥。
2.2实验教学内容古老陈旧单调，缺乏吸引力
目前的教学实践中，虽然一些教师认识到实验教学的重要性，并设计了一些实验教学内容，但是实验的内容往往古老陈旧，不能与当前社会生产生活的实际紧密结合，缺乏新意和吸引力。另外由于财经类专业学生计算机基础差异较大，缺乏通用的实验教学软件和实验教材，教师往往只能根据学生素养，就低不就高，只能介绍比较简单的优化软件去处理较为抽象简单的问题。实验教学内容单调乏味，使得学生做实验应付差事，把题目中的参数输入应用软件，得到了结果，并不分析模型和结果的应用价值和实践意义。
2.3财经类专业运筹学课程课时偏少，无法挤出足够的实验时间
财经类运筹学教材以讲述理论为主，需要高等数学、线性代数与概率论数理统计为其基础，对数学基础要求较高，而财经类专业文理兼收，学生的数学基础差距较大。如果对于基础理论的讲解过于粗陋，学生对于复杂有难度的模型必然不知所云，很难理解思想精华，因此，理论讲解如果大幅压缩时间则不可能有良好效果。财经类专业运筹学课程的学时通常只有48学时或者32学时，大部分教师在课时如此之短的状况下，只有压缩实验教学时间，甚至只能要求学生课下自己动手学习软件和进行相关实验。
2.4运筹学实验教学考核存在困难
财经类专业运筹学实验课的成绩不容易考核，这是实验教学开展困难的阻力因素之一。目前的教学实践缺乏对于学生学习效果的一套客观、细致、公平的实验考核标准。尤其是对学生解决综合的复杂优化问题能力的考核，是运筹学实验教学的一个难点问题。
综上所述，财经类专业运筹学实验教学中的这些现实问题，严重影响着运筹学实验教学的效果，限制了对学生分析、解决实际问题能力的塑造。
3关于改进财经类专业运筹学实验教学效果的探讨
3.1对教学大纲再设计，重新修订课程教学内容，因材施教，增加实验教学时间
运筹学作为一门解决优化问题的基础课程，涉及到线性规划以及对偶理论、动态规划、非线性规划、图论与网络、排队论、存储论、决策分析、模拟与预测等问题，内容庞杂而且难度较大。而财经类专业学生普遍存在数学基础不牢，计算机操作应用能力较弱的特点，因此，必须在教学大纲上面要进行缜密的设计，分类教学，对于不同学时的课堂，结合学生基础和专业需要，合理安排理论讲授内容，例如，对于32学时课堂，在讲解单纯性方法的理论前提时，只要说明思想即可，减少证明时间。最终目的是在保证理论教学效果的条件下挤出必要的实验教学时间。
3.2更新实验内容，提升学生动手解决专业实际问题的能力
兴趣是最好的引导，要让学生认识到课程实验对其专业学习以及未来工作的作用。教师可以结合运筹学前沿，介绍一些最新的发展动态，使学生认识到自身专业的最新发展大多都广泛地运用了运筹学的工具，激发学生动手采用运筹学模型方法解决专业问题。
具体到实验内容，第一要考虑到大部分财经类专业学生计算机基础较差，计算机软件的使用以及编程能力较弱，因此要结合学生实际采用不同的优化软件来教学。软件教学，使教师在课堂教学中可以简化一些复杂的理论推导过程，节省课时，改善教学互动，并专注于学生解决问题能力的培养。根据笔者的教学实践，根据不同计算机编程基础的学生可以采用管理科学家、eXCeL、lingo、matlab等不同的软件。第二，验内容分为教师演示引导和学生操作两类。教师引导实验以介绍优化软件基本操作和经典理论模型求解为主，学生操作实验以进行与其专业相关的实际案例建模分析为主。第三，成立运筹应用小组，笔者实际教学中，组织学生以3-4人为一组，引入大型复杂的优化建模，并要求撰写数学建模报告。该形式促进了学生处理复杂问题的能力，锻炼了团队合作精神，从而为将来工作学习中解决实际高维复杂问题打好能力基础。
3.3实验教学考核形式多样化、评价指标要具体可行
笔者教学实践中考核方式主要有软件应用、经典模型软件求解、大型复杂优化问题建模等部分。软件应用主要考核语句语法操作以及编程熟练程度，经典模型软件求解主要考核将理论模型解出并进行经济学管理学专业解释。大型复杂优化问题建模主要考核学生综合运用运筹学模型的能力，考察解决实际问题的模型抽象、数据提取、模型求解、模型应用的综合能力。每一个部分都要提交实验报告，最后归总打分确定实验成绩。
本文受到中南财经政法大学实验教学项目“运筹学实验课程教学中外比较研究”资助。
参考文献
[1]胡运权.运筹学教程（第四版）[m].北京：清华大学出版社，2010.
[2]吕一兵.信息与计算科学专业运筹学教学改革研究[J]，教育教学论坛，2013（3）：91-92.
运筹学对偶问题篇10
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