讨论根的个数的方法篇1
【关键词】高中数学；课堂教学；讨论式教学；策略运用
课堂活动需要教学构建要素群体之间进行深入的互动和深刻的交流.在学科课堂讲解中，教者经常根据预设目标要求、突出问题或某个焦点，引导和促进学习对象实施讨论、交谈、分析等双边活动.讨论、交流活动，是教学活动中不可缺少的重要活动形式.教育学对“讨论式教学”的定义是：“借助教师的有效构件和科学指导，构建学习讨论小组，针对突出问题以及所肩负的学习任务深刻思考、发表意见、积极讨论、辨析观点等实践活动，进行学习观点的交流，讨论深思，以达到扩大知识面和提高认知能力.”在高中数学教学活动进程中，讨论式教学策略以其自身所具有的显著功效和积极作用，在课堂教学中得到了深刻和广泛应用.本人现根据自身教学实践感悟，对讨论式教学策略在高中数学课堂教学中的运用，从三个方面作一论述.
一、设置利于高中生讨论交流的学习情境
讨论式教学活动的开展，需要教师与学生以及学生与学生之间的参与和互动.但笔者发现，讨论式教学策略实施过程中，部分高中生受以往学习习惯的影响，参与讨论、深入互动的主动意识不够强烈，能动意识不够显著，学生个体基本处于“被动”应付，接受倾听的位置.而讨论式教学策略实施的目的，就是让学习对象成为学习活动的“第一践行者”.高中数学教师运用讨论式教学策略，首要工作就是做好参与讨论情感和潜能的激发和培养工作.在具体实施过程中，高中数学教师既要通过激励性、引导性的教学语言，激发起高中生内在的参与讨论情感，又要善于利用丰富教学资源，将教材内容、现实生活、典型案例等方面特性，进行深入、高度的融合和概括，设置出情景交融、生动趣味的教学氛围，营造出利于高中生主动参与讨论的学习情境，促发高中生深度参与合作讨论.如“根式”一节课“a的n次方根的取值规律”教学中，教师根据本节课的教学重点，围绕教学目标要求，采用情境设置的方法，为学生创设了“a的n次方根的个数是什么来决定的？当n为奇数时，a的n次方根是个什么样的数？a的正负有哪几种情况？如果n为偶数时，又有什么情况？”讨论情景，将讨论内容渗透融入到教学活动之中，消除了数学学科的枯燥特性，促进高中生保持积极情感参与教师组织的讨论活动.
二、在探析数学知识内涵中开展讨论交流
数学学科课堂教与学的实践过程，是教授者和接受者深度合作、真诚交流、深切探讨的发展过程.讲解数学知识内涵的过程，渗透着学习对象积极参与、有效互动的双向实践过程.教学活动中，高中数学教师都要根据数学学科知识内容讲解的重难点内容，组织和引导高中生进行深入细致的探析和交流活动，根据数学知识点的内涵要义以及认知要求，开展深入的双向讨论和辨析活动.在此过程中，包容了师生之间、生生之间的讨论、交流等双边实践活动.如“正弦定理、余弦定理”知识点讲解中，教师采用师生问答式的教学方式，对正弦定理、余弦定理内容进行了认知和掌握，获得了正弦定理、余弦定理的数学公式.在此基础上，教师引导学生围绕“在解答三角形中有关边、角的关系的判定和计算问题时，一般采用什么方法？”问题，组织高中生进行分析、讨论活动，高中生在个体之间相互合作的讨论交流中，逐步认识了解析这一类型问题的方法，此时，教师与学生进行双边探讨活动，从而使高中生认识到解决该问题时，通常可以采用将正、余弦定理综合起来进行运用.
三、在探寻案例解析策略中开展讨论交流
数学案例教学是数学课堂教学活动的重要形式，同时，也是教授者与接受者之间深入实践、互动的有效平台.案例讲解渗透着师与生、生与生相互深入协作、有效探讨的发展进程.传统案例讲解模式下，直接告知解题思路、解题方法的灌输式、包办式的教学方法，不能适应时代和社会发展的要求.探析问题内容、探寻问题思路、归纳解题方法等过程，应成为教师与学生、学生与学生之间交流沟通的“载体”.教师应通过针对性、实时性的“引”和“导”，与高中生围绕解决问题的基本路数以及解答问题的基本方法等方面，进行深入的讨论和交流，逐步找寻和得出解决数学问题的方法和策略，实现高中生在讨论、交流的双边活动中，探究问题更加深刻，解决问题更加高效.
如“已知有一个椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x之间有两个交点，分别是a，B，过原点与线段aB中点的直线的斜率为3[]2，试求出a[]b的值”案例讲解中，教师采用讨论式的教学方法，开展此项案例的讲解活动，向学生提出：“探知问题条件，能够从中找出哪些数量关系？其中包含了哪些数学知识点？”学生之间合作讨论，得到：“根据椭圆与直线之间的交点情况，可以通过列方程的方法进行求解.”教师组织高中生围绕“根据解题要求，讨论解决该问题的思路和方法？”学生个体之间进行讨论探析，由问题条件之间的关系进行推导分析，得出解决问题的思路为：“采用列方程的解题方法，通过构建（a+b）x2-2bx+b-1=0的方程形式，求出根与系数的关系，求得线段aB的中点坐标，根据斜率公式求出a[]b的值.”高中生结合解决思路，初步得出解决问题的方法策略，教师让其予以展示，引导其他学生进行分析讨论，指出其所得过程存在的优缺点，最后，教师与学生一起讨论归纳解决问题的方法为：“根据题意，采用方程解题思想.”
总之，高中数学教师在讨论式教学策略运用中，要注重师生、生生讨论交流载体的搭建，强化讨论过程的指导，为高中生交流交往能力.语言表达能力等方面提升作出贡献.
【参考文献】
讨论根的个数的方法篇2
1 培养学生分类的观念
每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。
比如，教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：有理数和有理数；认识数a可表示任意数后，让学生对数a进行分类，得出正数、零、负数三类；讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。
结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。
2 提高学生合理解题的综合能力
初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性、缜密性。一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题；其二是根据几何图形的点和线出现在不同位置的情况，逐一讨论解决问题。利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维，相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。
3 掌握学习分类的方法
在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：
3.1 根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。
3.2 学习一元二次方程，根的判别式时，对于变形后的方程。用两边开平方求解，需要分类研究大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程的根的三种情况。
3.3 根据图形的特征或相互间的关系进行分类。如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
讨论根的个数的方法篇3
关键词：含参问题；讨论点；例题解析
中图分类号：G633.6文献标识码：a文章编号：1992-7711（2014）09-0124
含参数的一元二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，如何选择讨论标准是学生不易掌握的内容。其实，学生只要把握下面的三个“讨论点”，一切便可迎刃而解。
讨论点一：二次项系数是否为零、正数或负数，目的是讨论不等式是否为二次不等式及二次函数图像的开口方向。
讨论点二：判别式是否为正数、零或负数，目的是讨论二次方程解的个数问题。
讨论点三：两根差的正负，目的是比较根的大小。
示例1.解下列不等式：
（1）m（x-1）（x+3）>0；
分析：该小题在三个“讨论点”中，只需按“讨论点一”讨论即可，即对二次项系数是否为零、正数或负数进行分类讨论。
解答：①m=0，无解
②m>0，解为{xx>1或x
③m
（2）x2+mx+1
分析：该小题在三个“讨论点”中，只需按“讨论点二”讨论即可，即对判别式是否为正数、零或负数进行分类讨论。
解答：①当>0，即m2-4>0，m>2或m
解为{x■
②=0，即m=±2时，解为
③
（3）x2-x-a（a-1）>0
分析：该小题在三个“讨论点”中，只需按“讨论点三”讨论即可，即对相应的二次方程的两根大小进行分类讨论。
解答：（x-a）（x+a-1）>0
相应一元二次方程两根x1=a，x2=-（a-1）
作差：a-[-（a-1）]=2a-1
令2a-1>0，即当a>■时，a>-（a-1）
不等式解为{xx>a或x
当a=■，不等式解为{xx≠■}；
当a
以上三个小题展现了含参一元二次不等式问题讨论的三种最基础类型，即讨论二次项系数、讨论判别式、讨论两根的大小。学生熟练掌握这三种分类讨论标准，对其他的一些变式或拓展也可进行分析解答。
示例2.解关于x的不等式：mx2-3（m+1）x+9>0（m∈R）
分析：通过因式分解得相应方程有两解，因此该题无需讨论判别式，但仍需要讨论二次项系数及两根大小。
解答：m=0时，解为{xx
m≠0时，相应方程两根x1=■，x2=3
①当m
②m>0时，
当■1时，解为{xx>3或x
当■=3时，即m=1时，解为{xx≠3}；
当■>3时，即0
当一个问题中需要两个及以上的分类标准时，学生必须按顺序对每个分类标准进行分类。一般地，这三个分类标准的顺序依次为：先讨论二次项系数，然后讨论判别式，最后讨论两根大小。
有些题目表面看不是含参一元二次不等式问题，但经过转化与化归后其实质仍是含参的一元二次不等式问题。
示例3.已知函数f（x）=ax+■+c（a>0）的图像在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1.
（1）用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围.
解答：（1）解得b=a-1c=1-2a
（2）由（1）知，f（x）=ax+■+1-2a.
令g（x）=f（x）-lnx
=ax+■+1-2a-lnx，x∈[1，+∞），
则g（1）=0，
g′（x）=a-■-■
=■=■
①当01.
若1
②当a≥■时，■≤1.
若x>1，则g′（x）>0，g（x）是增函数，所以g（x）>g（1）=0，即f（x）>lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx.
综上所述，所求a的取值范围为[■，+∞）。
在解题过程中，学生应不断提升自己的思维品质，尤其是在我国高考选拔的制度下，这样对某一类问题归纳总结，优化思想的方法特别重要。一句话，高考数学是命题专家与带领学生复习应考的教师以及考生之间的一种微妙的“猜题与（下转第126页）（上接第124页）反猜题”，“试图运用套路与反套路”的一场“游戏”，这就要求学生必须洞察数学问题、方法、思想的来龙去脉，即设法发现数学问题的本质。唯有如此，学生才能在高考中立于不败之地。
例如，2010年全国高考辽宁卷理科第21题第1小题：已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1讨论函数f（x）的单调性。
解答：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=■+2ax=■；
当a≥0时，f′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a≤-1时，f′（x）
当-10；x∈（■，+∞）时，f′（x）
讨论根的个数的方法篇4
一、分类讨论的教学策略（一）
“按需求而分”.在中学教学中，根据研究对象，数学的问题过程需要进行分类讨论，需要是根本，在教学中，应挖掘教材，采用分类讨论思想方法解决有关教学问题.同时，一定要让学生体验到分类讨论的必要性，是因解决问题的需要而讨论进而逐步化为学生的思想意识。
1.有些概念本身就是分类定义（如绝对值）.有些性质就应分类表达（如指数、对数性质）
例1.设a>1，解关于x的不等式logaax2
分析：原不等式化为1+2logaax
①logax≤-■；②-■
2.用一些公式、法则、定理等应用范围的限制需要讨论
例2.直线经过点m（1，2），求在x、y轴截距相等的直线方程.
分析：设在x轴、y轴截距分别为a、b，依题有两类情况：
①a=b≠0；②a=b=0
解：设在x轴，y轴上的截距分到为a、b，依题意得：
①a=b≠0，设所求直线方程■+■=1，把m（1，2）代入■+■=1
求得a=3，即所求直线方程为■+■=1，即x+y-3=0.
②a=b=0，设所求直线方程y=（k≠0），把m（1，2）代入y=kx求得k=2，即所求直线方程y=2x.
故所求直线方程x+y-3=0或y=2x.
例3.已知椭圆■+■=1的离心率e=■，则m的值___.
分析：分焦点在x轴y轴两类情况解m值.
①当焦点在x轴上，则a2=5，b2=m，解得m=3.
②当焦点在y轴上，则a2=m，b2=5，解得m=7.
故所求的m值为3或7.
3.含有参数问题时，根据研究对象的不同类型需分类讨论
例4.已知a∈R，求函数f（x）=x2eax的单调区间.
分析：本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质方法，考查分类讨论的数学思想.
解：函数f（x）的导数：f'（x）=2x.eax+ax2.eax=（2x+ax2）eax.
①当a=0时，若x0.所以当a=0时函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；
②当a>0时，由2x+ax2>0，解得x0，由2x+ax2
③当a0，解得0
从此题可看出：利用导数研究函数的单调性在近几年新课程高考中经常出现，这样的问题，往往与解含字母参数的不等式综合到一起，体现了在知识交汇点命题的高考命题思想，解答这种问题，学生易错之处在于对字母参数的分类讨论.
二、分类讨论的策略（二）
恰当确定分类标准，不重不漏，分类讨论解决问题。首先根据问题的需要而分类讨论，其次确定划分标准，同一次分类要按统一标准进行，（1）对事件的整体分类；（2）根据需要，局部再分类.
例1.已知集合a和集合B各含有12个元素，a∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数，①C（a∪B）且C中含有3个元素；②C∩a≠Φ.
分析：由已知并结合集合的概念，C中的元素分为两类：①属于a的元素；②不属于a的元素而属于B的元素，并由集合a中元素的个数1，2，3而将取法又分3种.
解：C112C28+C212C18+C312C08=1084
例2.从7名运动员中选出4名组成4×100接力队，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法数为多少？
分析：此问题可分为两个步骤解决，先决定谁参加接力队，再安排他们的跑棒顺序，从7名运动员选4名组成接力队，是组合问题，依题意要考虑三种情况：4人中不含甲和乙；4人中只含甲、乙之一；4人中同时包含甲和乙.
解：C45a44+2C35a12a33+C25a22a22=400
三、分类讨论的数学策略（三）
尽量避免讨论.在高中教学过程，有时候分类讨论是解决问题的必须，但有时候通过认真分析问题的本质意义，采用代换的方法，换一种思维方式解决问题，常可避免繁杂讨论，给出简洁的解法.
例1.求经过点p（3，2■）、Q（-6■，7）的双曲线的标准方程.
分析：若分焦点在x轴，y轴由上两种情况分别求解，得出结论，过程较复杂，运算大且易出错，若直接设所求双曲线方程为ax2+By2=1（aB
例2.设函数f（x）=ax2-2x+2，对于满足1
分析1：本题为含参数二次函数问题，常规思路是转化为二次函数的最小值，通过对a的不同取值情况，进行讨论，突现问题的解决.（答案：a>■）.
分析2：通过变重分离得：a>■-■=■-2（■-■）2，问题转化为求该函数的最大值，简化（避免）了讨论的过程.
从此题看，分析1应用分类讨论法，其余解法体现了问题的转化思想，避免分类讨论，解法较简洁.
讨论根的个数的方法篇5
关键词：数学；分类讨论
新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。
一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，分类讨论一般应遵循以下的原则：
1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。
2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。
一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。
1有意识地分阶段渗透分类讨论思想
2启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质
这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。
例3初中课本第四册证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论。这是课本第一次正式的采用分类的方法证明几何定理的。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如上图）去证，要在学生画图、测量、分析、讨论后形成思路。决不能在这些活动之前给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，无法体会分类证明的目的和优点。
3创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想
在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：
分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：
化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；
2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）
3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根为增根。
在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：
讨论根的个数的方法篇6
关键词：方程根零点定理罗尔定理
利用微积分学的知识讨论方程的根或函数的零点是比较常见的应用.通常是先根据连续函数的零点定理、罗尔定理等证明根的存在性；再利用函数的单调性、极值、最值等确定方程的根的个数，罗尔定理常被用于反证法证明根的唯一性.下面将对方程根的存在性、唯一性，以及根的个数分别进行详细讨论.
一、关于方程根的存在性及范围的讨论
问题模型：证明方程f（x）=0在区间（a，b）内存在实根.
解决方法：
二、关于方程根的唯一性的讨论
问题模型：证明方程f（x）=0存在（或在区间（a，b）内存在）唯一实根.
解决方法：先利用零点定理（或罗尔定理）证明方程f（x）=0至少有一个实根；再利用函数的单调性（或用反证法，由罗尔定理导出矛盾）证明方程f（x）=0最多有一个实根.
例3：证明方程xlnx=1在区间（1，e）内有唯一的实根.
证：设函数f（x）=xlnx-1，则f（x）在[1，e]上连续，且f（1）=-10，由零点定理可知，至少存在一个点ξ∈（1，e），使f（ξ）=0，即方程xlnx=1在区间（1，e）内至少有一实根.
三、关于方程根的个数的讨论
问题模型：讨论方程f（x）=0的根的个数.
解决方法：首先求出函数f（x）的驻点和一阶导数不存在的点，用这些点将f（x）的定义域划分为若干单调增减区间；然后求出f（x）的极值（或最值）；再分析函数的极值（或最值）与轴的位置关系，并借助极限分析函数的变化趋势；最后结合零点定理和函数的单调性可求出函数f（x）的根的个数及各根所在区间.
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析（第二版）[m].北京：高等教育出版社，1991.
[2]同济大学应用数学系.高等数学（第六版）[m].北京：高等教育出版社，2007.
[3]同济大学应用数学系.高等数学习题全解指南[m].北京：高等教育出版社，2003.
[4]朱惠健，金健.高等数学习题解析与练习[m].南京：南京大学出版社，2009.
[5]朱士信，唐烁，宁荣健.高等数学习题全解指南[m].北京：中国电力出版社，2008.
讨论根的个数的方法篇7
关键词：分类讨论；教学；数学思想
物以类聚，人以群分。生活当中我们往往把同类的东西聚在一起，以示区分，这就涉及分类。在数学教学中，我们也经常会遇到需要分类讨论的教学。《义务教育数学课程标准》中指出“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。”分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，我们在教会学生数学知识的同时，还需要教会学生数学的思想方法。教学中可以从以下几个方面来进行分类讨论的教学：
一、学会分类的方法
方法是我们解决问题的关键，在分类之前，我们要教会学生一些分类的方法。在生活当中我们就有分类，这可以作为我们进行分类教学的引子，进行数学分类。分类讨论的原则：分类不能重复也不能遗漏；分类要逐类讨论，分级进行；一次分类按一个标准。分类类型不同，分类的结果也不一样。
在三角形这章中，会有三角形的分类，此时可对学生渗透分类思想。标准不同，三角形的分类方法也不同。按边分：不等边三角形、等腰三角形；按角分：直角三角形、斜三角形。这个分类还可以继续下去，等腰三角形又可分为底和腰不等的三角形和等边三角形，斜三角形可分为锐角三角形和钝角三角形。
二、掌握分类的技巧
分类方法多种多样，在分类时我们要掌握一定的分类技巧。初中教材中，分类类型很多，比如，概念的分类定义、定理法则的分类给出、数学问题的结果多种可能的分类、含参数的分类等等。对这些分类问题的解决，可以遵循如下几个步骤：（1）确定讨论对象的主体；（2）选取恰当科学的分类标准；（3）逐类讨论，获得阶段性成果；（4）归纳整合，得出结论。
三、增强分类的意识
意识是人脑对事物自觉或不自觉的感知活动，要增强学生的分类意识，就要在平时的教学中不断去刺激学生产生这种意识。在遇到需要分类讨论的数学教学，要让学生明确这就是分类讨论的思想。分类讨论思想贯穿于整个中学数学的始终，要让学生在学习的过程中通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用，分类意识不断得到增强。
初中函数，分为一次函数y=kx+b（k≠0）、反比例函数y=■（k≠0）、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）。在一次函数和反比例函数表达式中都有k这个系数，在学习过程中有着相同的分类方法，学习时要讨论当k＞0和k＜0时图像的变化情况，在这个过程中可以让学生类比学习分类讨论思想，二次函数中亦要讨论a的情况。这些都是渗透分类思想的好时机，教学中要把握这类教学契机，加强对学生分类思想的培养。
四、提高分类的能力
在中考试题中，分类讨论思想的运用，是中考命题的热点之一。很多时候最后一道压轴题都要用到分类讨论的思想，这就需要学生有一定的数学分类能力。数学上有很多内容都要在分类的基础上进行归纳总结，只有分类正确，最后的结果才能完整正确，才能总结出内在规律。如，关于x的方程（m-3）x2-（2m-1）x+m=0，当m为何值时，方程有实数根？方程有实数根，即方程有两个或一个实数根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以要对未知数最高次项的系数分类讨论，不能看到x2项就简单地认为是一元二次方程。
分类讨论的数学思想应用很广，在数学教学的各个阶段，各个学时都有，它不像数学知识那样教几节课就能解决，在学习的各个阶段，学生都有不同的体会。这种思想方法的教学，只有通过慢慢渗透，才能不断完善丰富起来，才能为学生的长足发展打下基础。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［m］.北京师范大学出版社，2012-01.
讨论根的个数的方法篇8
关键词：分类讨论思想解题正确应用
分类讨论是高中数学重要的思想方法之一，因试题覆盖的知识点多，知识面广，具有明显的“逻辑性，综合性，探索性”的特点，能体现“着重考查学生数学能力”的要求，所以成为历年高考的热点之一。从近几年高考学生的答题情况看，分类讨论题得分率很低，学生出错往往是因为不知道何时、为何分类，在分类过程中存在重复与遗漏现象。本文从以下几个方面谈谈分类讨论思想在解题中的正确应用，和读者共同探讨。
一、概念分类型
它是由数学概念引起的分类讨论，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角等，这类问题应以所定义的概念进行分类、讨论，并且注意概念所受的限制。
例1.已知：a（-1，0），B（1，0），p为平面内一点，若，｜pa｜+｜pB｜=2a，求p点的轨迹。
分析：由于2a的取值范围直接影响着p点的轨迹，因而须比较2a与｜aB｜的大小。
解：当2a＞2，即a＞1时，由椭圆定义可知，p点的轨迹是以a、B为焦点的椭圆；当2a=2，即a=1时，p点的轨迹是以a、B为端点线段；当2a＜2，即a＜1时，p点的轨迹不存在。
二、运算需要型
它是由数学运算要求引起的分类讨论，如除法运算中除式不为0、在实数集内偶次方根的被开方数为非负数、不等式两边同除以一个正数还是负数、三角函数的定义域等。
例2.已知向量且=(cosx，sinx)，=(cos，-sin)且x∈［0，］，若f(x)=•-2λ｜+｜的最小值是-，求λ的值。
分析：f(x)=2(cosx-λ)-1-2λ
令cosx=t∈［0，1］，
从而g(t)=2(t-λ)-1-2λ。
这样就转化成一个轴动而区间定的二次函数的最值问题。由于二次函数的对称轴位置直接影响着函数的单调性和最值，因此我们有必要对对称轴在区间的内部、外部进行讨论，即分λ＜0，0≤λ≤1，λ＞1三种情况。结果为λ
=。
三、公式条件型
它是由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论，有些函数性质、定理在不同条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立。例如：均值定理、等比数列数列前n项和公式、指对数函数的单调性等。
例3.公比为q(q≠0)的等比数列{a}的前n项和为S，设S=，求S的取值集合。
分析：要求S，则先求S，而等比数列{a}的前n项和公式受q=1和q≠1的制约，因而需要分类讨论。
解：（1）q=1时，S=na，S=2na，=，=。
（2）q≠1时，S=，==。
①｜q｜＜1时，=1；②｜q｜＞1时，=0。
综上，S的取值集合是{0，1，}。
四、图形位置不确定型
它是由图形位置的不确定性引起的讨论，当已知条件不能确定图形位置时，在求解或证明的过程中，则需根据可能出现的图形位置进行分类讨论，此类问题在立体几何或解析几何中较为常见。
例4.求过点p（-1，2）且与点a（2，3）和B（-4，5）距离相等的直线L的方程。
分析一：若设直线的点斜式方程，须分斜率存在和不存在两种情况进行讨论。
分析二：按a、B在L的同侧和a、B在L的异侧两种情况进行讨论，即L∥aB和L过aB的中点。
答案为：x=-1和x+3y-5=0。
五、参数变化型
某些含参数的问题由于参数取值的不同会导致所得结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。如含参数的方程或不等式，直线的点斜式方程等，这时需要进行分类讨论。
例5.解关于x的不等式：ax+2ax+1＞0。
分析：对含参数不等式的讨论应逐级进行：最高次项系数、有无实根、根的大小等。本题关键是确定对参数a分两级讨论，做到不重不漏。首先根据a是否为0来分类，然后按a＞0与a＜0和判别式来进行二级分类。像这种多级讨
论的问题，要层次分明，每一级的分类标准明确，最后要有总结。解略。
六、其他
根据实际问题具体分析进行分类，如排列组合、概率问题，应用问题等。
例6.由12人组成课外文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，2个人既会跳舞又会唱歌，若从中选出4个会跳舞，4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同的选法？
解析：设既会跳舞，又会唱歌的二人为甲、乙。
（1）按唱歌的人选分类
①唱歌从甲、乙二人中选两人，有c•c•c=50种不同的选法。
②唱歌从甲、乙二人中选一人，有c•c•c=300种不同的选法。
③唱歌不从甲、乙二人中选，有c•c=175种不同的选法。
则n=50+300+175=525
（2）按甲、乙二人是否被选出及去向分类
①甲、乙二人都被选出且都唱歌，有c•c•c=50种不同的选法。
②甲、乙二人都被选出且都跳舞，有c•c•c=50种不同的选法。
③甲、乙二人都被选出且一人跳舞一人唱歌，有c•c•c•a=200种不同的选法。
④甲、乙二人一人被选出且唱歌，有c•c•c=100种不同的选法。
⑤甲、乙二人一人被选出且跳舞，有c•c•c=100种不同的选法。
⑥甲、乙二人都不被选出，有c•c=25种不同的选法。
则n=50+50+200+100+100+25=525。
总结：从以上两种方法可以看出，选取的分类标准不同，分类的复杂程度也不同。如何合理地选取分类标准，是值得我们在学习中摸索、探讨的问题。
例7、甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为。比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛得胜利，比赛结束。求甲取得比赛胜利的概率。
分析：甲取得比赛胜利，即在甲胜两局之前，乙丙没有胜两局的情况。为了使分类不重不漏，可以根据需比赛的局数来进行分类。
解：经分析甲取得比赛胜利须比赛二局或四局，有以下几种情况：①比赛两局，即甲胜乙，甲胜丙；②比赛四局，即甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙；③比赛四局，即乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙。其概率为p=×+×××+×××=。
以上只是通过几个具体的例子分析总结了引起分类讨论的原因及需要注意的问题，但分类讨论毕竟是贯穿于整个高中数学的思想方法，要想灵活应用，则需要我们有一定的知识积累，并在平时学习中善于归纳总结，锻炼思维的灵活性和严谨性，本文旨在抛砖引玉，希望这种方法能引起大家足够的重视。
参考文献：
［1］汪昌政.分类整合思想方法专题复习讲座.数学通报，第48卷第1期.
［2］张为茂.分类讨论思想细节与高分.2008年第一版.
讨论根的个数的方法篇9
【关键词】分类讨论；数学思想
分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.要用好分类讨论的思想解决问题必须注意以下几个方面.
一、弄清分类讨论的原因
（1）由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义，不等式的定义，二次函数的定义，直线与平面所成的角，直线的倾斜角，两条异面直线所成的角等问题.
（2）由数学运算引起的分类讨论：如导数的正负号，除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，对数运算中真数与底数的要求等问题.
（3）由函数的性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、等比数列的前n项和公式等问题.
（4）由参数的变化而引起的分类讨论：如含参数的方程、不等式，含参数的函数的单调性、值域（最值）等问题.
（5）由图形不确定引起的分类讨论：如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等问题.
（6）其他根据实际问题具体分析而引起的分类讨论：如排列组合，概率等实际问题.
二、确定分类讨论依据
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无规定.但可以在解题时不断地总结经验.常见的情形略举以下几例：
1.依据数学概念分类讨论
例1已知集合a和集合B各含有10个元素，a∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①Ca∪B且C中含有3个元素；②C∩a≠.
解析由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于a元素；②不属于a而属于B的元素.并由含a中元素的个数1、2、3，而将取法分三种.
点评当已知条件不能确定图形的位置时，在求解或证明过程中，则需根据可能出现的图形位置进行分类.此类问题在立体几何和解析几何中较为常见.
三、把握分类讨论应遵循的原则和步骤
1.原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，其中最重要的一条是“不漏不重”.
2.基本步骤：（1）分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准；（2）依次求解，在每一类所满足的条件下，逐类求解；（3）汇总作答，汇总分类结果，得出结论.
四、分类讨论应注意的问题
讨论根的个数的方法篇10
【关键词】函数教学分类讨论分类的动机
【中图分类号】G633.6【文献标识码】a【文章编号】1674-4810（2014）02-0057-02
一引言
分类讨论思想是高中数学重要的数学思想之一，分类讨论在函数中体现为两方面，一是函数解析式的分段讨论，二是含有参数的函数问题。学生遇到此类题时，要么束手无策，要么认为题目有问题，无法解或无解，没法明白分类的动机，分类时出现困难。可见学生对分类思想方法掌握不好，因此，分类思想既是老师教学的重难点，也是学生能力的体现。
二分类讨论思想的涵义
当我们遇到的问题中的条件不足以得到一个确定答案或好像无法求解时，就是用分类讨论的思想方法求解的时候了，把原问题分解成相对独立的“小问题”来处理，综合对这些小问题的解答，便可推证出原问题的结论。这个过程就叫做分类讨论，这种思想叫做分类讨论思想。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，就增加了问题的定解条件。即分类讨论是“化整为积，各个击破，再化积为整”的教学策略。
三分类讨论的动机探究
请看下面的例子：
例1，求函数f（x）=│x-1│+│x+2│的值域。
探究如下：
学生：看起来不好入手解题，它不是基本初等函数的类型，而是与x相关的两个绝对值。
教师：常见的函数没有绝对值，因此有必要对解析式进行化简，化简的目的是去掉绝对值，怎么去掉绝对值呢？
学生：绝对值里面的正负是关键，如果知道x-1，x+2分别与零的大小，就可以去掉绝对值符号。
教师：大小关系有多少种情况呢？
学生：有（1），或者（2）
教师：除了这两种情况，还能有其他的情形吗？
学生：还可以是一正一负（3），或者（4）。
教师：分成以上四种情况，但是（4）无解集所以得排除。
学生：（1）当x≥1时，f（x）=x-1+x+2=2x+1；（2）当-2
综上有，作出图像得到值域为
[3，+∞）。
总结：当学生的思维受到局限时，教师可以使用问答的方式一步一步地引导学生解决疑难，可以适当增加条件限制变量的范围来确定解析式，从而达到化简的目的，把不熟悉的问题转化成熟悉的问题，提高学生的逻辑思维能力。所以要学生会用分类讨论的思想方法来解题，首先要知道的问题是在什么情况下要考虑到分类讨论？其次是明白为什么要分类讨论？分类之后会有哪样的优势？也就是明确分类的动机。我们面对的很多数学题以及生活中碰到的很多问题，因为有一定的变数而使结果模糊，当我们把变数明晰化，实际上就是增加一个或多个定解条件时，就可以得到确定的答案。
四函数分类的情形
函数分类讨论大致分为两类，一类是分段函数，分类讨论后才能进行解答；一类是函数的性质是分类的，典型的例子是含有参数的问题。如函数性质中根据奇偶性的分类，对某个区间上的单调性讨论；一次函数、反比例函数中参数k的情况与单调性讨论；二次函数的参数讨论以及动的对称轴；指数函数和对数函数中对底数的分类讨论；幂函数的幂指数对函数性质的影响；三角函数中依据角所在的象限对三角函数符号的分类；以及三角函数的定义域；等比数列前n项和q=1，q≠1的讨论；直线的截距，两直线的位置关系与k之间的不确定性；导函数的单调性与参数的不确定性讨论等。
例2，（2013年山东）已知函数（e=2.71828…
是自然对数的底数，c∈R）。（1）求f（x）的单调区间、最大值；（2）讨论关于x的方程│lnx│=f（x）根的个数。
分析：（1）利用的是导函数来讨论单调性；（2）题是在（1）的基础上，有绝对值的形式，根据绝对值里面lnx的正负进行讨论，因此分段是关键，题目根的个数就转化成一个分段函数的零点问题，而零点的确定需要知道图像的大概走势，也就是利用导函数求函数的单调性，利用最小值来和0做比较。
解析过程：
（1）f'（x）=e–2x（1-2x）易知f（x）在（-∞，）
递增，（-∞，）递减且f'（）=0，f（x）有最大值
。
（2）设g（x）=│lnx│-f（x），则方程的根就转化为函数g（x）的零点，求方程根的个数就是求函数的零点个数，
则，由导函数知，当x≥1时，
函数单调递增，当0
综上当x∈（0，+∞）时，都有g（x）≥g（l）=-e-2-c。
思路点拨：既然g（x）有最小值g（l），那么g（l）与0的大小情况如何？（1）当g（l）=-e-2-c>0时，函数图像与x轴没有交点，即c
知g（x）=lnx-xe-2x-c≥lnx-（e-1+c）>lnx-1+c，要
使g（x）>0，lnx-1-c>0，即x∈（e1+c，+∞）。
当0
>-lnx-1-c，要使g（x）>0，只需要-lnx-1-c>0，x∈（0，e-1-c）。
综上当c>-e-2时，g（x）有两个零点，即方程有两个根。
总结：例题中讨论根的情况转化成函数的零点问题是一大难点，一部分学生在分段得到最小值后就不知如何继续，没有找到分类的动机，感觉手忙脚乱，因此怀疑自己的解题思路，最终不能将解题进行下去。还有学生在（3）中不知如何设定情况继续讨论，在大的前提下又进行分类讨论，是学生的薄弱点，拿捏不好分类的尺度，因此在讨论时把握分类的动机，明确分类标准非常重要。
五分类讨论的标准
要有明确的分类标准：对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱，分大类时有一个统一的标准，每一大类中再分几小类可另有统一的标准。
例3，（2010年全国i）已知f（x）=3ax4-2（3a+1）
x2+4x。（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在
（-1，1）是增函数，求a的取值范围。
解：（1）略。
（2）易知f'（x）=4（x-1）（3ax2+3ax-1），在（-1，1）上f（x）是增函数，当且仅当f'（x）≥0，x
思路：这是一个一元二次不等式吗？不一定。
（1）当a=0时，有-1≤0成立；
（2）当a>0时，要满足条件则需3a·12+3a·1-1≤0，
解得a≤。所以，00的前提下，是且的
关系，最后取两者的交集）。
（3）当a
=（3a）2-4·3a·（-1）≤0，解得≤a≤0，所以有
≤a
综上，a的取值范围为。
（三种情况都满足条件，是或的关系，所以为三个结果的并集）
总结：本题容易忽视分类讨论或讨论不到位是出错的关键，对于分类结果的表示不周全，以下是分类讨论结果的表述：求某个未知量，如果对这个未知量进行分类讨论，那么各类的解集取并集；求某个参变量，如果对这个参变量进行分类讨论，那么各类的解集取并集；求未知量，若对参变量进行分类讨论，由于每类情况的前提条件不同，那么各类的结果应分类表述，所求未知量要同时满足各种前提，则应对各种分类讨论的结果求交集。
六教学启示
分类思想是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法，它贯穿于各类知识之中，在教学的各个阶段都起着重要的作用。分类的过程，可培养学生思考的周密性与条理性，而分类讨论，又有助于提高学生研究问题，探索规律的能力。分类思想不同于一般数学知识，通过几节课就可掌握，有很多是依赖经验和解题的习惯。因此教师在备课时应有意识地结合具体教学内容，渗透分类思想，养成分类的意识，把分类思想方法融入到具体教学过程中；在解题教学中让学生进一步学习分类方法，增强思维的缜密性，提高合理解题的能力。教学中应掌握化隐为显、循序渐进、学生参与的原则，并且反复渗透、适时突破。如前面例子中对a进行分类，可采用提示语引导学生：为什么这样分类？分类后有什么优势？分类的标准是什么？
学生的主体地位即是让学生成为学习的主体，教师在整个教学过程中只是发挥引导和点播作用。在教学过程中，教师可以通过分类讨论来充分发挥学生在学习过程中的主体地位；老师对分类思想进行讲解以后，可以引导学生自己来对已经学过的知识进行分类探讨，特别是针对学生容易出错的知识点，让学生通过讨论来对这个知识点有更加清晰的认识，对出现的错误进行总结，将知识点的欠缺归纳到每一个知识类别上，这样有助于学生自身知识体系的完善，在平时的教学中要有意识地引导学生感悟和体验分类在解决类似问题中的积极作用。但要注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题做深入研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，再寻求讨论，使问题更简单。
参考文献