初中数学求代数式的值篇1
【关键词】初中数学；竞赛；求值题；解法
因为求值题具有灵活多变的特点，所以说学生在对其进行解答的过程中需要较强的解答技巧，这对于初中生逻辑思维能力的锻炼有着很好的推动作用，所以其被广泛的应用到了初中数学竞赛当中。在对求值题进行解答过程中，如果采用按部就班的解题方法，那么解题过程是非常复杂和繁琐的，这些复杂和繁琐的解题步骤当中存在着大部分的“非必求成分”，即并不是一定要求出该步骤，才能够得出最后的答案，也就说这些“非必求成分”是可以省略和简化的，学生如果能够抓住这一特点，仔细分析题意，找出其中规律那么就能够将计算简化，并最终求得正确答案。
一、以“直接代入法”作为解题方法
“直接代入法”是求值题当中最为常见的一种解题方法，其解题原理是将题目当中所已知的字母的值带入到代数式当中，通过对代数式进行进一步化简，来求出所要求的值，该方法常用于较为简单的代数求值题当中。若在解题过程中能够已知代数式中所含字母的值，可尝试使用该方法对题目进行解答。
例题1：设a=，b是a2的小数部分，则（b+2）3的值是_____。（2013年全国初中数学竞赛第6题）
解：已知a=，那么就可以求出1
分析：解答该题的关键就在于“a=”这一已知条件，根据这个已知条件就可以得出字母a的取值范围，然后再以此为基础进行余下步骤的解答。
二、以“整体代换法”作为解题方法
“整体代换法”是在“直接代入法”的基础上进行所研究出来的。其一般适用于已知代数式当中所含字母的值，但将字母的值带入到代数式中无法直接进行所求值的计算或计算起来较为麻烦，这时候就可以采取“整体代换法”来对其进行统一的代换，并求出最终的值。整体代换法是解决上述问题最有效的方法，利用“整体代换法”来对代数式值进行求解的关键，就在于可以根据题意需要对已知条件和所求值的代数式进行合理的变形，然后再进行整体的代入和求值即可。
例题2：设a=-1，则3a3+12a2-6a-12=_____。（“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛第1题）
a：24B：25C：4+10D：4+12
解：由已知条件a=-1可以计算出（a+1）2=7，进而求得a2+2a=6。将a2+2a=6带入到3a3+12a2-12=3a当中，得出如下算式：
（a2+2a）+6a2-6a-12
=6a2+12a-12
=6×6-12
=24
故应选择a选项。
分析：解答该题的关键就在于“a=-1”这一已知条件，根据这个已知条件就可以得出a2+2a=6，然后再将a2+2a=6带入到代数式当中进行余下步骤的解答。
三、以“非负数性质”作为解题切入点
在初中阶段常见的非负数有|a|、a22n、，如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数均为0，非负数的这一性质使得在学生在解答部分竞赛代数求值题时有着重要的作用。也正因如此，利用非负数性质来对代数求值题进行解答也成为了非常常用的方法之一。
例题3：已知非零实数a、b满足|2a-4|+|b+2|++4=2a则a+b等于_____。（“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛第1题）
a：-1B：0C：1D：2
解：由二次根式中被开方数的非负数性质可知，（a-3）b2≥0，即a≥3。所以可以将|2a-4|转化成为2a-4，于是将|2a-4|+|b+2|++4=2a转变成为2a-4+|b+2|++4=2a，消项得出|b+2|++4=0，则有b+2=0，（a3-）b2=0，解得b=-2，a=3，最后得出a+b=1，故应选择C选项。
分析：该题当中充分利用了二次根式中被开方数的非负数性质，在此基础上逐步的由简化繁，一步一步解答最后得出正确答案。
四、以“方程中根与系数的关系”作为解题关键
这里所说的方程是一元二次方程ax2+bx+c=0，该方程的两个实数根为x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1×x2=c/a，这就是一元二次方程根与系数的关系，利用这一关系可解决竞赛中一类代数式求值问题。
例题4：设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式+的值为_____。（2012年全国初中数学联赛四川（初三组）初赛第2题）
a：5B：7C：9D：11
解：由已知a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则a、b可以看作一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系，知a+b=3，ab=1。
+====7；
故应选择B选项。
分析：该题型的关键就是一元二次方程根与系数的关系，利用这一关系可解决竞赛中一类代数式求值问题。
结论：
无论是在数学竞赛当中，还是平常测验和考试，求值题都是会经常出现的题型，出题者的出题目的就是为了能够以求值题为媒介，来锻炼学生的逻辑思维能力和数学解题的灵活性，从而提高学生的数学学习能力。在对求值题进行解答的过程中，学生需要做好以下三点：①充分理解题意，分析出各个条件之间的关系和用处，“取其精华去其糟粕”；②不要拘泥于传统的解题方法，要将思维发散出去，将自己的解题思路放的更广，从各个角度入手来尝试对习题进行解答；③控制好自己的解题状态，戒骄戒躁，避免因解题不顺而出现情绪起伏，从而对自己的解题思路造成影响。
【参考文献】
[1]王定成.建构二次方程模型巧解竞赛求值问题[J].中学生数学，2005，22：25-26.
初中数学求代数式的值篇2
关键词：初中代数基础解题法技巧解题法
数学离不开思维.很多学生天天做练习，但成绩就是不理想.主要原因是没有吃透教材的基本原理，没有掌握解题的科学方法.只有掌握方法，才能触类旁通，举一反三.不管遇到什么难题，都能得心应手，迎刃而解.那么在初中代数中有哪些基础解题法和技巧解题法呢？
一、待定系数法
用一个或多个字母来表示与解答有关的未知数，这些字母就叫待定系数法.待定系数法是一种最基本的数学方法，这个方法多用于多项式运算、方程和函数.
例1：根据二次函数的图像上（-1，0）、（3，0）、（1，-4）三点的坐标，写出函数的解析式.
解：由题设知，当x=-1和x=3时，函数y的值都等于0.故设二次函数：y=a（x+1）（x-3）（两点式）.把（1，-4）代入上式，得a=1.故所求的解析式为y=（x+1）（x-3）=x-2x-3.
注意：用待定系数法确定函数式时要讲究一些解题技巧.此题可设所求二次函数的解析式为y=ax+bx+c，用待定系数法，把已知的三点代入，得到一个三元一次方程组，进而求出三个待定系数a，b，c，但这种解法运算量较大.而运用两点式则大大减少了运算量，提高了解题效率与准确率.
例2：已知3x+7y+z=3.15，4x+10y+z=4.20，求x+y+z的值.
解：设x+y+z=a（3x+7y+z）+b（4x+10y+z）=（3a+4b）x+（7a+10b）y+（a+b）z
所以得到三个等式：3a+4b=1，7a+10b=1，a+b=1
联立上面三个式子解得：a=3，b=-2，所以x+y+z=3×3.15-2×4.20=1.05.
这道例灵活运用待定系数法便可巧妙解出，它考查了学生的观察能力与思维能力.
二、配方法
配方，一般是指在一个代数式中通过加减相同的项，把其中若干项变形为n次幂形式的项.这是恒等变形的重要方法之一.因为它有广泛的迁移意义.
例3：分解因式x+64.
解：x+64=（x+16x+64）-16x=（x+8）-（4x）=（x+4x+8）（x-4x+8）
例4：（x-z）-4（x-y）（y-z）=0，求x+z-2y的值.
解：由已知条件得x-2xz+z-4xy+4y+4xz-4yz=0，即（x+z）-4（x+z）y+4y=0，则［（x+z）-2y］=0，所以x+z-2y=0.
三、换元法
把一个简单的含变元的式子替换一个较为复杂的含变元的式子，可使问题得以简化.这样的方法就叫做换元法.换元法是数学中重要的解题方法，根据问题的特点进行巧妙换元，往往可以化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效.
例5：计算：（2+3.15+5.87）×（3.15+5.87+7.32）-（2+3.15+5.87+7.32）×（3.15+5.87）
解：设a=3.15+5.87，b=3.15+5.87+7.32
所以，原式=（2+a）×b-（2+b）×a=2（b-a）=2×7.32=14.64.
例6：解方程组x-xy+y=363x-xy+3y=0
解：令x+y=uxy=v（1）
代入方程组中，得u-3v=363u-v=0，解得u=12v=36和u=-3v=-9，
代入（1）式中，得x+y=12xy=36，x+y=-3xy=-9，
分别解之，得x=6y=6，x=y=.
以上三种方法是我们初中阶段较常见较重要的基础解题方法，愿同学们能从中得到启发，重视中学数学中的解题基本方法.下面介绍三种技巧解题方法，希望对同学们的观察力和思维能力的提高有所帮助.
四、构造法
构造法是一种实用的解题技巧.解决一些问题时，应用它常常会使问题迎刃而解，又有利于培养学生的创新能力.
例7：已知2m-5m+1=0，2n-5n+1=0，且m≠n，求+的值.
分析:若解出m，n的值，再把它们代入，+显然计算很麻烦;但注意到已知的两个等式形式相同，并且具有一元二次方程的形式，这启示我们要构造一元二次方程，利用韦达定理求原代数式的值.
解:由题设知m，n是方程2x-5x+1=0的两根，
由韦达定理，得m+n=，mn=.
所以+====10.
五、猜测与归纳法
有些数学问题的一般结论难以根据题设条件“一眼看穿”，往往先分析某些简单的、特殊的或现成的情况，使用经验归纳这一推理方法，从中猜测，并由此发现规律，探得解题途径.
例8：求出2是多少位数字?
解:因为2=（2）=1024＞1000=10，
所以2的位数不会少于31位.
又因为＜=＜••…•=＜0，所以2=1024＜10•10=10，即2的位数少于32.因此2的位数为31.
六、几何解法
代数与几何是初中数学两个重要分支，数形结合是数学一种重要方法.几何将抽象的数量关系通过直观的图形形象地展示出来.
例9：设m，n，p均为正实数，且m+n-p=0，求的最小值.
分析：由m+n-p=0可想到构造直角三角形；由可想到三角形对应边的比.
解：构造RtaBC，aC=m，BC=n，aB=p，延长BC到D，使DC=aC=m，连接aD，则BD=m+n，aD=m，∠D=45°，交BD于e点，可证Bae与BDa相似，所以=，即==，又因为aCBD，则ae≥aC，所以当ae=aC=m时，值最小，即的最小值为.
参考文献：
［1］钟光义.构造法在初中代数中的应用［J］.数学学习，2004，（1）.
初中数学求代数式的值篇3
[关键词]总复习；思维导图；一题多解；数学思想方法；创新意识
孔子曰：“温故而知新”，复习是学习的过程中重要的一部分。系统的复习不但可以帮助学生对所学的知识进行巩固、消化、运用，还能提高学生的数学素养，提高他们解决实际问题的能力。下面就如何进行初中数学总复习，谈谈我的一些体会。
一、根据学生的实际情况，制定复习计划
在制定复习计划前要认真研究《数学中考说明》，对近几年中考试题进行研究，分析其特点。分析近几年的中考题，大部分试题还是来源于教材，但考题越来越重视双基，考察学生能否利用所学的知识来解决有实际背景的问题；更加重视对学生能力的考察。所以说制定复习计划应该考虑到学生的实际情况。初中数学内容比较多，我们要按照新课程标准的要求，中考说明，以及学生的实际，认真编制复习计划。重点是考虑到学生的实际情况，哪些是学生容易忘记混淆的内容，要定为复习重点。老师也可以和学生进行沟通，把自己的复习计划复印给学生，让学生参照自己的实际情况来制定符合自己的复习计划。
二、利用思维导图帮助学生进行复习
在教学中我经常会想有没有一种教学模式能把数学知识有序组织起来，提高学生的学习效率，培养学生良好的思维品质呢？带着这个困惑，我开始长时间的思考、研究、分析，后来我发现思维导图是一种很好的解决方法。
思维导图可以把所学内容以树状结构表示，记住关键词，突出重点，节省时间，提高了记忆效果。在复习中可以先让学生独立的对整章知识进行总结，根据自己的理解，理清数学概念、规律及其区别、联系，区分重难点，画出思维导图。教师在学生所画的思维导图中出现的思维错误要进行适当的修改，然后抽取部分典型作品，让学生探讨其中的优劣，进行补充与深化，最后由教师进行总结和提升。学生自己找出联系，把所画的思维导图编制成自己的知识网络，这样可以加深学生的印象，提高学习的效率。教学中除了按章节复习以外，还可以按照知识分类进行复习。如函数知识，分为一次函数，反比例函数，二次函数三个主要分支，每个函数分支又可以细分为函数概念、图象、性质及应用等，当思维导图完成时，学生对函数的知识就有了一个清晰的知识框架了。在教学中还可以让学生利用思维导图来做笔记。用短语记下重点，顺应大脑的思维方式把它们连接起来，在记的同时让学生加上自己的创意，这样不仅能让学生轻松的跟上教师的步奏，还能让学生充分的理解和掌握。
三、选择典型例题，一题多解
对于数学上的某些题型，我们可以找到一种或几种灵活、新颖而又容易的解法，这样往往能够很大程度上提高解题速度和学习效率。我们在教学中要根据各种学生的特点，各种题型的特点，不同的教学环境，适时适地适人地传授各种不同的学习方法，以开阔学生的思路和视野。
下面就有关比例式的一种题型的多种解法谈点自己的看法，仅供大家参考。
例：如果a/3=b/4=c/5，求（a+3b）/4c的值。
分析：此题如果想由已知比例式解出a，b，c的值，然后代入所求代数式中求值，这是行不通的，因为a，b，c的具体值根本无法由已知比例式求得，由此可知，解此题必须另辟蹊径。
下面介绍几种解法：解法一
a/3=b/4=c/5
不妨取特殊值a=3，b=4，c=5，把所取值代入代数式得：所求代数式的值为3/4。
说明：此方法采取的是特殊值法，即把比例式中的字母取满足条件的而又较简单的特殊值，再将这些值代入所需求值的代数式中，即可得解。但此方法在给字母取值时，不具有普遍性，即字母的取值本身有多种情况，而此处仅取一种特例，让人觉得过于特殊化，因此它具有一定的局限性，只适合于不需写过程而只需看结果的填空题或选择题的解答。但应注意，在特殊情况下，此法是完全可行的。
解法二：设a/3=b/4=c/5=k，可得a=3k，b=4k，c=5k.
则（a+3b）/4c=（3k+3×4k）/（4×5k）=3/4
说明：此方法在计算时，设这些比例的比值为k，得到用k的代数式表示的a，b，c的式子，然后利用a，b，c中都有相同的因式k，将分式约分去掉求未知数k，从而得出结果，这种思想很重要，对解决许多问题都有帮助，教学时要让学生认真体会。
解法三：
a/3=b/4=c/5
a=3c/5b=4c/5
再代入所求代数式中得其值为3/4。
说明：此方法是通过已知比例式，把a，b，c都化成用含c的代数式表示，代入所需求值的代数式后，通过分式将字母c约去，从而得出结果，当然，此题也可在将a，c用含b代数式表示或将b，c用含a的代数式表示后，代入代数式中求值。
解法四：a/3=b/4=c/5
a/3=3b/12=4c/20
（a+3b）/（3+12）=4c/20
（a+3b）/15=4c/20
（a+3b）/4c=15/20=3/4
说明：此方法是先根据所需要求值的代数式的特点，将已知式a/3=b/4=c/5利用分式的基本性质适当变形，然后再利用比例的等比性质和其他性质将所得比例式变形即得最终结果。此法虽不难，但运用知识点多，显得易而活。
后三种解法具有普遍性，学生容易理解。解法一虽具有一定的局限性，但方法新，速度快，因此各有千秋。我们在教学中要利用一题多解来锻炼学生的思维能力，让学生能根据题目给出的已知条件，并结合自身情况，灵活地选择解题切入点.同时培养学生的创新思维，使学生不满足仅仅得出一道题的答案，而去追求更独特、更快捷的解题方法。
四、重视思想方法，培养综合运用能力
数学思想方法是数学的核心，是数学基本知识的重要组成部分。近几年的中考试题不仅紧扣教材，而且还重视数学思想和方法的考察。这类问题一般比较灵活，技巧性强，解法也多样。这就要求学生找出最佳解法，以达到准确和争取时间的目的。初中数学中常用的基本方法有：配方法、换元法、待定系数法、反证法等。数学思想有：函数思想，数形结合思想，转化思想，分类讨论思想等。这些基本思想和方法分散的渗透在中学数学教材的章节之中。因此，我们在数学总复习中，除了传授基础知识的同时，一定要有意识、有目的、适时地注重数学思想方法的渗透和归纳。让学生在解题时，能够有效地利用数学思想和方法，只有这样，学生在中考中才能综合运用所学的知识。
初中数学求代数式的值篇4
同类事物的共同本质及其所表现出来的共同现象，即共性。由于不同学科的复杂程度或发展的快慢不同，研究成果所达到的水平也不同。复杂程度是学科研究内容本身所固有的，学科发展的快慢受社会需求的影响。人文科学相对于自然科学是复杂的，数学作为工具，它的应用程度显示着该学科的研究水平。就此而言，人文科学相对于自然科学研究水平较低，是必然的也是客观的。所以，基于同类事物的共性，人文科学可以借鉴自然科学的研究成果。水力学是自然科学的一个分支，迭代法是水力学中常用的数学计算方法。基于水力学计算中迭代法进行一些哲学思考是有益的。
一、迭代法基本原理
1.非线性代数方程式的迭代法[3]用逐次逼近的方法求非线性代数方程式f(x)=0的实根。先将（1）式变换为迭代公式的形式：x=F(x)（2）选取初值x0进行迭代计算，得第一次迭代计算结果记为x1；再将x1作为第二次迭代初值进行迭代计算，得第二次迭代计算结果x2；以此类推，将第n次迭代计算的结果xn作为第n+1次迭代计算的初值进行迭代计算，得第n+1次迭代计算的结果xn+1。xxF(x)xF(x)xF(x)01021n1n&&&g&===+（3）每迭代一次进行收敛判别，迭代进行到第n+1次时收敛判别式为：（式略）ε为收敛判别常数。如满足，迭代结束；否则继续进行迭代计算，直到满足收敛判别式为止。要使上述过程能够收敛，迭代公式要满足的条件为：Fl(x)＜12.线性代数方程组的迭代法例如求解如下三元一次方程组：（方程略）也可以采用介于雅克比迭代法和塞德尔迭代法之间的迭代法。新值采用两者迭代结果的加权平均值。塞德尔迭代法结果所占权值介于0和1之间时，称为欠松弛迭代法。塞德尔迭代法结果所占权值大于1时，称为超松弛迭代法。
二、水力学计算中的迭代法
应用水力学计算中常用迭代法进行如下计算：梯形断面明渠正常水深和底宽的计算、梯形断面明渠临界水深的计算、非棱柱体渠道水深的计算及泄水建筑物下游收缩断面水深的计算等。（方程略）式中：hc为泄水建筑物下游收缩断面水深；q为通过泄水建筑物的单宽流量；φ为泄水建筑物的流速系数；e0为泄水建筑物上游断面相对于下游收缩断面最低点的总水头。用有限差分法或有限单元法进行水力学问题数值计算时，最后都要求解线性代数方程组。
三、相关的哲学思考
1.每做一件事都要先选取正确的路线对于非线性方程式进行迭代计算时，首先要构造满足收敛条件的迭代计算公式，即式（5）。只有满足收敛条件，才能得出最终的精确解。如果构造的迭代公式不满足收敛条件，迭代就会发散甚至数值溢出，就得不出最终的精确解甚至迭代中断。所以说，无论做什么事，都要选择正确的路线，否则会前功尽弃。2.只要摆正位置总可以达到目标只要初值在最终精确解迭代的收敛域内，初值大小对最终的精确解无影响。比如，用（13）式迭代计算梯形断面明渠正常水深、用（14）式迭代计算梯形断面明渠均匀流底宽、用（15）式迭代计算梯形断面明渠临界水深、用（16）式迭代计算非棱柱体梯形渠道水深和用（17）式迭代计算泄水建筑物下游收缩断面水深，均可以简单地选取迭代初值为0。做一件事情，如果不在目标所要求的初始状态，应首先调整目前的状态，否则谈目标是不切实际的；如果在目标所要求的初始状态，就要不失时机地去追求，不要彷徨，不要因自己目前的状态离目标相差比较远而不自信，甚至自暴自弃，只要努力都可以达到预定的目标。3.要有恒心不投机取巧线性方程式可以进行一次直接求解，而非线性方程式则需要逐步地迭代计算。迭代过程还有可能出现矫枉过正的现象，但离精确解总的趋势是越来越近的。自然界中描述一切现象的方程严格来讲都应该是非线性方程式，线性方程式只是一种近似。所以说，做一件事情不要寄希望于一蹴而就，要有恒心。追求的过程中，有时出现矫枉过正的现象也是不可避免的，但是只要坚持就会无限接近我们的目标。4.摆正心态不吹毛求疵利用迭代法求解非线性方程式或线性方程组时，需给定收敛判别式（4）或（12）。其中ε是一个小量，即允许的误差值。每次的迭代结果逐渐逼近精确解，但永远不能和精确解完全相同。如果不给定收敛判别式，迭代过程就会陷入无休止的循环。其实所求的函数值，与其相关所有自变量值的给定都存在一定的误差，这些误差也是不可避免的。这就决定了所求的函数值最终可能的精度水平，在此前提下追求最终结果的精度是客观的。如果想得到比此水平更高的精度，则是不切实际的，这样做是徒劳无益的。所以说，做任何事情都要综合各种因素，做出一个客观的合理的预期。调整好心态适可而止，不要吹毛求疵。5.善于总结经验教训可以提高效率根据具体方程的实际迭代过程，当迭代稳定性比较差易发散时，可选取欠松弛迭代法。当迭代稳定性很好但收敛较慢时，可选取超松弛迭代法。经过计算实践，可选取最优的塞德尔迭代法结果所占权值，使迭代过程既稳定不发散又迭代次数最少，达到既好又快的效果。做任何事情也都要善于对过去的所作所为进行总结，对进度进行适时地修正。当进度太快容易引起过程不稳定，以至于对正常迭代收敛可能造成破坏时，应适当地减缓进度。当迭代过程稳定性很好，但迭代收敛比较缓慢时，可以根据经验适当地加快进度。善于总结经验教训，可以提高效率，以便事半功倍。
初中数学求代数式的值篇5
关键词自动微分切线性模式数据相关分析统计准确率
1.引言
计算微分大致经历了从商微分，符号微分，手写代码到自动微分几个阶段。与其它几种微分方法相比，自动微分具有代码简练、计算精度高及投入人力少等优点。自动微分实现的基本出发点是：一个数据相对独立的程序对象（模式、过程、程序段、数值语句乃至数值表达式），无论多么复杂，总可以分解为一系列有限数目的基本函数（如sin、exp、log）和基本运算操作（加、减、乘、除、乘方）的有序复合；对所有这些基本函数及基本运算操作，重复使用链式求导法则，将得到的中间结果自上而下地做正向积分就可以建立起对应的切线性模式，而自下而上地做反向积分就可以建立起对应的伴随模式[1]。基于自动微分方法得到的切线性模式和伴随模式，在变分资料同化[2]、系统建模与参数辨识[3]、参数的敏感性分析[4]、非线性最优化以及数值模式的可预测性分析[5]等问题中有着十分广泛的应用。
迄今为止，已有数十所大学和研究所各自开发了能够用于求解切线性模式的自动微分系统，比较典型的有tamC系统[6]、aDJiFoR系统[7]和oDYSSee系统[8]。在一些特定的运用中，它们都是比较成功的，但在通用性和复杂问题的处理效率上还存在许多不足。通常，自动生成切线性模式的关键难题在于对象自身的强相关性，这给系统全局分析（如数据io相关分析和数据依赖相关分析）和微分代码的整体优化都带来了很多困难。同时，对于程序对象不可导处的准确识别和微分处理，至今仍还没有一个统一而有效的算法。另外，最优或有效求解稀疏雅可比矩阵一直是衡量一个自动微分系统有效性的重要尺度。
统计准确率被我们视为评价一类自动微分工具及其微分模式代码可靠性与有效性的重要尺度。其基本假设是：如果对于定义域空间内随机抽样获得的至多有限个n维初始场（或网格点），微分模式输出的差分和微分逼近是成功的；那么对于定义域空间内所有可能初始场（或网格点），微分模式输出的差分和微分逼近都是成功的。微分模式统计准确率评价的具体方法是：在所有随机抽样得到的初始场（或网格点）附近，当输入扰动逐渐趋向于机器有效精度所能表示的最小正值时，模式输出的差分和微分之间应该有足够精度有效位数上的逼近。
DFt系统具有许多优点，它能够完全接受用FoRtRan77语言编写的源代码，微分代码结构清晰，其微分处理能力与问题和对象的规模及复杂性无关。它基于YaCC实现，具有很强的可扩展性。DFt系统具有四个重要特色。它通过对象全局依赖相关分析，准确求解雅可比矩阵的稀疏结构，自动计算有效初始输入矩阵，从而可以用较小的代价求得整个雅可比矩阵。同时，它可以自动生成客观评价微分模式效率与可靠性的测试程序，对奇异函数做等价微分处理，并采用二元归约的方法，在语句级层次上实现微分代码优化。
2.系统概况
DFt系统主要由两部分组成：微分代码转换和微分代码评价，图2.1。微分代码转换部分接受用户输入指令并自动分析对象模式，生成切线性模式代码及其相关测试代码，后者直接构成微分代码评价系统的主体。微分代码评价是DFt系统的一个重要特色。DFt系统的开发小组认为，一个微分模式如果在可靠性、时间和存储效率上没有得到充分的验证，至少对实际应用而言，它将是毫无意义的。
原模式切线性模式
统计评价结果
图2.1DFt系统结构简图
2.1微分代码转换
DFt系统是基于YaCC在UniX环境下开发的，其结构图2.2所示。通过DFt系统产生的切线性模式代码成对出现，并在语句级程度上做了简化，可读性很强，如图2.4。
切线性模式
评价函数集
图2.2微分代码转换
微分代码转换部分从功能上分为四个部分：词法分析，语义分析，对象复杂性及数据相关分析和微分代码转换。对于一组具有复杂数据相关的程序模式对象，通常需要系统运行两遍才能得到有效而可靠的微分代码。这主要有两方面的考虑：其一，根据对象的复杂性（如最大语句长度、最大变量维数、子过程或函数数目、子过程或函数内最大变量数目等对象特征）选择合适的系统参数以求最优的运行代价；其二，模式内各子过程或函数之间以及一个子过程或函数内往往具有很强的数据相关性，需要事先保存对象的相关信息并且在考虑当前对象的属性之前必须做上下文相关分析。
图2.3peRiGee源程序代码图2.4DFt系统生成的切线性代码
2.2微分代码评价
通常，评价一个编译系统的性能有很多方面，如处理速度、结果代码可靠性及质量、出错诊断、可扩展和可维护性等。对于一类自动微分系统来说，由于软件开发人力的局限以及对象模式的复杂多样性,通过自动转换得到的微分模式并非常常是有效而可靠的（即无论是在数学意义上还是在程序逻辑上应与期待的理想结果一致），因而在微分模式被投入实际应用前，往往需要投入一定的人力来对其做严格的分析测试。
对切线性模式做统计评价测试的主要内容可以简单叙述为：在网格化的模式定义域空间内，选择所有可能的网格点形成微分模式计算的初始场；在不同的网格点附近，随机选取至少个线性无关的初始扰动，对每个扰动输入分别进行网格点逼近，统计考察模式输出差分和微分在有效位数上的逼近程度。图2.5描述了整个测试过程，它包含网格点数据随机采样（1）和网格点数据逼近（2）两级循环。
图2.5切线性模式代码的测试过程
3.系统主要特色
DFt系统并不是一个完整的FoRtRan编译器，但它几乎可以接受和处理所有FoRtRan77编写的源模式代码，并且可以很方便地扩展并接受FoRtRan90编写的源模式代码。本节将着重介绍DFt系统（版本3.0）的以下几个重要特色。
3.1结构化的微分实现
DFt系统采用标准化的代码实现，切线性模式的扰动变量和基态值变量、微分计算语句和基态值计算语句总是成对出现，并具有清晰的程序结构。微分代码保持了原模式本身的结构和风格（如并行和向量特性、数据精度等），即语句到语句、结构到结构的微分实现。在奇异点或不可导处，DFt系统对微分扰动采取简单的清零处理，实践证明这对抑制扰动计算溢出具有重要意义，但并不影响评价测试结果。
3.2全局数据相关分析
DFt系统具有较强的数据相关分析能力，它包括全局数据io相关分析、全局数据依赖相关分析、全局过程相关分析以及数据迭代相关分析几个不同方面。数据依赖相关与数据io相关关系密切，但又存在根本不同。前者强调每个变量在数学关系上的依赖性；而后者描述了一个对象的输入输出特性，且具有相对性，即任何一个变量参数，无论它是独立变量还是依赖变量，在数学意义上都可等价为一个既是输入又是输出的参数来处理。
DFt系统记录所有过程参数的io属性表，通过深度递归相关计算，准确计算每个过程参数的最终io属性。DFt系统通过对数据相关矩阵做模二和及自乘迭代计算（an+1=anan2）来完成数据的依赖相关分析，这种算法具有很好的对数收敛特性。DFt系统通过全局过程相关分析的结果，自动生成模式的局部或整体相关引用树结构（如图3.1），这对用户分析复杂数值模式和微分评价测试都具有很好的指导作用。DFt系统还具有分析局部数据迭代相关和函数迭代相关的能力，这两种形式的数据迭代相关是自动微分实现颇具挑战的难题之一。
图3.1GpSRayshooting模式的相关树结构片段
3.3自动生成测试程序
基于io相关分析的结果，DFt系统自动生成微分测试代码，分别对切线性模式的可靠性和运行代价做统计评价测试。特别地，DFt系统还可将任何模式参数都视为输入输出参数，生成在数学意义上等价的测试代码，这样处理的不利之处在于往往需要极高的存储开销。
3.4基于语句级的代码优化
目前，DFt系统仅仅具备局地优化能力。在语句级微分实现上采用二元归约的方法对微分代码进行优化是DFt系统的一个重要特色。根据右端表达式的乘法复杂性及含变元数目的不同，DFt系统采取不同的分解策略。二元归约的方法避免了微分计算中的许多冗余计算，在一些复杂的非线性表达式的微分计算中具有最小的计算代价，同时也非常适合于微分系统的软件实现。同时，对于某些特殊的运算操作（除法、乘方）和特殊函数（如sqrt、exp），DFt系统较好地利用了基态值计算得到的中间结果，避免了微分实现中的冗余计算。
4.系统应用
运用自动微分工具得到的切线性模式，可以在无截断误差意义下求解函数的数值微分和导数、稀疏雅可比矩阵。同时这些结果在数值参数敏感性分析、非线性最优化以及其它数值理论分析中有着非常重要的应用。这里简单介绍切线性模式的几个基本应用。
4.1符号导数和微分
如果输入为数学关系式，DFt系统可以自动生成对应的微分表达式和梯度，而与数学关系式的复杂程度无关。例如我们输入关系式：
，（1）
DFt系统将自动生成其符号微分形式及其梯度形式分别为
，（2）
4.2数值导数和微分
切线性模式最基本的应用就是在一定扰动输入下求解输出变量的扰动（响应）。表4.1给出了DFt系统在对iap9L模式、GpSRayshooting模式和GpSRaytrace模式三个数值模式做切线性化的具体应用中，一些不同计算粒度、不同引用深度和不同程序风格的核心子过程，以及它们的切线性模式在SGi2000上运行的统计评价测试结果，其中切线性模式的可靠性指标都准确到六个有效数字以上，在运行时间、存储开销和代码复杂性方面分别是原模式的两倍左右，比较接近于理想的微分代价结果（1.5倍）。除了iap9L模式由于过于复杂仅做粗略统计外，其余模式都用非注释语句行数来表示各自的代码复杂性。
表4.1DFt系统在三个数值模式中的统计评价测试结果
性能指标
对象模式运行时间（10-3秒）存储开销（字节数）代码复杂性
原模式切线性
模式
原模式切线性
模式
原模式切线性
模式
Xyz2g2.5306.1605524110485589
intCiRa1.5602.750133426614165
Dabel0.0350.072601202749
LSS8.30017.50669133879143
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×1037.250
×1035000*9500*161279
pHYSiC2.750
×1035.385
×10330005000*1399*
(含注释行)2826*
(含注释行)
适当设置输入扰动的初值，运用切线性模式可以简单求解输出变量对输入的偏导数。例如，对于一个含有个输入参数的实型函数
（3）
这里设，。运用DFt系统，可以得到对应的切线性模式
（4）
其中，为切线性模式的扰动输入参数。可以通过以下办法来求得偏导数：
（5）
其中。如果对于某个既是输入参数又是输出参数，可以类似以下过程引用的办法来处理。对于过程引用的情形，例如一个含有个输入参数的子过程
（6）
其中，为输入参数；，为输出参数；，既为输入参数又为输出参数。运用DFt系统，可以得到对应的切线性模式为
（7）
其中，，，分别为切线性模式的微分扰动输入、输出和输入输出参数。可以通过以下输入扰动设置并引用切线性模式（7）来求得偏导数：
a)设置；（，）；（）可以同时求得（）和（），其中。
b)设置（）；；（，）可以同时求得（）和（），其中。
4.3稀疏雅可比矩阵
运用上节讨论的方法来求解稀疏雅可比矩阵,具有极高的计算代价。例如，一个含个独立和个依赖参数的子过程，为求解整个雅可比矩阵就需要反复调用次切线性模式，当相当大时，这对许多实际的数值计算问题是不能接受的。事实上，如果雅可比矩阵的任意两列（行）相互正交，那么可以通过适当设置扰动输入值，这两列（行）的元素就可以通过一次引用切线性模式（伴随模式）完全得到。设和分别为雅可比矩阵的行宽度和列宽度，即各行和各列非零元素数目的最大值，显然有，。这里介绍几种常用的求解方法。
正向积分当时，通常采用切线性模式来计算雅可比矩阵。根据雅可比矩阵的稀疏结构，适当选择右乘初始输入矩阵，可以获得接近的计算时间代价。DFt系统采用一种逐列（行）求解的方法，来有效求解右（左）乘初始输入矩阵。其基本思路是：按照某种列次序考察雅可比矩阵的各列；考察当前列中所有非零元素，并对这些非零元素所在行的行向量做类似模二和累加运算（即将非零元素视为逻辑“1”，零元素视为逻辑“0”），从而得到一个描述当前列与各行存在“某种”相关的标志向量（其元素都是“1”或“0”）；依据此标志向量，就很容易得到一个与之正交的列初始向量，其中与当前列序号对应的元素设置为“1”，而与标志向量中非零元素序号对应的元素设置为“0”，与标志向量中非零元素序号对应的元素设置为“-1”，显然，该列初始向量是唯一的，并且对应着当前右乘初始输入矩阵的最后一列；逐一考察已求解得到的列初始向量，如果某列初始向量与当前求解得到的列初始向量按下面定义的乘法（见过程4）正交，那么这两列就可以合并，即将当前列初始向量中非“-1”的元素按照对应关系分别赋值给该初始向量，并从记录中删除当前列初始向量；重复以上过程，继续按照给定列次序考察雅可比矩阵的“下一列”。不难说明，按照不同列次序求解得到的右乘初始输入矩阵可能不同。其中逐列求解右乘初始输入矩阵的过程可以简单叙述为：
1）将右乘初始输入矩阵所有元素的初值均设置为，，。。
2）如果，转6）。否则，如果雅可比矩阵的第列中的所有元素均为，，重复2）的判断。否则转3）。
3）计算标志向量。令，做如下计算：
，;
4）设为的列向量。在上定义乘法，对任意的，我们有：a）；b)如果，必有和。然后，做如下计算：
,;
，6);
2);
5）令，并做如下计算：
，;
令,。如果，转6）；否则，重复2）的判断。
6）对，，如果，则。取的前列，这样，我们就得到了一个维右乘初始输入矩阵。
这里需要说明的是，运用上面的方法求得的右乘初始输入矩阵不仅与求解雅可比矩阵的列序有关，而且与过程4）中的合并顺序也有关系。至于如何最优求解右乘初始输入矩阵，目前还很难讨论清楚。但是，大量模拟试验结果表明，运用上面自然次序求得的右乘初始输入矩阵宽度已经非常接近于其下界值。
反向积分当和时，通常采用伴随模式来计算雅可比矩阵。根据雅可比矩阵的稀疏结构，适当选择左乘初始输入矩阵，可以获得接近的计算时间代价。其中左乘初始输入矩阵的求解过程完全可以按照上面的方法进行，但是在处理前必须先将雅可比矩阵转置，最后还需将得到的初始输入矩阵转置才能最终得到左乘初始输入矩阵。同时，其行宽度也已经非常接近于其下界值。
混合积分如果将切线性模式和伴随模式相结合，往往可以避免梯度向量运算中的诸多冗余计算。例如，aDJiFoR系统在求解雅可比矩阵时，在语句级微分实现中首先用伴随方法求得所有偏导数，然后做梯度向量积分；其计算时间代价与和模式的语句数目有关，而其存储代价为。具体讨论可参考文献[7]。
5．结论
切线性模式在无截断误差意义上计算函数的方向导数、梯度或雅可比矩阵，以及在模式的可预测性及参数敏感性分析、伴随模式构造等相关问题中有着广泛应用。DFt系统主要用于求解FoRtRan77语言编写的切线性模式，具有很强的全局数据相关分析能力。此外，DFt系统还具有其它几个重要特色，如结构化的微分实现、自动生成微分测试程序以及基于语句级的微分代码优化。本文简单给出了DFt系统在求解数值和符号导数和微分、稀疏雅可比矩阵中的应用。为评价一类自动微分系统，本文初步提出了统计准确率的概念。
参考文献
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初中数学求代数式的值篇6
1用字母表示数的思想
用字母表示数是由特殊到一般的抽象，是中学数学中重要的代数方法。初一教材第一章代数初步知识的引言中，就蕴涵用字母表示数的思想，先让学生在引言实例中计算一些具体的数值，启发学生归纳出用字母表示数的思想，认识到字母表示数具有问题的一般性，也便于问题的研究和解决，由此产生从算术到代数的认识飞跃。
学生领会了用字母表示数的思想，就可顺利地进行以下内容的教学：（1）用字母表示问题（代数式概念，列代数式）；（2）用字母表示规律（运算定律，计算公式，认识数式通性的思想）；（3）用字母表示数来解题（适应字母式问题的能力）。因此，用字母表示数的思想，对指导学生学好代数入门知识能起关键作用，并为后续代数学习奠定了基矗
2分类思想
数学问题的研究中，常常根据问题的特点，把它分为若干种情形，有利问题的研究和解决，这就是数学分类的思想。初一教材中的分类思想主要体现在：（1）有理数的分类；（2）绝对值的分类；（3）整式分类。教学中，要向学生讲请分类的要求（不重、不漏），分类的方法（相对什么属性为类），使学生认识分类思想的意义和作用，只有通过分类思想的教学，才能使学生真正明确：一个字母，在没有指明取值范围时，可以表示大于零、等于零、小于零的三种情形。这是学生首次认识一个有理数的取值讨论的飞跃，不要出现认为一个字母就是正数、一个字母的相反数就是个负数的片面认识。这样，学生做一些有关分类讨论的题也就不易出错，使学生养成运用分类思想解题的习惯，培养严谨分析问题的能力。
3．数形结合的思想
将一个代数问题用图形来表示，或把一个几何问题记为代数的形式，通过数与形的结合，可使问题转化为易于解决的情形，常称为数形结合的思想。初一教材第二章的数轴就体现数形结合的思想。教学时，要讲清数轴的意义和作用（使学生明确数轴建立数与形之间的联系的合理性）。任意一个有理数可用数轴上的一个点来表示，从这个数形结合的观点出发，利用数轴表示数的点的位置关系，使有理数的大小，有理数的分类，有理数的加法运算、乘法运算都能直观地反映出来，也就是借助数轴的思想，使抽象的数及其运算方法，让人们易于理解和接受。所以，这样充分运用数形结合的思想，就可突破有理数及其运算方法的教学困难。
4方程思想
所谓方程的思想，就是一些求解未知的问题，通过设未知数建立方程，从而化未知为已知（此种思想有时又称代数解法）。初一代数开头和结尾一章，都蕴含了方程思想。教学中，要向学生讲清算术解法与代数解法的重要区别，明确代数解法的优越性。代数解法从一开始就抓住既包括已知数、也包括未知数的整体，在这个整体中未知数与已知数的地位是平等的，通过等式变形，改变未知数与已知数的关系，最后使未知数成为一个已知数。而算术解法，往往是从已知数开始，一步步向前探索，到解题基本结束，才找出所求未知数与已知数的关系，这样的解法是从把未知数排斥在外的局部出发的，因此未知数对已知数来说其地位是特殊的。与算术解法相比，代数解法显得居高临下，省时省力。通过方程思想的教学，学生对用字母表示数及代数解法的优越性得到深刻的认识，激发他们学好方程知识，运用方程思想去解决问题。由此，学生用代数方法解决问题和建立数学模型的能力得到了培养。
5化归思想
化归思想是把一个新的（或较复杂的）问题转化为已经解决过的问题上来。它是数学最重要、最基本的思想之一。初一数学中的化归思想主要体现在：
（1）用绝对值将两个负数大小比较化归为两个算术数（即小学学的数）的大小比较。
（2）用绝对值将有理数加法、乘法化归为两个算术数的加法、乘法。
通过这样的化归，学生既对绝对值的作用、有理数的大小比较和运算有清晰的认识，而且对知识的发展与解决的方法也有一定的认识。
（3）用相反数将有理数的减法化归为有理数的加法。
（4）用倒数将有理数除法化归为有理数的乘法。
初中数学求代数式的值篇7
关键词：初中，代数，概念
代数知识是在算术知识的基础上发展起来的，其特点是用字母表示数，使数的概念及其运算法则抽象化和公式化。初中一年级刚接触代数时，学生要经历由算术到代数的过渡，这里的主要标志是由数过渡到字母表示数，这是在小学的数的概念的基础上更高一个层次上的抽象。字母是代表数的，但它不代表某个具体的数，这种一般与特殊的关系正是初一学生学习的困难所在。
为了克服初一新生对这一转化而引发的学习障碍，教学中要特别重视“代数初步知识”这一章的教学。它是承小学知识之前，启初中知识之后，开宗明义，搞好中小学数学衔接的重要环节。数学中要把握全章主体内容的深度，从小学学过的用字母表示数的知识入手，尽量用一些字母表示数的实例，自然而然地引出代数式的概念。再讲述如何列代数式表示常见的数量关系，以及代数式的一些初步应用知识。要注意始终以小学所接触过的代数知识（小学没有用“代数”的提法）为基础，对其进行较为系统的归纳与复习，并适当加强提高。使学生感到升入初一就像在小学升级那样自然，从而减小升学感觉的负效应。
初一代数的第一堂课，一般不讲课本知识，而是对学生初学代数给予一定的描述、指导。目的是在总体上给学生一个认识，使其粗略了解中学数学的一些情况。如介绍：（1）数学的特点。（2）初中数学学习的特点。（3）初中数学学习展望。（4）中学数学各环节的学习方法，包括预习、听讲、复习、作业和考核等。（5）注意观察、记忆、想象、思维等智力因素与数学学习的关系。（6）动机、意志、性格、兴趣、情感等非智力因素与数学学习的联系。
学生对于数的概念，在小学数学中虽已有过两次扩展，一次是引进数0，一次是引进分数（指正分数）。但学生对数的概念为什么需要扩展，体会不深。而到了初一要引进的新数―――负数，与学生日常生活上的联系表面上看不很密切。他们习惯于“升高”、“下降”的这种说法，而现在要把“下降5米”说成“升高负5米”是很不习惯的，为什么要这样说，一时更不易理解。所以使学生认识引进负数的必要是初一数学中首先遇到的一个难点。
我们在正式引入负数这一概念前，先把小学数学中的数的知识作一次系统的整理，使学生注意到数的概念是为解决实际问题的需要而逐渐发展的，也是由原有的数集与解决实际问题的矛盾而引发新数集的扩展。即自然数集添进数0扩大自然数集（非负整数集）添进正分数算术数集（非负有理数集）添进负整数、负分数有理数集……。这样就为数系的再一次扩充作好准备。
正式引入负数概念时，可以这样处理，例：在小学对运进60吨与运出40吨，增产300千克与减产100千克的意义已很明确了，怎样用一个简单的数把它们的意义全面表示出来呢？从而激发学生的求知欲。再让学生自己举例说明这种相反意义的量在生活中是经常地接触到的，而这种量除了要用小学学过的算术数表示外，还要用一个语句来说明它们的相反的意义。如果取一个量为基准即“0”，并规定其中一种意义的量为“正”的量，与之相反意义的量就为“负”的量。用“+”表示正，用“-”表示负。
这样，逐步引进正、负数的概念，将会有助于学生体会引进新数的必要性。从而在心理产生认同，进而顺利地把数的范畴从小学的算术数扩展到初一的有理数，使学生不至产生巨大的跳跃感。
初一的四则运算是源于小学数学的非负有理数运算而发展到有理数的运算，不仅要计算绝对值，还要首先确定运算符号，这一点学生开始很不适应。在负数的“参算”下往往出现计算上的错误，有理数的混合运算结果的准确率较低，所以，特别需要加强练习。
另外，对于运算结果来说，计算的结果也不再像小学那样唯一了。如|a|，其结果就应分三种情况讨论。这一变化，对于初一学生来说是比较难接受的，代数式的运算对他们而言是个全新的问题，要正确解决这一难点，必须非常注重，要使学生在正确理解有理数概念的基础上，掌握有理数的运算法则。对运算法则理解越深，运算才能掌握得越好。但是，初一学生的数学基础尚
不能透彻理解这些运算法则，所以在处理上要注意设置适当的梯度，逐步加深。有理数的四则运算最终要归结为非负数的运算，因此“绝对值”概念应该是我们教学中必须抓住的关键点。而定义绝对值又要用到“互为相反数”的概念，“数轴”又是讲授这两个概念的基础，一定要注意数形结合，加强直观性，不能急于求成。学生正确掌握、熟练运用绝对值这一概念，是要有一个过程的。在结合实例利用数轴来说明绝对值概念后，还得在练习中逐步加深认识、进行巩固。
学生在小学做习题，满足于只是进行计算。而到初一，为了使其能正确理解运算法则，尽量避免计算中的错误，就不能只是满足于得出一个正确答案，应该要求学生每做一步都要想想根据什么，要灵活运用所学知识，以求达到良好的教学效果。这样，不但可以培养学生的运算思维能力，也可使学生逐步养成良好的学习习惯。
进入初中的学生年龄大都是11至12岁，这个年龄段学生的思维正由形象思维向抽象思维过渡。思维的不稳定性以及思维模式的尚未形成，决定了列方程解应用题的学习将是初一学生面临的一个难度非常大的坎。列方程解应用题的教学往往是费力不小，效果不佳。因为学生解题时只习惯小学的思维套用公式，属定势思维，不善于分析、转化和作进一步的深入思考，思路狭窄、呆滞，题目稍有变化就束手无策。初一学生在解应用题时，主要存在三个方面的困难：（1）抓不住相等关系；（2）找出相等关系后不会列方程；（3）习惯用算术解法，对用代数方法分析应用题不适应，不知道要抓相等关系。
初中数学求代数式的值篇8
函数教学；衔接；解析式；逻辑思维
函数概念是数学核心概念中最重要的概念之一，从数学史上看函数概念的发展，众多数学家从集合、对应与映射的角度不断赋予函数概念以新的思想.19世纪法国数学家黎曼提出如下函数定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量的函数.这个定义已揭示了函数概念的本质属性，即两个变量在变化过程中相互依赖的关系.
从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过程.算术研究确定的常数以及它们之间的数量关系.方程研究确定的常数和未知的常数之间的数量关系.函数研究变量之间的数量关系.函数为研究运动变化的数量之间的依存、对应关系和构建模型带来了方便，从而能够解决比较复杂的问题.因此曾国光老师在《中学生函数概念认知发展研究》一文中指出，学生函数概念的认知发展有三个阶段：作为“算式”的函数；作为“变化过程”的函数；作为“对应关系”的函数.
在初中的学习中，学生研究函数的方法以观察图象变化为主，重视数形结合的研究方法，理解函数三种表示形式的作用：如解析法具有计算和推理的功能；图像法可以连续地看到函数的具体变化过程和趋势，便于图形自身的比较、图形与图形之间的比较；列表法要让学生通过观察，产生猜想等.要让学生在思维中构建这样的一个过程，能用解析法、图像法、列表法来刻画函数随着自变量变化而变的动态变化过程.
结合学段过渡的需要，在初三后期学习函数图像时，教师不妨从观察函数图象入手，适当引导学生对函数的有关性质推导进行代数说理，如在学习内容上从前面的由形到数，以形助数的图象法逐步向解析式转移，从解析式上对函数的最值、对称性、增减性等特征进行说理，为训练学生的数学思维，理解数学本质提供过程性的经历.为初高中的函数教学衔接寻找策略.
本文尝试着通过《二次函数的y=ax2+bx+c的图像与性质》一课的教学设计，试图引导学生将研究方法从图象逐步向解析式转移，对数形结合的方法顺势自然地理解，并加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势.突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用.
一、教学目标突出“代数说理”
《二次函数》一章编排于九年级下册，从内容上看，学生之前已经学习了《一次函数》《反比例函数》的内容，此后，在《高中数学必修1》的课程中，学生将继续学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的性质.
从方法上看，在研究一次函数和反比例函数时，教材侧重于通过观察函数图象来直观了解函数的性质，而进入高中后，教材则侧重于通过分析解析式来研究函数性质.在《反比例函数》教学中，笔者就试图透过反比例函数的解析式y=（k≠0）的右边，启发学生从反比例函数解析式的形态，即分式的特点去研究图象的性质：如从分式的条件关注定义域和值域；从分式的运算特点，关注变化规律（增减性）等.
《二次函数的y=ax2+bx+c的图像与性质》这节课的教学目标是让学生明确函数是描述自然界中量的依存关系的数学模型，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画.在进一步掌握“数形结合”学习的一般策略前提下，试图从最简函数的解析式y=x2入手分析，通过自变量x的变化来探究因变量y的变化.具体学习目标如下：
（1）不画图能说出画出函数y=ax2的图象性质；
（2）能明白y=ax2+bx+c化成y=a（x-h）2+k的意义；
（3）不画图能得出y=ax2+bx+c图象的性质.
二、教学过程呈现“代数说理”
1.从非负性的性质确定函数定义域和值域
问题1在同一坐标系内画出函数y=x2，y=x2+3，y=x2-3的图象，这三个图像位置如何变化？
教师用几何画板演示图像，建立形的感知.以动画的形式体现抛物线在同一坐标系中的分布及位置变化过程，帮助学生建立平移转换的思想.
问题2函数y=x2图象有那些性质？抛物线解析式右边的代数式是什么数？
追问1：对于函数y=x2，当自变量x取遍所有实数的时候，因变量y也是取遍所有的实数吗？如不是，那个范围是什么呢？
追问2：在x2中x变化时，x2如何变化？
追问3：不画图像，问函数y=x2自变量在什么情况下，函数值相等？
在讨论函数最值的时候，不让学生画图，而是让学生从函数的解析式y=x2入手，分析抛物线解析式右边的代数式是什么数？判断出右边代数式是非负数.而后从非负数的性质就能判断出它的最值即值域.再问当自变量取遍所有实数的时候，因变量也是取遍所有的实数吗？如不是，那个范围是什么呢？通过这样的一些问题的思考，也就非常自然地讨论了函数的定义域和值域问题.
类比于y=x2去讨论y=ax2+c及y=a（x+c）2+k、y=a（x+c）2-k（a≠0）的情形.这就是利用了完全平方的非负性，来确定函数的最值和取得最值的条件，也就确定函数定义域和值域.
2.从平方根的概念寻找函数的对称轴
寻找函数的对称轴其实就是讨论函数y=x2的奇偶性，为避开奇偶性这个词，我们问学生，函数y=x2的自变量在什么情况下函数值相等？让学生从函数的解析式的特点去分析，函数y=x2的自变量与因变量之间的关系.函数其本质是量的依存关系，它的性质是由解析式本身所反映出来的两个变量之间的依存关系而确定，即x是y的平方根，而一个非负数的平方根互为相反数.互为相反数的两个数到原点距离相等，反过来关于直线x=0对称的两m、n，其坐标应该满足ym=yn，（xm+xn）=0.从而用数析形，得出函数直线x=0是y=x2的图象的对称轴.
类比函数y=x2奇偶性性质的研究，启发学生从函数y=a（x+2）2-3与y=x2相似的结构上去寻找函数最值时自变量的取值.再引导学生当x+2取互为相反数时，函数值相等.即自变量x取关于-2为中点的两个自变量的时候，函数值相等.在x轴上（一维空间）x取到-2距离相等的点能使函数值相等.二维上存在m、n两点，其坐标满足（xm+xn）=2时ym=yn.则直线x=-2就是函数y=2（x+2）2-3=2x2+8x+5的图象的对称轴.从而从函数的最简式到一般式都能用函数的解析式来求出它的对称轴.
3.从自变量的变化发现函数的单调性
从函数的奇偶性，已经得出函数y=x2的图象是关于直线x=0对称的.对于函数y=x2单调性，学生容易发现，当自变量x≤0时，x由小到大时，函数y随x的增大而增大.x>0时，x越大函数值越大，即y随x的增大而增大.
同样对于y=2（x+2）2，如果（x+2）2越大，y的值越大.因此，当（x+2）≤0即x≤-2时，x越小函数值越大，即y随x的减小而增大；当（x+2）>0即x>-2时，x越大函数值越大，即y随x的增大而增大.类似推出函数y=2（x+2）2-3=2x2+8x+5的单调性.
三、通过“代数说理”理解配方的意义
问题1求出二次函数y=2x2+8x+5开口方向、对称轴和顶点坐标.如何将y=2x2+8x+5的右边式子配方？
让学生去体验直接从函数解析式y=2x2+8x+5去研究函数的性质不是那么容易，原因在于解析式y=2x2+8x+5中的x出现两次，x的变化如何影响y的变化不易看出，启发学生必须将x变成只出现一次，而配方的结构式中x只出现一次.这样找准化简的方向和方法，从而让学生明白配方的意义.对于配方的变形运算，引导学生回忆在一元二次方程的解法中，如何用配方方法解方程？方程的左边代数式与函数解析式的右边表达的代数式如何联系？
函数之所以成为初中代数的核心课程内容，一是源于函数本身的研究“变化过程中变量之间关系”的特点，二是函数教学是初中代数课程内容教学的重要脉络.如从讲授一维空间（数轴）到二维空间（平面直角坐标系）的变化；由列代数式发展为求函数的解析式；由方程发展为函数；由几何图形发展为函数的图象.最重要的是函数教学中所蕴含的建模、方程、变量等思想方法是中学数学课程教学必须关注的核心内容.函数在某个特定自变量时的函数可视为求取代数式的求值问题，函数在某个特定函数值自变量时y=0的情况可看成相应的方程，函数在某个特定函数值范围的情况可以看成是相应的不等式组.
初中数学求代数式的值篇9
关键词：数值模拟，地铁车站，结构设计
中图分类号：tU318文献标识码：a文章编号：
1前言
地铁车站断面形式复杂，合理结构断面形式对于结构受力和后期安全起着决定性作用。大连地铁某车站为双层岛式双拱单柱结构，比选方案为曲墙仰拱形式与直墙仰拱形式。本文以anSYS数值模拟对结构比选进行研究。车站主体隧道断面尺寸为20.7m15.3m（宽高）。车站采用复合衬砌形式，立柱为钢管混凝土柱，其它均为钢筋混凝土结构。根据对应的结构形式，车站沿纵向采用中洞法施工。
2数值分析
2.1几何模型建立
本模型取K17+190断面作为计算断面。依据设计方案的CaD模型，考虑模型的力学边界效应，有限元分析顶部边界取实际地面高程的地面线，侧墙与底板据边界距离分别取3D（D取20米），分别建立曲墙仰拱直墙仰拱的几何模型。
对单元的选取：在初衬与二衬结构设计验算中，分别将初衬和二衬取为Beam3梁单元；在进行拆撑过程中支护内力变化分析过程中，将初衬取为Beam3，二衬取为pLane2面单元；超前小导管加固区取为pLane2面单元；初期支护（临时支护）同初衬取为Beam3梁单元；杂填土、中风化板岩、中板、中柱取为pLane2面单元。
2.2本构模型选取
根据不同部分的力学特性，把围岩部分和加固区部分按照理想弹塑性材料处理，采用D-p模型本构关系，可以分析模型的塑性区情况以及弹、塑性区的应力与应变；主要结构部分采用弹性模型本构关系，可以通过分析结构的内力，结合现有结构设计规范进行结构设计验算。
2.3岩土体物理力学参数选取
本次数值模拟分析中，岩土体参数的确定主要依据地质详勘与围岩分级，结合《铁路隧道设计规范》（tB10003-2005）各级围岩物理力学指标取得。其中杂填土采用地质详勘建议值；中风化板岩考虑地下水影响取iV级围岩参数下限值，根据《铁路隧道设计规范》取得；小导管超前加固围岩参数的实现，参考相关文献弹性模量适当折减，浆液扩散半径平均为1m左右。钢筋混凝土二衬、钢格栅喷射混凝土初衬（支护）等物理力学性能较稳定、明确，依据经验取得。
2.4边界条件
根据模拟问题的力学情况确定边界条件：左右边界采取水平约束，底边采取垂直约束；模型顶部施加20Kn/m的地面超载，岩土体与结构体受重力作用；考虑初衬施工时降水作用，初衬分析不考虑水压力，二衬分析按全水头施加水压力。
2.5安全性评价方法与准则
本数值分析的安全性分析主要是基于数值分析所得结构内力，按照混凝土结构设计规范（GB50010-2002）所规定的要求进行验算。具体来说，首先对设计院提供的设计方案进行数值分析，分别求得不同方案的初衬和二衬弯矩、轴力与剪力图；然后，将最大弯矩所对应截面的弯矩、轴力、剪力值提出，运用北京城建设计研究总院结构所编制的北京城建设计研究总院结构设计程序VeR1.1Beta版（简称JD软件）进行结构设计；最后，通过对JD软件所得结构设计结果进行合理性判断，分析得出设计方案的合理与否，说明其安全性。
3数值计算结果分析
初衬安全性分析依据为：根据预设钢格栅设计方案，预设钢格栅初支护可以等效为8Φ22配筋的钢筋混凝土结构，将之与JD软件分析得配筋相比，确定初衬安全性。二衬安全性主要根据配筋率合理与否进行判断。
3.1衬砌直墙仰拱方案分析
(1)初衬安全性分析
初衬出现最大弯矩在开挖步3的侧墙底部，提取其对应的弯矩、轴力与剪力值，对应数值为358Kn·m，1570Kn，424Kn。将其带入JD软件进行分析。当取wmax=0.2mm，JD软件配筋为8.2Φ22，略大于8Φ22，认为存在安全性问题。
（2）二衬安全性分析
考虑全水头作用下，二衬最大弯矩在侧墙底部，提取其对应的弯矩、轴力与剪力值，对应数值为2400Kn·m，2730Kn，1670Kn。将其代入JD软件进行分析，当wmax=0.2mm时，配筋远超合理水平，所以该预设方案二衬设计不安全。
3.2曲墙仰拱结构形式方案分析
(1)初衬安全性分析
初衬出现最大弯矩在开挖步3的侧墙底部，提取其对应的弯矩、轴力与剪力值，对应数值为280Kn·m，62Kn，714Kn。将其代入JD软件进行分析，易知预设计初衬符合安全性要求。
（2）二衬安全性分析
考虑全水头作用下，二衬最大弯矩在侧墙底部，提取其对应的弯矩、轴力与剪力值，对应数值为744Kn·m，3540Kn，91Kn。将其代入JD软件进行分析，知eo/Ho
四、设计方案比选结论
通过二维有限元计算分析，得到了以下结论：
（1）厚度700cm直墙仰拱形式衬砌二衬，由于结构形式对围岩应力匹配性差，导致局部受力太大，无法满足结构配筋要求。从受力角度，不是好的方案。
（2）厚度700cm曲墙仰拱形式衬砌的初衬、二衬均满足结构设计的配筋要求，设计受力合理。与直墙仰拱形式相比，是优选方案。
参考文献：
初中数学求代数式的值篇10
【关键词】数形结合解题教学思维
伟大的法国数学家拉格朗日曾指出：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜活力，从那以后就以快速的步伐走向完善。”这说明数形结合是非常重要的。我们都知道，几何图形具有直观性，代数具有抽象性，但有些时候，几何问题有粗糙的情形发生，缺少精确定量的功能，当引入代数运算后，可以达到精确定量的功能。对于一些比较抽象的代数问题求解时，由于抽象遮挡住了思维的前进方向，就需要发掘代数问题的几何意义，借助几何的直观功能帮助代数问题的解决。从整个中学阶段来看，数形结合的思想贯穿始终，高中阶段将要学习的解析几何，其本质就是用代数的手段研究几何。为了使学生掌握好数形结合的思想方法，教师必须在初中阶段就向他们渗透数形结合的思想，并将这种思想贯穿于整个教学之中。下面，我结合自己的教学实践，谈一谈自己在初中数学教学中的一些做法和体会。
在初一上期的数学教材中，学生会接触到相反数的概念，绝对值的意义，有理数比较大小，有理数的加法法则、乘法法则等。针对初一学生年龄小，先有形象思维后有抽象思维的特点，在教学这部分内容时，教师应充分利用数轴，使数与形（即数轴上的点）建立起一一对应关系，帮助学生迅速理解相反数与绝对值的意义。而在教学多个有理数比较大小时，我都会要求初学者画出数轴，找到这些有理数在数轴上对应的点，并将有理数标在对应点的上方，然后引导学生观察后得出结论：将数轴上标好的有理数从左到右排列，即可找出它们由小到大的顺序。这样，学生会感觉非常直观，不易出错。在学习有理数的加法法则、乘法法则时，也可让学生结合图形（数轴）进行归纳总结。而在初一下期学习解不等式组，要确定出不等式组的解集时，也一定要让学生亲身经历画出数轴，在数轴上找出两个不等式解集公共部分的过程，使答案直观地体现出来，降低学习的难度。
在初二上期的数学教学中，学生开始接触函数，这对他们来说非常抽象。这时教师可利用平面直角坐标系，让学生逐步建立起函数与图象的对应关系，使他们看到一次函数，就联想到直线，甚至于在将来的学习中，能自然地将反比例函数与双曲线，二次函数与抛物线联系起来。而在这个过程中，学生会发现，通过图形，能更好地理解方程与不等式的关系，化抽象为直观，降低问题的难度。在教学乘法公式中的平方差公式时，可发挥图形作用进行数形对比，使学生看到长方形的面积（a+b）（a-b）确实等于两个正方形面积之差a2-b2。同样，完全平方公式也能利用图形的面积展现出来。这些做法，能够帮助学生认清公式的结构特征，理解并掌握好公式。初二下期学习勾股定理的推导时，可向学生介绍，勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一，有四百多种证法，中外数学史上许多数学大家都曾证明过它，如中国的赵爽、刘徽，外国的达・芬奇，欧几里得等，并向学生介绍这些数学大家的证明方法，使学生从中体会用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既严密性又直观，体会到数形结合给证明带来的简洁、优美，激发起学生学习数学的兴趣。