初中数学求最值的方法篇1
关键词：微分学；解题应用；初等数学
中图分类号：G427文献标识码：a文章编号：1992-7711（2013）18-089-1
初等数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。将高等数学中的微分理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个值得研究的课题。因此，作为中学教师，除掌握初等数学各种类型题的已熟知的初等方法外，还应善于用高等数学方法解决初等数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学方法则易于解决的初等数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进初等数学教学。
一、方程根的讨论
中学数学解方程根的问题一般应用不等式的有关知识，对一元二次方程的实根分布进行讨论；借助二次函数的图象进行实根分布的讨论，培养学生数形结合的思想；将实根分布等价转化为不等式（组）的求解问题，体现等价转化的数学思想。但是如果用连续函数介值性定理解决此例问题，则可以收到事半功倍的效果。
所以由连续函数介值定理知有方程h（x）=0在区间（3，103），（103，4）内分别有惟一实数根，而在区间（0，3），（4，+∞）内没有实数根，所以存在惟一的自然数m=3，使得方程f（x）+37x=0在区间（m，m+1）内有且只有两个不同的实根.
二、求函数的切线、单调区间、极值、最值等问题
由导数的几何意义，可以很容易地求得曲线的切线，也可方便地求出函数的单调区间和极值、最值.
本题融导数、切线、极值于一体，考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，综合性较强，但解题思路较明显。
初中数学求最值的方法篇2
关键词：转化思想
中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2014）18-235-01
新课标中提到“四基”，即基础知识，基本技能，基本思想，和基本活动经验。在平日的教学过程中，许多老师常常只注重课本中基本知识和基本解题技能的传授，而对数学思想常常缺乏总结和引导。有时甚至忽略。因为许多数学思想往往隐藏在具体的数学知识背后，缺乏清晰的陈述，致使许多教师对数学思想方法的教学缺少连贯性系统性地指导。而转化思想，在初中数学教学中最为常用，许多知识的学习和探究都可以采用转化的思想，使用的得当，使课堂教学效果事半功倍。尤其是刚刚步入中学的七年级学生，还习惯于小学学习模式，对初中的学习方式方法正在探索中。对于新知识、新的思维模式的，需要一段时间的适应，小学时对转化思想虽然有一些认识，但这些认识是模糊的、零散的、粗浅的，难以成为学生自己的思维。这就需要我们做好系统设计，有意识地进行提炼并归纳，指导学生运用转化思想方法解决问题，使之内化为学生自觉的思维模式。
七年级的数学教学中有许多教学内容可以采用转化的思想来讲解，例如：在七年级刚入学时学了有理数加法和相反数后，有理数的减法就可以转化为有理数的加法来进行；学了有理数乘法和倒数的概念之后，有理数的除法，又可以转化为有理数的乘法来进行了；在学习方程时，转化思想更是淋漓尽致，贯穿始终。二元一次方程组，通过代入法，加减消元法等将二元方程组转化为一元一次方程，分式方程整式化，通过去分母换元法转化为一元一次方程或一元二次方程；转化思想让数学知识环环相扣，由旧知引新知，把新的问题用就的知识来化解。
下面就举两个关于转化思想来解决问题的例子。
一、在学元一次方程组时
在处理含参数二元一次方程时，可将参数看成常数，转化为一般二元一次方程组的解法进行求解
例（1）：
解：①-②得
3y=3
y=1
将y=1代入②得
x=2
解得；
例（2）：已知关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，求k的值。
（这里将参数k看成常数参与计算，按照一般二元一次方程的求解办法求解如下：）
解：
①-②得
3y=3-3k
y=1-k
将y=1-k代入①得：
解得：
含参二元一次方程组的求解，实质上是三元一次方程组的一种形式。教师在讲授时，先要让学生熟练掌握二元一次方程的解法，对于含参数问题，只要学生能够将方程中所含参数在计算过程中想象为常数参与计算，就可以将含参方程转化为熟悉的二元一次方程来求解。最后所得到的方程的解一定是常数或用含参数的代数式表示的结果，再根据题中所给条件求出参数就会比较容易。
二、在学习《有理数》这一章节中
绝对值是初中数学中的一个重要概念，在求代数式的值，解绝对值方程与不等式时，通常会遇到分类讨论的问题，为了使学生能够好的掌握这个知识点，应该让学生探究一下绝对值的几何意义。我们知道，的几何意义是表示数轴上表示数“a”的点到原点的距离。类似地可知，的几何意义是表示数轴上点“x”到点“a”的距离.如可以看作为数轴上表示“x”的点与数轴上表示“1”点的距离；可以写成的形式，因此它可以看作为数轴上表示“x”的点与数轴上表示“-3”点的距离。由此，我们可以将含绝对值的代数式计算问题转化为数轴上点与点之间的距离问题.
例（3）：求的最小值
分析：如果单从绝对值的代数意义来分析这道题，在求解过程中要采取分类讨论的方法。即假设三种情况讨论，再将三种情况下的最小值进行比较，得出最后的结论。但是如果将绝对值的问题根据其几何意义转化为数轴上点与点间的距离问题，更容易理解，计算起来更简便。
如图：
假设三个不同取值范围内的x分别为。在三个点到“-2”和“3”的距离中，只有的距离是固定值为5，其他两个范围内的x到“-2”和“3”的距离都大于5.因此可以得出的最小值为5.
通过上面的例题，我们不难发现，通过绝对值几何意义解题，使一些比较复杂的绝对值问题得到巧妙解决，避免了烦琐的分类讨论，体现了数学中数形转化的思想。不仅加强了知识间的联系，而且也能激发学生学习的兴趣，从而使学生对数学思想方法有较深刻的理解和掌握。
转化思想是初中数学课堂授课中最常用！最有效的思想方法之一，能够使学生建立新旧知识之间的联系，开拓学生的思维，提高学生的解题能力。教师在教学实践中要针对不同的题目特点选用不同的转化方法，并注重对学生方法的指导，提高初中数学教学的质量。
参考文献：
初中数学求最值的方法篇3
关键词：高等数学教学初等方法应用技巧
初等数学是高等数学的基础，初等数学的很多知识点在高等数学中有着广泛的应用。因此，在高等数学教学中，教师巧用初等数学的知识与方法，注意引导学生思考例题的初等解法，不仅可以丰富高等数学的教学内容，而且能使学生将所学数学知识融会贯通，提高学生的数学素养。本文通过数道例题，对初等方法在高等数学中的应用技巧作一分析。
一、极限与导数运算中的初等方法
例1：已知：x=，x=，x=，x=，求x。
高数授课传统解法:根据定理“单调有界数列必有极限”，首先证明数列{x}单调递增，然后证明数列{x}有界，最后求极限。
初等方法：利用三角函数中的倍角公式。
解：x==2cos45°
x====2cos
x===2cos
x==2cos
所以：x=2cos=2。
例2：已知：y=，求y′。
高数授课传统解法:利用复合函数求导法则结合除法公式求解。
初等方法：利用对数公式化简后，再运用隐含数求导公式求解。
解：y=
两边同时取对数，得：
lny=［ln（1+x）+ln（1+2x）-ln（1-x）-ln（1-2x）］
两边同时对x求导，得：
y′=+++
即：y′=+++。
上述两例题中，初等方法的应用在拓宽学生解题思路的同时大大简化了高等运算。
二、极值应用题中的初等方法
例3：要求设计一个容量为1升，形状如直圆柱的油罐，什么样的尺寸用的材料最少？
高数授课传统解法:
解：假设材料厚度均匀，则当油罐表面积最小时所需的材料最少。设油罐的底面半径为rcm，高为hcm，则油罐的表面积a=2πr+2πrh，油罐的体积为πrh=1000，我们所需解决的问题是在满足约束πrh=1000的条件下，使总的表面积尽可能小的r和h的尺寸。为了把表面积转化为单变量函数，我们从πrh=1000中解出一个变量并带入表面积函数，
得：a=2πr+2πrh=2πr+2πr（），
即：a（r）=2πr+，r∈（0，+∞）
求导得：a′=4πr-
令a′=0，得唯一驻点r=≈5.42
即，当r≈5.42时，a=2πr+取最小值，相应的h=2r≈10.84。故当所求1升油罐的直径与高相等时使用材料最少，其中h≈10.84cm。
初等方法：利用算术平均不小于几何平均的不等式，即：
≥（当且仅当a=a=…=a时等号成立）
解：a（r）=2πr+=2πr++≥3=300，即：对?坌x∈（0，+∞），a（r）≥300，当且仅当2πr=时等号成立。故当r=≈5.42时，a（r）=2πr+，取得最小值。
例4：通过从一个边长12cm的方形硬纸板的四角切去全等的四个小正方形，再把四边向上折起制作成一只无盖的方盒子，四个角要切去多大的正方形才能使方盒子装得尽可能多？
高数授课传统解法：
解：设切去的正方形的边长为x，则盒子的体积就是变量x的函数设为V（x），则：
V（x）=x（12-2x）=144x-48x+4x，其中0＜x＜6。
求导：V′（x）=144-96x+12x
=12（12-8x+x）
=12（2-x）（6-x）
令V′（x）=0，得定义域内驻点x=2。
所以，当x=2时V（x）取最大值V（2）=128，故最大体积为128cm，切去的小正方形的边长应为2cm。
初等方法：同样利用算术平均不小于几何平均的不等式。
V（x）=x（12-2x）
=・4x（12-2x）（12-2x）
≤
=128
即对?坌x∈（0，6），V（x）≤128，当且仅当4x=12-2x时等式成立。即x=2时体积最大。
总之，初等数学方法在高等数学中的应用是比较广泛的，从初等数学的角度来思考高等数学中的问题对于高等数学的学习非常重要。这种思维在培养学生观察分析问题能力的同时，能使学生将所学数学知识融会贯通，提高学生的数学素养。因此，在高等数学教学中，我们应有意识地加强这方面的训练。
参考文献：
［1］曾庆武.“直观教学”在高职数学教学中的作用.甘肃科技，第19卷，第12期.
［2］张武.反例在高等数学教学中的作用.太原教育学院学报，第19卷，第4期.
［3］关红钧.关于高等数学习题课的教法研究.沈阳教育学院学报，第7卷，第1期.
初中数学求最值的方法篇4
[关键词]初高中数学学习衔接教学
很多学生初中数学成绩尚可，步入高中却普遍认为数学难学，究其原因，主要有以下两个方面：一是教材内容形式不适应，近年义务教育初中教材难度降低较大，而高中教材自成体系，内容形式简单，但实际操作要求很高；二是学习方法不适应。在初中，学生都是在老师的概括归纳下，将老师讲过的东西照搬照套，做熟习题即可，而高中则要求学生勤于思考，善于举一反三，能归纳探索各种规律。然而刚步入高一的新生往往沿用初中那套学习方法，结果感到数学难学。怎样有效地缩短高一新生对高中数学的不适应期，使他们尽快顺应高中数学的教学活动是每一位高一老师思考的问题，本人在高中教学中探索了一些初高中数学教学衔接问题上的做法。下面，本人就从以下几个方面略述一些浅见。
1 激发学生的学习兴趣，充分调动学生的主动性和积极性。兴趣是进行有效活动的必要条件，是成功的源泉。所以，要使学生学好数学，就要调动他们学习的主动性，使学生认识并体会到学习数学的意义，感觉到学习数学的乐趣。鉴于学科特点，教学时应加强教学的直观性，象物理、化学一样，通过直观性使学生理解概念、性质；另外在教学时，应设计一些接近学生最近发展区的问题，尽量做到问题的提出、内容的引入和拓宽生动自然，并能自然地引导学生去思考、尝试和探索。在数学问题的不断解决中，让学生随时享受到由于自己的艰苦努力而得到成功的喜悦，从而促使学生的学习兴趣持久化，并能达到对知识的理解和记忆的效果。
2 衔接好教材内容。初高中教材内容相比，高中数学的内容更多、更深、更广、更抽象；同时，高中数学更多地注意论证的严密性和叙述的完整性、整体的系统性和综合性。因此在高中教学中，要求教师利用好初中知识，由浅入深过渡到高中内容，起点低，步距小，抚平高初中数学的“台阶”，下面以《二次函数》教学为例谈谈。
具体教学可如下安排：(a)一元二次方程、不等式；(b)一元二次函数的最值及应用；(c)闭区间上二次函数的最值；(d)含参一元一次方程的讨论；(c)含参二次函数在闭区间上的最值讨论初步；(f)一元二次方程根的分布。每节中编入适当练习，例如在(c)节中编入理解性练习：
一边围墙，另三边用50米长的篱笆围成一个长方形场地，设垂直院墙的边长为X米，写出场地面积y与x的函数关系式并说出边长为多少时，面积最大。(初中课本习题)
理解性练习：
函数少=x2+2x+3若其定义域分别为R，[-1，0]，[t，t+1]时，求它的最小值。
巩固性练习：
0≤x≤3：3试讨论y=x2+3x的最值情况。
在(e)节中编入理解性练习：
y=x2+2mx，X∈[－1，1]求它的最小值。
巩固性练习：
y=x(2a-x)在X∈[0，2]时有最大值a2，求它的范围。
讲完上述内容后再进行集合、函数的教学，逐步进入高中数学新领地。搞好二次函数教学首先是对高中数学多角度思维的初次展现，因为初中学习的二次函数通过配方法可解决问题，不需要考虑定义域，而现在要定区间，看图象，讨论对称轴，此举打破了以往“只看前方，不顾左右”的单一思维模式，使学生体会到思维需要更加广阔，促进他们在今后的学习中积极思考，刻苦钻研；其次，搞好二次函数教学可以以此渗透函数与方程的思想、分类讨论的数学思想、转化的思想和数形结合的思想等等。总之，抓二次函数的衔接教学能完善和发展学生的认知结构，有效地缩短初高中数学知识跨度的鸿沟。
初中数学求最值的方法篇5
例1、已知函数f（x）=x2-2x-3
（1）若x∈R，求函数f（x）的最值；
（2）若x∈[-2，0]，求函数f（x）的最值；
（3）若x∈[2，4]，求函数f（x）的最值；
（4）若，求函数f（x）的最值。
接着：“我们在初中学过二次函数有关知识了，所以我们都知道二次函数的图像是一条抛物线，在它顶点处取得最值，而在一个闭区间上讨论最值时首先要看看它的对称轴是否属于这个区间，接着才能确定它的最大值和最小值分别在哪里出现，从而确定它的最值，那么我们现在看看这道题……”
就这样我在没有复次函数有关知识直接讲解这道题时遇到了没有预料到的困难，因为学生对二次函数有关知识的掌握不完整，用到有关的知识点时都显得很茫然，不知怎么办了。所以学生的反映很不好。
我发现，虽然在初中学过二次函数的概念，但是那只是简单的应用，不涉及到它的图像及性质，尤其是对二次函数的单调性的理解更是很少，因此我及时调整了我的讲课方案：
“我们先复习一下二次函数有关的知识”我说道，并且以师生互动的方式复习了以下知识点：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）
（2）图像是一条抛物线；
（3）它的对称轴方程为：；
（4）当a>0时开口向上，当a
比如当a>0时，其图像如图：
（5）在区间上是减函数，在区间上是增函数；
（6）在顶点处取得最小值，即当时，没有最大值；
“请问，在所有情况下都有这样结果吗？”这样同学们就注意到了，只有在x∈R时，才有上述情况的。当我们把定义域改为一个闭区间[m，n]时，我们观察图形发现当这个闭区间在不同位置时，取得最值的情况也所不同，而这个首先要看这个抛物线的对称轴是否属于这个闭区间，之后再确定最值的取值……
接着我们师生很顺利的完成了这道题的解答过程，并且学生很完整的掌握了解二次函数在一个闭区间上的最值问题。
课后的反思：
当学生从初中进入高中后，有很多学生，第一个跟头便栽倒在几次数学的大考、小考上，且屡屡受挫，导致学生学习数学的信心受到了挑战，严重影响到高中数学的学习，因此我有一些个人看法如下：
一、初中到高中知识上的几大变化
首先，变化最大的是“抽象”。初中主要是强调用实际的模型，通俗的语言，形象地思维来得出的结论，给出概念，甚至提出问题；而高中，开门见山便是抽象的集合语言、函数符号、逻辑概念、图形变换，本来就比较抽象的数学显得更加的“玄”了。
其次，从思维的方式上更显其理性。初中我们强调东西更多的是在各种验证，比较，实践的基础上建立统一的模型，获取直接的经验，进而应用，从而导致容易形成思维的定式；高中则更注重从实际出发，引出问题，让同学们自己根据已有的知识去猜测结论，探求总结结论，形成自己的思想。更多的是提倡在数学问题提出时，有自己的见解，有自己的思维方式。
再次，是知识的板块与板块的联系更加密切。初中的内容由于要积累基础，因而显得零碎一些，模块与模块的衔接也不十分的密切；高中在这个方面则突出了许多，例如：贯穿始终的一条线――“函数的思想”，使得真个学科成为一个统一的整体。然后是在整个学习过程中不断有新的数学工具性的知识出现，如：集合，向量，导数等都将作为学习其他知识的工具，所以这正好也作为一个衔接的纽带，更是体现了整体性。在学习中如果哪一个环节没把握好就将影响其它章节的学习，甚至是整个高中数学的学习。
最后，知识的数量急剧的增加，各科的压力增大。在这样的变化下和初中比较，消化的时间要少，辅助的练习要多，就构成了矛盾，很多人便很被动，时间分配不知如何把握，好像一下子乱了阵脚。
二、针对上述变化，我们要对学生学习指导上要注意以下应对方法
1、初中积累基础的同时要注意把握好几点：第一、二次函数部分的基础知识，建构初步的变量思想下的函数概念，重点掌握它的图像特征和性质。第二、在平面几何中注重自己的看图、识图能力，且能注重数形的结合。第三、平时的练习中体会一些算法，以及老师讲解例题时的过程，培养计算能力，高考对这种能力的考查时时都有，这也是学数学的根本。这三点对高中的学习是很必要的，否则开始上路就有了障碍。
2、逐步养成独立思考的习惯，学会对知识的整合。由于我们从小习惯了在老师、家长的陪同下学习，有了严重的依赖心，如果一旦失去了臂膀，便迷失了方向，这就是很多人觉得的平时还不错，考试失利的缘由。
3、自信心的增强是数学学习的法宝。首先是相信自己学法，从小学到初中再到高中，其实我们已经形成了一定学习方法，不要因为一次的失败就否定自己过去的一切，要学会坚持，很多时候只有坚持到最后才有“柳暗花明又一村”的豁然。其次是要相信老师，只有相信老师，你才会去听老师的讲解，去主动完成老师布置的任务，更多的时候你应该以你的老师为骄傲，那样效果可能会更好。最后，要相信你的集体，你始终认为你是在一个优秀的团队里，久而久之，你将在无形中优化自己。
三、下面我还讲讲数学学习的大忌
一忌没有效率。所谓的效率，那不是单讲快，而是及时地完成笔记、知识的整合、及时地发现自己的漏洞，并及时地补上。
二忌没有笔记。数学课堂的容量较大，知识点较多，对老师的讲解，要有笔记，当然不是一边听一边记，而是等到讲完后，自己去整理，这个过程不仅是培养习惯，而且会逐渐的形成自己的知识系统，也会在过程中发掘新的东西，也就是我们常说的探求，我认为这是很有效提高自己能力的办法。
三忌人云亦云。很多人习惯课堂齐声回答问题，其实你想过吗，有多少次是你的成果，其实自己有很多的好的想法，思维的灵光都被自己的随声附和湮灭了，所以要思考后理性的作答。
四忌不会表达。表达有两层含义：一是口头表达，学会将自己的见解说给同学，老师听，其实也是对思维的整理；二是书面表达，很多同学有自己的思路，可是写到试卷上就变味了，所以要经常研究老师的板书，书本的例题，学会在小小的试卷上表达思维的精髓。
初中数学求最值的方法篇6
关键词：三维点集；凸包；极值点
中图分类号：tp212.12；o241.82
文献标志码：a
improvedalgorithmondeterminingconvexhullof3Dpointset
ZHanGFei，XieBuying，YanXingyu，LiUZheng
(CollegeofCivileng.，tongjiUniv.，Shanghai200092，China)
abstract：toimprovethecomputationefficiencyofconvexhullof3Dpointset，animprovedalgorithmondeterminingconvexhullof3Dpointsetisproposedbymakingfulluseoftheextremepointsandthecharacteroftheconvexhull.Firstly，theextremepointsin3Dpointsetareobtainedtomakeupoftheinitialconvexhull.Secondly，theinternalpointsoftheconvexhullareeliminatedaccordingtothepositionrelationshipbetweentheinitialconvexhullandthepoints.Finally，theexternalpointsareexaminedinturn，thepointset，linesetandfacesetthatmeettherequirementsareacquired，andtheconvexhullisexpandedtoobtainthefinalpointset，linesetandfacesetoftheconvexhull.thecomparisonoftimecomplexityanalysiswithnormalalgorithmsandtheexperimentsindicatethatthealgorithmhashigherefficiency.
Keywords：3Dpointset；convexhull；extremepoint
0引言
点集凸包问题是计算几何学中基本、常见的问题，通常可以分为二维凸包和三维凸包.[1]二维凸包被广泛应用于模式识别、图像处理和设计自动化等领域[2]；三维凸包被广泛应用于计算机仿真、建筑体建模、卫星通信和无线电广播等领域[3].二维凸包算法相对比较简单、成熟，已有很多研究成果.随着计算机软件和硬件技术的发展，处理三维的问题越来越多，有必要进一步研究三维凸包算法.本文在现有二维和三维凸包算法的基础上，提出1种改进的三维点集凸包求取算法.
自20世纪70年代以来，不少学者提出有关点集凸包的算法，较为经典的有卷包裹法、格雷厄姆法、分治法、增量法以及周培德在文献[1]中提出的Z3―1和Z3―2算法.在这些算法中，卷包裹法、分治法、增量法以及Z3―2算法能够推广到三维.同样，也有很多二维算法不能推广到三维，比如格雷厄姆法和文献[4]提出的算法.
在绝大多数情况下，二维凸包和三维凸包由点集中的部分点构成，其余点则在凸包内部.所以，点集中的点可分为凸包顶点和内部点，因而可以考虑利用一些特殊点(如极值点)先构成凸包大体形状，再排除内部点中的部分点，以减少点的数目来提高算法效率，这就是快速凸包技术[5].这种思想显然也适用于三维点集凸包算法.
在快速凸包技术的基础上，本文给出1种改进的凸包求取算法.与传统快速凸包算法相比，本文算法考虑采用更多的极值点，更充分地利用极值点性质，缩小点的搜索范围，提高算法效率.
1定义及性质
定义1凸包.即凸包多面体，把多面体的任何1个面无限延展，其他面都在这个延伸面的同一侧.[1，6]文中的点集凸包是指包含点集中所有点的最小凸多面体.凸包的面均由三角形组成，即使真实的面由多边形组成，这些多边形也均被分割成三角形.
定义2一维极值点.在三维点集中，若只考虑点的3个坐标中的1个坐标并求取其最大值或最小值，所求得的这些点称为一维极值点.如果最大极值点和最小极值点都不止1个，则所有最大极值点在同一平面，所有最小极值点也在同一平面内.
定义3二维极值点.在三维点集中，如果把所有点都投影到1个坐标平面上(如xoy平面，yoz平面，zox平面)，然后在平面上求取极值点，称这些点为二维极值点.现以投影到xoy平面为例定义二维极值点.在平面点集中，分别称具有最小和最大x坐标值的点构成的子集为Xmin子集和Xmax子集；分别称具有最小和最大y坐标值的点构成的子集为Ymin子集和Ymax子集.在Xmin子集中，称对应y坐标的最小的点为左下点，称对应y坐标最大的点为左上点；在Xmax子集中，称对应y坐标的最小的点为右下点，称对应x坐标最大的点为右上点；在Ymin子集中，称对应x坐标最小的点为下左点，称对应x坐标最大的点为下右点；在Ymax子集中，称对应x坐标的最小的点为上左点，称对应x坐标最大的点为上右点.
定义4极值点.包括一维极值点和二维极值点.在现实情况下，某点可能既是一维极值点也是二维极值点.在算法应用的过程中并不严格区分.
性质1空间中给定的若干个点的凸包是唯一的，且凸包的顶点必须是原给定点集中的点.[3]
性质2极值点必为凸包的顶点中的点.
性质3在三维点集中，必存在一维极值点，且至少有1个.如果只有1个一维极值点，则凸包为平面，这种情况将不形成凸包.所以，构成凸包的点集中，至少有2个一维极值点.
性质4在三维点集中，必存在二维极值点，且至少有2个.当且仅当为2个极值点时，在投影平面内查找离由这2个点构成的直线最远的点作为极值点.如果不存在，则点集不构成凸包.这样，至少有3个极值点，最多8个极值点存在.即三维点集中，二维极值点可以构成1个平面或者空间凸环.文献[4]中给出的在二维情况下的证明，也适用于三维点集中二维极值点的情况.
推论由性质3和性质4，在三维点集中，只要存在凸包，即所有点都不在同一平面上，由极值点可以构成1个初步凸包.
2算法思路描述
求取三维点集的凸包，一般要求求出凸包的顶点集、棱边集以及面集.当然，在3个集合中，顶点集和面集是必需的，棱边集可以由面集直接推出.
算法的总体思路是：通过依次考察点集中的点，找出极值点，利用极值点快速形成初步凸包.初步凸包把原点集中的点分为初步凸包上点、外部点和内部点3个部分.外部点可能在凸包上，而内部点一定不在凸包上.算法的第2步则是删除内部点.第3步依次进行考察外部点，不断扩展初步凸包，最终形成所要得到的凸包.在扩展初步凸包的过程中，将待考察的点依次与上一步扩展凸包中的棱边构成面，并用极值点和上一步扩展凸包中的顶点集中的点判断该面是否应加入新的扩展凸包中，这样就可以找到所有应加入新扩展凸包中的面.再利用该待加入点和极值点验证原扩展凸包中的面，排除不满足新扩展凸包的所有的点、棱边和面.当考察完毕所有外部点时就可以得到最终所要求得凸包的点集、棱边集和面集.
2.1算法主体流程
算法主体流程见图1.
图1算法主体流程
2.2算法具体步骤
步骤1求极值点并形成初步凸包，分为4个小步骤进行.
(1)依次考察点集中点的z坐标，分别求出1个最大和1个最小的一维极值点，并把点号保存在极值点集链表utdot中.
(2)依次考察点集中点的x坐标和y坐标，按照左下点、下左点、下右点、右下点、右上点、上右点、上左点和左上点的顺序依次求出所有存在的二维极值点，并将点号保存到极值点集链表utdot中.
(3)按照求取二维极值点的顺序，依次连接各点构成1个空间环；然后将z轴方向上的极值点分别与环中的点连接，构成基于三角形初步凸包.
(4)在步骤1的第(3)步中，把依次连接的边保存到棱边集链表llist中，把依次连接3点构成的面保存到面集链表alist中.同时，初始化顶点集链表endplist后，继续下一步.
步骤2删除初步凸包内部点，又分为2个小步骤进行.
(1)依次考察点集中的点，从该点出发引1条平行于x轴的射线，如果该射线与初步凸包的面不相交或有2个交点，则该点在初步凸包的外部；如果只有1个交点，则该点在初步凸包的内部.如果与初步凸包的棱边、面或顶点相交，则改平行于y轴或z轴的射线，然后再按照前面的方法判定.如果3个方向的射线均与初步凸包的顶点或棱边相交，则该点在初步凸包的内部.[1]
(2)在步骤2的第(1)步中，把初步凸包外部点的点号保存到点集链表plist中.继续下一步.
步骤3从点集链表plist中依次取出点pp，如果链表plist中点都取完，则执行步骤5，否则继续下一步.
步骤4共有10个小步骤.依次从棱边集链表llist中取出棱边lp，如果链表llist中的棱边都取完，则执行步骤4中第(5)步，否则继续步骤4中第(1)步.
(1)由步骤3中的点pp和步骤4中的棱边lp构成1个面，依次用极值点集utdot中的点来判断该面的性质.如果所有极值点都在该面的同一侧，则继续下一步，否则退出本轮循环，执行步骤4.
(2)从顶点集链表endplist中依次取出点来判断该面的性质，如果所有点都在该面的同一侧，则继续下一步，否则退出本轮循环，执行步骤4.
(3)把步骤4的第(1)和(2)步中满足要求的面加入到面集链表alisttemp中，与该面相应的两条棱边加入到棱边集链表llisttemp中.
(4)继续步骤4.
(5)若alisttemp为空，执行步骤4中第(10)步，否则执行下一步.
(6)依次从扩展凸包面集alist中取出面a，用点pp和极值点集utdot中不为该面顶点的1点putdot进行判断，如果点pp和点putdot在面a的异侧，则把该面从alist中删除，并且加入到待删除面集链表alistdle中，否则不作任何处理，继续步骤4中第(6)步.当alist中的面都取完时，把alisttemp添加到alist中，执行下一步.
(7)依次考察面集alistdle中的面，如果有3个或者以上的面相交1点，则把该点加入到待处理点集链表plistdle中，否则继续步骤4中第(7)步.当面集alistdle中所有点面都考察完毕时，执行下一步.
(8)依次考察点集plistdle中的点，如果该点在面集alist的顶点中不存在，则从顶点集endplist中删除该点，否则不作任何处理.当plistdle中所有的点都考察完毕时，把点pp添加到endplist中，执行下一步.
(9)依次考察面集alistdle中的面，如果有2个面相交于1条棱边，则从棱边集llist中删除该棱边.当alistdle中的面全部考察完毕时，把llisttemp添加到llist中，执行下一步.
(10)继续步骤3.
步骤5把极值点集链表utdot合并到链表plist中.最终凸包的点集为链表plist，棱边集为链表llist，面集为链表alist.算法完成.
2.3算法改进方法
上述算法利用z轴方向的2个一维极值点和xy平面上最多8个二维极值点形成初步凸包.根据定义3，x，y和z轴方向的一维极值点均分别在2个平面上.根据极值点的性质，所有一维极值点均为凸包顶点.所以改进的方法是：求出所有一维极值点并由其构成1个新初步凸包，这个新初步凸包大于等于上述算法中的初步凸包.新凸包可以排除更多的内部点，从而减少步骤3和4中的判断次数，提高算法效率.
2.4时间复杂度分析
文献[7]证明凸包算法的时间复杂度下限为o(nlogn)，该结论也适用于三维凸包算法[1].常见的三维凸包算法中，卷包裹法和文献[1]中Z3―8算法的时间复杂度为o(n2)[1，6]；分治法和增量法为o(nlogn)[1].经典的普通算法是利用定义1的性质，通过3点构成的面，然后用点集中的点是否都在该面同一侧的方法来判断该面是否为凸包的面.当考察完毕点集中任意3点所构成的面时，就可以得到凸包的所有面，进而求出凸包.其算法的复杂度为o(n3).
本文算法的时间复杂度分析如下：步骤1中，查找极值点耗时o(n)；步骤2中，删除内部点的复杂度为o(n)；步骤3和4构成1个用外部点扩展初步凸包的循环.外部点的数目与点集的数目相关，故循环外部的复杂度为o(n).循环内部中步骤4的第(1)～(4)步求顶点与棱边构成的面，并用扩展凸包顶点集中的点判断面的性质，其复杂度与扩展凸包中点的数目和棱边的数目相关.由于扩展凸包中点的数目相对于点集中点的数目和棱边的数目非常少，也可以认为是常数.所以，一般情况下其计算的复杂度为o(1).由性质和推理知，极值点可以构成初步凸包，进而可以排除内部点.所以，即使在最坏情况下，其时间复杂度也不会达到o(n)，可以认为其时间复杂度接近o(logn).步骤4的第(5)～(10)步的时间复杂度为o(1)，所以步骤3和4的最坏时间复杂度接近o(nlogn).步骤5耗时可以忽略不计.所以，整个算法的最坏时间复杂度接近于o(nlogn)，即接近于时间复杂度的下限.
3实验分析
实验所用计算机的CpU为amD2500+，内存为512mB.在VC++6.0中的mFC编程环境中，分别实现普通算法和改进算法.图2给出点集中点的数目为500个时的三维凸包计算结果.分别对普通算法和改进算法求三维点集凸包进行程序实验.对不同容量(小于104)的点集分别进行100次实验，然后求出平均消耗的时间列于表1和图3.同时，表1对普通算法和改进算法平均消耗时间的比值进行计算.图3中横轴表示点集中的数目，纵轴表示计算点集凸包运行所需要的平均消耗时间.
图2500个点的凸包计算结果
图3实验比较
从表1和图3可见，随着点集容量的增大，改进算法的优势越发明显.普通算法与改进算法的消耗时间比随着点集容量的增大而增大.在第2.4节中普通算法和改进算法的时间复杂度分别为o(n3)和o(nlogn)，它们之间的比值为o(n2/logn)，与表1中的比值相符合，从而证明理论分析与实验分析一致.
4结论
从改进算法与普通算法的比较中可见，对于求102数量级的三维点集凸包，普通方法也能提供比较满意的求取时间，但当点集容量达到103时，普通算法就不能满足要求.改进算法可以快速求取大量三维点集的凸包，不仅在时间上取得较大突破，而且充分利用极值点在凸包上以及凸包的性质，为算法优化提供新的思路.
另外，改进算法效率高的原因还在于：(1)充分利用极值点，形成最大可能的初步凸包，排除初步凸包内部点，减少点的判断次数；(2)在判断面的性质中，优先用极值点进行判断，利用极值点的性质，可以很快得出该面的性质，减少判断的工作量；(3)在求取过程中，每次向扩展凸包中添加1个点，都构成1个新的扩展凸包，充分利用上一步中求取的成果，大大减少后面的计算工作量.
参考文献：
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[2]RoURKeoJ.ComputationalgeometryinC[m].2nded.Cambridge：CambridgeUnivpress，1998：73-78.
[3]夏松，朱宜萱，杜志强.一种新的空间凸多面体的生成算法[J].测绘通报，2006(1)：21-23.
[4]余翔宇，孙洪，余志雄.改进的二维点集凸包快速求取方法[J].武汉理工大学学报，2005，27(10)：81-83.
[5]蒋红斐.平面点集凸包快速构建算法的研究[J].计算机工程与应用，2002，38(20)：48-49.
初中数学求最值的方法篇7
关键词：初始缓冲时延；初始缓冲峰值速率；e2eRtt
Doi：10.16640/ki.37-1222/t.2017.14.206
0引言
应用客户端app观看网络视频是一种基于tCp的视频传输及播放，初始缓冲等待时间是网络视频影响用户体验的主要因素，因此，可以用初始缓冲时延[1]（初始缓冲等待时间+端到端回环时间）来评价用户体验。
1初始缓冲时延函数
通过对大量数据的整理，发现初始缓冲时延与初始缓冲峰值速率之间有十分强烈的反比例关系，与e2eRtt[2]之间有较为明显的一次函数关系，并且找到了初始缓冲峰值速率、与视频最小缓冲数据量、初始缓冲时延及e2eRtt之间的关系式：
（1）
式中，为初始缓冲峰值速率，为视频最小缓冲数据量，为tCp慢启动过程中下载的数据量，为初始缓冲时延，为视频解析过程需要的时间，为tCp慢启动过程需要的时间，与题中的e2eRtt所代表的含义并不相同，因此需要借助公式进行转化：
（2）
式中的数值与式（3）中的数值不好界定，因此可将式（2）进行合理转型：
（3）
式中，只有的数值需要进一步求解：
（4）
式中，为视频码率[3]（比特率），平均初始缓冲量定为4s，因此，视频最小缓冲数据量用初始缓冲量乘以视频码率求得，为了求得初始缓冲时延与初始缓冲峰值速率及e2eRtt之间的关系，将式（5）进一步转化：
（5）
式中，唯一不能确定数值的参变量只有，因此，需将查阅大量的各参变量数据导入matLaB中，求出所有的值，且以的平均值代替进行求解，得到了初始缓冲时延与初始缓冲峰值速率及e2eRtt的最终函数关系式：
（6）
式中，初始冲时延与初始缓冲峰值速率呈现反比例关系，与e2eRtt呈现一次函数关系，与数据的拟合结果完全吻合，间接地证明了本文的函数关系完全可行。
2可行性验证
本文借助matLaB对函数结果进行离散化处理[4]，与所查数值进行直观对比，可以看出，二者散点图之间相差十分微小，数据拟合程度较高，函数测算值与真值之间的微小差距几乎可以忽略。
为了更好的体现模型的优越性，将测算值作为横坐标，将真值作为纵坐标，以大量数据导入matLaB软件，发现函数基本满足正比例关系，且测算值与真值间的拟合度能达到98.19%，此拟合程度较高。
3结论
本文给出了初始缓冲时延与初始缓冲峰值速率及e2eRtt三者间的明确函数关系，并通过离散化处理及软件拟合等方法，多方面地验证了函数关系的可信度。
参考文献：
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[3]王丽娜，徐一波，翟黎明，任延珍.基于宏块复杂度的自适应视频运动矢量隐写算法[J].计算机学报，2017.
初中数学求最值的方法篇8
连续推力最优机动轨道以燃料最省(或能量最优)、时间最短或者时间-能量最优为目标,其中对时间最短机动轨道的研究主要基于主矢量理论或最优控制理论,并结合各种优化算法进行。anastassiose.petropoulos等针对限制性三体问题中时间最短转移轨道问题,基于主矢量理论,得到最优控制律,并以所需的推力方向作为反馈,参数化初始协态量,推出bang-bang控制开关的转换时间,最后给出了最优转移轨道[1]。Ryanp.Russell等也应用主矢量理论和bang-bang控制研究了限制性三体问题中轨道机动时间最优问题[2]。SeungwonLee等利用进化算法优化李亚普诺夫控制律中的参数,研究了反平方引力场中任意轨道之间时间最短、燃料最省和时间-能量最优的小推力最优转移轨道问题[3]。mischaKim基于现代最优控制理论,用适应性模拟退火算法进行优化,研究了连续小推力时间最短转移轨道问题[4]。目前在研究时间最短机动轨道时,方法主要集中在控制原理和优化算法的选择上。本文将基于庞特里亚金极小值原理和遗传算法对连续推力时间最短燃料最省转移轨道进行研究。首先,建立连续推力轨道运动的状态方程,并用变分法进行求解,基于庞特里亚金极小值原理推导出用协态变量表示的最优控制律,同时基于bang-bang控制推导出发送机的开关转换时间。由于得到的最优制导律无法求得解析解,因此需要数值求解。考虑到遗传算法的成熟性和稳定性,因此用遗传算法对协态变量进行优化,在此基础上,得到最优控制律和推力作用方式的曲线,并与bang-bang控制得到结果进行比较。1最优轨道转移问题的数学描述及求解1.1状态方程在连续推力作用下的轨道运动方程为式中μ为地球引力常数,r航天器距地心的距离,t为常值推力,m为航天的质量,vr为航天器径向速度,vθ为航天器周向速度,δ为推力角。令1.2性能指标对于轨道转移任务,若要燃料消耗最小,则其性能指标为从上式可以看出,对于常值推力系统,在大气层外t=mue,ue为常值,则燃料秒消耗m也为常值,则燃料消耗为m=mt,完成整个轨道转移的时间越短燃料消耗越少,可见可以将燃料消耗最少的问题,转化为时间最短的问题,其性能指标为初始时刻t0=0则tm=tm0-mt。1.3哈密顿方程、协态方程和横截条件对于最短时间轨道转移任务其边界条件为:在初始时刻t0=0,x(t0)=[R0,V0]t,m(t0)=m0;终端时刻tf,x(tf)=[Rtf,Vtf]t,m(tf)未知,其中R0,V0为初始状态量,m0为初始时刻质量,Rtf,Vtf为终端状态量,m(tf)为终端时刻质量。约束条件为:|ui(t)|≤1,其中(i=1,2)。注:下文中所有带*量均为最优量寻求最优控制u*(t),使得系统以最短时间从初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)。应用极小值原理,建立哈密顿方程1.4最优制导律要使H取最小值,寻求最优控制量u*(t),满足极值条件:H[x*,u*,λ]=min|ui(t)|≤1H[x*,u,λ]。1)由庞特里亚金极小值原理得最优控制量1.5协态变量目标轨道为圆轨道时,在t=t*f将(7)式带入(9)式,则横截条件的最终表达式为由(15)式就可以求出比例系数k。由于协态变量λ没有任何物理意义,对最优控制量u*无法得到解析表达式,只能通过联立状态方程组和协态方程组,在边界条件约束下,求其数值解。给出任意时刻λ,则可以得任意时刻的λ*(t)=kλ(t),用遗传算法对λ进行优化求解,可得最优控制量u*的变化曲线。2遗传算法简介遗传算法是由美国密歇根大学的JohnH.Hol-land教授及其学生提出的,遗传算法所借鉴的生物学基础就是生物的进化和遗传。近年来,由于遗传算法在解决复杂优化问题巨大潜力,该算法得到了广泛的关注,成为目前应用最为广泛也最为成功的智能优化算法。2.1遗传算法基本思想遗传算法是根据问题的目标函数构造一个适应性函数,对一个由多个解构成的种群进行评估、遗传运算、选择,经多代繁殖,获得适应值最好的个体作为问题的最优解。具体描述如下:1)产生一个初始种群;2)根据问题的目标函数构造适应性函数;3)根据适应值的好坏不断选择和繁殖;4)若干代后得到适应值最好的个体即为最优解。2.2构成要素1.种群和种群大小;2.编码方法,也称为基因表达方法;3.遗传算子:包括交叉和变异;4.选择策略;5.停止准则,一般使用最大迭代次数作为停止准则。这里对构成要素做最简单介绍,具体的选择在下文的仿真算例中给出具体说明。2.3算法流程3数值仿真以两个圆轨道之间的轨道转移为例,其边界条件如下:遗传算法相关因子的选择:1)种群的大小选择,一般来说将种群规模选得越大越好,但是种群越规模越大计算时间越长,一般为100~1000。本文种群数目为:200,个体长度为96。2)编码方式:采用二进制编码。3)遗传算子:交叉率为0.9,变异率为0.001。4)选择策略:经典的选择策略是赌方式,本文采用锦标赛选择。5)停止准则:一般使用最大迭代次数作为停止准则,本文选择遗传代数为30代,及最大迭代次数为30。协态变量的范围为:-1≤λ1≤1,-1≤λ2≤1,-1≤λ3≤1,1≤tf≤50。6)适应性函数:在遗传算法中不止使用目标函数,而是将目标函数映射为适应性函数。将个体的适应值规定为非负,从而能够直接将适应性函数与群体中的个体优劣相联系。特别是对于最小化问题,必须通过标定使目标函数映射为适应性函数,在任何情况下适应性函数总是越大越好。适应性函数的标定方法有很多,本文采用线性标定法:F=-f(x)+fmax+ε,其中:f(x)为目标函数,F为标定后的适应性函数,fmax是目标函数的最大值,ε为一个较小的数,目的是使种群中最差的个体仍然有繁殖的机会,增加种群的多样性。1)采用用极小值原理联立方程(2)、(6)、(10)和(15),用遗传算法对其进行数值求解,结果如下:协态变量λ随时间的变化规律如图2所示:推力角δ随时间的变化如图3所示。半径随时间的变化如图4所示。2)采用bang-bang控制联立方程(2),(6),(11)和(12),用遗传算法对其进行求解,结果如下:协态变量λ随时的变化如图5所示。采用bang-bang控制推力角的变化,如图6所示。采用bang-bang控制半径随时间的变化如图7所示。由极小值原理得到的最短时间和由bang-bang控制得到的最短时间基本相同,说明得到的最短时间是正确的。二者分别得到了在其控制律下的时间最短和燃料最省。但是,从图3和图4中可以看出,前者更省燃料。4结论将连续推力作用下的时间最短的最优轨道转移问题最终转化为两点边界值问题,用现代优化算法求解两点边界值问题。但是现代优化算法较为复杂,计算时间较长,实时性差,又存在较多的选择参数及如何选择这些参数的问题。如果能对状态方程进行线性化处理或者降低状态方程的非线性度,求解其近似的解析解,这样就能解决求解速度和实时性的问题。
初中数学求最值的方法篇9
关键词:大学数学;研究性教学;不动点迭代收敛定理;中学数学
大学数学如何指导中学数学教学一直是人们关注的重要课题,当前高中教学已进行新的课程改革,将微积分,概率统计,算法,初等数论,图论初步等有关大学数学作为必修课或者选修课程放到高中教学中,每年的高考数学试题也渗透着高等数学的内容,我们不难从高考题中找到高等数学的影子。我们认为,大学数学教学提倡研究式教学是沟通大学数学与中学数学联系的有效途径和方法。本文以大学《数值计算方法》中的不动点迭代教学为例,略作说明。
一、挖掘高数与初数联系的切入点,突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学
众所周知,大学数学与中学数学有着密切而广泛的联系,但从大学数学的高度审视中学数学,一是需要挖掘高等数学与初等数学联系的适当切入点,二是突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学。
(一)不动点迭代是联系高等数学与初等数学的好案例
函数与方程一直是高中数学教学的重点,为适应计算机科学的发展,高中数学新课程增加了利用(借助计算器或计算机)二分法求方程实根近似值等新内容.普通高中《数学课程标准》指出:“根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。”“进一步体会用有理数逼近无理数”的思想,并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作,感受“逼近”过程。“应鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如,利用计算器或计算机……求方程的近似解等。”
随着计算机技术的迅速发展与广泛应用,方程实根的近似计算焕发出新的活力,在处理实际问题中具有重要的应用意义.自然科学、工程技术、经济与医学等领域中遇到的许多问题,都可应用有关学科知识和数学理论用数学语言描述为数学问题或建立数学模型。然而,这些问题中只有很少一部分可以给出解析解,而绝大多数则得不到准确解或求解的工作量很大,只能借助计算机求其近似解(称为数值解或计算解)。运用计算机解决现代科学(如天文学等)与工程中大规模科学计算问题的步骤先是提出能在计算机上实现的数值方法,继而用计算机语言编写程序,最后上机计算求出结果.这就要求建立的数值方法(算法)应便于在计算机上实现、计算工作量尽量小、存储量尽量小、问题准确解与计算解的误差小等。
不难发现,大学《数值计算方法》不动点迭代是联系高等数学与初等数学的好案例。
(二)注重揭示数学概念的发生过程与数学原理的证明过程
数值方法是对给定问题的输入数据和所需结果(输出)之间的一种明确的数学描述.非线性方程近似解数值计算的基本思想是从函数f(x)的零点ξ的一个初始近似值x0出发,通过迭代导出一个收敛于ξ的序列{xn}(n=0,1,2,…),当n充分大(如n=k)时,用xk作为ξ的近似值,即ξ的计算问题转化为有限次迭代计算x0,x1,…,xk;常见的方法有二分法、牛顿法、割线法等,二分法是最简单的数值方法,它只要求函数连续,因而使用范围广并便于在计算机上实现,但收敛速度比割线法慢,计算步骤也多一些[2]。
一般地,设函数Φ(x)是一个具有连续导数的连续函数,c(x)是任一不为0的函数,且满足Φ(x)=x-c(x)f(x),则方程f(x)=0与Φ(x)=x同解。
适当选取一个初始近似值x0,由迭代公式xn+1=Φ(xn)(n=0,1,2…)确定序列{xn}(n=0,1,2…).可证当|Φ'(x)|
这样,适当选取满足条件的c(x)代入迭代公式xn+1=Φ(xn)就得出不同的近似解递推数列,如令c(x)=,有牛顿迭代公式xn+1=xn-(n=1,2,…);令c(x)==(常数),有迭代公式xn+1=xn-=xn-(n=1,2,…)等。
这就是不动点迭代的基本思想.不动点迭代主要解决非线性方程解的问题,很多科学和工程计算中常常遇到非线性方程求解问题。而不动点迭代由于算法比较简单(循环的),收敛速度较快,这一内容在解非线性方程中占有重要的地位,是一个应用广泛的知识点.因而,剖析不动点迭代概念的形成背景是开展数学研究式教学的逻辑起点。
其次,对于不动点迭代,迭代格式的构造或选取影响着迭代序列的收敛性、适应性及收敛速度,不动点收敛性定理为此提供了保障.所以,讲好不动点收敛性定理的证明及其体现的数学思想方法,是本节实施研究式教学的又一重点。
定理1:(收敛性基本定理)设函数Φ(x)∈[a,b]满足下列条件:
(1)当x∈[a,b],Φ(x)∈[a,b]
(2)Φ在[a,b]上满足李普希茨条件,即对任何x1,x2∈[a,b]成立,|Φ(x1)-Φ(x2)|≤L|x1-x2|,其中L是与x1,x2无关的常数
则(1)当L
(2)对于任意个初始值x0∈[a,b],由迭代格式xk+1=Φ(xk)所产生的迭代序列{xk}收敛于x*,并有误差不等式|xk-x*|≤|xk-xk-1|和|xk-x*|≤|x1-x0|
证明:(1)作函数φ1(x)=x-φ(x),因φ(x)在[a,b]上连续,故φ1(x)在[a,b]上连续,且φ1(a)=a-φ(x)≤0,φ1(b)=b-φ(x)≥0;所以由介值定理知:存在x*∈[a,b]使得φ(x*)=0,即x*=φ(x*).
再证唯一性:若方程x=φ(x)在[a,b]上有两实根x1,x2,则由微分中值定理及条件|φ(x)|≤L
(2)又由迭代格式xk+1=Φ(xk)得:
|x-x|=|φ(x)-φ(x*)|≤L|x-x|≤L|x-x|≤…L|x-x|
因此,limx=x.此外由|x-x|=|φ(x)-φ(x)|≤L|x-x|,k=0,1,2…;
|x-x|≤|x-x|+……|x-x|+|x-x|
≤(L+L+…+L+1)|x-x|≤(L+L+…+L+1)L|x-x|
≤|x-x|;令p8,即得|x-x|≤|x-x|.
另证:
|x-x|=|(x-x)-(x-x)|≥|x-x|-|x-x|≥|x-x|-L|x-x|
=(1-L)(x-x),
|x-x|≤≤|x-x|…≤|X-X|.
二、浅化高等数学,发挥高数思想方法对初等数学的指导作用
对于不动点收敛性定理的上述证明,一般的高中生是无法接受的。能否去掉其中的高等数学专业概念和术语,浅化高等数学以发现其对中学数学的指导作用,做好大学数学和中学数学的有效衔接?事实上,不动点收敛性定理可以浅化为如例1的高观点下的中学数学问题:
例1:(2006高考数学广东理20)a是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:①对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);②存在常数L(0
(i)设φ(x)=,x∈[2,4],证明:φ(x)∈a
(ii)设φ(x)∈a,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的
(Ⅲ)设φ(x)∈a,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2.…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk+p-xk|≤|x-x|
评析:本题的背景是巴拿赫不动点定理即压缩映射原理(Ⅱ)与不动点迭代法收敛定理(Ⅲ),涉及高等数学中的Lipschitz条件②;压缩映射原理是泛函分析中的一个最常用、最简单的存在性定理,不动点迭代法收敛定理在数值分析中有广泛应用。
不动点的现象在自然界、生活中随处可见.关于不动点问题的系统研究始于20世纪,1912年荷兰数学家布劳韦尔提出了著名的不动点定理:任意一个把n维球体变为自身的连续变换,至少有一个不动点.然而不动点定理只告知不动点的存在性,却没说不动点在哪里。1967年,美国耶鲁大学的斯卡弗教授提出了一种用有限点列逼近不动点的算法,不动点由未知转向已知方面,使其应用取得了一系列卓越成果.在数学中,不动点理论广泛用于解各种方程问题。
初看题目,不好理解,关键是现场读懂数学符号语言,需要较高的数学阅读理解能力.其实,仔细分析题意,不难发现:(i)是证φ(2x)=,x∈[2,4]满足条件②;(ii)是用反证法证不动点x0=φ(2x0)的唯一性;(Ⅲ)是利用添减项法与放缩法等证明不等式。
|x3-x2|=|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|,|xn-1-xn|≤=Ln-1|x2-x1|
≤|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+…(xk+1-xk)|
≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|
≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x1-x1|≤|x2-x1|
可以看出,本题是收敛性定理的特殊化,解题过程即定理的证明过程,但已用初等数学语言来表述,如此包装,适合了高中生的数学思维,达到了考查抽象函数和不等式的目的。
当然,还可将该问题以数学研究性学习或课题学习的形式,进行变式探究.如变通Lipschitz条件,可得
问题1:已知函数f(x)定义在区间[a,b]上,若存在正常数K,对任意的x,y∈[a,b]有|f(x)-f(y)|≤k|x-y|a,则当a>1时,有f(x)恒等于常数。
问题2:设函数f(x)定义在[a,b]上,且f(a)=f(b),满足a次Lipschitz条件,即存在正常数K,对任意的x,y∈[a,b]有|f(x)-f(y)|≤k|x-y|a(0
三、运用高等数学,体现高等数学驾驭初等数学的优越性
收敛性定理还为解决与函数、方程、不等式、数列等有关的不动点问题,提供了清晰而简便的方法.如运用不动点方法可解决如下问题:
问题3:已知函数f(x)=6x-6x2,设函数g1(x)=f(x),g2(x)=f[g1(x)],g3(x)=f[g2(x)],…,gn(x)=f[gn-1(x)],…
设区间a=(-∞,0),对于x∈a,有g1(x)=f(x)=a
问题4:(i)设f(x)=ax+b(a≠0且a≠1),x0为函数f(x)的不动点,{an}满足递推关系an=f(an-1)(n≥2),则有{an-x0}是公比为a的等比数列.
(ii)设f(x)=(c≠0,ad-bc≠0),数列{an}满足递推关系an=f(an-1)(n≥2),且f(a1)≠a1,若f(x)有两个相异不动点x1、x2,则数列是公比为的等比数列。
(Ⅲ)若数列{xn}满足xn+1=(a≠0),且a、β是函数f(x)=(a≠0)的两个相异不动点,则=()2(n=1,2…)。
最后,以用不动点方法较易解决的例2结束本文.
例2(2007全国高考卷数学理22)已知数列{an}中a1=2,an+1=(-1)(an+2),n=1,2,3,….
(i)求{an}的通项公式;
(ii)若数列{bn}中b1=2,b=,n=1,2,3,…,证明
解析:(i)令(-1)(x+2)=x,则x=;an+1-=(-1)(an-).
(an-)是首项为(2-),公比为(-1)的等比数列;an-=(-1)n
an=[(-1)n=1,2,3……
(ii)令=x,解得x=±
则=(3+2;
是以(+1)为首项,公比为(3+2的等比数列,
=(+1)(3+2)
整理得:bn=(n=1,2,3……),
a=(-1)-1=
令(+1)=t(t≥(+1))
则b=f(t)=()=(1+)>成立;
a=g(t)=(+1);
b-a=(1+)-(+1)=(-)=(),
因为t≥(+1),所以F(t)≤0恒成立;bn≤a4n-3,所以
参考文献:
[1]合肥工业大学数学组.数值计算方法[m].合肥:合肥工业大学出版社,2004.
初中数学求最值的方法篇10
关键词：初中数学；函数与方程；关系
中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2015）18-210-02
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想。
一、相关概念解析
函数思想是运用运动和变化的观点，分析研究数学中的等量关系，建立函数关系，在运用函数图像和性质分析问题中，达到转化问题的目的。
方程思想是以数量关系为切入点，用数学语言把问题转化为数学模型DD方程、方程组，通过求解方程、方程组转化问题。
虽然函数思想和方程思想是两个不同的概念，但是这两种数学思想却有着密切的联系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函数y=ax2+bx+c当函数值为0时自变量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的个数就是求函数y=ax2+bx+c与函数y=dx+e图像交点的横坐标或交点的个数。这种紧密的关系为函数思想与方程思想在初中数学中的相互转化提供了物质条件。
二、函数思想在方程、不等式知识当中的应用
事实上，代数式可以看作带有变量的函数表达式。求代数式的值就是求特定的函数值；方程实际上就是求已知函数满足一定条件的变数值，使在该变数值上已知函数有某个预先指定的值，特别是函数值为零时的自变量的值：不等式可以视为求函数的误差估计；如此D来，就把方程和不等式都统一到函数的范畴中，体现了数学的统一性。一元二次方程，一元二次不等式均可看作是研究二次函数和二次三项式的特殊情况。下面的例题更加说明了函数知识在解算式、不等式以及方程时的重要作用。
解析：这是一道通过构造函数来求算式的值的问题，如何通过对题中所给的式子的形式的研究，巧妙地构造函数，从而使看似复杂的问题得到解决，是本题的关键。
不等式问题是中学数学中的一个难点，有些不等式采用常规的方法难以解决，若能够根据不等式的结构特征，唤起联想，巧妙地构造函数，将不等式问题转化成为函数的问题，借助函数的有关性质，常能使问题获得简捷明了的解决。
三、函数思想的应用
在初中数学中所遇到的数量关系有时没有那么直观，如果利用函数思想建立数学量之间的函数关系模型就能够有效解决这一问题。通过构建具体的函数模型研究初中数学问题，可以使很多东西简单化。同时，培养学生的函数思想有助于其学习能力的提高、学习成绩的进步。
例如：据报载，我省人均耕地已从1951年的2.93亩减少到1999年的1.02亩，平均每年减少0.04亩。若不采取措施，继续按此速度减下去，若干年后我省将无地可耕，无地可耕的情况最早会发生在（）。
a、2022年B、2023年C、2024年D、2025年
解：设x年后我省可耕地为y亩，则y与x的函数关系式为y=2.93-0.04x。
令y=0得x=73.25。
考虑实际情况x应取74，无地可耕的情况最早会发生在1951+74=2025，所以应该选D。
上述例题的解答问题就体现了函数思想。通过建立时间与耕地面积的函数关系使题目简单化。倘若直接计算，也能得到正确答案，只是解答过程会相对繁琐并且容易出现错误。其实，利用函数思想解决初中数学问题的中心思想很简单，就是构建函数关系式。但具体应用起来并非易事。学生要综合考虑函数的性质、图形及实际情况解答问题，并不是单纯地列出函数式就可以了。教师应加强学生的相关练习。
四、方程思想的应用
1、方程的思想在代数中的应用：对于一些概念性的问题可以用方程的思想解决。
例如：1）■+1与■互为相反数，求m的值；
2）p（x，x+y）与q（y+5，x-7）关于x轴对称，求p、q的坐标。
解题思路就是根据给出的语言描述，利用相反数的概念及关于x轴对称的性质列出相应的方程式，然后对方程式进行求解。
2方程的思想在几何中的应用：最典型的就是给出边（角、对角线、圆的半径）的比，求有关的问题。
例如：若三角形三个内角之比是1∶1∶2，判断这个三角形的形状。
解题思路为：设每一份为x，三个角分别就是x，x，2x，则x+x+2x=180，解方程得x=45，所以该三角形为等腰直角三角形。
从上面的例子可以看出，方程思想在具体应用中就是利用方程观点，用已知量和未知量列出等式或者不等式，然后再对方程进行求解。教师应该加强培养学生根据题意列方程的能力，这是利用方程思想解题的关键所在。
五、合作讨论，拓展学生的数学思维
在教学中，研究讨论一直是不可或缺的方法之一。研究讨论的方式不仅可以提高学生对数学知识的掌握，更可以加深学生对知识的理解，同时在研究讨论中十分有效地提高对学生数学思维的培养。在中学数学课堂上，教师可以将学生分成若干小组，多多提供机会将学生个人与小组结合起来，引导学生加强与组内成员的交流，提供充分的学生自主活动空间以及广泛的交流。例如，在学习方程函数的课程时，教师可以组织学生们进行小组讨论，对方程函数中的各种特点进行归纳、分类。合作讨论的教学方法不仅可以加深学生对知识的理解，提高学生对数学知识学习的兴趣，更可以培养学生们的团结合作精神，了解团队的重要性。这能够提高学生们对数学学习的兴趣和热情，使学生们喜欢上数学，从而大大提高了初中数学课堂教学。
在初中数学中，函数与方程是其中的核心知识，函数和方程概念是中学数学中的一个非常重要的部分，对数学的学习有着非常重要的作用。因此，在数学的教学中，要强调函数和方程思想的重要性，提高学生的综合能力，从而达到素质教育的根本要求。
参考文献：
[1]刘昭慧在初中数学教学中方程函数思想的运用[J].数理化学习（教育理论），2013