数学建模差分法篇1
一、数值分析在模型建立中的应用
在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。
以非负整数k表示时间，记xk为变量x在时刻k的取值，则称Δxk=xk+1-xk为xk的一阶差分，称Δ2xk=Δ（Δxk）=xk+2-2xk+1+xk为xk的二阶差分。类似课求出xk的n阶差分Δnxk。由k，xk，及xk的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k周末体重为w（k），第k周吸收热量为c（k），热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型为w（k+1）=w（k）+αc（k+1）-βw（k）[2]，k=0，1，2，…，增加运动时只需将β改为β1+β，β1由运动的形式和时间决定。
二、数值分析在模型求解中的应用
插值法和拟合法在模型求解中的应用
1.拟合法求解
在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了（或收集了）一些已知数据，但是模型中的某些参数是未知的，此时需要利用已知数据去确定有关参数，这个过程通常通过数据拟合来完成。最小二乘法是数据拟合的基本方法。其基本思想就是：寻找最适合的模型参数，使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。
假设已建立了数学模型y=f（x，c），其中，c=（c1，c2，…，cm）t是模型参数。已有一组已知数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk），用最小二乘确定参数c，使e（c）=∑ki=1（yi-f（xi，c））2最小。函数f（x，c）称为数据（xi，，yi）（i=1，2，…，k）的最小二乘拟合函数。如果模型函数y=f（x，c）具有足够的可微性，则可用微分方程法解出c。最合适的c应满足必要条件e（c）cj=-2∑ki=1（yi-f（xi，c））f（xi，c）cj=0，j=1，2，…，m。
2.插值法求解
在实际问题中，我们经常会遇到求经验公式的问题，即不知道某函数y=f（x）的具体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，即已知一部分精确的函数值数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk）。要求一个函数
yi=φ（xi），i=0，1，…，k，（2）
这就是插值问题。函数yi=φ（xi）称为f（x）的插值函数。xi（i=0，1，…，k）称为插值节点，式（2）称为插值条件[2]。多项式插值是最常用的插值方法，在工程计算中样条插值是非常重要的方法。
3.模型求解中的解线性方程组问题
在线性规划模型的求解过程中，常遇到线性方程组求解问题。线性方程组求解是科学计算中用的最多的，很多计算问题都归结为解线性方程组，利用计算机求解线性方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组，再求三角线性方程组，理论上直接在有限步内求得方程的精确解，但由于数值运算有舍入误差，因此实际计算求出的解仍然是近似解，仍需对解进行误差分析。直接法不适用求解n≥4的线性方程组，因此当n≥4时，可以采用迭代法进行求解。
迭代法先要构造迭代公式，它与方程求根迭代法相似，可将线性方程组改写成便于迭代的形式。迭代计算公式简单，易于编制计算程序，通常都用于解大型稀疏线性方程组。求解线性方程组的一般设计思想如下，假设建立一个线性规划模型
ax=b
其中a=a11a12…a1na12a22…an2an1a12…ann，x=x1x2xn，b=b1b2bn，即a∈Rn×n，可将a改写为迭代的形式
x=Bx+f
并由此构造迭代法
xk+1=Bxk+f，k=0，1，2，…，
其中B∈Rn×n，称为迭代矩阵。将a按不同方式分解，就得到不同的迭代矩阵B，也就的带不同的迭代法，例如Jacobi迭代法[5]、高斯-赛德尔迭代法[5]、超松弛迭代法等。
由于计算过程中有舍入误差，为防止误差增大，就要求所使用的迭代法具有稳定性，即迭代收敛，收敛速度越快，误差越小。若x=Bx+f中，ρB
4.数值积分在模型求解中的应用
模型求解过程中可能遇到积分求解问题，用求积公式if=∫bafxdx=Fb-Fa，使定积分计算变得简单，但在实际应用中很多被积函数找不到用解析时表示的原函数，例如∫10e-x2dx，或者即使找到表达式也极其复杂。另外，当被积函数是列函数，其原函数没有意义，因此又将计算积分归结为积函数值的加权平均值。
假设a≤x0≤x1≤…≤xn≤b，则积分的计算公式[5]为∫bafxdx≈b-a∑ni=0αifxi，称其为机械求积公式，其中xi（i=0，1，2，…，n）称为求积节点，αi与f无关，称为求积系数或权数，机械求积公式是将计算积分归结为计算节点函数值的加权平均，即取∑ni=0αifxi≈fξ
得到的。由于这类公式计算极其便捷，是计算机计算积分的主要方法，构造机械求积公式就转化为求参数xi及αi的代数问题。
5.数值分析在求解微分方程中的应用
在数学建模中，所建立的模型很多时候是常微分方程或者偏微分方程，这些方程求解析解是很困难的，而且即使能够求得解析解，由于所用数据的误差得到的解也是近似值，所以大部分情况下会采取数值的方法进行求解。
三、误差分析
在数学模型中往往包含了若干参变量，这些量往往是通过观察得到的，因此也带来了误差，这种误差称为观察误差[4]。这些误差是不可避免的，所以我们只能在模型建立和模型求解中避免误差扩大。目前已经提出的误差分析方法有向前误差分析法与向后误差分析，区间分析法，及概率分析，但在实际误差估计中均不可行。不能定量的估计误差，因此在建模过程中更着重误差的定性分析，也就是算法的稳定性分析。
在误差分析中，首先要分清问题是否病态和算法是否稳定，计算时还要尽量避免误差危害。为了防止有效数字的损失，应该注意下面若干原则：一是避免用绝对值小的数作除数；二是避免数值接近相等的两个近似值相减，这样会导致有效数字严重损失；三是注意运算次序，防止“大数”吃“小数”，如多个数相加减，应按照绝对值由小到大的次序运算；四是简化步骤，减少算术运算的次数。
数学建模差分法篇2
关键词：monteCarlo法；最坏情况法；误差分析；跟踪测量
引言
靶场光测设备是对弹道导弹、飞行器、卫星等武器设备进行精确观测的有效工具，它通过角度测量和交误差分析实施对空间目标精确定位以完成外弹道的观测。测量中的各种误差源直接决定定位精度[1，2]。但误差并不是越小越好还要受到研制成本等多种因素的制约，同时各种误差因素对光测系统而言，其重要性和影响方式有所不同，对各种误差源进行精确分析对靶场光测设备有重要的实际意义。一方面在设计的初期研制过程中可以对设备测量不确定度有影响的各种因素进行严格的过程控制，同时对优化材料选用、设备制造等多种环节进行控制，以更低的研制成本更好地满足用户的使用要求[35]；另一方面通过对光测设备进行合理的布站以提高光测设备测量精度[6，7]。光测设备的精度模型和光测设备的布站是两个相互联系的问题，对光测设备的布站优化必须以精确的误差模型为基础，同时对光测设备的误差分析也需要给出在一定布站方式下对特定目标轨迹的精度分析。
文中以光电经纬仪为例，对光电经纬仪建立了精确的Veriloga模型，并在此基础上使用monteCarlo法对光电经纬仪的各种误差源的影响进行了详细的统计学分析和研究，并针对弹道导弹不同的布站方式进行数值分布，给出能适应不同靶场地形的通用的布站优化方法。
1光电经纬仪的误差模型
文中提出的误差分析方法具有一定的通用性，使用通用的模拟系统建模语言Veriloga以对光电经纬仪建立数学模型，并在数学模型中对测量精度有影响的各种误差源进行建模。Veriloga提供了层次化的模拟系统模型构架，可以一定的数学表达式在抽象的层次上对系统建模，以方便系统的分析设计和验证。Veriloga支持直流、交流、瞬态、monteCarlo法等多种分析方法。提供给用户一定的设计参数，用户使用Veriloga模型可以对设备的性能进行仿真分析进一步指导光测设备的应用。对各种光测设备建立通用的Veriloga模型具有非常重要的实际意义。光电经纬仪的Veriloga模型分为基本模型和误差模型，如图1所示。
2.1最坏情况法分析法
在最坏情况下假定所有的误差源都取最大误差，由于在实际情况下所有的误差源不是同时取得最大误差数值，因此最坏情况分析将得到较为悲观的预测数值，但这种分析方法可以快速估计各单项误差对系统误差影响程度和影响方式，同时给出理论上最大误差。使用此模型仿真了各单项误差都取最大数值的最坏情况，误差主要影响方位角a，而对俯仰角e影响较小。其中编码器误差直接加入到方位角和俯仰角误差中，而传感器误差、照准差、横轴差对系统误差的影响相对较为复杂，可以通过扫描相关误差参数计算出各误差参数对系统性能的影响。
使用该模型仿真了因俯仰角变化而引起的传感器误差、轴系照准差和水平轴误差a分量的变化曲线，如图3所示。从图3中可以看出，随着俯仰角的增加，三种误差源快速增加，文献表明照准差和水平轴误差的δe分别与sec（e）和tan（e）成正比，而水平轴误差与tan（e）与仿真结果相一致。同时可以看出在俯仰角较大时照准差对系统影响约为横轴误差的2倍。其中图3（a）表示了不同误差像素数目对系统误差的影响，传感器误差将随着误差像素数目的提高而增加，误差像素主要来自量化误差、细分误差和拖尾误差。
2.2monteCarlo法分析法
在实际情况下各个单项是以一定概率分布的形式出现的，误差合成不是简单的线性叠加关系，传统的方法是基于统计学的t分布和χ2分布不确定度分析法，这种方法在处理测量误差传递时是基于线性化近似模型，同时假设各种误差源间是相互独立的。由于光测设备本身是一个复杂的非线性系统，同时误差源间也不是完全独立的，因此决定了这种方法具有一定的局限性。monteCarlo法是一种通用的误差分析工具，它将设备的各项误差源表达为一定概率分布函数的形式，以相同概率分布产生随机数进行仿真计算，从而得到各种误差对系统的影响。系统的输出呈现出一定统计分布，通过使用matLab统计学工具箱拟合的方法，可以得到系统输出的准确的统计分布函数，并以一定的数字特征如期望和方差的形式来表达。monteCarlo算法的准确度主要取决于采样点的数目，可以通过合理的选用采样点的数目以达到所需的计算精度。
4结论
对光电经纬仪建立了包含各种误差源的准确的数学模型，使用此模型进行最坏情况分析和monteCarlo法分析，分析了各种误差源影响系统性能的程度和方式。进一步使用此模型对双站异侧布站情形进行了优化，分析表明针对沿x方向发射的弹道轨迹，飞行段x方向中部位置布站可以获得最小测量误差；布站z方向存在最优位置z*，此处y方向交汇测量误差最小，当布站z向距离zz*时，x方向和z方向误差随z增加快速增加。提出的基于monteCarlo法的布站优化可以进一步推广到特定靶场地形的情况，对经纬仪总体设计及布站方式的选择具有一定的理论指导意义。
参考文献：
[1]赵学颜，李迎春.靶场光学测量[D].北京：装备指挥技术学院，2001：35-38.
[2]王家骐.光学仪器总体设计[D].长春：长春光机所研究生部，2003：27-32.
[3]杜俊峰.光电经纬仪测量精度指标的确定[J].应用光学，2006，5（6）：506-509.
[4]张宁，沈湘衡.应用跟踪误差等效模型评价光电经纬仪跟踪性能[J].光学精密工程，2003，18（3）：677-684.
[5]李慧，沈湘衡.光电经纬仪数字化模型的建立方法及其应用[J].光电子技术，2007，27（2）：97-100.
数学建模差分法篇3
关键词：GpS；钟差预测；灰色理论
引言
在进行GpS定位时，为了提高定位精度，需要对影响定位结果的各种因素如卫星钟差、信号传播延迟、接收机钟差、多路径效应等进行充分考虑，因此提高卫星钟差的a报精度十分重要。目前只能通过卫星星历来获取在一定时刻的卫星钟差数据。卫星星历分为广播星历和精密星历，前者跟着信号实时发送给接收机，每两个小时更新一次；后者由iGS跟踪站等，采样率根据星历类型不同可分为15s、30s、15min等。为了获取任意历元的卫星钟差，需要利用已知的部分历元星历，运用可靠的数据模型进行预测。本文研究了灰色理论模型进行卫星钟差的内插拟合，并利用程序软件进行测试，并对比多项式方法的卫星钟差预测，总结了试验结果，为进一步提高卫星钟差预测精度提供参考。
1灰色理论模型预测法
灰色模型就是利用少数的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述。该模型对原始数据进行累加或累减，形成规律较强的新数据，并以此建立模型以对未来发展情况作出预测。将灰色系统模型运用于卫星钟差预测时，该模型只利用已知少数几个历元的卫星钟差数据，不需要大量样本数据量，计算工作量较小。
建模之前，要保证原始数据序列符号一致，否则应对每个原始数据加上一个常数c。以此数据为基础建立灰色系统模型，最后的预测结果也相应的将灰色模型预测值减去该常数而得到。
2算例及分析
在前述灰色理论模型原理内容的基础上，为了解该模型在卫星精密钟差预报中的实际情况。本文利用iGS站的卫星精密钟差文件进行测试，该数据为2016年年积日302天30s的卫星钟差数据，标称精度在0.2至0.3纳秒间，可作为检查模型预测结果的真值。为了分析灰色理论模型预测卫星钟差的可靠性，本文也采用了卫星钟差预测模型常用的二阶多项式模型进行对比分析。
本文取2016年年积日302天（10月28日）2：00至3：00的30s钟差数据共120个历元，分别进行灰色系统建模和二阶多项式建模，然后向外预报150个历元的钟差，以iGS站公布的30s钟差文件igs19205.clk_30s数据为真值进行对比分析，两种模型的预测结果如下所示：
本文采用的灰色理论模型Gm（1，1）对卫星钟差进行了预测，从上述三个卫星的计算结果看，灰色理论模型对卫星钟差短期预测的误差达到纳秒级，其精度与钟差常用的二阶多项式预测方法相当。
3结束语
在GpS数据处理过程中，精密钟差对最终定位的精度影响很大，因此提高其预报精度十分重要。短期钟差预测的模型常常采用二次多项式方法，本文在对灰色理论模型进行了简单的介绍后，通过实例测算其在钟差短期预报中的应用，对三个卫星的钟差进行了预测，并将结果与iGS站公布精密钟差数据进行了对比分析可知，灰色理论模型Gm（1，1）在卫星钟差短期预测中可达到纳秒级的精度，适合应用于导航卫星的钟差预报。
参考文献
[1]黄劲松，李征航.GpS测量与数据处理[m].武汉大学出版社，2005.
[2]叶世榕，刘经南.GpS非差相位精密单点定位技术探讨[J].武汉大学学报，2002，27（3）：234-240.
[3]邓聚龙.灰色控制系统[m].华中理工大学出版社，1986.
数学建模差分法篇4
abstract：subsidenceofbuildings(especiallydifferentialsubsidence)canlargelydecreasethesafetyofbuildings.therefore,howtodesignlong-termsafetymonitorsystemsforbuildingsandhowtousefinitedeformationmonitoringdataandchooserationalmodeltoaccuratelyforecastsdeformationhavebecomeanimportanttask.Giventhatitisinevitablethattherearegrosserrorsindeformationmonitoringdata，timeserialmodelbasedonrobustestimationisbuilt.thispaperalsocomparesthedifferencebetweenforecastingresultsoftheformermodelandthemodelbasedonrobustestimation.theresultprovesthatthemethodoftimeserialmodelbasedonrobustestimationcanforecastprecisely.
关键词：建筑物、沉降监测、时序分析、稳健估计
Keywords:building;Settlementmonitoring;timeseries;robustestimation
[tU196.2]
测区概况
南京某建筑仓库6号楼层高二层，基础是70m×12m的整板结构，地基为粉质粘土。对该建筑物布设十个监测点，其中p62、p63与p68、p69之间有一条沉降缝。沉降监测从2011.9.10（第1期）至2013.1.4（第42期），累计42期，历时481天。从图上容易看到，建筑物的地基是整板结构，整体没有太大的挠度；但是不均匀沉降现象严重，建筑物的整体向东北方向倾斜，具体的沉降观测点的布设如图1-1。
图1—1仓库沉降观测点的布置
选择预报模型
仓库在施工加载期间，其基础西侧的短边(12m)方向p610、p61两测点产生了较大的差异沉降，其斜率超过3‰(根据规范，当建筑物高度小于24m，基础的局部斜率应小于3‰)，随着后续的沉降，该边的斜率进一步加大，一直处于报警状态。为确保建筑物的安全，为相关部门提供地基处理的决策依据，采用时间序列建模分析法对其两测点的差异沉降趋势进行了跟踪预报分析。通过预报，不断调整仓库内的货物位置，加大沉降量小的地方的荷载量，以便改变作用于地基的附加应力，确保仓库正常运行。
常用的几种时间序列模型
1、自回归（aR）模型
时间序列｛｝的模型
(3.1)
称为自回归（auto—Regressive）模型，其中n是模型的阶数，、、…为自回归系数，是均值为0，方差为的正态分布白噪声。记此模型为aR（n）。
2、滑动平均（ma）模型
时间序列｛｝的模型
(3.2)
称为滑动平均(movingaverage)模型，其中m为模型的阶数，、…为滑动平均系数。是白噪声序列。记此模型为ma（m）。
3、自回归滑动平均（aRma）模型
时间序列｛｝的模型
（3.3）
称为自回归滑动平均（auto-Regressivemovingaverage）模型，其中n、m分别是模型的自回归阶数和滑动平均阶数。、、…为自回归系数，、…为滑动平均系数。是白噪声序列。记此模型为aRma（n，m）。很容易发现，aR模型和ma模型是aRma的特殊形式。
时间序列分析模型建立
Box法，又称B-J法，是时间序列非常常用的一种建模方法。本文选择用Box法为时间序列建模，其建模过程主要包括数据预处理、模型初识别、模型参数估计、模型检验和模型预报等几大步骤。
具体的建模流程如下图所示：
图4-1时间序列的建模过程
经过长期的观测，获得了p610、p61两点的42期数据。记p610、p61两点的累计沉降量分别为S610和S61，计算两点的差异沉降序列：
（4.1）
p610、p61沉降量及差异沉降量的监测数据如表4-1。
表4-1沉降量及差异沉降量监测数据(mm)
由表4-1得知，该组沉降监测数据并不是等时间间距观测的，根据时间序列等间隔的要求，对观测数据进行了三次样条插值预处理。选取10天为采样间隔，利用matLaB进行三次样条插值，所获插值结果如表4-2。
表4-2差异沉降量数据的预处理（mm）
插值获得的等时间间距的差异沉降量用二维曲线直观的表示出来，如图4-2所示。
图4-2沉降差过程线
经过前面的数据预处理，得到了同等时距的时间序列。但所得的时间序列是不平稳的时间序列，需要进行平稳化。下面采用差分法进行建模处理，并对处理结果进行比较分析。
（1）取前35期数据作为样本（其余的13期数据与预测结果做比较），进行差分计算。由前面的内容可以认为，差分后的新的序列｛｝（t=1,2,…33）是平稳的时间序列。平稳序列｛｝（t=1,2,…33）如图4-3所示。
图4-3差分后新的序列｛｝
（2）对｛｝进行自相关和偏相关函数的计算，并分析计算的结果。考虑到m
表4-3样本自相关函数和偏相关函数
设截尾处的阶数是n，由于2/=0.3482，根据阶数判定的初步条件，当k>n时，偏相关函数的值应有95.5%落在(-0.3482，0.3482)之间，初步判断为aR(4)模型。
（3）利用最小二乘法进行参数估计，分别选择n=3，4，5时计算参数和残差平方和，并利用F检验准确的获取模型的阶次。表4-4给出了aR（n）的参数估计以及残差平方和Q。
表4-4aR（n）模型的参数估计
F检验法进行适用性检验：
n=3时，F=（）×(n-4)/；取，，明显F>。可见n=3不是合适的阶数。
n=4时，F=（）×(n-5)/；取，，明显F<。所以最合适的阶数就是n=4。
（4）序列｛｝是由原始时间序列｛｝（t=1,2,…35）构造出来的，因此还原成原始时间序列建模。表达式为：
(4.2)
整理后得：
(4.3)
预报模型精度分析
按照所建模型进行拟合，拟合中误差为1.9220mm，将拟合数据和原始测量数据进行比较，如表5-1。
表5-1拟合值与实测值比较表（mm）
由上述的图表对比结果可知，拟合值与实测值变化趋势基本一致，能基本反映实际形变情况。模型拟合的残差大都在1mm左右，只有个别点的残差较大，其主要原因还是外界因素造成的监测数据的突变，以至于对拟合精度的影响。因此利用已建好的数据序列对第36～48期数据进行预报，与实测值进行比较，结果表示在表5-2。拟合值、预测值与原测值的数据比较如图5-1。
表5-2预测值与实测值比较表（mm）
图5-1拟合预报值与实测值的对比
从图上不难发现：（a）时间序列的预报结果基本令人满意，即沉降监测预报值与实测值一致，能够较好的反应差异沉降量的未来变化情况。（b）经过比较，前3步的预报结果的残差都在1mm内，预报精度较高，但随着步数的增加精度有所降低。因此在采用时间序列方法时，应限制预报步数；同时必须定期的监测建筑物监测点的沉降量，并利用实测数据动态建模。总体上看，时间序列分析方法可以用于反映差异沉降量数据的变形趋势与变化规律，对近期差异沉降量可以做出较准确的预报。
结束语
本节利用时间序列分析方法，对某建筑物的沉降数据进行了处理，从中可以得到以下两点结论：
（1）就沉降数据来看：从表4-1中数据发展趋势容易发现，差异沉降的速率在施工初期速较大，并随着时间的推移逐渐降低并趋于零，这主要是地基与基础随着时间的推移而区域稳固的缘故。此外，通过481天的沉降监测可以得知，p610和p61两点的差异沉降量很大，该边的斜率达到了7.2‰，远远超过了《建筑地基基础设计规范》允许值3‰的限额，急需对两点的差异沉降量进行预测和处理。一方面需要通知相关部进行地基加固等措施；另一方面可以选择调整仓库中的货物位置，将重量集中在西南部分，加大西南部分的沉降量，人为遏制差异沉降量的进一步加大。
（2）就差分法平稳化方法来看：（Ⅰ）就拟合效果来看，该方法有很好的拟合效果，能够较好的反应出差异沉降量的规律。（Ⅱ）就预报效果来看，差分法在短期具有较高的预测精度，但随着预测期数的增加，预报效果也随之下降。这是因为预报的结果都有一定的误差，预报模型又利用具有误差的预报值作为下一期预报值的已知值，必然会带来更大的误差。所以，在利用时间序列对差异沉降量进行预报时，必须定期的监测建筑物监测点的沉降量，以保证数据的即时更新，并利用实测数据重新建模。
参考文献
[1]张正禄.工程测量学[m].武汉大学出版社.
[2]岳建平,田林亚.变形监测技术与应用[m].国防工业出版社.
[3]兰孝奇,杨永平,黄庆,严红萍.建筑物沉降的时间序列分析与预报[J].河海大学学报,2006（7）:426-429.
[4]梅红,岳东杰.时间序列分析在变形监测数据处理中的应用[J].现代测绘,2005,28（6）.14-16.
[5]吕培印,杨锦军,陈伟.时间序列法预报建筑物地基沉降量[J].辽宁工学院学报,1996,16(4):27-30
[6]石双忠，岳东杰，梅红.时间序列分析在变形监测数据处理中的应用.工程勘察，2004(3).
[7]华锡生,黄腾.精密工程测量技术及应用.南京:河海大学出版社，2002
[8]章书寿,华锡生.工程测量.北京:水力电力出版社，1994
[9]林勋.建筑物变形监测的综合研究.建筑物变形监测的综合研究.2005,6(2):45-48.
数学建模差分法篇5
关键词：精密数控机床；成形运动；误差
根据研究的对象和目的不同，多轴机床成形系统运动学模型有多种不同形式，如刀具成形函数、成形运动约束方程、空间误差模型等等。机床有误差运动的运动学建模又称机床精度建模。不论对机床加工精度预测还是对机床误差补偿，机床精度建模都是最为基本而又关键的工作。
一、多轴精密数控机床成形运行
成形运动按其在切削加工中所起的作用，又可分为主运动和进给运动两类。
1.主运动。由机床或人力提供的主要运动，它促使刀具和工件之间产生相对运动，从而使刀具前面接近工件，直接切除工件上的切削层，使之转变为切屑，从而形成工件的新表面。通常主运动消耗的功率占总切削功率的大部分。例如，卧式车床主轴带动工件的旋转，钻、镗、铣、磨床主轴带动刀具或砂轮的旋转，牛头刨床和插床的滑枕带动刨刀，龙门刨床工作台带动工件的往复直线运动等都是主运动。主运动可以是简单的成形运动，也可以是复合的成形运动。例如，用车刀车削外圆柱面，车床主轴带动工件的旋转运动B1就是简单的成形运动。主运动就是复合的成形运动，它在切除切屑的同时形成了所需的螺旋表面。
2.进给运动。由机床或人力提供的运动，它使刀具与工件之间产生附加的相对运动，是使主运动能够依次地连续不断地切除切屑的运动，以便形成所要求的几何形状的加工表面。在机床上，进给运动可由刀具或工件完成，它可以是间歇的也可以是连续进行的。但无论是哪一种情况，进给运动只消耗总切削功率的一小部分。进给运动可能是简单成形运动，也可能是复合的成形运动。例如在车床上车削外圆柱表面时，床鞍带动车刀的连续纵向移动；在牛头刨床上加工平面时，刨刀每次往复一次，刨床工作台带动工件横向移动一个进给量等都是进给运动，且都是简单的成形运动。用成形铣刀铣削螺纹时，进给运动是铣刀相对于工件的旋转运动。
二、多轴机床空间误差建模流程
多体系统运动学理论运用于数控机床的精度建模，首先根据多轴数控机床的拓扑结构，用低序体阵列来描述机床各部件的关联关系，再用齐次特征矩阵来表示各部件之间的几何特征，计算刀具体在工件子坐标系中的姿态以及刀具成形点在工件子坐标系中的位置坐标，就可以完整地推导出有误差运动的运动学模型和机床在各种加工条件下的成形运动约束方程，为进一步分析数控机床运动误差以及提高加工精度提供基础。
由于各种因素产生的误差影响，机床实际的成形运动轨迹不可避免地会偏离指令运动轨迹，因此按理想条件建立的数控机床成形运动模型并不能真实反映实际的成形运动状况，需要对实际的有误差加工过程进行分析、研究，建立起符合实际情况的数控机床成形运动过程模型。
多体系统运动学理论运用于数控机床的精度建模，首先根据多轴数控机床的拓扑结构，用低序体阵列来表达，这对所有的不同结构的机床都是很容易的。低序体阵列描述了机床各部件的关联关系，因此机床各部件的运动误差对刀尖而言的阿贝误差影响，由于机床各部件非正交而形成的误差耦合（缩、放作用）都包含其中了。用齐次特征矩阵来表示各部件之间的几何特征，通过统一的模型，刀具体在工件子坐标系中的姿态以及刀具成形点在工件子坐标系中的位置坐标都可以计算出来，这样就可以完整地推导出了有误差运动的运动学模型和机床在各种加工条件下的成形运动约束方程。
三、多轴精密数控机床的误差分析
机床误差即刀具体在工件子坐标系中的姿态误差以及刀具成形点在工件子坐标系中的位置坐标误差，来源于各个部件的几何误差（包括静态及运动误差）。低序体阵列中序列越低的部件影响越大，这就是为什么超精密车床多采用t型导轨布局，而不用交迭（cross）型导轨布局的原因。有时为了简化问题，常将次要部件的误差视为零，只对某一感兴趣单元误差带入模型并通过归一化处理求得误差增益系数，然后用表格方式来分析误差的影响。已知部件各误差，通过模型求解机床最终误差，这是误差的正解问题。已知机床的最终误差，例如在机床上加工一个试件，然后通过精密计量测出工件误差，要计算出机床上各部件的误差称为误差的逆解问题。从理论上说，模型的逆解问题是多解的，不可能获得唯一解，原因是缺乏足够的边界约束条件。但通过设计被试工件，使加工分解为单维或少维加工运动，结合误差增益系数分析，得到半定量或近似解的可能性还是存在的。另一种求逆解问题是已知加工误差，求解数控系统各维运动的补偿量。由于每一个运动部件只有一个电机，一维可控，因此通过误差分解和模型正解的迭代是可以比较方便求出补偿量，前提是模型必须已知。所有的数控机床都会受到误差的影响，这些误差包含系统误差和随机误差，而几何误差是系统误差的一部分。几何误差不随时间变化，具有重复性，因此可以通过建立机床的误差模型计算得到几何误差，并置大部分几何误差可以通过校准和标准误差测量方法抵消。除了上述机床形式误差建模的通用性之外，对不同种类误差也可通过对几何或运动误差的转换，再用通用的方式来建模。例如热膨胀、工件自重和部件自重、切削力、加工曲面时的加速惯性力、动平衡、材料变化及振动等影响都可通过热力学、材料力学、电磁力学等方法求出其对部件几何尺寸或运动误差的对应量值。
四、结论
基于多体系统理论的数控机床成形运动、误差分析和建模方法，全面考虑影响机床加工精度的各项因素以及相互耦合情况，以特有的低序体阵列来描述复杂系统，使运动学建模过程具有程式化、规范化、约束条件少的特点，易于解决复杂系统运动问题。
参考文献：
[1]张绍新.FanUC-0i数控机床伺服系统的动态误差分析及补偿方法探讨[J].安徽建筑工业学院学报（自然科学版），2013，03：97-100.
数学建模差分法篇6
【关键词】混合成本；业务量；灰色建模；拟合精度；适用性探讨
中图分类号：F230.9文献标识码：a文章编号：1004-5937（2014）31-0018-03
一、引言
现代企业要实现有效管理，就有必要掌握和运用有关成本信息，强化企业成本管理。技术经济对混合成本的研究是以成本变动与业务量之间的关系来认识这类成本，并对成本进行分类。混合成本比较复杂，按照混合成本变动趋势的不同，一般可以分为四种形式：半固定成本、半变动成本、延期变动成本和曲线式混合成本，不论何种形式的混合成本，均存在着在一定业务量范围内，随业务量变动的共性特点。业务量与混合成本变动有着一定因果关联。
研究混合成本与业务量之间的关系，回归分析是常用的数学分析法，它根据过去一定时期业务量和混合成本的历史资料，运用最小平方法模拟业务量X与混合成本Y的关系，从回归方程Y=a+bX中解析出混合成本的性态构成。通常认为，回归分析法用于混合成本与业务量的关系研究，是比较理想的数学研究手段。
灰色系统理论把一切随机量看作在一定范围内变化的灰色量，对灰色量的研究是根据灰色系统理论特有的处理方法来找出数据间的内在变化规律。混合成本是一种随机量，具有明显的灰色特征，因此，研究混合成本与业务量之间的关系应是对灰色过程的研究。
灰色系统Gm（0，n）模型是一种零阶n个变量不含导数的静态模型，主要用于分析系统内待预测因素与相关因素内在特性及要素之间的相关性，以达到预测目的。本例研究的混合成本与业务量之间的关系是一种静态关系，具有运用灰色系统的Gm（0，n）建模拟合分析的条件。
二、建立Gm（0，n）模型
（一）原始数据
为使研究具有实证性，本文以《邮电通信企业专业成本研究》一文提供的某邮电企业成本运营实际数据为例，尝试应用灰色系统理论Gm（0，n）建模，在其业务量和混合成本之间建立因果关系。邮电企业业务成本由工资、职工福利费、折旧费、邮件运输费、维修费、低值易耗品、业务费等项构成，在实际业务运营中，邮件运输费、维修费、业务费具有明显的混合成本特征。引用实例数据建模，拟合业务总量与混合成本之间的关系。选取原文中某邮电企业在5年间所发生的通讯业务总量（业务量）和相应混合成本（邮件运输费、维修费、业务费之和）为建模原始数据，详见表1。
（二）建立Gm（0，n）模型
1.建模原理
Gm（0，n）模型形似多元线性回归模型，是以原始数据的累加生成序列作为建模研究的基础。在变化的混合成本与业务量之间建立模型，进一步明确因企业经营活动业务量增加带来的混合成本内涵变化的两个变量之间的因果关系。
（1）进行生成数处理
建立1-aGo一次累加生成数据列，处理原始数据计算公式为：
{x1（1）（k）}={x1（1）（k-1）+x1（0）（k）}，其中k=2，3，…，n，且x1（1）（1）=x1（0）（1）
{xi（1）（k）}={xi（1）（k-1）+xi（0）（k）}，其中k=2，3，…，n，i=2，3，…，n，且xi（1）（1）=xi（0）（1）
（2）构造数据阵
B=■
Y=[x1（1）（2），x1（1）（3），…，x1（1）（n）]t
（3）作最小二乘参数估计
有■=（BtB）-1BtY；得待辨识参数列■=b2■bna
（4）得Gm（0，n）模型
形式为：■=■bixi（1）（k）+a，其中k=1，2，…，n；i=2，3，…，n。
2.Gm（0，2）建模
（1）1-aGo生成数计算
本例有混合成本和业务量两个变量，需首先建立相应的原始计算数据列，即：混合成本为{x1（0）（k）}和业务量为{x2（0）（k）}，详见表2。然后按照1-aGo一次累加生成进行数据处理，具体数据处理方式是：{xi（1）（k）}={xi（1）（k-1）+xi（0）（k）}，其中k=2，…，5，n=2，且
xi（1）（1）=xi（0）（1）；{x1（1）（k）}={x1（1）（k-1）+x1（0）（k）}，x1（1）（1）=x1（0）（1），其中，k=2，…，5。形成1-aGo一次累加生成数据列，详见表3。
（2）Gm（0，2）模型
针对混合成本与业务量关系拟合的研究，拟建模型应为Gm（0，2），则x1（1）（k）为混合成本，x2（1）（k）为业务量。选取五个年份实际数据，则k=1，2，…，5，涉及两个研究变量，则n=2。
按1-aGo一次累加生成数据列（详见表3数据）形成相关数据阵：
B=x2（1）（2）1x2（1）（3）1x2（1）（4）1x2（1）（5）1=4233.336917848.9020112563.5344119164.77971
Y=[x1（1）（2），x1（1）（3），…，x1（1）（5）]t=[1153.4949，
2051.4387，3546.8688，5951.8265]t
计算参数列：
最小二乘估计■=（BtB）-1BtY（过程略），得辨识参数■=b2a=0.324261-375.603512，于是得混合成本与业务量关系的Gm（0，2）模型估计式为：
■=-375.603512+0.324261x2（1）（k）
上述拟合模型中的■、
x2（1）（k）均为累计量。
（三）精度检验
1.灰关联检验
灰关联度检验是灰色系统理论特有的建模精度检验方法，采用灰关联度检验法检验已建Gm（0，2）模型，按灰关联度计算方法计算得出模型还原数据序列与原始生成数序列的灰关联度为0.617859，大于灰关联度检验临界值0.6，表明模型拟合结果已符合精度要求。（灰关联原理及方法略，详见参考文献[9]。
2.后验差检验
这类检验方法主要通过两项指标来判断建模精度，（1）方差比C=■；（2）小误差概率p=
p{ε'1■（k）-■'1
S■■=■■（x1（0）（k）-x1（0））2=485995.2064（原始数据均值x1（0）=■■x1（0）（k）=1190.3653），S■■=■■（ε'1■（k）-■'1）2=44239.7869（拟合误差均值■'1=■■（ε'1■（k）=-22.6088），得小误差概率：p=
p{ε'1■（k）-■'1
3.残差检验
按照Gm（0，2）模型拟合数据，分别作原始生成数据列残差检验和还原数据列残差检验，形成生成数据列和还原数据列残差，及其相对误差。
生成数据列误差：生成数据列残差的相对误差表明：原点为4.27%，最大为-55.13%，平均相对误差为-1.96%，详见表4。
还原数据列误差：按{■1（0）（k）}={■-■}，其中k=2，…，5，且■=■，可以计算得混合成本与业务量关系拟合模型的还原原始数据序列，即{■1（0）（k）}={■，■，…，■}。还原数据列残差的相对误差表明，原点为1.39%，最大为-55.13%，平均相对误差为-1.90%，详见表5。
就混合成本与业务量关系数据拟合估算来看，如此精度是可以接受的。
三、结果分析与讨论
（一）Gm（0，2）拟合精度有较大幅度提高
按原始数据建回归分析模型Y=a+bX，计算得a=-351.3007，b=0.402，建立回归直线方程Y=
-351.3007+0.402X。计算过程详见参考文献[7]。
分别计算两种模型均方拟合误差，设σ1、σ2分别为Gm（0，2）灰色模型和回归分析法均方拟合误差，计算式为σ=■。计算可见，Gm（0，2）模型拟合精度明显高于回归分析法的拟合精度，详见表6。
（二）模型拟合参数b、a的说明
研究混合成本与业务量的关系，对有效分解混合成本具有重要意义。Gm（0，2）建模可以解析出混合成本中的变动成本和固定成本，参数b2可以被看作为是混合成本中的单位变动成本，它能量化随业务量变动而增加的变动成本部分。拟合模型中的b2=0.324261，表明当业务量每增加一个单位量时，变动成本将有0.324261增加量；参数a可以被看作为固定成本，是混合成本中不随业务量变动的成本部分。但在实际建模中会产生该参数的正负值问题，当a为正值时，应表示为混合成本中不随业务量变动的固定成本；当a为负数时，只能被看成是一个调节数，对混合成本起调节作用。拟合模型中a=-375.603512，可以被视为对混合成本起调节作用的参数，不能代表真实意义的固定成本。分析形成这一现象的原因，可能与业务量变动和混合成本之间增减速度以及与计算所选择的业务量区间有很大的关系。具体讨论可以参见参考文献[7]。
（三）Gm（0，n）建模能有效提升精度
Gm（0，n）建模与一般的多元线性回归模型有着本质区别。一般多元线性回归建模是以原始数据序列为分析基础，Gm（0，n）的建模则是以原始数据的1-aGo累加生成数据序列为研究基础，有效提高了原始计算数据列曲线变化的光滑性，为拟合精度提升奠定了基础。本例通过Gm（0，2）建模，拟合混合成本与业务量关系并取得了较好的拟合精度。
四、结语
综上所述，灰色系统Gm（0，n）建模用于建立和研究混合成本与业务量关系，相比传统回归分析方法具有估计精度更高的特点。在计算机技术普及的今天，运用相关专业应用软件可以较方便地解决建模所需的矩阵运算和相应数据处理要求，本文应用mathcad14和mSexcel2007计算软件，起到了较好的辅助研究作用，实现了对运算数据的精准处理。应用灰色系统建模方法研究拟合混合成本与业务量关系，解析混合成本，具有较好的现实可行性、应用性和适用性。实现企业混合成本分解，Gm（0，n）建模方法应是一种有效途径。
本文研究使用的样本量仅为五个年份的数据，灰色系统Gm（0，n）拟合模型所显示的精度凸显了灰色系统对少样本、贫信息实际问题研究的独特优势，而样本量过少却又是影响传统回归分析方程拟合精度的最根本因素。但在分析中，因案例提供的样本量过少，也很大程度地阻碍了对回归分析方程的拟合精度问题作进一步证实对比探讨。
【参考文献】
[1]邓聚龙.灰色控制系统（第二版）[m].武汉：华中理工大学出版社，1993.
[2]刘思峰，党耀国，方志耕，等.灰色系统理论及其应用（第五版）[m].北京：科学出版社，2010.
[3]肖新平，毛树华.灰预测与决策方法[m].北京：科学出版社，2013.
[4]陈锡璞.工程经济[m].北京：机械工业出版社，2009.
[5]孙茂竹，文光伟，杨万贵.管理会计学（第6版）[m].北京：中国人民大学出版社，2012.
[6]吴大军.管理会计（第2版）[m].大连：东北财经大学出版社，2010.
[7]陈力.邮电通信企业专业成本研究[J].重庆邮电学院学报，1999，11（1）：51-54.
数学建模差分法篇7
关键词：时间序列分析；物流需求；aRma模型；预测
中图分类号：F253文献标识码：a
abstract：thispaperintroducestheknowledgeoflogisticsdemandforecastingandtimeseriesanalysis，thestochastictimeseriesaRmamodelisusedtoforecastthelogisticsdemand，theapplicationoftimeseriesanalysisinlogisticsdemandforecastisdiscussed.
Keywords：analysisoftimeseries；logisticsdemand；aRmamodel；forecast
物流需求a测是根据物流市场过去和现在的需求状况以及影响物流市场需求变化的因素之间的关系，利用一定的经验判断、技术方法和预测模型，应用合适的科学方法对有关反映市场需求指标的变化以及发展的趋势进行预测。
精确的需求预测可以促进物流信息系统和生产设施能力的计划和协调，并且通过物流需求预测可以确定产品是如何向配送中心和仓库或者零售商进行分配的。
本文运用时间序列分析方法对物流需求进行定量预测。时间序列分析方法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反映出来的发展过程、方向和趋势，进行类推，来预测下一时间段或以后若干年内可能达到的水平。
1时间序列分析方法在物流需求预测中的应用分析
1.1样本数据来源
表1为我国1990～2015年全国货运总量年度数据，试对该时间序列进行建模并预测。
1.2问题分析与模型建立
首先画出数据的趋势图（如图1），这一时间序列是具有明显趋势且不含有周期性变化的经济波动序列，即为非平稳的时间序列，对此序列进行建模预测需要用非平稳时间序列分析方法。
采用模型：X=μ+Y，其中μ表示X中随时间变化的趋势值，Y是X中剔除μ后的剩余部分。
1.3模型求解
1.3.1确定性趋势
从图1中可以判断出全国货运总量的确定趋势是按指数趋势发展的，因此设μ=ab，其中a，b为待定系数。对指数曲线线性化，即取对数为lnμ=lna+tlnb，利用matlab―R2012a软件，编制线性回归分析程序，可求得a
作出用μ=ab预测的数据散点图，与原数据曲线图做对比，如图2。
由图2可知，仅用指数回归的效果较差。
1.3.2随机性趋势
（1）作残差。根据拟合μ的值，求出残差序列Y=X-，残差序列图如图3。
观察残差序列的散点图3可知，该序列有很大的波动性，可以认为是非平稳的，应该做多次差分使其平稳化。
（2）作差分。将残差序列Yt=1，2，…，26进行差分使其平稳化，观察其差分散点图如图4，可认为二次差分后序列是平稳的，即令：
得到序列r，我们可认为r是平稳的。将序列r零值化，由数据求得=-8395.7，令：w=r-。
（3）w的时间序列分析。利用matlab―R2012a软件，得到序列w的样本相关函数图（如图5）和样本偏自相关函数图（如图6）。
由图5、图6可以看出，随着k的增大而衰减，有拖尾现象，而偏自相关函数在尾部为随机区（在零附近波动）。
利用matlab―R2012a软件编写程序，确定模型阶数，由计算经比较可得出R=1，m=2，aiC=622.816921，BiC
=628.707190，故可认为是aRma1，2模型。
对模型w=c+φw+ε+θε+θε进行参数估计。根据matlab―R2012a软件得到最大似然估计一次运行参数估计值：=8.4442，=-0.9622，=1.5276，=0.9987。于是aRma1，2模型为：
（4）模型的检验与预测。由（*）式及matlab―R2012a程序，进行模型的检验和预测。得到残差向量的检验值为0，说明模型是可用的。同时可得出未来三年w的预测值为232710，-153180，147400。
2结论
上述分析说明采用aRma模型对物流需求进行预测是可行的，并在一段时间内能根据历史数据较好的预测。但是，任何模型及预测方法都不是完美的，还需要必须及时掌握最新的数据，对预测方程进行修正，以致达到最佳预测效果。
参考文献：
[1]赵静，但琦.数学建模与数学实验[m].4版.北京：高等教育出版社，2015.
[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[m].4版.北京：高等教育出版社，2011.
[3]司守奎.数学建模算法与应用[m].北京：机械工业出版社，2011.
[4]马莉.matlab数学实验与建模[m].北京：清华大学出版社，2010.
[5]杨蕾，张苗苗.时间序列模型在物流需求预测中的应用[J].商业时代，2013（13）：26-27.
[6]潘树龙，孙维夫.基于时间序列分析方法的物流总额预测研究[J].湖北民族学院学报（自然科学版），2015，33（1）：114-116.
[7]田根平，曾应昆.基于时间序列模型在物流需求预测中的应用[J].物流科技，2007（9）：96-99.
数学建模差分法篇8
【关键词】实体模型；块段模型；地质统计学；变异函数
三维可视化模型包括实体模型和块段模型，实体模型是一种表现实体表面形态的方法，它既可以用于表现地形、岩层层位面等小封闭的实体(Dtm模型)，也可以用于表现矿体、不同岩性区域等封闭的实体(3Dm)。无论表现哪种实体，线框模型的构建方法是相同的。即把面上的点用直线连接起来，形成一系列多边形，然后把这些多边形拼接起来，形成一个多边形网格，以此来模拟矿体边界和空间形态[1,2]。文章借助micromine软件建立某镍矿床的地质数据库，应用地质统计学理论建立矿床品位参数的变块块段模型，采用普通克里格法对矿体金属元素品位进行估值，得出矿石品位的空间分布状况，并运用估值结果进行储量计算，与矿山实际勘探获得的储量进行对比，结果表明，所建模型可靠，计算结果准确。
1矿床地质概况
矿床赋存于铁质超镁铁侵入岩中，足一个隐伏矿床，共有4个主矿体，1#矿体走向北27°西～南27°东，与岩体底界近乎一致，以星点状贫矿为主，长约463m，宽约200m。矿体倾向南西，上部倾角较陡，一般为50°～60°，沿倾斜矿体同样表现连续膨大-缩小的变化特征，膨缩的幅度一般为十几米，2#、3#矿体赋存在l#矿体的下盘，4#矿体是富矿体，ni平均品位1.86％，需单独回采。
2矿石品位三维可视化建模技术研究
2.1地质数据库及样品组合
三维可视化地质数据库是将不同地质数据信息按照一定关系有机组合在一起，共同表示钻孔完整信息的数据集合。地质数据库主要包含的信息有：孔口位置、测斜信息、样品信息、岩性信息和工程地质信息(包括RQD值、地下水情况、节理裂隙状态等)。它是进行地质解析、品位推估、储量计算和管理，以及后续采矿设计等的基础；根据研究需要，选择该矿体的土要成矿元素ni作为区域化变量。样品组合有多种方法，如沿钻孔组合、按台阶组合、混合组合等。组合样长度要考虑多种因素，如块段建模时，单元块的尺寸、原始样本容慑、平均原始样长等。本次研究中选用“沿钻孔组合”方法，采用平均原始样长作为组合长度，即组合样长为1m。
2.2组合样品统计分析
对样品统计分析的目的，一方面是为了掌握矿床ni元素的分布情况，另一方面是指导后续品位推估时采用何种方法进行变异函数计算和分析。ni元素组合样分布直方图及其参数可知ni元素品位在0～8之间，但多数在0～4之间，占99.9％。整体服从对数正态分布，均值0.43％，标准差0.39。
2.3组合样品品位结构性和变异性分析
变异函数分析可以得到的基本参数包括：各参数的基台值、各参数的块金值、各参数的变程(即其空间相关性，换句话说，指某一样品段在三维空间上能够影响的范围)。
2.3.1分析方向。根据经验，一般在进行金属元素品位变异函数分析时，要按走向、倾向、厚度3个方向进行变异函数分析。
2.3.2变异函数计算参数。在进行各个方向的变异函数计算分析时，一般是分布于某个方向一定范围内的样品点参与进行该方向的变异函数计算。本文结合矿区的实际情况，指定容差角为30°，不设定容差限，滞后距为15m，计算的最大距离为300m。
2.3.3变异性和结构性分析结果。ni元素试验及理论变异函数由试验及理论变异函数曲线图可以看出，ni元素样品品位具有明显的结构性和变异性，即品位值既是随机的，又是与周围一定距离内的样品值有关。
2.3.4变异函数参数交叉验证。计算变异函数的目的是为了应用计算的参数，根据已知样品数据对块段模型中单元块相应的属性采用一定的方法进行估值，建立的变异函数模型及其参数是影响估值精度的重要因素之一。可以判断：若变异函数较为准确，则误差较小，误差均值应接近于0，同时，误差的分布应满足正态分布，且误差的方差很小，在两个标准差范围内的估值误差占整个误差分布的95％以上。ni元素品位变异性和结构性分析参数的交叉验证结果见表1。
误差在2个标准差范围内所占的比例95.68%
由表1中关于ni元素、变异函数参数的交叉验证结果可知，ni元素的变异函数模型及其参数是比较准确的。这意味着：块段模型中ni元素的品位值可依据已知样品数据。
3矿体三维实体建模
矿体是由一系列相邻三角面，包裹成内外不透气的三维实体，其表面为不规则曲面。根据地质解译图，以地层和矿体在勘探线上的二维解译成果为基础，采用Delaunay三角形法形成矿体三维实体模型。
4基于组合样品位的块段模型单元块品位插值研究
结合前面建立的矿床矿化区域三维实体模型，通过块段和线框嵌套技术，建立起反映矿区矿化区域的三维变块模型。同时，利用上述计算得到的矿区镍元素变异函数参数，根据钻孔组合样样品，采用普通克立格法对变块模型中单元块的品位进行插值，为进行矿区矿石品位空间分布研究奠定基础。
插值过程中，样品搜索半径的取值对应估计得到储量的控制程度，根据计算各方向变程的取值，本研究取25m、80m、160m三个等级，即探明、控制和推断各参数以及代表的意义见表2。
5矿区品位及储量分布
矿区矿石品位统计分析结果可以看出，将储量计算结果与矿山实际勘探获得的储量(实际储量)进行对比，可以看出计算值与传统方法计算的储量基本吻合，绝对误差仅为0.52%。说明：①不按品位估值时，搜索半径大小对模型内全部单元块的品位进行统计；②对搜索半径不大于25m时，得以估值的单元块品位进行统计，得出探明储量；③对搜索半径为25～80m(不含②的结果)时，得以估值的单元块品位进行统计，得出控制储量；④对搜索半径为80m以上(不含①和②的结果)时，得以估值的单元块品位进行统计，得出推断储量。
6结论
综合运用三维可视化建模技术和地质统计学理论建立某镍矿床的数学模型，采用普通克里格法对镍元素的进行估值，得出了镍元素的品位分布模型，并最终运用估值结果进行储量计算。结果表明，所建立的矿床三维可视化模型以及品位分布模型是可靠的，所选用的变异函数模型及参数计算正确，储量计算结果真实可靠，可用于辅助矿山进行资源评估、采矿设计以及计划编制等工作。
参考文献：
数学建模差分法篇9
【关键词】汽轮机低压加热器端差Bp神经网络
【abstract】BasedontheBpneuralnetwork，weproposesanewcalculatedmodelforavoidingthecomplexcalculatingofthestructureparametersoftheheat，thecalculatedmodelofthetargetvalueofterminaltemperaturedifferencesfromthelow-pressureheater.evaluatetheoperationaleconomicalsituationfromthedeviationextentoftheheater.thecalculationresultsshowthatthesuggestionevaluationmethodsoftheoperationheateconomyofthelow-pressureheaterbyusingtheBpneuralnetworkcanbeusedfortheoperationaleconomicalsituationofthelow-pressureheaterandtheearlydetectionofheaterperformancedegradation.
【Keywords】steamturbine；low-pressureheater；terminaltemperaturedifference；Bpneuralnetwork
低压加热器是汽轮机的一个重要的辅助设备。低压加热器运行经济情况的好坏，直接关系到汽轮机乃至全厂的经济运行。因此，运行部门十分重视低压加热器性能失常的早期发现并及时处理。
加热器运行经济性通常采用端差作为评价指标，但由于加热器端差受入口水温、汽轮机负荷等因素的影响，实测端差值并不能直接用来评价加热器热经济性。为此，文献[1]以热力系统的热平衡方程等基础建立了加热器端差运行热经济性的通用计算模型。文献[2]利用等效焓降法定量分析了加热器端差对机组热经济性的影响，文献[3]利用传热学的基本理论建立了回热加热器的变工况数学模型。通过分析以上几种方法可以看出现有的计算端差应达值是通过加热器变工况计算方法得到运行工况变化后加热器端差的应达值，并将端差应达值与实际测量值进行对比，从而实现对加热器运行经济性的评价。但这需要预先已知加热器的结构参数，然而时设备制造厂家说明书中并没有明确给出，从而导致基于变工况计算方法得到的低压加热器上、下端差存在着较大的误差，这些都会影响到对低压加热器运行经济性的准确评价。
本文鉴于以上方法的不足，提出了反向传播网络（Back-propagationnetwork，简称Bp网络）计算模型。基于Bp网络的数学建模方法的优点在于不必事先给出函数的具体形式，它借助于本身所具有的学习能力，自动形成应变量与自变量之间的函数关系，因此为数学建模提供了方便条件。
Bp网络是人工神经网络的一种变化形式，且其应用的范围非常广泛，如函数逼近、模式识别、分类和故障诊断等领域。为此，本文基于Bp网络建立了低压加热器上、下端差应达值的数学模型，并以某300mw汽轮机组某低压加热器性能状态正常时的低压加热器上、下端差及其相应的影响因素作为训练样本，得到了低压加热器上、下端差与其影响因素之间的非线性数学模型。汽轮机实际运行过程中，借助于Bp网络得到的加热器端差应达值和实际测量值进行比较，即可以对低压加热器的运行经济状态进行评价。
1Bp网络算法
Bp网络于1986年由Rumelhart和mcCelland领导的科学小组在《parallelDistributedprocessing》一书中提出，是模拟人脑结构及其功能的人工智能技术。
网络的输入向量为；隐层输出向量为；输出层输出向量为。由图可以看出，此网络输入层节点有n个，网络的输出信号为，有m个隐含层。根据Kosmogorov定理理论证明，在合理的结构和恰当的权值条件下，3层Bp神经网络可以逼近任意的连续函数。根据经验公式：
（1）
其中，，，分别为隐含层、输入层、输出层的神经元数目，为1～10之间的一个整数。
由于Bp网络自身存在的很多缺点，如它的训练速度慢、易陷入局部极小点等。这就需要在训练过程中选择合适的网络结构。借于以上分析，本文采用一个隐层，节点数目在训练过程中不时调整，以达到最佳的训练效果。
2基于Bp网络的加热器端差计算模型
本文采用的计算模型是以某300mw汽轮机为例，对其经过大修后正常状态下的H5低压加热器上、下端差值用Bp网络模型进行计算，并通过与实测端差值的对比来验证模型的有效性。
本文的训练数据通过电厂控制系统采集，算例中共准备180个样本，为了避免训练过程中的“过拟合”现象并且评价所建立的Bp网络模型的性能和泛化能力，其中100个作为训练样本，50个作为检验样本，30个作为测试样本。语言使用matLaB7.6.0。
本文所用的Bp网络的传递函数为Sigmoid函数，其工作区域为[0，1]，因此对于训练样本还要进行预处理，将其对应到区间[0，1]之间，这个过程称为“归一化”。这样做的目的是可以提高训练速度和灵敏性。所采用的归一化公式为：
（2）
式中，为归一化后的变量，为原始的变量，为变量中的最大值，为变量中的最小值。
在训练结束后，对输出值再进行反归一化处理，即可以得到低压加热器上、下端差的应达值。
在进行模型的性能评价时，本文采用均方差（meansquarederror，mse）作为计算结果准确度判断的依据，即：
（3）
3Bp网络算法的实验验证
在实际计算时，给定的学习精度为0.01，网络隐含层神经元个数为15个，训练次数=2000，权值调整参数=0.01。其最终的加热器的上、下端差实测值和计算结果如图1和图2所示。
图1端差样本训练结果图图2下端差样本训练结果
通过图1和图2可以看出，低压加热器的上、下端差的训练结果和实际大修后正常状态下的上、下端差实测值基本吻合。其上、下端差的均方差值分别为0.0152℃和0.7635℃。由模型性能评价指标表明，此模型可实现对低压加热器上、下端差应达值的精确计算。
为了检验此模型的有效性，本文在汽轮机大修后正常运行状态下的数据中又抽取了50个数据作为验证样本，通过该模型验证后的上、下端差应达值的计算结果如图3和图4所示。
图3端差样本验证结果图4下端差验证结果
由图3和图4可见，采用Bp网络计算方法验证得出的低压加热器上、下端差的结果与实际测量结果吻合比较好，证明该计算方法得出的结果具有较高的精度，此模型可以应用于低压加热器运行经济性能的评价。
通过现场实际检查，发现该汽轮机H5和H6低压加热器存在旁路门内漏问题，造成加热器出口水温降低，导致加热器测量的上端差偏大。
4结语
本文利用Bp网络建立了低压加热器热经济性评价模型，通过分析和讨论，得到的结论如下：
（1）根据Bp网络原理建立的低压加热器热经济性评价模型可准确地对低压加热器运行经济性能进行评价。
（2）该模型在计算过程中能够避免加热器复杂结构对加热器端差的影响，为低压加热器的热经济性评价提供了方便条件。
（3）在模型参数训练过程中，若隐层节点数过少，则达不到所需要的精度；若隐层节点数过多，虽然网络误差减小，但会使训练时间变长。因此，本文将训练数据分成三份，
参考文献：
[1]郭民臣，刘强，叶江明，陈爱萍.定功率下加热器端差对机组热经济性的影响[J].中国电机工程学报，2008，28（23）：42-45.
数学建模差分法篇10
关键词：建筑物提取；LiDaR数据；GVF模型；融合
一、引言
建筑物是城市区域中最多、最重要的实体，也是进行城市建设规划、能源需求评估、城市人口统计的重要依据。随着机载激光雷达（LiDaR）技术的不断发展和广泛应用，基于LiDaR数据的建筑物模型重建技术变得越来越有研究价值。LiDaR数据与影像数据有很好的互补性。因此，利用LiDaR技术获取精确的点云数据与影像数据提供的丰富纹理信息相结合，对LiDaR数据进行分类、提取，建立三维城市模型具有重要的现实意义。
近年来，国内外对LiDaR数据提取建筑物的方法，主要有以下三大类：①单独利用LiDaR数据提取建筑物；②结合LiDaR数据和多光谱影像提取建筑物；③结合LiDaR数据和其他数据提取建筑物。
G.priestnal首先利用最近邻域法生成DSm，然后借助数学形态学原理对DSm进行滤波处理，剔除掉地物信息，保留地面信息。但该方法只限于地形比较平坦的平原地区，在其他地形区域很难得到满意的效果；美国学者atharthy[2]根据回波原理，利用L1DaR数据两次反射距离的差异提取建筑物。单独利用LiDaR数据很难精确提取建筑物轮廓。
于是有学者结合LiDaR数据和多光谱影像提取建筑物，该类方法仅对特定的数据和某些特定的地区适用，具有一定的局限性。
此外，有很多学者尝试结合LiDaR数据和其他数据提取建筑物，该类方法的问题是：目标轮廓的提取效果与所提供的数据质量和精度密切相关；文献中提出一种基于主动轮廓模型（Snake）的变分方法，通过极小化内外部能量函数，使初始的建筑物轮廓线迭代地收敛到图像梯度最大处。该方法对建筑物形状没有假设，可以提取比较复杂的形状。但其内部能量函数只描述一般性的图像灰度的连续性和平滑性，没有专门应对复杂形状建筑物的结构特征，而且轮廓线在迭代时对图像的局部边缘和噪声都比较敏感，因而提取的轮廓不够准确。
针对文献模型提取建筑物中存在的问题：对噪声敏感、边缘误检测，本文提出了一种改进的GVF模型方法。该模型对GVF模型两个方面进行调整：起始种子点的选择和外部能量函数，在动态轮廓模型中引入高度能量因子和区域的能量因子。通过减小最小化多边形灰度方差和高度方差的方法，来解决对噪声敏感和边缘不理想问题。具体流程如图1所示。
图1建筑物提取算法流程
1.传统GVF模型
在GVF模型中，图像能量定义如下：
（1）
其中，f（x，y）=-eext（x，y）；μ是平衡前后两项反应的系数；ux，uv，vx，，vv分别是u，v对x，y的偏导数；Δ2是Laplacian算子。
在提取建筑物轮廓时，GVF模型主要存在以下问题：
（1）GVF模型对噪声很敏感，图像中的噪声或辐射变化产生的灰度变化越大，对轮廓能量函数影响就越大，在高分辨率图像中问题更明显。
（2）由于轮廓点临近复杂结构的建筑物，这样容易造成误检。
二、改进的GVF模型
为了解决上述问题，本文对GVF模型两个方面进行了调整：起始种子点选择和外部能量函数。
1.起始种子点选择
图2获取起始种子点流程
如图2所示，首先，我们根据不规则三角网（tin）滤波原理把LiDaR数据进行滤波处理，这样就可获取数字高程模型（Dem），其中中不包含非地面物体。由于树木和建筑物都高于地面，我们可以通过使用植被指数（green-red）/（green+red）把建筑物从树木中分离出来，这样就可以把树木从Dem中去除；同时，利用插值的方法产生规则格网数字表面模型（DSm），其中包含了地面物体；其次，用原始的数字表面模型（DSm）减去数字高程模型（Dem），这样就可以得到归一化的数字表面模型（nDSm），此时DSm数据已去除了树木；最后，通过Canny边缘检测算子来检测DSm中的边缘。在这里我们把距离小于两个像素的边缘连接起来，通过连接提取线段产生群，并把它们作为起始种子。
2.外部能量函数调整
对于噪声敏感的问题，我们可以引入两个新能量来解决；对于边缘误检测的问题，我们可以设置边缘长度阈值，把小于边缘阈值的边缘去除。这样新模型的起始轮廓就不包括来自其它物体或噪声的短边缘，更加接近真实物体的轮廓了。
我们通过减小最小化多边形灰度方差和高度方差的方法，来解决对噪声敏感和边缘不理想问题。多边形与物体的密度方差数值越小，动态轮廓就越接近真实物体的轮廓。因此，我们在密度方差和高度方差的技术上，引入两个新能量：区域方差能量（RVe）、高度方差能量（aVe），用它来计算灰度的方差，并把它加入整个能量中。
例如当前迭代的初始轮廓中有一个点i，下一步迭代过程时就搜索i的临近区域，与其它邻近区域相比，如果产生的区域最小，那么就把它作为新的点i?，这样的轮廓可看作基础区域。封闭区域的密度方差作为RVe。在LiDaR数据中，这些方法也适用。把高度方差作为aVe。RVe和aVe的计算如下：
（2a）
（2b）
其中，mi是轮廓密度均值；mh是轮廓高度均值；相应的xi是第i点的密度均值；hi是第i点的高度均值；n是轮廓像素点的像素个数。
综上，新的能量函数如下：
esnake=α×ecort+β×ecurve+γ×eGVF+μ×eRVe+ε×eaVe
其中，α、β、γ、μ和ε是权重系数，用户可以根据自己的需求来调整。经过大量权重系数实验，我们设定α=β=γ=2，μ=ε=1。一系列的动态轮廓点经过初始化，就形成了第一个圈。在每一个圈，每个动态轮廓点逐步向临近的区域移动，并且计算能量，把能量最小点选作新的位置。遍历动态轮廓点，当动态轮廓点固定或经过一定次数选代时停止。
三、实验结果与实验分析
为了验证本文方法对高分辨率遥感图像中建筑物目标提取的有效性，本文采用两幅典型的图像进行了实验，其中第一幅图场景较简单，第二幅图场景较复杂，实验数据分别是iKonoS、QuickBird卫星所拍摄的高分辨率城区图像，其中第一副图（分辨率0.45m）如图2（a）所示，第二副图（分辨率0.62m）如图3（a）所示，算法用matLaB编程实现。
图2（a）、图3（a）为测试图像的原始图，图2（b）、图3（b）为LiDaR图像。在我们的研究中，从LiDaR中提取点产生DSm。DSm提供了高于地面的物体，例如：建筑物和树木等。紧接着，采用图像先前得到的nDVi，用它来区分建筑物与树木，并把植被区域去除。我们假定建筑物的高度大于3m，因此在nDSm中把3m作为阈值，从地域表面分离出高于地面的物体。图2（c）、图3（c）为去除树木和矮小建筑物的图像。如图2（d）、图3（d）所示，提取了建筑物破碎边缘，其中大部分建筑物边缘都被正确提取。
（a）
（b）
（c）
（d）
图2（a）原始图；（b）LiDaR图像；（c）去除树木矮小建筑物后的图像；（d）提取的感兴趣区域边缘。
（a）
（b）
（c）
（d）
图3（a）原始图；（b）LiDaR图像；（c）去除树木矮小建筑物后的图像；（d）提取的感兴趣区域边缘。
如图4所示，这里通过两组图，展现了GVF模型和提出模型提取建筑物的效果。通过比较我们可以发现：第一组图中，GVF模型提取效果受噪声干扰影响较大，容易出现边缘检误测（如图4（a）中黑色圆圈所示）；第二组图中，GVF模型提取效果较差，存在建筑物相互粘连的现象（如图4（c）中黑色圆圈所示），而本文提出的模型可以有效的克服噪声干扰，而且在细节上更接近真实轮廓。
（a）
（b）
（c）
（d）
图4最终提取结果对比（a）、（c）GVF模型；（b）、（d）提出模型。
实验结果表明，在提取建筑物轮廓的细节上，提取的建筑物轮廓点与真实结构非常接近。大部分由噪声产生的尖角和边缘被排除，保留了建筑物的主要结构和特征。初始种子点的选择方法表现出良好的效果，而且完全自动化。当起始轮廓与真实建筑物边缘并不靠近时，这个算法仍然表现不错。我们可以看到更多的细节，而且可以减少照射造成的干扰。
实验中有的建筑物漏提取（如图4（d）中黑色圆圈所示）或错误提取（如图4（b）中黑色圆圈所示），这是因为：①在稠密的城市高分辨率航拍图像中，有的建筑物太小，很难从大量的细碎信息中提取出来。②由于复杂结构的建筑物和阴影相互重叠的干扰，很大程度上影响了图像密度的连续性和地物的光谱，这是以后需要改进的地方。
四、精度评价
从定量的角度，利用传统的基于光谱特征的评价标准，分别对GVF模型和提出模型的提取结果进行形状精度评价。
形状精度=（1-）（4）
其中，a是地面建筑物真实值；B是提取建筑物真实值。
这里没有考虑错误提取和遗漏提取，GVF模型和提出模型提取建筑物的形状精度评价如表1-1所示。
实验结果表明，本文提取方法平均检测率可以达到89%，超过了由mcKeown提出的50%。
五、结论
本文在GVF模型的基础上改进了建筑物轮廓提取的方法，新的模型在GVF模型中引入了两个新的能量，它可用于高分辨率的影像中。本文的方法不需要大量的人工辅助，完全自动化，对于噪声图像很有效，可稳定的逼近真实建筑物轮廓。实验结果表明，新的模型能够运用于复杂建筑物结构的城市场景中。对于有的建筑物漏提取，建筑物边缘和背景边缘相互重叠的干扰的问题，这将是我们下一步需要研究的工作。
参考文献：
[1]priestnalG，JaafarJ.extractionurbanfeaturesfromLiDaRdigitalsurfacemodels.[J].Computers，environmentandUrbanSystems，2000
[2]abdullatifatharthy，JamesBethel.HeuristicFilteringand3DFeatureextractionfromLiDaRData[a].in：iSpRS，2002
[3]Khoshelham，K.Buildingextractionfrommultipledatasources：adatafusionframeworkforreconstructionofgenericmodels[J].iapRS，2004
[4]RottensteinerF.andC.Briese.anewmethodforbuildingextractioninurbanareasfromhighresolutionLiDaRdata[J].iapRS，2002
[5]martinHuber，wolfgangSchickler，StefanHinz，al-bertBaumgartner.FusionofLiDaRdataandaerialimageryforautomaticreconstructionofbuildingsurfaces[a].in：may20032ndJointworkshoponRemoteSensingandDataFusionoverUrbanareas[C]，Berlin，Germany.
[6]SohnG，extractionofbuildingsfromhigh-resolutionsatellitedataandLiDaR[J].iapRS，2004
[7]尤红建、苏林、李树楷.利用机载三维成像仪的DSm数据自动提取建筑物[J].武汉大学学报，信息科学版，2002
[8]张小红.机载激光扫描测高数据滤波及地物提取[D].武汉：武汉大学，2002
[9]Guotao.CitymodelingUsingHigh-resolutionSatelliteimageandairborneLaserScanning[D].东京大学，2003