初中数学命题的概念篇1
关键词：平面几何；分类意识；学生
中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1006-5962（2013）05-0340-02
在平面几何教学中我们的目标之一就是培养学生的分类思想：因为"分类"分化了问题的难度，是一种"分而治之"的解题策略.分类思想是解决数学问题时常用的思想方法，以下仅就平面几何入门教学阶段中如何通过"解后思"环节，旨在培养初中学生的分类意识的一些做法进行阐述，供大家参考.
"解后思一"--在识图教学中，变换题目的条件或结论或相关的变式练习，探索解题规律.
问题1写出图1中所有的线段.
问题2写出图2中所有的角.
对于上述两个问题，如过盲目去找答案，遗漏与重复的可能性很大，很难得出正确答案.解决这类问题的个案后，可考虑增加"解后思"环节，引导学生用分类的方法去解决这一类问题.在教学中，等学生个体的学习活动陷入困境后，教师再揭示分类情境，引导学生通过小组合作学习发现分类的方法，即：
以a为左端点的线段有：aB、aC、aD、ae；（4条）
以B为左端点的线段有：BC、BD、Be；（3条）
以C为左端点的线段有：CD、Ce；（2条）
以D为左端点的线段有：De.（1条）
最后，为了巩固知识，可进行变式练习.如可尝试进行相关数学问题的生活化.
当然，对于问题2也可以作类似处理.
以上两个问题的教学价值不仅仅在于让学生通过"解后思"环节掌握解决此类问题的一般方法，还尝试让学生体会到分类思想在解题中的作用，从而增强初中学生的分类意识.
"解后思二"--在概念教学中，比较同类概念，进行分类，帮助学生有效梳理知识.
平面几何入门阶段中概念叫多，有不少概念意义相近，要使初中学生牢固掌握这些概念，可通过对大量"判断题"和"选择题"的演练进行巩固.解决了这一类练习之后，必须对题中涉及的概念进行比较，并在此基础上进行分类，这就是笔者在此处要强调的对平面几何概念教学进行"解后思"环节操作方式.毫无疑问此环节也是培养初中学生分类意识的最佳途径.如：对于同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角、互为余角、互为补角这些反映两个角关系的概念，通过比较可分为如下三类：
⑴既反映大小关系有反映位置关系：对顶角、邻补角.
⑵反映大小关系（不反映位置关系）：互为余角、互为补角.
⑶反映位置关系（不反映大小关系）：同位角、内错角、同旁内角.
通过以上分类，学生对这组概念的理解边会在原有的基础上加深一步.由此可见，在概念教学阶段，在"解后思"环节培养学生对概念进行分类的习惯有助于加深学生对概念的理解.
"解后思三"--数学课堂的高潮环节是对教学重点和难点的突破后，进行必要的"解后思".这是对前面学习过程的巩固，也是对一类知识、一类方法、一类数学能力的稳固，更能培养学生分类意识.
、平面几何入门阶段有关几何命题的教学存在三大难点：⑴正确区分命题的题设和结论；⑵画出符合命题意义的图形；⑶结合图形用符号语言写出命题的题设与结论，这些正是渗透分类思想，培养分类意识的一个契机，而分类思想的应用也为突破这些难点提供了有力的工具.
比如对命题进行分类，可进一步加深对命题的认识.初中阶段数学教材中出现的真命题（定理、公理），使学生对平面几何的内容有了初步的认识，在进行"命题"一节教学时，当学生初步掌握了"命题"的概念，教师实现对本堂课教学重点和难点的突破后，可有意识地引导学生对学过的命题进行比较、分类.这样做既有助于学生理解命题的有关概念，有能使学生对这些命题的认识有所提高.大体上，出现过的命题按结论部分可划分这样几类：
第一类是表述位置关系的，如"内错角相等，两直线平行"；第二类是表述大小（数量）关系的，如"等角的补角相等"；第三类是表述"存在性"的命题，主要是几条公理.通过分类有助于学生对命题的理解和记忆.
写在最后的寄语--平面几何的入门学习是艰难的，但当学生拥有了良好的学习习惯和必要的分析数学问题的方法后，我们的学生将在平几的知识海洋中自由的翱翔.
"解后思"是我们作为教师，期望学生能养成的一种良好的学习习惯.这种反思不仅仅是对数学学习的一般性回顾或重复，而是对数学活动所涉及的知识、方法、思路、策略等的一种深层探究；这种反思的目的也不仅仅
是为了回顾过去，更重要的是指向未来的活动.因此，培养学生具有解后反思的精神和解后反思的能力，使他们摆脱单一的、被动的操作性数学学习，上升到多维的、主动的反思性数学学习，是引导学生自主发展，催生学生成熟理性的明智之举，也是教师教学观念的一次解放.
参考文献
初中数学命题的概念篇2
【关键词】初中数学变式教学运用
【中图分类号】G632【文献标识码】a【文章编号】1674-4810（2014）05-0132-01
变式教学是指在教学过程中通过使数学题本质特征不变，从多个角度转换问题的形式，有目的地引导学生从“万变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“万变”的规律的一种教学方式。
一代数与几何概念在变式教学中的研究比较
1.代数与几何概念在变式教学中相似性
第一，代数和几何的大多数概念都与现实生活中所产生的概念有关。所以，教师在教学时为了能够更好地把知识的构建过程表示出来，使学生能够更好地深化理解书本上概念，可选取现实生活、生产中的实际例子、新鲜事物，通过引入概念变式化，加深学生理解代数和几何中的抽象概念。如代数中的“正数”的概念和几何中“平行”的概念的形成都与客观实际有关。
第二，代数和几何概念相似之处都有逻辑分析判定性。“所有的代数和几何的概念都是一个特别的命题”，在“此类特别的命题”中的条件和结论互为充分必要条件，例如代数中“平方根”的概念与几何“正方形”的概念。教师在课堂上应把握好教学的变式，能够在合适的时候将变式移植概念转化为问题，使学生更好地掌握概念的本质属性。
2.代数与几何概念在变式教学中的差异性
几何概念具有直观性，代数概念较为抽象。几何概念一般都与图形有关联，所以，对图形的变换是学生正确理解几何概念的关键。根据概念把图形以不同的方式进行变换，使学生深刻理解概念的本质。由于代数概念的抽象性，为使同学们理解概念的本质属性，应适当以不同的方式改变概念中一些不重要的因素。
二变式教学方法应用于代数概念之中
1.变式教学的剖析
教师在讲解代数概念时，对概念的本质及其拓展延伸设立可辩论分析的问题，通过师生对此类问题的讨论研究，使学生真正了解概念的本质。
例如，当学习“方程式的意义”时，可以向学生列举在某水果超市中苹果的单价标注为4元，香蕉单价3元，橘子单价为2元，梨和桃子的单价未标明，那么可提出一个问题：梨和桃子的单价怎么标明？然后告诉他们学习了方程式之后就可以回答这些问题，可以用x、y表示，从而开拓学生视野，激发学生的思维，并创造了“好学”的氛围。
2.变式在初中代数教学中的巩固
为了提高巩固学生对代数概念的理解，教师在讲析概念的时候，可把概念的变换题组拿出来进行探讨，激发学生的求知欲望，培养学生的探索精神，加深概念的理解与运用。
三以几何概念的特点为基础进行变式解析
1.变式几何的逻辑分析判定性
在几何的课堂上，教师不仅要介绍几何概念的本质及其延伸，也要认识到，“所有的代数和几何的概念都是一个特别的命题”，在“此类特别的命题”中的条件和结论互为充分必要条件，也就是原命题是对的，逆命题也是对的。所有的定义在性质的使用和判断方法上都具有双重性。
2.变式在几何概念中的感官性
几何中的概念可用图形直观表达，所以几何的概念与图形是分不开的。书本上的图形只能让学生片面地理解几何中的概念，为使学生更好地理解概念的多重意义，老师应把图形进行适当的转换，根据图形不同的形式表达出概念的本质。
3.变式在几何概念中的实用性
由于日常概念的全面性、波动性、模糊性，容易误导学生对数学概念的理解。而日常概念早就潜在学生的意识中，在其接触数学概念时很容易导致一些错误。因此，教师应引导学生积累日常生活经验，为概念教学提供更好的服务。伴着学生年纪的增长、阅历的增加、视野的扩展获得概念的能力也在与日俱增。有调查显示，在概念的学习中对智慧和阅历的影响程度的对比实验中，阅历起到了关键作用。要想理解概念的内涵必须要有丰富的经验，不能靠死记硬背概念的字面定义。另外，为了防止学生学习新概念时，经验对其产生负面的影响，教师还可以通过变式反映概念的图形来真正使其把握概念的内涵。
4.变式在几何概念中的全面性
概念的学习是一点一点慢慢积累的，有时新概念是在原来的某些概念的基础上演变而来的，在教学过程中掌握概念的本质很重要，但如果只是单纯学习其表面意思，不深入分析、了解概念的内在逻辑关系，学生得到的表象只是碎片甚至凌乱的。因此，当教学和学习的理念成熟后，教师可引导学生构成一个概念体系，在掌握相关概念的基础上变式分析概念的本质属性，通过相关概念的本质属性的变换加深学生对新概念的了解，从而达到使学生全面学习的目的。
参考文献
[1]曹一鸣.数学课堂教学——实证系列研究[m].桂林：广西教育出版社，2009
初中数学命题的概念篇3
关键词："高观点"；中考试题；命制方法
1"高观点"思想之由来
"高观点"思想是德国杰出的数学家菲利克斯・克莱因于20世纪初在《高观点下的初等数学》这本书中提出来的.克莱因认为，基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过[1]。
克莱因的"高观点"思想主要是指用高等数学的观点来剖析、俯视初等数学问题.初中数学是高中数学和大学数学的基础，高中数学和大学数学是初中数学的发展和延伸，它们是一脉相承的.因此，我们可以用高等数学（包括高中数学，以下简称高数）的观点（知识、思想、方法等）来剖析、透视初中数学试题。
本文以浙江省台州市中考数学试题为例，运用"高观点"思想，剖析试题的解法，分析试题的特点和命制方法。
2"高观点"思想下中考数学试题之赏识
在近几年的浙江省台州市中考数学一些试题中，有着或明或暗的高数背景，都可以从高数的视角来剖析，举例如下：
[浅析]本题摒弃了通常的找规律型试题和给出新定义让学生理解的命题方式，独辟蹊径，把主动权交给学生，请学生给出合理的对象定义[2]，这与直接给出新定义的途径正好相反。该题既考查了学生的数学归纳、数学概括能力，又检测了学生的"自我在线监控与调节"的意识[2]。事实上，本题的三个式子中都有ab=ba这个重要特征，即对称性，它的背景就是高等代数中的对称多项式。我们知道，在高等数学里，如果对于任意的i，j（其中1i
[浅析]函数最明显的特征是模型属性而非图形属性，画函数图像是为研究函数的性质服务的，而不是为了研究图像而研究图像[2]。本题中，学生通过分析函数图像特征断定用二次函数来拟合，利用几个特殊点确定函数解析式，求出函数的最值.从高等数学的角度思考，满足已知条件的函数也可以用拉格朗日插值函数来表示：
[浅析]求椭圆的面积需要用高等数学中积分的知识来解决，即使如题意中所描述的采用"化整为零，积零为整""化曲为直，以直代曲"的方法，由于初中学生不清楚椭圆的标准方程，分割求面积和求极限都不会.在《全日制义务教育数学课程标准》中提出，教师应该引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力.事实上，数学直觉和合情推理能力是数学素养的重要组成部分，但在现实的教学中普遍存在对这两种能力重视和关注不够[3]，该题的出现旨在考查学生的数学直觉和类比能力.尽管为了降低难度，命题者作了暗示性的铺垫：希望通过正方形与矩形面积的关系启发得出圆与椭圆的面积关系，但这种暗示作用甚。也许有人会这样去猜测，把圆的面积公式πa2看成πa・a，再将其中的一个a换成b，但为什么可以这样猜测呢？笔者以为，要解决这个问题，还得从高等数学的角度来诠释，因为把圆压缩成椭圆就是仿射变换的过程，在仿射变换下，任意两个封闭曲线围成的面积之比是仿射不变量，即
3"高观点"思想下初中数学试题特征之分析
3.1"高观点"思想下初中数学试题的特点。
仔细分析这些试题，我们不难发现它们有以下一些特征：
①背景深：
试题背景源于高数，它从不同的角度、不同的思维抓住了初中与高数的衔接点，立意新，背景深，这类试题或者以高数符号、概念直接出现，或者以高数的概念、定理作为依托，融于初中数学知识之中，贴近学生的最近发展区.因此这类试题靠猜题押题是不行的，体现了试题的公正性、公平性，为命题者喜欢。
②落点低：
问题的设计虽然来源于高数，但解决问题的思想、方法却是初中所学的，决不会超纲，思维虽高落点却低，它能有利于引导学生提高思维的逻辑性、敏捷性和严谨性。
③要求高：
试题的设计旨在考查知识的基础上，能宽角度、多观点地考查学生的数学素养，有层次深入地考查数学思维能力和继续学习的潜能，为学生的后续发展打下基础。
3.2"高观点"思想下初中数学试题的命制方法。
相比而言，高数所涉及的知识点当然要比初等数学所涉及的多（而且深）."升格"和"降格"是我们编制初等数学问题的有效策略。升格就是把问题从局部归结为整体，从低维提高到高维，从具体提升到抽象的策略；降格是遵循人们认识事物的规律，把复杂、多元、高维的问题情形，分解、降维为简单、一元、低维的情形，如特殊化方法，可以将问题转化为我们熟悉的情形。
"高观点"思想下初中数学试题的命制并不是高数知识和方法的简单下嫁，而是充分利用高数的背景，通过初等化的处理和巧妙设计，使之贴近初中学生的思维认知水平，达到一定的考查目的。
3.2.1直接引用法。
直接引用法是指将高数中某些命题、概念、定理、公式等直接移用为初中数学试题的一种做法.事实上，高数中有许多抽象化的概念本身就是初中数学知识的拓展和延伸，在考查学生掌握相关知识水平的同时，也考查了学生对高数知识的理解能力。
例4（2009年第10题）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式。下列三个代数式：①（a-b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a。其中是完全对称式的是（）
（a）①②（B）①③（C）②③（D）①②③
[浅析]该题中的完全对称式就是直接引用于高等代数中的对称多项式。
3.2.2适当改编法。
根据高数有关知识，结合相应的考查要求，适当地将问题进行改编，使之能符合初中学生的知识能力要求范围内，可以有效地运用初中所掌握的知识和方法予以解决。这类方法可以简单分为三种：演变法、初化法和高化法。
①演变法演变法是指将高数的定理公式等的条件和结论进行演变，或以公式、定理为载体，可以通过对概念的延伸或弱化，或增加适当地背景，转而考查学生的数学思维能力。
问题，通过适当演化，用表格创设背景，所考查的知识内容没有改变。
②初化法初化法是指将高数的问题、概念、原理等进行特殊化、初等化、具体化、低维化的处理，使之成为具体的初等化内容。
例6（2006年第17题）日常生活中，"老人"是一个模糊概念.有人想用"老人系数"来表示一个人的老年化程度.他设想"老人系数"的计算方法如下表：
[浅析]此题是高等数学中的模糊数学和高中数学中的分段函数相结合后初等化处理的一种设问形式，主要考查学生的阅读理解能力，引导初中数学教学更多地关注背景深刻、趣味无穷、应用广泛但又是学生能够理解和接受的数学。
③高化法高化法是指将初等数学的语言、符号、概念等升华为高数的语言、符号和概念，是学生所学知识的延伸，考查学生的探究能力和后续学习能力。
例7（2008年第10题）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图4）。结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图5）的对应点所具有的性质是（）
（a）对应点连线与对称轴垂直
（B）对应点连线被对称轴平分
（C）对应点连线被对称轴垂直平分
（D）对应点连线互相平行
[浅析]本题从植物叶子的构造特征中让学生发现平移与轴对称的组合变换，是将单一的图形变换升华为复合变换，旨在考查学生对新定义的理解.它也明白地告诉学生，自然界中的许多现象都可用数学的语言区描述，简洁而准确，数学是有趣的也是有用的.从高等数学看，几何变换的发展正是从轴对称出发，通过数学概念的弱抽象（减弱数学结构的抽象）过程，探究各种不变量：轴对称变换合同变换相似变换仿射变换射影变换拓扑变换，因此，轴对称变换是几何变换的基础，该题可以引导学生在变换过程中积极寻找不变量。
结语
"站得高才能看得远"，从数学学科的整体性和数学教育的连续性的角度上说，用"高观点"思想分析初中数学试题，可以较好地解决一些困惑问题，是一把利器.
当然，尽管中考数学试题中有一些高数知识的背景，但是我们也不提倡教师在课堂教学中把高数内容下放给学生，否则势必会加重学生的学业负担，再说你想教也是教不完的！在学生充分掌握初中数学知识的基础上，我们可以借助实例和直观，渗透一些为学生所能接受的高数的初步知识（最近发展区），突出思想和方法，重视思维训练，强调理解和应用，不追求严格的证明和逻辑推理，积极发展学生的合情推理能力，从而最终提高学生的数学素养.
参考文献
[1]菲利克斯・克莱因著，舒湘芹陈义章杨钦等译.高观点下的初等数学[m].上海：复旦大学教育出版社，2011.
初中数学命题的概念篇4
【关键词】数学期望相关系数条件数学期望
【中图分类号】o211【文献标识码】a【文章编号】2095-3089（2013）12-0164-01
1.引言
在本科生的概率统计相关课程的教学中，数学期望、相关系数和条件数学期望，是非常重要的概念，具有重要的数学函数，蕴含丰富的数学思想。例如：数学期望描述一种平均，相关系数刻画随机变量间线性程度的大小，条件数学期望可以看作是在某些限制条件下的数学期望。但对于初次接触的学生来说，较难理解，通常的教材[1]，[2]一般没有这些的概念的几何解释。基于大多数本科生在学习概率统计时已有线性代数和高数的基础，为此我们用几何的语言来解释数学期望、相关系数和条件数学期望，希望这种方式能让同学们更容易接受。
该文是这样安排的：第二节介绍基本概念的定义；第三节是主要内容，给出前面所述概念的几何性质；简短的证明在第四节给出。
2.基本概念
为方便起见，我们记随机变量X的分布为FX（x）。
定义1：设X为一随机变量，如果积分
注1：在上述定义中FX（x）可以用来统一表达连续、离散或奇异随机变量的分布，对于初学的读者可以分布看作连续型随机变量对应的积分
其中f（x）为连续型随机变量的密度函数，和离散型随机变量对应的和式
其中a1，a2，…，an，…为离散型随机变量的所有可能取值。
定义2：设X和Y为两随机变量，如果二者的方差Var（X）和Var（Y）存在，称
为随机变量X和Y的相关系数，其中
为随机变量X和Y的协方差。
注2：上述定义中方差存在与二阶矩存在是等价的，即上述的式子只对二阶矩存在的随机变量有定义。
定义3：设X和Y为两随机变量，称e（X|Y）为随机变量X在随机变量Y下的条件数学期望，如果：
1）e（X|Y）∈K（Y）；
2）对任意的f（Y）∈K（Y），有e（f（Y）e（X|Y））=e（f（Y）X）。
注3：见命题3，上述的定义条件数学期望在几乎处处意义下是唯一的。
3.几何性质
命题1：记全体的随机变量全体为K，对X，Y∈K，定义二者之间的距离：
则
注4：该结论具有直观的几何意义，它表明数学期望在度量（1）下为从随机变量X到实数空间最短距离所对应的实数，如图1。
命题2：记全体二阶矩存在随机变量构成的向量空间为L2，对X，Y∈L2，定义内积为：
（X，Y）=e（XY）-e（X）e（Y）
如果记θ为向量X和向量Y的夹角，则二者之间的相关系数为cosθ。
注5：该结论表明，相关系数可以看作是向量X，Y的夹角的余弦值，见图2。如果夹角为锐角，二者正相关，相关系数为正；如果夹角为90度，二者线性无关，相关系数为0；如果夹角为钝角，二者负相关，相关系数为负。
命题3：K如命题1中所定义的，对X，Y∈K，记e（X|Y）为给定随机变量Y下随机变量X的条件随机变量，则：
其中K（Y）={f（Y）：f为任意的实可测函数}。
注6：与注1类似，该结论也具有直观的几何意义，见图1。
4.结论的证明
命题2的证明：由向量空间的知识，我们有
命题1和命题3的证明：我们首先证明命题1，我们只需证明数学期望e（X）是实数里面离X最近的点。为此，令b∈R，且b≠e（X），则
这样命题1得证。
下面我们证明命题3：我们只需证明数学期望e（X|Y）是K（Y）里面离X最近的点。为此，令Z∈K（Y），且Z≠e（X|Y）（几乎处处意义下），则
参考文献：
初中数学命题的概念篇5
一、初中数学教科书中情境设计的本质
初中数学教科书中的教学情境通常设计为问题、图表、操作活动等等，这些情境都是数学知识产生的背景事件或应用领域，而且明显地带有问题性、探究性和建构性。教科书所设计的情境的本质就是将抽象的数学知识反映在产生和运用的背景事件之中，把抽象的数学世界与现实生活建立起一定的联系，以便于学生对数学有更好的认知和理解。情境设计的本质价值体现在：
1.情境是数学知识产生的背景事件或应用领域，能够让学生认识到数学产生的源头，理解数学的用途。在情境中，学生能更好地理解数学，并且更容易将所学的数学知识学以致用。
2.情境将抽象的数学世界和现实世界紧密地联系起来，由抽象到具体，又由具体到抽象，促进数学知识和学生个人经验、认知链接和转化，让数学教学生活化。
3.情境将数学知识包含在具体的事件中，事件中隐含了抽象的数学模型，是学生学习数学化和再创造的物质载体。
4.情境生动、具体地揭示了数学知识产生和应用的过程，激发了学生参与数学活动的学习热情，并且对学生进行自主建构提供必要的概念框架。
二、初中数学教科书中情境设计的呈现方式和特征
1.初中数学教科书情境设计的呈现方式
在初中数学教科书中，设计的情境主要有三种方式，即归纳式、活动式、类比式。归纳式就是将情境提供的材料进行归纳，而得到新的知识。这种方式的情境一般是给几个例子，先是提出问题，如何解决问题，再从这个过程中进行归纳和概括，得出最终结论，即新的知识。活动式则是通过情境假设，引导学生参加数学的操作、探究活动，在活动中获得新知识。这种方式的情境主要是让学生在锻炼动手能力的同时，多思考，进而获得新知识。而类比式是提供与即将要学习的知识相类似的、而且是学生已经具有的知识经验作为情境，以此引导学生进行类比联想，进而获得新知识。这种方式的情境提供的材料一定是有普遍性的，是一般学生都已经具备的知识或经验，这样才能使学生把原有知识和经验进行类比，而得到新知识。
2.初中数学教科书情境设计的呈现特征
（1）提供的知识背景具有直观性。情境材料的直观性十分重要，情境设计的初衷就是为了将抽象的数学知识具体化、生活化，如果背景材料不直观，那么就失掉了其本质价值，不能帮助学生形成对数学的直观感知。
（2）表现了数学知识形成的过程。初中数学教科书所设计的情境通过不同的呈现方式将抽象的数学知识蕴含在直观具体的材料中，再一步步地向学生展示新知识的产生过程，让学生能够知其然，更知其所以然。
（3）注重理论联系实际。新课改提倡要将教学生活化，将抽象知识根植于现实生活，在初中数学教科书的情境设计中，背景材料应该要来源于现实生活，充分体现理论知识来源于生活实践，而在获得了新知识之后，新知识又指导解决现实生活中的数学问题，体现了理论知识可以指导生活实践。
（4）概念与命题的情境设计不尽一致。数学概念的情境设计主要是体现这一概念的本质属性。因此，一般在设计概念情境时，主要是选择比较直观的，能够很典型反映这一概念的背景材料；而数学命题情境注意体现命题的形成过程的特征。因此，一般在设计命题情境时，通常选择命题的特殊事例，或选择具体的问题或活动作为情境，让学生经历从特殊到一般的命题形成过程。所以数学的概念情境通常采用归纳的方式，而命题情境通常采用活动的方式。
三、初中数学教科书中情境设计存在的一些问题
现在的初中数学教科书普遍都很重视情境设计，但是情境设计质量还需要进一步提高。一是情境设计所体现的抽象数学知识与现实生活的联系的广度和深度不够。二是存在初中数学教科书为情境而情境、情境偏离数学主题、情境缺乏探究性等问题。
四、改进初中数学教科书中情境设计的建议
1.情境材料的选择方面
一是情境材料的选择必须要全面联系数字知识的形成、发展、应用以及现实生活。在知识形成阶段，情境材料应该选择直观的现实生活的材料，让学生了解数学知识是从现实生活中来。在知识发展阶段，情境材料应该尽量以数学理论知识出发，这样才能表现出数学知识的逻辑性。而在知识应用阶段，情境材料应该广泛的包括数学本身、现实生活，甚至是其他学科的。
二是数学教科书情境设计应该要尽量采用多种资源，包括数学史料、其他学科的知识等等。
2.情境设计的呈现方式方面
上文所述一般教科书的情景设计呈现方式有归纳式、活动式和类比式三种，但是这三种方式可以灵活使用，可以单一使用，也可以组合使用。
3.情境设计的主题方面
初中数学命题的概念篇6
关键词：初中数学教学反例数学概念创造性思维
新的数学课程标准将数学思维作为数学教学的一个重要分支纳入到数学教学总体目标中，这足以表明数学思维的重要性。只有巧妙使用在反例，才能对学生的智力活动起到定向纠错、提炼升华的作用。
一、恰当运用反例，帮助学生理解和掌握数学概念
二、巧用反例，深化理解
要证明一个命题正确，必须经过严密的推理证明，而要否定一个命题却只要能举出一个与结论矛盾的例子即可。在学习公式、定理时，有的学生常常不注意条件，在解题中常常出错。这时，教师可以借助反例使学生深入思考，避免解题时再犯同样的错误。在讲解三角形全等判定时可以设计这样一题：“有两边和其中一边的对角对应相等的两三角形全等吗？”
三角形全等判定，明确至少具有三个元素，对应相等的两三角形全等。因为学生对“边角边”判定三角形全等已理解，主观上提出此问，大多数学生很难准确作出判断。如图，BC=BC′，并且aB=aB，∠a=∠a，但aBC和aBC′显然是不全等的。
这样的反例可以使学生理解此定理中夹角中的“夹”的深刻含义，达到准确掌握和运用定理的目的。
又如，为了让学生更好地掌握“一元二次方程”的概念，可以设计这样一道练习题：下面列方程是一元二次方程的有（）
学生对选项a和B有争议，我们可以让学生对照概念对选项a、B进行讨论。他们最后认定a选项是正确的，由此加深了对一元二次方程概念的理解：与系数有关，与未知数的指数有关，学生对B的争论闪现了逆向思维的火花，即举反例：当a=0时，选项B不正确。通过引导学生举反例纠正了这一常见错误，同时解决了教学中的重点、难点问题，提高了教学的有效性。
三、巧用反例，证明猜测
常有这样的情况，一个数学家的重要猜想，用了很长时间不能证明猜想，若干年后，却有人举出反例否定这样的猜想，问题得到了解决。
因为学生平时接触的命题大都是真命题，学生最熟悉、习惯的是正向思维，易形成思维定势，总是千方百计地希望证明结论成立，这往往反映出学生思维品质的缺失。实际上，无论在理论研究上还是实际生活中，假命题都很多。正是由于对逆向思维要求较高，使得“反例题”的编写困难，题海中经典“反例题”难得一见。如判断：（1）所有边都相等的多边形一定是正多边形。（2）所有角都相等的多边形一定是正多边形。（1）和（2）都是错误的，例如菱形和矩形。这两个反例学生都容易想到。但是，除此之外，还有没有其他反例呢？教师还可以做进一步提问。
四、恰当构建反例，培养学生的创造性思维
反例的运用、构建，是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。反例往往是伴随数学教学中命题的推广，正面证明失效后产生的，所以反例构建不能就事论事，而要把问题的产生过程、如何构建出反例的思维过程充分展现给学生，使反例构建与整个推理过程有机地结合，从而培养学生的创造性思维。
例如，请学生判断：“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是真命题吗？
教师在教学时，可以利用严格的尺规作图，进行如下的反例构建：构建aBC，使得aB=aC，在aDC外（∠DaC
可见，在初中数学教学中，反例的构建是一种非常重要的教学手段和方式，反例教学有极其重要的作用。教师在教学中，不但要适当地使用反例，更要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情境，需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学知识，充分展开想象。在初中数学教学中，恰当地应用反例进行教学，引导学生从反面思考问题，有助于数学教学质量的提高和学生数学素养的培养。只要教师在教学过程中合理地运用反例，适当地构造反例，就能使学生不断地完善数学概念，提高分析、判断问题的能力，从而达到事半功倍的教学效果。
参考文献：
[1]马忠林.数学学习论[m].广西：广西教育出版社.
初中数学命题的概念篇7
[关键词]中学生；数学；逻辑思维；培养
【中图分类号】G633.6
数学教学，是不断帮助学生在学习过程中建立各类数学概念体系的过程。而数学概念体系的形成和发展的过程，则是分析、综合、抽象、概括、比较、分类等各种逻辑方法的形成和发展的过程。数学知识又大都通过数学概念的联系而表达数学命题的，这些命题的结构形式和论证方法以及相互的研究都属于逻辑学的范畴。
逻辑思维能力，是正确、合理地进行思考的能力。它在能力培养中起到核心的作用，是学习数学理论，运用数学知识所不可缺少的基本能力。
在中小学阶段，学生的思维是从具体的形象思维向逻辑思维发展的阶段。小学阶段，算术学习以具体形象为主要的思维形式。进入初中，就要为从具体形象向逻辑思维形式过渡奠定基础。从初二到高一，则是逻辑思维的培养阶段，但此时还是以学生的实践经验为基础，倾向于经验型逻辑思维。高二到高三的逻辑思维能力的培养，则以已有的理论知识为基础，属于理论型逻辑思维。在高中阶段，辨证逻辑思维成分在逐渐增加。在培养学生逻辑思维能力时，应该很好地考虑这些阶段的特点。特别要抓住初中一、二年级这个思维发展的重要时期，对于打好发展逻辑思维能力的基础有着重要的意义。
逻辑思维能力的强弱表现在概念、判断、推理这些思维形式运用能力的强弱上，表现在语言的表达运用和思维开展时每步的依据是否充足上。教师的数学教学，对学生在数学学习过程中应在这方面下功夫、花气力，以求逻辑思维能力得到提高。
一、在形成、理解和深化数学概念过程中培养逻辑思维能力
数学概念是数学思维的细胞，没有正确的数学概念，就不可能有正确的数学思维，不深化数学概念，就不能发展数学思维。
1.数学概念的形成过程
数学概念隶属于一般概念，它是人脑反映数学对象（客观事物的数量关系、空间形式和结构关系）的本质属性的思维形式。数学概念作为概念，它的形式遵循一般概念形成的规律，然而又将体现出其本身的特殊性，其形成过程可概述为：⑴对数学对象进行感知辨认，在头脑中建立数学映象；⑵通过观察、分析，从各个数学映象中分化出各种属性，通过比较概括成共同属性，使学生形成鲜明的数学表象；⑶通过分析、综合、抽象、概括的思维活动，抽象出数学对象的共同本质属性；⑷用数学词语表达数学对象。其过程是：
上述数学概念的形成过程，包含了四个阶段，其中，第一、二阶段为形象思维阶段，第三、四阶段为逻辑思维阶段。从概念形成的过程可以看出，形象思维是逻辑思维的先导，它渗透合在逻辑思维之中，如果没有形象思维的渗入，逻辑思维就不可能很好地展开。
2.数学概念的掌握――理解和深化过程
形成数学概念以后，还须进一步理解和深化概念。使学生形成对概念的掌握，即进入认知过程的发展阶段，其标志是概念之间内在的本质联系的揭露，建立概念体系。这也意味着对概念有了进一步的理解：⑴感性认识于理性认识已经结合起来；⑵新概念与原有知识已有机地联系起来；⑶能用自己的语言表述出来。
对于数学概念的掌握，还要求将数学概念加以深化，深化的关键则是运用，数学概念的运用，即看在实践中能否将一般与个别密切联系起来，是一般化与特殊化的思维方法在数学概念中的应用。只有从一般到特殊、特殊上升到一般的过程中。能将数学概念运用自如，才意味着概念得到了深化。
二、通过数学推理能力的发展培养逻辑思维能力
从某种意义上讲，逻辑思维能力就是解决问题的能力。思维活动是对所研究的材料进行加工的过程，通过逻辑推理，得到符合客观规律的本质性认识。因此要发展逻辑思维能力，应该着重于逻辑思维能力的培养。
要培养逻辑推理能力，就要重视数学命题的学习。由于每一个数学命题，都是按照一定的逻辑关系构成的，深入掌握命题的过程，就是逻辑推理能力增长的过程。
逻辑思维对推理的基本要求是：推理要合乎逻辑，也即在进行推理时要合乎推理的形式，遵守推理的规律。因此，必须通过推理思维的训练和推理形式的训练这两个方面来培养逻辑思维能力。
1.推理的每一步都要求有逻辑依据
在数学教学中，对于命题的推论都要有正确的根据。要指导学生，能指出推理的每一步所作依据的定义、公理、定理。在运算时，要自觉意识到运算的每一步都是根据相应公式法则（包括运算律）来进行。如果是作图，则要让学生清楚地认清是根据哪一项基本作图法来实施。
2.作关于联想思维方法的训练
推理过程的思维活动，要进行频繁的联想，通过联想“穿针引线”接通思路。应做一些便于作纵向和横向联想的练习，以便在联想的实践中学会联想。
3.作关于分类思维方法的训练
数学对象一般都包含多个侧面，如果只从对象本身所直接显露的一面来进行推证，则易出现以偏概全的形象，以致产生遗漏等情况。因此，在推理进行前，必须对推理的对象进行全面、周密的观察和思考，进一步把一个复杂的问题分成若干种情况去考查，然后逐一进行论证，这就需要使用分类这种思维方法加以操作。注重于进行分类思维方法的训练，有助于周密的思考和合理的推理，以提高逻辑思维能力。
4.通过反例剖析，纠正逻辑性错误
在中学教材和一些参考资料中，都有一些反例剖析的例子，教师在教学过程中应给予重视，指导学生练习，以加深自己对逻辑性错误的印象，提高逻辑推理时的警觉。
最有效是推理形式的训练是加强三段论法的运用。这种训练以在几何学习中进行为主，但在代数、三角学习中应该加以必要的注意。
三、通过数学语言的训练培养逻辑思维能力
1.数学语言与数学逻辑思维的关系
⑴数学逻辑思维是借助数学语言来实现的。如在研究有关几何图形的性质或解决有关问题时，可以画一个草图，也可以不作出图形，而凭借数学语言来思考。只有通过数学语言这种物质形式（说出的、听到的、或看见的词的信号），才能把所研究的数学对象的共同本质属性和它们之间规律性的联系固定下来，从而有可能进行抽象、概括等逻辑思维活动。⑵数学语言不能脱离数学思维而存在。由于数学语言本身的意义就是通过数学思维――逻辑思维是其中核心而获得的，数学语言必须要和数学思维联系起来，才能有其数学的内涵，才能表达出数学思维所进行的活动。如果失去了数学思维所概括出来的数学特征，那它就不成为其数学语言了。因此，提高数学语言的运用能力是培养逻辑思维能力的重要途径。
2.注意提高运用数学语言的能力
在教学实践中，“语病”是由于对数学语言的理解和运用的能力薄弱所导致的思维的混乱。如：
①x2、a-2颉√x-1都是正数（实际应为非负数）；②三角形两边之和大于第三边（应为“三角形任意两边之和大于第三边”，不能漏去“任意”两字）；③同位角、内错角相等（缺少了前提，漏了“两条平行直线被第三条直线所截”这一状语成分）；④大角对大边，小角对小边（缺少“同一三角形”这一状语成分）。再如，关于“同类项”的定义：“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项”。有的同学对条件中的“字母相同”不明确，以为只要有一个字母相同即可，以致出现3ax+5bx=8abx这类错误。
以上种种，都说明了由于对数学语言理解和运用上的薄弱导致了思维上的混乱。因此，在学习过程中必须重视对数学语言运用能力的提高。
1.要指导学生搞清楚数学语言的字义词意
在数学语言中，每一个字、词都有着确切的意义，要准确地理解这些字、词，就需要“咬文嚼字”（尤其是初中），如“x比y大a”，这是表示两数之差，这个“比”是个连接词，而“x与y的比是a”，则表示两数之商，这里的“比”是个名词，同一个“比”字就有不同的含义；“增加了”，后面的数是净增数，不包括原数，而“增加到”，后面的数是净增数与原数的和，要能准确地把握“了”和“到”的不同意义。
数学语言中的词比较隐蔽，但起的都是关键作用，决不是可有可无的。如“a与b的绝对值的和”与“a与b两数的绝对值的和”，两者虽只有“两数”二字之差别，但意义是不同的，前者表示的是“a+b颉保后者则是表示“a+b颉薄5不少同学却误以为“两数”这二字是可有可无的，因而两者列出的却是同一个式子。有的同学对于字在语言中的顺序毫不在意，如“不都”与“都不”他们以为是同一个词意。其实“不都”是对“都”的否定，一般有多种情况。而“都不”仅有一种情况。
2.要指导学生用数学语言精确地表述命题
正确理解和运用数学语言能力的强弱表现之一，是用数学语言精确地叙述数学命题，为此，要指导学生从自己的实际出发，做针对性的练习。
在理解数学命题时，要对命题的字、词逐词逐字细细推敲。例如，在学习“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一定理时，注意不能把“两组”当作“两条”；不要以为“对”字可有可无；也要注意“分别”这一关键词的重要作用。根据这种实际情况，指导学生学习时，可以通过变换教学语言中的字、词，展开比较、分析、思维操作，找出哪些字、词作了变动，对于表达命题的意义有何影响。通过比较。分析，并要求学生举出例子加以说明，就能加深对关键词、字所起作用意义的理解。
对于比较复杂的数学语言，可以采用“分解”的方法来学习。如对方程的同解原理2：“方程两边都乘以（或除以）不等于零的同一数，所得的方程是同解方程”。有的同学很难全面加以理解和掌握，为此，可把同解原理2“分解”为“方程两边都乘以（或除以）”、“不等于零的同一个数”、“所得的方程与原方程是同解方程”。抓住“都”、“同”这两个关键词来学习。
3.采用简易的数学语言进行“变式”，逐步提高对数学语言的理解、运用能力
数学语言本身抽象程度上也存在着层次之分，首先可用浅层次、简明易懂的数学语言，由浅入深地逐步提高数学语言的理解和运用能力。例如，关于异面直线所采用的定义，下面的三种表述就是由浅入深的：
a既不平行又不相交的两条直线，称为异面直线。
B不同在任何平面的直线称为异面直线。
初中数学命题的概念篇8
美国课程专家H.Lynnerickon在“概念为本的课程与教学”一书中指出,核心概念是居于学科中心,具有超越课堂之外的持久价值和迁移价值的概念。费得恩(Feden)认为,核心概念是学生将学科的事实和现象忘记之后,仍然留在记忆中并能应用的概念性知识。戴维(Davy)则认为核心概念构成了学科的骨架,具有迁移应用的价值。
综上所述,我们认为,生物学核心概念与生物学事件、生物学事实和生物学现象一样,同为生物学知识。但从教学角度看,分属“为什么”(概念性知识)和“是什么”(事实性知识)两个层别。生物学核心概念是在众多的生物学事件、生物学事实、生物学现象的基础上归纳、推理出来的结论,是对同一类生物学问题本质特征的概括。例如“稳态”这一概念,就是在分析细胞内环境各种理化因子相互作用现象的基础上,概括出“生物体依靠自我调节机制维持内环境理化性质相对稳定状态”这一稳态本质,进而得出其内涵是:机体在遭受外界因素干扰下,依靠体内复杂的自我调节机制,各个器官、系统协调活动,使内环境达到的一种动态平衡;其外延是:所有的生命系统在不断变化的环境条件下,依靠自我调节机制维持相对稳定的状态。理解“稳态”概念的本质,有助于学生理解生命的本质,从系统的角度来认识生命系统与环境的关系。
与事实性知识相比,核心概念具有更高的概括性。人们对核心概念的理解可以较长久地保存在记忆中,有助于形成较好的知识框架,学习更多知识。所以在教学中要更加重视学生对核心概念的理解,而不是对事实的记忆。
在教学中,教师必须注重核心概念的教学理解。具体而言,就是要以生物学现象和事实为载体,把握生物学核心概念的要素和内涵及其外延,领会其教育价值,形成生物学思维方法。
下面以“稳态”概念为例,探讨生物学核心概念及其教育价值和教学理解问题。
二、“稳态”概念及其教育价值和教学理解
“稳态”概念不仅包涵了生命系统通过自我调节保持稳态并适应内外环境变化,通过自动调节作用在结构与功能上达到和谐与统一,而且它又以“生命系统”与其他相关生物学知识整合。可以构建这样一个存在稳态的知识体系:分子细胞组织器官个体种群群落生态系统一般系统,能让学生明白其实生命系统的各个层次都是存在稳态现象的,在生命系统内部和生命系统与环境之间信息流动的过程中,都存在着生命系统的稳态与调控,甚至是自然界的一般系统在其变化与平衡之中也存在着这样的稳态与调节。从而从不同层次和不同的角度帮助学生认识到生命的复杂性和动态平衡性,帮助学生理解各个层次的生命系统是如何在不断变化的环境中通过自我调节机制维持自身的稳态,有助于学生理解生命系统的稳态,认识生命系统结构和功能的整体性;有助于学生形成正确的生态学观点和人与自然和谐发展的观念;同时在构建过程中领悟系统分析、建立数学模型等科学方法,更好地训练学生将数学的公式和方法引入生物学研究,形成系统的观点,为学生将来的进一步学习乃至科学研究打下坚实的基础。
1.“稳态”概念的教育价值分析
(1)丰富对生物学知识的理解和认识
生命系统是开放系统,它们与外界环境之间不断进行着物质交流、能量转换和信息传递,这就决定了生命系统时刻处于动态变化过程中。无论是个体水平还是群体水平,这种动态变化必须在一定范围内进行,否则系统就会崩溃。也就是说,稳态是生命系统能够独立存在的必要条件。稳态的维持靠的是生命系统内部的自动调节机制。关于这种调节机制,在个体水平上主要是动物体和植物体的生命活动的调节,在群体水平上主要是生态系统的自动调节。可见,就理解生命活动的本质和规律来说,“稳态”概念具有其他概念不可取代的价值,有利于丰富学生对生物学知识的理解和认识。
(2)在把握宏观与微观的联系中拓展视野
上世纪20年代,奥地利生物学家、心理学家贝塔朗菲(LudwigVonBeriatanffy)创立了一般系统论,指出“应把生物作为一个系统来研究”。系统具有“整体性”,就是说,不能把系统割裂成要素孤立地去研究,应该注意研究要素及要素间的相互作用与相互影响。系统还具有层次性,即从系统结构上看是分层的。系统的最重要特征是稳态。用一般系统论的观点来分析生命系统的稳态,有助于我们在把握宏观与微观的联系中从多个角度认识生命系统的稳态。
生命是一个开放的系统。这个开放的系统在生命活动中不断地与它所处的外部环境有物质、能量和信息的交流,通过信息的传递和反馈调节,这个系统维持着自身的稳态。这个系统的层次性表现在多个方面:细胞是基本的结构和功能单位,其上有组织、器官、系统、个体、种群、群落、生态系统和生物圈。每一层次都可以成为独立的生命系统,都存在着稳态,都发生着与环境的交流,都发生着信息的传递和反馈调节。同时,这一层次和那一层次之间的关系又不可忽略。由此,揭示了生命系统中尺度、结构与功能之间有着必然的内在联系,生命系统在不同尺度下存在着不同层次的结构,尺度与结构决定生命系统的功能。这不仅反映了人们认识事物的发展规律,也拓展了人们研究事物本质的视野。
(3)领悟多种生物科学研究方法的实质
系统分析包括定性分析和定量分析,中学生物学教育一般只能做定性分析。为了使学生能够运用系统分析的方法进行学习,在构建“稳态”概念过程中要借助于“探讨人口增长对生态环境的影响”、“阐明生态系统的稳定性”等内容,教会学生用系统分析的方法来分析问题。在科学探究中经常使用的两种逻辑方法——模型方法(建立物理模型和数学模型)和数学方法(取样调查),在建构“稳态”概念过程中都有很好的载体(例如:设计并制作生态瓶——物理模型,尝试建立数学模型解释种群的数量变动,等等),应引导学生运用这些科学方法进行“稳态”概念的学习。
2.“稳态”概念的教学理解
(1)在已有知识经验的基础上认识“稳态概念
将生物的个体和群体看作不同层次的生命系统,它们都在与外界环境的相互作用中通过信息的传递和自身的调节来达到维持稳态的目的。这是构建“稳态”概念的关键,也是做好初高中教学衔接的一个有效的着力点。
学生在初中阶段初步学习过生物与环境关系的知识,在这个基础上,教师引导学生用系统分析的方法分析:无论植物、动物、人体还是种群、群落乃至生态系统,任何一个生命系统时刻处于动态变化中,通过信息的传递,生命系统感受内外环境的变化,通过调节做出应答性反应,从而维持自身的稳态。这是构建“稳态”概念的主线,有利于学生把握相关知识内容之间的本质联系,有利于学生建立整体性的认识。
(2)借助各种直观手段帮助学生构建概念
在教学中,应尽可能通过实验、实物、图片、照片、录像片等,丰富学生的感性认识,将有助于学生对“稳态”这一学科主题的理解和构建。
教科书的图片非常精美,与文字紧密配合,我们得充分利用好这些图片。比如关于组织液、血浆和淋巴三者间的内在联系,教材写得比较具体,而且配有插图,可以先让学生阅读课本相关内容,同时参考教科书中的图,进行独立思考,在此基础上引导学生理解三者间的关系。在看图过程中,首先应该引导学生识别图中各种结构和成分,弄清各结构间的关系,这是理解组织液、血浆和淋巴内在联系的基础。教材提供的插图只反映人体局部组织中的情况,要说明全身的细胞外液是一个有机的整体,有必要再提供人体循环系统(包括血液循环和淋巴循环)的整体图,有助于学生建立对人体细胞外液的整体认识。
我们也可以选取一些能反映机体各器官系统协调活动,以及机体与外界环境相适应的相关例子的视频画面,运用多媒体进行教学,通过视频画面,烘托气氛,激发学生的学习兴趣。但要注意不应让学生的兴趣过多停留在感性的层面上,及时结合画面提出有关问题,尽快将学生引入对问题的理性思考,在这样的观察与思考中构建“稳态”概念。
(3)在解决实际问题中帮助学生构建概念
个体和群体水平的稳态,都与人们的日常生活和生产实践有着密切的关系。比如,人体的许多疾病都是稳态失调的结果,每一个人的健康都与内环境的稳态有关,几乎所有人都亲历过诸如发烧等稳态失调引起的疾病;诸多环境问题又是生态系统的稳态失调的结果。教师应当充分利用学生的生活经验,启发学生将理论知识与实际生活联系起来。
比如教师可以从学生身边的一张化验单入手,引导学生分析化验单上为什么每种成分都有一个变化范围,从而初步认识内环境的各种成分是动态变化的;又比如教师可以引导学生思考生物圈2号失败的原因,让学生领悟到自然界中生态系统的相对稳定性,稳定的生态系统对于生物的生存至关重要。
教师还可以联系有关沙尘暴的事实,让学生讨论沙尘暴发生的原因;联系密云水库合理捕捞量的确定问题,引导学生讨论种群数量的变化规律……事实上,现实生活中遇到的各种相关问题,报纸、杂志、广播、电视、网络等媒体上关于稳态的自然科学问题和社会科学问题等的报道都将成为学生构建“稳态”概念很好的切入点。
我们不必拘泥于教材中的实例,可以通过一些标志性的问题或实例让学生打开思维的闸门,列举出更多的实例进行分析,这样教学效果会更好。
初中数学命题的概念篇9
关键词：初中数学；变式教学；习题课；内在本质
所谓变式教学，即为应用变式方法进行教学，常用的类型有过程性变式和概念性变式。而概念性变式即为应用非概念变式和概念变式揭开数学概念内涵的非本质属性和本质属性，辅助学生多角度理解和熟悉数学概念。所谓过程性变式即为应用变式揭示数学知识的初始发生、演变发展、最终成形的全过程，帮助学生探索和掌握数学问题的本质，巩固对于数学问题的理解，把常见的套式变换为新式，从模仿开始培养学生创新能力。
所以，变式教学是培养和训练学生思维能力和数学技能的重要方式，通过对诸多数学问题进行变式探索，实现培养学生数学创新意识、提高学生的数学思维品质的目的。下文当中，会探讨性分析常用的初中数学习题课的变式教学手段。
一、应用变式设问，训练学生概括归纳的思维能力
初中学生学习和理解数学概念，关键在于掌握概念内涵的本质属性。数学习题课时学生可以重新回顾概念产生发展和形成的全部过程，利用变式设问来巩固对于数学概念的理解，引导学生进行由浅入深的数学思维，辅助培养学生概括归纳的总体思维能力。
例如，教师在引导学生复习“中点四边形”的内容时，针对学生对于这个概念的认识模糊不清的状况，可以预先设定如下的一系列“问题链”：（1）依次顺序连接任意四边形各个边的中点，最终形成的四边形是一个什么图形？（2）如果我们定义“依次顺序连接任意四边形各个边的中点所形成的四边形”为该四边形特有的“中点四边形”，请大家分别画出菱形、矩形、平行四边形、等腰梯形、梯形、正方形各自的中点四边形，观察各是什么类型的图形。（3）分别画出对角线相等、对角线互相垂直的四边形拥有的中点四边形，观察各是什么类型的图形。初中学生获得上述问题答案的难度不高，紧接着教师可以引导学生重新进行逆向提问。（4）若中点四边形分别为正方形、菱形、矩形，那么原始四边形的两条对角线有什么特征？教师可以利用上述诸多的概念性变式，辅助学生多角度地理解数学概念。在搞清楚“中点四边形”外延和概念内涵的基础上，更加深入地掌握数学概念的内在本质属性，有效提升学生归纳概括的综合能力，培养和提升其思维的准确度。
二、应用变位思考，训练学生灵活思维和发散思维的能力
如果从多个角度去审视初中数学题，往往会获得诸多解题思路。学生可以利用类比联想、逆向思考、变用公式、数形结合等方式方法，实现一题多解。应用变位思考教授习题课的意义在于：拓宽学生的解题思路，辅助学生更加深化地理解和消化数学知识，进一步改善学生自身的数学思维品质，如，数学思维的发散性和灵活性，拓展数学思维的深度和广度，突破数学思维的定势等。
其中，数形结合和类比联想的变位思考手段，不仅能够帮助学生进一步理解知识的初始产生和演变发展的全部过程以及数学知识的外在应用价值，还能够引导学生更深入地体验数学知识中包含的情感，将原来抽象而枯燥的数学知识变得形象生动而富有情趣，辅助学生进一步实现数学知识的实践应用和迁移，使学生在数学学习中产生现实的情感共鸣，从而提升他们的情感体验度，熟悉数学知识的诸多有用性，激发初中学生学习数学的兴趣。所以，要想实现素质教育，培养和提升学生的创新能力、创造能力和实践能力，精心引导学生进行数形结合等变位思考非常重要。
三、应用正误辨析，引导学生逐步构建严谨的数学思维习惯
如果学生没有认识清楚数学概念的内在本质，不能够透彻全面地理解数学问题，在解决数学问题时就会容易出现诸多差错。在数学习题课中，教师应用正误辨析方法，构建合理的数学“陷阱”，引导学生学会发现错误和解决问题，训练其“质疑”能力，在处理诸多小错误的过程中逐渐学会透过表面现象掌握数学问题的本质，多层次、多角度地分析和解决问题，进而提升学生学习数学的兴趣，强化学生的数学求知欲望，引导学生循序渐进地构建严谨的数学思维习惯。
例题：已知有关于x的方程kx2+（2k-1）x+k-2=0，（1）若该方程存在实根，求出k的取值范围。（2）若该方程存在两实根分别是x1，x2并且x21+x22=3，求出k的值。
学生普遍使用的解法为：（1）直接通过已知的？驻≥0，得出结论k≥-■。（2）通过x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=3，代入系数与根的关系式中，得出k=±1。
教师可以进一步设问：上述解答有没有错误？如果有，指出其中的错误之处，并且做出正确的解法。在这道数学题目的教学过程中，教师应当让学生了解，方程与一元一次方程、一元二次方程这三个数学概念之间的内在联系与细微差异，当该方程存在两实根为x1，x2时，其中的未知数应当包涵怎样的隐藏条件，通过这种“注意”和“领悟”的训练，学生可以循序渐进地形成严谨的数学思维习惯。
在数学习题课的教学中教师应用概念性变式教学，构建错题错解，设置常见的认知冲突，可以辅助学生理解和掌握相关数学概念之间的内在联系，进而加强学生对数学规律和知识的理解，增强学生规避错误的能力，训练学生思维过程的批判能力。
四、应用命题变换，训练学生数学思维的创造性和深刻性
所谓命题变换，即为从一道基本的数学题目出发，将已知条件中的图形（包括形状及位置）或数量进行适当改变，使之形成一些新型的题目和不同的解题方法。简而言之，即是将原始题目中的已知条件变换为另外一种数学表述，对一些常见的数学问题进行更新和深入探究，变换为一道函数和几何的综合题。数学题库浩似烟海，变化无穷，一题多变。
教师从一题多变中引导学生进一步深入思考，理解和掌握数学问题的核心，寻求问题产生的本质原因及其最终结果，掌握数学问题的演变发展规律，使学生的数学思维能力得到有效的发展和训练，简而言之，即为思维的迁移和拓展。“变中有不变，不变中有变”，辅助学生构建更高层次的数学思维方法，进而理解数学问题的内在本质。应用命题变换教授数学习题课，对训练学生思维的创造性和深刻性具有非常重要的作用。学生的数学思维习惯通常是由数学教师在长期的教学中逐渐发展形成的。在习题课的教学中，教师应用变式教学手段，使学生积极主动参与到数学学习中，学会质疑、敢于创新和探索，进而真正掌握数学本质的思想方法，提升数学思维的品质，最大限度地提升学生的智能与潜能。
总而言之，在数学教学中教师要充分利用数学典型题例进行深入地拓展、引申，不断推陈出新，激发学生智慧的火花，长期培养和训练学生的创新能力和探究能力。利用类比联想、逆向思考、变用公式、数形结合等变位思考手段，变式设问，变化情境、互换条件和结论、简单模仿、变换条件等命题变换手段，训练学生的创造意识和创新意识，总结归纳出同一类型题目的通用解题模式和方法，让学生更加准确地分析和处理变换条件下题目的常见解法，训练学生探索、推理的思维能力。变式教学可以辅助学生更加深刻地认识题目内涵的本质属性，使学生的分析求解过程能够更加简洁而准确。因此，教师在初中数学习题课的教学过程中，应把握数学问题的内在本质属性进行变式教学，引导学生触类旁通、举一反三，学生会取得事半功倍的良好效果。
参考文献：
[1]李希贵.为了自由呼吸的教育[m].北京：高等教育出版社，2005.
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初中数学命题的概念篇10
关键词：反例教学；高等数学教学；应用；分析
中图分类号：G64文献标识码：a
文章编号：1009-0118（2012）05-0142-02
高等数学，在高等院校中可以说是一门要求逻辑和思维能力非常强的学科，在高等数学教学中，学生可以培养和锻炼自身的抽象和思维能力，可以充分调动自身的空间思维能力和空间想象能力，学生如果掌握其高等数学学习的能力，那么对于提高自身能力来说，是百利而无一害，因此，为了能让学生掌握和了解高等数学学习方法，我们在高等数学中可采用反例教学，来引导和启发学生学习高等数学，进而，培养学生的思维能力和创新的能力，让学生能够具备解决问题的能力，然后将这样的学习能力，应用到学习工作和生活中，不断的提高和完善自身素质和技能。
一、采用反例教学方法，提高学生对于知识的理解
在高等数学教学过程中，可以说高等数学中存在很多的概念以及相应的定理和规则，这样就给学生在学习高等数学过程中带来了很大程上的困难，因为在高等数学中的定理以及规则，如果片面的理解起来是非常的困难的，很多学生在学习高等数学过程中，也都只是了解其文字的含义，而对其所要表达的内容一无所知，因此，为了能够加深学生对高等数学的概念、定理以及规则的理解，我们可以在高等数学教学过程中，采用反例教学的方式，从侧面了解和概括高等数学的概念、定理以及公式所要表达的本质意思，从而使学生能够对知识进行一定的理解和分析。
例如：在高等数学的教学中，涉及判断分段函数是否是初等函数过程中，我们以此问题为例，进行的简单的对反例教学方法应用进行的阐述，在对上述的例子进行分析过程中，我们可以将这个问题细化，然后进行分析，在这一问题中主要所涉及到的是两个非常重要高等数学概念，分段函数和初等函数，在高等数学教学中，学生们都能非常轻松的将其定义和概念背诵出来，其定义就是在定义区域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数就可以称之为分段函数，然而，初等函数的基本定义和概念是指，由常数和基本初等函数经历过有限次数的四则运算和有限次的函数复合步骤，所构成并且可用一个式子表示的函数，我们可以通过将两个定义进行的对比，大部分同学都是会认为分段函数不一定会是初等函数，为此，我们在这一教学过程中，就可以采用反例教学的形式，来纠正和加深学生对于这两个函数概念的理解和分析，在进行反例教学过程中，我们可以引用一个分段函数，这个分段函数，也可以被称之为是初等函数，因为的它的分段函数表达方式和初等函数的表达方式都是同一个函数数值，因此，分段函数在不同的情况下是有可能被称之为初等函数的，这样通过反例的教学形式，就会很大程度上加深了学生对于分段函数和初等函数的定义和概念。
二、可以通过反例教学形式，帮助学生学习命题证明方法
在高等数学教学中，关于命题的成立方面，是必须要通过非常严密的逻辑证明，才能够做到一个命题的成立，而要否定一个命题，只要判断和证明出这个命题在某种特定情况下，不能够有效的成立就可以了，否定命题的方法，可以说是在高等数学学习中，是非常重要的数学方法和证明的手段，此方法是需要学生必须掌握和认可的，因为在高等数学命题教学过程中，采用反例教学方法来引导和教育学生，可以培养出学生逆向思维的能力，对于学生学习命题证明会有非常大的帮助。
学生在进行学习过程中，可以说就是一个知识累积的过程，在累积知识的同时，更是学生在学习过程中，不断产生错误的过程，所以，适当的在高等数学教学中采用反例教学方法来教育和引导学生，能够更具有说服力和证明力，可以帮助学生及时的纠正和改正自身对于知识点的误区，为此，特别是在命题的教学过程中，学生总是不能够做到证明的严密性，这样就给今后的学习留下了很多不完善的地方，有时候还会导致在学习下一节课程中，不能够掌握新的知识体系，所以，学生如果掌握了其反例教学的方法，做出了命题不成立的方面，那么剩下的情况就都是成立的，学生就可以对知识清晰而又明确了，通过反例教学，一方面可以帮助学生学习证明命题的方法，另一方面还可以帮助学生做到及时的修补和纠正学习过程中发生的错误。
三、采用反例教学，培养和锻炼学生创新能力和空间思维能力
在进行高等数学教学过程中，采用反例教学的同时，还要引导和教育学生在学习中构造出反例，因为在高等数学学习中，只有学生很好的掌握了其数学概念和定义，那么才会在其基础之上，进行反例的构造，在反例教学过程中，引导和教育学生构造数学反例的目的，主要是为了培养学生的一定的创新和思维能力，打开学生学习的思路，为学生学习高等数学知识，提供多种的途径，使学生能够在进行反例教学学习中，通过构造反例的形式，培养自身高素质的创新能力，发挥想象能力，增强学生的空间思维能力。
例如：我们在高等数学教学过程中，进行级数教学时，我们就可以采用分正项级数和任意项级数的不同进行分析，然后让学生举出反例，这样就会使学生轻松的掌握和了解级数之间的关系和内容，让学生举出反例的问题如下：如果级数∞收敛，那么级数，还会收敛吗？让学生通过举出反例来对其级数进行更深刻的了解和掌握，在学生进行构造反例的过程中，可以说并不是一件非常容易的事情，因为在想要构造反例，是需要具备非常清晰的思路和解题的方法的，如果不能够掌握其相关定义以及概念，想要构造反例可以说是存在一定的难度，如果在高等数学教学过程中，注意培养让学生进行构造反例，那么学生久而久之就会掌握方法，使学生在进行反例构造过程中，开拓自身的思维空间能力，很大意义上可以提高高等数学教学的质量，因此，我们可以让学生在级数的学习过程中，掌握其相关的概念以及定义和定理，那么举出其反例就会非常的轻而易举，因此，在高等数学教学中，采用反例教学来说对于学生学习高等数学还是有一定的效果的，而能够引导和带动学生学习高等数学，对于培养学生的能力，有很大的帮助。
四、结束语
综上所述，在进行高等数学教学过程中，科学合理的采用反例教学的方法，可以说在不同程度上是帮助学生学习和理解高等数学最有效的途径，如果学生掌握和了解构造反例的方式方法，一方面学生可以提高其自身的空间和思维能力，另一方面还可以通过其方法解决和分析更多的高等数学问题，其影响和意义对于学生来说是非常大的，希望教师在进行的反例教学过程中，能够恰当的使用反例教学，避免给学生带来教学的负面影响，恰当与其他教学方法进行结合，为学生创造和构建出一个愉快轻松的学习环境，使学生可以在好的学习环境中，培养和锻炼自身的学习能力，为今后工作和生活奠定坚实的求学基础。
参考文献：
\[1\]高职数学教学中反例教学法的运用探析\[J\].黄冈职业技术学院学报,2010,12(5).
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