数学思想方法的应用篇1
关键词：高中数学数学思想方法应用
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而通常我们解题就是把要解的题变化为已经解过的题，然后用熟悉的题型去“套”，这样会使我们的做题速度加快，并且能够提高正确率，以达到事半功倍的效果。可是当真正遇到一些新题型，或者新解法时，我们又不能把它“套”进以前所见过的熟悉题型，这时该怎么办呢？只有多了解一些高中数学常用的数学思想方法，并且将它们融会贯通，灵活应用到每一道题里面，我们才能够提出新看法、找出巧解法。高考试题也十分重视对于数学思想方法应用的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想。因此，我们在平常训练时要有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题，养成良好的习惯，培养自身的数学素质，提高自己数学研究方面的能力。
一、数形结合的思想方法
数形结合的思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在应用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
例：若方程lg（-x+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）内有唯一解，求实数m的取值范围.
分析：将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解题.
解：原方程变形为3-x＞0-x+3x-m=3-x
即：3-x＞0（x-2）=1-m
设曲线y=（x-2），x∈（0，3）和直线y=1-m，图像如图所示.由图可知：
①当1-m=0时，有唯一解，m=1;
②当1≤1-m＜4时，有唯一解，即-3＜m≤0.
m=1或-3＜m≤0
此题也可设曲线y=-（x-2）+1，x∈（0，3）和直线y=m后画出图像求解.
注:一般的，对方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。
二、分类讨论的思想方法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
引起分类讨论的原因主要有以下几个方面。
1.问题所涉及的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a＞0、a=0、a＜0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
2.问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
3.解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax＞2时，分a＞0、a=0和a＜0三种情况讨论。这称为含参型。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象，以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重；再次对其逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
例：设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|log（1-x）|与|log（1+x）|的大小.
分析：比较对数大小，应用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论.
解：0＜x＜1
0＜1-x＜1，1+x＞1
①当0＜a＜1时，log（1-x）＞0，log（1+x）＜0，所以
|log（1-x）|-|log（1+x）|=log（1-x）-［-log（1+x）］=log（1-x）＞0；
②当a＞1时，log（1-x）＜0，log（1+x）＞0，所以
|log（1-x）|-|log（1+x）|=-log（1-x）-log（1+x）=-log（1-x）＞0；
由①、②可知，|log（1-x）|＞|log（1+x）|.
三、函数与方程的思想方法
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，应用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还能实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差数列、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
例：若（z-x）-4（x-y）（y-z）=0，求证：x、y、z成等差数列.
分析：观察题设，发现正好是判别式b-4ac=0的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解.
证明：当x=y时，可得x=z，x、y、z成等差数列.
当x≠y时，设方程（x-y）t-（z-x）t+（y-z）=0，由=0得t=t，并易知t=1是方程的根.
t•t==1，即2y=x+z，x、y、z成等差数列.
四、等价转化的思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。转化有等价转化与非等价转化。因此我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时既确保其等价性，又要保证逻辑上的正确性。
在实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
例：若x、y、z∈R且x+y+z=1，求（-1）（-1）（-1）的最小值.
分析：由已知x+y+z=1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x+y+z，或者应用均值不等式后含xyz的形式.所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化.
解：（-1）（-1）（-1）=（1-x）（1-y）（1-z）
=（1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz）=（xy+yz+zx-xyz）
=++-1≥3-1=-1≥-1
=8
注：对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求++的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。
参考文献：
［1］施献慧.数形结合思想在数学解题中的应用［J］.云南教育，2003，（35）.
［2］徐望斌.对解题教学中分类讨论思想方法的探讨［J］.湖北师范学院学报（自然科学版），2005，（4）.
［3］陈许生.例谈函数与方程思想解高考题［J］.科技信息，2011，（10）.
数学思想方法的应用篇2
数学思想蕴涵在数学知识的形成、发展和应用过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
小学数学中常见的基本数学思想方法有：转化思想、集合思想、数形结合思想、函数思想。符号化思想、对应思想、归纳思想、模型思想、统计思想、极限思想等。下面谈谈几种常见的思想方法及其应用。
一、集合的思想方法
集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。
如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边形集合等。
二、对应的思想方法
对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。
如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。
三、数形结合的思想方法
数和形是数学研究的两个主要对象，数寓不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方而复杂的形体可以用简单的数量关系表示。
“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所做的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问--题时常用的方法。
例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。
四、函数的思想方法
我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是用运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。
函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好地渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。
五、极限的思想方法
事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。
现行小学教材中还有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数…‘奇数”“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1÷3＝0．333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时。可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
六、化归的思想方法
化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，以求得解决。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助的。任何数学问胚的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。化归是基本而典型的数学思想。我们实施教学时，也经常用到它，如化生为熟、化难为易、化繁为简、化曲为直等。
如：小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；异分母分数加减法化归为同分母分数加减法；异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等；在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。
七、归纳的思想方法
在研究一般性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时运用归纳思想，既可以由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。
如：在教学“三角形内角和”时，先由直角三角形、等边三角形算出其内角和度数，再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和，最后归纳得出所有三角形的内角和为180度。这就运用了归纳的思想方法。
八、符号化的思想方法
在全球信息化，科技高度发展的时代，符号思想在世界得到广泛交流和重视。数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。人教版教材从一年级就开始用“口”或“()”代替变量x，让学生在其中填数。例如：l+2=口，6+()=8，7=口+口+口+口+口+口+口；再如：学校有7个球，又买来4个。现在有多少个?要学生填出口口=口(个)。在四年级上册教材“角的度量”单元中，介绍角通常用符号“∠”表示；角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。
九、统计的思想方法
在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问题，就要把收集到的一些原始数据加以归类整理，从而推理研究对象的整体特征，这就是统计的思想和方法。小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。
十、数学模型思想方法
所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。
数学思想方法的应用篇3
一、注重引导，抓住学习关键
数学关键就在一个悟字，所谓悟，就是开窍，如何开窍，就要求讲师不要只讲题目的做法，而是包括，是怎么想到要这么做的，以引导学生去理解，去悟，对于初等数学，本人的看法是随便怎么做，因为初等数学的试题必然有解，必然是可以通过所给条件经过n多步骤推出来，不信可以试试，拿一道，先什么都不要管，只管把已知条件以全排列方式组合，以推出新的条件，再将所得条件组合，再推，直到最后推无可推，你会发现题目所求就在其中，甚至简单的可能是离最终结论还有n步，复杂的估计也就是最终结论了，所以以高考为目的的初等数学题目是不经做的，因为只要你做，就一定能做出来，而之所以很多学生觉得难，没处着笔，不知道改该怎么做，很大一部分是因为懒，不愿动笔，而只是呆看，简单的能看出来，复杂的是很难看出来的，如果说那种直接推导的办法太耗时间，那么只能说是因为不熟练，一旦题目做多了，思维形成了，差不多就可以一眼看出来，顶多推两步，就知道后面的怎么推了，从而省略了n多的分支，古往今来的题海战术不是没有依据的，熟能生巧，见得多了，做的多了，自然可以找到某种规律
二、要正确处理本课程的自身逻辑系统与相关课程的关系
初数研究课在研究初等数学问题时，大多采用专题讨论的方法，都有一套完整的体系。如果过分强调自身完整的逻辑系统，容易导致不同学科、不同课程的内客及方法有很多重复和交叉。
如数与初等数论中的相关内容，解析式的恒等变形，方程、不等式的解法与证明，几何证题法与证题术排列、组合及数列的一些解题方法等。如果不处理好它们之间的关系，只是简单地追求各门课程自身体系的完整，既不利于学生整体数学思想的建立，又制约了他们数学综合运用能力的提高，同时占用了很多的课时，所以，对于相关课程中己作详尽讨论过的知识及理论，应作为工具来应用，避免一些不必要的重复。
三、变被动式学习为主动式学习
1.知识系统的探究
初数研究课涉及大量的理论，教师讲、学生听的传统教学模式既占用课时多，又难以体现学生的主体性。因此对理论性较强的内容，教师可以先提出一些切题的问题作为一堂课的锲子，留待后面逐个解决。这些问题将整个教学内容串起来，起到提纲挚领的作用，使学生明确学习目标，集中学习资源（如本课程及相关课程的教村及参考书）有针对性地去探究问题，然后教师组织学生对探究的结果进行归纳整理，形成较完整的知识体系。当然一个问题的解诀并非探究的终结，在探究过程中教师与学生都可以提出一些新问题，延续学生探究的热情，在合作交流的民主和谐的氛围里，尽可能地让学生走向自由探究。
2.解题方法的探究
从学生的认知角度未说，解题过程是独立的发现、探索与积极思考的过程，这种探索过程中所形成的意识和思维，就是真正的创造与发现。应该说，解题教学是中学数学教学的主要任务之一，设置初数研究课程的目的之一，就是结合中学实际对解题作专门的训练。
3.条件与结论的探究
数学思想方法的应用篇4
一、用字母表示数的思想方法
引入字母表示数，是从算术到代数的重要标志之一.正确理解用字母表示数的意义，是学好数学基础知识的基本要求，也是认识上的一个转折点.例如，设n是整数，那么偶数就可表示为2n，被9整除的数可表示为9n.
二、从“特殊到一般”，再从“一般到特殊”的数学思想方法
从简单的、个别的、特殊的情况去研究、探索、归纳出一般的规律和性质（即构建一定的数学模型），然后应用一般的规律和性质去解决特殊的问题，这是数学中常用的思想方法.列代数式和求代数式的值，体现了这种思维方法.
例1某校开运动会，需要买一批笔记本和圆珠笔，笔记本要买40本，圆珠笔买若干支.王老师去了两家文具店，笔记本和圆珠笔的零售价分别为3元和2元，但甲文具店的营业员说：“若笔记本按零售价，那么圆珠笔可按零售价的7折优惠.”乙文具店的营业员说：“笔记本和圆珠笔都可按零售价的8折优惠.”（1）若学校需要买圆珠笔80支，你认为王老师去哪家文具店较合算？可节省多少钱？（2）设要买的圆珠笔为x支，试用代数式表示甲、乙两家文具店的收费.
解析：（1）若买圆珠笔80支，甲文具店收费3×40+2×80×70%=232元；乙文具店收费（3×40+2×80）×80%=224元.故选乙文具店合算，可节省232-224=8元.（2）甲文具店收费：3×40+2x・70%=120+1.4x（元）；乙文具店收费：（3×40+2x）・80%=96+1.6x（元）.
三、方程思想
方程思想是指，对所要求解的数学问题，利用已知量和未知量的联系列出方程，通过解方程，使问题获解的思维方式.
四、分类讨论思想
当被研究的问题包含多种情况，又不能一概而论时，必须按出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论.这种处理问题的思维方式就是分类讨论思想.分类时不重复、不遗漏，是分类讨论的基本要求.
例3某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品.经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投入其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问：根据商场的资金状况，如何购销获利较多？
解析：由于商场的投资金额直接影响着两种出售方式的获利多少，因此应对投资金额分情况进行讨论.设商场投资x元，则月初出售获利为：（1+15%）・x・（1+10%）-x=0.265x……①；月末出售获利为：（1+30%）x-700-x=0.3x-700……②.②-①，得0.3x-700-0.265x=0.035x-700.所以当0.035x-700=0，即x=20000时，月初出售与月末出售获利一样多；当x>20000时，月末出售获利多；当x
五、整体思想
整体思想是指，在解题时，从整体着手，把一些表面上看似彼此独立而实质上又紧密联系的量作为整体加以考虑的一种思维方法.运用这种思想方法，能使一些按常规解法不能解或比较繁难的问题迎刃而解.
六、数形结合思想
数形结合思想是指，在研究问题的过程中，由数思形、由形思数，把数与形结合起来分析问题的一种思想方法.运用数形结合思想解题，能使复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，收到简捷、明快之功效.
七、转化思想
转化思想是指，在研究和解决有关数学问题时，通过某种方式将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为易于求解的问题，将未知的问题转化为已知的问题.
数学思想方法的应用篇5
一、数形结合思想
数形结合思想是指将数（量）与形（图）结合起来，分析研究并解决问题的一种思维策略，利用平面直角坐标系，使平面上的点与有序数之间构成一一对应关系，直观形象，为分析问题和解决问题创造了有利条件。
例：某电信公司推广宽带网业务，用户通过宽带网可以享受影视欣赏、股市大户室等服务，其上网费用的收取方式有以下三种：
方案一：每月80元包月；
方案二：每月的上网时间x（h）与上网费用y（元）的函数关系如右图
方案三：以0小时为起点，每小时收取1.6元，月收费不超过120元。
设一用户上网时间为x（h），月上网总费用为y（元）。
（1）根据所给图形，写出方案二中y与x的函数关系式（0≤x≤100）；
（2）试写出方案三中y与x的函数关系式；
（3）试问：此用户每月上网60h，选用哪种方式上网费用最少？
分析：利用数形结合思想求解，根据图象可知函数是一个分段函数，当0≤x≤50时是一个常数函数，当50
解（1）当0≤x≤50时，y=58；当50
58=50k+b118=100k+b
解得k=，b=-2，故y=x-2，
（2）y=1.6x
y≤120，1.6x≤120，即x≤75，故x的取值范围是0≤x≤75.
（3）当x=60时，方案一的上网费用为80元；
方案二的上网费用为×60-2=70（元）；
方案三的上网费用为1.6x=1.6×60=96（元）.
故选用方案二上网，费用最少。
二、分类讨论思想
分类讨论法思想也是一种重要的数学思想，它在初中数学解题中有着广泛的应用，近些年的中考中占有重要的位置，特别在解压轴题时起很重要的作用。
例：某果品公司1月份销售a、B两种水果，a水果的吨数不少于B水果吨数的3倍，a水果每吨的利润为2000元，B水果每吨的利润为3000元，总利润可达90000元。根据1月份的销售情况，2月份公司销售部门提出了三种调价方案：
方案一：a水果每吨利润降低20%，销售量增加50%；B水果每吨利润降低50%，销售量增加80%；
方案二：a水果每吨利润降低25%，销售量增加60%；B水果每吨利润降低40%，销售量增加60%；
方案三：a水果每吨利润降低40%，销售量增加80%；B水果每吨利润降低30%，销售量增加50%；
（1）设1月份销售a种水果x，B种水果y，求y与x的函数关系式（x>0，y>0），并求出自变量x的取值范围；
（2）果品公司2月份提供的三种销售方案都一定比1月份的利润多吗？请说明理由；
（3）如果你是某公司的总经理，从增加利润的目标出发，你会选择哪一种方案？
分析：方案设计是一次函数的综合应用，在解答过程中，应对几种方案进行分类讨论以免漏解.
解（1）2000x+3000y=90000，y=30-x（30≤x
（2）w1=2400x+2700y，w2=2400x+2880y，w3=2160x+3150y，
显然，w3>2000x+3000y=90000，故方案三能增加利润；
w1=2400x+2700×（30-x）=600x+81000，又30≤x
所以w1的最小值为600×30+81000>90000，故方案一也能增加利润.
因为w2>w1，所以三种方案的利润均能比1月份多.
（3）因为w2>w1，故只须比较w2与w3的大小，
w2-w3=240x-270y=240x-270×（30-x）=420x-8100，又30≤x
所以w2>w3，故应选择方案二。
三、转化思想
数学解题的本质就是转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把一个综合问题转化为几个基本问题。
例：甲、乙两人行走的路程与时间的函数关系分别是正比例函数和一次函数，其图象如图所示，根据图象回答：
（1）甲、乙两人行走的路程s（千米）与时间t（时）的函数关系式；
（2）甲、乙两人的速度各是多少？
（3）谁晚出发，经过几小时可以追上？
解（1）设甲的函数关系式为s1=k1t.
由图可知，点p（5，20）在图象上，
20=5k1，k1=4，
s1=4t（0≤t≤5）.
乙的图象过点Q（1，0），p（5，20），设乙的函数关系式为s2=k2t+b.由待定系数法可求出k2=5，b=-5，s2=5t-5（0≤t≤5）.
（2）甲的速度为=4（千米/时），乙的速度为=5（千米/时）.
数学思想方法的应用篇6
一、数学思想和数学方法的关系
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程度时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。
二、数学思想和方法的不同层次要求
数学思想主要是让学生达到了解层次，包括数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在课标中并没有明确提出来，教师有必要指出来，让学生了解。数学方法有的只求了解，有的则要求理解或会运用。要求了解的方法有：分类法、类比法、反证法等；要求理解或会运用的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图像法等。
在教学中，要认真把握好“了解”“理解”“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生可能会觉得一些数学思想、方法抽象难懂、高深莫测，从而导致他们失去信心，给教学带来困难。
如初中几何，教材明确提出“反证法”的方法，且说明了运用“反证法”的一般步骤，有的教师可能会觉得有讲头，而详加讲解，并要求学生学会；但《课程标准》只是把“反证法”定位在“了解”的层次上，对照起来，这样的教学就失“度”了，拔高了，其结果是花费了许多教学时间，但收效甚微。
三、采用适当的方式教数学思想和数学方法
1.以数学知识为载体，渗透“思想”和“方法”
数学知识包括两方面，一方面是概念、法则、性质、公式、公理、定理等，另一方面是指思想和方法，而思想和方法是“由其内容所反映出来”，因而应该将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，并在过程中形成数学思想和方法。在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。
2.整体设计，由浅入深
数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易，因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深、由易到难分层次地进行数学思想、方法的教学。整体设计是由浅入深地组织教学的前提，只有从整体出发，才能充分把握思想和方法在什么时候、面对什么问题，需要浅教还是深教，也只有从整体出发，面对同类问题，体现逐步加深的过程，使学生循序渐进地更加有成效地获取完整的认识。
3.体现“特殊――一般――特殊”的思路
知识的掌握往往要经历“特殊――一般――特殊”的实践过程，思想和方法的掌握更是如此。这个过程要求教师从具体（特殊）的数学问题出发，在问题解决过程中形成一般性的思想或方法，但要明白这种思想和方法的意义，还需要学生回归到具体（特殊）的数学问题中去，只有这样，思想或方法才能在学生心中比较牢固地建立起来，在解决具体的数学问题时发挥指导作用。如此循环往复，学生的数学素养和解决问题的能力才能不断提升。
4.培养学生自我提炼思想和方法的能力
教学过程中，教师适时地提炼、概括数学思想和方法固然重要，但有意识地引导学生揣摩、提炼、概括数学思想和方法，培养学生的概括、分析的能力，更能使学生从“所知”到“所有”，使学生能够深切领会，对“理解”“会应用”层次的思想和方法尤其如此。
数学思想方法的应用篇7
一、数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形
或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
二、运用数形结合思想方法一般要遵循以下二个原则
（一）等价原则
等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化应是等价的，即对于所讨论的问题形与数所反映的反差关系应具有一致性，有时，由于图形的局限性、构图的粗糙和不准确，将对所讨论的问题产生影响，造成失误。
（二）、双向性原则
双向性原则是指几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性，能克服几何直观方法的许多局限性。
三、数形结合思想在高中数学教学中重要作用
（一）从新课程标准对“双基”的要求来看数形结合思想
首先引用一下《数学新课程标准》对数学中的“双基”的理解：教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，具体来说是：
1、强调对基本概念和基本思想的理解和掌握。对一些核心概念和基本思想（如函数，空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）都要贯穿高中教学的始终，由于数学的高度抽象性，要注重体现概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程。
2、重视基本技能训练。要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。
3、与时俱进地审视双基。随着时代和数学的发展，高中数学中的双基也在发生变化，例如统计、概率、导数、向量、算法等内容已成为高中数学的基础知识。对原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。如立体几何的教学可从不同视角展开。从整体到局部，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法（代数方法）处理有关问题；不等式教学要关注它的几何背景及应用；三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明……由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分挖掘它的教学功能和解题功能。
（二）从新课程标准对思维能力的要求来看数形结合思想
数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识：第一通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。第三通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。
四、解题方法指导
1.转换数与形的三条途径：
①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：
①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
五、运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意如下几点
在解题时，有时把数转化为形，以形直观地表达数来解决，往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化.但是，依赖图象直观解题，也要注意如下几个问题.
数学思想方法的应用篇8
关键词：初中数学思想；化归理论；实践应用
新时代的数学课改方向，着力于培养学生学习数学的思想和方法，尤其是新课程越来越普及，方法的归纳总结更成为了中学数学研究的重点，此时，各个中学数学教育中对于解题思想的研究越来越成为教育者共同关注的焦点。对解题方法有效的归纳总结有利于数学思维的形成，对数学学习的方法应用上有很大好处。初中学习数学的主要思想归纳为分类讨论、化归以及数形结合等。而几种数学思想当中最重要也最基础的就是化归思想，这种思想方法在学生整个初中阶段的学习都有涉及，可以有效帮助学生打通数学思想道路上的阻碍，帮助学生建立良好通畅的数学学习思想。
一、认识化归思想
1.1化归思想概念
在对初中数学进行教授过程中，将正在研究的数学课题或题目运用转化法将其简单化既是化归方法。这种转化法巧妙地将一道题目中的瓶颈问题得以转移，问题迎刃而解。直白地讲，就是将复杂的问题简单化，繁琐的步骤明了化，找到数学解题方法的捷径，归纳总结加以应用。数学解题过程中时刻保持这种解题思想的应用，就会常常有柳暗花明又一村的感觉，久而久之，自身的数学解题能力加强了，解题思想深化了，解题方法更好了。具体应用比如：很多数学问题往往题目复杂特殊，而且考察的知识点众多，越具有综合性，但利用化归的思想，就可以将题目拆分为几个点，使较综合的题目变得清晰明了，这样在解题时就不会偏离解题方向。由此可知，化归的思想方法并不像以往的解题方案直接看到题目不管三七二十一就开始解，而是首先对题目有一个宏观的把控，进而将其拆分、变形，使其变成几个小题目，解决起来更加得心应手。
虽然化归本身是一种数学解题思想方法，但运用化归方法时也有细的划分如：构造法、分解组合法、坐标法、消元法、图形变换法、换元法等等。解题时要注意合理运用化归的步骤：首先，看清题目，找到要进行化归的部分；其次，宏观掌握，清楚化归的最终目标，从而进行合理的化归应用；最后正确使用化归方法中的分支方法，避免偏颇，使问题得到有效简明的解决。总的来说，化归思想在中学数学中的应用，就是将各种解题思想归纳统一的结果。[1]
1.2化归方法的重要性
化归的数学思想之所以如此普遍地应用，正是因为它的可操作性很强，不论是简单还是复杂的数学问题，都可以运用这种方法来解题。例如，数学题目中很多的代数问题让学生们头疼，尤其是解方程，此时，运用化归的解题思想可以将方程分析为简易的形式，使复杂的方程组拆分为一元一次的形式或一元二次的形式，这样一来复杂的问题马上就变得简单了。同样，解方程式多加运用化归思想还可以将高次方程简化为低次的形式，分式题目变为整式形式等等。其实，这些方法在我们中学数学学习中屡见不鲜，只是我们现在统一把它们称为化归方法。虽然数学学习过程中，题目的种类多样，感觉总有做不完的题，但渐渐的我们可以发现，很多题目都是换汤不换药，只要我们掌握了一道题目，就相当于掌握了千百道题目，这就要求我们良好的运用数学解题思想，从而帮助我们更加快速高效地解决数学题目。
我们在中学数学学习中主要学习的就是代数和几何的运用。刚才我们分析了化归思想在代数中的运用，其实几何学习中化归思想也是得以重点使用的。例如，在对多边形的研究中，我们往往可以将一个较为复杂的图形分解为几个较容易分析的简单多边形，甚至将其转化为三角形、四边形的知识来加以解决，这样不仅使图形看上去更直观，就连解题时的步骤也更加简单明了。很多时候，我们在解决一个斜角的三角形问题时，就可以通过对其作高的方式将这个问题转化为直角三角形问题加以解决；在对梯形多边性问题加以解决时，也可以通过添加平行辅助线的形式，将问题简单化；解决圆形图形问题时，同样可以通过作垂线等方法来解决等等。这些方法其实都是化归思想的具体运用，同学们在解决数学题目时应多思考，用不同方法对题目加以分析，看待问题的角度不同往往解决方法也不同。同样的，如果在知识运用过程中发掘出了好方法，那么更应该温故而知新，让自己的学习方法得到巩固，这样才能更好更快的提高自己的学习效率。[2]
二、教学过程中积极运用化归的教学方式
2.1要重视化归思想
化归思想的应用不仅体现在学生解题方面，更体现在师生教学过程中的互动中，教师教学中对于解题方法的传授方式对学生影响很大。因此，教师们对于化归方法的教授要落到实处。与此同时，教育工作者更应在教学过程中强化和渗透学生对化归方法的使用。说到底，化归方法不只是一种方法，也是一种看待事物的思想，我们不应把眼光集中在一个角度去观察事物，而是应该全方位多角度地对事物加以分析，往往会发现，事物的变化与不变都是相对的。就如之前对代数与几何问题的分析就是如此，眼光的远近决定了问题的难易。同样地，在数学的教学过程中，教育者们应多加强化这一思想观念。[3]
2.2增强学生化归方法运用意识
要求学生强化化归方法使用意识之前，首先教师们就应该对这种思想加以深刻领悟，掌握化归思想并灵活变通，在教学过程中多举实例，并对学生进行正确领导，强化学生解题时化归思想的应用。不论是课堂活动还是解题时间，老师们的积极引导对学生化归思想的理解和深化都有重要意义。因此，在教学过程中，教师们应有意无意地让学生们对新旧知识的解决方法加以归纳总结，逐渐建立适合于自身的化归解题方法，提高解题效率。与此同时，同学们也应积极参与思考，增强化归思想的记忆，锻炼自身的解题思维，帮助大脑灵活运用知识。[4]
三、总结
通过以上对化归思想的研究分析发现，化归思想并不是一成不变的，也不是唯一的，只有学生们真正将其加以运用和实践并转化为属于自己的学习思想，才能真正为己所用。老师和同学们都应积极参与探究、自主学习，使学生和老师得以良好互动，化归思想才能更好地运用于课堂教学当中来。总而言之，化归思想在中学数学教育中有着举足轻重的地位，数学教育者和中学学生应真正重视这种思想方法的应用，这样才能对师生的教育学习道路起到良好的铺垫作用。
参考文献
[1]马艳，马贵.化归思想方法在中学数学教学中的应用――以解方程为例[J].北京教育学院学报（自然科学版），2012，03
[2]戴华君.浅议化归思想在初中数学教学中的应用[J].科教文汇（下旬刊），2011，05
数学思想方法的应用篇9
【关键词】高中数学；数学思想方法教学；有效应用
一、在知识形成过程中渗透数学思想方法
数学知识产生的过程就是数学思想形成的过程，所有的数学概念都是从感性向理性发展的抽象过程；所有的数学规律都是通过个别现象到常见现象归纳的过程。假如要把这些概念规律变得简单，教师就要引导学生不断分析探索，从概念知识形成和发展的规律入手研究其形成过程，这样就能让学生在掌握数学知识概念的同时强化自身的抽象概括和归纳思维，进一步强化自身的思维素质。所以，概念的形成，结论的推导和规律的总结都是渗透数学思想方法的好的方法方式。
1.延伸概念
数学概念是思维的细节点，是知识点的精华总结，是由感性到理性认识发展的成果。想要获得这类成果就需要通过分析研究，综合论证，互相比较，抽象思考，总结概括等多种思维进行加工，按照数学思想方法的引导得以实现。
2.延迟判断
知识链压缩之后可以形成判断，高中数学定理，概念，性质，规律，公理等都是具体的判断内容。高中数学教师要重视引导学生参与对这些内容的研究探索，发现推理的过程，要分清不同内容之间的因果联系，保证学生在实际判断的时候，可以回想起自己锻炼探索时的积极状态，由此记起相关知识点。
3.强化推理
重视推理就要从激活推理入手，要保证判断能够实现上下贯通，前后联接，要尽量从现有的判断当中获取更多的思维，不断活跃思维运转。
二、在解题过程中深化数学思想方法
高中数学学科的教学要求教师要重视对解题的正确引导，带领学生重点概括解题的思想方法。高中数学教学中的化归，建模，数形结合，类比等多种思想方法除了能够帮助学生分析题目内容，确定解题思路之外还能够带领学生的思维走向正确的思想意识。学生掌握其中一些思想方法之后，就能够加以转换运用掌握新的解题方法。数学思想方法在解题过程中的渗透，不仅能够锻炼学生的思维品质朝向合理的方向发展，更能使其思维变得科学灵活。
三、解决数学问题过程中数学思想方法的运用
解决数学问题的根本是要重视思考，由问题入手展开心里思考，在新的教学环境下引导学生明确学习目标的过程，通过思考和探索锻炼解决问题的能力。高中数学学科的问题解决除了重视问题的结果外，还考察问题的解决过程，对其整个思考环节的发展也比较关注。数学问题的解决是依照一定的思维对策展开思考的过程，在解决高中数学问题的过程中不仅运用了抽象思维，归纳总结，类比分析等思维形式，更是运用了直觉，感觉等非逻辑思维解决数学问题。
问题是数学课程中的关键内容，解决数学问题的过程说白了就是不断变化命题和反复运用数学思想方法的过程。数学思想方法是解决数学问题的观念性成果，它始终存在于数学问题的解决过程中。数学问题的不断改变，一直都遵循着数学思想方法指导方向进行。所以，通过解决数学问题，能够锻炼数学意识，通过数学模型的构建，可以展开数学想想。这样结合实际操作就能形成创作动机，能够将数学和思维活动相结合，高中教师要重视在数学课堂上及数学知识应用的过程中，培养学生学习数学知识，获取数学学习方法，形成数学思想，强化数学能力的综合素质。
四、通过小结总结数学思想方法
高中数学教学过程中的小结和复习内容是整个数学教学的关键内容，它能够总结知识之间的内在联系，可以总结知识中包含的数学思想。数学教学过程中的小结总结除了能够帮助学生温习已经掌握的旧知识，还能够引导学生积极思考新知识的形成原因，过程和结果。并且可以引导学生掌握新的数学知识的实质，锻炼其实际应用的能力。小结复习是深化数学知识，总结并概括高中数学内容的过程，它需要充分结合手脑双方面的特性通过活动得以实现。所以，高中数学教师要为学生提高锻炼能力的机会，同时也是数学思想渗透的绝好途径。
五、引导学生通过反思感悟数学思想方法
反思能够活跃数学思维，引发学习动力。高中数学教师可以构建多种多样的教学情境，引导学生开展学习反思，让学生主动提出数学学习所遇到的问题，带领学生总结学习经验。可以提出问题的解决方法，重点步骤，自己思考的不足，最佳的解决方法，解题方法的实用简便性等多种问题，带领学生共同研究寻找答案。可以带领学生通过思考讨论获得反思，这种经过思考讨论的反思能够帮助学生掌握思维的本质特点，进一步使其上升到数学思想方法中来。
结论
高中阶段数学教学中的数学思想方法对教师教学质量的提升，学生学习效果的提高和整体教学水平的发展的都有积极意义，可以由知识形成，解题方法，解题指导，小结总结渗透和反思总结多种方法渗透数学思想方法，进一步强化数学思想方法在高中数学教学中的有效应用。这些不同方法的应用在强化数学思想方法的应用的同时也为高中数学的整体教学水平和整个数学教育领域的综合发展做出积极贡献，是现代教育发展的必然走向。
【参考文献】
[1]蔡妙通.数学教学中重在渗透数学思想方法[J].现代教育科学（中学教师），2010年03期
[2]蔡妙通.“数学方法”与“数学思想”的相互性简析[J].现代教育科学（中学教师），2010年04期
数学思想方法的应用篇10
一、数形结合思想，增强直观感受
师：同学们，在我们的生活中存在着各种各样的椭圆，你们知道椭圆是如何画出来的吗？椭圆又有什么性质吗？
生1：椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.
师：说得没错，根据我们以前学习的知识，椭圆就是轴对称图形，也是中心对称图形.那么接下来就看老师在黑板上画的这个椭圆，要观察老师是如何画的.
（然后教师就用一根绳子、两个图钉和一只粉笔画出了椭圆，同学们都被教师画的过程惊呆了.）
师：同学们，有没有感觉到椭圆画起来很神奇呢？
生：是.
师：那么就需要接下来好好听老师讲解椭圆的性质.我们一般会以椭圆的中心为原点，以对称轴为坐标轴建立坐标系，就是这个样子的，同学们看仔细了.还有这两个比较短的轴我们就叫做短半轴，而两个比较长的轴我们就叫做长半轴.同学们明白了吗？
生：明白了.
【设计思路：让学生对学习的内容产生兴趣，这就需要让学生对椭圆有直观的感受，因此就需要利用数形结合的方式来加深学生的印象，教师在作图的时候，学生也会紧跟着教师的思路，积极思考教师提出的问题，这样就能够大大提升教学效率.】
二、函数与方程思想，简化解题过程
师：我们已经对椭圆的基本性质有了了解，现在同学们来思考一下椭圆的表达式是怎样的呢？椭圆的方程和我们之前学过的哪个图形的表达式比较相近呢？
生：椭圆和之前学过的圆比较相似.
师：没错，在圆中，长轴和短轴是相等的，但是在椭圆中是不相等的，因此我们的椭圆表达式就如下所示，x2a2+y2b2=1（a>b>0），其中c2=a2-b2；y2a2+x2b2=1（a>b>0），其中c2=a2-b2.前一个式子是长轴在x轴上的椭圆的表达式，而第二个式子是长轴在y轴上的表达式，同学们明白了吗？
生：明白.
师：那么接下来老师问同学们一个问题，如果求某条直线和椭圆之间的关系，同学们如何来进行思考呢？想一想直线和椭圆之间的关系和我们之前学过的哪些知识比较相近.
生1：和直线与圆之间的关系比较相近.
师：那我们之前是如何来进行圆与直线之间的关系处理，那么又如何将以前的方法迁移过来呢？
生1：以前是将圆和直线的方程联立起来，建立方程来进行解答，看二者之间的解的个数.
师：说得没错，我们以前就是将几何问题转化为函数方程问题来进行解决，那么我们是否能够将这种函数方程的思想迁移到这里呢？
生1：可以，我们也可以将椭圆的方程与直线的方程联立起来，看解的个数就知道直线与椭圆之间的位置关系.
师：真聪明，要解决直线与方程之间交点问题，需要做的就是联立方程，求共同解，这样就能够很快得出结果.
【设计思路：对学生渗透函数与方程的数学思想，教师并不是立即就告诉学生答案，而是对学生进行引导，将之前学习的知识引申到新的知识点的学习中，这样学生对于新的知识点就能够自然而然地接受，学生以后在进行新的数学问题解决的时候，也学会将以前学过的数学思想借鉴过来.】
三、分类讨论思想，锻炼逻辑思维
师：同学们，我们刚才探究了直线和椭圆之间的问题，那么椭圆和直线之间的关系应该有几种呢？（学生沉默.）
师：那么同学们想一想直线和圆之间的关系有几种呢？
生1：三种，相交，相切以及相离.
师：那么直线和椭圆之间的关系是不是也应该有这三种呢？
生：是的.
师：同学们在看到直线的表达式中含有字母的时候，在探究与椭圆的问题的时候，就需要对字母进行分类讨论，只有通过分类讨论才能够将所有的情况都考虑进来.同学在以后的学习中也需要具备这样一种分类讨论的思想，明白吗？
生：明白.