数学与应用数学的认识篇1
关键词：高中数学教学数学知识认知结构教学应用
引言
通过对高中数学教学情况的实际调查，笔者发现了这样一种现象：大多数学生对于教师课堂所授的知识内容都能听懂和掌握，却无法准确将其应用于现实生活中解决实际问题，这种现象并未因课程改革的深化而得到解决，究其根源就在于我们忽视了对学生自我认知能力的培养。对于大多数高中生而言，数学知识学习无非就是知识的理解和掌握及数学学习能力的增强，而依据实际调查的现状分析，学生应用数学知识处理问题的能力、对于现实生活实践的认知能力都存在一定的问题，这些问题成为阻碍学生数学能力提高的最大障碍。针对这样的问题，笔者认为只有将“知识与认知相结合”的学习策略有效应用到高中数学教学中，才能真正提高学生的数学学习能力及应用数学知识解决问题的能力。
一、阐明数学认知结构的涵义
显而易见，数学认知结构与数学知识结构是两个完全不同的概念，数学认知结构是一个主观的动态过程，而数学知识结构则是以静态的、客观的状态存在。本文所阐明的数学认知结构，则是指数学知识结构通过学生头脑的反复思维和不断加工形成的一种模式。总体来说，就是学生在不断学习的过程中培养和形成的知识构建能力、自我认知能力和数学学习能力的能力系统。这些能力包括以下三类：一是对于数学知识概念、公式的概括能力;二是学生在解决数学问题的过程中，选择切实可行的数学方法的能力;三是数学知识结构建模的能力及解决数学问题的能力。
二、高中数学知识的特征
（一）较强的抽象性。
譬如函数、集合等这些数学知识内容都不是具体的、直观的，而且立体几何的内容也都缺乏直观性和具体性，这给学生预留了思维想象的空间，推进了学生想象和思维能力由直观型、经验型向理论型、抽象型的转变。
（二）较大的密集性。
高中数学知识内容过于纷繁芜杂，每一章节的知识密集性加大，对于学生来讲，上一节的新授知识还未来得及掌握和消化，又一节新的知识接踵而至，给学生的感觉是看似听懂和掌握了新授知识，但是做课后作业时却显得捉襟见肘。
（三）较强的独立性。
高中数学知识各章节的内容都具有相对的独立性，具有各自鲜明的个性特征，由此必须努力发掘各章节内容和各部分内容之间的关联，这是提高学生数学学习能力的着力点。
（四）较强的应用性。
高中教材知识内容都是借助于大量的实地取材、一些实际问题而实现新知识的引入，为基础知识的讲授提供基础的实际背景，使学生切实感受到应用数学知识解决实际问题的成功体验，加深学生对数学知识的理解，形成数学学习的应用意识。
三、“知识与认知相结合”在高中数学教学中的应用
（一）教师积极引导学生不断强化自身的认知策略。
居于高中数学内容复杂性的特征，也不是所有学生都能自主形成一定的认知策略，这就需要通过教师的有效引导实现，教师可借助于客观的载体或采取切实可行的措施，指引学生自主进行“知识与认知的结合”，在头脑中构建起解决问题的知识系统模型，促使他们形成一定的认知策略。譬如，在讲授“几何概型”的教学中，笔者就注意到学生对于“拿一段长度3m的绳子，将其拉直，随意在哪个位置剪断，那么所剪两段的长度都不小于1m的概率有多大”这个问题存在理解上的偏差，他们无法理解将绳子三等分的意义，而教师可以就此引导学生实现知识与认知的结合，逐渐培养他们形成一定的认知策略。笔者将问题中的1m变为0.5m，并引导学生逐渐掌握此类问题计算概率关键在于如何构建剪断模型，可借助作图的方式认识到所剪位置处于绳子的具体哪段。这种具体化几何面、几何体的概率计算，可采用类似的方式，学生对于测度的概念便有了深刻理解，于是就掌握了几何概型中如何计算概率的方式。接下来，对于几何概型的概念和概率计算的公式进行“回顾”，使学生逐渐领悟如何构建一个系统的数学概念，这与教师的积极引导是分不开的。
（二）着力构建起旧知识向新知识过渡的认知结构。
有效学习其中关键一点就是学生自主将所学新知识与其认知结构中存在的旧知识进行紧密联系，这就需要构建起旧知识向新知识过渡的认知结构。首先要激发学生构建认知结构的兴趣。兴趣是最好的老师，有了极大的兴趣，才能发掘出内在的灵感和智慧。由此，教师应将抽象化的理论知识尽量具体化、直观化，可借助于直观的图形、贴切的比喻和恰当的实例。例如，在“算法初步”一章教学中，可借助于典型实例（一元二次方程求解、二元一次方程求解、函数作图等），引入基本算法的思想和结构，接下来通过“秦九韶算法”、“进位制”等为例，指引学生自主开始模仿和操作，构建起新旧知识的认知结构;此外，还可以利用连续的定义与植物的生长形成认知结构，利用导数的概念与运动变化形成认知结构，这样能最大限度地激发学生建构认知结构的兴趣，加强学生对于新概念和新知识的理解和掌握。其次，应积极营造适宜的问题情境，只有切实从学生所熟悉的现实生活中捕捉实例，才能唤醒学生的问题意识，才能使学生自主构建起他们脑海中的认知结构。教师所设计的问题情境的方式和难度要适中，在讲授函数连续性的内容时，可设计这样的问题：温度呈连续变化状态，那么，10分钟、1分钟或0.01秒的时间我们能感受到其变化吗？让他们逐渐领悟函数连续性的概念，还可以用“多米诺骨牌”帮助学生构建起数学归纳法的概念模型。
（三）利用数学知识的外在、内在美学构建认知结构。
数学知识蕴含了深刻的美学特性，具备外在的美、内在的美，具备形式的美、内容的美，具备思想的美、方法的美。由此，在高中数学教学中，就需要有效利用数学知识的美激发学生的兴趣，陶冶学生的情操，同时应积极引导学生从数学美的角度构建起稳固的认知结构。首先，善于利用数学的外在美，无论代数中的公式，抑或是几何中的图形都会给人一种和谐的美感，可以借助于数学计算软件绘制平面或立体图形，在展现这些知识外形美的同时，可以引入欧拉公式加强对于数学公式的理解和掌握。其次，挖掘数学知识的内在美，可利用罗比达法则感受求出极限的快捷，利用幂函数促进强对于函数研究的深入，便能构建起知识与认知结合的认知结构。此外，应善于发现数学神奇的美，数学知识神奇的美往往是“出人意料”，例如，将两个圆柱体沿上端往下垂直截开，将此截面展开后，发现其截线对应的曲线竟是一条正弦曲线;所谓“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，…这个数列竟然诠释了大自然中的很多奥秘，像向日葵的圆盘、花朵的瓣数，等等;而且，这个数列还使黄金比例1.618的分割率得以验证，就是说此数列每一项与其后面相邻一项比的极限为黄金分割律，学生被这些令人震叹的美深深吸引。
结语
总体来看，高中数学知识有其一定的复杂性，而认知策略才具备丰富的研究和拓展空间，由此，我们必须依据高中生的个性特征，帮助他们实现知识与认知的有效结合，培养他们形成自我认知策略的意识和能力，从而为学生的终身学习和发展奠定坚实的基础。
参考文献：
[1]蒋志强.从数学认知结构谈数学教学方略[J].常州轻工职业技术学院学报，2006（12）：23-26.
[2]潘启文.高中数学教学认知与探讨[J].中国教育技术装备，2010（02）：31-32.
数学与应用数学的认识篇2
(一）总体目标
通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：
获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；
初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；
体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；
具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。
具体阐述如下：
知识与技能
经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
数学思考
经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。
经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念。
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
解决问题
初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。
形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。初步形成评价与反思的意识。
情感与态度
能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
以上四个方面的目标是一个密切联系的有机整体，对人的发展具有十分重要的作用，它们是在丰富多彩的数学活动中实现的。其中，数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。
(二）学段目标
第一学段（1～3年级）
知识与技能
经历从日常生活中抽象出数的过程，认识万以内的数、小数、简单的分数和常见的量；了解四则运算的意义，掌握必要的运算（包括估算）技能。
经历直观认识简单几何体和平面图形的过程，了解简单几何体和平面图形，感受平移、旋转、对称现象，能初步描述物体的相对位置，获得初步的测量（包括估测）、识图、作图等技能。
对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验，掌握一些简单的数据处理技能；初步感受不确定现象
数学思考
能运用生活经验，对有关的数字信息作出解释，并初步学会用具体的数描述现实世界中的简单现象。
在对简单物体和图形的形状、大小、位置关系、运动的探索过程中，发展空间观念。
在教师的帮助下，初步学会选择有用信息进行简单的归纳与类比。
在解决问题过程中，能进行简单的、有条理的思考。
解决问题
能在教师指导下，从日常生活中发现并提出简单的数学问题。
了解同一问题可以有不同的解决办法。
有与同伴合作解决问题的体验。
初步学会表达解决问题的大致过程和结果。
在他人的鼓励与帮助下，对身边与数学有关的某些事物有好奇心，能够积极参与生动、直观的数学活动。
在他人的鼓励与帮助下，能克服在数学活动中遇到的某些困难，获得成功的体验，有学好数学的信心。
了解可以用数和形来描述某些现象，感受数学与日常生活的密切联系。
经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性。
在他人的指导下，能够发现数学活动中的错误并及时改正。
二、全册教学要求
1、熟练地数出数量在20以内的物体的个数，会区分几个和第几个，掌握数的顺序和大小，掌握10以内各数的组成，会读写0—20各数。
2、初步认识加减法的含义和加减法算式中各部分名称，初步知道加法和减法的关系，比较熟练地计算一位数的加法和10以内的减法。
3、初步学会根据加减法的含义和算法解决一些简单的实际问题。
4、认识符号“－、＞、＜”，会使用这些符号表示数的大小。
5、直观认识长方体、正方体、圆柱、球、长方形、正方形、三角形和圆。
6、初步了解分类的方法，会进行简单的分类。
7、体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
8、认真作业，书写整洁的良好习惯。
9、通过实践活动体验数学与日常生活的密切联系。
三、全册教材分析
这一册教材包括下面一些内容：数一数，比一比，10以内数的认识和加减法，认识图形，分类，11—20各数的认识，认识钟表，20以内数的进位加法，用数学，数学实践活动。认数和计算，比较多少、长短和高矮，简单的分类，以及初步认识钟面，使学生获得数数基本知识和基本技能的同时，发展数学能力，培养创新意识和实践能力，建立学习和应用数学的兴趣和信心。
四、全册教学重点、难点
10以内的加法和20以内的进位加法，这两部分内容和20以内的退位减法是学生学习认识数的计算的开始。在日常生活中有广泛的应用，同事它们又是多位数计算的基础。因此，一位数的加法和相应的减法是小学数学中最基础的内容，是学生终身学习与发展必备的基础知识和基本技能，必须让学生切实掌握。
五、课时安排
（一）数一数1课时
（二）比一比2课时
（三）1—5的认识和加减法10课时
1、1---5的认识3课时
2、加减法的初步认识5课时
3、0的认识和有关0的加减法2课时
（四）认识物体和图形3课时
（五）分类2课时
（六）6—10的认识和加减法20课时
1、6、7的认识和加减法5课时
2、8、9的认识和加减法5课时
3、10的认识和有关10的加减法4课时
4、连加、连减、加减混合4课时
整理和复习2课时
实践活动1课时
（七）11-20各数的认识4课时
（八）认识钟表2课时
（九）20以内的进位加法11课时
1、9加几3课时
2、8、7、6加几4课时
3、5、4、3、2加几3课时
整理和复习1课时
实践活动1课时
（十）总复习4课时
六、改进教法提高教学质量的设想
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
数学教学，要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情境，使学生通过观察、操作、归纳、类比、猜测、交流、反思等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展思维能力，激发学生的学习兴趣，增强学生学好数学的信心。
教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，设计适合学生发展的教学过程。要关注学生的个体差异，使每一个学生都有成功的学习体验，得到相应的发展；要因地制宜、合理有效地使用现代化教学手段，提高教学效益。
(一)让学生在现实情境中体验和理解数学
在本学段的教学中，要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握必要的基础知识与基本技能。
(二)鼓励学生独立思考，引导学生自主探索、合作交流
数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。
为了使学生更好地进行独立思考、合作交流，教师应鼓励学生发现问题、提出问题，敢于质疑，乐于交流与合作。要防止学生的合作流于形式，强调在个人独立思考基础上的合作，以及通过合作与交流来开拓思路。
(三)加强估算，鼓励解决问题策略的多样化
估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感，具有重要的价值。
教学中应尊重每一个学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不的方式表达自己的想法，用不同的知识与方法解决问题。鼓励解决问题策略的多样化，是因材施教、促进每一个学生充分发展的有效途径。例如，在学习两位数乘法时，可以鼓励学生运用自己已有的知识背景，探求计算结果，而不宜教师首先示范，讲解竖式笔算的法则和算理，限制学生的思维。
(四)重视培养学生应用数学的意识和能力
本学段学生的知识、能力、情感和态度都处在浅显的阶段，应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。综合应用是培养学生主动探索与合作学习的重要途径，教师可以通过下面案例的教学过程，培养学生应用数学的意识和综合运用所学知识解决问题的能力。
数学与应用数学的认识篇3
(课程教材研究所副编审)颜其鹏
在中学数学教学实践中，存在的一个问题是：数学教学只重视教而相对地忽视学，只重视教学方法、教学手段等的改革，而相对地忽视对学生学习规律、学习方法等的探索。这样，造成了目前数学教学虽费时较多，但教学效果并不太佳。总结上述教训，笔者认为，提高数学教学质量的关键在于根据学生学习数学的心理机制和教学内容进行数学教学。为此，本文在对学生数学认知结构、数学学习过程进行较为系统的分析和探讨的基础上，提出了一些相应的数学教学策略。
一、数学认知结构
所谓数学认知结构，笔者认为，它是数学知识结构与学生个体心理结构相互作用的产物，是学生头脑中的数学知识、技能按照自己的感知、记忆、表象、想像、思维等认知操作，组成的一个具有内部规律的整体结构，是数学知识结构“内化而来”的。
数学知识经验系统是学生头脑中已有的数学知识、经验及其组织，它包括数学基础知识和数学技能两个要素。
数学基础知识是学生头脑中已有的数学事实、结论性知识及其组织特征。它是学生经过数学学习后所形成的经验系统，包括数学概念，数学语言，数学公式、符号，数学命题，数学方法以及它们的组织网络。
数学技能是相应于数学基础知识发生、发展和应用过程中而产生的，顺利完成数学活动任务的复杂的动作系统。它包括数学操作技能、心智技能等。
事实上，学生的数学知识经验越丰富，知识的组织越合理，就越容易内化外界输入的信息，并吸收它为自己的数学认识结构中的一部分。比如，学生对于二元一次方程组、一元二次方程的解法掌握得比较牢固，对解方程或方程组的“消元、降次”思想理解得比较好，那么就很容易掌握二元二次方程组、简单的高次方程的解法。
(二)数学认知操作系统是指学生在已有的数学知识经验系统的基础上，运用感知、想像、数学思维等对数学信息(新知识)进行操作，处理的较稳定的个性认知特征，它可进一步概括为数学能力，其核心是数学思维能力，而表现和衡量的标准则是数学认知品质(如认知的目的性、敏捷性、全面性、准确性、深刻性等)。
认知操作系统是由一定年龄阶段学生的认知发展(即智力发展)水平和特征所决定的，它反映了学生的认知(智力)发展状况，具有相对稳定性，但又表现出较大的个体差异，因此，它是教师进行因材施教的根据。
(三)数学元认知系统就是个体对自己数学认知活动的监控、调节系统，是学生进行数学认知活动的中枢指挥系统。表现在学生主体根据数学活动的要求，选择适宜的认知操作方法进行认知活动，并监控认知活动进行的过程；同时，还不断地分析反馈信息，及时调节自己的认知过程和策略。
数学元认知的实质就是学生的数学观念或数学素养，是学生用数学思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识和习惯。
从上面对数学认知结构要素的分析可以看出，数学认知结构具有下列的功能：1.选择。当数学信息(新知识)刺激时，数学认知结构必须对已有的数学知识经验进行过滤，分化，以找出与新知识有所联系的已有的知识经验；2.同化，即用已有数学知识经验去说明、解释并容纳数学新知识；3.顺应。由于主体数学认知结构具有自我意识和自我调节能力，当原有数学认知结构不能容纳数学新知识时，则主体对原数学认知结构进行改造，以便同化新知识；4.预见。个体通过数学认知结构能从整体上把握数学事实或结论，从而产生数学直觉，显然，直觉带有一定的预见性质；5.迁移与运用，即数学认知结构中的知识经验、认知操作系统或元认知系统都可以影响后继数学学习、其他学科学习和解决实际问题。
正因为数学认知结构具有上述功能，可以说数学认知结构是数学认知活动赖以进行的心理结构，同时，形成良好的数学认知结构又是数学认知活动的总目标。
二、数学学习过程的模式
对于数学学习过程，我们认为是在特定的学习情境中，在数学教师的主导下，学生主体对数学知识的认知活动过程，在这个过程中，学生的数学认知结构在学习数学的情感系统的参与和影响下，不断地对数学新知识进行认知操作，结果导致学生的数学认知结构和学习数学的情感系统不断地变化和发展，从而达到数学学习目标的要求。
(一)数学学习的新内容是数学学习的客体，它是数学教材所叙述的数学事实(如数学语言、符号、公理、原始概念等)，数学概念、数学原理(如数学定理、命题、定律、公式等)、数学技能(包括操作技能、心智技能)等知识组成的，是在一定时间限度内学生所要掌握的知识。因此，它可指一节课的内容、一节或一章的内容，也可指一门数学分支等。
数学情境是指学生学习数学新知识的外部环境，包括教师创设的数学教学情境，课堂学习气氛等，它伴随着教师教学活动的深入而直接地、持续地与整个数学学习活动发生相互作用，甚至决定数学学习效果。
(二)数学学习的准备可以分为认知准备和情感准备两个方面。认知准备指学生原数学认知结构，是学生进行数学学习的必要条件(先决认知条件)，情感准备是学生能否专心于数学学习过程中的心理条件，它一般由先前数学学习效果、先前其他学习、对数学学习价值的认识和数学学习动机、学习态度、情绪、意志等情感因素所决定的。
(三)学生有了适当的学习准备后，当数学信息(数学新知识)刺激大脑时，大脑就通过学习情景与数学信息发生相互作用，从而进入了学习的内化阶段。
内化阶段包括定向、联想、同化或顺应等几个心理过程。
1.在学习的定向阶段，首先，学生从对学习情境所提供的背景关系的俯瞰全貌式的概览开始，不断的探究、领悟新知识的价值和特点，从而使原数学认知结构与新知识发生认知冲突，这种冲突使得他们在心理上产生学习新知识的认知需要和学习动机，从而促使他们调用原认知结构去处理新知识，进行认知活动。其次，学生通过感官的作用，辨别数学新知识的特征(如数学符号、术语、公式、图象等)，并把它和已有的数学知识经验联系起来，从而分化出数学新知识的本质特征和非本质特征。最后，通过对本质特征和非本质特征的区分，概括出新知识的有意义的东西，获得了数学新知识的表象和结构，即潜在意义。
2.知觉到新知识的潜在意义后，要达到对新知识的理解，还需要新旧知识相互作用，这一思维过程从联想开始。
联想即把原数学认知结构中与数学新知识有联系的知识经验(如概念、命题、术语、思想方法等)分化出来，以提供内化新知识的衔接点和组织者。它包括选取原数学认知结构中与新知识有关的知识经验，区分新旧知识的异同，分化与新知识有本质联系的知识经验等几个环节。对于复杂的数学学习(如问题解决)，联想是创造性思维的第一步，即它能综合已有的知识，在对问题情景的整体把握基础上，构造出新问
题的基本结构和模型，从而对问题的解决提出假设。
例如，中学生在学习矩形概念时，他们从日常生活和小学学过的长方形概念中取得了潜在意义；然后，通过联想，从原数学认知结构中分化出内化新知识的衔接点——平行四边形概念和性质。
联想的结果，使新旧知识建立了实质的、非人为的联系。接着，学生可以运用已分化出的知识经验来内化新知识，并且以同化和顺应两种形式来进行。
3.同化是利用原数学认知结构的数学知识经验去说明、解释并容纳数学新知识。例如，学生学习矩形的概念就是利用平行四边形概念进行同化的过程。
顺应是指当原数学认知结构不能有效地容纳数学新知识时，主体将对原数学认知结构进行改造，以适应新知识的学习。顺应的过程是：对新知识进行归纳、概括，对原数学认知结构进行改造和整理，从而使新旧知识建立密切联系，新知识被纳入到学生的数学认知结构中，原数学认知结构得到改造并扩大。例如，初一学生学习代数初步知识，就是通过顺应来进行的。尽管他们在小学学过算术，但算术与代数的不一致性，使他们只能改造头脑中已有的算术知识结构，通过字母代表数的学习，才逐渐掌握代数知识。
如果说同化的作用是改造新数学知识使之与数学认知结构相吻合的话，那么顺应则是改造原认知结构以适应学习新知识的需要，因而同化只能从量上丰富原数学认知结构，顺应则能从质上改变数学认知结构，不过，同化和顺应往往存在于同一个认知活动中，在同化中有顺应，而在顺应中，尽可能先同化。例如，数系的一系列扩张，就是旧数系顺应新数系，而新数系则尽可能保持旧数系的原有法则，这是一个实质上顺应，形式上同化的过程。
值得指出的是，不管同化或顺应，总要对原有数学知识经验和新知识作出重新评价。即使新知识可作为原数学知识经验的补充和完善，原数学知识经验的某些部分也应重新分类、重新形成概念，并且这一过程还特别需要元认知系统的监控、调节。
经过同化和顺应后，新数学知识纳入了学生数学认知结构中，原数学认知结构发生了变化。但是新旧知识的相互作用并未停止，新知识的保持和遗忘就是同一相互作用的继续。因此，只有采用一定的强化措施，才能巩固所获得的新知识。
(四)强化阶段是数学新知识的进一步理解和巩固阶段，它是通过练习、形成性评价、小结(概括)、灵活运用等方式而实现的。
1.练习过程是学生把数学新知识初步运用于具体情境中的过程。通过练习，可以使自己对新知识的理解程度有明确的认识，从而起反馈作用；可以使自己对新知识的理解更完整化、具体化，从而进一步保持和长时间巩固新知识，并形成技能；同时，还有助于提高学生的学习兴趣，维持良好的学习动机。有时，练习还可以使学生产生整体感受，从而为领悟数学整体的突出性质——数学思想打下基础。
课堂例题、课堂练习、课外作业等都可看作是练习。
2.应当说，形成性评价是以检验学生对学习内容的领会程度为标准的，因而它应贯穿于数学新知识意义的获得和保持过程的始终。它又包括教师课内诊断和学生自我评价两个方面。教师对学生的课内诊断一般通过观察、提问和形成性测试等手段进行。学生的自我评价一般是从教师的评价、原数学认知结构中元认知的监控和调节作用以及练习中得出的，它也包括认知和情感两方面内容。
通过形成性评价后，学生对于自己掌握新知识的情况有所了解，从而调节自己进一步努力的方向；同时，教师可对症下药，采取补救措施。
3.小结是指在获得新知识的意义并通过练习(通过变式和具体运用，抓住本质特征)后，用最简单、最经济、概括性最强的术语对新知识加以组织，使数学新知识变为具有概括性，能融合于已有知识经验中的基本概念、基本命题、公式甚至思想等，从而使新知识更加巩固。通过小结，新知识由于其概括性而具有更大的迁移价值，即还能影响后继学习和运用它们解决问题。
4.新知识的灵活运用过程是指创造性地利用新知识去解决数学问题及其他问题的过程。实际上，解决问题是在对问题情景和题目条件的整体把握的情况下，利用原数学认知结构从整体的角度把握问题的实质，再结合数学知识经验调动各种数学思维成分(如逻辑思维、直觉思维、发散思维和辐合思维等)的参与，从而提出尝试性模型(假设)，并检验假设以达到目的。
灵活运用是检查学生数学学习效果的综合性指标，也是数学学习的最高目标。
(五)数学学习效果包括认知成果和情感变化两个方面。
经过学习的内化和强化阶段后，在认知方面的成果是：新知识被纳入到学生的数学认知结构中，形成了新的数学认知结构，并且新知识被概括化、整体化，具有迁移作用，另外，形成了较强的技能，发展了能力。对于具体的学习，情感变化不会太大，但对于一单元，一门分支的数学学习，学生对于数学价值的认识、学习动机、学习积极性等均会有一些变化，具体讨论略。
(六)以等腰三角形概念的学习为例，说明概念学习的过程。
1.学习的内容：等腰三角形的概念，学习的准备：原数学认知结构中三角形的概念、三角形全等的性质和判定。
2.内化阶段：首先(由教师根据图形)给出“有两条边相等的三角形是等腰三角形”这一定义和本质属性，并给出相应的腰、顶角、底角的定义，这样学生可以分化为等腰三角形概念的本质特征和非本质特征；其次，学生将新概念(等腰三角形)与原认知结构中的知识经验(三角形、全等三角形)联系起来，把新概念纳入原有概念(三角形)中，并认识到新概念是原有三角形概念的限制；最后，运用变式和肯定、否定例证进一步突出概念(等腰三角形)的本质属性，并对概念的各种属性进行分类，如辨别下面图式，可得出等腰三角形能分为等边三角形和腰与底边不相等的等腰三角形，同时还可得出等腰三角形两底角相等等。
3.强化阶段：通过练习和小结，学生既能利用定义去判定等腰三角形，还能利用等腰三角形两腰相等的性质去解题；同时，等腰三角形的概念还可纳入三角形的概念系统中。
三、从数学学习过程看数学教学策略
所谓数学教学策略是指数学教师对数学课堂教学所作的系统决策和设计。它包括设置数学学习情景的策略，呈现数学教学内容的策略，选择数学教学方法与教学辅助手段的策略，教学效果的检查和评价的策略等。
从对数学学习过程的分析可知，数学教师的作用在于促使学生数学学习过程中的几个阶段顺利地进行，以达到良好的数学学习效果为目标。相应地，数学教学策略就应当围绕着促使学生形成良好的数学认知结构和学习数学的情感系统来制定。下面我们根据学生数学学习过程的模式来讨论数学教学策略。
(一)选择和分析数学教学内容(备课)的策略。
数学认知结构是内化的数学知识结构，而数学知识结构又是通过数学教材反映出来的，故选择和分析数学教学内容，必须立足于教材，但又不能照本宣科，还要对教材进行居高临下的剖析和重新组织，使它成为促进学生数学认知结构发展的相对完善的知识结构。具体地：
1.分析和领会单元数学知识结构，并按事实(术语、符号等)、技能、概念、原理等几方面对教学内容进行分类，以弄清教材中的知识分布情况；在此基础上，以整体观点为指导，瞻前顾后，随时把本单元的知识与其他内容联系起来考虑，以此克服知识的离散性，使学生学习时容易形成经纬交织，融会贯通的知识网络，同时有助于内化和保持新知识。
2.在分类的基础上，分析本单元教学的重点和难点。所谓重点，就是知识的中心点，即单元或学科领域中核心的基本的知识点，它在抽象性、包摄性、概括性程度上高于其他知识，理解了中心点的知识，其他知识的掌握就顺理成章了。然后考虑以突破重点、难点为核心，并参照教学大纲和教学方案分配的教学时数，安排课时和教学顺序。
3.根据各类知识学习的特点和学生的认知特点确定教学方法以及相应的教学辅助手段和各种教学材料。
事实上，教学方法的选择和组合，同教学内容的特点、学生的认知发展水平及差异是紧密联系在一起的。虽然现在数学教育书刊上所提的数学教学方法很多，但适合所有类型知识学习的方法是没有的，不同知识的学习只能采用不同的教学方法，这就是所谓“教无定法”的实质。
4.备课时，还应考虑如何设置学习情景，如何进行形成性测试，如何进行小结，以及例、习题(包括练习题)的配备等。
(二)实施教学的策略。
数学教学过程是教师的教和学生的学的双边统一的活动过程，是教师通过数学教学活动促使学生顺利地进行数学学习活动的过程，是学生的数学认知结构的形成和发展的过程。相应于学习过程，实施教学的策略有：
1.设置学习情境，激发学习兴趣——具体讨论略。
2.课前评价和弥补的策略。
从对数学学习过程的分析中我们看到，学生的原数学认知结构中已有的数学知识经验对数学新知识学习的影响极大，关系到是否能内化新知识。为此，在讲解新课前，必须进行诊断性评价，以查明学生的认知准备状况。
诊断性评价一般是通过复习提问、诊断性测试和观察等方式进行的。
如果学生具有了内化新知识的知识经验，则教师可通过练习、小结等来巩固已有的知识经验(常与诊断性测试同时进行)。
如果学生不具有同化新知识的知识经验，则应采取补救措施——提供先行组织者。先行组织者是先于学习任务本身而呈现给学生的引导性知识，它常比学习任务有更高的抽象、概括和综合水平，或能清晰地使学习任务与原数学认知结构的知识经验之间相联系。因此，先行组织者的最大作用是能提高数学认知结构中适当的知识经验的可利用性，即在新旧知识之间架起一座桥梁。
在教学中，教师可运用类属的先行组织者和比较的先行组织者等两种形式。
类属的先行组织者是介绍给学生一种他们不熟悉的、比新知识有更大包容性、概括性的材料，学生可利用这个材料作为框架来内化较具体的新知识，这种例子在数学教材中常可见到。如要学习平行四边形，先介绍四边形这一概括性较强的材料，再用它来内化平行四边形的有关概念及性质。
比较的先行组织者是把学生比较熟悉的材料介绍给他们，以帮助学生把新概念和原理与以前学过的概念和原理结合在一起。如若把正弦函数和余弦函数定义为单位圆上的函数，这时把代数函数作为一个比较的先行组织者，就可运用代数函数概念把熟悉的代数概念和原理与不熟悉的三角函数概念和原理结合起来。
3.数学新知识呈现的策略
(1)在新知识呈现之前，教师可对单元知识结构作概括性介绍，即用具体、形象的语言，用最基本的常识性概念来勾勒单元整体的轮廓(包括新知识的大致特点，学习的目标和要求等)，从而使学生发现单元整体的特点，对新知识获得总的印象，并明确学习的目的和价值，产生学习的动机。同时，还有利于学生对新知识的潜在意义的认识，促使内化过程中定向和联想阶段的顺利进行。
(2)教师呈现或讲述新知识应遵循下列几条准则：
①应尽可能保证学习材料本身的意义性，即使学习内容具有潜在意义——对于特定的名词、概念或原理可通过联想来获得，对于抽象的材料，则尽可能以直观材料和形象为背景，即按具体与抽象相结合的原则进行。
②应以有意义讲授法和指导发现法为基本教学方法，辅以其他教学方法(如讨论法、自学法、探究法等)进行教学，并且启发式教学思想应贯穿于教学过程的始终。
采用有意义讲授法教学时，教师应将学习内容以优化的形式直接呈现给学生，以促进学生快速有效地把新知识内化和巩固。优化的形式反映了知识本身的逻辑结构，知识的整体结构和学生的认知规律，一般地，不同类型知识的学习有不同的优化形式(具体讨论见下面)。
事实上，接受学习不但可以是有意义的(新旧知识可建立起实质的、非人为联系是有意义的标准)和积极主动的，而且还省时、经济和高效(即在短时期内可掌握单元或学科的基本结构)，故大量的数学知识可通过有意义讲授法教学。
指导发现法就是教师对新学习的内容不是直接呈现给学生，而是只给学生一些提示性线索或问题，由学生进行探索、发现新知识的意义，然后加以内化、巩固的教学方法。如概念的形成、问题解决等的教学均用此法。
实施指导发现法时，应创设问题情境，引起学生认知冲突，激发探索欲望；应帮助、指导学生理解和领会课题结构以保证学生在有意义的思考路线上进行判断、选择和探索，避免盲目/！/瞎猜的无效活动。总之，发现法的指导要掌握分寸，恰到好处，使学生经过一系列的思维活动能发现材料的意义并加以内化。
由于每一数学教学单元中常要采用不同的教学方法，因而教学中多种方法的衔接也很重要。另外，不管采用什么教学方法，都应把启发式教学思想贯穿于其中。具体地，应把握：在新旧知识的结合点，应强调新旧知识的联系，特别是难点和疑难问题，要给学生思考的部分线索，这样有利于学生同化或顺应新知识；对于数学知识经验，解题的思想和方法，要启发学生进行概括，以使学生容易从整体上把握数学知识结构；要通过启发，使学生掌握自我评价方法，从而提高对思维活动、认知能力的自我意识水平。
③呈现教材的优化形式是以“渐进分化”、“逐次抽象”和“综合贯通”等三种方式进行。
“渐进分化”是指按概括性和包容性大小的顺序呈现教材，即首先呈现最一般的、概括性的知识，然后呈现较特殊、较具体的知识，最后呈现具体的、特殊的事实、概念或细节，这种从金字塔的顶到底的呈现方式有助于学生同化新的知识，获得材料的意义。例如，现行初中课本中“四边形”一章内容即是按此方法呈现的。
即：多边形四边形平行四边形矩形菱形正方形
“综合贯通”要求组织和呈现内容时，应注意学科中处于同一包容水平上的概念、原理和章节知识的异同——联系和区别，以消除数学认知结构中知识间的矛盾和混淆，从而有利于同化或顺应新知识。
事实上，学生学习困难的重要原因之一就是，看不到数学知识间的联系和区别，从而不能进行有效的知识间的转换或迁移。
“逐次抽象”是指按从具体到抽象，从零散的、个别的事实逐步地循序渐进地提炼出一般概念和原理的方式来呈现教材。这样呈现的方式比较符合学生的认知发展水平和思维规律，适合教材的演绎规则，特别适应于处于具体思维年龄阶段的小学生的学习。
(三)从上述的论述和对数学学习过程的论述中，可知数学教学过程中应注意下列几个问题。
1.注意思维过程
学生数学认知结构的形成和发展，是经过一系列数学认知(思维)活动过程而得到的。因此，教师在讲授数学知识的同时，也要注意让学生在数学知识的建立和发展过程(如概念的提出、解题思路的探索、解题方法和规律的概括与归纳过程等)，数学知识的运用过程中进行思维。同时，数学知识的潜在思维价值和智力价值也有赖
于教师的挖掘和揭示，使学生能感受、体验到数学知识所包含的深刻的思维和丰富的智慧，从而提高学生的学习兴趣，发展学生的思维能力。
2.注意数学知识间的比较和转化过程
数学学习过程中的每个环节或阶段，几乎都要使用比较。如果没有比较，就没有抽象概括，感性认识也不能上升到理性认识。因此，教师教学时恰当地应用比较，就能为新旧知识的联系和新知识的内化打下基础。
例如，学习解二元二次方程组时，教师通过把它与一元二次方程，二元一次方程组进行比较就能使学生掌握解二元二次方程组的基本思想——消元与降次。
如果说比较可使新旧知识建立联系，那么转化则可把新问题化归为旧问题(利用比较)，然后利用已有的知识进行突破。因此，如果教师能恰当地运用比较，把新知识转化或化归，则有利于内化新知识。
3.注意数学思想方法的有机渗透
数学知识蕴含着数学思想方法，数学思想方法又影响数学知识的学习。因此，教师如能在进行数学知识教学的同时，注重数学思想方法的有机渗透和统帅作用，则有助于学生形成一个既有肉体又有灵魂的活的数学认知结构，有助于促进学生数学能力的发展和运用数学知识解决实际问题能力的提高。
4.注重数学知识的抽象和概括过程
在数学学习中，抽象概括过程是认清数学对象的本质，从感性上升到理性的桥梁，它应贯穿于数学学习与数学教学过程的始终。事实上，概念是对一类事物的属性的概括，数学技能是对一系列数学活动方式的概括，数学思想则是数学知识结构的概括特征。而只有概括了的一般概念和原理才具有较大的迁移力，故在数学教学中要注重抽象和概括(归纳和小结均可看作是概括)。
数学与应用数学的认识篇4
关键词：数形结合；小学数学；模型
“数无形时少直觉，形少数时难入微”，这句话形象、生动、深入地指明了“数形结合”思想的价值，也揭示了“数形结合”思想的本质。在小学数学教材中，特别注重数形结合思想方法的渗透。教学中很多地方要借助数形结合的方法来完成知识的生成、理解和知识网络的构建过程。在对小学1~6年级的数学教材进行系统梳理、分类归纳的同时，我们对“数形结合”的意义有了更深入的理解。通过实践研究，初步形成了一些渗透“数形结合”思想的方法和策略。
一、数形结合思想方法在小学数学教材中的渗透点整理
虽然在小学阶段不讲数轴，不讲直角坐标系，不讲函数图形等，但小学阶段是“数形结合”思想意识培养的重要时期。“数形结合”思想方法的渗透从小学一年级就开始了，通过对小学1~6年级的数学教材进行系统梳理、分类归纳，我们发现数形结合的思想方法在教材中有着广泛的体现。
附：数形结合思想在小学数学教材中的渗透点整理
一年级（上册）:
数尺的应用1~5的认识和加减法6~10的认识和加减法11~20各数的认识
数射线的应用：11~20各数的认识（第一次出现数射线，重点引导学生理解和运用）
渗透线段图的教学1~5的认识6~10的认识
一年级（下册）：
数射线的应用：100以内数的认识
渗透两个量的“直观复线并列图”：一个数比另一个数多（少）几”，即求相差数
二年级（上册）：
数射线的应用表内乘法找规律
线段图的应用倍的初步认识解决问题
二年级（下册）：
线段图的应用：解决问题（求一个数是另一个数的几倍）。增加线段图教学完全可以帮助学生更好地理解倍数关系。（两个量之间的关系）
三年级（上册）：
数射线的应用：分数的初步认识
模型的应用：分数的初步认识（这是教材中面积模型的第一次出现，利用“面积模型”初步理解分数的意义，比较分数的大小、计算简单的分数加减法。）
线段图的应用万以内的加减法分数的初步认识
三年级（下册）：
数射线的应用：小数的初步认识
模型的应用小数的初步认识连乘应用题连除应用题笔算除法
四年级（上册）：
模型的应用：笔算除法
线段图的应用：行程问题
四年级（下册）：
数射线的应用：小数的意义
模型的应用乘法分配律小数加减法小数的意义和性质
线段图的应用归一问题植树问题
五年级（上册）：
模型的应用：小数除法
线段图的应用：双归一问题
六年级（上册）：
模型的应用：分数乘法
线段图的应用：分数、百分数应用题
六年级（下册）：
数轴的应用：负数
模型的应用：分数除法
二、数形结合思想的渗透方法
1.用好“数尺”“数射线”或“数轴”“数与形”相结合，帮助学生建立完整数的体系
虽然一年级学生对抽象的点、线还没有认识，也没有一一对应的意识，但他们已经具有一定的生活经验。例如，每个学生都有自己的座位，这其中既有“一一对应”，也有点的概念。再如，让他们去数物体的个数，他们虽然很有可能数错，也不知道“一一对应”思想，但他们会努力一个对一个地数准确。另外，学生对直尺非常熟悉，我们可以将直尺抽象为“数尺”，将抽象的“数”有规律、有方向地借助看得见的“数尺”形象、直观地表示出来。将数与“位置”（还没有点的概念）建立一一对应的关系，既有助于理解数的顺序、大小，又有助于理解数列的规律。
“数射线”与“数轴”的运用不但能够帮助学生树立形象直观的数的大小比较的概念，而且可以将“数”与直线上的“点”建立一一对应的关系。任何两个点之间都存在无数个点，即任意两个数之间都存在无数个数。如此，随着学生对数的认识的扩展，从正整数、0、分数、小数、负数，我们也不断扩充对数射线的认识（从最初的正整数的标注、“0”表示起点的标注，到小数、分数的标注。随着学生对数射线认识的深入，他们对数系的认识也趋于完善。）直到学生到六年级认识了负数，我们就完成了由“数射线”到“数轴”的初步转化，学生也建立起了较为完善的在实数范围内的数的体系概念。
2.借助“图形模型”理解数的意义及运算算理，“数”与“形”再次结合
利用小棒或学具等实物进行教学，这至多算是“数形结合”的雏形。而“图形”的引入，可以帮助我们将抽象的数学概念、运算、规律等知识还原分解，实现文本和图形的有效结合。教学中充分利用好点子图、线段图等一维空间图形，长方形、正方形、圆形等二维空间图形，长方体、正方体等三维空间图形可以帮助学生更好地理解数学知识，使小学数学学习过程直抵数学本质。例如，在小学数学中的很多数学概念、算理及算式的意义等的教学，都可以利用“面积模型”，帮助学生体验知识的生成过程。典型案例如下：
小数的意义是比较抽象的数学概念，小数的性质也是抽象的数学规律，小学生掌握这些知识是有一定困难的。如果把抽象的数学知识与具体的图形联系起来，挖掘和利用概念的直观成分，能有效地降低教学的难度。在这节课里利用“面积模型”即大正方形表示整数“1”，它的十分之一、百分之一、千分之一分别表示成一位小数、二位小数、三位小数等。这种模型形象直观，便于学生操作和理解。
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数学与应用数学的认识篇5
教材结构问题可以说从有教材时就提出了。人们对教材结构的研究是随着教材的发展不断深入的。早期的小学算术教材基本上是按照成人学习算术的顺序，采取直线前进的编排方式。后来人们逐渐认识到，按照成人的学习顺序编排教材，学生学习起来有一定的困难，教学内容的编排应该与儿童的年龄阶段相适应，于是就出现了圆周式（或称螺旋式）的编排方式。
随着学习心理学研究的不断发展，出现了许多新的教育思想，推动了小学数学教材的变革。20世纪初，杜威的儿童中心论，强调教育应该从儿童的兴趣出发，课程应该心理化。随后有人倡导“单元教学”，即把算术内容分别组织在各个生活单元之内。这种教育与心理相结合的编排，比较适合儿童的年龄特点，对以后的小学教育改革有很大影响，但不足的是不能使学生获得系统的算术知识。以后，有人提出“程序教学”的思想，即把教材的内容分解成一个一个的小步子，让学生根据自己的实际情况，采取适当的进度。这种思想，对学生的学习过程进行了比较深入的研究，对以后的学习过程的研究也有很大启示。但由于学生的差异很大，因而程序教学不能使大多数学生达到基本的教学要求，教材的编写也比较繁琐。
针对上述教材改革的经验和教训，60年代兴起了教育现代化运动（简称：新数运动），一些教育家、心理学家提出要注重理解学科的基本结构。在这种思想的影响下，小学数学教材改为主要按数学的逻辑顺序来编排。由于这种编排过多地强调了数学的逻辑顺序，忽视了儿童的年龄特征和认知规律，给教学带来了很大困难。“新数运动”后，各国都在探索教育改革的新路。80年代后期，各国都相继提出了教育改革的新方案。这些方案不是对“新数运动”的简单否定，而是在过去改革的基础上，努力克服以往的缺点，使之更适合儿童学习的特点。
二、教材结构内涵的研究
什么是教材结构？不同的历史时期有不同的认识，目前还没有完善的定义。比较有代表性的观点主要有以下几种。
1．教材结构要反映学科的知识结构
这种观点的代表人物是美国的心理学家布鲁纳。按他的说法，一门学科的知识结构，就是学科的基本概念、基本原理、基本方法以及它们之间的相互联系。他认为：懂得基本原理可以使得学科更容易理解；懂得基本原理、观念有助于长期记忆，就是在部分知识遗忘的时候，也能得以重新构建起来；领会基本的原理和观念，是通向适当的“训练迁移”的大道；领会结构能够缩小“高级”和“初级”知识之间的差距。他的这些观点的主要意思就是，学生懂得了学科的基本结构，就可以理解和掌握整个学科的基本内容，并能够促进迁移。基于以上观点，他提出了一个假设：“任何学科都能够用在智育上是正确的方式，有效地教给任何发展阶段的儿童。”这一思想不仅对当时“新数”教材有很大影响，就是在现在美国的小学数学教材以及其他一些国家的教材中仍有它的影响。
2．教材结构就是教材的组成部分和编写形式
叶立群先生认为“教材的结构指的是教材有哪几部分，哪几种形式组成的。”另外，王策三先生在《教学论稿》谈到教学大纲和教科书的结构时，认为教科书一般由目录、本文、作业、图表与附录构成，这种观点侧重于教材的编写体例。
3．从学科内容和儿童年龄特征两方面综合构建教材
周玉仁先生在《小学数学教学论》中谈到教材体系和结构时，指出：“小学数学教材结构是在综合考虑数学本身的逻辑规律以及小学生认识规律和心理发展水平的前提下，用数学的基本概念、基本规律、基本事实和基本方法联系起来的整体。这个整体不是知识、原则的罗列和拼凑，也不是各部分数学知识的简单求和，而是一个上下贯通、纵横交叉、紧密联系的知识网络。”再如，曹飞羽先生认为“一个学科的教材结构必须是能反映这个学科的各要素、各成份（包括知识、技能、智能、思想观点等）之间合乎规律的组织形式。……它的组织形式必须考虑学生的认知心理特点和认知的方法，便于使学科的知识结构转化为学生的认知结构。”
在教材结构的这几种观点中，笔者比较倾向于第三种。因为它既考虑了学科知识本身的联系，又考虑了学科知识与学生认知规律的结合。如果一个教材结构把这些问题都处理得很好，就可以使学生比较容易地形成一个学科知识的认知结构。
三、建立合理教材结构的几点认识
从前面的简单回顾可以看到，小学数学教材的结构经历了一个曲折的发展过程。变革的中心问题，都是如何看待和处理数学的逻辑顺序和学生的心理发展顺序的关系。对于这个问题，笔者想谈几点学习体会。
1．应认真研究每部分知识的特点，以及它对培养能力的作用
数学知识的每一部分都有自己的特点和对某些能力培养的优势，只有对此有比较明确的认识和理解，才能较好地发挥它们的作用。在这方面我们已经有丰富的实践经验，但还需要认真总结提炼，把经验性的内容上升到理论高度，以此指导教材的编写工作。
2．应深入研究学生学习数学的特点和规律
学生学习数学的规律有共性，这从大多数国家编写的教材就能反映出来。但是每个国家的学生都有自己的特点，所以每个国家的教材都有自己的特色和特性。因此我们在研究学生学习数学的特点和规律时，不能总是引用外国心理学家的理论。这是因为任何研究都是受时间、地点、条件的制约的，人的认识也因此受到制约。学生年龄特征和认识规律在总体上是由低向高发展的。但在具体年龄段的划分上有很大的差异。且随着社会的发展，人类的进步，学生的年龄特征也不是一成不变的。所以我们要根据我国的政治、经济、科学技术和社会环境等具体情况进行研究，按照我国学生学习数学的特点和规律来编写数学教材。否则，老走别人的老路，就不可能编出有中国特色的教材。
3．要精心设计教材结构
教材结构的建立必须经过大量研究，认真策划，教材的每一部分都必须精心设计。教材与一般的书不同，它的每一部分都应该经得起反复推敲。否则，教材就会显得深一脚浅一脚，这个矛盾不解决很难提高教材编写的质量。
4．应注意数学知识的内在联系
一个合理的教材结构，其知识间纵横联系必然是比较紧密的，搭配是合理的。如果不能做到这一点，教材结构就不太合理。如义务教材在纵横联系方面就有不足。第三册教材基本上是表内乘、除法，加减法和其他内容很少，而第四册教材基本上是加减法。这种搭配就不能说合理。学生在一学期接触的总是类似的知识，对激发学生的学习兴趣不利。
四、我国教材的结构及其特点
要研究教材结构，除了研究外国的教材外，还应对本国的教材有所认识，下面介绍一下我国小学数学教材的结构及特点。
小学数学的主要教学内容包括：数与计算、量的计量、几何、代数、统计知识等几部分知识。
1．数的认识
数的认识小学阶段主要教学整数、分数、小数及其相关的一些知识。在整数方面根据我国的计数特点和低中年级学生的学习特点，分五个阶段：“20以内”、“100以内”、“万以内”、“亿以内”、“亿以上”。分数、小数各分两段：先初步认识，再系统教学。初步认识一般安排在三年级，在学生有了一定的整数基础时教学，并且先教学分数再教学小数。系统学习一般安排在四、五年级，先教学小数，再教学分数。这主要是考虑到，分数的书写形式和运算法则跟整数都不一样，并且需要有整除的知识作为基础，学生接受起来比较困难。小数和整数都是十进制，小数的写法和运算法则与整数的基本相同，学生接受起来比较容易，因此先教学分数后教学小数。由于前面已经安排了分数的初步认识，为小数的教学作好了准备，所以这样编排既符合儿童的学习规律，又不违背数学的逻辑顺序。
2．计算
小学数学计算教学的主要内容是：整数、分数、小数的四则计算。计算的编排是配合着数的认识进行的，数的认识每扩展一次，就配合有相应的计算。例如，整数的认识分为五段，每一段都安排有计算的相关内容。在“20以内”学习一位数加法和相应的减法；在“100以内”重点学习两位数加减法，在“万以内”重点学习三、四位数的加、减法和乘数、除数是一位数、两位数的乘、除法。在“亿以内”，重点学习乘数、除数是三位数的乘、除法，四则运算中各部分间的关系，以及一些简便算法。在“亿以上”，重点教学自然数和整数的概念，十进制计数法，整数四则运算的意义，运算定律等。
计算内容的编排有这样几个特点。
（1）加强算理的教学。通过操作直观加强算理教学，如，教学一位数除两、三位数时，一方面从已学的口算引入，帮助理解笔算除法的过程，另一方面结合直观，说明每次除的顺序和商的书写位置，使学生更深刻地理解竖式计算中每一步的含义。
（2）注意各种计算方法的适当配合。小学数学主要教学：口算、笔算、珠算、估算、简算几种计算方法。这几种方法都是密切联系着的，具有相辅相成的作用。其中口算不仅是笔算的基础，也是学习估算和简便算法的基础。因此把一般它安排在每种运算教学的开始，在此基础上教学笔算。掌握一定的笔算之后，又有助于口算能力的提高。珠算具有一定的直观性，可以帮助学生加深对数位、相同数位对齐、进位、退位的理解，一般把它安排在加、减法笔算之前。估算安排在笔算之后教学，可以提高学生检验笔算的能力。同时在估算时，又要用到一些口算，又有助于提高口算能力。简便算法对一般的口算和笔算方法来说，属于特殊情况，需要根据某些运算定律采取特殊的计算方法。简便运算需要一定的口算和笔算基础，因此放在每种运算最后教学。教材就是根据各种计算方法之间的内在联系，把它们合理地加以安排，使其相互配合。
3．量与计量
小学数学中量与计量的主要内容有：长度单位、重量单位、时间单位、面积和体积单位。这些计量单位的进率不完全相同，且有些计量单位比较抽象，而学生在这方面的感性认识比较贫乏。因此，这方面的内容采取分散编排的原则。
（1）由具体到抽象编排。在上面的几种计量单位中，长度单位、重量单位比较直观具体，学生在日常生活中接触得比较多，掌握起来比较容易，所以先进行教学。而时间单位比较抽象，看不见，摸不着，难以用比较形象具体的事物表现出来，且进率又是60进制。所以后进行教学，让学生在积累了一些量与计量的学习经验基础上来学习，这样编排比较符合儿童的学习特点。
（2）注意与认数、计算和几何知识的配合。由于学习计量知识需要有数与形的知识作基础，因此编排时，教材注意与相关知识的配合。如，米和厘米安排在100以内数的循环圈内，毫米、分米、千米安排在万以内数的循环圈内。而面积、体积单位与几何图形的面积、体积计算联系紧密，所以安排在几何知识的教学中。
4．几何知识
几何知识从一年级起有计划地分散在各册教学，主要分三个阶段。
（1）初步认识。这一阶段，一方面出现一些常见的几何形体，把它们作为教具帮助学生认数和理解计算法则。另一方面教学一些几何形体的初步认识，如，长方形、正方形、三角形、圆；长方体、正方形、圆柱、球。通过直观操作活动，使学生初步认识这些图形的特点，并能够区分它们。
（2）平面图形特征的认识。这一阶段，是在前面初步认识的基础上进一步认识图形的特征，并教学相应的周长和面积的计算。如，长方形、正方形的认识，一年级已初步认识，到这一阶段，就要进一步认识它们的特征：它们都有四条边，都是对边相等；正方形的四条边都相等；它们都有四个角，每个角都是直角。并教学它们的周长和面积。
（3）立体图形的认识。这一阶段主要教学一些立体图形的特征和相应的表面积、体积计算。
5．代数知识
小学数学的代数知识一般都是在算术知识基本结束，在比、比例知识之前进行代数初步知识的教学。分三个阶段。
（1）渗透孕伏阶段。从一年级开始通过安排一些用括号或其他符号表示数的练习，如，出现3＋＝9，16－＝8，6×（）＝30等算式。这里的和（）都代表一个具体的数。这种练习形式多次重复出现后，学生对用符号表示数就比较容易理解了。
（2）用字母表示数阶段。这一阶段先结合加法和乘法的运算定律以及几何图形的面积、体积计算，教学用字母表示运算定律和计算公式，使学生体会到用字母表示数量关系比较简明的优越性。然后再正式教学用字母表示数，使学生知道用字母表示数的意义和作用。
（3）简易方程阶段。这一阶段先结合四则运算各部分间的关系，出现求未知数x，列出含有未知数的等式解简单应用题。在此基础上再正式教学简易方程。
6．统计知识
统计知识教材是采取分散与集中相结合的方式编排，并注意与计算、应用题的联系。为了加强对统计思想和方法的认识，提高学生运用统计方法解决简单的实际问题的能力，义务教材在编排上，做了两点改革。
（1）把求平均数作为一种统计思想方法进行介绍，不再作为一种应用题。
（2）统计初步知识分散编排。在低年级渗透了一些简单的统计图表，中年级教学简单的数据整理和简单的求平均数的方法，高年级教学数据的收集和整理、统计表和较复杂的求平均数的方法，以及较复杂的统计表和统计图。
五、对教材内容及其结构进一步的研究与思考
虽然我们的教材改革取得到一定的成绩，但是随着时代的发展，科学技术的进步，教材中已有一些内容和方法不太适应社会发展的需要，因此我们的教材结构应贴近时代要求。在教材结构方面，笔者认为以下几个问题仍然值得进一步探讨。
教材结构体现时代特点的问题随着科学技术的空前发展，国力竞争的增强，社会对教育提出了新的要求，要求培养出具有创新意识、创新能力和具有实践能力的人才。小学数学作为义务教育的一门主要学科，应该对此作出及时的反映，小学数学教材结构应反映出时代特点。
（1）估算问题。
随着先进而简单的计算工具的广泛使用，社会生活对笔算技能的要求降低了。同时由于需要处理大量的、变化的信息，对口算、估算能力的要求提高了。但是目前我们的教材，估算仅作为选学内容，且呈现的形式比较单调，没能体现出对学生估算能力培养的完整意图。因此，要加强估算，应首先把它作为正式的必学的内容确定下来，并且渗透到各个年级。不仅有计算的内容要安排相应的估算，而且还要配合几何、量的计量、应用题等内容进行。要把估算作为一种非常重要的思想方法来培养，使学生学会用估算的方法去观察问题解决问题。
（2）引进计算器的问题。
随着计算器在日常生活和工作中的逐步普及，在小学数学中引入计算器已逐渐受到人们的关注。计算器的使用，可以代替机械性的计算，使学生把时间和精力转移到理解数学、探讨数学和应用数学上去。因此，可以考虑在适当的年级（如中、高年级）引入计算器，允许学生在验算、面积和体积计算以及统计数据等时使用，以节省教学时间，提高正确率及学生的学习兴趣。
（3）加强统计知识的问题。
我们已经步入信息时代，大量信息需要我们去收集、整理、进行分析并得出结论。统计的思想、方法在各方面的应用日益广泛。应该把这些思想、方法变成学生分析问题、解决问题的自觉行动，要达到这一目的，需要比较长的时间进行渗透、教学。因此，我们应该把统计知识分散在各年级教学，从一年级开始结合数的认识、计算、几何知识等内容教学。并且还要加强实际活动，提出一些符合学生日常生活实际的问题，让学生寻找条件，收集数据，进行整理、筛选出有用的数据，选取合适的条件来解决这些问题。这样既可以提高学生的学习兴趣，又可以培养学生将实际问题转化成数学问题并加以解决的能力。
（4）应用题改革的问题
应用题在我国小学数学中是份量比较重的一个内容，经过多年的经验积累，已形成了自己独特的教学体系，它的改革是比较困难的。笔者认为：我国的应用题教学，在培养学生思维能力方面还是有其独到的作用，但在培养学生运用数学知识解决简单的实际问题的能力方面还比较薄弱，可以借鉴一些“解决问题”的思想，从培养学生解题策略方面进行适当的改革，使应用题的教学更符合儿童的生活实际，这样既可以提高学习兴趣，又有助于培养学生将实际问题转化为数学问题并加以解决的能力。
2．小学数学教学内容的分段问题
数学概念的发展是一个不断反映现实世界数量关系和空间形式的矛盾和不断解决这些矛盾的过程，儿童的认知发展也是一个由浅入深经历多种水平或阶段的渐近过程。因此安排小学数学教学内容时，应根据各部分内容的分量、难易的程度以及学生的年龄特点适当划分阶段。如，分数的概念比较难建立，需要在不同层次上有适当的重复。目前教材一般都是分两段编排：先初步认识，再系统教学。这种编排比较符合数学的逻辑顺序，在整数知识的基础上教学分数，不仅使学生看到了数的扩展，而且掌握起来也比一开始就学容易。但不足的是由于分段较少，两段内容的差异较大，且相距的时间较长，给学生的理解和记忆造成了一定困难。因此，分数教学的分段还有待于进一步研究。在研究时，一方面要注意各阶段应有不同的重点，要循序渐进，逐步提高；另一方面也要注意防止把知识分得过细，或出现不必要的重复。这一原则不但适用于分数，也适用于其他的内容。
3．教材与教学过程的关系问题
教材是为教学服务的，教材的编写应该考虑教学的实际需要。教材应不应该体现教学过程？从目前我国的师资水平考虑还是应该有所体现。这样既可以减轻教师的备课负担，又可以为教师提供课堂教学的基本模式，虽然这样编排可能显得比较死板，但对教师把握教学要求还是有帮助的，同时也不限制好教师的正常发挥。因此，在考虑教材的编排时，要认真研究各部分知识的教学过程。
4．与其他学科的联系与配合问题
数学作为工具性学科，一方面要注意适应别的学科的需要，如，学习常识、地理需要用到一些计量，数学要在不增加学生负担的前提下，尽量提前安排。另一方面，数学需要其他学科的知识做基础。如，应用题的学习，需要学生有一定的识字和阅读能力，因此在安排应用题时，除了要考虑应用题本身的系统和难易外，还要考虑到语文学习的进度，要在语文课给学生打下初步的识字、阅读基础之后，再安排应用题。
5．联系实际的问题
将数学知识和实际联系起来，可以使学生正确认识数学乃至科学发展的道路。目前，我们的教材在反映生活实际，培养学生应用数学的意识方面，与时代要求还有距离，需要进一步改革。要改变这种现状，一方面要注意新知识从现实生活问题引入，使学生借助这些有实际背景的问题，加深对所学的数学知识的认识和理解。另一方面，数学作为一门工具性学科，还应安排一些联系实际的习题和实践作业，以培养学生解决实际问题的能力，使学生在将数学应用于实践的过程中，创新意识和创新能力得到逐步培养。
参考文献：
《教育过程》（美）布鲁纳著邵瑞珍译陆亚松校文化教育出版社1982年第1版
《小学数学教育改革文集》曹飞羽著人民教育出版社1996年第1版
《小学数学教学论》周玉仁主编中国人民大学出版社1999年第1版
《教学论稿》王策三著人民教育出版社1985年第1版
《教育学文集课程与教材（下册）》瞿葆奎主编陆亚松李一平选编人民教育出版社1993年第1版
《数学教育研究导引》张奠宙主编江苏教育出版社1998年第2版
《小学数学教材教法》中央电化教育馆卫星电视教育教材办公室主编北京师范大学出版社1986年第1版
数学与应用数学的认识篇6
(1)情景转换。数学问题情景是学生掌握知识、形成能力、发展心理品质的环境,是沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象概念之间的桥梁。因为只有在各种有益的环境中,才能诱发学生思维的积极性,调动学生形成知识、经验、策略、模式、感受。那么如何才能让情景与高中数学很好的结合起来,并能拓展深入呢?这就要搞好数学中三种语言的表示方式的关系,即是:文字语言、图形语言、符号语言。从情景中的问题提炼成文字语言表达方式,再用图形语言一般化进入分析理解,理解好了就可以用符号语言表示出来进行推理运算。有意识的对这三方面进行相互转换就能提高学生的素质能力。同时也是解答考题能力的根源所在。
(2)数学认识。我们把对数学认识与掌握的水平分为三层。显然认识、理性认识、深度认识。学习数学就是在这三个层次之间,不断提高与升级。解释一下这三层的意思。
显然认识:就是一看就明白,在脑子里想想就能马上得出结论的知识与题目。达到这样的认识水平,就把这知识视为“显然认识”的认识水平范畴。也称“无纸化做题”。其实每个人都有这样的认识水平,如二直线平行同位角相等、一的对数为零等。可我们还能不能提高与扩大这样的认识范围呢?答案是肯定的。
理性认识:就是看到就会做,不过要用纸笔算算才能得出结论。理性认识的问题占大多数。可我们的这么多理性问题中有没有可以通过训练而达到显然认识呢?有一些是可以的,也是有必要的。也只有这样才能真正提高数学水平!高考也是这样来考察学生的水平的。故而有很多学生说高考数学时间不够,如能给我一早上的时间一定能考个高分。是啊!不是你不会只是你太慢,那为什么会慢呢?没有有意识的琢磨与训练过“无纸化做题”水平还不行吧!
深度认识:不是所有问题都是一看就能有方法的!有些是要好好分析再三研究才能找到解法。这也是高考考察的一部分。有些同学就是无法做这样的题,这是何故?很简单就是没有自己琢磨与研究的习惯。一味的听从别人的方法,这样的学习已成为现在学生的陋习。就好像只有武功秘笈才能提高水平。决不知秘笈之由来。学习就是尽力的总结分析理解把部分深度认识提高到理性认识水平。
(3)思想应用。多数教师都热衷于培养学生的创新意识,尽力让高中数学与实际生活联系,提出学而用之的思想!可如何应用又谈得肤浅直截,不足以体现数学广泛之魅力。谈其培养创新意识,又寻不到其思维源泉,使得创新很牵强。
难道数学就是加加减减,搞搞统计吗?如果我们这样认为那数学真是枯瘦无汁,魅力暗淡。在这样的引导下学生自会给数学扣上“枯燥”的帽子。实际上数学是指导人们认识世界万事万物的思维源泉。潜于人们的头脑之中。就像电脑的操作系统,每天必用而又感觉不到在用它!数学的应用更广更深的是数学思想方法。
数学与应用数学的认识篇7
关键词：高中数学；发展思维；实践体会
新课标版考试大纲在考查要求中指出：“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构。”近年在高考卷更是突出了各知识中数学本质的考查，课堂关注数学本质的教学，经历过程、教少学多，成为有效教学的根本。
数学本质属于数学哲学范畴，人们从不同的角度看数学，便对数学的本质有不同的认识。张奠宙教授在讨论数学本质时指出其内涵是：数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神（依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识为理性认识，重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系，这种精神称为理性精神）的体验等方面。笔者认为数学教学应该通过数学活动让学生领悟数学严谨、抽象、简洁等的本质特点，感受数学理性的精神力量，发展学生的数学思维，因此张教授对数学本质内涵的概述对中学数学教学更具有指导意义。本文结合教学实践对新课程课堂教学中如何搭建数学本质教学平台，发展学生思维，提高数学的素养，谈谈自己的一些粗浅的体会。
一、搭建知识横向联系的平台，完善学生知识组块整合，培养学生思维的广泛性和灵活性
学生形成数学认知结构，关键在于所呈现的数学知识和经验的结构化程度。在日常教学实践中我们发现，学生平时对三基的学习是零散的、孤立的，认知是“断点”的，体现在问题的解决过程中联系性、综合性、灵活性都较弱，因此在教学中要加强数学知识间联系的教学，促成学生知识与能力的转化。新课程理念提供了对教材进行二次加工的机会，在教学中，不能只关注于研究“怎么教”的问题，“教什么”也不能局限于教材上的内容。为了提高对数学教材的理解水平，我们应注意开阔视野，结合学生原有的学习实际情况，在学生已有的知识组块间寻找教学衔接点，联系扩展到更宽的领域，促进学生知识组块整合。在联系观点指导下进行数学教学，无论是新知识的引入和理解，还是巩固和应用，尤其是知识的复习和整理，应多从知识间的联系出发，帮助学生对所学过的知识有新的理解与认识，帮助学生形成有序的知识体系，阶段性完成知识模块的重新组合，并在对新知识的理解中使学生的认知水平、思维能力和分析解决问题的能力都得到提高。
案例1：数学学习中对数符号的认识对中等以下的学生是个难点，在对数概念教学中我们可以通过提供以下两个问题来引入对数的概念。
问题1：已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？（解析：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2%）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍.这是数学中知道底数和指数，求幂值的问题。）
问题2：已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%，问经过多少年后国民生产总值是原来的4倍？（解析：设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍。列方程得：1.072x=4。这是知道底数和幂值，求指数的问题，是上述问题的逆问题，为求对数的问题。）
在此基础上让学生回顾初中为了解方程xn=n而引入开根号运算（记作）、并拓展在解三角方程引入反三角符号等，让学生理解引入数学符号是数学运算常用的手法、是数学发展的必然、抽象性、简洁性的体现。通过横向的符号引入上的联系让学生理解对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算，记作logan。
案例2：在高三函数的复习研究中，我们在对“对勾函数”f（x）=x+（a>0）的图象与值域进行研究时，通过引导学生用均值不等式求其最值找拐点，从极限的观点理解函数图象有渐近线，用函数的图象来理解它的单调性与最值，用导数的方法研究其单调性与最值，并给出不同的定义域帮助学生理解它的适用范围等，在知识的横向联系中建立知识网络，沟通内在联系，让学生感受到认识单一知识在数学知识体系中的“坐标”作用，只有全面把握知识间的内在联系，才能完善对知识的认知结构。
案例3：在用“化曲（折）为直”思想研究某动点到两定点距离之和最小值时，我们让学生研究：
1.（2009年辽宁高考，理16）已知F是双曲线=1的左焦点，a（1，4），p是双曲线右支上的动点，则|pF|+|pa|的最小值为
。
2.已知抛物线y2=2x的焦点是F，点p是抛物线上的动点，又有点a（3，2），求|pa|+|pF|的最小值，并求出取最小值时p点的坐标。
在研究第1小题的解法时，学生还很难展开解题思路，这时我们让学生回忆若双曲线改成直线，问题则为欲在直线上求一点到两定点的距离之和最小，学生在学习点关于直线对称的应用问题时有对这类问题的解题经验，从而引导学生将问题转化为p点在双曲线的两支之间，如何“化曲（折）为直”求|pa|+|pF|的最小值？通过一番思维的自我调控，学生会注意到p是双曲线上的动点，从而由双曲线的定义及两点间线段最短可得|pa|+|pF|=|pa|+|pF′|+2a≥|aF′|=5+4=9（F′为双曲线的右焦点）；在解决第2小题时注意抛物线上点p到焦点F的距离等于点p到准线的距离d，求
|pa|+|pF|的问题可转化为|pa|+d的问题，运用三点共线可使问题得到解决。通过解题方法、解题时所应考虑到的解题背景等在思路上的联系，学生对“化曲（折）为直”研究折线段和最小值有了深刻的认识，促进知识与方法的迁移，思维的广泛性与灵活性也得到培养。
进而给出2009年四川理科高考选择题：已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）
二、搭建知识纵向联系的平台，加深学生对知识本质的理解，培养学生思维的深刻性和严谨性
数学知识有严密的逻辑性与严谨性，在数学教学中，我们经常为了重视双基的教学，在课堂教学与课后练习中都大篇幅地安排时间与精力促进学生基础知识和基本方法的掌握、理解与巩固。这样培养的学生在知识与方法的浅层次应用与理解上都较熟练，但遇到情景的变化和适当的抽象与综合后，学生的解题能力往往无所适从。在日常的教学特别是复习教学中搭建知识的纵向、纵深联系的平台，对学生加深对数学知识的本质理解与数学素养的提升都大有裨益。
案例4：数列的本质是离散型的函数，在数列的通项的教学中学生可得一定的认知，但对其从思想上的、方法上的本质的认识还有一定的距离。在教学中我们通过搭建从特殊到一般、从具体到抽象，从数到形的研究问题的情境平台，让学生向纵深、纵向的理解把握数列知识的本质。
案例5：在空间几何体中证明线面平行问题是考查证明空间平行问题的知识、方法的一个综合问题，其本质是证明线线平行问题，但由于学生的空间想象能力不足，在解题中常见学生“横拿竹竿进城门”，不得其要。在教学中应帮助学生理解线线平行的基础是线线共面，关键在于理解在解题中应在已知的平面中寻找与已知直线能确定一个平面的要素为突破口。
如在直三棱柱aBC-a1B1C1中，点D是aB的中点。求证：aC1//平面CDB1。（如图），解析：由直线aC1与点D确定一平面，考虑过点D找直线aC1的平行线，由点D是aB的中点，联想到连接BC1与B1C相交于点e，得点e是BC1的中点，从而De//aC1。
三、搭建思想方法应用提炼的平台，促进学生数学思想内化，培养学生理性的思维方法
数学思想和方法是数学知识的本质体现，是对数学知识在更高层次的抽象和概括，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化、数学的精神和态度。运用数学思想解题，可为分析、处理和解决数学问题提供指导方针和解题策略，使得学生将许多零散的知识点建成一个有序的思维网络，推动学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力以及数学探究与创新能力的发展。但学习者对数学思想的形成需要经历一个从模糊到了解到清楚，从有意识应用到自然应用的较长发展过程，需要在反复的体验和实践中才能逐渐认识、理解、内化为其内在的数学素养。因而数学教学必须通过对数学知识的教学和适当的解题活动搭建数学思想方法的应用提炼平台来对学生产生潜移默化的影响。
案例6：函数思想贯穿中学数学教学中，学生应用函数思想解决数学问题的能力不会因为学完函数的知识就能形成，需要在教学过程中抓住知识与思想方法的关联处，不断创设完整的函数思想使用、体验、学习的机会，由浅入深，有启发、有层次地展示函数思想方法解题的全过程，产生“润物细无声”的效果。
例：不等式x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立时求实数a的取值范围。这是一个含参数的不等式恒成立的问题，如何让学生理解函数思想的应用，从而培养函数思想的应用意识呢？笔者在教学中先让学生回顾不等式与函数的关系，然后引导学生想到解此题要把代数式x2-ax-2看作函数，记？渍（x）=x2-ax-2，指出这是函数思想起作用。这样使？渍（x）≤0对x∈[-1，1]恒成立，只要？渍max（x）≤0就可以了。所以问题转化为二次函数？渍（x）在区间x∈[-1，1]上求最大值问题。而后用一元二次函数图象与性质来求得最大值则属于函数知识与方法的应用，属于技能范畴，不是函数思想的体现。解决本题的关键在函数思想的应用不在函数知识的应用，让学生体验应用函数思想解题的事实就是有没有用函数和变量去思考，是一个想得到与想不到的问题，提高学生用函数思想解决问题的意识。
著名数学家克莱因说：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动去思考一些问题。
《普通高中数学课程标准》指出，数学教学不能仅限于形式化的表达，要强调对数学本质的理解。这就要求我们在日常教学工作中将教学侧重点转移，“把握数学本质，引发学生数学思考，为学生思维发展而教”是为师之本，教学之道。在教学中我们应努力帮助学生在知识的体系中认识新的事物、新的知识，从发展思维的高度开展数学问题的解题教学，培养学生懂得想、敢于想、善于想，使我们的课堂教学真正起到发展学生思维，提高数学的素养。
数学与应用数学的认识篇8
他们切磋教学的方式之一是经常对某个教学中的问题进行交谈、对话、分析其理论依据。下
面整理的是他们关于教学难点认识的对话。w：H先生，最近，上级教育行政部门经常强调
要减轻学生过重的课业负担，其措施之一就是提高课堂教学效益。课堂教学中要突出重点，
突破难点，才能提高课堂教学效益。但在备课当中我们又往往容易把重点、难点混淆，好像
重点就是难点。对于这二者之间的区别和联系，您能否谈谈自己的看法。H：这个问题提得
好。在课堂教学中突出重点、突破难点是提高效益的关键，要做到这一点必须分清什么是教
学重点，什么是教学难点。
所谓教学重点，即是“在教材内容的逻辑结构的特定层次中占相对重要的前提判断”，也就
是“在整个知识体系或课题体系中处于重要地位和突出作用的内容。”如果某知识点是某知
识单元的核心或是后继学习的基石或有广泛应用等，即可确定它是教学重点。如义务教育数
学教材初中第一册第一章《代数式》，它的重点是字母代替数及代数式，因为这是整个代数
的基础，且对后继学习影响极大。所谓教学难点是指“学生学习过程中，学习上阻力较大或
难度较高的某些关节点”，也就是“学生接受比较困难的知识点或问题不容易解决的地方。”
它是由于学生原有的数学认识结构与学习的新知识之间不协调而产生的。比如字母代替数就
是一个教学难点。字母代替数后，字母就具有两重性———既确定、又任意（以后还可以代
替一个式），它与学生在小学学习具体数的运算所形成的数学认知结构极不协调，从而形成
教学难点。
w：是否可以这样认为，数学教学重点是由于数学知识内在的逻辑结构而客观存在的，因而
对每一位学生均是一致的。教学难点是由于学生原有数学认知结构与学习新内容之间的矛盾
而产生的，并且个体的数学认知结构不完全相同，因此会出现遭遇难点或在突破难点的速度
上的个别差异。
H：完全正确。正是由于重点与难点二者形成的依据不同，既是一致，又是不一致的。有的
内容既是重点又是难点，有的内容是重点但不一定会形成难点。同一知识点，对某些学生而
言是难点，对另一些学生而言又不是难点。比如，有理数的加法运算法则，既是这部分教学
内容的重点———它在有理数及代数式运算中起着承前启后的作用，又是难点———学生原
有的数学认知结构难以同化其法则。又如“不等式的性质”这一单元中，不等式的三条性质
都是教学重点———它们是解不等式的依据，但前两条性质与等式的性质类似，易于同化，
不是难点。而第三条性质即“不等式两边同乘一个负数，不等式的方向改变”则是本单元的
教学难点———学生原有的数学认知结构中还缺乏这样的经验。再如“一元一次方程的解法”
对大多数学生而言可能不是难点，但对少数学生而言，由于整式加减运算法则还没有完全纳
入自己的数学认知结构，因而可能仍是难点。通过教学，学生不但学会了一元一次方程的解
法，而且在解方程过程中，弥补了整式加减、有理数四则运算学习中之不足，使自己的数学
认知结构更加完善。
w：既然数学教学难点的产生与学生的认知结构有关，您能否再深入地剖析一下数学认知结
构，使我们能更清醒地对数学教学难点定位，为突破教学难点找准方向。
H：所谓数学认知结构，就是“人们头脑中的数学知识（经验）按照自己的理解的深度、广
度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的
整体结构”。可以用一个形象的比喻，就像物理学中的电尝磁场一样，数学认知结构就是人
的一种“数学潮，在数学学习中，外在的新的数学知识，经过“数学潮的作用，变成学生自
己的数学经验、意识———“数学潮的能量随之增大，即原有的数学认知结构扩充、完善，
这个过程在认知心理学上叫做同化或顺应。同化过程是把新知识纳入原有的数学认知结构，
从而扩大原有数学认知结构的过程，即对新知识进行教学法加工，使之与原有认知结构相吻
合。顺应是当新知识不能同化于原有的数学认知结构时，要改造数学认知结构，使新知识能
适应这种结构的过程，即对数学认知结构进行改造，以适应新知识学习的需要。一般来说，
实现同化比较容易，实现顺应则比较困难。
w：是否可以这样认为，学习中凡是需要通过顺应掌握的数学知识点，就是教学难点，凡是
需要通过同化而掌握的数学知识点可能是教学重点，但不一定是教学难点。
H：可以这样理解。因为数学学习的实质是“以符号语言为代表的新知识与学习者数学认知
结构中已有的适当知识（经验）建立非人为的和实质性的联系。”当学生原有的数学认知结
构中，一下子难以找到“适当”的知识（经验）时，必须改造数学认知结构，使之适应新知
识的需要。一般来说，改造认知结构都比较困难，因为认知结构也有一种定势，定势的消极
作用，阻碍认知的飞跃，从而造成学习新知识的困难，即形成教学难点。比如，在教学“平
行线分线段成比例定理”一节时，由于学生的数学认知结构中只有“夹在两平行线间的平行
线段相等”及“平行线等分线段”等经验，这都是对线段相等关系的认识，而“线段成比例”
实质上是线段不等关系（相等关系只是成比例的特例），造成认知上的困难。需要通过同化
学习的新内容，相对顺应而言，较易在原有的数学认知结构中找到“适当的知识（经验）”，
可比较顺利地建立“非人为的”、“实质性”的联系。这时认知结构中所形成的定势起着积极
的作用。因而一般不会出现教学难点（比如不等式的前两条性质）。应该指出的是，在一个
学习过程中，同化和顺应往往同时存在，只是侧重有别；况且由于学生个体的数学认知结构
的差异，即使同化也存在差异，有些需要同化的知识，对某些学生而言，仍可能会形成学习
难点。
w：您从数学认知结构入手认识教学难点对我启发很大。在教学中我有时会遇到这样的情形，
备课时我认为不是教学难点的地方，学生们却感到很困难，这是什么原因呢？
H：经过大专院校培养的数学教师，有比较系统的数学知识，他们的数学认知结构都比较完
善，对中学数学教材中的数学知识以及由这些知识反映的数学思想、方法早已成为其数学认
知结构的一部分。但是中学数学教材包括的数学知识及其思想方法对中学生而言是全新的，
有些内容当然是难的。正是由于师、生数学认知结构的差异，才会出现你所说的问题。如果
备课时，我们站在学生的角度去探索教材，就会比较准确地发现教学难点。在管理心理学上
叫做“角色换位”，这正是我们强调备课既要备教材也要备学生的理论依据，有些学历不是
很高的数学教师，教学效果很好，其中重要原因之一就是善于站在学生的角度去钻研教材，
因而与学生的数学认知结构十分贴近，这是值得我们学习的。特别是刚参加工作的青年教师，
与学生年龄接近，便于情感交流，“角色换位”很容易实现，是可以比较快地提高教学业务
水平的。
w：找准教学难点是为了在教学中突破难点。如何突破难点，我们理解是努力寻找学生数学
认知结构中某个与教学难点最接近的知识或经验作为“固着点”。由于数学教材是按其逻辑
顺序编写的，因此，总可找到“固着点”作为学生学习上的支撑，以实现顺应或同化。您能
否举一个例子，给予说明。
H：以“一元二次方程根与系数关系”为例。该单元教学难点有两个：一是为什么会想到用
一元二次方程的两根之和、两根之积的形式表示根与系数的关系；二是把两根之和、两根之
积作为一个整体应用于解答有关数学问题。第一个难点不解决好，虽然根据求根公式导出了
根与系数的关系，但这个关系式仍然难以纳入学生的认知结构，给应用造成困难，往往只能
是机械模仿。当然在模仿中，部分学生会产生顿悟———这是“根与系数关系”才开始成为
其数学认知结构中的一个组成部分。为了突破教学难点，我认为在寻求其“固着点”之前，
还应首先激活学生的认知动因。即创设教学情景，造成学生认知需要。本课可设计如下问题：
我们已经学习了求根公式，如果一个一元二次方程有实根，则根据求根公式可以求它的根。
反过来，如果某个一元二次方程的根为x1、x2，如何求出这个方程呢？以问题为教学出
发点，造成学生在迫切需要下学习的愿望，为突破教学难点作好了心理上的准备。接着即要
从知识“固着点”出发，为学生认知提供“物质”上的帮助。“一元二次方程根与系数关系”
中的教学难点之一是为什么会用两根之和、之积形式表示根与系数关系。教材是直接由求根
公式，求出x1＋x2、x1·x2的表达式，这主要是体现数学教材的简洁性，其实求根
公式并不是最佳的“固着点”。其最佳“固着点”是用因式分解方法解一元二次方程。如果
方程x2＋px＋q＝0两根为x1、x2，根据因式分解方法，方程左边可以分解为（x
－x1）（x－x2），展开得x2－（x1＋x2）x＋（x1x2）。比较系数得到x1
＋x2＝－p，x1·x2＝q，较自然地把一次项系数与两根之积、二次项系数与两根之
和联系起来了。至于若ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，把方程变形
为x2＋bax＋ca＝0后即得出x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca。找准符号语
言表述之后，再回到课本上的证明，已是举手之劳了。其实求根公式也是根与系数关系的一
种表达形式，但两者对比之后，学生们发现用两根和、积的形式表示一元二次方程根与系数
关系更加体现了数学的简洁美、和谐美。至此第一个难点即被突破。
w：今天的谈话，对我帮助很大。最后，我觉得教学难点也有两重性。一方面它可能成为学
生学习上的分化点，另一方面又是学生智慧的开窍点。因此，找准教学难点，花力气突破教
学难点，既可以帮助学生克服畏难情绪，学会数学，又可以引导学生不断完善其数学认知结
构，会学数学，从整体上提高学生的数学素质与意识。
H：对极了。
数学与应用数学的认识篇9
学生有学习数学的热情，有主动参与数学活动的积极性。能在教师和同学的鼓励、帮助下，克服在数学活动中遇到的某些困难，获得成功的感受，逐步树立学好数学的自信心。这里给大家分享一些关于一年级数学苏教版上册教学计划5篇，供大家参考。
一年级数学上册教学计划1一、指导思想：
继续深化“高效课堂教学，促进教师专业化成长”课题研究，提倡高效课堂教学，学习教育教学理论和数学课程标准的精神，加强数学课堂教学的研究，培养师生主动探究的精神。以课堂教学为中心，提高教师教学质量。通过学生数学学习活动，培养学生对数学的兴趣，以及树立数学到处可见的观念。
二、教材简析
本册教材包括以下内容：20以内的数和最基础的加、减法口算，几何形体、简单的统计、认钟表等教学内容。
本册教科书以基本的数学思想方法为主线安排教学内容。在认识10以内的数之前，先安排数一数、比一比、分一分、认位置等内容的教学;在10以内加、减法之前，先安排分与合的教学。通过数一数，让学生初步感受到数能表示物体的个数;通过比长短、比高矮，比大小、比轻重，让学生初步学习简单的比较;通过分一分，让学生接触简单的分类，并初步感受到同一类物体有相同的特性;通过认位置，让学生认识简单的方位，初步感受到物体的位置是相对的;通过分与合的教学，为建立加、减法概念和正确进行加减法口算作准备。这里所体现的比较思想、分类思想、分合思想，都是后面学习数与运算、空间与图形、统计等知识的重要思想方法。教科书设置小单元，把各领域的内容交叉安排。这符合一年级儿童年龄、心理的特点，有利于各知识的相互作用，便于建构合理的认识结构。
三、班级情况简析
一年级学生由于刚进校因此活泼好动，大多数人思维活跃，学习数学的兴趣较浓，有良好的学习习惯。也有少数同学能力差，注意力易分散，但是他们有强烈的求知欲，所以教师要有层次、有耐心的进行辅导，要使每个学生顺利地完成本学期的学习任务。
四、教学目标
1、知识与技能方面：
经历从实际情境中抽象出数的过程，认识20以内的数，并学会读写;初步理解20以内数的组成，认识符号的含义，会用符号或语言描述20以内加减法的估算。结合具体的情境，初步了解加法和减法的含义;经历探索一位数加法和相应减法的口算方法的过程，能熟练地口算一位数加一位数和相应的减法;初步学会20以内加减法的估算。认识钟面及钟面上的整时和大约几时。结合具体的情境认识上、下、前、后、左、右，初步具有方位观念。通过具体物体认识长方体、正方体、圆柱和球，认识这些形体相应的图形，通过实践活动体会这些形体的一些特征，能正确识别这些形体。感受并会比较一些物体的长短、大小和轻重。认识象形统计图和简易统计表，通过实践初步学会简单的分类，经历和体验数据的收集和统计的过程，并完成相应的图表。根据统计的数据回答简单的问题，能和同伴交流自己的想法。
2、数学思想方面：
初步学会从数学思维的角度观察事物的方法，如数出物体的个数，比较事物的多少，比较简单的长短、大小、轻重等。在数的概念形成过程中发展思维能力，如在认识20以内数时通过比较、排列发现这些数之间的联系，在学习“分与合”时发展学生的有序思考和分析、推理能力，在“认钟表”时进行比较、综合和判断等
一年级数学上册教学计划2一、教学对象分析
一年级学生刚进入小学学习，新的学习和生活对孩子们来说充满了好奇和有趣，对学校、对环境、对老师、对同学、对课堂、对学习、对学校的要求都充满了新鲜感。同时他们年龄小，好动、易兴奋、易疲劳，注意力容易分散，尤其是刚入学时，40分钟的课堂学习对于他们来说真的很难!然而“学会倾听”是新课标中对一年级小学生提出的一项重要目标。现代心理学证明，注意力集中的学生，听课效率和学习水平远远高于注意力分散的学生。针对这些特点，我得想方设法运用各种手段来激发学生专心听讲的兴趣，从而培养好习惯。首先在课堂语言上要力求儿童化和趣味化。其次，让学生有尽可能多的回答问题的机会，促使他们始终处于积极主动的学习状态。对于学习有困难的学生及时个别辅导，对于优秀生尽量让他“吃得饱”。
二、本学期教学的指导思想
1、根据儿童发展的生理和心理特征培养学生自主探索的能力。
重视以学生的已有经验知识和生活经验为基础，提供学生熟悉体情景，帮助学生理解数学知识。
2、增加联系实际的内容，为学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系。
3、注意选取富有儿童情趣的学习素材和活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验。
4、重视引导学生自主探索，合作交流的学习方式，让学生在合作交流与自主探索的气氛中学习。
5、把握教学要求，促进学生发展适当改进评价学生的方法，比如建立学生课堂发言的“奇思妙语录”等。
三、教学内容
这一册教材包括下面一些内容：数一数，比一比，10以内数的认识和加减法，认识图形，分类，11～20各数的认识，认识钟表，20以内的进位加法，用数学，数学实践活动。
这一册的重点教学内容是10以内的加减法和20以内的进位加法。这两部分内容和20以内的退位减法(一般总称一位数的加法和相应的减法)是学生学习认数和计算的开始，在日常生活中有广泛的应用，同时它们又是多位数计算的基础。因此，一位数的加法和相应的减法是小学数学中最基础的内容，是学生终身学习与发展必备的基础知识和基本技能，必须让学生切实掌握。
除了认数和计算以外，教材安排了常见几何图形的直观认识，比较多少、长短和高矮，简单的分类，以及初步认识钟面等。虽然每一单元的内容都不多，但是都很重要，有利于学生了解数学的实际应用，培养学生学习数学的兴趣。
四、本学期教学的主要目的要求
(一)知识和技能方面
1、使学生正确地数出不同物体的个数。
逐步抽象出数，能区分“几个”和“第几个”熟练地掌握10以内的组成，会正确，工整地书写数字。
2、使学生认识计数单位“一”和“十”，初步理解个位和十位上的数所表示的意义，能熟练地数出20以内的数，正确地读、写20以内的数，掌握20以内的数是由一个十和几个一组成的。
掌握20以内的数的顺序，会比较20以内数的大小。
3、使学生初步认识=、>、
4、使学生初步知道加和减法的含义，直观地了解加法交换律和加法与减法的关系，能熟练地口算10以内的加减法和20以内的进位加法。
能比较熟练地计算20以内的连加、连减和加减混合运算式题。
5、使学生会根据加、减法的含义解答比较容易的加减法一步计算的图文应用题。
知道题目中的条件和问题。知道题目中的条件和问题，会列出算式，注明得数的单位名称，口述答案，能看实物或直观图口述题意，简单的讲述和与求剩余的数量关系。
6、使学生直观地认识长方体、正方体、圆柱和球。
对这些图形有初步的了解。
7、结合主题图和插图及有关数据，对学生进行爱祖国、爱科学的教育，培养学生认真做题，正确计算，书写整洁的良好习惯，学会有条理，有根据地思考问题。
(二)数学思考方面
1、能运用生活经验，对有关数学信息作出解释，并初步学会用具体的数据描绘现实世界中的简单现象。
2、能对简单物体和图形的形状、大小、位置关系、运动的探索过程中，发展空间观念。
3、在教师的帮助下，初步学会选择有用的信息进行简单的归纳和类比。
(三)解决问题方面
1、经历从生活中发现并提出问题、解决问题的过程，体验数学与日常生活的密切联系，感受数学在日常生活中的作用。
2、了解同一问题可以有不同的解决办法。
3、有与同学合作解决问题的`经验。
4、初步学会表达解决问题的大致过程和结果。
(四)情感与态度方面
1、在他人的鼓励和帮助下，对身边与数学有关的某些事物有好奇心，能积极参与生动、直观的教学活动。
2、在他人的鼓励和帮助下，能克服在数学活动中遇到的某些困难，获得成功的体验，有学好数学的信心。
3、经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性。
4、在他人的指导下，能够发现数学活动中的错误，并及时改正。
5、体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
6、使学生从小养成认真学习、认真作业、书写整洁的良好习惯。
五、本学期提高教学质量的具体措施
1、从学生的年龄特点出发，多采取游戏式的教学，引导学生乐于参与数学学习活动。
2、在课堂教学中，注意多一些有利于孩子理解的问题，而不是一味的难、广。
应该考虑学生实际的思维水平，多照顾中等生以及思维偏慢的学生。
3、布置一些比较有趣的作业，比如动手的作业，少一些呆板的练习。
4、加强家庭教育与学校教育的联系，适当教给家长一些正确的指导孩子学习的方法。
一年级数学上册教学计划3一、学情分析
本学期因为一年级的学生刚踏入小学，对小学数学的认识不多，学生的学习行为与习惯都还没有形成，所以，一年级教学上册教学任务的计划，我是按本班学生的学习基础低和学习习惯还没有形成制定的。
二、全册教材分析
这一册教材包括下面一些内容：准备课;位置;1-5的认识和加减法;认识图形(一);6-10的认识和加减法;11-20各数的认识;数学乐园;认识钟表;20以内进位加法;总复习。认数和计算，比较多少、认识立体图形，以及初步认识钟面，使学生获得数数基本知识和基本技能的同时，发展数学能力，培养创新意识和实践能力，建立学习和应用数学的兴趣和信心。
三、全册教学要求
1、熟练地数出数量在20以内的物体的个数，会区分几个和第几个，掌握数的顺序和大小，掌握10以内各数的组成，会读写0-20各数。
2、初步认识加减法的含义和加减法算式中各部分名称，初步知道加法和减法的关系，比较熟练地计算一位数的加法和10以内的减法。
3、初步学会根据加减法的含义和算法解决一些简单的实际问题。
4、认识符号"=、>、
5、直观认识长方体、正方体、圆柱、球。
6、体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
7、养成认真作业，书写整洁的良好习惯。
8、通过实践活动体验数学与日常生活的密切联系。
四、全册教学重点、难点
10以内的加法和20以内的进位加法，这两部分内容和20以内的退位减法是学生学习认识数的计算的开始。在日常生活中有广泛的应用，同时它们又是多位数计算的基础。因此，一位数的加法和相应的减法是小学数学中最基础的内容，是学生终身学习与发展必备的基础知识和基本技能，必须让学生切实掌握。
五、改进教法提高教学质量的设想
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
数学教学，要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情境，使学生通过观察、操作、归纳、类比、猜测、交流、反思等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展思维能力，激发学生的'学习兴趣，增强学生学好数学的信心。
教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，设计适合学生发展的教学过程。要关注学生的个体差异，使每一个学生都有成功的学习体验，得到相应的发展;要因地制宜、合理有效地使用现代化教学手段，提高教学效益。
一年级数学上册教学计划4一、学生情况分析
一年级3个班共有215人，每班有65多人。虽然大部分入学前，接受过学教育，但学生的基础参差不齐，特别有少数几个学生的数学成绩较差。而且学生在幼儿园的学习习惯、行为习惯养成不好。刚跨入小学，对学校的一切都感到陌生和不适应，但他们天真、活泼，有着强烈的好奇心和求知欲，可塑性强。所以这一学期以培养学生的学习兴趣为工作重心。
二、教学内容：
这一册教材包括下面一些内容：数一数，比一比，1—10的认识和加减法认识物体和图形，分类，11—20的认识，认识钟表，20以内的进位加法，数学乐园，我们的校园，总复习和二个数学活动(数学乐园和我们的校园)。
1、熟练的数出数量在20以内的物体的个数，会区分几个和第几个，掌握数的顺序和大小，掌握10以内各数的组成，会读、写1~20各数。
2、初步知道加、减法的含义和加、减法算式中各部分名称，初步知道加法和减法的关系，比较熟练的计算一位数的加法和10以内的减法。
3、初步学会根据加、减法的含义和算法解决一些简单的实际问题。
4、认识符号“=”、“”，会使用这些符号表示数的大小。
5、直观认识长方体、正方体、圆柱、球、长方形、正方形、三角形和圆。
6、初步了解分类的方法，会进行简单的分类。
7、初步认识钟表，会人士证实和半时。
8、体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
9、认真作业、书写整洁的良好习惯。
10、通过实践活动体验数学与日常生活的密切联系。
三、教材分析：
本册教材的教学重点：是10以内的加减法和20以内的进位加法。
教学难点：是用正确的数学语言表述比较的结果，熟练地口算10以内的加减法，会口述计算20以内的进位加法的思维过程。10以内的加减法和20以内的进位加法这两部分知识与20以内的退位减法是学生学习认数和计算的开始，在日常生活中有广泛的应用，同时它们又是多位数计算的基础。因此，一位数的加法和相应的减法是小学数学中最基础的内容。是学生终身学习与发展必备的基础知识和基本技能，必须让学生切实掌握。
除了认数和计算外，教材安排了常见几何图形的直观认识，比较多少、长短和高矮，简单的分类，以及初步认识钟面等。虽然每一单元内容都不多，但都很重要，有利于学生了解数学的实际应用，培养学]学习数学的兴趣。
1、每一单元后面都跟有综合练习，形式灵活多样，能很好的起到巩固知识的作用。
2、数学乐园很好的体现主体性原则，能限度的调动学生的积极性，培养学生数学的兴趣
3、重视学生的经验和体验，根据学生的已有经验和知识设计活动内容和学习素材
4、认数与计算相结合、穿插教学，使学生逐步形成数概念，达到计算熟练
5、重视学生对数概念的理解，让学生体会数可以用来表示和交流，初步建立数感
6、计算教学体现算法多样化，允许学生采用自己认为合适的方法进行计算
7、直观认识立体和平面图形，发展学生的空间观念
8、安排“用数学”的内容，培养学生初步的应用意识和用数学解决问题的能力
9、体现教学方法的开放性、创造性，为教师组织教学提供丰富的资源
四、本学期教学的指导思想
1、根据儿童发展的生理和心理特征培养学生自主探索的能力。
重视以学生的已有经验知识和生活经验为基础，提供学生熟悉体情景，帮助学生理解数学知识。
2、增加联系实际的内容，为学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系。
3、注意选取富有儿童情趣的学习素材和活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验。
4、重视引导学生自主探索，合作交流的学习方式，让学生在合作交流与自主探索的气氛中学习。
5、把握教学要求，促进学生发展适当改进评价学生的方法，比如建立学生课堂发言的“奇思妙语录”等。
五、教学目标
(一)、知识和技能方面
1、使学生正确地数出不同物体的个数。
逐步抽象出数，能区分“几个”和“第几个”熟练地掌握10以内的组成，会正确，工整地书写数字。
2、使学生认识计数单位“一”和“十”，初步理解个位和十位上的数所表示的意义，能熟练地数出20以内的数，正确地读、写20以内的数，掌握20以内的数是由一个十和几个一组成的。
掌握20以内的数的顺序，会比较20以内数的大小。
3、使学生初步认识=、>、
一年级数学上册教学计划5一、情况分析：
大部分入学前，都受过学前教育，可是每个学生的基础都不一样，一部分学生会数10以内的各数，会认这些数，会写这些数;一部分学生已能计算10以内的加减法;但也有一部分学生对课堂学习不太适应，课堂上集中注意力较短。
而且学生在幼儿园的学习习惯、行为习惯养成不好。刚跨入小学，对学校的一切都感到陌生和不适应，但他们天真、活泼，有着强烈的好奇心和求知欲，可塑性强。所以这一学期以培养学生养成良好的生活习惯，学习习惯和培养学生的学习兴趣为工作重心。
根据这些情况，在教学时，我应从学生的学习兴趣出发，注意建立良好的师生情感，让学生爱教师、爱数学，并通过以后的学习，体会到学数学的乐趣和作用。
二、教学目标：
根据新课标的要求，结合教科书第一册的内容和我班的实际情况，从知识技能、数学思考、解决问题、情感与态度等这四个方面确定全册的教学目标。
(一)知识与技能
1.经历从日常生活中抽象出数的过程，能熟练地数出数量在20以内物体的个数，会区分几个和第几个。
会用数表示物体的个数或事物的顺序，能比较数的大小，掌握10以内各数与20以内数的组成，能认、读、写0-20各数。
2.初步了解数位和计数单位：知道个位、十位上的数各表示什么意义。
3.结合具体情境，初步体会加减法的含义。
4.知道加减法各部分的名称，初步体会加减法之间的互逆关系，能熟练地口算10以内的加减法和20以内进位加法。
5.认识符号“>”、“
6.通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱、球等立体图形，能辨认长方形、三角形、正方形、圆等平面图形，会用这些图形进行拼图。
7.初步了解事物比较和分类的方法，结合实际，能把同类事物进行比较和分类。
8.初步认识钟表，会认整时和半时。
9.初步学习对日常生活中的数据进行收集和整理，会看、填写简单的统计图和统计表。
10.初步培养学生操作、观察、比较、辩析、整理、概括、语言表达、用数学交流的能力。
(二)数学思考
1.结合现实素材抽象出0-20各数，感受0～20各数的意义，能用符号和词语来描述20以内数的大小，初步建立数感。
2.能按一定的顺序整理和记忆：10以内数的组成和分解，10以内数的加减法，20以内的进位加法。
3.能按照自己喜欢的方法，想10以内的数的组成、分解，想10以内加减法的得数和20以内进位加法的得数，体会算法的多样化。
4.能简单地、有条理地思考20以内数的认识和计算中的应用问题。
5.通过拼、摆、画、想各种图形，感受和描述各种图形的特征，通过对几何形体的分类，初步建立空间观念。
6.能用对应、比较等方法，比较出两个事物的多少、长短、高矮。
7.能根据事物的同一类型的特点把一些事物分类。
8.在学习过程中，通过动手操作、自已探究、实践活动等，发展学生探究精神、实践能力和创新意识。
9.通过数学活动，初步发展学生对应、统计等数学思想方法。
10.初步学习用数学的眼光去观察和认识周围的事物，发展数学意识。
(三)解决问题
1.能用0—20各数表示日常生活中的一些事物。
2.初步学会根据加减法的含义和10以内的加减、20以内的进位加法，解决生活中的一些简单问题。
3.能比较出学生生活中事物(在20以内)数量的多少、长短和高矮，能给生活中的一些事物分类。
4.结合自已的生活经验，初步体验1时、几时、半时的长短。
5.能根据简单统计图表的信息，提出问题，解决问题。
6.用不同的方法解决同一个问题，发展学生思维的灵活性、实践能力和创新意识。
(四)情感、态度、价值观
1.初步养成良好的学习能力和学习习惯。
⑴会看。会看数学书，能在书上找到要学习的内容。
⑵会听。能听懂老师和学生的讲话，能边听、边想。
⑶会想。能根据一些信息想出数学问题;会根据数学问题，想出解决问题的方法。
⑷会说。能把自己想的说出来，会说三句完整的话。
⑸会用。会用学具学习一些数学内容。
⑹会做。会做数学作业，书写规范，格式正确，认真细心，能自己出题自己做，能检查。
⑺能讨论。能与同学讨论数学问题。
⑻能评价。能作自我评价与评价他人。
2.在合作交流过程中，积极主动地参与数学活动，积极思考，争取发言，尊重别人，认真倾听他人发言，有获得成功的体验，增强自信心。
3.养成遵守时间、珍惜时间的良好美德。
4.爱护学具、文具、数学书、作业本、书包，养成勤学习、有条理、讲究美的好习惯。
三、教学内容：
1、使学生通过数一数，初步接触1～10各数，初步学会数出个数在10以内的物或人，初步学会用1～10各数和同学交流物体的个数。
2、使学生在数数的过程中，了解分类数数的方法，从数的感受角度观察事物的独特价值，初步体会符号化思想。
3、激发学生的学习兴趣，使学生初步感受数学与生活的联系。
4、让学生初步学习数数的方法，感受可以表示数量多少，体会数与生活的联系。
1、使学生联系生活经验认识长短、高矮和轻重的含义，体会比较的一般方法，初步学会比较物体的长短、高矮和轻重。
2、使学生经历比较的活动，初步建立长短、高矮和轻重的观念，培养初步的观察、判断和推理的能力。
3、使学生感受生活中的数学现象和事实，培养学生对数学学习的积极情感。
重视比较的方法，注意培养学生简单的推理、判断能力。
4、使学生联系生活现象，体会分类的含义，初步学会按一定标准分类，并能在日常生活中初步应用。
5、使学生通过分一分的活动，初步体会分类的思想，培养初步的分类能力。
6、使学生在具体情境中体会上下、前后、左右的位置关系，初步学会确定物体上下、前后、左右的方位。
7、使学生能按上下、前后、左右的方位关系，理解日常生活中的一些简单问题，初步学会使用上下、前后、左右等词描述物体所在的位置，培养初步的空间观念。
8、使学生经历从具体情境中抽象出数的过程，理解10以内数的含义，能熟练的数出数量在10以内的物体的个数，会读、会写0～10各数。
9、使学生在数数、认数的过程中掌握10以内数的顺序，区分几个和第几个，会用数表示物体的个数和事物的顺序，会用一一对应的方法比较物体的多少，理解“同样多”和“多”“少”的实际意义，认识符号=、>、
10、在认数、比较数的大小过程中培养学生观察、比较、抽象等思维能力，形成初步的数感，具有初步的用数进行交流的意识和能力。
11、初步养成认真书写的态度和习惯。
12、使学生通过辨认实物，直观感知长方体、正方体、圆柱和球的主要特征，知道这些形体的名称，能识别这些形体。
13、使学生在认识物体的活动中，感受平面和曲面是不同的，体会比较、分类等认识物体的方法，培养初步的观察、操作能力和初步的空间观念。
14、使学生感受生活里物体的不同形状，培养观察物体的兴趣，以及与他人合作的意识。
15、让学生在活动中经历2、3、4、5各数分与合的学习过程，体会分与合的思想，并能从3、4、5各数的一种分发。
16、培养学生初步的合作意识和动手实践的能力。
17、使学生初步体会加法和减法的意义，并能解决实际问题。
18、使学生经历联系实际探索，交流计算方法的过程。
19、培养学生的观察能力，推理能力。
20、使学生初步感受生活中有许多计算问题，培养学习兴趣和信心。
21、使学生在操作与活动中加强学生对知识的掌握，在学习的过程中产生兴趣。
22、使学生经历数数和用数描述简单的生活现象的过程，体会数在日常生活中的广泛运用，培养初步的估算意识发展数感。
23、重点知道“个位”和“十位”
提高解决问题和合作交流的能力。
24、使学生在现实的情景中，了解20以内的计算方法，会正确进行口算，达到一定的熟练程度。
25、使学生经历应用所学的知识解决简单的实际问题。
26、使学生在参与数学学习过程中，逐步养成独立思考的习惯，
27、体会数学与生活的联系,培养解决实际问题的能力。
28、通过复习，让学生对本学期所学的数的组成、加与减等知识进行综合实际运用。
29、强调知识与实际生活的联系，培养学生运用已有的知识解决问题的能力。
30、在培养学生运用数学的能力的同时，激发学生学习数学的兴趣，全面达到本学期的教学目标。
四、教学措施：
1、从学生的生活经验出发引导学生学习数学，感受生活中处处有数学。
2、加强直观演示和实践操作，引导学生积极参与知识的形成过程，感受成功的体验。
3、引导学生揭示知识间的联系，探索规律。
4、激发学生学习数学的兴趣，注重培养自主学习的意识和习惯，尊重学生个体差异，鼓励学生选择适合自己的学习方式，引导学生在实践中学会学习。
5、注重培养学生的思维灵活性和创新意识。
6、注重让学生参与小组合作学习，培养学生的合作、交流意识。
数学与应用数学的认识篇10
关键词：认知过程；小学数学；探究问题；问题设计
中图分类号：G622文献标识码：B文章编号：1002-7661（2016）17-087-01
在小学数学的教学中，不仅要传授数学知识，更加重要的是培养学生的探究意识和思维能力。在传统的数学教学中，教学模式单一，课堂氛围枯燥，往往是学生被动地接受知识，老师没有注重学生思维能力的培养，不利于学生深入理解以及应用数学知识。而基于认知过程分析的小学数学探究问题设计与应用这种教学模式有利于培养学生探究学习的意识，值得被推广使用。
一、小学数学探究问题设计的原则
1、融入模型思想
在解决数学问题时，构建数学模型是一种非常普遍、有效的方法。小学生对加减乘除以及方程等模型已经有了初步的了解。在处理实际的生活问题时，将其转变为一种数学问题，并利用数学模型来进行相应的有效的解决。模型思想是认识数学和实际生活联系的主要方式，换句话说就是在理论知识和应用之间的搭建起了桥梁。通过模型的构建和求解，培养学生的模型思想，提高对数学的兴趣并应用其解决实际问题。
2、让学生亲身经历知识形成的过程
在设计探究问题时，应该给学生提供收集、分析数据的机会，让他们自己发现知识。所设计的问题不能直接就解答出来，应当有一定的思考空间。学生在经历知识的解答、应用的过程中，不但将知识转化为自己的，还能够灵活应用于实际生活中。
3、把知识隐藏在探究问题的解决中
就我国当前的教学现状而言，大多是将知识点直接告诉学生，只做到了知识的教授，没有发现知识这一过程，所以，大多数学生不能将所学知识应用到生活实际中。在设计探究问题的时候，应该给学生提供一个探究的过程，让他们在无意识中学到知识。
4、探究问题应当和生活实际紧密联系
对于小学生而言，他们还不能完全明白抽象概念，对数学运算中的规律不能完全掌握，所以在设计探究问题时，应当将数学概念和学生的实际生活联系在一起，使数学问题形象化，便于他们的理解，而不是仅靠死记硬背。问题越贴近实际，学生理解、应用知识的能力就越高。学生在解决探究问题的过程中所获取的知识具有较强的灵活性，更有现实意义。
5、探究问题的描述应当与小学生的理解能力相符合
就我国目前的小学数学教材而言，随着年级的升高，课程内容也逐渐从具体向抽象转化。在设计探究问题的时候，应当使其符合小学生认知、身心条件，不能学术化或者成人化，最好是通过表格或者图形的方式来呈现，以便于学生的理解[1]。
二、探究问题设计及应用的对策
笔者以“众数”问题为例，分析了小学数学探究问题设计与应用的对策。
1、分析“众数”概念认知的过程
对于小学生而言，“众数”概念是非常抽象的，所以在教学中应当借助一定的材料将这一抽象概念具体化，帮助学生的理解。以小学数学问题解决认知模型（CmmpS）这一框架来分析小学生对“众数”认知的过程。此处以“求2、2、2、3、3、4、5中的众数”为例，在小学数学教学中，对“众数”的认知能够按照以下步骤展开：（1）学生读题，并理解题目的意思；（2）设计方案，在2、2、2、3、3、4、5中找出出现次数最多的数；（3）实施方案，确定一共有几个数，并计算出出现最频繁数，此数即是“众数”，可能有一个或者多个，也可能没有；（4）回顾检查，回顾并认真检查上述每个环节，看看是否有错误。通过上述分析发现，在求解“众数”的过程中，最关键之处就是“出现频率最高”这一问题。在实际的教学中，应当将问题的关键和认知能力充分结合，提高学生对问题的理解能力。
2、建立“众数”概念模型
在求解问题时，可以让学生构建“众数”这一概念的模型，以便学生找出问题的关键之处，与此同时，还培养了学生的模型思维，在遇到其它问题的时候，可以用模型思维来解决问题。
3、“众数”探究题
教师可以根据学生的认知水平，利用小组合作、创建情境、问题引导等途径来进行“众数”教学，培养学生的探究意识，提高教学效果。比如老师可以利用小学生喜欢过生日这一心理，提出为某一个月份出生的同学举办生日宴的活动，让学生思考选择哪一个月份好。在这个情境中，老师没有提“众数”这一概念，只是让学生选择一个比较恰当的月份，那么学生在统计、思考、讨论的过程中，会自动做出比较，从而找出人数最多的一个月。这一探究问题的设计，充分体现出了“创建情境――构建模型――探究解决”这一过程，可以培养学生主动探究、思考、分析问题的意识，并有利于学生对“众数”这一抽象概念的理解[2]。
结语
在教育体制该改革的大背景下，基于认知过程分析的小学数学探究问题设计与应用是一种比较新型的教学方式，能够极大地促进小学生逻辑思维能力和综合素质的提高，也是开展素质教育重要体现。在设计、解决探究问题时，教师应当采取引导、启发并行的措施，创建丰富的情境，与学生进行深度的交流，培养学生自主学习的意识，为学生的全面发展奠定基础。
参考文献：