数学规划方法篇1
求一组变量非负值，满足由变量的线性方程式或线性不等式构成的约束条件，且使作为变量线性函数的目标函数取最优值（最大值或最小值），这样的问题称为线性规划问题。
线性规划问题应明确三样东西：决策变量、目标函数和约束条件。
决策变量：它们是决策者所控制的那些数量，它们取什么数值需要决策者来决策，最优化问题的求解就是找出决策变量的最优取值。
目标函数：它代表决策者希望对其进行优化的那个指标。目标函数就是指标与决策变量之间的函数。
约束条件：它们是决策变量在现实世界中所受到的限制，或者说决策变量在这些限制范围之内取值才有实际意义。
高职学生在学习高职数学线性规划内容时，对建立线性规划数学模型觉得有困难.本文主要是根据自己在教学中的经验，通过几个实际例子，来说明建立线性规划问题数学模型的方法。建立线性规划问题的数学模型都可归结为下面三个步骤：
（1）设立决策变量；
（2）用决策变量的线性函数表示目标（即建立目标函数），并确定目标求最大还是最小值；
（3）明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示，根据决策变量的实际意义确定变量是否有非负性。解题思路见下面的图1。
图1
下面通过几个例子来说明。
例1.（生产规划问题）某厂生产a、B、C三种产品，需要耗费的资源（人力、物力、财力）、获得的利润、备用资源如下表：
问该厂应如何安排生产，才可获最大利润？最大利润是多少？解题思路见下面图2。
图2
解：设产品a、B、C分别生产x1、x2、x3单位，总利润为S，则问题的数学模型为
注意：此题中“x必须满足的约束条件”是根据耗费的资源（人力、物力、财力）不能超过备用资源，产量xi（i=1，2，3）必须非负。
例2.（运输问题）设有两个砖厂a1、a2，其产量分别为23万块、27万块，它们生产的砖供应B1、B2、B3三个工地，其需要量分别为18万块、17万块、15万块。而知道各产地ai到各工地Bj（i=1，2；j=1，2，3）运价如下表。问应如何调运，才使总运费最省？
解：设砖厂ai供应工地Bj砖块的数量为xij（i=1，2；j=1，2，3），则问题的数学模型为：
minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+60x23
将以上模型输入mathematica模型，可以得到最优解（值）：
x11=6，x12=17，x13=0，x21=12，x22=0，x23=15，minS=2940.
例3.（下料问题）某家具厂需要长80厘米的角钢150根与长60厘米的角钢330根，这两种长度不同的角钢由长210厘米的角钢截得，工厂应如何下料，才使得用料最省.
设第i种下料方案的原材料根数为，则问题的数学xi（i=1，2，3），模型为
将以上模型输入mathematica模型，可以得到结果：最优解为x1=0，=150，=10，最优值S=160，即按方案2用料150根，方案3用料10根下料，一共160根，用料最省。
数学规划方法篇2
关键词：城市生态规划；不确定性分析；弹性规划；经济系统；社会系统
城市生态系统主要包括经济子系统、社会子系统以及环境子系统等，在这些系统中都或多或少存在着一些不确定性因素。目前，为了消除这些不确定性因素，通过不确定理论对其进行全面研究，现已取得不错的成绩。但是在城市生态规划过程中，我们并没有将不确定理论引入进来，导致在生态规划与决策过程中同样存在着不确定性因素，致使其规划不合理。鉴于此，我们很有必要对城市生态规划中存在的不确定性因素进行全面分析，然后采取有效的措施消除其中的不确定性因素。
一、在城市生态规划过程中存在的不确定性因素
1、规划时存在的不确定性因素
（1）参考资料获取时存在的不确定性因素
在进行城市生态规划之前，我们需要通过相关的文献资料来对该城市的生态系统进行全面分析，但是由于城市所涉及到的文献资料不足、缺少丰富的经验、数据分析不够精确而导致其中存在不确定性因素，影响到后期规划的合理性。
（2）城市生态指标体系在研究过程中存在不确定性因素
在城市生态规划过程中，城市生态指标体系中所存在的不确定性因素主要包括两个方面，一方面是指标在确立时存在的不确定性因素。城市生态系统是一个符合类型的生态系统，其指标体系主要包括经济子系统、社会子系统以及环境子系统等，而这些系统中必然存在着或多或少的不确定性因素。另一方面是指标量化是存在的不确定性因素。
（3）生态规划结果所存在的不确定性因素
规划结果所存在的不确定性因素体现在以下两点：第一，在对城市生态系统的现状进行分析的过程中存在的不确定性因素。即在查阅资料、制定指标体系以及对现状进行分析的过程中存在着不确定性因素，其中对现状分析时产生的不确定性因素，我们可以采用概率法等方法进行消除，第二，在确定最后实施方案时具有一定的不确定性因素。在解决这种不确定性因素时，我们需要将其中的各个影响因素全部分析出来，然后通过比较与分析，最终消除。一般来说，这种方法会在无形之中加大工作难度，只有在必要的情况下才能够使用。
2、在决策过程中存在的不确定性因素
在对城市生态系统进行规划之前，我们必须要对所有规划方案进行全面分析，将经济、环境、社会等效益进行综合分析，最终选择一个最科学合理的实施方案，从而保证城市生态规划的合理性。
二、消除城市生态规划中存在不确定性因素的办法
1、灵敏度分析法的应用
在实际工作中，研究者一般会建立一个相应的数学模型，并对其进行预测与分析来消除其中存在的不确定性因素。但是我们需要清楚的知道，数学模型在建立过程中同样也存在一定的不确定性因素，因此我们不得不对其进行深入研究，以保证其合理性，消除其中的不确定性因素。
灵敏度分析法是对不确定性因素研究的最传统方法之一，当人们建立一个数学模型之后，灵敏度分析法可以将数学模型的计算结果进行分析与评估，并将其中存在的偏差详细记录，同时也能够让我们了解到模型中各个参数的重要程度。最后通过全面分析，可以了解其中存在的不确定性因素，并对其采取有效的消除方法。
这种方法是建立在数学模型之上的。正因为如此，在其分析过程中往往过于依赖数学模型，导致该方法在分析时存在一些缺点。
2、传递函数法的应用
首先，研究者需要对其中初始变量进行分析，明确其中不确定性因素的大小，然后通过相应的公式将其中的不确定性范围计算出来，最终得到不确定性因素，这就是误差传递理论。误差传递理论是以方法差计算理论为基础，通过大量的计算公式来对其进行计算与分析的。
3、控制论方法的应用
控制论目前已经有了初步的研究，主要集中于生态学和规划学范围。很多专家为此做出了很大的贡献。这些科学家都为控制论方法的不断进步起到了推动作用，为后世研究控制论方法的人提供了很多借鉴的地方。控制论方法在不断地完善和发展，对解决城市生态系统规划中的不确定性有着重要作用。
4、数学模型分析法的应用
（1）随机数学法
随机数学法主要应用于生态、经济、环境科学和社会学等领域，专家们在这些领域已经建立起了大量的随机数学模型，比如随机预测模型、随机规划模型、随机模拟模型等。这些模型都已经在社会上有了较为广泛的应用。
（2）模糊数学法
模糊数学法是通过建立相对模糊的数学模型，描述对形象中的不确定信息。现在，模糊规划模型、模糊决策分析模型、模糊综合评价模型已经在各学科领域广为应用。根据模糊数学法的发展趋势，以后的发展方向会从模糊值测度、模糊逻辑推理等方面下功夫。
三、城市生态规划中不确定性问题的考虑
1、弹性规划
“弹性规划”在城市生态规划，不但可以满足城市生态化发展的要求，而且又考虑到了种种不确定性因素带来的制约。同时，“弹性规划”的可操作性强，能够为城市的生态规划提供理论基础和有效方法。在采用“弹性规划”的时候，主要应该遵守两个原则：范围原则和时空原则。
2、iDea-CiD法
（1）iDea
iDea称作限定范围消元法，它是一种分步骤的评价方法，主要思想是将评价筛选工作细化成若干步骤，并且限定在一定的范围，筛选出不符合的方案进行剔除，留下符合的方案在进行进一步的筛选。直到最后留下最符合要求的方案。
（2）CiD
CiD称作范围连续扩展法。CiD是在用iDea筛选时同时采用的一种筛选法。主要是在筛选之初，确定的评价范围是最主要的几个因素，笼统的筛选众多方案。到后来，方案越来越少，而评价范围越来越广，考虑到的问题也就更加深入。
这是希腊生态学家Doxiadis提出一个减少规划目标不确定性的有效方法，减少了规划结果的不确定性。
四、结语
为了减小不确定性因素影响，可以采用灵敏度分析法、误差传递函数法、统计学方法以及基于随机理论、概率论和模糊数学理论等不确定性数学方法.为减少城市生态规划中的不确定性影响下，提出“弹性”规划的构想，将城市生态规划目标和城市生态规划方案不确定化.它能够充分考虑到不确定性因素的影响，又能满足城市生态化水平另外对其规划结果可以采用iDea-CiD法系统评价方法进行选优。
参考文献
数学规划方法篇3
毋庸置疑，数学规划领域的重大突破总是始于线形规划。提到线性规划算法，人们最先想到的是单纯形法和内点法。单纯形法是实际应用中使用最普遍的一种线性规划算法，而研究者们已证明在最坏的情况下单纯形法的计算复杂度是指数级的，内点算法的计算复杂度是多项式时间的。把两种算法相提并论，要么是这两种算法都已经非常完备，要么都有需改进之处。显然不属于前者，即两者都有需要改进之处。几十年来，研究者通过不断努力，在两种算法的计算上都取得相当的进展。
1数学模型
线性规划问题通常表示成如下两种形式:标准型、规范型。
设jj(2…，n)是待确定的非负的决策变量；认2…，n)是与决策变量相对应的价格系数；K2…mj=l2…n)是技术系数；b(i12…，m)是右端项系数；
线性规划是运筹学最基本、运用最广泛的分支，是其他运筹学问题研究的基础。在20世纪50年代
到60年代期间，运筹学领域出现许多新的分支：非线性规划（nonlinearprogranming、商业应用（crnxmereialpplieation、大尺度方法(laresealemeh-Qd)随机规划（stochasticpKgiamniig)、整数规划(ntegerprogramming)、互补转轴理论（amplmentaiypivotheor)多项式时间算法（polynomialtjneagatm)等。20世纪70年代末，上述分支领域都得到了极大发展，但是却都不完善。而且数学规划领域中存在许多nfkhard问题，如tp问题，整数规划问题等。这些问题的基本模型都可以写成线性规划形式，因此通过对线性规划算法的进一步研究，可以进一步启发及推动数学规划领域内其他分支的发展。
2边界点算法
由于单纯形法与基线算法都是在可行集的边界上取得最优值，故合称单纯形法与基线法为边界点算法。单纯形法是线性规划使用最早也是目前实际应用中最流行和求解新型规划问题最有效的算法之一。它实施起来相当简单特别对中小规模问题效果显著。单纯形法最早是由Damzg于1947年夏季首先提出来的。1953年Dantzig为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差，提出改进单纯形法12。1954年美国数学家CeLmH3针对对偶问题提出一种在数学上等价于用改进单纯形法求解的对偶线形规划。1974年Curetn41提出了求解一般线性规划问题的原对偶单纯形法，该算法与对偶单纯形法类似，但是原对偶单纯形法允许我们从一个非基础对偶可行解开始算法求解。
1972年Klee等举例证明了单纯形算法的时间复杂性有可能是指数型。1973年，Jeoslowoi和Zdeh7又分别进一步指出常用的对偶单纯形法、原一对偶单纯形法等都是指数级的。
这就让人们产生两个疑问:①是否存在单纯形法的某种改型，用它求解线性规划问题是多项式时算法。
对于问题①，研究者们对单纯形法采用了一系列改进技术如数据的预处理方法、更好的退化性处理、更好的局部价格向量计算、原一对偶最速下降边算法的应用、更快和更稳定的矩阵分解、更好的Cach存贮的应用、以及阶段1和阶段2的组合算法等。但是仍未能从理论上证明线形规划算法是多项式时间的。
近年来国内也出现了一批致力于线形规划算法研究的学者，但是国内学者的研究主要集中在对单纯形法的突破研究上，如基线法|8_'最钝角原理1111等。
最钝角及投影主元标算法都是针对单纯形算法存在退化现象就如何选择最优入基、离基做出的一系列研究及改进。退化现象是单纯形法一直以来需解决的难题，为了克服退化问题许多学者提出了有限主元规则：扰动法、字典序规则、Blad规则1171等，其中Bind规则由于其简单而备受关注，但是这些有限主元规则的实际应用方面并不令人满意，甚至都不能和Dantzg规则相比。1990年，潘平奇教授在文献[11]给出了线性规划问题最优基的一个启发式刻画特征:最钝角原理。最钝角原理是引人反映目标梯度与约束梯度夹角大小的“主元标”乍为确定变量进基优先性的依据，潘教授的数值试验11819表明此规则明显优于Bland规则。然而潘的方法仅适用于只含不等式约束的线性规划问题。为便于求解标准线性规划问题，许多学者在其基础上又提出了对偶主元标法。由于对偶主元标法是利用严格互补松弛来推导过度的，针对这一问题，又有学者提出了投影主元标法。
除此之外还有一系列最钝角原理在非人工变量两阶段算法1m21及亏基情况下的应用研究。这些研究表明，最钝角原理是克服单纯形法退化的一种有效方法。
基线算法的概念是1996年阮国桢教授提出来的1891，这种算法是单纯形法的发展，名字由来一方面是相对单纯形法（基点法）提出，另一方面是使用
基线算法的主要思想是：
其中疋FtX1;eRbeRm为一个m阶单位矩阵。n是问题的维数，m是约束个数。把目标函数v=ff作为一个约束，看作参数。
Stef!以任意：>0所对应的变量作为进基变量，则x所在的列与单位矩阵一起构成了一个可行基B改写八=[n马，相应地改写X为[xrxo’，x为非基变量，x为基变量。于是方程组aX=[vb’可以写成nx+Bx^evl]’=a0+^0VStep求B1，以B1左乘，得B^1n^n+3B=B1[v]’=矿a0+B1⑷v
(2.1)
令a=B1a。，p=B-1仏则式（21河写作
Sep对任意巨{01，…，m}，令aa^vs0
计算出当前基线表对应的可行值区间[J-”。若h
…，n-L贝iJv为最优值，或者转Step4
Sep旋转基表，更新Bap旋转基表时通常只使用有限软上界行的负可旋主元。对于负可旋主元的选择主要实现方法有：最大负主元算法[221，行列最好主元算法[231,保硬主元算法[24251等。
基线算法操作简单迭代次数少，求解速度快。相对单纯形法来说，单纯形法最多能搜索与当前极点相邻的n个极点，而基线算法能搜索11个二维面，这是基线算法能够快速求解Lp问题的关键所在。
发展至今，基线算法已有其对偶算法[271，群部分算法['目标规划[29301,锥上算法[311等一整套的理论基础和一系列具体的快速实现算法12632,围绕着是否存在着多项式的基线算法，在计算复杂度方面作深入的研究将对线性规划的发展具有十分深远的意义。
3割平面法
线性规划算法中割平面思想的应用主要是指椭球法。1979年Khanchiaii33!改进Yudin和nan-
ovski等[34]为凸规划开发的椭球法，获得了一个求解线形规划的多项式时间算法:椭球法。对问题②做出了明确回答。不同于单纯形法从一个基础可行解开始迭代，椭球法的特点是求解过程的每一阶段都有一个以某一点为中心的椭球，迭代是从一个包含最优解的较大的椭球迭代到包含最优解的较小的椭球直至逼近最优解。
为线性规划问题式（1.2)的规模。其中，lg]是以2为底的对数，「?]表示刚刚大于括号值的整数。则椭球法的时间复杂度为omL)
Khachiar椭!球法的主要思想是：
根据线性规划的强对偶定理，线性规划问题式(1.2)可以转为下列求可行域问题：
2)从球开始，这个球大到包括式（3l1)的所有可行集X不断构造一系列椭球，第k次迭代的椭球为ek检验椭球中心&是否满足约束条件；若满
足则停止，否则利用割平面球的半椭球$ek=eH
{ata构造新的椭球更新椭球ek+1为包含半椭球的最小体积椭球。按照这种算法下去直到椭球中心位于目标集内，椭球中心即为问题式（31)的解;否则椭球体积太小以至不含问题式（31)的可行解。
由于Khachiarn椭球法从构造包含可行域的大
的椭球出发，初始椭球体积有可能是天文数字，而且KhanCir椭球法利用K-K-t条件将原规划问题转
化为可行域求解问题，扩大了求解规模的同时加入了等式约束，使得可行集体积为零。虽然求解时，对等式进行摄动，可行集体积仍然很小。初始椭球体积太大，最终椭球（包含可行集的最小椭球）体积又几乎为零，算法可能需要经过非常大的迭代步数才能收敛。而且如果对偶问题无界则原问题不可行，因此当计算结果无解时不能判断是原问题无界呢还是原问题不可行。
不少研究者从加大每次迭代后椭球缩小比出发，提出了许多KhanCirn椭球法的改进算法:深切害J(deepeus)35-37、替代切割（surrogatecuts)381、
平行切割（paUmeus)|39-411等。最新成果是杨德庄等人提出的新的椭球法142,其优点在于引入目标束不等式及目标不等式组成，与原椭球法相比一方面大大缩小了算法求解规模，另一方面扩大了可行集的体积。而且新算法中可行集切割及目标切割交替进行，加速了椭球体积的缩小。不过令人失望的是即使最好的椭球法实施在计算上都难以与已有的单纯形法相比。因此，实际中很少作为一般方法使用1431。
然而线性规划的其他解法如单纯形法、内点法都需要从一个基础解出发，然后确定迭代方向、迭代步长，因此每次迭代都需要计算目标函数和所有约束函数。而椭球法的计算则简单得多，理论上来说椭球法对于约束条件多的问题更有效。
4内点法
1984年KamarH441提出了一个比Khanchian法好的多项式时间算法的内点法，称为Kamaikar法。由于该法引用了非线性规划中的牛顿投影，因此又称K_aka牧影法。
K_aka袪的提出在线性规划领域具有极大的理论意义。与椭球法不同，这个新算法不仅在最坏情况下在时间复杂度上优于单纯形法，在大型实际问题中也有潜力与单纯形法竞争。
这一方法的提出掀起了一股内点法的研究热潮。鉴于Kamaka?法的难读性，一些研究学者?对Kamaika袪进行了适度的修改，使其简便易读。然而直接用该方法编程解题的测试表明，与目前基于单纯形法的商用软件相比，并没有明显的优势1491。因此很多研究者在Kamarka法的基础上深入研究并提出了各种修正内点法方法：仿射尺度法，对数障碍函数法，路径跟踪法算法等。
仿射比例调节法又分为原（ptme)仿射比例调节法和对偶（Dua)方射比例调节法。原仿射比例调节法是从原问题出发，用一个仿射变换代替投影变换，把坐标系从一个非负象限不是单纯形）映射到其本身。该法1967年由前苏联学者Dkii5(0提出，但他的工作直到Bame1]等人再次研究该法后才被 法，另一方面作了完全的收敛性的证明。此外，1989年adlep等发表了从原问题的对偶问题出发的对偶仿射比例调节法。
1986年G1531等人第一次把用于非线性规划的对数障碍函数法用于线性规划，并证明了对数障碍函数法和Kamarka投影法是等价的。以后的研究表明kamaikaf法实际上是广义对数障碍函数法的一个特殊情形。由于其计算方面的优越性，因此该法得到更多的研究和发展，该法也分为原对数障碍函数法和对偶对数障碍函数法。
原对偶（primaDua)各径跟踪法，实际上是原对偶障碍函数法，是meidG19m541年提出的。他将包含对数障碍函数问题的障碍参数的唯一的最优解所构成的曲线称为一条路径或中心轨迹，当障碍参数趋近零时，中心轨迹的极限即为原问题的最优解。Kojma55'等最早（1987)提出收敛的算法，之后其他研究者对算法作了进一步的改进。为了找到起始可行解算法都要引进人工变量和附加约束条件，分别以适当的大数作系数和右端值，但算法对这些大数的选择很敏感易导致算法中数值的不稳定性。因此Lustiti等考虑使这些大数同时变为无穷大时坐标增量的“极限可行方向”该方向只改变了求最优解的方向，并不改变确定轨迹中心的方向，因而问题解法成为不可行问题原对偶牛顿法，其优点是对初始解不必引入人工变量。该法也可用类似形式应用于不可行原问题或对偶问题的方法中[57581。该法还便于处理有界变量问题。然而这个方法的计算复杂性尚未确知，没有一般收敛的算法的证明。此外，在方法的改进方面，出现了全面收敛不可行内点算法和预计改正法。
势函数下降法有基于Gezaga等人提出的原势函数下降法和Ye等人提出的原对偶势函数下降法,计算复杂性都达到较好指标。前者算法包含了两个搜索方向，且所有仿射变换方法都采用了最速下降方向。这方面的改进还有Kajmm等的原对偶势函数下降法等。由于上述势函数下降法的各种算法是基于一系列严格的可行解上，方法都要求说是难以做到的。显然直接采用不可行内点算法是最好的解决办法，因而Y，etodd和misunol994年提
出了构建“齐次自对偶问题”的方法，该齐次自对偶问题的解则可以用Kajjna等的原对偶势函数下降法来解出。
在20世纪90年代内点法理论发展成一个相当成熟的原理。这一时期，对内点法理论的一个主要贡献来自Yenesterov和八Snmirovski两位数学家[69。他们创建的Self-Cocrdant函数理论，使基于对数障碍函数的线性规划内点法很容易推广到更为复杂的优化问题上，如非线性凸规划、非线性互补、变分不等式、半定优化以及二阶锥优化等。目前自协调函数形式主要有：对数函数和商函数形式。
今天，内点法的研究热点主要转向于半定优化、半定互补、非凸优化及组合优化问题上。
5自协调函数理论
自协调函数可谓是线性规划算法研究的一个重大突破，也是我们后续研究的重点。自协调函数理论又名自协调障碍函数理论，为解线性和凸优化问题提供了多项式时间内点算法。根据自协调障碍函数的参数就可以分析内点算法的复杂性。
自协调函数定义：
一个凸函数fR-R对定义域内的任意x满足Lf"(x)<2f(x3/2,我们就称它为自协调函数。如果函数(Rn-R对于任意直线满足自协调条件，我们称函数§(9是自协调函数。
自协调函数理论的关键是算法的复杂性由自协调函数的两个参数决定，只要这两个参数可以推导出，则可求得算法的复杂性。
然而目前常用的自协调函数形式只有对数障碍函数形式:负对数函数：f=一igx及负商函数加上负对数函数：f=xgx^lgp]。
最近CReas等m指出有些内核函数尽管没有全局自协调性，却能在局部自协调。而且，CR?s
部值 也可以较好的求得算法的复杂性。基于CRQ0S的思想，金正静等1711提出了一个局部自协调函数，其形式如下
自协调函数理论的提出，为我们分析算法复杂性带来了极大的便利。然而以上的自协调函数形式都要求核函数为正，这为我们的研究带来了极大的限制。那么自协调函数是否存在不要求核函数为正的形式为我们研究自协调函数提供了方向。
6结束语
除了边界点算法，椭球法，内点法，线性规划还有有效集法等经典算法、杨德庄教授的新算法及遗传算法，神经网络等求解线性规划的智能计算方法，有兴趣者可参看有关文献。
数学规划方法篇4
abstract：Basedontheintroductionofmethodsofmathematicalprogrammingincludinglinearprogramming，sensitivityanalysisandintegerprogramming，thispaperdiscussestheapplicationofmathematicalprogrammingmethodunderdifferentconditionsinsurveyingandmappingproductionwithanexample.
关键词：线性规划；灵敏度分析；整数规划；测绘
Keywords：linearprogramming；sensitivityanalysis；integerprogramming；surveyingandmapping
中图分类号：p2文献标识码：a文章编号：1006-4311（2014）14-0297-03
0引言
测绘是国民经济建设和发展的重要基础性前期工作。随着经济的发展，现代测绘的生产规模日益扩大，分工越来越细，要求测绘生产组织必须具有高度计划性。将数学规划的方法运用于测绘工作中，对测绘工作实施过程中各种错综复杂的数量关系进行研究，并归结成一定的数学模型，用数学方法找到最合理的工作方案，在保证工程要求和精度要求的前提下，可以达到提高工作效率，减少生产消耗的人力、物力、财力的目的。
1线性规划的应用
在测绘经营管理中，经常要解决两类问题：一类是对于某项确定的生产任务，如何使用最少的资源，保质保量的完成测绘任务；另一类是对于有限的资源，如何安排使其最大限度的发挥作用，取得更多的测绘成果。对于这些问题，都可以应用线性规划的方法，通过建立数字模型、求解、应用，科学合理地解决。这里以一例说明线性规划问题在测绘工作中的应用。
现有某测绘单位为下月生产计划做安排，该测绘单位计划安排建筑物放线、1：500竣工测量两种种测绘工作。4整数规划
在前面的线性规划，目标规划中，求出的最优解都有可能包含小数或分数。而在实际测绘生产工作中，由于人员、仪器设备、控制点个数甚至工时工天都只能是整数而不能使小数或分数。此时如果简单的将求得的最优解进行四舍五入取整，得到的结果可能不符合约束条件，或者即使满足约束条件，却不是最优解。此时，需要通过整数规划的方法进行最优解的求解。
仍以上文中的例子为例，假设由于该测绘单位扩大生产能力，内业工作时间增加了10工天，总共有230工天。
在这种情况下，依据线性规划的理论，利用单纯形法可求得，安排生产22.5件建筑物放线，32.5幅1：500竣工测量时，可获得最大收益68200元。
如果简单的通过四舍五入来取整，即安排建筑物放线23件，1：500竣工33幅，那么它破坏了约束条件，即超出了实际生产能力。为了确定最优方案，这里通过分支定界解法求解。
参考文献：
[1]甘应爱等.运筹学（第三版）[m].清华大学出版社，2005（6）.
[2]郑肇葆等.数学规划在测绘运筹学中应用（第二版）[m].测绘出版社，2003.
数学规划方法篇5
术的
关键词：多目标规划、非劣解、最优解
在多元化的经济社会中，追求的结果往往不是一个简单的在最优，而是需要使整个系统达到一种协调，使总体效用或者收益最大化。这就涉及到多个可实现目标协调，在这种情况下，一味的追求单个目标的最大化已失去其具体的意义，因此，就需要考虑多目标的实现，利用多目标规划来达到效用的最优，获得最大的经济利益。
一、多目标规划的定义：
多目标规划数学规划的一个分支。研究多于一个目标函数在满足给定的约束条件的最优化，也叫做目标最优化。在很多实际问题中，决定多目标规划中的一个备选方案的优劣往往不是用一个指标来判断，而是需要提高整个目标模型的满意度，但是这些目标有时是不同时满足的，甚至是矛盾的。
二、多目标规划需要达到的目标：
多目标规划的目标是找到一个最优解，满足所有的约束条件，并且能够使目标函数达到最优。但是在实际情况中，往往存在多目标的规划问题中的目标函数存在冲突的情形，既不能够使所有的目标函数在满足约束条件的前提下，是每一个目标均达到最大或者最小值。这时，多目标规划的而目标也即是找到一个非劣解（可行域边界上的帕累托最优解）。
三、常用的多目标规划的解法：
现有的结论中，多目标规划求解大致分为三类：
（1）、化多为少的方法。通常是将多目标规划转化为单目标规划，常用的有主目标法，线性加权法、最短距离法。这类方法可以有效地避免在多个目标中，目标函数的在约束条件的限制下不能够共同存在或者说共同达到的最优的目标的问题。因为通过的相应的转化，使目标函数的有效地变为单个，求解单目标的最优就简单很多。
（2）、分层序列法。则是根据目标函数的重要性或者说是对于整个系统的影响作用进行一个排序，按照相应的顺序进行求解，每一层次的模型约束条件即前一层次的最优解集或非劣解集中产生，直到最后，求出该多目标规划的最优解。
（3）、其他方法。修正的单纯形法或者层次分析法，在缺少必要数据时更为实用。通过层次分析法，得到每一目标的相应的权重，可以转化为一个单目标规划，因为层次分析法涉及到定量与定性相结合，因此一般不采用层次分析法主观的得到权重。
上面已经介绍了常用的多目标规划的解法，就多目标向单目标规划转化的几种模型进行介绍。为了实现这种转化，常采用的几种优化模型有：线性加权法、理想点法、极大极小法、目标达到法、目标规划法。
（1）、线性加权法：将多目标规划模型的各个目标函数一种求和的形式表现为最终的一个目标函数。这种方法通常会涉及到整个模型中各个目标的效用大小，也即是赋予相应的权重大小（与效用函数的值呈现正相关的关系）。需要注意的是，在使用线性加权法时，一定注意定量与定性分析的结合，在确定权重系数时，不仅需要考虑效用函数的值的大小，还需要根据决策者的决策意向保持一致。则最终的目标函数是权重以及目标函数对应相乘得到的再求和得到的结果。模型一般为：
maxZ=ifi
S.t.（其中a、B为同维的矩阵）
（2）、理想点法：在不考虑约束条件的限制下，满足所有的目标函数，找到这样一个理想点。根据模型的约束条件形成的可行域，在其中找到一个点使之与理想点之间的距离最小。用模型表示即：
minZ=（其中为理想点的值，并且F=（f1，f2，f3，f4……）
S.t.（其中a、B为同维的矩阵）
（3）、极大极小值法：即是max（min）或者min（max）模型。在一些规划问题中，会涉及到某个目标需要在一定范围内取值时，可以将模型改为最大最小化或者最大最小化模型。只需将有取值范围的目标函数写成一个具有双向约束的约束条件即可。在整个模型中，所有的目标函数的方向是一致的，因此只需要取值最大的一个目标函数取得最小值，或者取值最小的一个目标函数取得最大值。
（4）、目标达到法：需要在多目标规划问题中，引入松弛因子，使松弛因子达到最小值，将松弛因子和目标函数相结合形成目标函数，以得到最优解。也即是说，在理想解的最小变动范围内找到模型的最优解。
（5）、目标规划模型：此类模型需要给每个目标函数一个目标的期望值，同时需要确定每个目标的优先级别以及相应的每个目标的在整个模型中的权重系数。
参考文献：
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[5]王维国、宋阳、郭多祚，一种求解混合多目标规划问题的功效函数法，运筹与管理，2007.8
作者信息：
1、雍璨宁，1991年03月，籍贯：四川达州，大学本科，四川大学商学院管理科学专业。
2、侯露，1991年11月，籍贯：四川成都，大学本科，四川大学商学院管理科学专业。
3、韦长婷，1991年06月，籍贯：四川雅安，大学本科，四川大学商学院管理科学专业。
数学规划方法篇6
关键词：多目标电网规划；分层最优化；方法
中图分类号：tm71文献标识码：a
我国的现代社会主义事业正在不断的发展和丰富当中，很多电网规划建设活动也在不断的深入进行，传统的电网规划活动已经无法满足现代的电网建设发展，必须进行规划创新。要结合电网的内部环境和国家规定的供电可靠性标准进行科学合理的成本投资，最终实现当代电网事业的可持续发展，取得较好的社会经济效益。
一、多目标电网规划建设活动的主要内容
针对多目标电网规划的建设活动问题，要结合传统电网建设体系进行详细的科学研究，建立起现代最流行的综合稳固结构，不断的进行扩展，实现最终的电网建设目标。要根据电网建设中的长期规划，进行相关的数据收集和整理、审查，确保电网建设结构体系的完整性。虽然在电网的规划建设活动中，进行了一些相关扩展活动，确立了先进的经营理念，引进了先进的技术，但是仅仅依靠这些，也是无法满足电网规划建设的经济标准和实际原则要求的。
在多目标电网规划建设活动当中，必须借助网络信息技术对相关的数据信息进行分析，对相关结构部件进行检查核实。关于电网规划建设系统的能力变化标准，应当在长期的活动中对负荷进行检验，在可靠性指标的优化引导之下实现电网建设规划目标；对于那些可靠和具有实际意义的建设部门，要加大资金的投入，对相关设备进行改善；在电网的规划建设活动中，对网架设计的指导分析也是十分重要的。要根据电网规划建设的实际情况，进行指标预测，运用函数手段和科学技术对活动内容进行整理，降低电网规划建设的成本，实现电网规划建设的可靠性目标。
二、多目标电网规划建设的方法
（一）传统意义上的逐步倒推法
传统意义上的逐步倒推法具有扩展和实践意义，要在传统倒推法的基础上进行不断创新。这种方法的最终目标是满足电网规划建设中的经济性要求。安全可靠性的分析指导只是之后的校正检验计算方法，虽然它是电网规划建设中相关部门常用的方法，但却无法保证电网建设的经济性和可靠性综合优化。
（二）以安全可靠性为目标的建设规划方法
以安全可靠性为目标的建设规划方法主要是以负荷的减少和能量的增加为依据，利用启发式的方法对电网规划的拓展方案进行满足，这种方法是一种灵敏度较高的分析方法，以优化电网规划建设的安全可靠性为最终目标，对输电设备的资金投入方案进行有效规划，这种方法能够协调资金投入量和安全可靠性指标完善度的有效统一。但是相对来说，其实际运用的性能却是不高的，可以用在电网构架的拓展设计当中，却不能适用于大规模电网的拓展设计中。
（三）综合成本最低的网架方案
综合成本最低的网架方案主要是以经济可靠性为依据，在目标函数当中融入可靠性指标转化而成的经济结构方式。在电网规划建设活动中，可靠性指标的相关内容主要有损失费、缺电损失费、网线线路投资费用、环境因素等，以这些费用为电网规划的优化主题，得出最优化方案。这种方案虽然取得了阶段性效益，但仍旧存在着适用性能低、规模小等不足之处。
在多目标电网规划建设中，相关部门仍旧无法真正实现经济性和安全可靠性的统一，造成这种现象发生的主要原因是缺点成本的计算方法没有最优化，如何实现经济性和可靠性统一化，如何把可靠性指标转变为经济性指标，最好的方法就是多目标电网规划的分层最优化方法。
三、多目标电网规划的分层最优化模型
（一）理论基础
目标函数的最小化是多目标电网规划分层最优化方法的核心目标，目标函数的最小化需要经过一些分层优化，在多目标电网的分层模型上，在第一优先层上进行目标函数最小化，然后以第一优先层的最小化数据对第二优先层进行目标函数最小化，以此类推，直到最后一层，优化结束，如果最优解在中间某层出现，那么此后的最优层就没有意义了，要想实现每一个层的最优化，必须适当放宽每一层的解集范围。
（二）分层最优化方法的优势
分层最优化法将电网规划建设中的可靠性指标转化为缺点成本，缺点成本和建设成本是不同的，在电网的规划建设中，建设成本相对来说比较重要，约束程度也比较大。分层最优化方法里就含有这一点，也证明了这一点，所以分层最优化方法是符合电网规划建设的要求的，具有实用性。在最优方案的寻找过程中，将第一优先层的目标函数选作为相关费用的负荷损失，这可以在很大程度上减少计算量。
（三）决策变量
在多目标电网的规划中，网络和拓展方法组成决策方案，在目标函数公式当中，如果x（k）是指网络在第k阶段的状态，对该方案的拓展方案进行表示，如果第k阶段到下一个阶段的拓展方案是u（k），那么下一个阶段的状态就是x（k+1）=u（k）+x（k）。
四、对多目标电网规划的分层最优化方法的改进
想要生成目标电网规划分层最优化模型的体系，要在保证解出第一优先层最优解集的基础上，对下层优先函数进行最小化的范围减小。在电网的规划建设活动中，要制定出比较准确的方案，对每个部件进行合理编排，保证整体机构的完整性，根据可靠性指标在缺点成分中的划分，保证相同量值的综合效果展现；在保证相关结构的安全性验证基础上，实现后期的优化函数选择，尽量减少逐层分析的数据运算，注重后期施工的活动细节。
多目标电网规划为内部的审核和拓展方案提高依据，对各项决策活动中的实践经验进行规划和总结，结合应有的网络结构状态对拓展数据进行计算和验证，还要根据第一优先层的数据实现目标函数具体量的最小化处理，在保证每个过渡环节约束效果的基础上，对具体的支路回数进行约束，还保证了电网规划结构的正常运行。对于多目标电网规划的分层最优化，按照逐层求解的方式进行拓展，以具体的宽容量为依据，促进电网分层目标建设规划活动的顺利进行。
结语
在多目标电网的规划建设工作当中，要想获得最优的电网规划方案，必须将安全性和经济进行综合考虑和统一规划，要根据多目标电网规划分层中出现的各种问题，筛选出最科学合理的函数算法，建立起最合理的数学模型，不断总结经验，不断改进，就一定会找到多目标电网规划的分层最优化方法。
数学规划方法篇7
（湖北省供电公司十堰供电公司，湖北十堰442000）
【摘 要】地区电网规划是所在区域国民经济和社会发展的重要组成部分，同时也是电力企业自身长远发展规划的重要组成部分。电力需求预测是电力系统规划决策、经济运行的前提和基础，电力需求的准确预测对电力安全生产和运行以及国民经济发展都有重要意义。通过对负荷预测的几种常用算法和电网规划的优化方法的介绍，并结合某地区经济发展和电网建设的现状，提出该地区中长期的负荷预测方案。
关键词城市电网；负荷预测；电网规划
作者简介：徐伟（1977.11—），男，汉族，湖北十堰人，工程硕士，湖北省供电公司十堰供电公司，电力工程师，主要负责配网规划、自动化建设。
安新润（1976.06—），男，汉族，湖北十堰人，工程硕士，湖北省供电公司十堰供电公司，高级电力工程师，主要负责负荷预测、配网建设。
地区电网规划是所在供电区域国民经济和社会发展的重要组成部分，同时也是地区电力企业自身长远发展规划的重要组成部分，电网规划对于电网建设、运行和供电保障的具有先导和决定作用。电网规划的目标是寻求最佳的电网投资决策，其目的是根据电网发展、负荷增长和电源装机情况合理地确定今后若干年的电网结构，以保证整个电力系统的长期最优发展，使其既安全可靠又经济合理。地区电网规划的基本原则是在保证电力安全可靠地输送到负荷中心的前提下，使地区电网建设和运行的费用最小。
电力需求预测是电力系统规划决策、经济运行的前提和基础，电力需求的准确预测对电力安全生产和运行以及国民经济发展都有重要意义。大多数预测方法利用统计技术或人工智能算法，如回归、神经网络、模糊逻辑和专家系统。其中的两种方法，最终使用法和计量经济法广泛用于中期和长期预测。其他方法，其中包括类似天方法、各回归模型、时间序列、神经网络、统计分析算法、模糊逻辑和专家系统，主要用于短期预测。
1 几种常用的负荷预测方法
1.1 弹性系数法
电力弹性系数是指一段时间内电力消费增长速度与国民生产总值增长速度的比值。用以评价电力与经济发展之间的总体关系，用来从宏观角度调控电力与国民经济发展之间的关系。电力弹性系数可以用以下公式来表示：
e=Ky/Kx
式中：e——电力弹性系数；
Ky——电力消费年平均增长率；
Kx——国民经济年平均增长率。
1.2 趋势分析法
趋势分析法是根据已知的历史资料来拟合一条曲线，使这条曲线反映负荷本身的增长趋势，然后按照这个增长趋势曲线，对于要求的未来某一点，从曲线上估计出该时刻的负荷预测值。在很多情况下，它确实能给出较好的预测结果。其基本形式为：
Y＝F(t，θ)＋ε
式中：Y——预测对象；
ε——预测误差；
θ——待定参数。
几种典型的趋势模型为：幂函数趋势模型Y＝abt；指数趋势模型Y＝aebt；对数趋势模型Y＝a+blnt；线性趋势模型Y＝a+bt；逻辑斯蒂（Logistic）模型Y＝L/(1+ae_bt)；多项式趋势模型Y＝a0+a1t+……＋antn。在实际应用中，采用该方法得到的预测结果，其精确度原则上对拟合的全区间都是一致的。
1.3 回归分析法
回归分析法（又称统计分析法）也是目前广泛应用的定量预测方法。其任务是确定预测值和影响因子之间的关系。
回归分析法是通过对影响因子值和用电的历史资料的拟合，用回归分析建立两者之间的函数关系，有了这种函数关系后就能够预测用电。但由于回归分析中，选用何种因子和该因子系用何种表达式有时只是一种推测，而且影响用电因子的多样性和某些因子的不可测性，使得回归分析在某些情况下受到限制。
采用该方法进行负荷预测时，要建立人口与居民用电、各产业同各产业用电的关系，采用政府部门提供的人口及经济规划指标，预测对应年度的售电量值。
1.4 组合预测法
不同的预测方法能提供不同的有用信息，组合预测方法可以综合利用这些信息，可以更充分地利用原始数据的信息，弥补单模型方法的不足，尽可能地提高预测精度。组合预测法是指将几种预测方法所得的预测结果选取适当的权重进行加权平均的预测方法，或在几种预测方法中进行比较，选择拟合优度最佳或标准离差最小的预测方法。
1.4.1 等权平均组合预测法（ew)
ew是一类经常使用的组合预测方法。
设f1（i=1，2，…，k）为第i个模型的预测值，fc如果代表组合预测值，则ew法得到的组合预测：
ew法不需要了解单一预测值f1的预测精度，也不需要知道单一预测的误差之间的相互关系，方法简单，是在对各种预测方法的预测精度完全未知的情况下，所采取的一种较为稳妥的方法。
1.4.2 方差一协方差组合预测法(兆瓦)
ew法是在不知道各预测精度的条件下所采用的一种组合预测方法。在能够了解到各单独预测值的预测精度的情况下，就应采用加权平均的方法。
设f1、f2是两个关于f的无偏预测值，fc是加权平均的组合预测值。设预测误差分别为e1、e2和ec，取w1、w2是相应的权系数，且有w1＋w2=1，有fc＝w1f1＋w2f2，要求fc也是无偏的，且误差及其方差分别是ec=w1e1＋w2e2。其优于各单一算法，也优于ew算法。
1.4.3 回归组合预测
回归组合预测方法是另类加权平均优选组合预测方法，一般记为R法。
此外，也可用加权最小二乘法进行回归组合预测。
以上三种是常用的组合预测方法。单一的预测方法所用的信息是有限的，而不同的预测方法所用的信息是不完全相同的，将各种单一预测结果进行组合可以得到一种组合预测结果。
1.5 空间负荷预测法
近年来，负荷发展和变化的情况比较复杂，用传统的负荷预测方法得到的负荷大小和地理分布存在着较大的偏差。为了适应实际的需要，上世纪80年代初，wiLLiS.H.L.提出了空间负荷预测理论(SpaCiaLLoaDFoReCaStinGtHeoRY)法不仅能预测未来负荷量的变化规律，而且对未来的负荷地理分布情况也作出了相应预测。空间负荷预测方法主要分为解析法、域分析法和基于模糊逻辑的方法等三大类。解析法是运用小区的各项原始数据预测小区负荷的发展趋势，又可分为趋势法(tRenD)，多变量法(mULtiVaRiate)、基于土地利用的方法，即用地仿真法（LanD-USeSimULation)；域分析法，即通过专家或规划人员输入各小区对各类负荷的适应性分数值，直接确定将来小区新增电力用户的数量；基于模糊逻辑的方法，即利用模期集理论分析小区规划年的用地性质。
2 电网规划研究方法
地区电网规划任务是根据规划期间的电源开发、负荷增长及设备改造方案，确定相应的规划水平年的电网网架结构。在保证将电力安全可靠地输送到负荷中心的前提下，使地区电网建设和运行费用最少。实践证明，设计上的少量改善往往就可以获得巨大的经济效益。进入二十世纪中后期，随着数学、运筹学和计算机技术的发展，使得电网规划的新方法应运而生。目前，电网规划的研究方法主要有启发式优化方法和数学优化方法两种。
2.1 启发式优化方法
启发式优化方法是一种比较接近于工程人员的思路、根据经验和计算分析以直观分析为依据的算法。比如：以马尔科夫链的遍历理论为基础的模拟退火算法，以优胜劣汰的原则进行搜索和优化的遗传算法，还有由意大利科学家DoRiGo研究总结出的仿生启发式优化寻优的蚂蚁算法，以及taBU搜索法、专家系统法等。
2.2 数学优化方法
数学优化方法是对电网规划问题作数学描述，并处理成有约束的极值问题，然后利用最优化理论进行求解。数学优化的主要方法有：线性规划、整数规划、多目标规划、混合整数规划和动态规划等方法。
3 某地区电网负荷预测的应用
根据该地区《国民经济和社会发展第十二个五年规划纲要》和“十二五”规划发展目标，结合当地电网发展现状，在电网发展的中长期规划中采用了弹性系数法、年递增率法对该地区的电网的电力、电量进行预测，相互校验，推算出水平年电力、电量预测值。
3.1 电力弹性系数法电量预测
电力弹性系数反映了在一定时期国民经济与电量需求的增长之间的内在关系。根据该地区全社会历史用电量和国内生产总值的数据，分别计算出它们的平均增长率，从而得到电力弹性系数的历史序列。在历史弹性系数序列的基础上，运用回归技术、动平均法、指数平滑法、灰色模型等手段，预测未来年份的电力弹性系数，然后，利用基准年电量为基础，预测未来各年的电量需求。
从历史数据来看，该地区的电力弹性系数波动较大，这与其在“十一五”期间大力发展高耗能企业有关，电量有较大的涨幅，弹性系数将处于较高的状态。但总体趋势是下降的，产业结构亦发生了较大变化，能耗小的第三产业比重将大幅度上升，这种产业结构的变化必然促使电力弹性系数呈现下降趋势。因此，推断在规划年期间电力弹性系数将逐渐下降。预测未来各年的电量需求结果如表2所示。
3.2 年平均增长法电量预测
年平均增长法是负荷预测中常用的一种方法，其利用对历史数据的分析，总结出其电量、负荷的发展变化的增长率，同时结合考虑该城市的远景规划发展，确定出在规划期间的年平均增长率，即可得知预测年的电量和负荷值。
3.3 综合预测结果
2015年－2030年电量的各种算法预测结果比较分别如表4所示。
根据以上需求电量预测结果的高、中、低方案，该地区推荐中方案结果。
对该地区的负荷预测中，该地区的社会经济发展和招商引资的最新进展等动态信息在一定程度上影响了负荷预测的准确性。此外，上一级电网规划的调整对区域电网规划的影响很大。目前，国内外电网规划的思路和方法也在不断发展进步，今后将及时跟踪最新的进展和动态，为将来电网规划的修订完善奠定基础。
参考文献
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数学规划方法篇8
关键词：线性规划思想；解题；应用
中图分类号：G427文献标识码：a文章编号：1992-7711（2012）03-076-2
线性规划问题以二元一次不等式所表示的平面区域内容为基础，它将代数与几何，数学与实际巧妙地联系起来，线性规划实际上就是以数学知识为工具，来研究在一定的人、财、物、时、空等资源条件下，如何精打细算巧妙安排以最少的资源来取得最大的经济效益。然而中学所学的线性规划只是规划论中极小的一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的思想，并且为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法――数学模型法，所以掌握好这部分内容非常重要。
一、线性规划的内涵
线性规划是数学规划的一部分，它研究目标函数在约束条件下的最大值和最小值问题，即要寻找既满足约束条件又使得目标函数达到最优的解，要一下子处理可能比较困难，于是提出“可行解”这一概念，将求解线性规划的问题分解为两步，第一步先求“可行解”，第二步再求“最优解”。从而分散了难点，找到了解决问题的方法。虽然中学所学的线性规划只是规划论中极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的思想，能够将实际问题转化为数学问题，抽象解决一些简单的线性规划应用问题的基本思路和主要方法。
二、线性规划思想解题
利用线性规划的思想解题主要是依据给定的条件，把整个题目的有关约束条件和所求目标函数用数学关系和逻辑关系表示出来，运用化规，数形结合等思想，主要通过图解法的方法求解，得出最优解和最优目标函数值。下面举例说明几种用的线性规划的方法在实际解题中的应用。
(一)向量问题转化为线性规划问题
向量是平面几何的基础，线性规划作为连接点巧妙地将几何问题与代数问题联结起来。
例1已知在平面直角坐标系中，o(0,0)，m(1,12)，n(0,1)，Q(2,3)，动点p(x,y)满足不等式0≤op•om≤1，0≤op•on≤1，则w=op•oQ的最大值是多少？
分析因为o(0,0)，m(1,12)，n(0,1)，Q(2,3)，所以0≤op•om≤1,0≤op•on≤1，0≤x+12y图1
≤1,0≤y≤1，w=op•oQ=2x+3y。
本例转化为在线性的约束条件
x+12y≤1,0≤y≤1,x+12y≥0
下，求线性目标函数w=op•oQ=2x+3y的最大值题。可作出如图的可行域，显然在点t的坐标是最优解。
由
x+12y=1,y=1
得
t(12,1),
所以
wmax=2×12+3×1=4。
注本题将平面向量与线性规划巧妙地结合起来，真正体现了在知识交汇点处命题的高考指导思想。解决这类问题的关键是将已知的不等式组准确地转化为二元一次不等式组并准确画图，然后求最值。
(二)三角问题转化为线性规划问题
求解三角形个数问题，常规解法是根据三角形三边关系，利用分类计数原理求解，而用线性规划方法求解，则别具一格［2］。
例2三边长均为整数，且最大边长为11的三角形个数为多少？图2
解设三角形另两边长分别x,y(x,y∈n*),
根据题意得
x+y>11,x≤11,y≤11,x≥y,x,y∈n*
转化为在此约束条件下求整数点的问题，
如图所示可得1+3+5+7+9+11=36，
故三角形的个数为36个。
注本题巧妙地将线性规划问题运用到三角形的问题中，体现了线性规划广泛运用的特点。求解这类题目关键是利用三角形两边之和大于第三边的关系，转换为标准的线性规划问题，其中，在求整数可行解时，也就是可行域中横坐标和纵坐标都是整数的点，可先画出满足线性规划约束条件的平面区域，然后再找整数点。
(三)与函数或不等式结合,求取值范围问题
函数与不等式是高中数学的基本知识点，求取值范围也是常见地类型，结合函数或不等式的性质，运用数形结合的思想把问题转化为线性规划的问题解决，即形象又直观［3］。
例3已知f(x)=ax2+bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围。
分析对这个问题，可以用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再由f(－1)，f(1)的范围，结合不等式的性质求出f(－2)的取值范围。我们可以转化为线性规划问题求解。图3
解1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,得1≤a－b≤2,2≤a+b≤4。(1)
目标是求f(-2)=4a－2b的取值范围。
作出线性约束条件（1）下的可行域四边形aBCD，
如图3a(2,0),B(3,1),C(52,32),D(32,12)不难得到，
当直线4a－2b=f(-2)经过点B和D时，
f(－2)分别取得最大值最小值10和5。
所以f(-2)∈［5,10］。
注对于这个问题，很多学生常犯如下错误:由题设
1≤a－b≤2,2≤a+b≤4,
得
32≤a≤3,0≤b≤32。(2)
又因f(-2)=4a－2b，所以3≤f(－2)≤12。
线性规划中的可行域可以直观形象地帮助我们可看到此种解法的错误之处。作出（2）式表示的可行域如图4，可清楚地看到图3中的可行域是图4的一部分，即由（1）到（2）后范围扩大了。
(四)线性规划在函数问题中的应用
对于某些与函数有关的问题，若善于利用已知条件构造线性约束条件，将问题换为线性规划问题求解，有时能起到事半功倍的效果。
例4已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在区间［－1,2］上是减函数，求a+b的最大值。
分析根据线性规划思想，可视t=a+b为目标函数，再由已知条件可知a,b的约束条件，即由f(x)=x3+ax2+bx+c在区间［－1,2］上是减函数，得出目标函数的可行域。这样，求a+b的最大值就转化为在可行域中求目标函数的最大值。
图4
解由题意知f′(x)=3x2+2ax+b,在［－1,2］恒有f′(x)≤0，
则
f′(－1)≤0,f′(2)≤0
即
3－2a+b≤0,12+4a+b≤0。
令t=a+b，其中a,b满足上述约束条件，作出这个约束条件下的可行域,如图5所示，当直线t=a+b过点a(－32,－6)时，tmax=－152。
容易验证:a=－32,b=－6时，f(x)在区间［－1,2］上是减函数，所以a+b的最大值为－152。
注本例题由函数的单调性，运用导数列出不等式即得出目标函数的可行域，将本例转化为求解目标函数的最大值，若直接运用函数的性质求解，显得繁琐且容易将范围扩大,因此，运用线性规划思想求解此类最值问题时既简捷又方便。
(五)与解析几何结合，求参数的范围问题
线性规划体现的是数形结合的思想，理解了这一点，则赋予了线性规划知识更广泛、更深刻的意义。在线性约束条件下，凡结论具有一定的几何意义的问题均可类比解决。
例5已知线段aB的端点为a(1,3)、B(5,2)，若动直线l:x+ty=－1t与线段aB相交，求参数t的取值范围。
图5
分析直线l可化为x+ty+1t=0。因线段aB与直线l有公共点。
由线性规划知识得
(1+3t+1t)(5+2t+1t)≤0,
而t2>0，所以化为
(3t2+t+1)(2t2+5t+1)≤0。
又3t2+t+1=3(t+16)2+1112>0,
所以再化为
2t2+5t+1≤0,
解得
－5－174≤t≤－5+174。
注1直角坐标系内有两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)直线l:ax+By+C=0，直线l和线段p1p2有公共点的充要条件是(ax1+By1+C)(ax2+By2+C)≤0。
注2按传统解法是从直线斜率出发，由动直线引出定点，通过对直线系探讨等决与线段有公共点的问题。而本题难以确定动直线所过定点，传统方法无法用上。现在利用线性规划知识构建不等式，就可以使问题得到圆满解决。
(六)概率问题转化为线性规划问题
概率是中学数学教材中新增内容，它在理论与实际生活中都有重要意义，在求解某些概率问题的过程中，若思路受阻，或很难找到突破口，可以借助坐标和一系列的等价变换，将一次试验可能结果的全体用某一图形的面积G来代替，然后将所求事件包含的结果数以线性约束条件的形式展现出来，若其相应的可行域的面积为g，则所求事件的概率为gG。
例6两人相约9点到10点在同一地点会面，早到的人要等另一个人20分钟才能离开，试求两人会面的概率。
分析以x,y分别代表两人到会面地点的时刻，则两人会面的充要条件为
|x－y|≤20,x,y∈［0,60］,即x－y≤20,y－x≤20,0≤x≤60,0≤y≤60
在直角坐标系中画出x,y的可行域（如图6的阴影部分）。显然两人可能到达的时间为图中正方形内（含边界）的点，阴影部分表示能会面的点，从而可利用其面积之比得概率为:p=602－12×40×40×2602=59。
注这是一道几何概率问题，用线性规划的思想可直观简捷的求解这类问题。本例题中有明确的不等式关系，可将其概括成不等式组，画可行域，用线性规划的思想解题。
线性规划是数学规划中理论较完整，方法较成熟，应用广泛的一个分支，它能解决许多方面的实际问题。它是直线方程的一个简单应用，也是数形结合数学思想的很好体现。文章是在了解线性规划的意义，以及线性约束、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，并且熟练掌握线性规划的图解法的基础上，运用数形结合的思想解决有关向量、函数、不等式、解析几何等方面的问题，使解决这些问题变得更加简便，同时也有助于数学思维能力的提高。
［参考文献］
［1］教育部.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社,2003.
［2］吴成强.线性目标函数最优解的探求.中学生理科月刊,2003（5）.
数学规划方法篇9
【关键词】人力资源规划；供给预测；企业战略
一、国外人力资源规划的研究
人力资源规划（HumanResourceplanning），按照英文直译过来就是人力资源计划，它是计划的一种，人力资源规划首先是一种计划的活动（planning），而不是一种已经形成的计划方案（plan）。因此在这种规划活动中规划主体具有能动性，计划的方案（plan）是作为能动性表现的规划活动（planning）所造就的结果。而作为文件或者方案的人力资源规划的内容是将合适的人员放到合适的岗位上，这种配置还只是一种配置的方案还不是现实的人力资源配置的活动，而这个活动则是其他的人力资源管理活动或者管理活动的手段，其目的为了提高企业人力资源的利用率。由此，才能更好的理解Jamesw.walker做出的对于人力资源规划的影响深远的定义，把合适的人放置到合适的岗位上从事有利于企业和个人共同发展的长期性、获利最大的工作，能够提高企业人力资源利用率的工作就是人力资源规划。Jamesw.walker这一定义影响了martinwanderson、KhoongC.m等，他们的体系中都使用了Jamesw.walker的这一定义。他们的文章中都沿这个定义。西方对于人力资源规划的认识并不是一下就达到了这一程度，而是在人力资规划几十年的研究过程中逐步积累的结果。人力资源规划的研究从较为孤立地研究人员管理、人员配置和人员提升等具体问题，发展到了与其他的人力资源活动相协调和企业总体战略相协调的综合计划。在方法上从单一的人员管理、配置和提升的着眼于某一个领域的方法到协调各个领域的方法的集合。
在《科学管理原理》发表的同时代，企业人力资源规划的重点是小时生成工人，由于科学管理思潮的兴起，进行初步的工作分析并选择适合且熟练的工人成为这一时期管理首要任务。这样做的目的无非是为了提高企业的生产效率，因此，如何合理安排工人（主要是小时工）成为人力资源规划活动所关注的主要问题。所使用的方法也是较为单一，但是数学方法已经作为解决人力资源规划的问题被首先采用了。科学管理思潮之后是梅奥的行为关系学派，这一学派在如何提高企业效率的问题下发展了人际关系理论。在这一个时期人力资源规划的内容与科学管理时期并没有太多改变，只是把关注点放到了人的需求人与人之间的关系上。经过管理效率的原始积累和西方企业社会化的优胜劣汰，到了战略管理兴起的时代，西方企业对于人才种类的需求日益多元化，并且企业内部重视人力资源的供求预测和平衡。面对多样化的工种和多样的人才种类，如何更好地实现人岗的匹配是一个重要的问题，只有达到适人适岗才能够从较为混乱的企业管理状态中发展出有序。因此，在这一个时代人力资源规划的内容更加丰富和完整，主要包括依据企业目标制定企业计划、内部人力资源需求预测、内部人力资源供给预测、人力资源净需求的确定、供需平衡方案的制定。人力资源规划的基本内容在这一个阶段得到了确立。
在进入管理理论丛林确立以后的第一个十年，西方人力资源规划的内容从企业扩大到了政府，并且由于战略管理学派的发展，人力资源规划涉及到了战略层次，人力资源规划的范围、内容和难度比前一个时期更大，之后，管理人员接班计划、人员精简计划及运用企业文化变革支持新的业务增长点，成为了新的研究内容。企业愿意接受临时工人，这对人力资源规划方法的要求更为精确，以便能够根据不断变动的内外环境来进行更为有效的人力资源规划。从20世纪60年代到80年代，研究者们通过运用理论思辨、实证及归纳总结等多种方法得到了很多有价值的研究成果，西方人力资源规划的研究理论比之前更为完善更为成熟。
在20世纪末，人力资源规划的研究的重点在人力资源规划对企业的人力资源、成本效益情况及对本企业竞争优势等的潜在影响。由于市场环境的加速变化，能够有效应对外部的环境变化并支持企业战略的人力资规划得到了重视，并且企业人力资源规划的制定更为灵活，人力资源规划时需要考虑的因素更多，在不同时期、不同外部环境下，企业很少会采用完整、确定的规划过程。
二、国内人力资源规划的研究
我国人力资源规划的理论和方法大都是借鉴国外的管理理论和方法的基础上形成的，人力资源规划的研究还处在起步的阶段，我国的人力资源规划工作较为薄弱，与国外的研究相比较还有较大差距。在劳动人事管理阶段，我国开展了对国外人力资源规划的学习并根据国内的情况进行人力资源规划的研究，在改革开放初期的劳动人事管理管理阶段，随着外资的进入和海外学者的归来，人力资源规划的学习和研究数量大大增加。到了人力资源管理的阶段，国内和国外的人力资源规划的文化差异逐渐被人们所认识。我国国内人力资源体系不够健全，与发达国家相比较我国的人力资源规划还存在较大的差异。在当前企业的人力资源规划还没有与企业的战略、市场变化等有效的结合起来。
三、国内外人力资源规划研究的比较
通过对国外人力资源规划和国内人力资源规划研究历史的比较可以得出以下结论：首先，在研究的范围上国外人力资源规划的研究较为广泛，我国人力资源规划的研究大多数限于企业。国外人力资源规划的研究范围较为广泛，不仅仅企业开展人力资源规划的研究，政府部门、军队、医院等也开展人力资源规划的研究，而我国人力资源规划的研究大多数限于企业，并且中小企业的人力资源规划的工作也不完善。其次，研究的内容。国外人力资源规划的研究涉及到了人力资源规划的各项内容并且重视人力资源规划与企业战略和市场的关系。而我国对于人力资源规划的内容则涉及人力资源供给预测和需求预测。第三，供给预测和需求预测方法上，国外侧重于使用数学方法对人力资源的供给、需求做出预测并根据供给预测和需求预测的结果进行供求平衡的决策。国内人力资源规划对于数学方法的应用不如西方，不太重视数学方法的应用。
我国人力资源规划的研究范围、内容和使用的方法上都应该进一步得到重视，才能够有效促进我国人力资源规划的理论和实践。
参考文献
[1]Jamesw.walker.evaluatingthepracticaleffectivenessofHumanResourceplanningapplications[J].HumanResourcemanagement.1986：13
[2]KhoongC.m..anintegratedsystemframeworkandanalysismethodologyformanpowerplanning[J].internationalJournalofmanpower.1996（17）
[3]martinwanderson.themetricsofworkforceplanning[J].publicpersonnelmanagement
[4]DyerLee.HumanResourceplanningGuide[m].newYork：RandomHouse，1986
[5]manziniandrewo..integratingHumanResourceandStrategicBusinessplanning[m].newYork：amacom，1986
[6]Craftjamesa.，CraigFleisher，GeraldSchoenfeld.HumanResourceCompetitorintelligence：Concept，Focus，andissues[J].HumanResourceplanning.1990，13（4）：265～280
[7]马为民.基于战略的HL公司人力资源规划设计[D].长沙：中南大学.2008
[8]曲小康.房地产企业人力资源战略规划研究[D].济南：山东建筑大学.2009
数学规划方法篇10
关键词:物流配送中心选址文献综述
在物流系统的运作中,配送中心的选址决策发挥着重要的影响。配送中心是连接工厂与客户的中间桥梁,其选址方式往往决定着物流的配送距离和配送模式,进而影响着物流系统的运作效率。因此,研究物流配送中心的选址具有重要的理论和现实应用意义。
本文对近年来国内外有关物流配送中心选址方法的文献进行了梳理和研究,并对各种方法进行了比较。选址方法主要有定性和定量的两种方法。定性方法有专家打分法、Delphi法等,定量方法有重心法、p中值法、数学规划方法、多准则决策方法、解决nphard问题(多项式复杂程度的非确定性问题)的各种启发式算法、仿真法以及这几种方法相结合的方法等。由于定性研究方法及重心法、p中值法相对比较成熟,因此,本文将主要分析定量方法中的数学规划、多准则决策、解决nphard问题的各种启发式算法、仿真在配送中心选址中应用的研究状况。
数学规划方法
数学规划算法包括线性规划、非线性规划、整数规划、混合整数规划和动态规划、网络规划算法等。在近年来的研究中,规划论中常常引入了不确定性的概念,由此进一步产生了模糊规划、随机规划、模糊随机规划、随机模糊规划等等。不确定性规划主要是在规划中的C(价值向量)、a(资源消耗向量)、b(资源约束向量)和决策变量中引入不确定性,从而使得不确定规划更加贴近于实际情况,得到广泛地实际应用。
国内外学者对于数学规划方法应用于配送中心的选址问题进行了比较深入的研究。姜大元(2005)应用Baumol-wolf模型,对多物流节点的选址问题进行研究,并通过举例对模型的应用进行了说明,该模型属于整数规划和非参数规划结合的模型。各种规划的方法在具体的现实使用中,常常出现nphard问题。因此,目前的进一步研究趋势是各种规划方法和启发式算法的结合,对配送中心的选址进行一个综合的规划与计算。
多准则决策方法
在物流系统的研究中,人们常常会遇到大量多准则决策问题,如配送中心的选址、运输方式及路线选择、供应商选择等等。这些问题的典型特征是涉及到多个选择方案(对象),每个方案都有若干个不同的准则,要通过多个准则对于方案(对象)做出综合性的选择。对于物流配送中心的选址问题,人们常常以运输成本及配送中心建设、运作成本的总成本最小化,满足顾客需求,以及满足社会、环境要求等为准则进行决策。多准则决策的方法包括多指标决策方法与多属性决策方法两种,比较常用的有层次分析法(aHp)、模糊综合评判、数据包络分析(Dea),topSiS、优序法等等。
多准则决策提供了一套良好的决策方法体系,对于配送中心的选址不管在实务界还是理论方面的研究均有广泛的应用与研究。关志民等(2005)提出了基于模糊多指标评价方法的配送中心选址优化决策。从供应链管理的实际需要分析了影响配送中心选址的主要因素,并建立相应的评价指标体系,由此给出了一种使定性和定量的方法有机结合的模糊多指标评价方法。Chen-tungChen(2001)运用了基于三角模糊数的模糊多准则决策对物流配送中心的选址问题进行了研究。文章以投资成本、扩展的可能性、获取原材料的便利性、人力资源、顾客市场的接近性为决策准则,并对各个准则采用语义模糊判定的方式进行了权重上的集结。
有关多准则决策方法,特别是层次分析法和模糊综合评判的方法,在配送中心的选址研究中有着广泛的应用。但是,这两种方法都是基于线性的决策思想,在当今复杂多变的环境下,线性的决策思想逐渐地暴露出其固有的局限性,非线性的决策方法是今后进一步的研究的重点和趋势。
启发式算法
启发式算法是寻求解决问题的一种方法和策略,是建立在经验和判断的基础上,体现人的主观能动作用和创造力。启发式算法常常能够比较有效地处理nphard问题,因此,启发式算法经常与其它优化算法结合在一起使用,使两者的优点进一步得到发挥。目前,比较常用的启发式算法包括:遗传算法;神经网络算法;模拟退火算法。
(一)遗传算法
遗传算法(geneticalgorithm,Ga)是在20世纪60年代提出来的,是受遗传学中自然选择和遗传机制启发而发展起来的一种搜索算法。它的基本思想是使用模拟生物和人类进化的方法求解复杂的优化问题,因而也称为模拟进化优化算法。遗传算法主要有三个算子:选择;交叉;变异。通过这三个算子,问题得到了逐步的优化,最终达到满意的优化解。
对于物流配送中心的选址研究,国内外有不少学者将遗传算法同一般的规划方法结合起来对其进行了研究。蒋忠中等(2005)在考虑各种成本(包括运输成本等)的基础上,结合具体的应用背景,建立的数学规划模型(混合整数规划或是一般的线性规划)。由于该模型是一个组合优化问题,具有nphard问题,因此,结合了遗传算法对模型进行求解。通过选择恰当的编码方法和遗传算子,求得了模型的最优解。
遗传算法作为一种随机搜索的、启发式的算法,具有较强的全局搜索能力,但是,往往比较容易陷入局部最优情况。因此,在研究和应用中,为避免这一缺点,遗传算法常常和其它算法结合应用,使得这一算法更具有应用价值。
(二)人工神经网络
人工神经网络(artificialneural-network,ann)是由大量处理单元(神经元)广泛互连而成的网络,是对人脑的抽象、简化和模拟,反应人脑的基本特征。可以通过对样本训练数据的学习,形成一定的网络参数结构,从而可以对复杂的系统进行有效的模型识别。经过大量样本学习和训练的神经网络在分类和评价中,往往要比一般的分类评价方法有效。
对于神经网络如何应用于物流配送中心的选址,国内外不少学者进行了各种有益的尝试。韩庆兰等(2004)用Bp网络对物流配送中心的选址问题进行了尝试性地研究,显示出神经网络对于解决配送中心选址问题具有一定的可行性和可操作性。
这一研究的不足是神经网络的训练需要大量的数据,在对数据的获取有一定的困难的情况下,用神经网络来研究是不恰当的。在应用ann时,我们应当注意网络的学习速度、是否陷入局部最优解、数据的前期准备、网络的结构解释等问题,这样才能有效及可靠地应用ann解决实际存在的问题。
(三)模拟退火算法
模拟退火算法(Simulatedannealing,Sa)又称模拟冷却法、概率爬山法等,于1982年由Kirpatrick提出的另一种启发式的、随机优化算法。模拟退火算法的基本思想由一个初始的解出发,不断重复产生迭代解,逐步判定、舍弃,最终取得满意解的过程。模拟退火算法不但可以往好的方向发展,也可以往差的方向发展,从而使算法跳出局部最优解,达到全局最优解。
对于模拟退火算法应用于物流配送中心选址的研究,大量的文献结合其它方法(如多准则决策、数学规划等)进行了研究。任春玉(2006)提出了定量化的模拟退火遗传算法与层次分析法相结合来确定配送中心地址的方法。该方法确保总体中个体多样性以及防止遗传算法的提前收敛,运用层次分析法确定物流配送中心选址评价指标权重,并与专家评分相结合进行了综合评价。该算法对于解决物流配送中心的选址具有较好的有效性和可靠性。
除以上三种比较常用的方法之外,启发式算法还包括蚁群算法、禁忌搜索算法、进化算法等。各种算法在全局搜索能力、优缺点、参数、解情况存在着一定的差异。各种启发式算法基本上带有随机搜索的特点,已广泛地应用于解决nphard问题,同时也为物流配送中心选址的智能化处理提供了可能。用解析的方法(包括线性规划等)建立数学模型,然后运用启发式算法进行求解是目前以及未来研究物流配送中心选址的一种较为可行和可操作的研究方法。
仿真方法
仿真是利用计算机来运行仿真模型,模拟时间系统的运行状态及其随时间变化的过程,并通过对仿真运行过程的观察和统计,得到被仿真系统的仿真输出参数和基本特征,以此来估计和推断实际系统的真实参数和真实性能。国内外已经不少文献将仿真的方法运用于物流配送中心选址或是一般的设施选址的研究,研究结果相对解析方法更接近于实际的情况。
张云凤等(2005)对汽车集团企业的配送中心选址运用了仿真的方法进行了研究。先确定了配送中心选址的几种方案,应用了Flexim软件对各方案建立了仿真模型,根据仿真结果进行了分析和方案的选择。该方法为集团企业配送中心选址问题提供了一种较为理想的解决方法。薛永吉等(2005)通过建立数学模型对物流中心的最优站台数问题进行研究,在一定假设和一系列限制条件下,求解最优站台数量,并针对数学模型的复杂性和求解的种种不足,以aRena仿真软件为平台,建立仿真模型确定了最优化方案。KazuyoshiHidaka等(97)运用仿真对大规模的仓库选址进行了研究。该研究对仓库的固定成本、运输成本,和同时满足6800名顾客进行了仿真,以求得临近的最优解(near-optimalsolution)。在求解的过程中,结合了贪婪-互换启发式算法(Greedy-interchangeheuristics)和气球搜索算法(BalloonSearch)两种启发式算法进行求解。该算法能比较有效地避免陷入局部最优解和得到比较满意的选址方案。但是,研究的结果容易受到运输车辆的平均速度变化的影响。
仿真方法相对解析的方法在实际应用中具有一定的优点,但是,也存在一定的局限性。如仿真需要进行相对比较严格的模型的可信性和有效性的检验。有些仿真系统对初始偏差比较敏感,往往使得仿真结果与实际结果有较大的偏差。同时,仿真对人和机器要求往往比较高,要求设计人员必须具备丰富的经验和较高的分析能力,而相对复杂的仿真系统,对计算机硬件的相应要求是比较高的。关于未来的研究,各种解析方法、启发式算法、多准则决策方法与仿真方法的结合,是一种必然的趋势。各种方法的结合可以弥补各自的不足,而充分发挥各自的优点,从而提高选址的准确性和可靠性。
物流配送中心的选址决策对于整个物流系统运作和客户满意情况有着重要的影响。本文在对国内外有关物流配送中心选址方法文献研究的基础上,对比分析了数学规划方法、多准则决策、启发式算法、仿真方法在配送中心选址中的应用。研究发现数学规划方法、多属性决策方法、启发式算法、仿真方法各自有自己的优缺点和一定的适用范围,各种方法的组合研究是未来研究的一种趋势。同时,由于选址问题本身具有的动态性、复杂性、不确定性等特性,因此,开发和研究新的模型与方法也是进一步解决配送中心选址问题的必需途径。
参考文献: